UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA

AntenasProf. Lucas Heitzmann Gabrielli

Antenas

Radiação eletromagnética é gerada por carga aceleradas. Para que essa radiação seja eficiente ascargas e correntes devem ser distribuídas de maneiras específicas.

Esse é o papel das antenas, que podemos definir como estruturas projetadas para:

• radiar energia eletromagnética de maneira bem definida

• acoplar ondas propagantes em espaço livre a guias de ondas ou linhas de transmissão

Há uma infinidade de aplicações para antenas e, de certa forma, outras definições que se aplicammelhor a aplicações específicas, por exemplo, como amplificadores locais de intensidade decampos para sensoreamento.

Potenciais retardados(Cheng: 11-1; Sadiku: 9.6)

𝐫

𝐫′

𝜑

𝜃

𝑉 ′

𝑅

𝑥

𝑦

𝑧

Relembrando os potenciais escalar e vetor e sua relaçãocom os campos eletromagnéticos em um meio simples:

𝐄 = −∇𝑉 − 𝑖𝜔𝐀 𝐇 = 1𝜇

∇ × 𝐀

As soluções para as equações de onda inomogêneas dospotenciais podem ser escritas como:

𝑉 (𝐫) = 14𝜋𝜀

∭𝑉 ′

𝜌𝑒−𝑖𝑘𝑅

𝑅d𝑉 ′

𝐀(𝐫) = 𝜇4𝜋

∭𝑉 ′

𝐉𝑒−𝑖𝑘𝑅

𝑅d𝑉 ′

onde 𝑅 = |𝐫 − 𝐫′| é a distância entre o ponto onde opotencial é calculado (𝐫) e o ponto de integração (𝐫′).

Dipolo elétrico elementar(Cheng: 11-2.1; Sadiku: 13.2)

Consideramos um elemento de corrente 𝐼 (tomada no sentido 𝐚𝑧) com comprimento ℓinfinitesimal ao longo do eixo 𝑧:

𝐉 = 𝐚𝑧𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝐼, − ℓ2

< 𝑧 < ℓ2

onde 𝛿 é o delta de Dirac. Da relação entre corrente e carga, verificamos que o momento dedipolo associado a essa corrente infinitesimal é 𝐩 = 𝐚𝑧𝑝 = 𝐚𝑧

𝐼 ℓ𝑖𝜔 , donde chamamos esse elemento

de dipolo Hertziano.

Determinamos o campo eletromagnético associado partindo do potencial vetor:

𝐀(𝐫) = 𝜇4𝜋

ℓ2

∫− ℓ

2

∫𝑦′

∫𝑥′

𝐚𝑧𝑒−𝑖𝑘𝑅

𝑅𝛿(𝑥′)𝛿(𝑦′)𝐼 d𝑥′d𝑦′d𝑧′ = 𝐚𝑧

𝜇𝐼ℓ4𝜋

𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

para 𝐫 = 𝐚𝑟𝑟 + 𝐚𝜃𝜃 + 𝐚𝜑𝜑.

Dipolo elétrico elementarOs campos magnético e elétrico são calculados utilizando:

𝐇 = 1𝜇

∇ × 𝐀 𝐄 = 1𝑖𝜔𝜀

∇ × 𝐇

Em coordenadas esféricas, temos:

𝐻𝜑 = − 𝐼ℓ4𝜋

𝑘2 sin 𝜃 [ 1𝑖𝑘𝑟

+ 1(𝑖𝑘𝑟)2 ] 𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝐸𝑟 = −𝜂𝐼ℓ4𝜋

2𝑘2 cos 𝜃 [ 1(𝑖𝑘𝑟)2 + 1

(𝑖𝑘𝑟)3 ] 𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝐸𝜃 = −𝜂𝐼ℓ4𝜋

𝑘2 sin 𝜃 [ 1𝑖𝑘𝑟

+ 1(𝑖𝑘𝑟)2 + 1

(𝑖𝑘𝑟)3 ] 𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝐻𝑟 = 𝐻𝜃 = 𝐸𝜑 = 0

onde 𝐄 = 𝐚𝑟𝐸𝑟 + 𝐚𝜃𝐸𝜃 + 𝐚𝜑𝐸𝜑 e 𝐇 = 𝐚𝑟𝐻𝑟 + 𝐚𝜃𝐻𝜃 + 𝐚𝜑𝐻𝜑.

Aproximação de campo próximoNa região próxima ao dipolo, onde 𝑘𝑟 = 2𝜋𝑟

𝜆 ≪ 1, podemos realizar a seguinte aproximação parao campo magnético:

𝐻𝜑 = 𝐼ℓ4𝜋𝑟2 sin 𝜃

Esse campo é o mesmo obtido para um elemento de corrente ao aplicar-se a lei de Biot-Savartem magnetostática.

Para o campo elétrico obtemos expressões idênticas ao campo devido a um dipolo 𝐩 em regimeeletrostático:

𝐸𝑟 = 𝜂𝐼ℓ𝑖4𝜋𝑘𝑟3 2 cos 𝜃 = 𝑝

4𝜋𝜀𝑟3 2 cos 𝜃 𝐸𝜃 = 𝑝4𝜋𝜀𝑟3 sin 𝜃

Concluímos que os campos próximos de um dipolo oscilante no tempo são de fato campos quaseestáticos.

Aproximação de campo distanteA região onde 𝑘𝑟 = 2𝜋𝑟

𝜆 ≫ 1 é a região de campos distantes, alvo principal do estudo de antenastradicionais. Nessa região os campos do dipolo elementar tornam-se:

𝐻𝜑 = 𝑖 𝐼ℓ4𝜋

𝑘 sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟= 𝑖 𝐼 ℓ

2𝜆sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

𝐸𝜃 = 𝑖𝜂 𝐼ℓ4𝜋

𝑘 sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟= 𝑖𝜂 𝐼 ℓ

2𝜆sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

A dependência dos campos com o fator 𝑒−𝑖𝑘𝑟 indica uma onda esférica propagante e a razãoentre os campos distantes do dipolo elementar 𝐸𝜃

𝐻𝜑= 𝜂 é a própria impedância intrínseca do

meio. Vemos ainda que os campos elétrico e magnético e o vetor de propagação são ortogonais eformam um triedro direito.

Essas características são similares às de ondas planas, o que era esperado uma vez que frentes deondas esféricas a distâncias grandes da origem assemelham-se a planos.

Uma última observação que se faz refere-se à magnitude do campo distante, inversamenteproporcional à distância do dipolo.

Potência radiadaAtravés do vetor de Poynting podemos determinar a densidade de potência radiada pelo dipoloHertziano (em um meio sem perdas):

𝐏𝑚 = 12

ℜ𝐄 × 𝐇∗ = 𝐚𝑟𝜂|𝐼|2

8𝑟2 ( ℓ𝜆

)2

sin2 𝜃

A potência total radiada será:

𝑃rad =2𝜋

∫0

𝜋

∫0

𝐏𝑚 ⋅ 𝐚𝑟𝑟2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑 = 𝜋3

𝜂|𝐼|2 ( ℓ𝜆

)2

Definimos a resistência de radiação equivalente ao dipolo Hertziano que, alimentado pela mesmacorrente 𝐼 , dissiparia a potência total radiada pelo dipolo:

𝑃rad = 12

𝑅rad|𝐼|2 ⇔ 𝑅rad = 2𝜋3

𝜂 ( ℓ𝜆

)2

No vácuo temos 𝑅rad = (80 Ω)𝜋2 ( ℓ𝜆)2, que é baixa pela própria definição de ℓ.

Dipolo magnético elementar(Cheng: 11-2.2; Sadiku: 13.5)

Consideramos agora um anel de raio infinitesimal 𝑏 na origem do plano 𝑧 = 0 com corrente 𝐼(tomada no sentido 𝐚𝜑).

Seguindo o mesmo procedimento anterior com 𝐫′ = 𝐚𝜌′𝜌′ + 𝐚𝜑′𝜑′ + 𝐚𝑧𝑧′ em coordenadascilíndricas:

𝐀(𝐫) = 𝜇4𝜋

∫𝑧′

2𝜋

∫0

∫𝜌′

𝐚𝜑′𝑒−𝑖𝑘𝑅

𝑅𝐼𝛿(𝜌′ − 𝑏)𝛿(𝑧′)𝜌′ d𝜌′d𝜑′d𝑧′ =

= 𝜇𝐼𝑏4𝜋

2𝜋

∫0

𝑒−𝑖𝑘𝑅

𝑅(−𝐚𝑥 sin 𝜑′ + 𝐚𝑦 cos 𝜑′) d𝜑′ =

= 𝐚𝜑𝜇𝐼𝑏2

4𝑟2 (1 + 𝑖𝑘𝑟)𝑒−𝑖𝑘𝑟 sin 𝜃

Campos eletromagnéticosOs campo eletromagnéticos do dipolo magnético elementar são duais dos campos do dipoloelétrico elementar:

𝐸𝜑 = 𝑖𝜔𝜇𝐼𝑏2

4𝑘2 sin 𝜃 [ 1

𝑖𝑘𝑟+ 1

(𝑖𝑘𝑟)2 ] 𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝐻𝑟 = −𝑖𝜔𝜇𝐼𝑏2

4𝜂𝑘22 cos 𝜃 [ 1

(𝑖𝑘𝑟)2 + 1(𝑖𝑘𝑟)3 ] 𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝐻𝜃 = −𝑖𝜔𝜇𝐼𝑏2

4𝜂𝑘2 sin 𝜃 [ 1

𝑖𝑘𝑟+ 1

(𝑖𝑘𝑟)2 + 1(𝑖𝑘𝑟)3 ] 𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝐸𝑟 = 𝐸𝜃 = 𝐻𝜑 = 0

Assim, conclusões análogas às obtidas para os dipolo Hertziano podem também o ser para odipolo elementar magnético.

Em especial, a resistência de radiação do anel no vácuo é 𝑅rad = (320 Ω)𝜋6 ( 𝑏𝜆)4.

Intensidade de Radiação(Cheng: 11-3, 11-6; Sadiku: 13.6, 13.8)

A densidade de potência radiada 𝐏𝑚 pelos campos distantes é inversamente proporcional aoquadrado da distância. Definimos a intensidade de radiação para eliminar essa dependência:

𝑈(𝜃, 𝜑) = 𝑟2𝐏𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜑) ⋅ 𝐚𝑟

A potência radiada pode ser então calculada integrando-se a intensidade de radiação sobre umângulo sólido Ω (medido em esferoradianos):

𝑃rad = ∬𝑆

𝐏𝑚 ⋅ d𝐒 =2𝜋

∫0

𝜋

∫0

𝐏𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜑) ⋅ 𝐚𝑟𝑟2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑 =

=2𝜋

∫0

𝜋

∫0

𝑈(𝜃, 𝜑) sin 𝜃 d𝜃d𝜑 =2𝜋

∫𝜑=0

𝜋

∫𝜃=0

𝑈(𝜃, 𝜑) dΩ

𝑈 [W/sr] : intensidade de radiação

Diagramas de radiaçãoA definição de intensidade de radiação nos permite caracterizar o padrão de radiação de umaantena sem nos preocuparmos com a distância. Assim, é possível traçarmos curvas de 𝑈(𝜃, 𝜑)em coordenadas esféricas em 3 dimensões onde 𝑟 representa o valor da intensidade de radiaçãoem cada direção (𝜃, 𝜑) em escala linear ou logarítmica.

É também comum traçarmos apenas cortes do diagrama tridimensional para analisar planosespecíficos do padrão de radiação da antena, tanto em sistema polar quanto retangular.

De maneira geral esses gráficos são chamados diagramas de radiação da antena e além daintensidade de radiação podem representar outras características dos campos distantes daantena, como:

• Magnitude normalizada dos campos elétrico ou magnético• Vetor de Poynting normalizado• Diretividade• Ganho• Característica de polarização

Diagramas de radiaçãoExemplo: 𝐻𝜑 = 𝐻0

𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟 sin(𝜃) cos(2𝜑) [cos(2𝜑) + cos2(𝜑2 )]

−180° −90° 0° 90° 180°𝜑

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2|𝐇| norm. (𝜃 = 90°) 𝜃 = 90°

𝜑 = 0, 180°30°

−150°

60°

−120

°

90°

−90

°

120°

−60°

150°

−30°

180°

0°

−25

−15

−5

𝑈(𝜃, 𝜑) norm. (dB)

𝑈(𝜃, 𝜑) norm. (dB)

𝜃 = 90°30°

−150°

60°

−120

°

90°

−90

°

120°

−60°

150°

−30°

180°0°

−27

−21

−15

−9

−3

Lóbulo principalLargura do feixe (−3 dB): 36°

Lóbulos secundários

Lóbulo traseiro

DiretividadeA intensidade de radiação é proporcional à potência radiada pela antena. Visando compararantenas distintas de uma maneira normalizada, definimos o conceito de diretividade (ou ganhodiretivo) de uma antena, definida como a intensidade de radiação da antena em uma dadadireção dividida por sua intensidade média de radiação.

A intensidade média é calculado como se toda a potência fosse radiada de maneira isotrópicapela antena:

𝑃rad =2𝜋

∫𝜑=0

𝜋

∫𝜃=0

𝑈𝑚 dΩ ⇔ 𝑈𝑚 = 𝑃rad4𝜋

Assim, a diretividade é dado por:

𝐷(𝜃, 𝜑) = 𝑈(𝜃, 𝜑)𝑈𝑚

= 4𝜋𝑈(𝜃, 𝜑)𝑃rad

Em certos casos a expressão "a diretividade da antena" significa apenas o máximo de 𝐷(𝜃, 𝜑).

GanhoTambém é comum calcular-se o ganho (ou ganho de potência) de uma antena. Sua definição ésimilar à da diretividade, mas leva em conta a potência de entrada da antena, e não apenas apotência radiada.

Supondo que a relação entre as potências radiada e de entrada da antena seja dadas por umaeficiência 𝜂rad = 𝑃rad

𝑃𝑖, temos:

𝐺(𝜃, 𝜑) = 4𝜋𝑈(𝜃, 𝜑)𝑃𝑖

= 𝜂rad𝐷(𝜃, 𝜑)

Novamente pode-se falar em "o ganho da antena" referindo-se apenas ao máximo de 𝐺(𝜃, 𝜑).

No caso do dipolo estudado, podemos associar a potência de entrada com a soma da potênciaradiada e as perdas, modeladas como:

𝑃𝑖 = 𝑃rad + 𝑃𝐿 = |𝐼|2(𝑅rad + 𝑅𝐿) ⇔ 𝜂rad = 𝑅rad𝑅rad + 𝑅𝐿

Antenas lineares(Cheng: 11-4; Sadiku: 13.3, 13.4)

Consideramos agora uma antena linear comcomprimento ℓ e alimentação central. Assumimosuma distribuição de corrente senoidal que se anulanos extremos da antena e que é simétrica devido àgeometria e à alimentação:

𝐉 = 𝐚𝑧𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝐼0 sin(𝑘 [ ℓ2

− |𝑧|])

Para calcular o campo distante, usamos os resultadosobtidos para o dipolo elementar:

𝐻𝜑 = 𝐸𝜃𝜂

d𝐸𝜃 = 𝑖𝜂𝐼(𝑧)d𝑧4𝜋

𝑘 sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑅

𝑅

𝑧

𝐼0

𝑟

𝑅

𝜃

d𝑧

ℓ

Campos distantesQuando 𝑘𝑟 ≫ 1 podemos aproximar 𝑅 = 𝑟 para o termo do denominador, já que a diferença emmagnitude será insignificante. Porém, para a fase no numerador, devemos tomar um pouco maisde cuidado:

𝑅 = √𝑟2 + 𝑧2 − 2𝑟𝑧 cos 𝜃 ≅ 𝑟 − 𝑧 cos 𝜃

Assim:

𝐸𝜃 = 𝜂𝐻𝜑 = 𝑖𝜂𝐼04𝜋

𝑘 sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

ℓ2

∫− ℓ

2

sin(𝑘 [ ℓ2

− |𝑧|]) 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos 𝜃 d𝑧 =

= 𝑖𝜂𝐼02𝜋

𝑘 sin 𝜃𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

𝑒𝑙𝑙2

∫0

sin(𝑘ℓ2

− 𝑘𝑧) cos(𝑘𝑧 cos 𝜃) d𝑧 =

= 𝑖𝜂𝐼02𝜋

cos(𝑘ℓ2 cos 𝜃) − cos 𝑘ℓ

2sin 𝜃

𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

Dipolo de meia ondaUm caso de importância prática ocorre quando ℓ = 𝜆

2 devido a seu padrão de radiação eimpedância de entrada. Para 𝜂 = 𝜂0:

𝐸𝜃 = 𝑖(60 Ω)𝐼0cos(𝜋

2 cos 𝜃)sin 𝜃

𝑒−𝑖𝑘𝑟

𝑟

𝑈(𝜃, 𝜑) = (15 Ω)|𝐼0|2

𝜋[

cos(𝜋2 cos 𝜃)

sin 𝜃]

2

𝑃rad = (30 Ω)|𝐼0|2𝜋

∫0

cos2(𝜋2 cos 𝜃)

sin 𝜃d𝜃 = (36,54 Ω)|𝐼0|2

Daí vemos que a resistência de radiação do dipolo de meia onda e sua diretividade são:

𝑅rad = 2𝑃rad|𝐼0|2

= 73,1 Ω 𝐷max =4𝜋𝑈(𝜋

2 , 𝜑)𝑃rad

= 1.64

A reatância do dipolo de meia onda é bastante pequena e pode ser levada a zero encurtando-selevemente o dipolo.

Características das antenas lineares

ℓ/𝜆

𝑅,𝑋

(Ω)

𝐷m

ax

𝐷max𝑅0𝑅in𝑋in

−100 0

0 0,5

100 1

200 1,5

300 2

400 2,5

500 3

600 3,5

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

Arranjos de antenas(Cheng: 11-5; Sadiku: 13.7)

Antenas podem ser operadas em conjunto com amplitudes e fases de alimentação bem definidaspara que a soma das contribuição dos campos distantes de cada elemento resulte em certascaracterísticas de radiação desejadas.

Esse conjunto operando como um só elemento radiativo chama-se arranjo de antenas.

Arranjos são utilizados por exemplo para aumentar a diretividade do feixe, controlar os níveisde lóbulos secundários e alterar a direção do feixe principal sem movimentação mecânica dasantenas.

Arranjos podem ser compostos de um número qualquer de antenas iguais ou não, dispostas emqualquer configuração. Analisaremos em particular o caso de arranjos lineares uniformes, i.e.,formado por antenas idênticas dispostas ao longo de uma linha reta com separação constanteentre elementos.

Arranjo de 2 elementos

𝐉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐉(𝑥 − 𝑑, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑖𝜉𝑑

𝑥

𝑦

𝑧𝑅0 = 𝑟

𝑅1

Consideramos o caso de 2 antenas com campo elétricopolarizado em 𝐚𝜃. As antenas são alimentadas comsinais de mesma amplitude, mas com fases distintas.

𝐸𝜃0 = 𝐸0𝐹(𝜃, 𝜑)𝑒−𝑖𝑘𝑅0

𝑅0

𝐸𝜃1 = 𝐸0𝑒𝑖𝜉𝐹(𝜃, 𝜑)𝑒−𝑖𝑘𝑅1

𝑅1

Utilizando a aproximação de campo distante para otermo de fase (𝑅1 = 𝑟 − 𝑑 sin 𝜃 cos 𝜑) obtemos:

𝐸𝜃 = 𝐸𝜃0 + 𝐸𝜃1 = 𝐸𝜃0𝑒𝑖 Ψ2 2 cos Ψ

2Ψ = 𝑘𝑑 sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝜉

Fator de arranjoPara arranjos de antenas idênticas e sem acoplamento mútuo, o campo distante do arranjo podeser descrito através do produto entre o campo distante de um elemento e um fator de arranjo𝐴(𝜃, 𝜑), que leva em conta as amplitudes e fases de alimentação de cada antena. No nossoexemplo:

𝐴(𝜃, 𝜑) = 𝑒𝑖 Ψ2 2 cos Ψ

2

Supondo que cada elemento seja um dipolo de meia onda, o campo elétrico total seria:

|𝐸𝜃| = |𝐸𝜃0| |𝐴(𝜃, 𝜑)| = (120 Ω)|𝐼0|𝑟

∣cos(𝜋

2 cos 𝜃)sin 𝜃

∣ ∣cos Ψ2

∣

Notamos que os zeros de radiação dos elementos continuam sendo zeros do arranjo devido aoproduto dos fatores, mas o restante do padrão de radiação será diferente do padrão original daantena.

Para o caso de 2 dipolos de meia onda, por exemplo, o padrão em 𝜃 = 𝜋2 é determinado

inteiramente pelo fator de arranjo.

Arranjos lineares uniformesGeneralizando o caso anterior para umarranjo com 𝑁 antenas ao longo doeixo 𝑥 separadas por uma distância 𝑑 ecom defasagens 𝜉 em relação à vizinha,temos:

𝐴(𝜃, 𝜑) =𝑁−1∑𝑛=0

𝑒𝑖𝑛Ψ =sin 𝑁 Ψ

2sin Ψ

2𝑒𝑖(𝑁−1) Ψ

2

Ψ = 𝑘𝑑 sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝜉

Note que a magnitude máxima de 𝐴ocorre em Ψ = 0 e vale 𝑁 . Assim,se quisermos plotar o fator de arranjonormalizado, teremos:

|𝐴norm(Ψ)| = ∣sin 𝑁 Ψ

2𝑁 sin Ψ

2∣

𝐉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐉(𝑥 − 𝑑, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑖𝜉

𝐉(𝑥 − [𝑁 − 2]𝑑, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑖(𝑁−2)𝜉

𝐉(𝑥 − [𝑁 − 1]𝑑, 𝑦, 𝑧)𝑒𝑖(𝑁−1)𝜉

𝑥

𝑦

𝑧𝑅0 = 𝑟

𝑅1

𝑅𝑁−2

𝑅𝑁−1

Propriedades do arranjoDetemo-nos agora ao plano 𝜃 = 𝜋

2 para analisarmos algumas propriedades do arranjo.

• Direção do lóbulo principal: 𝜓 = 𝑘𝑑 cos 𝜑0 + 𝜉 = 0 ⇔ cos 𝜑0 = − 𝜉𝑘𝑑

− Arranjo broadside/transversal: 𝜑0 = ±𝜋2 ⇔ 𝜉 = 0

− Arranjo endfire/logitudinal: 𝜑0 = 0 ⇔ 𝜉 = −𝑘𝑑

• Largura do feixe (2Δ𝜑 entre os primeiros nulos):

− Arranjo broadside: Δ𝜑 = arcsin 𝜆𝑁𝑑 ≅ 𝜆

𝑁𝑑 , para 𝑁𝑑 ≫ 𝜆

− Arranjo endfire: Δ𝜑 = arccos(1 − 𝜆𝑁𝑑) ≅ √ 2𝜆

𝑁𝑑 , para 𝑁𝑑 ≫ 𝜆

• Nível do primeiro lóbulo lateral (para N grande):

𝑁 Ψ2

≅ 3𝜋2

⇔ ∣𝐴norm(3𝜋𝑁

)∣ ≅ 23𝜋

= −13,5 dB

Recepção(Cheng: 11-6, 11-7; Sadiku: 13.8, 13.9)

Trabalhamos até o momento com antenas transmitindo potência radiada, i.e., o sinaltransmitido à antena excita correntes e cargas em sua estrutura que, por sua vez, gera camposeletromagnéticos que transmitem o sinal original.

Em modo de recepção a estrutura da antena acopla-se aos campos eletromagnéticos incidentesque geram uma distribuição de correntes e cargas na sua estrutura e entregam o sinal à cargaligada à antena.

O problema complica-se ainda mais se considerarmos que a antena receptora também irá radiarde volta e causar espalhamento no campo incidente, de modo que, a princípio pode nos pareceruma situação em nada semelhante com a transmissão.

No entanto, devido ao teorema da reciprocidade, podemos mostrar que:

• a impedância de entrada para a antena em transmissão é a mesma que a impedância internade gerador para a antena em recepção

• os diagramas de diretividade e ganho são também os mesmos em ambos os casos

Área efetivaDefinimos a área efetiva de uma antena como a razão entre a potência média entregue para umacarga casada e a densidade média de potência (vetor de Poynting) da onda incidente:

𝐴𝑒 = 𝑃𝑟|𝐏𝑚|

Essa relação depende da direção de propagação da onda incidente em relação à antenareceptora.

Devido à reciprocidade, é possível mostrar que para qualquer antena:

𝐴𝑒(𝜃, 𝜑) = 𝜆2

4𝜋𝐺(𝜃, 𝜑) = 𝜆2

4𝜋𝜂rad𝐷(𝜃, 𝜑)

𝐴𝑒 [m2] : Área efetiva

Fórmula de transmissão de FriisDa definição de ganho, sabemos que a densidade média de potência transmitida por uma antenaA alimentada por uma potência média 𝑃𝑖 será:

|𝐏𝑚| = 𝑈𝐴(𝜃, 𝜑)𝑟2 = 1

4𝜋𝑟2 𝐺𝐴(𝜃, 𝜑)𝑃𝑖

Usando a definição de área efetiva, podemos agora calcular a potência recebida por uma antenaB a uma distância 𝑟 da antena A, obtendo a fórmula de transmissão de Friis:

𝑃𝑟𝑃𝑖

= ( 𝜆4𝜋𝑟

)2

𝐺𝐴𝐺𝐵 = ( 𝜆4𝜋𝑟

)2

𝜂𝐴𝜂𝐵𝐷𝐴𝐷𝐵

Note que os ganhos (ou diretividades) devem ser tomados na direção de visada entre as antenas.Além disso é preciso que elas estejam na região de campo distante — ou zona de Fraunhofer —uma da outra, ou seja:

𝑟 > 2𝑑2

𝜆 para antenas de tamanho 𝑑 > 𝜆2𝜆 caso contrário

Equação do radarNo caso de detecção de um objeto via radar, uma determinada densidade de potênciatransmitida pela antena transmissora incidirá sobre o alvo, que irá espalhar (ou refletir) de voltaparte dessa potência para a antena receptora (que pode ser a mesma ou não).

Introduzimos então o conceito de seção reta de espalhamento 𝜎𝑠 do alvo: a área que relacionaessas densidades de potências como se o alvo fosse um radiador isotrópico.

|𝐏𝑠| = 𝜎𝑠|𝐏𝑚|4𝜋𝑟2 ⇔ 𝜎𝑠 = 4𝜋𝑟2|𝐏𝑠|

|𝐏𝑚|

Considerando uma antena transmissora A a uma distância 𝑟𝐴 do alvo e uma antena receptora Ba uma distância 𝑟𝐵 do alvo, obtemos:

𝑃𝑟𝑃𝑖

= ( 𝜆𝑟𝐴𝑟𝐵

)2 𝜎𝑠

(4𝜋)3 𝐺𝐴𝐺𝐵

No caso de transmissão e recepção pela mesma antena: 𝑃𝑟𝑃𝑖

= 𝜆2𝜎𝑠𝐺2

64𝜋3𝑟4

Exercícios sugeridos

Cheng:

• P.11-4

• P.11-6

• P.11-7

• P.11-9

• P.11-12

• P.11-15

• P.11-16

• P.11-20

• P.11-24

• P.11-26

• P.11-28

Sadiku:

• P 13.10

• P 13.20

• P 13.30

• P 13.37

• P 13.44