Notas de apoio de Fiabilidade e Controlo de...
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Notas de apoio de
Fiabilidade e Controlo de Qualidade
Manuel Cabral Morais
Seccao de Estatıstica e Aplicacoes
Instituto Superior Tecnico
Lisboa, Fevereiro—Junho de 2007
Indice
Lista de tabelas vii
Lista de figuras xi
1 Conceitos basicos em fiabilidade 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Breve nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Funcao de estrutura e outros conceitos basicos . . . . . 8
1.4 Estruturas coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Fiabilidade de sistemas com componentes independentes 19
1.6 Associacao e limites para a fiabilidade . . . . . . . . . . 27
2 Estatısticas ordinais e tempos de vida de estruturas
usuais em fiabilidade 34
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Associacao e limites para a funcao de fiabilidade . . . . 40
2.3 Mecanismos de censura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Envelhecimento estocastico e funcao taxa de falha 47
3.1 Funcao taxa de falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Monotonia da funcao taxa de falha . . . . . . . . . . . 52
3.3 Preservacao da monotonia da taxa de falha . . . . . . . 55
ii
3.4 Outras nocoes de envelhecimento estocastico . . . . . . 63
3.5 Limites para a funcao de fiabilidade e momentos . . . . 69
3.5.1 Limites para a funcao de fiabilidade baseados
num quantil conhecido . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.2 Limites para a funcao de fiabilidade baseados
num momento conhecido . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.3 Limites para momentos da duracao de uma
componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.4 Limites para a funcao de fiabilidade de um
sistema baseados em momentos conhecidos . . . 76
3.5.5 Limites para a duracao esperada de um sistema
baseados em momentos conhecidos . . . . . . . 78
4 Modelos parametricos importantes em fiabilidade 82
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Distribuicoes discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 A distribuicao geometrica . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 A distribuicao binomial . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.3 A distribuicao de Poisson . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Distribuicoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1 A distribuicao exponencial . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 A distribuicao bathtub . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.3 A distribuicao log-normal . . . . . . . . . . . . 96
4.3.4 A distribuicao de Weibull . . . . . . . . . . . . 97
4.3.5 As distribuicoes normal e normal truncada . . . 103
4.3.6 A distribuicao gama . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.7 A distribuicao gaussiana inversa . . . . . . . . . 106
4.3.8 As distribuicoes gama inversa e beta . . . . . . 108
iii
5 Inferencias sobre modelos para diferentes tipos de
ensaio 111
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Identificacao e seleccao de modelos . . . . . . . . . . . 114
5.2.1 Estimacao nao parametrica de caracterısticas da
fiabilidade — dados completos . . . . . . . . . . 114
5.2.2 Graficos TTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.3 Papel de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.4 Testes de ajustamento . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3 Testes de vida e estimacao de MV . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Estimacao no modelo exponencial . . . . . . . . . . . . 135
5.4.1 Validacao do modelo exponencial . . . . . . . . 136
5.4.2 Amostra completa . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.3 Testes de vida com censura . . . . . . . . . . . 141
5.4.4 Escolha da fraccao a censurar e minimizacao de
custos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . 146
6 Estrategias de manutencao 149
6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 Sobre o impacto das nocoes de envelhecimento em
manutencao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3 Teoria do renovamento e manutencao . . . . . . . . . . 153
6.3.1 Limites para a convolucao . . . . . . . . . . . . 154
6.3.2 Limites para a funcao de renovamento . . . . . 159
6.3.3 Limites para algumas funcoes do numero de
renovamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4 Algumas estrategias de manutencao . . . . . . . . . . . 164
6.5 Comparacao de estrategias de manutencao . . . . . . . 168
iv
6.6 A polıtica de manutencao random age replacement . . 172
6.7 Alguns resultados sobre disponibilidade . . . . . . . . . 175
6.7.1 Disponibilidade de sistemas com componentes
independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.7.2 Disponibilidade de sistemas em serie . . . . . . 178
6.7.3 Disponibilidade de sistema com uma unidade de
operacao, uma sobressalente e uma de reparacao 183
6.7.4 Disponibilidade de sistema com m unidades de
operacao, n sobressalentes e s de reparacao . . . 185
7 Controlo estatıstico de processos 188
7.1 O significado de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2 Os custos e os aspectos legais da qualidade . . . . . . . 192
7.3 Um apanhado da historia do controlo de qualidade . . 196
7.3.1 Um apanhado geral . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.2 As guildas da Europa medieval . . . . . . . . . 198
7.3.3 A Revolucao Industrial . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.4 O inıcio do sec. XX . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.5 A II Guerra Mundial . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.6 A qualidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.7 Para alem da qualidade total . . . . . . . . . . 207
7.3.8 Walter A. Shewhart — Pai do controlo
estatıstico de qualidade . . . . . . . . . . . . . . 209
8 Esquemas de controlo de qualidade do tipo Shewhart
para atributos e variaveis 211
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2 Esquemas Shewhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3 Desempenho de esquemas Shewhart . . . . . . . . . . . 222
v
8.4 Cartas Shewhart para atributos . . . . . . . . . . . . . 224
8.5 Cartas Shewhart para variaveis . . . . . . . . . . . . . 238
9 Esquemas de controlo de qualidade do tipo CUSUM e
EWMA para atributos e variaveis 249
9.1 Esquemas CUSUM e EWMA . . . . . . . . . . . . . . 249
9.2 Esquemas CUSUM para atributos . . . . . . . . . . . . 251
9.3 Desempenho de esquemas CUSUM para atributos . . . 256
9.4 Esquemas EWMA para variaveis . . . . . . . . . . . . 266
9.4.1 Esquema EWMA padrao para µ . . . . . . . . . 266
9.4.2 Esquema EWMA unilateral superior para σ2 . . 271
9.5 Desempenho de esquemas individuais EWMA para
variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.6 Desempenho de esquemas conjuntos para µ e σ2 . . . . 282
9.6.1 Sinais erroneos — Misleading Signals . . . . . . 283
9.6.2 Probabilidades de Misleading Signal (PMS) . . 285
10 Amostragem de aceitacao 291
10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.2 Planos de amostragem de aceitacao simples por atributos296
10.3 A norma Military Standard 105 (ANSI/ASQC Z1.4) . . 302
10.4 Planos de amostragem de aceitacao simples por
atributos – com rectificacao da inspeccao . . . . . . . . 307
10.5 Planos de amostragem de aceitacao dupla por atributos
– com e sem rectificacao da inspeccao . . . . . . . . . . 311
10.6 Planos de amostragem de aceitacao para variaveis . . . 318
10.7 Planos de amostragem de aceitacao para variaveis —
distribuicao gaussiana: desvio padrao conhecido . . . . 321
vi
10.8 Planos de amostragem de aceitacao para variaveis —
distribuicao gaussiana: desvio padrao desconhecido . . 324
10.9 A norma Military Standard 414 (ANSI/ASQC Z1.9) . . 327
11 Esquemas com intervalos amostrais variaveis 330
11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11.2 Descricao das polıticas amostrais FSI e VSI . . . . . . 332
11.3 Caracterısticas primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
11.4 Calculo das caracterısticas primarias dos esquemas
Shewhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.5 Obtencao numerica das caracterısticas primarias para
esquemas do tipo markoviano . . . . . . . . . . . . . . 339
11.6 Comparabilidade sob controlo; caracterıstica
primordial; comparacao dos desempenhos de cartas
FSI e VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.7 Ilustracao: esquemas X dos tipos FSI e VSI com limites
3σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Referencias 347
vii
Lista de Tabelas
3.1 Preservacao do comportamento monotono da taxa de
falha das estatısticas ordinais (“Nao”≡ “Nem sempre”). 61
3.2 Preservacao da propriedade de envelhecimento face a
operacoes de fiabilidade (“Nao”≡ “Nem sempre”). . . . 67
4.1 Algumas distribuicoes discretas importantes. . . . . . . 86
4.2 Numero de acidentes mensais. . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Algumas distribuicoes contınuas importantes. . . . . . 92
5.1 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. —
amostra nao agrupada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. —
dados da refinaria de gasolina. . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. —
amostra agrupada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. —
baterias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. —
turbofan jet engines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6 Calculos auxiliares para obter grafico TTT — refinaria
de gasolina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7 Horas ate falha de 20 termostatos . . . . . . . . . . . . 138
viii
5.8 Instantes de falha e os tempos entre falhas consecutivas
de camiao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.9 Dados referentes a nove locais de teste de termostatos . 139
5.10 Algumas estimativas de MV . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.11 Estimadores de MV para λ — dados censurados . . . . 142
5.12 Tempos totais acumulados em teste — dados censurados142
5.13 Estimadores de MV para λ — dados censurados . . . . 143
5.14 Estimadores UMVUE de E(T ) e RT (t) — dados
censurados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.15 Estatısticas suficientes para λ — dados censurados . . 144
5.16 Intervalos de confianca para λ — dados censurados . . 144
5.17 V.a. fulcrais para λ — dados censurados . . . . . . . . 145
8.1 No. observado de defeituosos tN com: n = 100; p =
p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50; e p = p0 + θ = 0.056,
para N = 51, . . . , 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2 Propriedades de RL (caso geometrico). . . . . . . . . . 223
8.3 Descricao das cartas (padrao) np e c, com limites 3-sigma.226
8.4 Valores de quantis de RL, ARL, SDRL, CVRL, CSRL
e CKRL para carta-np unilateral superior (n = 100,
p0 = 0.02 e UCL = 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5 No. de artigos nao conformes em 30 amostras de 100
pecas soldadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.6 No. de artigos defeituosos em 10 amostras de 100 pecas. 232
8.7 No. de defeitos em 20 amostras de dimensao variavel de
rolos de papel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.8 No. de defeitos de 16 amostras de 4 transmissoes manuais.233
8.9 No. de defeitos a superfıcie de 25 laminas de aco. . . . . 234
ix
8.10 No. de defeitos na inspeccao final de gravadores. . . . . 235
8.11 No. de artigos defeituosos em 20 amostras de dimensao
variavel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.12 Descricao das cartas (padrao) X e S2. . . . . . . . . . 239
8.13 Medias de 10 amostras de dimensao n = 4. . . . . . . . 241
8.14 Medias de 24 amostras de dimensao n = 5 de tres
ultimas casas decimais do diametro de suportes metalicos.243
8.15 Valores de ξ(θ) para esquemas S2 com σ20 = 1 e α =
0.002 (i.e., ARL(1) = 500). . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.16 Medias e desvios-padrao corrigidos de 20 amostras de
dimensao 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.1 Caracterısticas de esquemas Shewhart e CUSUM/EWMA.250
9.2 No. observado de defeituosos yN e estatıstica CUSUM
para: n = 100, p = p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50,
p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70; k = 5.29,
u = 0 e UCLC = 18.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.3 Algumas propriedades de RLu(θ). . . . . . . . . . . . . 260
9.4 Esquemas Shewhart vs. CUSUM . . . . . . . . . . . . . 261
9.5 Alguns quantis do RL e valores de ARL, SDRL, CVRL,
CSRL e CKRL para os esquemas unilaterais superiores
CUSUM e np (n = 100, p0 = 0.02, p1 = 0.0427685). . . . 264
9.6 Pesos medios de saquetas de produto quımico. . . . . . 270
9.7 Pesos medios de latas de oleo para motor de carro. . . 271
9.8 Temperaturas de reagente quımico. . . . . . . . . . . . 274
9.9 Medias e variancias corrigidas do diametro de fibra textil.275
9.10 Caracterizacao dos esquemas individuais . . . . . . . . 277
x
9.11 Medias (x), variancias (s2) e max{σ20, s
2} das
temperaturas do reagente. . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.12 Expressoes exactas das PMSs de Tipos III e IV para os
esquemas conjuntos SS e SS+. . . . . . . . . . . . . . 287
9.13 Valores das PMSs dos Tipos III e IV para esquemas
conjuntos SS+ e EE+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.1 Planos de amostragem obtidos por uso da norma
ANSI/ASQC Z1.4-1981 e por recurso a distribuicao
hipergeometrica, para N = 800, α = 0.05 e β = 0.1. . . 305
10.2 Alguns planos de amostragem para variaveis com
σ desconhecido (β = 0.10), recorrendo norma
ANSI/ASQC Z1.9-1980 e a (10.38). . . . . . . . . . . . 328
11.1 Tempo ate sinal para esquemas Shewhart . . . . . . . . 338
11.2 Valor esperado, variancia e coeficiente de variacao do
tempo ate sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
xi
Lista de Figuras
8.1 Carta de controlo — No. amostra (abcissa) vs. valor
obs. estatıstica (ordenada); limite superior de controlo
(UCL). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.2 Carta de controlo (unilateral superior) — No. amostra
(abcissa) vs. No. de defeitos por amostra (ordenada);
limite superior de controlo. . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.3 ARL de esquema X com limites 3-sigma. . . . . . . . . 240
8.4 ARL de esquema S2 padrao (n = 5). . . . . . . . . . . 245
9.1 Valores observados da estatıstica CUSUM (zN). . . . . 255
9.2 Reducao percentual em ARL por substituicao de
esquema Shewhart por esquema EWMA. . . . . . . . . 281
10.1 Descricao esquematica de um plano de amostragem dupla.311
xii
Capıtulo 1
Conceitos basicos em fiabilidade
1.1 Introducao
Este capıtulo introdutorio debruca-se essencialmente sobre as relacoes
entre um sistema de interesse e as respectivas componentes. Apesar
do caracter aleatorio do funcionamento das componentes do sistema,
assumir-se-a que as relacoes estruturais entre este e aquelas sao
determinısticas.
Antes de prosseguir e crucial adiantar alguns conceitos basicos,
mesmo que de um modo informal, nomeadamente a capacidade que
um sistema tem de desempenhar adequadamente as funcoes a que se
propoe, em certo ambiente e durante um perıodo de tempo.
Definicao informal 1.1 — Fiabilidade
Diz respeito, de um modo geral, ao grau de confianca ou
probabilidade que atribuimos ao funcionamento sem falhas por
parte de um sistema, em certo ambiente e durante um perıodo de
tempo de pelo menos t0 unidades. •
1
Esta definicao envolve quatro importantes termos/nocoes que
convem definir mesmo que informalmente. A saber: probabilidade;1
falhas; ambiente; tempo.
Definicao informal 1.2 — Falhas
Cada sistema possui um conjunto especıfico de eventos indesejaveis
ou falhas. •
Para um relogio pode definir-se como um atraso que exceda
5 segundos durante um perıodo de 24 horas. Para um sistema
mecanico pode tratar-se de um aumento da vibracao produzida acima
de um nıvel regulamentar. Uma das mais perigosas falhas de um
reactor nuclear e a fuga de material radioactivo. Ao lidar-se com
um mıssil uma falha pode consistir em nao atingir o alvo ou explodir
antes de atingir o alvo.
Escusado sera dizer que um sistema diz-se absolutamente fiavel se
nao ocorrerem falhas durante o seu funcionamento.
Definicao informal 1.3 — Ambiente
A fiabilidade de um sistema depende crucialmente do ambiente
em que opera um sistema. O ambiente diz nao so respeito as
condicoes climatericas mas tambem a: empacotamento, transporte,
armazenamento; instalacao; tipo de utilizador; recursos de
manutencao disponıveis; po, quımicos e outros poluentes. •
Definicao informal 1.4 — Tempo
A fiabilidade decresce com o tempo, na medida em que quanto maior
for o tempo de operacao do sistema maior e a probabilidade de falha
do mesmo.1Escusamo-nos de definir este primeiro termo.
2
Atente-se, no entanto, que o tempo de operacao nem sempre e
medido em unidades de tempo. Pode se-lo em distancia percorrida
para um veıculo, ou turnos/ciclos de operacao para um operario, ou
ainda uma combinacao destas e outras medidas de “tempo”. •
Metodologias estatısticas/probabilısticas — Uma falha
e o resultado da accao conjunta de diversos factores
aleatorios/imprevisıveis intrınsecos ao sistema bem como das diversas
influencias do ambiente em que o sistema opera.
Assim, o tratamento adequado da fiabilidade de sistemas so pode
ser feito recorrendo a metodologias estatısticas/probabilısticas.
Teoria da fiabilidade — Corpo de ideias, modelos e metodos
destinados a solucao de problemas de estimacao/optimizacao da
probabilidade de sobrevivencia... ou, mais genericamente, da
distribuicao do
• tempo de vida de componentes, equipamento ou sistemas.
Outros dos problemas considerados em teoria da fiabilidade dizem
respeito ao calculo da probabilidade de funcionamento de um sistema
e da proporcao de tempo em que o sistema se encontra em
funcionamento.
Argumenta-se que a teoria da fiabilidade nao passa de uma simples
aplicacao da teoria das Probabilidades... Contudo os problemas
de fiabilidade possuem uma estrutura propria e tem estimulado o
desenvolvimento de novas areas em teoria das Probabilidades como:
• nocoes de envelhecimento estocastico (e tipos de monotonia);
• obtencao de resultados em teoria de renovamento como
resultado da comparacao de polıticas de substituicao.
3
Estrategias de manutencao — Algumas situacoes de fiabilidade
envolvem substituicoes, reparacoes e inspeccoes de componentes.
Estas operacoes basicas influenciam a fiabilidade de um sistema e
desempenham um papel crucial em estrategias/polıticas de
manutencao.
Testes de vida acelerados — De modo a induzir falhas em
equipamento muito fiavel, sao usados metodos de teste especiais
denominados de testes de vida acelerados.
Ha, fundamentalmente, tres formas distintas de acelerar um teste
de vida, i.e., reduzir o tempo de vida de produto submetido a teste:
• aumentar a taxa de utilizacao do produto (e.g., testar uma
torradeira 200 vezes ao dia);
• recorrer a temperaturas ou humidade elevadas e pouco usuais de
forma a aumentar a taxa de falha;
• aumentar factores de stresse (e.g., voltagem) de modo a que as
componentes se desgastem e falhem mais depressa.
Topico relacionado com fiabilidade — Os problemas estatısticos
de estimacao da funcao sobrevivencia da vida de um sistema/indivıduo
a partir de dados (eventualmente censurados) e uma serie de
outros tipos de inferencias (estimacao de parametros de modelos,
comparacoes de funcoes de sobrevivencia, etc.) sao alvo de estudo
em Analise de Sobrevivencia.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, p. xi); Leitch (1995,
pp. 1–5).
4
1.2 Breve nota historica
O surgimento da teoria da fiabilidade esta intimamente ligado a
necessidade de lidar com tecnologia moderna, em particular, com os
sistemas militares complexos durante a II Guerra Mundial.
Uma das primeiras areas de fiabilidade abordadas com alguma
sofisticacao matematica foi a da manutencao de maquinas
(Khintchine (1932) e Palm (1947)). As tecnicas usadas foram
inspiradas em outras ja utilizadas por Erlang e Palm em
problemas de dimensionamento de centrais telefonicas. As
primeiras tentativas para justificar o uso da distribuicao
de Poisson para o numero de chamadas em perıodos de
tempo fixos serviram de base para o uso da distribuicao
exponencial na caracterizacao dos tempos entre falhas de
equipamentos complexos (Epstein (1958)).
A aplicacao da teoria do renovamento em problemas de
substituicao de equipamento comecou por ser discutida por Lotka
(1939) e Campbell (1941).
A fadiga de materiais e um topico associado, a teoria de
valores extremos, foram estudados por Weibull (1939), Gumbel (1935),
Epstein (1948), etc. Gumbel (1958) fornece uma serie de ilustracoes
da adequacao de modelos extremais a representacao de tempos de
vida.
No inıcio da decada de 50, algumas areas da fiabilidade como
os testes de vida e os problemas de fiabilidade em equipamento
electronico, em mısseis e aeronaves mereceram grande atencao por
parte, quer de estatısticos, quer de engenheiros ligados a industria
5
armamentista e aeronautica.2
A popularidade da distribuicao exponencial em fiabilidade deve-
se em grande parte aos trabalhos de Davis (1952) e Epstein e Sobel
(1953). Contudo, a partir de 1955 e gracas aos trabalhos de Kao (1956,
1958) e Zelen-Dannemiller (1961), comecou a considerar-se seriamente
outros modelos para o tempo de vida, com destaque para o modelo
Weibull.
A fiabilidade de sistemas com interruptores electromagneticos
(“relays”) motivou o trabalho de Moore e Shannon (1956), estes
autores foram, por sua vez, estimulados pela tentativa de von
Neumann descrever certas operacoes do cerebro humano e a elevada
fiabilidade de organismos biologicos complexos.
Em 1956, G.Weiss introduz o uso de processos semi-
markovianos na resolucao de problemas de manutencao.
Motivados pelos problemas de vibracao surgidos na construcao
de aeronaves comerciais a jacto, Birnbaum e Saunders (1958)
introduzem um modelo estatıstico na descricao do tempo de vida de
estruturas sob sobrecarga dinamica. Este modelo permite exprimir
a distribuicao do tempo de vida em termos da carga e acabou por
sugerir o uso da distribuicao gama em determinadas situacoes.
A introducao de funcoes de estrutura de sistemas coerentes deve-
se ao trabalho de Birnbaum, Esary e Saunders (1961) e constitui uma
generalizacao de trabalho previo da autoria de Moore e Shannon.
Nos anos 70 deu-se especial enfase a problemas de fiabilidade
associados a seguranca de reactores nucleares e outros problemas
2Em 1950, a Forca Aerea dos E.U.A. formou o Group on Reliability of Electronic Equipmentpara recomendar medidas que aumentassem a fiabilidade do equipamento e diminuissem os custosde manutencao do equipamento.
6
de seguranca industrial.
Nos anos 80, deu-se particular atencao a fiabilidade de redes de
computadores, motivada pela Advanced Research Projects Agency
(ARPA), precursora da Internet e da World Wide Web (www).
Na decada de 90, Mendel tracou novas direccoes na investigacao
em fiabilidade, inspirado pela Fısica e fazendo uso da geometria
diferencial.
A competicao feroz no mercado e responsavel por aquele que e,
hoje, o grande desafio para a industria: o desenvolvimento de
produtos de complexidade crescente em pouco tempo mas com
elevados nıveis de qualidade e fiabilidade.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 1-5); Barlow
(1998, pp. xv-xvi).
7
1.3 Funcao de estrutura e outros conceitos
basicos
Em fiabilidade de sistemas constituıdos por diversas componentes tem
particular relevo alguns conceitos.
Definicao 1.5 — Ordem do sistema
Designacao dada ao numero de componentes de um sistema. E
usualmente representada por n (i = 1, . . . , n). •
Definicao 1.6 — Funcao de estrutura (“structure function”)
Numa perspectiva estatica pode definir-se a seguinte funcao
φ(X) =
1, se o sistema esta a funcionar
0, c.c.(1.1)
onde X = (X1, . . . , Xn) denota o vector de estado e
Xi =
1, se a componente i esta a funcionar
0, c.c.,(1.2)
para i = 1, . . . , n. Esta funcao sera doravante denominada de funcao
de estrutura. •
Definicao 1.7 — Fiabilidade
Define-se a custa do valor esperado da funcao estrutura,
r = P [φ(X) = 1] = E[φ(X)], (1.3)
logo corresponde a probabilidade de funcionamento. •
A funcao estrutura pode ser obtida sem grande dificuldade nos
seguintes exemplos. A fiabilidade de sistemas com componentes
independentes sera discutida posteriormente.
8
Exemplo 1.8 — Estrutura em serie
Uma estrutura em serie funciona sse o mesmo ocorrer com todas as
suas componentes. Assim,
φ(X) = min{X1, . . . , Xn} =n∏i=1
Xi. (1.4)
•
Exemplo 1.9 — Estrutura em paralelo
Uma estrutura em paralelo funciona desde que pelo menos uma das
suas componentes funcione. Logo
φ(X) = max{X1, . . . , Xn} = 1−n∏i=1
(1−Xi). (1.5)
•
Exemplo 1.10 — Estrutura k-de-n
Uma estrutura k − de − n funcionara sse funcionarem pelo menos k
das suas n componentes. Neste caso
φ(X) =
1, se
∑ni=1Xi ≥ k
0, c.c.(1.6)
Um aviao que e capaz de voar sse pelo menos 2 de 3 motores
funcionarem e um exemplo de uma estrutura 2− de− 3.
De notar que uma estrutura em serie (paralelo) corresponde a uma
estrutura n− de− n (1− de− n). •
Exercıcio 1.11 — Considere um sistema com 4 componentes.
Suponha que este sistema funciona sse tal acontecer com as
componentes 1 e 2, e se as componentes 3 ou 4 funcionarem.
Represente esquematicamente este sistema e prove que a sua funcao
estrutura e igual a X1×X2× (X3 +X4−X3×X4). (Ver Ross (2003,
pp. 549–550).) •
9
Exercıcio 1.12 — Considere um sistema de alta fidelidade composto
por:
• Gravador
• CD player
• Amplificador
• Altifalante A
• Altifalante B
Considera-se que o sistema esta a funcionar, caso se ouca musica
(amplificada) mono ou stereo, vinda do gravador ou do CD player.
Represente diagramaticamente este sistema e determine a sua
funcao estrutura (Barlow e Proschan (1975, p. 4)). •
Definicao 1.13 — Decomposicao fulcral (“Pivotal
decomposition”) da funcao de estrutura
A funcao de estrutura de um sistema pode ser decomposta do seguinte
modo:
φ(x) = xi φ(1i,x) + (1− xi)φ(0i,x) (1.7)
onde
• (1i,x) = (x1, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn) e
• (0i,x) = (x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn). •
Este resultado e particularmente importante pois permite
reescrever a funcao de estrutura de um sistema de ordem n a custa
das funcoes de estrutura de dois sub-sistemas de ordem n− 1.
10
Exercıcio 1.14 — Uma rede de tratamento de aguas residuais possui
o figurino abaixo onde i denota a estacao de tratamento i (i = 1, . . . 6).
Determine a funcao de estrutura por decomposicao fulcral em torno
da estacao de tratamento 4. •
Na proxima seccao sera apresentado um metodo alternativo de
obtencao da funcao de estrutura.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 1–6); Ross (2003,
pp. 547–550).
11
1.4 Estruturas coerentes
E desejavel que os sistemas nao possuam aquilo que se designa a seguir
por componentes irrelevantes.
Definicao 1.15 — Componente irrelevante
A i−esima componente de um sistema diz-se irrelevante caso a funcao
estrutura seja constante em xi, i.e.,
φ(1i,x) = φ(0i,x), (1.8)
para qualquer (•i,x), onde (1i,x) = (x1, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn) e
(0i,x) = (x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn). •
Exercıcio 1.16 — Prove que a componente 2 do sistema descrito na
Figura 1.1.15 de Barlow e Proschan (1975, p. 5)
e irrelevante. •
E natural assumir que a substituicao de uma componente
inoperacional por uma que funcione nunca conduza a deterioracao do
sistema. Ou por outra, e desejavel lidar com sistemas cuja funcao de
estrutura e monotona nao decrescente.
Definicao 1.17 — Estruturas coerentes (ou monotonas)3
Estas estruturas sao caracterizadas por possuırem funcao de
estrutura nao decrescente, i.e.
φ(x) ≤ φ(y), se xi ≤ yi, i = 1, . . . , n, (1.9)
e todas as componentes relevantes. •3Esta ultima designacao e preferida por Barlow e Proschan (1965/1996, p. 204).
12
Nota 1.18 — Estruturas coerentes
De notar que qualquer estrutura coerente possui funcao de estrutura
verificando:
• φ(1) = 1, onde 1 = (1, . . . , 1);
• φ(0) = 0, onde 0 = (0, . . . , 0). •
Exercıcio 1.19 — Represente todas as estruturas coerentes (a menos
de permutacoes das suas componentes) de ordem 1, 2 e 3 e determine
as respectivas funcoes de estrutura (Barlow e Proschan (1975, pp. 6–
7)). •
Teorema 1.20 — Estruturas coerentes
Sejam φmin(x), φmax(x) e φ(x) as funcoes de estrutura de sistemas
de ordem n em serie, em paralelo e de um sistema coerente generico,
respectivamente. Entao
φmin(x) ≤ φ(x) ≤ φmax(x). (1.10)
•
Este resultado permite-nos afirmar que o desempenho de qualquer
estrutura coerente e limitada inferiormente (resp. superiormente) pelo
desempenho de uma estrutura em serie (resp. paralelo).
Nota 1.21 — Estruturas coerentes
Qualquer estrutura coerente pode ser descrita como um sistema em
serie (resp. paralelo) cujas componentes sao por sua vez sub-sistemas
em paralelo (resp. serie). •
Exercıcio 1.22 — Descreva diagramaticamente um sistema 2-de-3 e
reescreva a sua funcao estrutura, tendo em conta a observacao anterior
(Ross (1989, p. 406)). •
13
As estruturas coerentes podem ser tambem descritas a custa de
caminhos e cortes. Para tal, considere-se que o vector x indica os
estados de um conjunto de n componentes, C = {1, . . . , n}.
Definicao 1.23 — Path vector e caminho (path set)
O vector x diz-se um path vector, caso φ(x) = 1. Ao conjunto de
ındices C1(x) = {i : xi = 1} da-se o nome de caminho (path set). •
Definicao 1.24 — Minimal path vector e caminho mınimo
(minimal path set)
O vector x diz-se um minimal path vector, se y < x ⇒ φ(y) = 0
para todo o y.4 Nesta situacao C1(x) e designado de caminho mınimo
(minimal path set). C1(x) corresponde a um conjunto de componentes
que permite o funcionamento do sistema; este conjunto nao inclui
qualquer componente irrelevante. •
Exercıcio 1.25 — Identifique os caminhos mınimos do sistema de 5
componentes, descrito em Ross (2003, p. 551).
•
Definicao 1.26 — Cut vector e corte (cut set)
O vector x diz-se um “cut vector”, caso φ(x) = 0. Ao conjunto de
ındices C0(x) = {i : xi = 0} da-se o nome de corte (cut set). •4y < x⇔ (yi ≤ xi (i = 1, . . . , n) e yi < xi para algum i.
14
Definicao 1.27 — Minimal cut vector e corte mınimo (minimal
cut set)
O vector x diz-se um “minimal cut vector”, se y > x ⇒ φ(y) = 1
para todo o y. Neste caso C0(x) diz-se um corte mınimo (“minimal
cut set”). C0(x) corresponde a um conjunto de componentes, todas
relevantes, sem as quais o sistema e incapaz de funcionar. •
Exercıcio 1.28 — Identifique path vectors, caminhos, caminhos
mınimos, cut vectors, cortes e cortes mınimos, no sistema em ponte
abaixo, descrito em Barlow e Proschan (1975, p. 9).
•
Nota 1.29 — Reescrita de sistemas coerentes
E possıvel escrever a funcao de estrutura de um sistema coerente
a custa de caminhos mınimos ou cortes mınimos. Para o efeito,
considere-se Pj o j-esimo caminho mınimo (j = 1, . . . , p) e a funcao
binaria com argumentos xi, i ∈ Pj
ρj(x) = mini∈Pj
xi =∏i∈Pj
xi (1.11)
que toma valor unitario, se todas as componentes do j-esimo caminho
mınimo estiverem a funcionar, e 0, caso contrario. Ou seja, ρj(x)
corresponde a funcao estrutura do sub-sistema em serie j cujas
componentes fazem parte do caminho mınimo Pj.
15
Analogamente, tome-se Kj o j-esimo corte mınimo (j = 1, . . . , q) e
a associe-se a funcao binaria com argumentos xi, i ∈ Kj
kj(x) = maxi∈Kj
xi = 1−∏i∈Kj
(1− xi) (1.12)
que toma valor 0, se todas as componentes do j-esimo corte mınimo
nao estiverem a funcionar, e 1, caso contrario. I.e., kj(x) corresponde
a funcao estrutura do sub-sistema em paralelo j cujas componentes
fazem parte do corte mınimo Kj. •
Teorema 1.30 — Reescrita de sistemas coerentes
Sejam P1, . . . ,Pp os caminhos mınimos e K1, . . ., Kq os cortes mınimos
da referida estrutura coerente. Entao
φ(x) = maxj=1,...,p
ρj(x) = maxj=1,...,p
mini∈Pj
xi
= 1−p∏j=1
1− ∏i∈Pj
xi
(1.13)
φ(x) = minj=1,...,q
kj(x) = minj=1,...,q
maxi∈Kj
xi
=q∏j=1
1− ∏i∈Kj
(1− xi) . (1.14)
I.e. uma estrutura original coerente pode ser pensada como uma
estrutura em paralelo (serie) constituıda por todos os sub-sistemas
em serie (paralelo) passıveis de se formar com as componentes que
constituem caminhos (cortes) mınimos. •
Exercıcio 1.31 — Obtenha a funcao de estrutura do sistema em
ponte a custa de um arranjo em paralelo (serie) dos caminhos (cortes)
mınimos (Barlow e Proschan (1975, pp. 10–11) e Gertsbakh (1995,
p. 6)). •
16
Exercıcio 1.32 — A Figura 1.2 de Gertsbakh (1995, p. 4) descreve
um sistema de (re)distribuicao de agua a tres cidades C1, C2 e C3 a
partir de uma central de fornecimento de agua W .
Diz-se que o sistema de (re)distribuicao de agua esta operacional se
as tres cidades receberem agua.
Obtenha a funcao de estrutura deste sistema recorrendo ou a uma
decomposicao fulcral, ou a caminhos mınimos, ou a cortes mınimos. •
Motivacao 1.33 — Importancia estrutural relativa das
componentes
Em certos sistemas coerentes, algumas componentes sao mais
importantes que outras na medida em que elas sao determinantes para
o funcionamento do sistema. Por exemplo, se uma das componentes
esta em serie com o resto do sistema entao pode parecer que seja tao
importante quanto qualquer outra.
E, pois, importante que o analista disponha de uma medida da
importancia das componentes individuais. •
Definicao 1.34 — Path vector crıtico e caminho crıtico para i
Um path vector diz-se crıtico para a componente i sse φ(1i,x) = 1 e
φ(0i,x) = 0, i.e.,
φ(1i,x)− φ(0i,x) = 1. (1.15)
O conjunto de ındices Ci(1i,x) e denominado de caminho crıtico para
i. •
17
Definicao 1.35 — Importancia estrutural relativa da
componente i
O numero de “path vectors”crıticos para i e dado por
nφ(i) =∑
{x: φ(x)=1, xi=1}[φ(1i,x)− φ(0i,x)] (1.16)
e a importancia estrutural relativa da componente i definida por
Iφ(i) =nφ(i)
2n−1 (1.17)
e corresponde a proporcao de “path vectors”crıticos para i face aos
vectores de estado x caracterizados por xi = 1. •
Exercıcio 1.36 — Determine a importancia estrutural relativa das
componentes de um sistema em serie de ordem 3. •
Exercıcio 1.37 — Calcule a importancia estrutural relativa das
componentes de uma estrutura 2− de− 3 (Barlow e Proschan (1975,
p. 14)). •
Exercıcio 1.38 — Admita que um sistema tem funcao de estrutura
φ(x) = x1 [1− (1− x2)(1− x3)].
Descreva diagramaticamente este sistema e obtenha a importancia
estrutural de cada uma das suas tres componentes (Barlow e Proschan
(1975, p. 14)). •
Exercıcio 1.39 — Calcule a importancia estrutural de cada uma das
cinco componentes do sistema em ponte (Barlow e Proschan (1975,
p. 16). •
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 1–19); Ross (1993,
pp. 404-411).
18
1.5 Fiabilidade de sistemas com componentes
independentes
Considere-se, doravante, que Xi representa o estado da componente
i e que pi = P (Xi = 1) = 1 − P (Xi = 0), i = 1, . . . , n denota a
fiabilidade da componente i. E seja p = (p1, . . . , pn) o vector das
fiabilidades das componentes e considere-se nesta seccao que quaisquer
componentes funcionam de modo independente.
A fiabilidade de um sistema corresponde a probabilidade de este
estar a funcionar, i.e., caso a fiabilidade se represente por r, tem-se
r = P [φ(X) = 1].
Definicao 1.40 — Fiabilidade
Ao lidarmos com componentes que funcionam de modo independente,5
a fiabilidade do sistema e passıvel de escrever-se a custa do vector p
das fiabilidades das componentes:
r = r(p) = P [φ(X) = 1]. (1.18)
Mais, pelo facto de φ(X) ser uma v.a. com distribuicao de Bernoulli
tem-se
r = r(p) = E[φ(X)]. (1.19)
•
Exemplo 1.41 — Fiabilidade
As estruturas em serie e em paralelo com componentes independentes
possuem fiabilidades iguais a
r(p) = E[φ(X)] = E
n∏i=1
Xi
=n∏i=1
pi (1.20)
5Ou seja, as v.a.X1, . . . , Xn sao independentes.
19
r(p) = E[φ(X)] = E
1− n∏i=1
(1−Xi)
= 1−n∏i=1
(1− pi), (1.21)
respectivamente.
Por seu lado, caso pi = p, a estrutura k−de−n possuem fiabilidade
dada por
r(p) = E[φ(X)]
= P
n∑i=1
Xi ≥ k
=
n∑i=k
n!
i! (n− i)!pi(1− p)n−i. (1.22)
(Justifique!) •
Exercıcio 1.42 — Compare a fiabilidade das estruturas em serie e
paralelo descritas no Exemplo 1.41. •
Exercıcio 1.43 — Considere uma estrutura com 4 componentes que
funciona quando tal acontece com as componentes 1 e 4 e pelo menos
1 das duas restantes componentes se encontra operacional.
Obtenha a fiabilidade desta estrutura (Ross (2003, p. 556)). •
Nota 1.44 — Calculo da fiabilidade
De modo a calcular r(p) quando existem caminhos mınimos (cortes
mınimos) com componentes em comum e necessario:
• em primeiro lugar, multiplicar todos os termos de φ(X);
• tirar partido do facto de Xiindep∼ Bernoulli(pi) e Xk
i =st Xi,
k ∈ IN de modo a reescrever φ(X);
• por fim, calcular os valores esperados de todas as parcelas de
φ(X).
20
O calculo exacto da fiabilidade pode fazer-se tambem por recurso
a uma soma envolvendo todos os 2n vectores x:
r(p) = E[φ(X)]
=∑xφ(x)P (X = x)
=∑x
φ(x)n∏i=1
pxii (1− pi)1−xi
=∑
{x:φ(x)=1}P (X = x)
=∑
{x:φ(x)=1}
n∏i=1
pxii (1− pi)1−xi . (1.23)
•
Exercıcio 1.45 — Prove que a fiabilidade de uma estrutura do tipo
2−de−3, constituıda por componentes independentes com fiabilidades
distintas p1, p2, p3, e igual a p1p2 + p1p3 + p2p3 − 2p1p2p3 (Ross (2003,
p. 555)).
Note tambem que
r(p) = E[1− (1−X1X2)(1−X1X3)(1−X2X3)]
6= 1− E(1−X1X2)E(1−X1X3)E(1−X2X3)]
= 1− (1− p1p2)(1− p1p3)(1− p2p3) (1.24)
ja que os caminhos mınimos tem componentes em comum e como tal
nao sao v.a. independentes. •
Exercıcio 1.46 — Obtenha agora a fiabilidade de uma estrutura 3−de − 4, constituıda por componentes independentes com fiabilidades
distintas p1, p2, p3, p4 (Ross (2003, p. 556)). •
Exercıcio 1.47 — Determine a fiabilidade do sistema em ponte ja
descrito (Gertsbakh (1995, p. 10)). •
21
A fiabilidade de sistemas coerentes com componentes independentes
possui entre outras caracterısticas as enunciadas a seguir.
Teorema 1.48 — Monotonia da fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de um sistema com componentes independentes
e funcao de estrutura monotona. Entao r(p) e uma funcao monotona
crescente de p. •
Exercıcio 1.49 — Demonstre o Teorema 1.48.6 •
Teorema 1.50 — Decomposicao fulcral (pivotal decomposition)
da fiabilidade
A semelhanca do que acontece com a funcao de estrutura, a fiabilidade
de um sistema pode ser decomposta do seguinte modo
r(p) = pi r(1i,p) + (1− pi) r(0i,p) (1.25)
onde: (1i,p) = (p1, . . . , pi−1, 1, pi+1, . . . , pn) e (0i,p) = (p1, . . . , pi−1, 0,
pi+1, . . . , pn); r(1i,p) representa a fiabilidade de um sistema cuja
componente i foi substituıda por outra absolutamente fiavel; r(0i,p)
representa a fiabilidade do sistema cuja componente i ja falhou. •
O Teorema 1.50 permite concluir que r(p) e multilinear, ou seja, e
linear em cada pi. Para alem disso, quando p1 = . . . = pn = p, r(p) e
um polinomio em p.
O exercıcio seguinte ilustra a utilidade da decomposicao fulcral da
fiabilidade.
6Para mais detalhes acerca desta demonstracao, consulte-se Ross (2003, p. 557).
22
Exercıcio 1.51 — Considere o sistema de (re)distribuicao de agua
a tres cidades a partir de uma central de fornecimento de agua W ,
descrito do Exercıcio 1.32.
Obtenha a fiabilidade deste sistema recorrendo para tal a
decomposicoes fulcrais (Gertsbakh (1995, pp. 11–12)). •
Teorema 1.52 — Outra propriedade de monotonia da
fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de uma estrutura coerente. Entao r(p) e
estritamente crescente para qualquer pi e para 0� p� 1.7 •
Definicao 1.53 — Replicacao de componentes/sistemas
Sejam:
• r a fiabilidade de um sistema de ordem n;
• p e p′ dois vectores das fiabilidades das componentes.
Entao:
• Replicacao ao nıvel das componentes — Um sistema diz-
se replicado ao nıvel das componentes, caso qualquer das suas
componentes i (i = 1, . . . , n) seja substituıda por um (sub-
)sistema em paralelo com duas componentes independentes com
probabilidades de funcionamento iguais a pi e p′i.
• Replicacao ao nıvel do sistema — Ao substituir-se um sistema
por outro dois similares colocados em paralelo, cujos vectores
de fiabilidade das componentes sao dados por p e p′, diz-se ter
efectuado uma replicacao ao nıvel do sistema. •
7a� b⇔ ai < bi, i = 1, . . . , n.
23
Exercıcio 1.54 — Sejam:
• r a fiabilidade de um sistema coerente com componentes
independentes;
• p e p′ os vectores das fiabilidades das componentes e das
componentes resultantes da replicacao, respectivamente.
Prove que uma replicacao ao nıvel do sistema esta associada a
fiabilidade
1− [1− r(p)][1− r(p′)]. (1.26)
Demonstre ainda que, ao efectuar uma replicacao ao nıvel das
componentes, passa-se a lidar com um sistema com fiabilidade igual a
r[1− (1− p) • (1− p′)], (1.27)
onde a operacao • representa o produto componente a componente
entre dois vectores e 1 − (1 − pi)(1 − p′i) representa a fiabilidade do
subsistema resultante da replicacao da componente i. (Para mais
detalhes, Ross (2003, p. 557).) •
Exercıcio 1.55 — Calcule a fiabilidade de um sistema em serie com
duas componentes (independentes e com fiabilidade pi = p′i = 0.5) e
compare-a com as fiabilidades do sistema replicado ao nıvel do sistema
e das componentes (Ross (2003, p. 558)). Comente. •
O exercıcio sugere o seguinte resultado, que, por sinal, responde
a uma questao pertinente — O que sera preferıvel, caso se pretenda
maximizar a fiabilidade do sistema,
• a replicacao ao nıvel das componentes ou
• a replicacao ao nıvel do sistema?
24
Teorema 1.56 — Fiabilidade face a replicacao de
componentes/sistemas
Sejam:
• r a fiabilidade de um sistema coerente com componentes
independentes;
• p e p′ os vectores das fiabilidades das componentes e das
componentes resultantes da replicacao, respectivamente.
Entao
r[1− (1− p) • (1− p′)] ≥ 1− [1− r(p)][1− r(p′)], (1.28)
i.e., a replicacao ao nıvel das componentes e preferıvel a replicacao ao
nıvel do sistema. •
Exercıcio 1.57 — Prove o Teorema 1.56 (Ross (2003, p. 558)). •
Exercıcio 1.58 — Determine a fiabilidade de um sistema com tres
componentes, que esta operacional, caso a componente 1 funcione e
o mesmo aconteca com a componente 2 ou a 3. Ilustre graficamente
o resultado do Teorema 1.56 considerando replicacoes ao nıvel das
componentes e do sistema e pi = p′i = p, i = 1, . . . , n (Barlow e
Proschan (1975, p. 23)). •
Ao estudar-se a funcao de estrutura definiu-se a importancia
estrutural da componente i de um sistema. E altura de definir a
importancia da fiabilidade da componente i de um sistema.
25
Definicao 1.59 — Importancia da fiabilidade da componente
i
Analogamente pode falar-se na importancia da fiabilidade da
componente i de um sistema que, ao recorrer-se-a decomposicao fulcral
da fiabilidade, se escreve:
Ir(i) =∂r(p)
∂pi= r(1i,p)− r(0i,p)
= E[φ(1i,X)]− E[φ(0i,X)]. (1.29)
•
Exercıcio 1.60 — Admita que as n componentes de um sistema
foram numeradas por ordem crescente da sua fiabilidade: p1 ≤ . . . ≤pn. Determine a importancia da fiabilidade das componentes de um
sistema em serie e compare-as.
Repita os calculos para um sistema em paralelo e de seguida para um
sistema 2− de− 3 (Barlow e Proschan (1975, pp. 27–28)). •
Nota 1.61 — Importancia da fiabilidade da componente i
A importancia da fiabilidade da componente i pode ser usada para
avaliar o impacto de uma alteracao da fiabilidade (pi) de tal
componente na fiabilidade do sistema.
Com efeito,
∆r(p) 'n∑i=1
Ir(i) ∆pi (1.30)
representa a perturbacao na fiabilidade do sistema devido a
perturbacoes ∆pi nas fiabilidades das componentes. •
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 20–28); Gertsbakh
(1995, pp. 9–16); Ross (1993, pp. 411-5); Ross (2003, pp. 554-8).
26
1.6 Associacao e limites para a fiabilidade
A obtencao de expressoes e valores exactos para a fiabilidade nem
sempre e tarefa facil. Por esta razao serao adiantados alguns limites
inferiores e superiores para esta quantidade, limites esses grosseiros
mas faceis de obter e muitas vezes utilizados pelos fabricantes, na
informacao dada ao cliente.
Antes de os enunciar e refinar, sera necessaria uma definicao.
Definicao 1.62 — Variaveis associadas (positivamente)
As v.a.T1, . . . , Tn (nao necessariamente binarias) dizem-se associadas
(positivamente) sse
cov(Γ(T),∆(T)) ≥ 0 (1.31)
para qualquer par de funcoes binarias Γ e ∆. •
As v.a. independentes sao, por sinal, associadas (positivamente).
Teorema 1.63 — Limites para a fiabilidade
Caso X1, . . . , Xn sejam v.a. binarias associadas (positivamente), tem-
se:
P ( mini=1,...,n
Xi = 1) ≥n∏i=1
P (Xi = 1) (1.32)
P ( maxi=1,...,n
Xi = 1) ≤ 1−n∏i=1
[1− P (Xi = 1)]. (1.33)
•
Nota 1.64 — Limites para a fiabilidade
Pode concluir-se que, ao assumir-se que as componentes de um
sistema em serie sao independentes quando de facto sao associadas
(positivamente), subestimar-se-a a fiabilidade do sistema, ou seja,
27
estar-se-a a atribuir um valor a fiabilidade inferior ou igual ao seu
verdadeiro valor.
O resultado inverte-se para um sistema em paralelo. •
Teorema 1.65 — Limites para a fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de sistema constituıdo por componentes
associadas (positivamente). Entao:
n∏i=1
pi ≤ r(p) = P [φ(X) = 1] ≤ 1−n∏i=1
(1− pi). (1.34)
Estes limites para a fiabilidade podem ser melhorados caso se
lide com sistema coerente, constituıdo por componentes associadas
(positivamente), e com caminhos mınimos P1, . . . ,Pp e cortes mınimos
K1, . . . ,Kq:q∏j=1
P [kj(X) = 1] ≤ r(p)
≤ 1−p∏j=1{1− P [ρj(X) = 1]}. (1.35)
onde, recorde-se,
ρj(x) = mini∈Pj
xi =∏i∈Pj
xi (1.36)
kj(x) = maxi∈Kj
xi = 1−∏i∈Kj
(1− xi). (1.37)
•
Nota 1.66 — Limites para a fiabilidade em termos de
caminhos/cortes mınimos
(1.34) pode traduzir-se do seguinte modo: a fiabilidade de um
sistema com componentes associadas (positivamente) e enquadrada
pela fiabilidade de sistemas em serie e em paralelo com componentes
independentes.
28
Por seu lado, (1.35) corresponde ao enquadramento da fiabilidade
de um sistema coerente com componentes associadas (positivamente)
pela fiabilidade de um sistema em serie (paralelo) constituıdo por sub-
sistemas em paralelo (serie) cujas componentes pertencem a cortes
(caminhos) mınimos. •
Exercıcio 1.67 — Obtenha os limites inferiores e superiores,
definidos em (1.34), para a fiabilidade de uma estrutura em ponte
com componentes independentes e com fiabilidade comum pi = p
(p = 0.9, 0.95, 0.99). Compare os limites obtidos com os da fiabilidade
desta estrutura. Comente. •
Os limites para a fiabilidade podem ser explicitados a custa das
fiabilidades das componentes quando estas sao independentes como se
vera de seguida.
Teorema 1.68 — Limites para a fiabilidade em termos de
caminhos/cortes mınimos
Seja r(p) a fiabilidade de um sistema com componentes independentes.
Entao:q∏j=1
1− ∏i∈Kj
(1− pi) ≤ r(p) ≤ 1−
p∏j=1
1−∏i∈Pj
pi
. (1.38)
•
Exercıcio 1.69 — Considere a rede com dois terminais
29
descrita pela Figura 2.3.1 de Barlow e Proschan (1975, p. 35).
Obtenha um limite inferior e outro superior para a fiabilidade
deste sistema assumindo que as suas componentes sao independentes
e possuem todas fiabilidade igual a p. •
Tirando partido do facto de a funcao de estrutura se poder escrever
do seguinte modo
φ(x) = maxj=1,...,p
ρj(x) = maxj=1,...,p
mini∈Pj
xi (1.39)
φ(x) = minj=1,...,q
kj(x) = minj=1,...,q
maxi∈Kj
xi, (1.40)
podem adiantar-se limites adicionais para a fiabilidade de um sistema.
Teorema 1.70 — Limites Min-Max para a fiabilidade
Seja r(p) a fiabilidade de um sistema coerente. Entao a fiabilidade
pode ser enquadrada da seguinte forma
maxj=1,...,p
P (mini∈Pj
Xi = 1) ≤ r(p) ≤ minj=1,...,q
P (maxi∈Kj
Xi = 1). (1.41)
Se para alem disso as componentes estiverem associadas
(positivamente), tem-se
maxj=1,...,p
∏i∈Pj
pi ≤ r(p) ≤ minj=1,...,q
1− ∏i∈Kj
(1− pi) . (1.42)
•
Exercıcio 1.71 — Obtenha os limites enunciados no teorema
anterior para os seguintes sistemas com componentes associadas e com
pi = p:
a) sistema de alta fidelidade descrito no Exercıcio 1.12 e na Figura
1.1.4 de Barlow e Proschan (1975, p. 4);
30
b) sistema em ponte. •
Exercıcio 1.72 — Considere um sistema 2−de−3 com componentes
independentes, possuindo cada uma delas fiabilidade p.
Compare os limites em (1.38) e os limites Min-Max (1.42) e
identifique as gamas de valores de p para os quais e preferıvel usar
os limites Min-Max. •
Em Ross (2003, pp. 560–568) pode encontrar-se a descricao de um
metodo alternativo para a obtencao de limites inferiores e superiores
para a fiabilidade: o metodo da inclusao e exclusao.
Este metodo baseia-se numa formula bem conhecida da reuniao dos
eventos E1, . . . , En,
P (∪ni=1Ei) =n∑i=1
P (Ei)−∑i<j
∑P (Ei ∩ Ej)
+∑ ∑
i<j<k
∑P (Ei ∩ Ej ∩ Ek)
− . . .+ (−1)n+1P (E1 ∩ E1 ∩ . . . ∩ En), (1.43)
e, em particular, nas seguintes desigualdades:
P (∪ni=1Ei) ≤n∑i=1
P (Ei) (1.44)
P (∪ni=1Ei) ≥n∑i=1
P (Ei)−∑i<j
∑P (Ei ∩ Ej) (1.45)
P (∪ni=1Ei) ≤n∑i=1
P (Ei)−∑i<j
∑P (Ei ∩ Ej)
+∑ ∑
i<j<k
∑P (Ei ∩ Ej ∩ Ek) (1.46)
≥ . . .
≤ . . .
31
Teorema 1.73 — Limites para a fiabilidade pelo metodo da
inclusao e exclusao
Sejam:
• r(p) a fiabilidade de um sistema coerente;
• Pi (i = 1, . . . , p) os caminhos mınimos;
• Ei o evento que representa o funcionamento de todas as
componentes que pertencem ao caminho mınimo Pi ;
• Ki (i = 1, . . . , q) os cortes mınimos;
• Fi o evento que representa o nao funcionamento de todas as
componentes que pertencem ao corte mınimo Ki.
Entao
r(p) = P
p⋃i=1
Ei
(1.47)
1− r(p) = P
q⋃i=1
Fi
, (1.48)
pelo que pode adiantar-se que a fiabilidade pode ser enquadrada da
seguinte forma:
r(p) ≤p∑i=1
P (Ei) (1.49)
r(p) ≥p∑i=1
P (Ei)−∑i<j
∑P (Ei ∩ Ej) (1.50)
r(p) ≤p∑i=1
P (Ei)−∑i<j
∑P (Ei ∩ Ej)
+∑ ∑
i<j<k
∑P (Ei ∩ Ej ∩ Ek), (1.51)
onde
P (Ei ∩ Ej) =∏
l∈Pi∪Pjpl , (1.52)
32
1− r(p) ≤q∑i=1
P (Fi) (1.53)
1− r(p) ≥q∑i=1
P (Fi)−∑i<j
∑P (Fi ∩ Fj) (1.54)
1− r(p) ≤q∑i=1
P (Fi)−∑i<j
∑P (Fi ∩ Fj)
+∑ ∑
i<j<k
∑P (Fi ∩ Fj ∩ Fk) (1.55)
onde
P (Fi ∩ Fj) =∏
l∈Ki∪Kj(1− pl). (1.56)
•
Exercıcio 1.74 — Baseie-se no teorema anterior de modo a obter
limites inferiores e superiores para a fiabilidade de um sistema em
ponte constituıdo por componentes independentes com fiabilidades
pi = p (Ross (2003, p. 563)).
Compare estes limites com os obtidos para o mesmo sistema no
Exercıcio 1.71.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 29–39); Ross (2003,
pp. 559–571).
33
Capıtulo 2
Estatısticas ordinais e tempos de
vida de estruturas usuais em
fiabilidade
2.1 Introducao
Antes de nos debrucarmos sobre as estatısticas ordinais e a sua
pertinencia no contexto da fiabilidade convem referir que, numa
perspectiva dinamica/temporal, devem considerar-se as seguintes
quantidades importantes.
Definicao informal 2.1 — Tempo de vida da componente i
A componente i ve o seu tempo de vida (tempo ate falha) representado
por Ti. Trata-se de uma v.a. nao negativa. •
Definicao informal 2.2 — Tempo de vida do sistema
E representado por T e depende (exclusivamente) das duracoes de vida
das n componentes, i.e., de T1, . . . , Tn. •
Definicao 2.3 — Funcao de fiabilidade (de um sistema)
Expressa a probabilidade do sistema desempenhar as funcoes
requeridas sob certas condicoes num intervalo de tempo fixo,
34
usualmente [0, t]. Esta funcao e usualmente representada por R(t)
(ou RT (t)) e assume-se que R(0) = 1.
Do ponto de vista qualitativo a fiabilidade pode ser definida como a
capacidade de um sistema se manter funcional sem interrupcoes (pelo
menos) ate ao instante t.1 Logo, corresponde a funcao de sobrevivencia
de T , i.e.,
RT (t) = F T (t) = 1− FT (t) = P (T > t). (2.1)
•
Motivacao 2.4 — Importancia das estatısticas ordinais em
fiabilidade
Prende-se essencialmente com dois factos:
• o tempo de vida T de uma estrutura pode exprimir-se como
funcao de estatısticas ordinais envolvendo os tempos de vida das
componentes da estrutura, T1, . . . , Tn;
• em testes de vida/analise de sobrevivencia e usual inferir sobre
parametros de T usando amostras censuradas, donde se faca
uso de verosimilhancas que estao associadas a f.d.p. de certo
numero de estatısticas ordinais. •
Ao assumir-se que os tempos de vida T1, . . . , Tn sao v.a. i.i.d.
com f.d. comum F (t) = P (Ti ≤ t), i = 1, . . . , n, pode obter-se a
funcao de fiabilidade (ou sobrevivencia) RT (t) = P (T > t) de algumas
estruturas usuais em fiabilidade sem grande dificuldade.
1Isto nao significa que as “partes redundantes”do sistema nao possam falhar e ser reparadas.
35
Exemplo 2.5 — Tempo de vida de estrutura em serie
E sabido que uma estrutura em serie funciona sse o mesmo ocorrer
com todas as suas componentes. Assim, o tempo de vida corresponde
a estatıstica ordinal
T = min{T1, . . . , Tn} = T(1) (2.2)
e a funcao de fiabilidade e dada por
RT (t) = P (Ti > t, i = 1, . . . , n)
= [F (t)]n
= [R(t)]n, (2.3)
onde F (t) = 1− F (t) = R(t). •
Exemplo 2.6 — Tempo de vida de estrutura em paralelo
Uma estrutura em paralelo funciona desde que pelo menos uma das
suas componentes funcione, pelo que o tempo de vida da estrutura e
a estatıstica ordinal
T = max{T1, . . . , Tn} = T(n) (2.4)
e a funcao de fiabilidade associada igual a
RT (t) = 1− P (Ti ≤ t, i = 1, . . . , n)
= 1− [F (t)]n
= 1− [1−R(t)]n. (2.5)
•
Exemplo 2.7 — Tempo de vida de estrutura k-de-n
O tempo de vida de uma estrutura k− de− n tambem esta associado
a uma estatıstica ordinal:
T = T(n−k+1). (2.6)
36
Ao considerar-se k = n (resp. k = 1) lida-se com o tempo de vida de
uma estrutura em serie (resp. paralelo).
A funcao de fiabilidade de T obtem-se recorrendo a seguinte v.a.
auxiliar:
Zt = numero de T ′is > t ∼ binomial(n, F (t)). (2.7)
Com efeito, a funcao de fiabilidade de uma estrutura k− de− n pode
escrever-se a custa da f.d. da v.a. auxiliar com distribuicao binomial:
RT (t) = P (Zt ≥ k)
= 1− P (Zt ≤ k − 1)
= 1− Fbinomial(n,F (t))(k − 1)
= P (n− Zt ≤ n− k)
= Fbinomial(n,F (t))(n− k). (2.8)
•
Nota 2.8 — Importa notar que a funcao de fiabilidade de um sistema
de ordem n, coerente e com componentes independentes pode escrever-
se a custa da fiabilidade do sistema (r) e das funcoes de fiabilidade
das componentes (R1(t), . . . , Rn(t)):
RT (t) = r(p(t)) = r((R1(t), . . . , Rn(t))). (2.9)
•
Exercıcio 2.9 — Determine a funcao de fiabilidade de uma estrutura
2 − de − 3 com componentes independentes e funcao de fiabilidade
comum F (t), recorrendo a (2.8) e a (2.9). •
Exercıcio 2.10 — Obtenha as funcoes de fiabilidade de estruturas
em serie e em paralelo, assumindo que os tempos de vida possuem
distribuicoes distintas embora independentes. •
37
Exercıcio 2.11 — Considere um sistema em serie constituıdo por n
componentes independentes. Determine a funcao de fiabilidade do
sistema considerando que o tempo de vida da componente i possui
distribuicao:
a) exponencial(λi), i.e., FTi(t) = 1− exp(−λi t), t ≥ 0;
b) Uniforme(0, θ), i.e., fTi(t) = θ−1, 0 ≤ t ≤ θ;
c) Weibull(λ, β), i.e., FTi(t) = 1− exp[−(t/λ)β], t ≥ 0. •
Deduza agora a funcao de fiabilidade dos sistemas em paralelo com
componentes com as distribuicoes acima. •
Nota 2.12 — Obtencao do valor esperado e variancia a custa
da funcao de fiabilidade
Tratando-se a vida T de uma v.a. nao negativa, pode adiantar-se que:
E(T ) =∫ ∞0RT (t)dt (2.10)
E(T 2) = 2∫ ∞
0t RT (t)dt (2.11)
V (T ) = 2∫ ∞
0t RT (t)dt−
(∫ ∞0RT (t)dt
)2. (2.12)
•
Exercıcio 2.13 — Defina a vida do sistema descrito pela Figura 1.5
de Gertsbakh (1995, pp. 15–16) e determine a sua funcao de fiabilidade.
38
Calcule o valor esperado e variancia do tempo de vida do sistema na
situacao em que os tempos de vida das componentes sao independentes
e possuem distribuicao exponencial(1). •
Exercıcio 2.14 — Obtenha o valor esperado do tempo de vida de um
sistema em serie com tres componentes independentes e distribuıdas
uniformemente no intervalo (0, 10). •
Exercıcio 2.15 — Obtenha a funcao de fiabilidade do sistema
descrito na Figura 1.7 de Gertsbakh (1995, p. 29), considerando que
os tempos de vida das 5 componentes sao independentes e possuem
distribuicao exponencial(λi).
Calcule o valor esperado do tempo de vida deste sistema. •
Exercıcio 2.16 — Um sistema tem a configuracao descrita pela
Figura 1.11 de Gertsbakh (1995, p. 32), i.e., dois modulos em paralelo,
com n e m componentes independentes dispostas em serie.
Deduza a funcao de fiabilidade RT (t), caso
as componentes do primeiro (segundo) dos
modulos possuam com distribuicao exponencial(λ)
(exponencial(µ)). Obtenha tambem E(T ) e V (T ). •
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 140–3); Ross (2003,
pp. 571–586).
39
2.2 Associacao e limites para a funcao de
fiabilidade
Ao contrario do que seria de esperar, nao abundam expressoes para
limites inferiores e superiores para a funcao de fiabilidade.
Antes de os enunciar e necessario relembrar que as v.a. contınuas
T1, . . . , Tn dizem-se associadas (positivamente) sse cov(Γ(T),∆(T)) ≥0 para qualquer par de funcoes binarias Γ e ∆.
Teorema 2.17 — Limites para a funcao de fiabilidade
Para v.a.T1, . . . , Tn associadas (positivamente) nao necessariamente
binarias, tem-se
P (T1 > t1, . . . , Tn > tn) ≥n∏i=1
P (Ti > ti) (2.13)
P (T1 ≤ t1, . . . , Tn ≤ tn) ≥n∏i=1
P (Ti ≤ ti). (2.14)
Consequentemente tem-se, para sistemas em serie e paralelo:
RT(1)(t) = P ( min
i=1,...,nTi > t) ≥
n∏i=1
P (Ti > t) (2.15)
RT(n)(t) = P ( max
i=1,...,nTi > t) ≤ 1−
n∏i=1
[1− P (Ti > t)] (2.16)
•
Nota 2.18 — Limites para a funcao de fiabilidade
Ao assumir-se que as componentes de um sistema em serie sao
independentes quando de facto sao associadas (positivamente),
subestimar-se-a a funcao de fiabilidade do sistema, i.e., estar-se-a
a atribuir um valor a funcao de fiabilidade inferior ou igual ao seu
verdadeiro valor.
O resultado inverte-se para um sistema em paralelo. •
40
Teorema 2.19 — Limites para a funcao de fiabilidade
Seja RT (t) a funcao de fiabilidade de um sistema constituıdo
por componentes com tempos de vida T1, . . . , Tn associados
(positivamente) e com funcoes de fiabilidade R1(t), . . . , Rn(t). Entao
a funcao de fiabilidade verifica
n∏i=1
Ri(t) ≤ RT (t) ≤ 1−n∏i=1
[1−Ri(t)]. (2.17)
•
Nota 2.20 — Limites para a funcao de fiabilidade
O resultado (2.17) traduz-se do seguinte modo: a funcao de fiabilidade
de um sistema nas condicoes do Teorema 2.19 e superior (inferior) a
de um sistema em serie (paralelo) com componentes independentes. •
Exercıcio 2.21 — Obtenha limites para a funcao de fiabilidade de
um sistema 2−de−3 com componentes associadas e exponencialmente
distribuıdas com tempo esperado de vida igual a λ−1.
Elabore um grafico com estes limites e com a funcao de fiabilidade
de um sistema 2− de− 3 com componentes i.i.d. a Exp(λ). •
Teorema 2.22 — Outros limites para a funcao de fiabilidade
Sejam:
• RT (t) a funcao de fiabilidade de um sistema coerente constituıdo
por componentes com tempos de vida T1, . . . , Tn associados
(positivamente) e com funcoes de fiabilidade R1(t), . . . , Rn(t);
• Pj (j = 1, . . . , p) e Kj (j = 1, . . . , q) os caminhos mınimos e os
cortes mınimos deste sistema.
41
Entao a funcao de fiabilidade pode ser enquadrada do seguinte modo:
maxj=1,...,p
∏i∈Pj
Ri(t)
≤ RT (t) ≤ minj=1,...,q
1−∏i∈Kj
[1−Ri(t)]
. (2.18)
•
Exercıcio 2.23 — Retome o Exercıcio 2.21 e obtenha novos limites
para a funcao de fiabilidade do sistema.
Elabore um grafico que permita confrontar estes limites com os
obtidos naquele exercıcio. •
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 29–39, 150).
42
2.3 Mecanismos de censura
Nesta seccao pretende ilustrar-se brevemente de que modo as
estatısticas ordinais (para alem do maximo e do mınimo) sao uteis
em fiabilidade, nomeadamente na estimacao de parametros.
Este tema sera aprofundado no Capıtulo 5 aquando da discussao
de inferencias sobre modelos para diferentes tipos de ensaio ou teste.
Em fiabilidade e frequente recolher dados/tempos de avaria de
equipamento e sera com este tipo de dados que se introduzira a nocao
de censura/dados censurados.
Ao colocar-se em teste n componentes/equipamentos, com o
objectivo de inferir sobre o tempo de vida dessas componentes —
naquilo que se designa usualmente por teste de vida —, pode recolher-
se todos os instantes de avaria das componentes, t1, . . . , tn.
Pode tambem optar-se pelo registo do instante da primeira avaria,
t(1), da segunda avaria, t(2), e assim por diante, sem se ter em
consideracao quais das componentes avariaram. Esta-se neste caso
a registar as observacoes de estatısticas ordinais, T(1), T(2), . . . , T(n),
e nao as concretizacoes das v.a.s T1, T2, . . . , Tn.
Uma das vantagens do registo destas observacoes ordenadas prende-
se com o facto de o teste de vida poder terminar antes que todas as
componentes avariem sem que se perca muita informacao, poupando-
se no entanto muito tempo de teste.
A este tipo de recolha de informacao denomina-se de amostragem
censurada.
Por exemplo, 90% das lampadas colocadas em teste pode fundir-
se ao fim de um ano e algumas das restantes poderao vir a fundir-se
somente daı a tres anos...
43
As inferencias sobre o tempo de vida dessas componentes podem
basear-se directamente em estatısticas ordinais (T(1), T(2), . . . , T(n)). E
uma vez que estas sao funcao da amostra aleatoria (T1, T2, . . . , Tn)
pode obter-se a f.d.p. conjunta de (T(1), T(2), . . . , T(n)) do seguinte
modo.
Teorema 2.24 — Densidade conjunta das estatısticas ordinais
Seja (T1, T2, . . . , Tn) uma amostra aleatoria de dimensao n proveniente
da populacao com f.d.p. f(t) e f.d. F (t). Entao a f.d.p. conjunta das
estatısticas ordinais (T(1), T(2), . . . , T(n)) — ou mais convenientemente
T1:n, T2:n, . . . , Tn:n — e dada por
fT1:n,T2:n,...,Tn:n(t1:n, t2:n, . . . , tn:n) = n!
n∏i=1
f(ti:n), (2.19)
para −∞ < t1:n < t2:n < . . . < tn:n <∞. •
Lidaremos com dados completos, caso se recolha os instantes de
avaria de todos os sistemas/componentes, e com dados incompletos
ou censurados, caso contrario. A seguir descrevem-se dois tipos de
censura de dados.
Definicao informal 2.25 — Censura do Tipo I
Ao decidir-se concluir o teste de vida ao fim de tempo fixo t0 dir-se-a
que foi efectuada censura do Tipo I a direita. •
Definicao informal 2.26 — Censura do Tipo II
Caso se decida terminar o teste de vida apos o registo das primeiras
r observacoes ordenadas, t1:n, . . . , tr:n, dir-se-a que foi efectuada
censura do tipo II a direita. •
44
Nota 2.27 — Censuras dos Tipos I e II
Ao adoptar-se censura do Tipo I o numero de tempos de vida
registados e uma v.a. (Qual e a sua distribuicao e a probabilidade
de nao serem registados quaisquer tempos de vida?)
Ao efectuar censura de Tipo II o numero de observacoes a registar
e a partida fixo e igual a r mas a duracao do teste e aleatoria. (Qual
a duracao do teste?)
A censura do tipo II a direita e de longe o tipo de censura mais
popular em testes de vida em fiabilidade.
O tempo esperado poupado, ao efectuar-se censura do tipo II a
direita, e igual a E(Tn:n − Tr:n).Factores como o custo das componentes em teste, a precisao
desejada para as inferencias e o valor (monetario) que o tempo
poupado representa desempenham um papel crucial na escolha de r e
n. •
Ao recorrer-se a dados completos a densidade conjunta e igual
f(T1,...,Tn)(t1, . . . , tn) =n∏i=1
f(ti) (2.20)
Os dois teoremas seguintes adiantam para ja as densidades conjuntas
(verosimilhancas) caso se efectue censuras do Tipo I e II.
Teorema 2.28 — Densidade conjunta na presenca de censura
do Tipo I
Suponha-se que foi efectuada censura de Tipo I a direita no instante
t0. E seja R o numero aleatorio de observacoes registadas ate t0 e r o
numero de estatısticas efectivamente observadas ate t0.
Entao a f.d.p. conjunta (verosimilhanca),
f(T1:n,...,Tr:n)(t1:n, . . . , tr:n) ≡ f(t1:n, . . . , tr:n), e neste caso dada por
45
f(t1:n, . . . , tr:n) = h(t1:n, . . . , tr:n | R = r)× P (R = r)
= r!r∏i=1
f(ti:n)
F (t0)
× n
r
[F (t0)]r[1− F (t0)]
n−r, (2.21)
para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < t0 <∞ e r = 1, . . . , n. (Justifique!) •
Teorema 2.29 — Densidade conjunta na presenca de censura
do Tipo II
Suponha-se agora que foi efectuada censura de Tipo II a direita. Entao
a f.d.p. conjunta (verosimilhanca) e, para −∞ < t1:n < . . . < tr:n <∞e r = 1, . . . , n, igual a
f(t1:n, . . . , tr:n) =n!
(n− r)!
r∏i=1
f(ti:n)
× [1− F (tr:n)]n−r. (2.22)
(Justifique!) •
Exercıcio 2.30 — Admita que foram submetidas a teste n
componentes com tempos de vida i.i.d. a exponencial(λ) e que se
efectuou censura do Tipo II. Obtenha a estimativa (estimador) de
maxima verosimilhanca de λ e compare-a com a que obteria com caso
dispusesse de dados completos (Gomes e Barao (1999, pp. 150–151). •
A caracterizacao e as propriedades do estimador de λ obtido no
Exercıcio 2.30 serao estudadas posteriormente.
Textos de apoio: Bain (1991, pp. 49–53); Gomes e Barao (1999,
pp. 149–152).
46
Capıtulo 3
Envelhecimento estocastico e
funcao taxa de falha
3.1 Funcao taxa de falha
Nesta seccao discutir-se-a a caracterizacao estocastica do
envelhecimento de qualquer material/estrutura/dispositivo,
caracterizacao essa de importancia crucial no domınio da fiabilidade.
Os materiais/estruturas/dispositivos podem “falhar”de diversos
modos. Basta pensar em:
• falhas (estaticas) aquando de fractura devida a esforco;
• corrosao quımica de materiais;
• falhas de equipamento electronico devido a alteracoes de
temperatura, humidade ou manufactura deficiente.
De forma a distinguir as diversas funcoes (densidade) de
probabi-lidade (quando tal distincao nao e passıvel de ser feita com
base nas observacoes dos tempos ate falha) apelar-se-a a nocao de
funcao taxa de falha (hazard rate function ou failure rate function),
que e uma forma matematica de descrever o envelhecimento —
47
e corresponde ao que em analise de sobrevivencia se designa por
forca de mortalidade (instantanea).
Na definicao de funcao taxa de falha de uma v.a. considerar-se-a que
esta e nao negativa e distinguir-se-a o caso contınuo do caso discreto.
Definicao 3.1 — Funcao taxa de falha (caso contınuo)
Seja T uma v.a. contınua nao negativa, com f.d.p. e f.d. iguais a
fT (t) e FT (t), respectivamente. Entao a funcao taxa de falha de T
e dada por
λT (t) =fT (t)
RT (t). (3.1)
•
Nota 3.2 — Funcao taxa de falha (caso contınuo)
Admita-se que T representa a duracao de vida de uma estrutura.
Entao a funcao taxa de falha possui um significado probabilıstico
especıfico:
λT (t) = limdt→0
P (t < T ≤ t+ dt|T > t)
dt. (3.2)
Assim, λT (t)dt esta associada a probabilidade condicional de um item
com idade t (t > 0) vir a falhar no intervalo (t, t+ dt]. •
Proposicao 3.3 — Funcoes taxa de falha e fiabilidade
A funcao de fiabilidade (ou sobrevivencia) da v.a. T contınua nao
negativa pode definir-se a custa da funcao taxa de falha:
RT (t) = exp{−∫ t
0λT (u)du}. (3.3)
onde o integral representa aquilo que, em analise de sobrevivencia, se
designa de funcao hazard cumulativa. •
48
Exercıcio 3.4 — Apos estudos preliminares, um engenheiro afirmou
que a duracao da componente electronica por ele construıda possui
duracao que podia ser muito bem representada por uma v.a. T cuja
funcao taxa de falha e constante e igual a µ, t ≥ 0.
Identifique a distribuicao de T . •
Exercıcio 3.5 — Determine a funcao de fiabilidade de um sistema
cuja funcao taxa de falha e:
a) λT (t) = αt, t ≥ 0, α > 0;
b) λT (t) = α0 + α1t, t ≥ 0, α0 ≥ 0, α1 > 0. •
Exercıcio 3.6 — Calcule a funcao de fiabilidade de um instrumento
cuja duracao possui funcao taxa de falha igual a
λT (t) =
0, 0 ≤ t ≤ a
β, a < t ≤ b
βe(t−b)/c, t > b (c ≥ 0)
(3.4)
•
Exercıcio 3.7 — A funcao taxa de falha duma componente mecanica
e constante e igual 0.005.
Suponha que a componente vai ser precisa para um servico de
250 horas. Calcule a probabilidade da componente falhar durante
o servico. •
Exercıcio 3.8 — Um consumidor pretende adquirir componentes
electronicas com a seguinte especificacao: a fiabilidade de cada
componente deve ser de pelo menos 95% num perıodo de
funcionamento de 500 dias.
Supondo que a taxa de falha da componente e constante, calcule a
vida esperada mınima da componente. •
49
Exercıcio 3.9 — Diz-se que a forca de mortalidade dum fumador e,
para qualquer idade, o dobro da de um nao fumador.
Qual o significado desta afirmacao? Querera dizer que a
probabilidade do fumador sobreviver t anos corresponde a metade da
mesma probabilidade calculada para um nao fumador? •
Definicao 3.10 — Funcao taxa de falha (caso discreto)
Seja T uma v.a. discreta nao negativa. Entao T possui funcao
taxa de falha definida por
λT (t) =P (T = t)
P (T ≥ t). (3.5)
•
Nota 3.11 — Funcao taxa de falha (caso discreto)
Observe-se que, ao contrario da definicao de taxa de falha no caso
contınuo, no denominador nao figura P (T > t). Caso tal ocorresse,
qualquer v.a. T discreta nao negativa, com contradomınio finito
{t1, . . . , tn} (onde t1 < . . . < tn) nao possuıria funcao taxa de falha
definida no ponto tn.
Considere-se que a v.a. inteira nao negativa T representa o numero
de ciclos de vida de uma estrutura. Entao a funcao taxa de falha, por
se identificar com P (T = t|T ≥ t), coincide com a probabilidade da
vida dessa mesma estrutura terminar ao fim de exactamente t ciclos,
condicional ao facto de a estrutura ter sobrevivido a pelo menos t
ciclos. •
Exercıcio 3.12 — Obtenha e elabore o grafico da funcao taxa de
falha da v.a. geometrica(p). •
50
Exercıcio 3.13 — Seja T uma v.a. discreta que toma valores inteiros
nao negativos.
a) Determine a funcao P (T ≥ t) por intermedio da funcao taxa de
falha de T .
b) Exemplifique o resultado para o caso em que T ∼ geometrica(p).
c) Verifique que, caso T tome os valores nao negativos {t1, t2, . . .}(onde t1 < t2 < . . .), se tem
P (T ≥ t) =∏
{j:tj<t}[1− λT (tj)]. (3.6)
•
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 9–18).
51
3.2 Monotonia da funcao taxa de falha
A tempo de vida pode estar associado a funcoes taxa de falha com os
comportamentos mais diversos:
• constantes — a estrutura nao envelhece nem rejuvenesce com o
tempo;
• crescentes — a estrutura envelhece com o tempo;
• decrescentes — a estrutura rejuvenesce com o tempo;1
• nao monotono — por exemplo, em forma de banheira
(bathtub), i.e., inicialmente decrescente (“infancia”), seguida de
fase constante (“adolescencia e idade adulta”), e por fim crescente
(“velhice”). Ver Figura 3.1.1 de Barlow e Proschan (1975, pp. 55–
56).
Definicao 3.14 — Distribuicoes IHR e DHR
Considere-se a v.a. nao negativa T . Entao:
• T diz-se IHR (“Increasing Hazard Rate”)2 — escrevendo-se neste
caso T ∈ IHR — sse λT (t) for uma funcao monotona crescente
(em sentido lato);
• T diz-se DHR (“Decreasing Hazard Rate”)3 — escrevendo-se
neste caso T ∈ DHR — sse λT (t) for uma funcao monotona
decrescente (em sentido lato). •
Exercıcio 3.15 — Mostre que a funcao taxa de falha de uma duracao
de vida com distribuicao uniforme no intervalo [a, b] e crescente. •1Certos materiais, como o aco, aumentam de resistencia a medida que vao sendo trabalhados.2Ou IFR (“Increasing Failure Rate”).3Ou DFR (“Decreasing Failure Rate”).
52
Exercıcio 3.16 — a) Obtenha e elabore alguns graficos da funcao
taxa de falha das seguintes distribuicoes:
1. Poisson
2. Weibull.
b) Classifique estas distribuicoes quanto ao comportamento da
funcao taxa de falha. •
Exercıcio 3.17 — A duracao de vida de uma componente segue uma
distribuicao normal com desvio padrao de 10 horas.
a) Se a componente tiver uma fiabilidade de 0.99 para um perıodo
de operacao de 100 horas, qual a duracao de vida esperada?
b) Elabore o grafico da funcao taxa de falha e classifique-a quanto
ao seu comportamento monotono. •
Exercıcio 3.18 — Elabore o grafico da funcao taxa de falha das
v.a.s gama(α, δ), para α = 0.5, 1, 2.5 e δ = 1, onde α e δ
representam o parametro de forma e o inverso do parametro de escala,
respectivamente.
Demonstre que, efectuando a mudanca de variavel y = u − t, a
funcao taxa de falha de uma duracao com distribuicao gama(α, δ) se
escreve:
λgama(α,δ)(t) =1∫+∞
t (u/t)α−1 exp[−δ(u− t)]du
=1∫+∞
0 (1 + y/t)α−1 exp(−δy)dy. (3.7)
Utilize este resultado para identificar condicoes suficientes que
garantam comportamentos monotonos decrescentes e crescentes da
funcao taxa de falha (Ross (2003, p. 573)). •
53
Proposicao 3.19 — Distribuicoes DHR e comportamento
monotono da f.d.p.
A monotonia da funcao de taxa de falha tem implicacoes na monotonia
da f.d.p. de um tempo de vida:
• T ∈ DHR⇒ fT (t) e monotona decrescente. •
Exercıcio 3.20 — Prove a proposicao anterior. •
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 52–56); Barlow e
Proschan (1965/1996, pp. 22–6).
54
3.3 Preservacao da monotonia da taxa de falha
Conhecido o comportamento monotono da taxa de falha das
componentes de uma estrutura, pode, nalguns casos, conhecer-se
tambem o da taxa de falha das
• suas estatısticas ordinais, da
• soma de tais tempos de vida, da
• mistura dos mesmos,
ou mesmo de um sistema coerente.
Serao dados alguns exemplos de preservacao do
comportamento monotono da funcao taxa de falha face
as operacoes de fiabilidade acima descritas. Contudo antes de o fazer
reescrever-se-a a taxa de falha de estruturas em serie e em paralelo a
custa da funcao taxa de falha comum as suas componentes.
Exercıcio 3.21 — Considere duas estruturas em serie e em paralelo,
constituıdas por componentes com duracoes Ti (i = 1, . . . , n) i.i.d.,
f.d. e taxa de falha comuns F (t) e λ(t).
a) Prove que as funcoes taxa de falha de estruturas em serie e em
paralelo sao iguais a
λT(1)(t) = n λ(t) (3.8)
λT(n)(t) =
n λ(t)∑n−1j=0 [F (t)]−j
(3.9)
respectivamente.
b) Compare λT(1)(t), λT(n)
(t) e λ(t).
55
c) Faca comentarios acerca da preservacao do comportamento
monotono de λ(t) pela funcao taxa de falha destes dois tipos
de estrutura. •
Exercıcio 3.22 — Obtenha agora a funcao taxa de falha de uma
estrutura em serie, assumindo somente independencia dos tempos de
vida das n componentes, f.d.’s Fi(t) e funcoes taxa de falha λi(t), i =
1, . . . , n.
Verifique que nas mesmas circunstancias o tempo de vida de uma
estrutura em paralelo, T , possui funcao taxa de falha igual a
λT (t) =FT (t)
F T (t)
n∑i=1
λi(t) [1/Fi(t)− 1]. (3.10)
•
Os exercıcios anteriores sugere algumas das preservacoes do
comportamento monotono da funcao taxa de falha das estatısticas
ordinais enunciadas na proposicao seguinte. Com efeito, a proposicao
seguinte acrescenta que o comportamento monotono da funcao taxa de
falha da duracao de uma estrutura constituıda por n componentes com
duracoes independentes (identicamente distribuıdas, ou nao) depende
nao so do da funcao taxa de falha de tais componentes, como da
disposicao das mesmas na estrutura.
56
Proposicao 3.23 — Preservacao da monotonia da taxa de
falha: mınimo e maximo
Considere-se estrutura com n componentes com duracoes
independentes. Caso a estrutura seja em serie, verifica-se:
Ti ∼indep IHR, i = 1, . . . , n⇒ T(1) ∈ IHR (3.11)
Ti ∼indep DHR, i = 1, . . . , n⇒ T(1) ∈ DHR. (3.12)
Ao tratar-se de estrutura em paralelo tem-se:
Ti ∼indep IHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T(n) ∈ IHR (3.13)
Ti ∼iid IHR, i = 1, . . . , n⇒ T(n) ∈ IHR. (3.14)
•
Saliente-se que, em estruturas em serie constituıdas por
componentes cujas duracoes possuem funcao taxa de falha monotona,
para garantir a preservacao do comportamento monotono da taxa
de falha da duracao da estrutura e suficiente que tais componentes
possuam duracoes independentes. Em estruturas em paralelo
tal preservacao exige condicoes mais estritas: nao so duracoes
independentes, mas tambem identicamente distribuıdas e IHR.
Exercıcio 3.24 — Demonstre que o tempo de vida de um sistema
em paralelo constituıdo por duas componentes com duracoes
Tiindep∼ exponencial(i), i = 1, 2, ilustra o resultado (3.13) (Ross (2003,
p. 575)). •
E altura de averiguar em que circunstancias uma estatıstica de
ordem i preserva o comportamento monotono da taxa de falha das
57
componentes. Mais, os resultados que se seguem sao particularmente
relevantes uma vez que o tempo de vida de uma estrutura do tipo
k − de− n e representado por uma estatıstica ordinal.
Proposicao 3.25 — Preservacao da monotonia da taxa de
falha: estatısticas ordinais
Sejam T1, . . . , Tn tempos de vida i.i.d. (contınuos e nao negativos).
Entao as estatısticas ordinais T(i) verificam:
Ti ∼iid IHR, i = 1, . . . , n⇒ T(i) ∈ IHR (3.15)
Ti ∼iid DHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T(i) ∈ DHR. (3.16)
•
Assim, as estatısticas ordinais T(i) e os tempos de vida das
componentes, Ti, i = 1, . . . , n, possuem funcao taxa de falha com igual
comportamento monotono no caso em que Ti ∈ IHR, i = 1, . . . , n, o
que nem sempre ocorre quando Ti ∈ DHR, i = 1, . . . , n.
Proposicao 3.26 — Preservacao da monotonia da taxa de
falha: spacings de primeira ordem
No que concerne a taxa de falha dos “spacings”de primeira ordem
(ou tempos entre falhas consecutivas) de tempos i.i.d. (contınuos e
nao negativos) — (T(i)−T(i−1)), i = 1, . . . , n, em que T(0) = 0 —, pode
afirmar-se que:
Ti ∼i.i.d. DHR, i = 1, . . . , n ⇒
(T(i) − T(i−1)) ∈ DHR, i = 2, . . . , n (3.17)
Ti ∼i.i.d. IHR, i = 1, . . . , n 6⇒
(T(i) − T(i−1)) ∈ IHR, i = 2, . . . , n. (3.18)
•
58
Pode entao afirmar-se que, no teste simultaneo de componentes que
possuam duracoes i.i.d. a uma v.a. DHR (resp. IHR), o tempo entre
falhas consecutivas sera igualmente (resp. podera nao ser) uma v.a.
DHR (resp. IHR).
A proposicao seguinte permite tirar algumas conclusoes sobre
o tempo total do ensaio quando se efectua o teste sequencial de
componentes.
Proposicao 3.27 — Preservacao da monotonia da taxa de
falha: soma de v.a.s
Considere-se dois tempos de vidas Ti, i = 1, 2 (nao negativos e
contınuos) com funcoes taxa de falha λi(t), i = 1, 2. Entao a
soma/convolucao T = T1 + T2 satisfaz o seguinte resultado:
Ti ∈ IHR, i = 1, 2⇒
(T1 + T2) ∈ IHRλT (t) ≤ mini=1,2 λi(t).
(3.19)
No entanto, caso T1 e T2 sejam DHR, a respectiva soma nem
sempre e caracterizada por uma funcao taxa de falha com o mesmo
comportamento monotono, i.e.:
Ti ∈ DHR, i = 1, 2 6⇒ (T1 + T2) ∈ DHR. (3.20)
•
O resultado anterior e tambem valido para o caso discreto.
Exercıcio 3.28 — Apos um estudo detalhado do tempo ate falha
de uma componente electronica de um dispositivo de seguranca,
concluiu-se que a respectiva distribuicao pertencia ao modelo
{gama(α, δ)}. Admita-se que, por questoes de seguranca, essa
componente so pode ser substituıda uma unica vez, por uma outra
com duracao i.i.d.
59
Assumindo que a substituicao da primeira componente e imediata,
identifique todas as situacoes em que:
• as duas componentes e a estrutura possuem duracoes DHR;
• o par de componentes possui tempo de vida DHR nao ocorrendo
o mesmo com a duracao da estrutura. •
A preservacao da monotonia da funcao taxa de falha de
misturas de distribuicoes e de particular relevancia ao lidar-se com
componentes de diversas proveniencias.
Proposicao 3.29 — Preservacao da monotonia da taxa de
falha: misturas de distribuicoes
Considere-se Ti, i = 1, . . . , n, v.a.’s independentes (contınuas nao
negativas) com f.d.’s Fi(t). E seja T a mistura destas distribuicoes,
i.e., FT (t) resulta da combinacao linear convexa das f.d.s
Fi(t), i = 1, . . . , n:
FT (t) =n∑i=1
ai Fi(t) (3.21)
onde ai ≥ 0 e∑ni=1 ai = 1. Entao
Ti ∼indep. DHR, i = 1, . . . , n⇒ T ∈ DHR (3.22)
Contudo a mistura de distribuicoes IHR nao e necessariamente IHR:
Ti ∼indep. IHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T ∈ IHR (3.23)
•
A proposicao anterior e a particularizacao de outra que diz respeito
a preservacao da monotonia da funcao taxa de falha da mistura
(contavel ou nao) de distribuicoes especıficas.
60
Proposicao 3.30 — Preservacao da monotonia da taxa de
falha: misturas (contaveis ou nao) de distribuicoes
Recorde-se que, caso T |Y = y (y > 0) e Y possuam f.d.’s Fy(t) e G(y),
respectivamente, a v.a. T diz-se a mistura das distribuicoes Fy e
possui f.d. FT (t) =∫+∞0 Fy(t)dG(y). Entao
T |Y = y ∈ DHR, y > 0 ⇒ T ∈ DHR (3.24)
T |Y = y ∈ IHR, y > 0 6⇒ T ∈ IHR (3.25)
•
Na demonstracao do primeiro dos resultados e fundamental a
aplicacao da desigualdade de Schwarz. Para mais detalhes desta
demonstracao veja-se Barlow e Proschan (1965/1996, p.37).
A tabela seguinte condensa as propriedades de preservacao do
comportamento monotono da funcao taxa de falha por parte das
estatısticas ordinais.
Tabela 3.1: Preservacao do comportamento monotono da taxa de falha das
estatısticas ordinais (“Nao”≡ “Nem sempre”).
T(1) T(n) T(i)
Distribuicao i.i.d. indep. i.i.d. indep. i.i.d. indep.
IHR Sim Sim Sim Nao Sim Nao
DHR Sim Sim Nao Nao Nao Nao
61
Exercıcio 3.31 — Uma fabrica possui duas linhas de producao, I e II,
responsaveis por 20% e 80% dos artigos produzidos respectivamente.
Estudos extensivos levaram a concluir que a distribuicao da duracao
de cada artigo depende da sua proveniencia embora o mesmo nao
aconteca com o parametro de escala. Os artigos quando provenientes
das linhas de producao I e II possuem duracoes gama(1.1, 1) e
Weibull(1, 2), respectivamente, logo com taxa de falha crescente.
Obtenha a funcao taxa de falha da duracao de um artigo escolhido
casualmente da producao da referida fabrica.
Os valores desta funcao, para valores da abcissa iguais a
t = 0.5, 4(0.5) sao iguais a λT (t) = 0.984451, 1.76893, 2.22839, 1.92529,
1.26555, 1.01493, 0.980125, 0.979563. Assim se conclui que λT (t) nao e
funcao monotona e o artigo em questao nao possui duracao nem IHR,
nem DHR. •
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 98–105); Barlow e
Proschan (1965/1996, pp. 35–9); Ross (2003, pp. 571–576).
62
3.4 Outras nocoes de envelhecimento estocastico
Na realidade, exigir que a funcao taxa de falha seja crescente pode ser
tremendamente restritivo. Nao surpreende pois que se considere em
certas situacoes que esse comportamento crescente se verifique somente
em media e se encontre na literatura outras formas de caracterizacao
dos tempos de vida em termos de envelhecimento estocastico.
Estas nocoes escrevem-se de um modo geral a custa da funcao de
fiabilidade e revelar-se-ao uteis no estabelecimento de limites para a
funcao de fiabilidade, limites esses de que se falara na proxima seccao,
bem como no contexto de estrategias de manutencao.
Definicao 3.32 — Outras nocoes de envelhecimento
estocastico (caso contınuo)
Sejam T uma v.a. contınua nao negativa com funcao de fiabilidade
RT (t) e Tt =st (T − t|T ≥ t) a vida residual no instante t (t ≥ 0), cuja
funcao de fiabilidade e dada por RTt(u) = RT (t+ u)/RT (t). Entao:
• T diz-se ILR (Increasing Likelihood Ratio) 4 sse fT (t)/fT (t + ε)
for crescente em (0,+∞) para qualquer ε > 0, i.e.,
ln[fT (t)] for concava em (0,+∞); (3.26)
• T diz-se IHR (Increasing Hazard Rate) sse λT (t) for crescente
em (0,+∞), i.e., sse, para qualquer u fixo,
RTt(u) =RT (t+ u)
RT (t)decrescer com t em (0,+∞); (3.27)
• T diz-se IHRA (Increasing Hazard Rate in Average) sse R1/tT (t)
decrescer em (0,+∞), ou seja,ΛT (t)
t=
1
t
∫ t0λT (u)du ↑t, t ≥ 0; (3.28)
4Ou “razao de verosimilhanca crescente”ou ainda designada por Barlow e Proschan (1975, p. 76)de “Polya frequency of order 2”(PF2),
63
• T diz-se NBU (New Better than Used) sse T ≥st Tt para t, u ≥ 0,
i.e.,
RT (u) ≥ RTt(u) =RT (t+ u)
RT (t), t, u ≥ 0; (3.29)
• T diz-se NBUE (New Better than Used in Expectation) sse
E(T ) ≥ E(Tt) para t ≥ 0, ou seja,∫ +∞
0RT (u)du ≥ 1
RT (t)
∫ +∞
tRT (u)du. (3.30)
•
Nota 3.33 — Outras nocoes de envelhecimento estocastico
(caso contınuo)
Pode, por exemplo, afirmar-se que, caso a duracao de uma componente
seja uma v.a. NBU/NBUE, valera sempre a pena substituir a
componente que esta a ser usada por uma nova componente. Por seu
lado, se a duracao da componente for NWU/NWUE, nunca valera
a pena efectuar semelhante substituicao. •
Exercıcio 3.34 — Prove que a funcao taxa de falha da Figura 2.9 de
Gertsbakh (1995, pp. 70)
esta associada a uma duracao IHRA apesar de a respectiva funcao
taxa de falha,
λ(t) =
t, 0 < t ≤ 2
−t+ 4, 2 < t ≤ 2.5
t− 1, t > 2.5,
(3.31)
nao ser crescente. •
64
Segue-se o analogo discreto destas nocoes de envelhecimento
estocas-tico, reescrito de modo ligeiramente diferente mas equivalente.
Definicao 3.35 — Outras nocoes de envelhecimento
estocastico (caso discreto)
Seja T uma v.a. discreta nao negativa com funcao de probabilidade
P (i) = P (T = i) e funcao de fiabilidade definida agora por
RT (i) = P (T ≥ i). Considere-se ainda que Ti =st (T − i|T ≥ i)
representa a vida residual associada ao ciclo i e possui funcao de
fiabilidade RTi(i) = RT (i+j)RT (i) . Entao:
• T diz-se ILR (Increasing Likelihood Ratio) sse P (i)/P (i+ 1) for
crescente em IN0, i.e.,
P (i)× P (i+ 2) ≤ P 2(i+ 1), i ∈ IN0; (3.32)
• T diz-se IHR (Increasing Hazard Rate) sse λT (i) for crescente em
IN0, ou seja,
RT (i)×RT (i+ 2) ≤ R2T (i+ 1), i ∈ IN0; (3.33)
• T diz-se IHRA (Increasing Hazard Rate in Average) sse
R1/iT (i) ↓i, i ∈ IN0; (3.34)
• T diz-se NBU (New Better than Used) sse T ≥st Ti, i ∈ IN0, ou
seja,
RT (j) ≥ RTi(j) =RT (i+ j)
RT (i), i, j ∈ IN0; (3.35)
• T diz-se NBUE (New Better than Used in Expectation) sse
E(T ) ≥ E(Ti), i ∈ IN0
E(T ) =+∞∑j=0
RT (j) ≥+∞∑j=0
RT (i+ j)
RT (i)= E(Ti), i ∈ IN0. (3.36)
65
•
As nocoes de v.a.’s DLR (Decreasing Likelihood Ratio), DHRA
(Decreasing Hazard Rate in Average), NWU (New Worse than Used)
e NWUE (New Worse than Used in Expectation) definem-se de modo
analogo considerando comportamentos monotonos e desigualdades nos
sentidos opostos quer para v.a. contınuas quer para v.a. discretas.
Proposicao 3.36 — Implicacoes das nocoes de envelhecimento
estocastico
T ∈ ILR ⇒ T ∈ IHR ⇒ T ∈ IHRA ⇒ T ∈ NBU ⇒ T ∈NBUE. Analogamente, T ∈ DLR ⇒ T ∈ DHR ⇒ T ∈ DHRA ⇒T ∈ NWU ⇒ T ∈ NWUE. •
Esta proposicao permite averiguar, de uma forma mais comoda,
se uma v.a. e ou nao IHR/IHRA/NBU/NBUE (DHR/DHRA/NWU/
NWUE).
Exercıcio 3.37 — a) Classifique as seguintes distribuicoes quanto ao
comportamento monotono da funcao taxa de falha:
1. binomial
2. normal truncada (nao negativa e com µ = 0)
3. lognormal.
b) Discuta a pertinencia desta ultima distribuicao na caracterizacao
de tempos de vida, calculando para o efeito limt→+∞ λT (t). •
Nota 3.38 — Implicacoes das nocoes de envelhecimento
estocastico
Refira-se a tıtulo de curiosidade que uma estrutura coerente com
componentes cujas duracoes de vida sao v.a. IHRA possui duracao
tambem ela IHRA o mesmo nem sempre acontece caso sejam IHR.5 •
66
Tabela 3.2: Preservacao da propriedade de envelhecimento face a operacoes de
fiabilidade (“Nao”≡ “Nem sempre”).
Distribuicao Formacao de sistemas coerentes Convolucoes Misturas arbitrarias
IHR Nao Sim Nao
IHRA Sim ? Nao
NBU Sim Sim Nao
NBUE Nao Sim Nao
DHR Nao Nao Sim
DHRA Nao Nao Sim
NWU Nao Nao Nao
NWUE Nao Nao ?
Para mais detalhes acerca deste e de outros resultados relacionados
com estas nocoes de envelhecimento e a preservacao face a operacoes
de fiabilidade, consulte-se a Tabela 3.2 ou ainda Barlow e Proschan
(1975, pp. 104 e 187).
Exercıcio 3.39 — Admita que um sistema coerente e constituıdo por
n componentes (nao necessariamente independentes) com duracoes
IHR e funcao de fiabilidade comum Ri(t) = R(t).
(a) Uma vez que a funcao de fiabilidade da duracao T deste sistema e
dada por RT (t) = P (T > t) = r(p(t)) = r(R(t), . . . , R(t)), prove
que a funcao taxa de falha de T e igual a
λT (t) =d
dt[1− r(p(t))]× 1
r(p(t)). (3.37)
(b) Uma vez que a funcao de fiabilidade R(t) e comum a todas as
componentes pode simplificar-se a notacao, passando a escrever-
se λT (t) = (d/dt)[1−r(p(t))]r(p(t)) , onde p(t) = R(t).
5Recorde-se o resultado (3.13) da Proposicao 3.23, resultado este ilustrado pelo Exercıcio 3.24.
67
Assim sendo, mostre que o sistema possui distribuicao IHR, caso
p(t)× d r(p(t))
d p(t)× 1
r(p(t))(3.38)
seja uma funcao decrescente de p(t).
(Ver Ross (2003, pp. 573–574).) •
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp.98–104 e pp.182–187).
68
3.5 Limites para a funcao de fiabilidade e
momentos
Nesta seccao sao apresentados limites para a funcao de fiabilidade e
outros parametros da duracao de sistemas/componentes.
Estes limites assumem particular relevancia pois obtem-se
assumindo que se conhece somente um momento ou um percentil da
referida duracao e que esta verifica uma propriedade de envelhecimento
estocastico. Por exemplo, assumir que a componente possui duracao
esperada conhecida µ e funcao taxa de falha crescente porque sujeita
a desgaste.
Os limites que apresentaremos dividem-se nas seguintes categorias:
• limites para a funcao de fiabilidade baseados num quantil
conhecido;
• limites para a funcao de fiabilidade baseados num momento
conhecido;
• limites para momentos da duracao de uma componente;
• limites para a funcao de fiabilidade de um sistema baseados em
momentos conhecidos;
• limites para o valor esperado da duracao de um sistema baseados
em momentos conhecidos.
69
3.5.1 Limites para a funcao de fiabilidade baseados num
quantil conhecido
O resultado que se segue basea-se no facto de uma v.a. IHRA (DHRA)
possuir funcao de fiabilidade que se cruza uma unica vez com a funcao
de fiabilidade de uma exponencial num ponto que corresponde ao
quantil de probabilidade p de ambas as v.a.s. A forma como tal
cruzamento ocorre e descrita no teorema seguinte.
Teorema 3.40 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados num quantil conhecido
Sejam T ∈ IHRA, ξp o quantil de ordem p de T (i.e. RT (ξp) = 1− p)e λ = −(1/ξp)ln(1− p). Entao
RT (t)
≥ e−λt = (1− p)t/ξp, 0 < t ≤ ξp
≤ e−λt = (1− p)t/ξp, t ≥ ξp.(3.39)
As desigualdades invertem-se para o caso DHRA. •
Exercıcio 3.41 — Elabore graficos por forma a ilustrar o Teorema
3.40. •
Exercıcio 3.42 — Solicitou-se a um engenheiro que produzisse um
sistema com fiabilidade de 0.95 para um perıodo de funcionamento de
1000 horas. O referido sistema deveria ser coerente e constituıdo por
pequenas pecas com duracoes independentes e IHR.
Obtenha um limite inferior para a fiabilidade de tal sistema ao fim de
um perıodo de funcionamento de 900 horas (Barlow e Proschan (1975,
p. 110). •
70
3.5.2 Limites para a funcao de fiabilidade baseados num
momento conhecido
E tambem possıvel obter limites superiores para a funcao de fiabilidade
de v.a. IHRA, uma vez conhecido o seu valor esperado.
Teorema 3.43 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados num momento conhecido
Seja T ∈ IHRA com valor esperado µ. Entao, para t fixo positivo
RT (t) ≤
1, t ≤ µ
e−wt, t > µ,(3.40)
onde w = w(t) e constante positiva e funcao de t satisfazendo
1− wµ = e−wt (3.41)
e e−wt, t > 0, a funcao de fiabilidade de v.a. exponencial com parametro
de escala w−1. •
Exemplo 3.44 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados num momento conhecido
Obtenha uma tabela com limites superiores para a funcao de
fiabilidade da duracao de uma componente com valor esperado
unitario e funcao taxa de falha crescente, considerando para o efeito
t = 0.0, 2.0(0.5).
• t = 1.0;
While[(t = t + 0.5) ≤ 2,
h = FindRoot[1 - w - Exp[-w t] == 0, {w, 1}];raiz = {w} /. Dispatch[h];
Print[{t, raiz[[1]], Exp[-raiz[[1]] t]}]]
{1.5, 0.582812, 0.417188}{2., 0.796812, 0.203188} •
71
Pode obter-se limites inferiores ainda mais sofisticados que os
limites superiores do Teorema 3.43 para a funcao de fiabilidade de
v.a. IHRA. Para mais detalhes consulte-se o Teorema 6.11 de Barlow
e Proschan (1975, p. 116).
Pode adiantar-se um limite inferior para a funcao de fiabilidade ao
lidar-se com uma v.a. contınua IHR com momento de ordem r (r > 0)
µr conhecido.
Teorema 3.45 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados num momento conhecido de ordem r
Sejam T ∈ IHR,
µr =∫ +∞
0trdFT (t) = r
∫ +∞
0tr−1RT (t)dt, (3.42)
o momento ordem r > 0 de T , e λr = µrΓ(r+1) . Entao
RT (t) ≥
exp
(−t/λ1/r
r
), t < µ1/r
r
0, t ≥ µ1/rr .
(3.43)
•
Nota 3.46 — Limites para a funcao de fiabilidade baseados
num momento conhecido de ordem r
Na situacao em que T ∈ IHRA (DHRA), demonstra-se que o limite
inferior exp(−t/λ1/r
r
)decresce (cresce) com r, para qualquer real t fixo
e nao negativo.
Para alem disso o domınio em que tal limite inferior e valido,
[0, µ1/rr ], aumenta tambem com r para T ∈ IHRA. •
Ao considerar-se r = 1 obtem-se limite inferior para a funcao de
fiabilidade da v.a. T ∈ IHR bastando para tal conhecer o seu valor
esperado.
72
Corolario 3.47 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados no momento conhecido de primeira ordem
Seja T ∈ IHR com valor esperado µ1 = E(T ). Logo
RT (t) ≥
exp (−t/µ1) , t < µ1
0, t ≥ µ1.(3.44)
•
Exercıcio 3.48 — Obtenha agora uma tabela com limites
inferiores para a funcao de fiabilidade da duracao de uma componente
com valor esperado unitario e funcao taxa de falha crescente, para
t = 0.0, 3.0(0.1).
Elabore um grafico com limites inferiores e superiores para a funcao
de fiabilidade da duracao dessa mesma componente para perıodos de
funcionamento t ∈ [0, 3]. •
Teorema 3.49 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados num momento conhecido de ordem r (caso IHR)
Seja T ∈ IHR com momento de ordem r (r > 0), µr =∫+∞0 trdFT (t).
Entao, para t fixo positivo,
RT (t) ≤
1, t ≤ µ1/r
r
e−wt, t ≥ µ1/rr ,
(3.45)
onde w = w(t) e solucao de
µr = r∫ t
0xr−1e−wxdx. (3.46)
•
Debrucemo-nos agora sobre o caso em que se lida com componentes
com capacidade de rejuvenescimento/fortalecimento/melhoramento
(“training effect”) a medida que o tempo de operacao aumenta.
73
O teorema e o corolario que se seguem sao analogos ao Teorema
3.45 e Corolario 3.47. Dizem, no entanto, respeito a uma duracao
DHR.
Teorema 3.50 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados num momento conhecido de ordem r (caso DHR)
Sejam T ∈ DHR, µr o momento ordem r de T e λr = µrΓ(r+1) . Entao
RT (t) ≤
exp
(−t/λ1/r
r
), t < rλ1/r
r
rre−rµrΓ(r+1)tr , t ≥ rλ1/r
r .(3.47)
•
Corolario 3.51 — Limites para a funcao de fiabilidade
baseados no valor esperado (caso DHR)
Seja T ∈ DHR com valor esperado conhecido µ1. Logo
RT (t) ≤
e−t/µ1, t ≤ µ1µ1e−1
t , t ≥ µ1.(3.48)
•
3.5.3 Limites para momentos da duracao de uma
componente
O Teorema 3.40 e o que se segue sao particularmente importantes
porque em testes de vida nem sempre se dispoe da media das duracoes
das componentes em teste (pois nem todas as componentes falham
durante o teste) mas e frequente dispor de quantis de probabilidade
(empıricos). A custa destes quantis pode obter-se limites para o valor
esperado de v.a. IHR.
O proximo teorema pode encontrar-se em Barlow e Proschan (1965/
1996, p. 30).
74
Teorema 3.52 — Limites para o valor esperado da duracao de
uma componente
Assuma que T ∈ IHR e que o seu quantil de
probabilidade p e representado por ξp. Se p ≤ 1− e−1 entao
− p ξpln(1− p)
≤ µ ≤ − ξpln(1− p)
. (3.49)
Caso p ≥ 1− e−1, tem-se
− p ξpln(1− p)
≤ µ ≤ ξp. (3.50)
•
O teorema seguinte permite obter limites inferiores e superiores
para o momento de ordem r (r > 0) de v.a. IHRA (DHRA).
Teorema 3.53 — Limites para momentos de ordem r da
duracao de uma componente
Seja T ∈ IHRA. Entao os limites para o momento ordem r de T , µr,
sao dados por
µr
≥ Γ(r + 1)µr1 0 < r ≤ 1
≤ Γ(r + 1)µr1, r ≥ 1.(3.51)
As desigualdades invertem-se ao lidar-se com T ∈ DHRA. •
Corolario 3.54 — Limite para o coeficiente de variacao
duracao de uma componente
Ao considerar-se r = 2, o Teorema 3.53 permite comparar para o
coeficiente de variacao de uma v.a. T ∈ IHRA com o coeficiente de
variacao unitario de qualquer v.a. com distribuicao exponencial:
T ∈ IHRA⇒ σ
µ≤ 1. (3.52)
A desigualdade inverte-se para T ∈ DHRA. •
Exercıcio 3.55 — Demonstre o Corolario 3.54. •
75
3.5.4 Limites para a funcao de fiabilidade de um sistema
baseados em momentos conhecidos
Na fase inicial de planeamento da producao de sistemas e
frequentemente necessario predizer a fiabilidade dos mesmos com
o mınimo de informacao — como o tipo de estrutura, os valores
esperados das duracoes das componentes que o constituem. Ora, os
limites fornecidos pelo Corolario 3.47 tem aplicacoes obvias.
Teorema 3.56 — Limites para a funcao de fiabilidade de um
sistema em serie baseados em momentos conhecidos
Caso um sistema seja constituıdo por n componentes dispostas em
serie e com duracoes Ti independentes e IHR, com valores esperados
µi = E(Ti) e funcoes de fiabilidade Ri(t), i = 1, . . . , n, pode concluir-se
que a funcao de fiabilidade do sistema verifica
RT(1)(t) ≥
exp
[−t∑n
i=1(µi)−1], t < mini=1,...,n µi
0, t ≥ mini=1,...,n µi.(3.53)
•
Exercıcio 3.57 — Forneca limites para a funcao de fiabilidade
RT(n)(t) de um sistema constituıdo por n componentes independentes
IHR dispostas em paralelo e com duracoes esperadas µi (Barlow e
Proschan (1965/1996, p. 28)). •
Sao validos resultados similares para sistemas coerentes
constituıdos por componentes com duracoes independentes e IHR.
Teorema 3.58 — Limites para a funcao de fiabilidade de um
sistema coerente baseados em momentos conhecidos
Considere-se sistema coerente com n componentes com duracoes Ti
independentes e IHR, com valores esperados µi e funcoes de fiabilidade
76
Ri(t), i = 1, . . . , n. Entao, a funcao de fiabilidade do sistema verifica,
para t ≤ mini=1,...,n µi,
RT (t) = r(R1(t), . . . , Rn(t)) ≥ r(e−t/µ1, . . . , e−t/µn), (3.54)
onde, recorde-se, r(p) representa a fiabilidade do sistema calculada
para o vector p das fiabilidades das componentes. •
Nota 3.59 — Limites para a funcao de fiabilidade de um
sistema coerente baseados em momentos conhecidos
Este resultado permite concluir que, no intervalo [0,mini=1,...,n µi], a
fiabilidade do sistema no instante t e superior ou igual a de um outro
sistema exactamente com a mesma estrutura mas com componentes
com duracoes exponenciais e duracoes esperadas µi. •
Exercıcio 3.60 — Considere um circuito electronico, com tres
componentes, que funciona caso a primeira das componentes e uma das
duas restantes funcionem. Admita que estas componentes possuem
duracoes independentes, IHR e com valores esperados (em horas)
µ1 = 1000, µ2 = 1200, µ3 = 1600.
Obtenha um limite inferior para a funcao de fiabilidade do circuito
para um perıodo de operacao de 800, 900, 950 e 975 horas. (Barlow e
Proschan (1975, p. 119)). •
Exercıcio 3.61 — Um sistema em paralelo e composto por duas
componentes independentes e IHRA com fiabilidade de 0.95 para um
perıodo de 500 horas.
a) Determine limites inferiores para a fiabilidade para um perıodo
de 400 horas usando os dois metodos seguintes:
77
1. Calcular um limite inferior para cada uma das duas
componentes e de seguida um limite inferior para a fiabilidade
do sistema.
2. Calcular a funcao de fiabilidade do sistema para um perıodo
de 500 horas e de seguida obter um limite inferior recorrendo
ao Teorema 3.40.
b) Qual destes dois metodos lhe parece conduzir a melhores
resultados considerando para o efeito t ∈ [0, 500)? (Barlow e
Proschan (1975, p. 119).)
c) Repita a) e b) admitindo que o sistema e em serie e elaborando
um grafico com os dois tipos de limites inferiores para a fiabilidade
para perıodos de t horas (t ∈ [0, 500)). •
3.5.5 Limites para a duracao esperada de um sistema
baseados em momentos conhecidos
O proximo limite inferior (superior) diz respeito a duracao esperada
de um sistema em serie constituıdo por n componentes associadas e
NBUE (NWUE).
Teorema 3.62 — Limites para a duracao esperada de um
sistema baseados em momentos conhecidos
Seja Ti (µi) a duracao (esperada) da i−esima componente de um
sistema em serie com n componentes com duracoes associadas e
NBUE. Entao a duracao esperada deste sistema em serie µs verifica
µs ≥ n∑i=1
µ−1i
−1
. (3.55)
A desigualdade inverte-se para T ∈ NWUE. •
78
De notar que o limite inferior em (3.55) mais nao e que o valor
esperado da duracao de um sistema em serie com componentes
independentes, exponencialmente distribuıdas e com duracao esperada
µi.
Exercıcio 3.63 — Demonstre o Teorema 3.62 (Gertsbakh (1995, pp.
62–63). •
Teorema 3.64 — Limites para a duracao esperada de sistema
em serie/paralelo baseados em momentos conhecidos
Considere-se um sistema em serie/ paralelo com n componentes com
duracoes associadas e IHRA. Entao a duracao esperada do sistema
em serie/ paralelo, µs /µp, pode comparar-se com a duracao esperada
de um sistema tambem em serie/ paralelo com n componentes com
duracoes/ duracoes exponenciais, independentes e com valor esperado
µi (i = 1, . . . , n) e satisfaz
µs ≥ n∑i=1
µ−1i
−1
(3.56)
µp ≤∫ +∞
0
1− n∏i=1
(1− e−t/µi) dt. (3.57)
A desigualdade inverte-se, caso as componentes sejam DHRA. •
Importa referir que a integranda em (3.57) corresponde a
funcao de fiabilidade de um sistema em paralelo com componentes
independentes, exponencialmente distribuıdas e com duracao esperada
µi. Assim sendo, o limite superior em (3.57) mais nao e que o valor
esperado do sistema acabado de descrever.
O proximo resultado e apresentado a tıtulo de exercıcio em
Gertsbakh (1995, p. 71).
79
Teorema 3.65 — Limite para a duracao esperada de um
sistema coerente baseados em momentos conhecidos
Considere-se agora um sistema coerente com n componentes com
duracoes independentes e NBUE e caminhos mınimos P1, . . . ,Pp.Entao a duracao esperada µ deste sistema satisfaz
µ ≥ maxj=1,...,p
∑i∈Pj
µ−1i
−1
. (3.58)
•
Exercıcio 3.66 — Demonstre o Teorema 3.65 recorrendo ao Teorema
3.62. •
Exercıcio 3.67 — Considere um conjunto de dois geradores
electricos em paralelo que fornecem electricidade a uma bomba de
extraccao de petroleo. Admita que estas tres componentes possuem
duracoes ate falha mecanica independentes, NBUE e com valores
esperados (em horas) µ1 = 1000, µ2 = 1200, µ3 = 1600.
Obtenha um limite inferior para duracao esperada deste sistema
circuito. •
Exercıcio 3.68 — Repita o exercıcio anterior considerando agora que
esta a lidar com um sistema do tipo 2− de− 3. •
Barlow e Proschan (1975, p. 124) enunciam um resultado similar ao
Teorema 3.65.
80
Teorema 3.69 — Limites para a duracao esperada de um
sistema coerente baseados em momentos conhecidos
Considere-se um sistema coerente com n componentes com duracoes
independentes e IHRA, duracoes esperadas µi, caminhos mınimos
P1, . . . ,Pp e cortes mınimos K1, . . . ,Kq. Entao a duracao esperada
µ deste sistema satisfaz
maxj=1,...,p
∑i∈Pj
µ−1i
−1
≤ µ ≤
minj=1,...,q
∫ +∞
0
1− ∏i∈Kj
(1− e−t/µi) dt. (3.59)
•
Exercıcio 3.70 — Demonstre e comente os resultados do Teorema
3.69. •
E curioso notar que Barlow e Proschan (1965/96, pp. 41-45)
tambem adiantam limites para a funcao de fiabilidade e momentos,
baseados no valor limite e no comportamento monotono da funcao de
taxa de falha.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 109–125); Barlow e
Proschan (1965/96, pp. 26–35 e 39–45); Gertsbakh (1995, p. 61–68);
Ross (2003, pp. 580–586).
81
Capıtulo 4
Modelos parametricos importantes
em fiabilidade
4.1 Introducao
Uma distribuicao de falha 1 mais nao e que o resultado de uma
tentativa de descrever matematicamente a duracao de vida de um
material, estrutura ou dispositivo.
A forma como ocorrem as falhas num item afecta a forma analıtica
da distribuicao de falha. Os materiais e as estruturas podem
falhar de diversas formas, podendo dar-se o caso de terem ocorrido
simultaneamente dois ou mais tipos de falhas.
Foram vistos previamente alguns exemplos de tipos de falha, como
as falhas estaticas aquando de fracturas por aplicacao de carga, a
corrosao quımica devida a hydrogen embrittlement, a fadiga devido
a sobrecargas cıclicas ou a gripagem de componentes mecanicas.
Certos aparelhos electronicos ou digitais falham devido a alteracao
de parametros crıticos para o seu desempenho devido a mudancas
de temperatura, de humidade ou de um modo geral das condicoes
1Traducao livre de failure distribution.
82
atmosfericas.
Falhas iniciais no equipamento devem-se de um modo geral a
planeamento/ fabrico/ uso improprio/ inadequado.
Infelizmente a escolha/ seleccao de uma distribuicao de falha
baseada nestas consideracoes fısicas ainda e uma arte.
No entanto, em alguns casos a relacao entre o mecanismo de
falha e a funcao taxa de falha pode ser de utilidade na referida
seleccao ja que a observacoes sao de um modo escassas nas caudas nao
possibilitando a destrinca efectiva entre as distribuicoes candidatas a
modelacao.
Neste capıtulo irao ser revistas algumas das mais comuns
distribuicoes de falha, como e o caso da distribuicao exponencial,
famosa pela sua propriedade de falta de memoria entre algumas outras
propriedades que enunciaremos mais tarde.
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 9–12).
83
4.2 Distribuicoes discretas
As distribuicoes discretas sao muito menos utilizadas em fiabilidade
que as contınuas pelo que merecerao um pouco menos de atencao do
que seria de esperar.
4.2.1 A distribuicao geometrica
E sabido que a distribuicao geometrica e o analogo discreto da
distribuicao exponencial e podera representar:
• o numero de insucessos que precedem o primeiro sucesso numa
sucessao de provas de Bernoulli independentes e identicamente
distribuıdas, tomando neste caso valores 0, 1, . . .; ou entao
• o numero total de provas de Bernoulli independentes e
identicamente distribuıdas realizadas ate a ocorrencia do primeiro
sucesso, assumindo neste caso os valores 1, 2, . . ..
Nota 4.1 — Distribuicao geometrica
A distribuicao geometrica e por vezes designada por distribuicao
discreta do tempo de espera pelo primeiro sucesso.2 •
Exemplo 4.2 — Distribuicao geometrica
Todas as manhas verifica-se se um dispositivo de seguranca falhou. Ha
a probabilidade p de ocorrer falha num dia escolhido ao acaso. Nao ha
razoes que levem a crer que esse probabilidade se altere com o tempo
nem que o facto de nao ter ocorrido falha no dispositivo no dia m
venha a influenciar a probabilidade de isso ocorrer no dia (m+ 1).
2Sucesso significa aqui avaria, falha, etc.
84
O numero total de inspeccoes ate registar-se a falha, T , possui
distribuicao geometrica(p) e funcao de probabilidade (f.p.) dada por
P (T = m) = (1− p)m−1 p, m ∈ IN. (4.1)
onde p representa a probabilidade de ocorrencia de falha. •
Nota 4.3 — Falta de memoria
Nao so esta distribuicao possui funcao taxa de falha constante como
goza da seguinte propriedade:
P (T ≥ m1 +m2|T ≥ m1) = P (T ≥ m2), (4.2)
i.e., efectuadas pelo menos m1 inspeccoes sem que tenha sido
registada a primeira falha, a probabilidade de ainda vir a efectuar-
se adicionalmente pelo menos mais m2 inspeccoes e exactamente igual
a probabilidade de se efectuar – a partir do momento inicial – pelo
menos m2 inspeccoes ate ao registo da primeira falha.
Esta propriedade e sugestivamente designada por falta de
memoria. •
Exercıcio 4.4 — Considere agora que o dispositivo de seguranca
descrito no Exemplo 4.2 so deixa de funcionar ao fim de exactamente
r falhas.
Qual a distribuicao do numero total de inspeccoes efectuadas
ate que o dispositivo deixe de funcionar? Escreva a funcao de
probabilidade desta nova v.a. •
Nota 4.5 — Distribuicao binomial negativa
A distribuicao binomial negativa e por vezes designada por distribuicao
discreta do tempo de espera pelo r−esimo sucesso. E trata-se da
generalizacao da distribuicao geometrica. •
85
Na Tabela 4.1 pode encontrar-se algumas caracterısticas desta e de
outras distribuicoes discretas.
Tabela 4.1: Algumas distribuicoes discretas importantes.
T P (T = k) E[T ] V [T ] E[zT ]
Uniforme ({1, 2, . . . , n}) 1/n (n+ 1)/2 (n2 − 1)/12 z(1−zn)n(1−z)
Binomial (n, p) Cnk pk(1− p)n−k np np(1− p) (1− p+ pz)n
Geometrica (p) (1− p)k−1p 1/p (1− p)/p2 pz1−(1−p)z
Binomial Negativa (r, p) Ck−1r−1 p
r(1− p)k−r r/p r(1− p)/p2(
pz1−(1−p)z
)rPoisson (λ) e−λλk/k! λ λ e−λ(1−z)
Texto de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 43–44).
4.2.2 A distribuicao binomial
Comece-se por recordar que a funcao de distribuicao da v.a.
binomial(n, p) ja foi utilizada para calcular a fiabilidade de sistemas
k−de−n. Com efeito, caso a fiabilidade das n componentes seja igual
a p e estas sejam independentes, o sistema k−de−n possui fiabilidade
dada por
r(p) = E[φ(X)]
= P
n∑i=1
Xi ≥ k
(4.3)
=n∑i=k
n!
i! (n− i)!pi(1− p)n−i
= 1− Fbinomial(n,p)(k − 1). (4.4)
Recorde-se que a v.a. binomial(n, p) representa o numero de
sucessos num conjunto de n provas de Bernoulli independentes e
identicamente distribuıdas.
86
Exercıcio 4.6 — Uma companhia produz um tipo especıfico de
interruptores, tendo-se constatado que 5% da producao e defeituosa.
a) Calcule o valor esperado e a variancia do numero de interruptores
defeituosos numa amostra de 50 interruptores. (Dhillon (1984,
p. 132)).
b) Determine um valor aproximado para a probabilidade de tal nu-
mero ser inferior a 15.
c) Obtenha o grafico da funcao taxa de falha desta v.a. e classifique
quanto ao comportamento monotono da funcao taxa de falha. •
Exercıcio 4.7 — Considere-se uma aeronave com 4 motores.
Suponha-se que ela so sera capaz de voar se possuir pelo menos 2
dos motores a funcionar.
a) Determine a probabilidade de a aeronave estar em condicoes de
voar (i.e., a fiabilidade), caso a fiabilidade de cada motor seja de
99% (Leitch (1995, p. 47)).
b) Obtenha limites inferiores e superiores para a fiabilidade da
aeronave, assumindo agora que os 4 motores estao associados
(positivamente). •
Texto de apoio: Leitch (1995, pp. 46–48).
87
4.2.3 A distribuicao de Poisson
A distribuicao de Poisson e utilizada na contabilizacao do numero de
falhas que ocorrem independentemente num perıodo fixo de tempo.
Podera tratar-se do numero de visitas mensais a uma oficina por
parte de uma frota de veıculos ou do numero de acidentes semanais
num troco especıfico de auto-estrada. De notar que a partida nao ha
limite superior para o numero de falhas/ acidentes como aconteceria
se considerassemos a distribuicao binomial.
A independencia a que se refere acima significa que uma falha num
futuro proximo nao depende da ocorrencia ou nao de falhas no passado
recente.
A v.a. Poisson(λ) possui f.p. dada por
P (T = k) = e−λλk/k!, k ∈ IN. (4.5)
Na Tabela 4.1 encontram-se esta entre outras caracterısticas da
distribuicao de Poisson(λ) que tem a particularidade de possuir o valor
esperado e a variancia iguais ao parametro que define a distribuicao
λ.
Exercıcio 4.8 — Efectuou-se o registo do numero de acidentes
mensais de uma frota de veıculos na tabela abaixo.
Tabela 4.2: Numero de acidentes mensais.
J F M A M J J A S O N D
1 2 1 0 3 1 0 3 2 2 1 2
a) Obtenha a estimativa de MV do numero esperado de acidentes
mensais (Leitch (1995, p. 49)).
88
b) Determine uma estimativa para a probabilidade de o numero de
acidentes mensais exceder 2 bem como para o quantil de ordem
q = 0.5. De uma interpretacao a este quantil. •
Mais tarde explorar-se-a a relacao entre as distribuicoes de Poisson
e exponencial.
Texto de apoio: Leitch (1995, pp. 48–49).
89
4.3 Distribuicoes contınuas
Neste seccao irao ser revistas algumas das distribuicoes contınuas mais
comuns na descricao tempos ate falha, como e o caso da distribuicao
exponencial que sabemos gozar da propriedade de falta de memoria
entre outras propriedades enunciadas oportunamente.
Sera ainda (re)vistas as distribuicoes:
• bathtub (ou distribuicao em forma de banheira);
• log-normal que surge ao efectuar-se uma mudanca de escala de t
para et mas de uso questionavel em fiabilidade;
• Weibull, generalizacao do modelo exponencial que inclui distribui-
coes com funcao taxa de falha monotona decrescente, constante
e crescente;
• normal e a normal truncada;
• gama, outra generalizacao natural do modelo exponencial que
descreve o tempo de vida no caso em que ha a ocorrencia de
varios choques ate que a componente falha definitivamente;
• gaussiana inversa;
• gama inversa;
• beta.
Convinha notar que Bagdonavicius e Nikulin (2002, pp. 2–17) fazem
um apanhado de algumas destas distribuicoes contınuas e de outras
quantas nomeadamente a distribuicao de Gompertz-Makeham (pp. 6–
7), a mistura de exponenciais (p. 8), a Weibull generalizada (p. 8),
90
a Weibull exponenciada (pp. 11–12), a Loglogıstica (pp. 12–13) e a
distribuicao de Birnbaum–Saunders (p. 14).
4.3.1 A distribuicao exponencial
Trata-se certamente da distribuicao contınua mais utilizada em
fiabilidade assim como o e a distribuicao normal em Estatıstica. Este
facto prende-se essencialmente com a evidencia empırica e alguma
argumentacao matematica...
Considere-se um grande equipamento, por exemplo, um
computador, e suponha-se que ele falha assim que tal aconteca com
pelo menos uma das suas componentes. Caso se substitua uma
componente imediatamente a seguir a ocorrencia da sua falha e as
duracoes das componentes sejam independentes, a sequencia de falhas
do equipamento correspondera grosso modo a sequencia de falhas
individuais das componentes.
Ora, admitindo que o equipamento e constituıdo por um grande
numero de componentes e sao validas certas condicoes (fracas), os
tempos entre falhas consecutivas do equipamento sao i.i.d. com
distribuicao exponencial com parametro comum λ e o numero de falhas
num perıodo de tempo fixo de amplitude t e uma v.a. com distribuicao
de Poisson(λ t).
Estamos na presenca do que se designa na disciplina de Processos
Estocasticos de um Processo de Poisson.
Se a duracao esperada das componentes for limitada uniforme e
superiormente por real (positivo) e tais duracoes forem IHR, o numero
de falhas do referido equipamento e um processo de Poisson.
A f.d.p. e outras caracterısticas desta distribuicao assim como
91
de outras distribuicoes contınuas importantes podem encontrar-se na
Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Algumas distribuicoes contınuas importantes.
T fT (t) E[T ] V [T ] E[e−sT ]
Uniforme (a, b) 1b−a (a+ b)/2 (b− a)2/12 e−as−e−bs
s(b−a)
Exponencial (λ) λe−λt 1/λ 1/λ2 λλ+s
Gama (α, λ) λe−λt (λt)α−1
Γ(α) α/λ α/λ2(
λλ+s
)αErlang (n, λ) λe−λt (λt)n−1
(n−1)! n/λ n/λ2(
λλ+s
)nNormal (µ, σ2) 1√
2πσe−
(t−µ)2
2σ2 µ σ2 e−µs+(sσ)2
2
Esta distribuicao possui, recorde-se, funcao taxa de falha constante
λT (t) = λ, t ≥ 0, (4.6)
pelo que e util na descricao do comportamento probabilıstico de
sistemas que nao envelhecem, nem rejuvenescem no tempo. Ha
estruturas cujo tempo de vida goza desta propriedade como o caso de
fusıveis electricos, cuja vida futura se mantem praticamente inalterada
desde que a falha ainda nao tenha ocorrido.
Esta propriedade que caracteriza univocamente a distribuicao
exponencial entre as distribuicoes contınuas tem uma consequencia
importante aquando de testes de vida de componentes com o objectivo
de estimar o valor esperado, quantis e a fiabilidade desta distribuicao:
• os dados recolhidos podem dizer exclusivamente respeito ao
numero total observado de horas de vida e ao numero de avarias
efectivamente registadas — as idades efectivas das componentes
testadas sao irrelevantes.
92
Teorema 4.9 — Momentos da distribuicao exponencial
Seja T ∼ exponencial(λ). Entao
E(T s) =Γ(s+ 1)
λs, s > −1, (4.7)
onde Γ(s) =∫+∞0 λsts−1e−λtdt, Γ(s+ 1) = sΓ(s), s > 0 e Γ(s+ 1) = s!,
para s ∈ IN0. •
Teorema 4.10 — Transformada inversa
Seja U ∼ uniforme(0, 1). Entao T = −ln(U) ∼ exponencial(1). •
Exercıcio 4.11 — Prove os Teoremas 4.9–4.10. Pronuncie-se sobre
a utilidade deste ultimo resultado. •
Importa referir (relembrar) outras propriedades da distribuicao
exponencial particularmente relevantes em fiabilidade, nomeadamente
as propriedades dos spacings de primeira ordem, i.e., tempos entre
falhas sucessivas em testes simultaneos.
Teorema 4.12 — Spacings de primeira ordem
Sejam T(1), T(2), . . . , T(n) as estatısticas ordinais de uma distribuicao
exponencial(λ) e D1, D2, . . . , Dn os correspondentes spacings de
primeira ordem, i.e.,
D1 = T(1), D2 = T(2) − T(1), . . . , Dn = T(n) − T(n−1). (4.8)
Entao
Dk ∼indep exponencial((n− k + 1)λ) (4.9)
Ek = (n− k + 1)Dk ∼i.i.d. exponencial(λ), (4.10)
para k = 1, . . . , n, onde Ek e usualmente designado de spacing
normalizado. •
93
O Teorema 4.12 permite concluir que os tempos entre falhas
sucessivas — em teste simultaneos de componentes com duracoes i.i.d.
e distribuicao exponencial — possuem tambem ela exponencial.
Corolario 4.13 — Representacao de Renyi
No que diz respeito as estatısticas ordinais T(r) (i.e. os tempos ate a
r−esima falha), pode afirmar-se que, para k = 1, . . . , n, correspondem
a combinacoes lineares de v.a. exponenciais independentes:
T(k) =k∑i=1
Ei
(n− i+ 1)
=k∑i=1
Di
(4.11)
E[T(k)] =k∑i=1
1
(n− i+ 1)λ. (4.12)
(4.11) corresponde ao tempo esperado ate a r−esima falha e aquilo
que se designa por representacao de Renyi. •
Exercıcio 4.14 — Elabore um esquema que ilustre o resultado (4.11)
do Corolario 4.13 e permita demonstrar o Teorema 4.12 (Barlow e
Proschan (1975, p. 60)). • •
Nota 4.15 — Tempo total em teste
O tempo total em teste (ou tempo acumulado em teste) e definido por∑ni=1 Ti =
∑ni=1 T(i). •
Exercıcio 4.16 — Identifique a distribuicao do tempo total em teste,∑ni=1 Ti. •
Exercıcio 4.17 — Admita que T(i) ≤ t ≤ T(i+1). Identifique o tempo
total em teste ate ao instante t, τ(t), a custa de um esquema grafico.
Prove ainda que τ(t) =∑ij=1 T(j) + (n− i)t. •
94
Nota 4.18 — Exponencial biparametrica
Ha a possibilidade de generalizar a distribuicao exponencial ao
considerar-se a f.d.p.
fX(x) = λe−λ(x−µ), t ≥ µ. (4.13)
Neste caso lida-se com a distribuicao exponencial biparametrica onde se
designa µ por parametro de localizacao (threshold parameter) que em
termos de fiabilidade corresponde perıodo de garantia da componente,
i.e., no intervalo [0, µ] nao ocorrem quaisquer falhas. •
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 156–161); Martz e Waller
(1982, pp. 86–89).
4.3.2 A distribuicao bathtub
A distribuicao “bathtub”ou em forma de banheira vai buscar o seu
nome ao aspecto grafico da sua funcao taxa de falha.
A f.d.p., f.d., funcao de fiabilidade e funcao taxa de falha da v.a.
T ∼ bathtub(µ, θ) sao, para t ≥ 0, dadas por
fT (t) = θµ(µt)θ−1 exp{−[e(µt)θ − (µt)θ − 1]} (4.14)
FT (t) = 1− exp{−[e(µt)θ − 1]} (4.15)
RT (t) = exp{−[e(µt)θ − 1]} (4.16)
λT (t) = θµ(µt)θ−1e(µt)θ (4.17)
respectivamente, onde µ (µ > 0) e o inverso do parametro de escala e
θ (θ > 0) representa o parametro de forma.
Exercıcio 4.19 — Elabore o grafico da funcao taxa de falha da
distribuicao bathtub com parametros µ = 1 e θ = 0.5.
Identifique os tipos de falhas tıpicos associados aos seus tres trocos. •
95
Os tres trocos distintos da funcao taxa de falha da distribuicao
bathtub possuem as seguintes caracterısticas (veja-se a Figura 4.1 de
Martz e Waller (1982, p. 81)):
• Troco 1 — A funcao taxa de falha e decrescente neste troco. Esta
regiao e tambem conhecida por perıodo de mortalidade infantil.
Neste perıodo as falhas devem-se a defeitos de design e fabrico.
• Troco 2 — A funcao taxa de falha e praticamente constante neste
troco tambem designado por perıodo de vida util.
• Troco 3 — Neste ultimo troco a funcao taxa de falha e crescente.
Por este motivo alguns autores designam-no de perıodo de
desgaste. As falhas ocorrem com cada vez mais frequencia porque
a componente ja ultrapassou o seu perıodo de vida util.
Texto de apoio: Dhillon (1984, pp. 134–135).
4.3.3 A distribuicao log-normal
As caracterısticas desta v.a. escrevem-se naturalmente a custa das
da v.a. normal ja que se X ∼ normal(µ, σ2) entao T = eX ∼log-normal(µ, σ2). Assim, para t ≥ 0,
fT (t) =1
σ t√
2πexp
−1
2
(ln t− µ
σ
)2 =φ( ln t−µ
σ
)σ t
(4.18)
RT (t) = 1− Φ
(ln t− µ
σ
)(4.19)
λT (t) =1
σ t×
φ( ln t−µ
σ
)1− Φ
( ln t−µσ
) (4.20)
onde φ e Φ representam a f.d.p. e f.d. da v.a. normal padrao,
respectivamente.
96
Exercıcio 4.20 — Obtenha o valor esperado e a variancia da
distribuicao log-normal e elabore o grafico da funcao taxa de falha
de distribuicao log-normal(0, 1), fazendo uso do Mathematica. •
Alguns autores questionam a utilidade da distribuicao log-normal
na modelacao de tempos ate falha. Tal deve-se essencialmente ao facto
de a sua funcao taxa de falha ser inicialmente crescente para depois
decrescer para zero.
Ha, no entanto, evidencia empırica e argumentacao solida
apontando no sentido da utilidade da distribuicao log-normal na
modelacao de tempos de reparacao. Com efeito, parece razoavel que se
apos algum tempo a reparacao ainda nao tiver sido concluıda, menos
verosımil sera a sua conclusao imediata devido a factores psicologicos
e logısticos. Por exemplo, um reparador pode ficar desencorajado
depois de um perıodo de trabalho mal sucedido, ou o tempo excessivo
de reparacao podera dever-se a nao disponibilidade de uma peca
necessaria a reparacao.
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, p. 11); Martz e
Waller (1982, pp. 94–95).
4.3.4 A distribuicao de Weibull
A distribuicao de Weibull de mınimos — a que alguns autores se
referem como distribuicao de Weibull — deve o seu nome ao apelido
do fısico sueco Waloddi Weibull. Este utilizou-a em Weibull (1939a,
1939b) para representar a tensao de ruptura de materiais e
discutiu, posteriormente, a sua utilidade na modelacao de outras
v.a. em Weibull (1951).
97
E o caso da resistencia do aco Bofors, do tamanho de cinzas
industriais, da resistencia da fibra de algodao indiano. Nessa
mesma referencia e ilustrada a utilizacao da mistura de duas
distribuicoes de Weibull na caracterizacao do comprimento da
especie Cyrtoideae, do tempo ate fatiga do aco do tipo St-37, da
estatura dos adultos do sexo masculino nascidos nas Ilhas
Britanicas, da largura das sementes da especie Phaseolus Vulgaris.
Em Kao (1959) pode encontrar-se uma mistura de duas
distribuicoes de Weibull a caracterizar o comportamento
estocastico do tempo ate falha de tubos de electroes.
Berrettoni (1964) tambem ilustrou o uso da distribuicao
de Weibull e da mistura de duas dessas distribuicoes na
descricao de dados referentes: a resistencia a corrosao de
placas com uma liga de magnesio; a classificacao de produtos
defeituosos devolvidos, de acordo com o numero de semanas apos
remessa; ao tempo ate o derrame de pilhas; a esperanca de
vida de produtos farmaceuticos; a fiabilidade de motores
descontınuos (reliability of step motors); e a fiabilidade de
condensadores de tantalio solido.
Definicao 4.21 — Distribuicao Weibull (biparametrica)
A v.a. T diz-se com distribuicao de Weibull (biparametrica) com
parametro de forma α (α > 0) e de escala δ (δ > 0) se, para t ≥ 0,
fT (t) =α
δ
(t
δ
)α−1exp
[−(t
δ
)α](4.21)
RT (t) = exp
[−(t
δ
)α](4.22)
λT (t) =α
δ
(t
δ
)α−1. (4.23)
98
Nesta caso e costume representar a distribuicao de T de uma forma
mais abreviada: T ∼Weibull(δ, α). •
Exercıcio 4.22 — Considere T ∼Weibull(δ, α).
a) Elabore graficos da f.d.p., da f. de fiabilidade e f. taxa de falha
da distribuicao Weibull(1, α), α = 0.25, 1, 2, 4 (Martz e Waller
(1982, p. 91)), fazendo uso do seguinte package do Mathematica
<< Statistics ` ContinuousDistributions` .
b) Obtenha a expressao geral para o quantil de ordem p e
prove que o valor esperado e a variancia de T sao dadas
por E(T ) = δ Γ(
1α + 1
)e V (T ) = δ2
[Γ(
2α + 1
)− Γ2( 1
α + 1)],
respectivamente.
Sugestao: Calcule o momento de ordem k (k = 1, 2) efectuando
para o efeito a mudanca de variavel y = (t/δ)α e recordando que
Γ(s) =∫+∞0 ys−1e−ydy, s > 0. •
A distribuicao de Weibull, por possuir um parametro de forma, e
caracterizada por uma f.d.p. que pode tomar uma grande diversidade
de aspectos como se ilustrou no Exercıcio 4.22. Quando o parametro
de forma pertence ao intervalo (0, 1], o aspecto da f.d.p. e em J
invertido; nesta situacao a f.d.p. e monotona decrescente e a moda
coincide com a origem. Caso o referido parametro pertenca a (1,+∞)
a f.d.p. e unimodal com moda definida, segundo Johnson e Kotz (1970,
p. 251), por mo(T ) = δ(α−1α
)1/α.
A popularidade da distribuicao de Weibull deve-se a esta
excepcional flexibilidade: engloba a distribuicao exponencial (α =
1) e a distribuicao Rayleigh (quando δ e substituıdo por√
2δ) e
inclui funcoes taxa de falha constantes e monotonas crescentes e
99
decrescentes, dependendo do valor do parametro de forma como se
pode ver no Exercıcio 4.22 e se ilustra na tabela seguinte.
Parametro de forma F. taxa de falha
0 < α < 1 Decrescente T ∈ DHRα = 1 Constante T ∈ CHRα > 1 Decrescente T ∈ IHR
Nao surpreende pois que a distribuicao de Weibull seja
provavelmente a distribuicao mais utilizada no domınio da fiabilidade,
a seguir a distribuicao exponencial, e se encontre na maior parte dos
textos de introducao a estatıstica e a fiabilidade.
Exercıcio 4.23 — Foram registados os seguintes 9 tempos ate falha
(em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit 3 de uma
refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17, 1.25 e 1.35
(Martz e Waller (1982, pp. 395–396)).
a) Determine a estimativa de MV de δ assumindo que o parametro
de forma e conhecido e igual a α = 3.5.
b) Apos ter escrito as equacoes de verosimilhanca, determine
numericamente as estimativas de MV de ambos os parametros
δ e α.
Sugestao: Considere como estimativas iniciais do procedimento
de pesquisa as estimativas obtidas por recurso ao metodo dos
momentos.3The act or process of introducing one or more alkyl groups into a compound (as to increase
octane number in a motor fuel). An alkyl has a monovalent organic group and especially oneCnH2n+1 (as methyl) derived from an alkane (as methane).
100
c) Obtenha estimativas da fiabilidade para perıodos de 1 ano e de
1 ano e 3 meses, recorrendo para tal as estimativas obtidas nas
alıneas a) e b). •
A popularidade da distribuicao de Weibull encontra uma
justificacao nao so pratica como tambem num dos mais surpreendentes
resultados da teoria assintotica de valores extremos: o teorema de
Gnedenko na sua versao para o mınimo de um conjunto de v.a. i.i.d.
(Para mais detalhes consulte-se Morais (1995, pp. 109–115).)
Nota 4.24 — Distribuicao Weibull (tri-parametrica)
Ha tambem a possibilidade de generalizar a distribuicao Weibull de
mınimos ao considerar-se a f.d.p.
fT (t) =α
δ
(t− ηδ
)α−1exp
[−(t− ηδ
)α], t ≥ η. (4.24)
Neste caso e frequente dizer-se que T possui distribuicao de Weibull
tri-parametrica com parametros de localizacao, escala e forma iguais a
η, δ e α, respectivamente — e representar a distribuicao de T de uma
forma mais abreviada: T ∼Weibull(η, δ, α).
O parametro de localizacao corresponde mais uma vez ao perıodo
de vida garantida ou perıodo de garantia da componente.
Nao existem razoes matematicas que impecam que este parametro
seja negativo. Contudo, na maior parte das aplicacoes e costume ter-se
η ≥ 0. •
E possıvel estabelecer relacoes entre a distribuicao de Weibull e,
pelo menos, duas outras distribuicoes (Johnson e Kotz (1970, p. 266))
como se podera ver no exercıcio seguinte.
101
Exercıcio 4.25 — Suponha que T ∼Weibull(η, δ, α).
a) Prove que a potencia da v.a. T , Y = [(T − η)/δ]α, e uma v.a.
com distribuicao exponencial(1). 4
b) Conclua que Y = α ln[(T − η)/δ] possui distribuicao de Gumbel
de mınimos com parametro de localizacao nulo e parametro de
escala unitario. 5
c) Prove por fim que Ti ∼i.i.d. T, i = 1, . . . , n, se e so se
T(1) ∼Weibull(η, δn1/α , α). •
Refira-se por fim que, entre os domınios em que tem sido
utilizada a distribuicao de Weibull tri-parametrica, conta-se tambem
a optimizacao combinatoria. Golden (1977) refere que McRoberts
(1966), ao lidar com combinatorially explosive plant-layout problems,
foi o primeiro autor a associar a distribuicao de Weibull a modelacao
probabilıstica de solucoes aproximadas do problema do caixeiro
viajante. 6 Por tratar-se de um problema para o qual ainda se
conjectura a inexistencia de algoritmos com tempo de execucao
polinomial, o problema do caixeiro viajante tem vindo a ser abordado
sob o ponto de vista estatıstico, com vista a obtencao de estimativas
quer pontuais (Golden (1977)), quer intervalares (Golden e Alt (1979))
para o custo do solucao optima que corresponde ao parametro de
localizacao de uma distribuicao de Weibull tri-parametrica. Para mais
detalhes consulte-se Morais (1998).4Este resultado sera de extrema utilidade na caracterizacao distribucional de uma v.a. fulcral
para o parametro de escala quando os restantes parametros (localizacao e forma) sao conhecidos.5Autores como Engelhardt e Bain (1977) tiraram partido desta relacao para estimar os
parametros de escala e forma quando o parametro de localizacao e nulo.6Nesta mesma referencia McRoberts sugeriu que a distribuicao de Weibull tambem fosse
utilizada na modelacao de solucoes aproximadas de outros problemas de optimizacao combinatoria:Cerdeira (1986) e disso um exemplo.
102
Textos de apoio: Morais (1995, pp. 109–115); Martz e Waller (1982,
pp. 89–91).
4.3.5 As distribuicoes normal e normal truncada
A distribuicao normal e sobejamente conhecida pelo que nao nos
alongaremos nesta exposicao. Convem no entanto realcar que, embora
o suporte desta distribuicao seja (−∞,+∞), ao considerar-se valores
positivos para µ suficientemente grandes quando comparados com o
valor de σ (e.g. µ/σ >> 3) a probabilidade de registar-se valores
negativos e irrisoria.
Caso tal nao aconteca, a distribuicao normal deve ser truncada para
valores negativos e reescalada em conformidade obtendo-se assim a
distribuicao normal truncada cuja f.d.p. e dada por
fT (t) =1
aexp
−(t− µ)2
2σ2
, t ≥ 0, (4.25)
onde a =∫+∞0 exp[− (t−µ)2
2σ2 ]dt. Neste caso escreve-se abreviadamente
T ∼ normal truncada(µ, σ2). Caso µ = 0 a distribuicao normal
truncada e designada na literatura anglo-saxonica por half normal.
Exercıcio 4.26 — Suponha que T ∼ normal(µ, σ2).
a) Elabore graficos da f.d.p., funcao de fiabilidade e funcao taxa
de falha, para os pares de valores (µ, σ) = (0.5, 0.075), (1, 0.1),
(2, 0.15).
b) Prove que a funcao taxa de falha λT (t) desta v.a. e crescente e
que possui a assıntota y = (t− µ)/σ.
Obs: Recorde-se que a rectamt+a diz-se uma assıntota da funcao
g(t) se e so se limt→+∞ g(t)/t = m e limt→+∞[g(t)−mt] = a. •
103
Exercıcio 4.27 — Repita a alınea a) do exercıcio anterior conside-
rando agora T ∼ normal truncada(µ, σ2). •
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, p. 163); Martz e Waller
(1982, pp. 90–94).
4.3.6 A distribuicao gama
Estamos mais uma vez na presenca de uma distribuicao com parametro
de forma pelo que apresenta um leque extremamente variado de f.d.p.s
— decrescentes ou monotonas por dois trocos (crescentes e de seguida
decrescentes) —, embora todas positivamente assimetricas e mais
alongadas que a normal.
A f.d.p. desta v.a. e dada por
fT (t) =λα
Γ(α)tα−1 e−λt, t > 0 (4.26)
e passaremos a escrever abreviadamente T ∼ gama(λ, α), onde λ−1 e
α representam os parametros de escala e forma, respectivamente.
A distribuicao gama possui como casos particulares as seguintes
distribuicoes:
• exponencial — α = 1;
• Erlang — α ∈ IN ;
• qui-quadrado com ν graus de liberdade — α = ν/2, λ = 1/2.
A distribuicao gama, designadamente, a distribuicao Erlang pode
descrever o tempo de vida no caso em que ha a ocorrencia de varios
choques ate que a componente falha definitivamente aquando do
n−esimo choque e em que os tempos entre choque sucessivos sao
v.a. i.i.d. exponenciais. E e sabido que a distribuicao Erlang surge
104
tambem como a distribuicao do instante da n−esima ocorrencia de
um processo de Poisson, i.e. como a distribuicao de uma soma de
v.a. i.i.d. exponenciais.
A grande variedade de formas desta distribuicao e a sua
simplicidade matematica explicam o seu uso frequente em fiabilidade
como na descricao de fluxos maximos de corrente, de resistencias
crıticas de betao pre-esforcado, etc.
Exercıcio 4.28 — Ilustre a variedade de f.d.p.s e de comportamentos
monotonos da funcao taxa de falha da v.a. T ∼ gama(λ, α),
considerando (λ, α) = (0.5, 0.5), (0.5, 1), (0.25, 2), (1, 2). •
Exercıcio 4.29 — E possıvel relacionar a funcao de fiabilidade da
v.a. T ∼ Erlang(λ, α), α ∈ IN , com a funcao de distribuicao de uma
v.a. de Poisson:
RT (t) = 1−∞∑i=α
e−λt(λt)i/i!
= FPoisson(λt)(α− 1), t > 0. (4.27)
Prove este resultado.
Sugestao: Usar um resultado conveniente da disciplina de Processos
Estocasticos ou entao recorra a integracao por partes. •
Exercıcio 4.30 — Com o objectivo de estudar o tempo ate falha de
certo equipamento electronico (em dezenas de milhar de horas), uma
gestora recolheu um total de 50 observacoes que conduziram a media
geometrica amostral mg =(∏50
i=1 ti)1/50
= 4.2427.
Admita que a f.d.p. do tempo ate falha e, para λ > 0, dada por
fT (t) =
λ 2.5λtλ+1 , t ≥ 2.5
0, c.c.,
i.e., T ∼ Pareto(2.5, λ).
105
a) Prove que a estimativa de maxima verosimilhanca de λ e igual a
λ = [ln(mg)− ln(2.5)]−1.
b) Obtenha a estimativa de maxima verosimilhanca da fiabilidade
para um perıodo de 35.000 horas.
c) Sabendo que 2λ∑50i=1 ln(Ti/2.5) ∼ χ2
(100) e uma v.a. fulcral para
λ, onde Mg =(∏50
i=1 Ti)1/50
, deduza um intervalo de confianca a
95% para esse parametro bem como para a fiabilidade calculada
na alınea b).
d) Deduza um intervalo de confianca a 95% para λ com amplitude
esperada mınima. •
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, p. 162); Barlow e Proschan
(1975, pp. 72–75).
4.3.7 A distribuicao gaussiana inversa
O nome desta distribuicao deve-se a uma relacao entre a funcao
geradora dos cumulantes (ou segunda funcao caracterıstica) da
gaussiana inversa e a da distribuicao normal.
Nota 4.31 — Distribuicao gaussiana inversa
Seja φT (z) = E(eizT ), onde i =√−1, a funcao caracterıstica de T .
Entao φT (z) = 1+∑+∞s=1 E(T s) (iz)s
s! . Para alem disso, a funcao geradora
dos cumulantes e igual a
K(z) = lnφT (z) =+∞∑s=1
ξs(iz)s
s!, (4.28)
onde os coeficientes ξs sao denominados de cumulantes da distribuicao
de T . Para mais detalhes consulte-se Murteira (1990, pp. 223–226 e
250–252). •
106
A distribuicao gaussiana inversa tem-se revelado util na modelacao
de situacoes em que as falhas iniciais dominam a vida de um
sistema. Estas situacoes poderiam sugerir a utilizacao da distribuicao
lognormal pelo facto de possuir funcao taxa de falha crescente e
posteriormente decrescente: com efeito a taxa de falha destas duas
distribuicoes possuem o mesmo comportamento monotono por trocos.
No entanto, ha varias vantagens em usar a distribuicao gaussiana
inversa. Primeiro, porque e menos difıcil justificar fisicamente a sua
utilizacao ja que surge como a distribuicao de um tempo de primeira
passagem do movimento browniano. Segundo, porque vem enriquecer
a classe de distribuicoes de falha. E por ultimo, os procedimentos
inferenciais estao muito bem desenvolvidos (para os parametros e para
a funcao de fiabilidade) e sao similares aos da distribuicao normal.
A f.d.p., a f. fiabilidade e a f. taxa de falha de T ∼ gaussiana
inversa(µ, λ) sao, para t ≥ 0, µ, λ > 0, iguais a:
fT (t) =
(λ
2πt3
)1/2
exp
−λ(t− µ)2
2µ2t
(4.29)
RT (t) = Φ
(λt
)1/2 (1− t
µ
)− exp (2λ/µ) Φ
− (λ
t
)1/2 (1 +
t
µ
) (4.30)
λT (t) =fT (t)
RT (t), (4.31)
onde µ e λ nao correspondem aos parametros de localizacao e forma
no sentido usual — na verdade λ/µ e que e o parametro de forma.
De notar tambem que
E(T ) = µ (4.32)
V (T ) =µ3
λ(4.33)
107
mo(T ) = −3µ2
2λ+ µ
1 +9µ2
4λ2
1/2
(4.34)
e que a funcao taxa de falha e crescente para t < mo(T ), decrescente
para t > 2λ3 e atinge maximo no ponto t que satisfaz a seguinte
equacao:
λ
2µ2 +3
2t− λ
2t2= 0. (4.35)
Exercıcio 4.32 — Admita que T ∼ gaussiana inversa(µ, λ).
a) Elabore graficos da f.d.p., funcao de fiabilidade e funcao taxa de
falha, para µ = 1 e λ = 0.5, 1, 3, 10 (Martz e Waller (1982, p. 99)).
b) O registo de tempos ate fadiga (em horas) de 10 rolamentos de
certo tipo conduziu as seguintes observacoes ordenadas:
152.7, 172.0, 172.5, 173.3, 193.0, 204.7, 216.5, 239.9, 262.6, 422.6
(Seshadri (1999, p. 35)).
Obtenha as estimativas de MV de µ, de λ, da fiabilidade e da
taxa de falha para um perıodo de 100 horas. •
Textos de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 95–99); Seshardi (1999,
pp. 1–4, 206–219).
4.3.8 As distribuicoes gama inversa e beta
Este par de distribuicoes pouco interesse tem para a modelacao
de tempos ate falha. No entanto, as distribuicoes gama inversa e
beta revelam-se de extrema utilidade quando se efectua inferencia
bayesiana sobre o parametro da distribuicao exponencial e a
probabilidade de sucesso da distribuicao binomial (respectivamente):
108
sao aquilo que se denomina de densidades a priori dos parametros. 7
Por este motivo nao nos alongaremos na descricao desta duas
distribuicoes nem nos reportaremos as respectivas funcoes de
fiabilidade e taxa de falha.
A distribuicao gama inversa e derivada do seguinte modo: se Y ∼gama(λ, α) entao T = Y −1 ∼ gama inversa(λ, α). Assim, possui as
seguintes caracterısticas
fT (t) =λα
Γ(α)
(1
t
)α+1exp
(−λt
), t, λ, α > 0 (4.36)
E(T ) =λ
α− 1, α > 1 (4.37)
V (T ) =λ2
(α− 1)2 (α− 2), α > 2 (4.38)
De notar que o momento de ordem s, E(T s), e qualquer outro de
ordem superior a s nao existem caso s seja maior que a parte inteira
de α.
A distribuicao beta possui as seguintes caracterısticas:
fT (t) =1
B(α, β)tα−1 (1− t)β−1, 0 < t < 1, λ, α > 0 (4.39)
E(T ) =α
α + β(4.40)
V (T ) =αβ
(α + β)2 (α + β + 1), (4.41)
onde
B(α, β) =∫ 1
0tα−1 (1− t)β−1dt
=Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β). (4.42)
7Em inferencia bayesiana um parametro desconhecido e considerado uma v.a. com umadensidade a priori antes da recolha da informacao e uma densidade a posteriori apos a recolha deobservacoes. As estimativas pontuais mais frequentes de tal parametro sao o valor esperado e amoda a posteriori, i.e., calculados a custa da densidade a posteriori.
109
De referir que neste caso se escreve T ∼ beta(α, β) e que a
distribuicao uniforme e obviamente um caso particular da distribuicao
beta para α = β = 1.
Parametros Aspecto da f.d.p.
α, β > 1 Uma unica moda em t = α−1α+β−2
α < 1, β > 1 Uma unica anti–moda em t = α−1α+β−2 (forma em U)
(α− 1)(β − 1) ≤ 0 Forma em J
α = β Simetrica em torno de 1/2 (e.g. constante ou parabolica)
α > β Assimetrica positiva
α < β Assimetrica negativa
De realcar tambem a enorme variedade de formas admissıveis para
a f.d.p., como se ilustra na Tabela 4.3.8, e a seguinte relacao entre as
f.d.s das distribuicoes beta e binomial quando α e β sao inteiros:
Fbeta(α,β)(t) = 1− Fbinomial(α+β−1,t)(α− 1). (4.43)
Exercıcio 4.33 — Ilustre cada um dos aspectos da f.d.p. da
distribuicao beta referidos na Tabela 4.3.8 e obtenha as equacoes de
verosimilhanca cuja resolucao conduzira as estimativas de MV dos
parametros α e β. •
Texto de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 101–105).
110
Capıtulo 5
Inferencias sobre modelos para
diferentes tipos de ensaio
5.1 Introducao
Um dos objectivos da (teoria da) fiabilidade e adiantar estimativas de
caracterısticas como a funcao taxa de falha, a funcao de fiabilidade ou
a duracao esperada de um sistema.
Uma breve revisao dos capıtulos anteriores permite-nos concluir que
o ponto de partida para a obtencao de resultados e a informacao
sobre a duracao de vida. Esta informacao pode vir sob a forma
de consideracoes tao genericas sobre o comportamento monotono da
funcao taxa de falha ou tao especıficas como a forma parametrica da
distribuicao de vida. E obvio que somente a analise estatıstica de
dados experimentais possibilita a validacao destas consideracoes/
assuncoes.
Neste capıtulo podemos encontrar a descricao de algumas das
tecnicas para a analise de dados de fiabilidade.
Abordar-se-a a estimacao nao parametrica da f.d.p., da
f. fiabilidade e da f. taxa de falha.
111
Serao descritos alguns procedimentos graficos que orientarao a
seleccao de modelos.
Serao revistos alguns tipos de censura ja que uma das
caracterısticas mais comuns de dados experimentais que se
reportam ao domınio da fiabilidade e serem de um modo geral
incompletos/ censurados pois e frequente que alguns dos itens em
teste sobrevivam por perıodos superiores a duracao planeada para o
teste.
Far-se-a uso de uma das ferramentas mais importantes em
inferencia parametrica — o metodo da MV (v.a. fulcral) a custa
do qual se obtera estimativas pontuais (intervalares) para a fiabilidade,
metodo este facilmente aplicavel a situacoes em que se lida com dados
completos ou censurados/ incompletos.
Gertsbakh (1989, p. 156) e da opiniao que nao e um exagero
afirmar que pelo menos dois tercos da literatura de fiabilidade esta
orientada para as distribuicoes exponencial e Weibull. A extrema
popularidade destas duas distribuicoes prende-se com dois factos:
elas permitem um tratamento matematico/ estatıstico simples e
elegante e, simultaneamente, fornecem em muitas situacoes praticas
uma descricao adequada do comportamento estocastico das v.a. de
interesse. 1
Poderiam ainda ter sido abordadas outras tecnicas/modelos
igualmente importantes e interessantes como a inferencia bayesiana, os
modelos de Cox (que envolvem variaveis explicativas), ou os modelos
que fazem uso de dados multivariados, etc. Para o leitor mais
interessado recomenda-se a consulta de Martz e Waller (1982) e Dhilon
1No capıtulo 9 de Martz e Waller (1985) pode encontrar-se a estimacao bayesiana da fiabilidadepara os modelos Weibull, normal, log-normal, gaussiana inversa e gama.
112
(1985) no que respeita a inferencia bayesiana e modelos de Cox (resp.).
Texto de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 155–157).
113
5.2 Identificacao e seleccao de modelos
As caracterısticas de fiabilidade de um equipamento sao estimadas
a partir dos registos dos tempos ate falha. Este dados sao
usualmente obtidos durante a fase de desenvolvimento do equipamento
(development phase) ou durante a fase de uso em laboratorio (field
use phase). A recolha de dados deve ser efectuada com extremo
cuidado em qualquer das duas fases. Por exemplo, e preciso certificar-
se que os dados sao recolhidos nas condicoes para que foi pensado o
equipamento.
Uma vez recolhidos os dados procede-se a analise dos dados,
obtendo diversos tipos de informacao que vao de estimativas da f.d.p. a
intervalos de confianca para a funcao taxa de falha, tempo esperado ate
falha e funcao de fiabilidade, passando pela bondade do ajustamento
da distribuicao ao conjunto de dados.
Texto de apoio: Dhillon (1985, p. 207).
5.2.1 Estimacao nao parametrica de caracterısticas da
fiabilidade — dados completos
Passe-se a discussao de procedimentos nao parametricos (i.e. proce-
dimentos que nao requerem o conhecimento da forma da distribuicao
do tempo ate falha) passıveis de utilizacao na estimacao da f.d.p.,
f. fiabilidade e f. taxa de falha a custa de um pequeno numero de
observacoes ou de uma amostra de dimensao consideravel que foi
previamente agrupada em classes.
Considere-se em primeiro lugar o caso em que se dispoe de uma
amostra com (dimensao pequena e) observacoes nao agrupadas
114
(ungrouped failure data).
Sejam t(1), . . . , t(n) as observacoes ordenadas de um grupo de
n tempos ate falha. Na Tabela 5.1 encontram-se expressoes
para as estimativas nao parametricas das tres mais importante
caracterısticas de fiabilidade — f.d.p., f.f. e f.t.f.
A estimativa R[t(i)] = n−i+0.625n+0.25 , i = 1, . . . , n, deve-se a Blom (1958),
e muito usada na literatura por conduzir a bons resultados empıricos.
Apesar de as estimativas tabeladas serem muito utilizadas nao sao de
modo algum as unicas estimativas das referidas caracterısticas. Por
exemplo, n−i+1n+1 , n−i+0.7
n+0.4 , n−i+0.5n e n−i
n sao outras estimativas possıveis
para a f. fiabilidade.
Tabela 5.1: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. — amostra nao
agrupada.
Funcao Estimativa
f.d.p. f [t(i)] = 1(n+0.25)×[t(i+1)−t(i)]
, i = 1, . . . , n− 1
f. fiabilidade R[t(i)] = n−i+0.625n+0.25
, i = 1, . . . , n
f. taxa de falha λ[t(i)] = 1(n−i+0.625)×[t(i+1)−t(i)]
, i = 1, . . . , n− 1
Exercıcio 5.1 — Discuta a pertinencia e os inconvenientes da f.
fiabilidade empırica, R[t(i)] = 1 − in , i = 1, . . . , n, como estimativa
da f. fiabilidade. •
Exercıcio 5.2 — Foram recolhidos os seguintes 9 tempos ordenados
ate falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit
de uma refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17,
1.25 e 1.35.
a) Determine estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f. preenchendo
para o efeito a Tabela 5.2 (Martz e Waller (1982, pp. 106–107)).
115
Tabela 5.2: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. — dados da refinaria
de gasolina.
i t(i) t(i+1) − t(i) f [t(i)] R[t(i)] λ[t(i)]
1 0.41 0.17 19.25×0.17
= 0.64 8.6259.25
= 0.93 18.625×0.17
= 0.68
2 0.58
3 0.75
4 0.83
5 1.00
6 1.08
7 1.17
8 1.25
9 1.35
b) Elabore um grafico de λ(t).
c) Que distribuicao sugeriria para o tempo ate falha face ao
comportamento monotono da estimativa da f.t.f.? •
Nota — Ao lidar com amostras pequenas importa agir com extrema
cautela pois e sabido que uma simples observacao discordante (outling
observation) pode ter uma influencia consideravel nas estimativas
obtidas.
Considere agora que se lida com uma amostra com dimensao n
consideravel e observacoes agrupadas (grouped failure data).
Sejam:
• N(t) o numero de unidades sobreviventes (em funcionamento) no
instante t (number of survivors at time t);
• k o numero de classes em que foram agrupados os dados;
116
• [tj, tj+1) ([tk, tk+1]) a j−esima classe, j = 1, . . . , k − 1 (j = k) e
∆tj = tj+1 − tj a respectiva amplitude.
Neste caso as estimativas nao parametricas da f.d.p. e da f.t.f. sao
definidas por
f(t) =no. de falhas na classe j
dimensao da amostra× amplitude da classe j
=N(tj)−N(tj+1)
n×∆tj(5.1)
λ(t) =no. de falhas na classe j
no. de sobrev. ate ao instante tj × amp. classe j
=N(tj)−N(tj+1)
N(tj)×∆tj, (5.2)
para tj ≤ t < tj + ∆tj, e a da f.f. dada por
R(t) =no. de sobreviventes ate ao instante tj
dimensao da amostra
=N(t)
n, t ≥ 0. (5.3)
A Tabela 5.3 resume estas expressoes para as estimativas da f.d.p.,
f.f. e f.t.f. para dados agrupados.
Tabela 5.3: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — amostra agrupada.
Funcao Estimativa
f.d.p. f(t) = N(tj)−N(tj+1)
n×∆tj, tj ≤ t < tj + ∆tj
f. fiabilidade R(t) = N(t)n, t ≥ 0
f. taxa de falha λ(t) = N(tj)−N(tj+1)
N(tj)×∆tj, tj ≤ t < tj + ∆tj
Exercıcio 5.3 — Sao efectuadas medicoes da resistencia de diversas
componentes, num grande laboratorio governamental, recorrendo para
o efeito a dispositivos de teste cujo funcionamento depende de baterias.
117
A duracao destas baterias tem sido um motivo constante de
preocupacao pelo que se recolheu o seguinte conjunto de 50
observacoes do tempo ate falha (em meses) dessas mesmas baterias:
Intervalo No. de falhasno intervalo
[0, 3) 21
[3, 6) 10
[6, 9) 7
[9, 12) 9
[12, 15) 2
[15, 18] 1
a) Preencha a Tabela 5.4 com estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f.
(Martz e Waller (1982, pp. 108–109)).
Tabela 5.4: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — baterias.
j tj tj+1 N(tj) N(tj)−N(tj+1) f(t) R(t) λ(t)
1 0 3 50 50− 29 = 21 2150×3 = 0.14 50
50 = 1.00 2150×3 = 0.14
2 3 6
3 6 9
4 9 12
5 12 15
6 15 18
b) Elabore e comente os graficos de f(t), R(t) e λ(t). •
118
Exercıcio 5.4 — Os turbofan jet engines comecaram a ser usados ha
mais de 20 anos como meio de propulsao de aeronaves comerciais:
constituem o que se considera uma forma economica e segura de
transportar carga e passageiros.
Os numeros de pequenas falhas registadas em intervalos (em horas)
por parte de um conjunto de 432 desses motores estao resumidos na
Tabela 5.5 (Dhillon (1985, pp. 208–209)).
Elabore um programa no package Mathematica por forma a
preencher a Tabela 5.5 com estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f.
e a elaborar graficos de f(t), R(t) e λ(t).
Tabela 5.5: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — turbofan jet engines.
tj tj+1 N(tj) N(tj)−N(tj+1) 102 × f(t) R(t) 102 × λ(t)
0 100 432 121 102×121432×100 = 0.281 432
432 = 1.00 102×121432×100 = 0.281
100 200 80
200 300 70
300 400 63
400 500 30
500 600 25
600 700 21
700 800 10
800 900 7
900 1000 5
•
Para a descricao da estimacao nao parametrica de caracterısticas da
fiabilidade referentes a dados incompletos/censurados recomenda-se a
leitura de Gertsbakh (1989, pp. 158–168).
Textos de apoio: Dhillon (1985, pp. 207–210); Martz e Waller (1982,
pp. 105–109).
119
5.2.2 Graficos TTT
Os graficos TTT (total time on test plots) foram propostos nos anos
70 e, nesta subseccao, concentramo-nos-emos no seu uso como forma
de determinar qual o comportamento monotono da funcao taxa
de falha a partir de um conjunto de n observacoes completas.
Seja N(τ) o numero de unidades sobreviventes ate ao instante τ .
Entao
T (t) =∫ t0N(τ)dτ (5.4)
representa o tempo total em teste (total time on test) ate ao
instante t. Caso as unidades tenham falhado nos instantes ordenados
t(1), . . . , t(n) o tempo total em teste observado ate ao instante t(i) e
igual a
T (t(i)) =∫ t(i)0
N(τ)dτ
= n t(1) + (n− 1) (t(2) − t(1)) + . . .
+(n− i+ 1) (t(i) − t(i−1)). (5.5)
(Justifique!) O quociente
0 ≤T (t(i))
T (t(n))≤ 1 (5.6)
e usualmente denominado de tempo total em teste escalado (scaled
total time on test) no instante t(i).
Ao grafico com abcissa i/n e ordenada T (t(i))/T (t(n)), com i =
0, 1, . . . , n e t(0) = 0, da-se o nome de grafico TTT (TTT plot). E
tambem costume unir estes pontos com segmentos de recta para uma
melhor visualizacao.
120
Nota 5.5 — O grafico TTT para observacoes provenientes de um
modelo exponencial deve ser uma recta com 45o. 2 Se a funcao taxa
de falha for crescente entao o grafico TTT devera ser concavo (i.e.
acima de um segmento de recta com 45o); caso λ(t) seja monotona
decrescente o correspondente grafico TTT devera ser convexo (i.e.
abaixo do referido segmento). Logo a curvatura do grafico TTT da
indicacao do comportamento monotono mais ou menos acentuado de
funcao taxa de falha e, assim, sugerir um modelo adequado. •
Exercıcio 5.6 — Simule dados provenientes de uma distribuicao
exponencial com parametro de escala unitario e confirme que o grafico
TTT pouco se distingue de um segmento de recta com 45o. •
Exercıcio 5.7 — Considere-se novamente os 9 tempos ordenados ate
falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit de
uma refinaria de gasolina.
Tabela 5.6: Calculos auxiliares para obter grafico TTT — refinaria de gasolina.
i t(i) t(i) − t(i−1) n− i+ 1 (n− i+ 1)(t(i) − t(i−1)) T (t(i))T (t(i))
T (t(n))
1 0.41 0.41 9 3.69 3.69 0.44
2 0.58 0.17
3 0.75
4 0.83
5 1.00
6 1.08
7 1.17
8 1.25
9 1.35
2Para uma justificacao formal deste resultado consulte-se Barlow (1998, pp. 28–30).
121
Apos ter preenchido a Tabela 5.6, elabore e comente o grafico TTT.
Serao as suas conclusoes consistentes com aquelas a que chegou na
alınea c) do Exercıcio 5.2 (Martz e Waller (1982, p. 111))? •
Nota 5.8 — A construcao de graficos TTT restringe-se ao quadrado
unitario permitindo assim a comparacao de varios conjuntos de dados
com distribuicoes distintas. Estes graficos sao ainda invariantes a
mudancas de escala e de interpretacao simples e directa. •
Exercıcio 5.9 — Elabore os graficos TTT num mesmo quadrado
unitario, para os dados dos Exercıcios 5.10 e 5.12 e pronuncie-se sobre
o comportamento monotono das funcoes taxa de falha das duracoes
para estes dois conjuntos de dados. •
Texto de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 109–111).
5.2.3 Papel de probabilidade
A aplicacao do papel de probabilidade visa essencialmente:
• a obtencao de uma confirmacao visual rapida do ajustamento de
um determinado modelo e
• a estimacao grosseira do(s) parametro(s) do modelo.
Para a sua construcao postula-se que a amostra provem de um
membro da famılia de localizacao–escala, 3 i.e., a f.d. e do tipo
Fλ,δ(t) = G
(t− λδ
), (5.7)
onde λ (λ ∈ IR) e δ (δ > 0) representam aqui os parametros de
localizacao e escala, respectivamente.
3Ou que esse membro esta de algum modo relacionado com uma famılia desse tipo.
122
O papel de probabilidade e obtido considerando como ordenadas
as observacoes ordenadas (ou uma sua transformacao, por exemplo,
logarıtmica) e como abcissas quantis de probabilidade (ou uma
sua transformacao) escolhidos de tal forma que o grafico e
aproximadamente linear quando o modelo postulado se adequa
as observacoes.
Para compreender os aspectos teoricos subjacentes ao papel
de probabilidade, e necessario definir algumas quantidades e atender
a alguns factos:
• defina-se
pi = Fλ,δ[t(i)] = G
(t(i) − λδ
); (5.8)
• o quantil de probabilidade pi e igual a
G−1(pi) =1
δ× t(i) −
λ
δ, (5.9)
logo corresponde a uma funcao linear de t(i);
• os quantis G−1(pi) sao desconhecidos uma vez que se desconhece
os parametros da f.d. da populacao; estes quantis tem de ser,
portanto, estimados;
• a v.a. Fλ,δ[T(i)] (funcao de distribuicao da v.a. de interesse T ,
avaliada em T(i)) verifica, para qualquer modelo contınuo,
Fλ,δ[T(i)] ∼ beta(i, n− i+ 1); (5.10)
• uma estimativa possıvel para pi = Fλ,δ[t(i)] e o valor esperado
E{FT [T(i)]} = in+1 , usualmente designado de plotting point,
123
donde se segue que a correspondente estimativa do quantil
G−1(pi) seja
G−1(pi) = G−1(
i
n+ 1
). (5.11)
Esta estimativa deve ser confrontada graficamente com t(i). Ao
grafico cuja
• abcissa e igual a G−1(
in+1
)(ou uma sua transformada) e cuja
• ordenada e igual a t(i) (ou uma sua funcao)
da-se o nome de papel de probabilidade. 4
A ordenada na origem (−λδ ) e o declive (1
δ ) da recta tracada “a
olho”constituem estimativas grosseiras dos parametros do modelo.
Por forma a ilustrar a construcao de papeis de probabilidade serao
considerados alguns exercıcios.
Exercıcio 5.10 — Foram registados os seguintes tempos ate falha
(em meses) de um osciloscopio 5 usado numa das oficinas de um grande
laboratorio: 0.30, 0.55, 0.56, 0.86, 0.93, 1.15, 1.42, 1.75. (Martz e
Waller (1982, pp. 113–114)).
a) Construa um papel de probabilidade para averiguar a adequacao
do modelo exponencial a este conjunto de dados.
b) Obtenha uma estimativa grosseira para o parametro de escala
deste modelo.
c) Repita as alıneas a) e b) considerando agora a seguinte abcissa
ln
(n+ 0.25
n− i+ 0.625
)
e comente os resultados agora obtidos. •
4Este grafico e por vezes designado de Q-Q plot (Q de quantil).5Aparelho que permite a visualizacao dos sinais electricos num ecra fluorescente.
124
Exercıcio 5.11 — Com o objectivo de estudar o tempo ate falha
de certo equipamento electronico (em milhares de horas), uma
matematica e um engenheiro recolheram e ordenaram um total de
50 observacoes, obtendo a seguinte conjunto de observacoes:
2.001 2.007 2.017 2.026 2.036 2.075 2.077 2.082 2.101 2.137
2.156 2.161 2.181 2.196 2.214 2.227 2.320 2.367 2.424 2.443
2.444 2.449 2.478 2.520 2.579 2.581 2.598 2.637 2.691 2.715
2.720 2.825 2.863 2.867 3.016 3.176 3.360 3.413 3.567 3.721
3.727 3.769 3.803 4.329 4.420 4.795 6.009 6.281 6.784 8.305
Dada a natureza dos dados, os elementos de tal equipa de trabalho
suspeitam que as observacoes tenham sido geradas por um modelo
Pareto, com parametros λ e δ e cuja funcao de distribuicao e dada por
Fλ,δ(t) = 1− λδ
tδ, t ≥ λ, (5.12)
para λ, δ > 0.
Descreva detalhadamente como poderia tal equipa confirmar
graficamente tal suspeita e ilustre a utilizacao da tecnica grafica
em questao elaborando para o efeito um programa no package
Mathematica. •
Exercıcio 5.12 — Suspeita-se que os seguintes tempos ate falha
sejam provenientes de uma distribuicao pertencente ao modelo Weibull
com parametros de escala e forma λ e α: 49, 73, 103, 140, 162, 164,
181, 196, 232, 248, 288, 290, 309, 377, 388, 464, 500 horas.
Construa o correspondente papel de probabilidade por forma a
averiguar a razoabilidade de tal suspeita. •
125
Exercıcio 5.13 — Para o estudo do tempo (em minutos) ate a
ocorrencia da mitose 6 de certa estirpe de bacteria recolheu-se a seguin-
te amostra: 1.242, 1.626, 0.123, 2.957, 0.388, 3.841, 1.961, 0.938.
Para escolher um modelo probabilıstico adequado, um biologo
tracou um grafico, onde marcou os pontos(ln(9/(9− i)), t(i)
).
Ao constatar que os pontos tracados apresentavam uma disposicao
aproximadamente linear que passava pela origem, o biologo escolheu
certo modelo uniparametrico.
a) Identifique o modelo escolhido, justificando o procedimento usado
pelo biologo.
b) Com base no grafico, o biologo considerou o valor 0.56 como
estimativa razoavel para o parametro desconhecido. Diga como
procedeu o biologo para obter a estimativa referida. •
Como pudemos ver o papel de probabilidade — embora nos de uma
ideia visual do ajustamento de um modelo a um conjunto de dados —
tem a desvantagem de terem de ser construıdo especificamente para
cada um dos modelos postulados, ao contrario do que acontecia com
os graficos TTT. 7
Acrescente-se que a tecnica do papel de probabilidade nao pode ser
usado para modelos discretos 8 nem para modelos contınuos como os
modelos gama (a menos que o parametro de forma seja conhecido)
e beta (a menos que se trate do modelo uniforme, porque ambos os
parametros sao de forma).
Em Martz e Waller (1982, pp. 112–118) podem encontrar-se papeis
de probabilidade para os modelos exponencial, Weibull, normal e log-6Conjunto de fenomenos citoplasmaticos e nucleares que culminam na divisao da celula em que
ocorreram.7Recorde-se que os graficos TTT nao se prestam a verificacao do ajustamento de modelos.8Basta pensar na genese do plotting point usado no papel de probabilidade.
126
normal. Estes papeis de probabilidade fazem — sem excepcao — uso
de plotting points distintos daquele aqui usado, in+1 , i = 1, . . . , n.
Textos de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 112–118); Paulino (1992,
pp. 42–46).
5.2.4 Testes de ajustamento
Nesta subseccao serao recordados a tıtulo de exercıcio os testes de
ajustamento de Kolmogorov-Smirnov e do qui-quadrado. Sao em
qualquer dos casos procedimentos estatısticos que permitem avaliar
se os dados sao ou nao consistentes com uma dada hipotese sobre
o modelo gerador dos dados, modelo este que podera ser uma
distribuicao especıfica (hipotese nula simples) ou uma famılia de
distribuicoes (hipotese nula composta).
Exercıcio 5.14 — Retome o Exercıcio 5.13 e descreva, justificando e
efectuando alguns calculos ilustrativos, o procedimento que o biologo
deveria adoptar para testar a hipotese formulada: T ∼ exponencial
(0.56). •
Exercıcio 5.15 — Retome agora o Exercıcio 5.12 e averigue a
adequacao da distribuicao Pareto(λ, δ) onde λ = t(1) e δ =
[ln(mg/t(1))]−1 representam as estimativas de MV de λ e δ e mg =(∏50
i=1 ti)1/50
= 2.852 a media geometrica da amostra.
Para tal calcule estas mesmas estimativas e confirme que as frequencias
absolutas observadas resultantes do agrupamento dos dados em 5
classes equiprovaveis sob a conjectura acima sao: 12, 6, 13, 7 e 12.
•
Para uma discussao mais alongada acerca destes testes de
ajustamento consulte-se Paulino (1992, pp. 46–56).
127
Texto de apoio: Paulino (1992, pp. 46–56).
128
5.3 Testes de vida e estimacao de MV
Como se viu os metodos de estimacao assumem a existencia de dados
recolhidos naquilo que usualmente se designa de teste de vida ou
ensaios.
Para o efeito e dependendo do objectivo de tal teste, uma amostra
de n itens e posta em teste sob condicoes experimentais/ ambientais
especıficas, procedendo-se ao registo dos tempos ate falha.
Caso um item seja substituıdo quando falha por um outro item
novo, diz-se que o teste de vida esta a ser efectuado com reposicao.
Caso contrario o teste de vida diz-se sem reposicao.
Ja tivemos oportunidade de referir que algumas situacoes
experimentais conduzem a dados incompletos/ censurados,
aquando da ilustracao da utilidade das estatısticas ordinais em
fiabilidade no Capıtulo 2. E sabido que tal censura pode ser feita
ou ao fim de decorrido um tempo fixo t0 — Censura de Tipo I
(a direita) —, ou apos o registo de um numero fixo r de falhas —
Censura de Tipo II.
Em qualquer destes testes de vida pode ocorrer a retirada
(withdrawal) de um item antes de este sequer ter falhado, sendo
somente registado o tempo de sobrevivencia/presenca da unidade no
teste.
Refira-se ainda que, por forma a induzir falhas em equipamento
muito fiavel, sao usados metodos de teste especiais denominados de
testes de vida acelerados (accelerated life tests). Neste tipo de
teste, as unidades sao testados sob condicoes ambientais extremas, de
longe mais severas que aquelas em que as unidades virao a funcionar
na pratica. Sao entao usadas relacoes matematicas (propostas ou
129
existentes) para extrapolar os resultados obtidos nos testes de vida
acelerados para as condicoes ambientais usuais.
Definicao 5.16 — Uma vez feitas estas consideracoes gerais sobre
testes de vida, e de listar os 4 tipos de testes de vida mais usuais
de acordo com Martz e Waller (1982, p. 119) e aqueles que irao ser
considerados doravante:
1. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo II
(Type II/item–censored testing with replacement) — O teste e
concluıdo apos a ocorrencia de um numero pre-especificado r de
falhas e uma unidade que falhe e imediatamente substituıda por
uma outra nova no decurso do teste.
2. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo II
(Type II/item–censored testing without replacement) — O teste e
concluıdo apos a ocorrencia de um numero pre-especificado r de
falhas e as unidades nao sao substituıdas quando falham.
3. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo I
(Type I/item–censored testing with replacement) — O teste e
concluıdo apos decorrido tempo pre-especificado t0 e uma unidade
que falhe e imediatamente substituıda por uma outra nova no
decurso do teste.
4. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo I
(Type I/item–censored testing without replacement) — O teste e
concluıdo apos decorrido tempo pre-especificado t0 e as unidades
nao sao substituıdas quando falham. •
No planeamento do teste e importante ter presente que a qualidade
das estimativas depende do numero de unidades em teste, do numero
130
pre-especificado de falhas r ate a conclusao do teste de vida (ou da
duracao fixa do mesmo t0). Quanto mais unidades forem colocadas
em teste, mais rapidamente se registara r falhas; contudo, e preciso
arranjar uma solucao de compromisso entre as vantagens economicas
de um teste com pequena duracao e as desvantagens economicas de
ter muitas unidades em teste. O problema da optimizacao subjacente
a escolha de r e n sera discutido mais adiante.
Definicao 5.17 — Sejam T(1), . . . , T(n) as estatısticas ordinais e To tempo total em teste acumulado pelas n unidades em teste
incluindo aquelas que falharam durante o teste e aquelas que nao
falharam antes da conclusao do mesmo. Entao tem-se para os 4 tipos
de testes de vida:
1. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo II
T = nT(r), onde r e uma constante fixa a partida e T(r) uma v.a.;
2. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo II
T =∑ri=1 T(i) + (n− r)T(r)
= nT(1)+(n−1)(T(2)−T(1))+. . .+(n−r+1)(T(r)−T(r−1)), r ≤ n,
onde r e uma constante fixa a partida e T(r) uma v.a.;
3. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo I
T = n t0, onde t0 e a duracao fixa a partida para o teste de vida
e R representa o numero de falhas ocorridas nesse intervalo de
tempo;
4. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo I
131
T =∑Ri=1 T(i) + (n − R)t0, R ≤ n, onde t0 e a duracao fixa a
partida para o teste de vida e R representa o numero de falhas
ocorridas nesse intervalo de tempo. •
Nota 5.18 — Nos casos 1. e 3., n representa o numero de locais
disponıveis para efectuacao dos testes de vida e r e R podem exceder
n uma vez que ha reposicao/ substituicao das unidades que falham. •
No Capıtulo 2 constatou-se que o metodo da MV 9 facilmente se
adaptava aos tipos de censura I e II (sem substituicao por falha das
unidades no decurso do teste), permitindo a estimacao de parametros
a custa de dados censurados nas situacoes 2. e 4. da Definicao
5.16. Na altura foram ainda adiantadas expressoes para a funcao de
verosimilhanca nestes dois casos.
A seguir encontram-se as funcoes de verosimilhanca para as
situacoes 2. e 4. da referida definicao, considerando-se para tal
que θ = (θ1, . . . , θk) e o vector de parametros desconhecidos que se
pretende estimar, que ti:n = t(i) e que θ = (θ1, . . . , θk) e a respectiva
estimativa de MV.
Teorema 5.19 — Sejam L(θ) a funcao de verosimilhanca e Fθ(t))
(Rθ(t)) a funcao de distribuicao (fiabilidade) da duracao de vida das
n unidades. Entao a funcao de verosimilhanca toma as seguintes
expressoes dependendo do tipo de ensaio efectuado:
2. Teste de vida sem reposicao e censura do Tipo II
L(θ) =n!
(n− r)!
r∏i=1
fθ(ti:n)
× [Rθ(tr:n)]n−r, (5.13)
para −∞ < t1:n < . . . < tr:n <∞ e r = 1, . . . , n;9O metodo da MV foi introduzido por R. Fisher numa serie de trabalhos, o primeiro dos quais
publicado em 1912.
132
4. Teste de vida sem reposicao e censura do Tipo I
L(θ) = hθ(t1:n, . . . , tr:n | R = r)× Pθ(R = r)
= r!r∏i=1
f(ti:n)
Fθ(t0)
× n
r
[Fθ(t0)]r[Rθ(t0)]
n−r
=n!
(n− r)!
r∏i=1
f(ti:n)
[R(t0)]n−r, (5.14)
para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < t0 <∞ e r = 1, . . . , n. •
A razao pela qual nao foram adiantadas expressoes para a funcao
de verosimilhanca em testes de vida com substituicao (situacoes 1. e
3.) prende-se com a dificuldade em obter expressoes genericas para
tais testes. Refira-se no entanto que elas sao relativamente simples
para populacoes exponenciais, como poderemos constatar na seccao
seguinte.
Os estimadores de MV obtidos a custa destas funcoes de verosimi-
lhanca possuem boas propriedades, senao melhores que as dos
estimadores obtidos por outros metodos de estimacao.
Para nos debrucarmos brevemente sobre algumas dessas
propriedades importa considerar que Θj(n) representa o estimador
de MV de θj, j = 1, . . . , k, obtido com base em amostra aleatoria de
dimensao n e definir a seguinte matriz.
Definicao 5.20 — A matriz de informacao de Fisher e definida
por
I(θ, n) = [Iij(θ, n)]i,j=,...,k
=
E−∂2 lnL(θ)
∂θi∂θj
i,j=,...,k
(5.15)
133
onde lnL(θ) depende de n e deve ser encarado como se de uma v.a.
se tratasse, i.e., as observacoes que figuram na sua expressao devem
ser substituıdas pelas respectivas v.a. •
Nota 5.21 — Sob certas condicoes de regularidade os estimadores de
MV verificam entre outras propriedades as duas seguintes:
• Θj(n) e estimador consistente de θj e
• o estimador de MV devidamente reduzido, Θj(n)−θj√[I(θ)]−1
jj
(onde [I(θ)]−1jj
representa a j−esima entrada da diagonal da inversa da matriz
de informacao de Fisher) possui distribuicao assintotica normal
padrao. •
E a custa deste ultimo resultado que se pode adiantar intervalos
de confianca e construir testes de hipoteses (em qualquer dos casos
assinto-ticos) para os parametros desconhecidos.
Para mais generalidades e alguns detalhes acerca deste tipo de
inferencia no domınio da fiabilidade consulte-se Gertsbakh (1989,
pp. 186–193).
Textos de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 179–194); Martz e Waller
(1982, pp. 118–120).
134
5.4 Estimacao no modelo exponencial
Como foi referido anteriormente, o modelo exponencial e sem duvida
o mais frequentemente considerado em testes de vida. Nao e raro
constatar que a sua aplicacao pratica se deve sobretudo a simplicidade
do modelo (e das inferencias sobre o mesmo) e nao a sua adequacao
aos dados.
Pretende-se, essencialmente, nesta seccao, adiantar procedimentos
que permitam inferir — com certa precisao e evitando ultrapassar
sempre que possıvel certo custo fixo — algumas caracterısticas de
fiabilidade de um tempo ate falha com distribuicao pertencente ao
modelo exponencial uni-parametrico, i.e., com a seguinte f.d.p.
fT (t) = λe−λt, t ≥ 0 (5.16)
Com efeito procurar-se-a, de um modo geral, obter estimadores
centrados de variancia uniformemente mınima (UMVUE),10 bem como
intervalos de confianca (ou testes de hipoteses) para:
• E(T ) = λ−1, o valor esperado do tempo ate falha (ou,
equivalentemente, para a sua funcao taxa de falha, λT (t) = λ, t ≥0);
• RT (t) = e−λt, t ≥ 0, a funcao de fiabilidade; ou ainda,
• F−1T (p) = − ln(1−p)
λ , o quantil de probabilidade p, tambem
designado de reliable life na literatura anglo-saxonica versando
fiabilidade.
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 164–175); Martz e Waller
(1982, pp. 120–129); Kapur e Lamberson (1977, pp. 233–290).
10Uniformly minimum variance unbiased estimator.
135
5.4.1 Validacao do modelo exponencial
Antes de nos debrucarmos sobre as inferencias sobre o modelo
exponencial propriamente ditas, descreveremos um teste de hipoteses
que, a par dos testes de ajustamento de Kolmogorov–Smirnov e do
qui-quadrado, permitira averiguar o adequacao de um modelo com
taxa de falha constante, i.e., exponencial: o teste de ajustamento
de Bartlett que se basea numa razao de verosimilhancas.
Embora nao se trate do mais comum dos testes para avaliar a
adequacao do modelo exponencial e, de acordo com alguns autores,
o mais potente na avaliacao da adequacao deste modelo.
Considere-se que T(1), . . . , T(r), . . . , T(n) representam as estatısticas
ordinais e r o numero de falhas que determinam o instante de conclusao
do teste de vida (com qualquer dos dois tipos de censura).
O procedimento geral deste teste compreende os seguintes passos
que nos escusamos a comentar em grande detalhe:
• Hipoteses — H0 : T ∼ exponencial vs. H1 : T ∼ Weibull(δ, α),
α 6= 1.11
• Nıvel de significancia — α0
• Estatıstica de teste — Esta estatıstica sera doravante
representada por Br e depende do tipo de teste de vida com que
estejamos a lidar. Ao lidar-se com dados completos
Br =2r
1 + r+16r
ln
(∑ri=1 T(i)
r
)− 1
r
r∑i=1
ln[T(i)]
a∼H0
χ2(r−1) (5.17)
onde r = n e T(i) representa o instante da i−esima falha.
11A leitura de Kapur e Lamberson (1977, p. 240) leva a crer que seja esta a hipotese alternativa.
136
Ao lidar-se com teste de vida com censura do Tipo II semreposicao tem-se
Br =2r
1 + r+16r
(ln(Tr
)− 1r
r∑i=1
ln{(n− i+ 1)[T(i) − T(i−1)]})
a∼H0 χ2(r−1) (5.18)
onde os T(i) − T(i−1)s representam os tempos entre falhas
consecutivas.
Tratando-se de teste de vida com censura do Tipo I com reposicao
tem-se
Br =2r
1 + r+16r
ln
(∑ri=1 Zir
)− 1
r
r∑i=1
ln(Zi)
a∼H0
χ2(r−1) (5.19)
onde os Zis representam os tempos entre falhas.12
• Regiao de rejeicao de H0 —
W =
(0, F−1
χ2(r−1)
(α0/2)
)∪(F−1χ2
(r−1)(1− α0/2),+∞
)
• Decisao — Seja br o valor observado da estatıstica de teste.
Entao:
– se br ∈ W devemos rejeitarH0 (hipotese de exponencialidade)
para qualquer nıvel de significancia α ≥ α0;
– caso contrario, nao devemos rejeitar H0 para nenhum nıvel
de significancia α ≤ α0.
O teste de Bartlett sera aplicado de seguida a situacoes
representativas do que se pode encontrar na pratica.
12Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–247) apresentam somente estas duas estatısticas de testeao longo dos exemplos apresentados com dados censurados.
137
Exercıcio 5.22 — Os dados na Tabela 5.7 dizem respeito ao numero
de horas ate falha de 20 termostatos sujeitos a testes de vida acelerados
por aplicacao de sobrecarga voltaica (Kapur e Lamberson (1977,
p. 240)).
Tabela 5.7: Horas ate falha de 20 termostatos
No. de horas ate falha
100 7120 24110 36860
340 12910 28570 38540
1940 13670 31620 42110
5670 19490 32800 43970
6010 23700 34910 64730
Tempo total em teste 469170
Averigue a adequacao do modelo exponencial a este conjunto de
dados considerando para o efeito um nıvel de significancia de 10%. •
Exercıcio 5.23 — Os instantes de falha e os tempos entre falhas de
travoes consecutivas de um camiao de meia tonelada sujeito a 245
horas de vibracao encontram-se na Tabela 5.8.
Tabela 5.8: Instantes de falha e os tempos entre falhas consecutivas de camiao
Instantes de falha Tempos entre falhas
21.2 74.7 108.6 157.4 21.2 0.1 15.3 5.8
47.9 76.8 112.9 164.7 26.7 2.1 4.3 7.3
59.2 84.3 127.0 196.8 11.3 7.5 14.1 32.1
62.0 91.0 143.9 214.4 2.8 6.7 16.9 17.6
74.6 93.3 151.6 218.9 12.6 2.3 7.7 4.5
Apos ter identificado o tipo de teste de vida, examine este
conjunto de dados e averigue se estes tempos entre falhas podem ser
138
exponencialmente distribuıdos (Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–
240)). •
Exercıcio 5.24 — A Tabela 5.9 contem um conjunto de dados
resultante de um teste de vida com caracterısticas distintas a do
Exercıcio 5.22. Foram usados neste teste de vida 9 locais. Em cada um
deles foi colocado um termostato que era imediatamente substituıdo
por outro novo assim que falhasse. Cada um dos locais de teste esteve
em observacao durante 20000 horas.
Tabela 5.9: Dados referentes a nove locais de teste de termostatos
Local Instantes de falha Tempos entre falhas
1 6700 6700
2 4600 4600
3 4100, 18100, 18950 4100, 14000, 850
4 5400 5400
5 3100, 8100 3100, 5000
6 2600 2600
7 Sem registo de falha —
8 4700 4700
9 Sem registo de falha —
Identifique o teste de vida descrito e averigue quao razoavel e o
modelo exponencial para este conjunto de dados (Kapur e Lamberson
(1977, pp. 241–242)). •
Texto de apoio: Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–247).
5.4.2 Amostra completa
Comecar-se-a por considerar a situacao mais simples, aquela que
envolve dados completos, passando depois para inferencias sobre o
139
modelo exponencial nas 4 situacoes consideradas em que ha censura.
O estimador de MV de λ e, para o caso em que lidamos com a
amostra completa, igual ao inverso da media da amostra aleatoria
Λ =n∑ni=1 Ti
= T −1. (5.20)
Deste modo, invocando a propriedade de invariancia dos estimadores
de MV, obtemos as estimativas de MV da Tabela 5.10.
Tabela 5.10: Algumas estimativas de MV
Parametro Estimativa MV
E(T ) = λ−1 E(T ) = λ−1
RT (t) = e−λt RT (t) = e−λt
F−1T (p) = − 1
λln(1− p) F−1
T (p) = − 1λ
ln(1− p)
Mais adiantamos que Λ−1 = T e um estimador UMVUE para
E(T ) e que∑ni=1 Ti (e naturalmente Λ) e uma estatıstica suficiente 13
para λ.
Exercıcio 5.25 — Prove que RT (t) = e−Λt nao e um estimador
centrado de RT (t), i.e., E[RT (t)] 6= RT (t)(= e−λt). •
Pelo facto de o estimador de MV nao ser um estimador centrado da
funcao de fiabilidade e costume recorrer a um estimador alternativo
UMVUE 14 definido do seguinte modo:
RT (t) =
(1− Λt/n
)n−1, t < nΛ−1 =
∑ni=1 Ti
0, t ≥ nΛ−1(5.21)
13I.e., contem toda a informacao relevante para a estimacao de λ.14Este estimador e, por sinal, obtido por aplicacao do Teorema de Rao-Blackwell (Bain (1978,
p. 124)). A deducao deste estimador pode encontrar-se em Gomes e Barao (1999, pp. 166–167).
140
Refira-se por fim que a v.a. fulcral a utilizar por forma a obter
um intervalo de confianca para λ (ou a obter uma estatıstica de teste
para λ) e 2nλ/ Λ = 2λ∑ni=1 Ti ∼ χ2
(2n).
Exercıcio 5.26 — Retome o dados do Exercıcio 5.22 se reportam ao
numero de horas ate falha de 20 termostatos sujeitos a testes de vida
acelerados.
a) Obtenha uma estimativa pontual centrada bem como um
intervalo de confianca equilibrado a (1− α)× 100% = 95% para
a fiabilidade para um perıodo de 30000 horas, RT (30000).
Sugestao — Para obter este intervalo de confianca tire partido
de a funcao de fiabilidade ser uma funcao monotona decrescente
de λ e utilize os quantis de probabilidade α/2 e (1− α/2).
b) A quantas horas se estima que metade dos termostatos serao
capazes de resistir/ sobreviver? Adiante uma estimativa pontual
e outra intervalar para tal numero, i.e., para F−1T (0.50). •
Textos de apoio: Bain (1978, pp. 121–134); Gomes e Barao (1999,
pp. 164–175); Martz e Waller (1982, pp. 120–123).
5.4.3 Testes de vida com censura
O tempo total acumulado em teste T (e R, o numero de
falhas ocorridas em (0, t0]) representa(m) um papel preponderante na
estimacao de λ ao lidar-se com o modelo exponencial e situacoes de
censura.
Para ja, as expressoes do estimador de MV de λ para os 4 casos
encontram-se nas Tabelas 5.11 e 5.13, onde, recorde-se, T se define
para os 4 tipos de teste de vida com censura de acordo com a Tabela
141
5.12, onde: r e uma constante fixa a partida e T(r) uma v.a., em testes
de vida com censura do Tipo II; t0 e a duracao fixa a partida e R
representa o numero de falhas ocorridas em (0, t0], para testes de vida
com censura do Tipo I.
Tabela 5.11: Estimadores de MV para λ — dados censurados
Censura Estimador de MV (Λ)
1./2. Tipo II com/sem reposicao r/ T
3./4. Tipo I com/sem reposicao R/ T , R > 0
Tabela 5.12: Tempos totais acumulados em teste — dados censurados
Censura Tempo total acumulado em teste (T )
1. Tipo II com reposicao nT(r)
2. Tipo II sem reposicao∑ri=1 T(i) + (n− r)T(r), r ≤ n
3. Tipo I com reposicao n t0
4. Tipo I sem reposicao∑Ri=1 T(i) + (n−R)t0, R ≤ n
Exercıcio 5.27 — Escreva as funcoes de verosimilhanca para testes
de vida com censura do Tipo I (situacoes 3. e 4.), distinguindo os
casos em que R = 0 e R > 0. •
Importante — Na verdade para testes de vida com censura do
Tipo I, por termos duas expressoes para a funcao de verosimilhanca
nas situacoes 3. e 4., o estimador de MV de λ so e igual a R/ T para
R > 0. Assim, lidaremos com os estimadores de MV da Tabela 5.13.
Invocando mais uma vez a propriedade de invariancia dos
estimadores de MV, os estimadores de MV de E(T ), RT (t) e F−1T (p)
142
Tabela 5.13: Estimadores de MV para λ — dados censurados
Censura Estimador de MV de λ (Λ)
1./2. Tipo II com/sem reposicao r/ T
3. Tipo I com reposicao
0, R = 0
R/ T , R = 1, . . . , n
4. Tipo I sem reposicao
1/ T , R = 0
R/ T , R = 1, . . . , n
obtem-se substituindo λ nas expressoes da Tabela 5.10 por Λ = r/ T .
Quanto a existencia de estimadores UMVUE para E(T ) e RT (t),
a Tabela 5.14 deixa bem claro que modificacoes ligeiras nos testes de
vida podem gerar dificuldades na obtencao de estimadores deste tipo
para esse par de parametros.
Tabela 5.14: Estimadores UMVUE de E(T ) e RT (t) — dados censurados
Censura Estimador UMVUE de
E(T ) RT (t)
1./2. Tipo II com/sem reposicao T / r RT (t) =
(1− T −1t
)r−1, t < T
0, t ≥ T3. Tipo I com reposicao Nao existe RT (t) =
(1− T −1t
)R, t < T , R > 0
4. Tipo I sem reposicao Em aberto Em aberto
Por outro lado, a Tabela 5.15 resume as estatısticas que, isolada
ou conjuntamente, sao suficientes para o modelo/ parametro na
presenca de censura.
Por fim adiante-se expressoes para os intervalos de confianca
equilibrados a (1− α)× 100% para λ, IC(1−α)×100%(λ), para alguns
143
Tabela 5.15: Estatısticas suficientes para λ — dados censurados
Censura Estatıstica suficiente
1./2. Tipo II com/sem reposicao T3. Tipo I com reposicao R
4. Tipo I sem reposicao (T , R)
tipos de teste de vida. Para tal considere-se que o valor observado
do tempo total acumulado em teste e representado por t.
Tabela 5.16: Intervalos de confianca para λ — dados censurados
Censura IC(1−α)×100%(λ)
1./2. Tipo II com/sem reposicao
F−1
χ2(2r)
(α/2)
2 t;F−1
χ2(2r)
(1−α/2)
2 t
3. Tipo I com reposicao
F−1
χ2(2r)
(α/2)
2 t;F−1
χ2(2r+2)
(1−α/2)
2 t
Assinale-se que o intervalo de confianca para λ na situacao 3. e
aproximado e depende de quantis respeitantes a duas distribuicoes do
qui-quadrado com numero de graus de liberdade distintos.
Estes resultados prendem-se com o facto de a v.a. fulcral para λ
depender naturalmente do tipo de teste de vida.
Por exemplo, e suposto lidar com a v.a. fulcral da Tabela 5.17,
onde a expressao do estimador de MV (tempo total em teste), Λ (T ),
depende do teste de vida efectuado com censura do Tipo II.
Ao lidar-se com censura do Tipo I com reposicao vemo-nos
144
Tabela 5.17: V.a. fulcrais para λ — dados censurados
Censura V.a. fulcral para λ
1./2. II com/sem reposicao 2rλΛ
= 2λT ∼ χ2(2r)
confrontados com uma estatıstica suficiente com distribuicao discreta
R ∼ Poisson(nλ t0), (5.22)
cuja f.d. esta relacionada do seguinte modo com a f.d. de uma v.a. do
qui-quadrado:
P (R ≤ r) = FPoisson(nt0λ)(r)
= 1− Fχ2(2(r+1))
(2nt0λ) (5.23)
para qualquer inteiro positivo r, donde
P (R ≥ r) = 1− P (R ≤ r − 1)
= 1− FPoisson(nt0λ)(r − 1)
= Fχ2(2r)
(2nt0λ). (5.24)
A natureza discreta de R nao permite a obtencao de um intervalo com
grau de confianca exactamente igual a (1 − α) × 100%, a menos que
se escolha em primeiro lugar um par de quantis de probabilidade da
distribuicao de R, rL e rU , e se averigue depois qual o grau de confianca
do intervalo, i.e., se calcule a probabilidade P (rL ≤ R ≤ rU).
De referir tambem que se pode tirar partido do facto de E(T ) = λ−1
ser uma funcao monotona decrescente de λ para obter intervalos de
confianca (exactos ou aproximados) a partir daqueles que constam da
Tabela 5.16.
145
Exercıcio 5.28 — Deduza IC(1−α)×100%(λ) para um teste de vida
com censura do Tipo I com reposicao (Bain (1978, pp. 156–7). •
Exercıcio 5.29 — Num estudo foram registadas 50 falhas no ano
de 1972 (8760 horas) num total de 5613 componentes utilizadas em
reactores nucleares (Martz e Waller (1982, p. 123)).
Determine estimativas pontuais e intervalos de confianca
equilibrados a 95% para: λ; a fiabilidade para um perıodo de 1 ano,
i.e., RT (8760); e F−1T (0.80). •
Textos de apoio: Bain (1978, pp. 136–142); Gomes e Barao (1999,
pp. 167–171); Martz e Waller (1982, pp. 120–123).
5.4.4 Escolha da fraccao a censurar e minimizacao de custos
de amostragem
Suponha-se que se esta a efectuar um teste de vida em que e
conveniente da-lo por concluıdo apos a ocorrencia de r falhas, i.e., o
teste esta associado a censura do Tipo II (ja agora) sem reposicao.
Para alem disso, assuma-se que se pretende seleccionar o numero
de unidades a colocar em teste, n, por forma a verificar-se uma
reducao especıfica na duracao esperada do mesmo ou de modo
a que o custo esperado do teste seja minimizado.
E sobre estes dois problemas de optimizacao que nos debrucaremos
ja de seguida.
E sabido que o valor esperado do duracao do teste com este tipo
de censura e igual a E(Tr:n) =∑ri=1
1(n−i+1)λ . Por forma a eliminar
a dependencia de E(Tr:n) do parametro desconhecido λ e costume
considerar o quociente entre a duracao esperada do teste com censura
146
do Tipo II sem reposicao e o que se esperaria se n = r (Bain (1978,
p. 139) e Martz e Waller (1982, p. 121))
E(Tr:n)
E(Tr:r)=
∑ri=1
1n−i+1∑r
i=11
r−i+1. (5.25)
Alternativamente, pode considerar-se a reducao relativa percentual na
duracao esperada do teste, tendo como referencia a duracao esperada
do teste com censura do Tipo II sem reposicao quando n = r:1− E(Tr:n)
E(Tr:r)
× 100% =
1−∑ri=1
1n−i+1∑r
i=11
r−i+1
× 100%. (5.26)
Exercıcio 5.30 — Apure a reducao esperada se dispusse de 20 itens
e decidisse terminar o teste ao fim de 8 falhas (Martz e Waller (1982,
p. 121)). Construa uma tabela com os valores do quociente acima
para r = 10, 20, 30, 50, 100 e n/r = 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 2, 3 (Bain (1978,
p. 139)). •
O custo associado a um teste de vida com censura do Tipo II
sem reposicao — envolvendo n unidades e conclusao a ocorrencia da
r−esima falha — e dado pela equacao
C(n, r) = c1 × Tr:n + c2 × n+ c3. (5.27)
A constante c1 representa o custo por unidade de tempo em teste.
Por seu lado c2 podera representar o custo por cada unidade em teste
Por ultimo c3 representa o custo fixo de cada teste (por exemplo, o
custo incorrido por se usar equipamento de teste) independentemente
do numero de unidades em teste e da duracao do mesmo.
E possıvel determinar n a custa de r por forma a minimizar
E[C(n, r)]. O valor recomendado por Bain (1978, p. 141) e
n =
0.5 r + 0.5 r
(1 +
4c1
c2rλ
)1/2 . (5.28)
147
Ora pelo facto de se desconhecer λ e de V (Tr:n) = 1rλ2 deve considerar-
se que r foi escolhido por forma a que o estimador de λ possuısse
variancia v e deste modo substituir-se λ por (r × v)−1/2, obtendo-se
n =
0.5 r + 0.5 r
1 +4c1√r × vc2r
1/2 . (5.29)
Exercıcio 5.31 — Deduza a Equacao (5.28).
Sugestao: Deve aumentar-se n ate que D(n, r) = E[C(n − 1, r)] −E[C(n, r)] seja negativo, para r fixo. •
A laia de conclusao, refira-se que a estimacao no modelo Weibull e
substancialmente mais difıcil que no modelo exponencial pois aquele
nao goza da propriedade chave que este ultimo possui: a falta de
memoria. Para o efeito, remete-se o leitor para os seguintes textos
de apoio: Bain (1978, pp. 205–301); Gertsbakh (1989, pp. 155–179);
Kapur e Lamberson (1977, pp. 291–341).
Texto de apoio: Bain (1978, pp. 138–142).
148
Capıtulo 6
Estrategias de manutencao
6.1 Introducao
Em muitas situacoes, a falha de uma componente/estrutura durante
a sua fase de operacao acarreta custos elevados ou pode mesmo
ser perigosa, pelo que, se a componente/estrutura possuir taxa de
falha crescente, parece razoavel substituı-la antes que ela envelheca
demasiado. A substituicao e uma das muitas intervencoes que se
enquadra no domınio da manutencao.
Definicao informal 6.1 — Manutencao
Pode ser entendida como o conjunto de intervencoes num sistema
para que este se mantenha ou volte a encontrar-se num estado
especıfico de funcionamento. A manutencao subdivide-se em:
• manutencao preventiva (preventive maintenance) — efectuada
em intervalos e de acordo com procedimentos pre-determinados
por forma a reduzir, por ex., falhas por desgaste e a detectar e
reparar “hidden failures”(i.e., falhas em “partes redundantes”)1
1As “partes redundantes”, quando implementadas, permitem que a reparacao das mesmas sejaefectuada enquanto o sistema esta a operar e sem que seja necessaria a interrupcao da operacaodo mesmo.
149
de modo a aumentar a vida util do sistema;
• manutencao correctiva (corrective maintenance ou repair)
— desencadeada apos a deteccao de falha e com o objectivo
de o sistema voltar a desempenhar as funcoes requeridas e
compreende pelo menos um dos seguintes passos: localizacao,
isolamento, desmontagem, substituicao, montagem, alinhamento
e verificacao. •
As seccoes que se seguem debrucam-se, por exemplo, sobre a
utilidade e o impacto de algumas nocoes de envelhecimento no
contexto da manutencao nomeadamente no estabelecimento de limites
para:
• probabilidades de eventos que dizem respeito ao numero de falhas
de equipamento num intervalo de tempo fixo;
• a funcao de renovamento;
• funcoes convexas crescentes do referido numero de falhas.
Textos de apoio: Birolini (1999, p. 114 e pp. 117–122); Barlow e
Proschan (1965/96, pp. 46–48).
150
6.2 Sobre o impacto das nocoes de
envelhecimento em manutencao
Ha famılias de distribuicoes que, pelas suas caracterısticas de
envelhecimento estocastico, sao particularmente uteis em manutencao.
Sao disso exemplo as distribuicoes NBU (NWU) e NBUE (NWUE) ja
definidas no Capıtulo 3.
Estas quatro famılias surgem por sinal no contexto de modelos de
choques (Barlow e Proschan (1975, p. 91–92)), descritos no exemplo
seguinte (Barlow e Proschan (1975, p. 160)).
Exemplo 6.2 — Dispositivo sujeito a choques
Considere-se que um dispositivo e sujeito a choques ao longo do tempo
de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Importa notar que o
dispositivo podera ou nao vir a sobreviver a ocorrencia de um choque.
Com efeito, considere-se que P k representa a probabilidade de um
dispositivo sobreviver a ocorrencia do k−esimo choque (k ∈ IN0). Esta
probabilidade pode ser entendida como RX(k) = P (X ≥ k),2 a funcao
de fiabilidade da v.a. discreta X, que representa o numero de choques
ocorridos ate que o dispositivo falhe definitivamente.3 E, como seria
de esperar, estas probabilidades sao decrescentes:
1 = RX(0) ≥ RX(1) ≥ . . . (6.1)
Neste caso, a funcao de fiabilidade da duracao T do dispositivo e
2Barlow e Proschan (1975, p. 160) preferem representar a funcao de fiabilidade de X por P k,k = 0, 1, . . ..
3Recorde-se que Barlow e Proschan (1975) definem do mesmo modo a funcao de fiabilidade deuma v.a. discreta. Veja-se tambem a Definicao 3.35. Recorde-se tambem que o denominador dafuncao taxa de falha de uma v.a. discreta e exactamente RY (k) = P (Y ≥ k).
151
dada por:
RT (t) =+∞∑k=0
RX(k) e−λt(λt)k
k!, t ≥ 0. (6.2)
•
Importa notar que a duracao de um dispositivo sujeito a choques
preserva, em certos casos, o caracter de envelhecimento estocastico do
numero de choques ocorridos ate a falha definitiva do dispositivo como
se pode constatar no teorema seguinte.
Teorema 6.3 — Preservacao do caracter de envelhecimento
estocastico por dispositivo sujeito a choques
Sejam T a duracao de um dispositivo sujeito a choques e X o numero
de choques ocorridos ate a falha definitiva do mesmo. Entao
X ∈ NBU (NWU)⇒ T ∈ NBU (NWU). (6.3)
Para alem disso,
X ∈ NBUE (NWUE)⇒ T ∈ NBUE (NWUE). (6.4)
•
Uma vez enunciado este teorema convinha adiantar ao menos uma
interpretacao de um dos seus resultados:
• caso a probabilidade do dispositivo sobreviver a ocorrencia de k
choques adicionais dado que ja sobreviveu a l choques (RX(k +
l)/RX(l)) for menor que a probabilidade de sobreviver a k choques
(RX(k)), i.e., X ∈ NBU entao a vida residual do dispositivo em
qualquer instante t e estocasticamente menor no sentido usual
que a vida do dispositivo (RTt(x) ≤ RT (x),−∞ < x < ∞), pelo
que e razoavel efectuar substituicoes preventivas do dispositivo.
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 159–161).
152
6.3 Teoria do renovamento e manutencao
A teoria do renovamento quando conjugada com algumas nocoes
de envelhecimento estocastico revela-se particularmente util em
manutencao como se tera ocasiao de ver ja de seguida.
Comece-se por recordar (informalmente) a nocao de processo de
renovamento e ja agora alguns dos seus resultados basicos.
Um processo de renovamento e, grosso modo, uma sequencia de
v.a. nao negativas {X1, X2, . . .}, i.i.d. a v.a.X com f.d.F . Estas
v.a. representam os tempos entre ocorrencias consecutivas, sejam
elas eventos, falhas, etc. Mais, e costume representar o numero de
renovamentos/eventos/falhas no intervalo [0, t], t ≥ 0, por N(t), e a
coleccao de v.a. {N(t), t ≥ 0} e um processo de contagem.
Ao denotar por Sn =∑ni=1Xi o tempo ate a ocorrencia do n−esimo
renovamento, pode adiantar-se que N(t) ≥ n⇔ Sn ≤ t, pelo que:
P [N(t) ≥ n] = P (Sn ≤ t)
= F (n)(t) (6.5)
P [N(t) = n] = F (n)(t)− F (n+1)(t), (6.6)
onde F (n)(t) representa a convolucao de ordem n da distribuicao sobre
si propria.
A tıtulo de exemplo, caso X ∼ exponencial(λ), {N(t), t ≥ 0} diz-
se um processo de Poisson de taxa λ e N(t) ∼ Poisson(λt). Note-se
tambem que Sn ∼ gama(λ, n), pelo que
P [N(t) ≥ n] = P (Sn ≤ t)
= F (n)(t)
= 1− FPoisson(λt)(n− 1). (6.7)
153
6.3.1 Limites para a convolucao
Dado que a convolucao F (n)(t) so se pode obter por via numerica, salvo
em rarıssimas excepcoes como aquela acabada de ver, e fundamental
adiantar limites para probabilidades de eventos que digam respeito ao
numero de falhas N(t) e para o fazer sera necessario saber de antemao
o comportamento monotono da funcao taxa de falha de X como se
podera ver no teorema seguinte.
Teorema 6.4 — Limite superior para a convolucao de v.a.
IHR
Considere que o tempo entre ocorrencias sucessivas sao v.a. i.i.d. com
funcao taxa de falha crescente (X ∈ IHR) e valor esperado E(X) = µ.
Entao, tirando partido do facto de
X ∈ IHR⇒ RX(t) ≥ e−t/µ, 0 ≤ t < µ, (6.8)
conclui-se que, para n ∈ IN0,
P [N(t) ≥ n] ≤∞∑j=n
e−t/µ(t/µ)j
j!
= RPoisson(t/µ)(n), 0 ≤ t < µ. (6.9)
•
O Teorema 6.4 prova-se sem grande dificuldade a partir do resultado
(6.8) uma vez que este permite-nos concluir que um tempo entre
renovamentos IHR e estocasticamente maior (no sentido usual) que o
tempo entre ocorrencias de um processo de Poisson, donde se conclui
que o numero de renovamentos no intervalo [0, t] e estocasticamente
menor (tambem no sentido usual) que o numero de ocorrencias do
processo de Poisson no referido intervalo.
154
Este teorema permite ainda afirmar que, caso os tempos entre falhas
sucessivas das componentes sejam i.i.d., com valor esperado µ e taxa
de falha crescente, a funcao de fiabilidade da v.a. de Poisson(t/µ)
sobrestima a verdadeira probabilidade de ocorrerem pelo menos n
falhas no intervalo [0, t], desde que t seja inferior a duracao esperada
das componentes.
Importa notar que o limite (6.9) nao e valido para alguns tempos
entre falhas NBU , nem para t ≥ µ. Posto isto, e crucial estabelecer
limites para P [N(t) ≥ n] nestas situacoes.
Teorema 6.5 — Limites para a convolucao de v.a. NBU
(NWU) e IHR (DHR)
Seja X uma v.a. contınua com f.d.F (t) tal que F (0) = 0 e funcao
de fiabilidade R(t) = 1 − F (t). Considere-se ainda a funcao G(t) =
− ln[R(t)].
Se X ∈ NBU (NWU) entao, para n ∈ IN ,
P [N(t) ≥ n] ≤ (≥)∞∑j=n
e−G(t) [G(t)]j
j!
= RPoisson(G(t))(n), t ≥ 0. (6.10)
Pode tambem afirmar-se que, caso X ∈ IHR (DHR), se tem, para
n ∈ IN ,
P [N(t) ≥ n] ≥ (≤)∞∑j=n
e−nG(t/n) [nG(t/n)]j
j!
= RPoisson(nG(t/n))(n), t ≥ 0. (6.11)
•
155
Nota 6.6 — Limite superior para a convolucao de v.a. IHR
Se tirarmos partido novamente do resultado (6.8) da desigualdade
(6.10) e do facto de X ∈ IHR⇒ X ∈ NBU , rapidamente concluimos
que
∞∑j=n
e−G(t) [G(t)]j
j!≤ RPoisson(t/µ)(n), 0 ≤ t < µ. (6.12)
Assim, o limite superior em (6.10) vem melhorar o limite superior
estabelecido em (6.9). •
Exercıcio 6.7 — Utilize o Teorema 6.5 para obter limites para
P [N(t) ≤ n] e P [N(t) ≥ n] onde N(t) e o numero de falhas em [0, t]
associado ao tempos com distribuicao Weibull(λ−1, α), onde λ > 0 e
α > 1.
Escusado sera dizer que estes limites sao bastante convenientes ja
que se desconhece uma formula fechada para a f.d. da soma de v.a. de
Weibull. •
Exemplo 6.8 — Limite superior para a convolucao de v.a.
IHR e obtencao do numero de pecas sobressalentes (Barlow e
Proschan (1975, pp. 164–166)
Os pneus de uma aeronave tem maior tendencia a falhar quando esta
levanta voo ou durante a aterragem que em qualquer outra altura.
Assim sendo, e razoavel que a f.f. do tempo entre falhas consecutivas
de um pneu seja uma funcao em escada com pontos de descontinuidade
que distam de h unidades de tempo, onde h representa o tempo entre
(inıcios de) voos X. Uma possibilidade seria
RX(t) = e−αbt/hc, t ≥ 0, (6.13)
onde α > 0 e bt/hc representa a parte inteira do quociente t/h. Por
sinal a v.a. assim definida e NBU (embora nao seja nem IHR, nem
156
IHRA) o que e, alias, razoavel dado que um pneu novo e seguramente
preferıvel a um pneu usado.
Tendo em conta o caracter de envelhecimento estocastico de X e
o Teorema 6.5, pode concluir-se que a probabilidade de o numero de
falhas do pneu i nao exceder n, no intervalo [0, t], satisfaz
P [Ni(t) ≤ n] ≥n∑j=0
e−bt/hc(bt/hc)j
j!
= FPoisson(bt/hc)(n), t ≥ 0. (6.14)
Admita-se agora que a duracao dos voos e de h = 2 horas, que os 8
pneus da aeronave funcionam de modo independente e que qualquer
deles possui f.f.
RX(t) = e−0.002bt/2c, t ≥ 0, (6.15)
associada a um tempo esperado entre falhas igual a
E(X) =∫ +∞
0RX(t)dt =
2
1− e−0.002 . (6.16)
A questao que se coloca agora e a seguinte:
• quantos pneus sobressalentes deve dispor-se de forma a assegurar
que a probabilidade de nao haver falhas de pneus durante um
perıodo de operacao de t = 200 horas seja maior ou igual a 0.95?
Ora, se se considerar que Ni(200) representa o numero de falhas do
pneu i no intervalo [0, 200], para i = 1, . . . , 8, e que
Mi(200) ∼iid Poisson(0.002× b200/2c = 0.2), i = 1, . . . , 8, (6.17)
(6.14) pode reescrever-se do seguinte modo, para i = 1, . . . , 8:
P [Ni(200) ≥ n] ≤ RPoisson(0.2)(n), n ∈ IN0, (6.18)
ou, equivalentemente, Ni(200) ≤st Mi(200).
157
Invocando agora o facto de a relacao de ordem estocastica ≤st ser
fechada para somas de um numero fixo de parcelas, o numero total de
falhas dos 8 pneus num perıodo de operacao de 200 horas, N(200) =∑8i=1Ni(200), satisfaz
N(200) ≤st8∑i=1
Mi(200) =st Poisson(8× 0.2 = 1.6), (6.19)
ou seja,
P [N(200) ≤ n] ≥ FPoisson(1.6)(n), n ∈ IN0. (6.20)
Por fim, ao consultar-se as tabelas da f.d. da Poisson, pode afirmar-
se que, para n = 4, se tem FPoisson(1.6)(4) = 0.970 ≥ 0.95. Assim, 4
pneus sobressalentes sao suficientes para assegurar que a probabilidade
de nao haver falhas de pneus durante 200 horas de operacao seja maior
ou igual a 0.95. •
Exercıcio 6.9 — Um sistema em serie possui tres componentes (1, 2
e 3), cujas duracoes distribuem-se exponencialmente com taxas λ1 =
0.001, λ2 = 0.002 e λ3 = 0.0015. Para alem disso, numa missao
em que se utiliza este sistema, requere-se que a primeira, a segunda
e a terceira componentes operem durante 3000, 5000 e 1000 horas,
respectivamente.
Determine o numero de componentes sobressalentes dos tipos 1, 2
e 3 de modo a garantir que estas componentes sejam suficientes com
probabilidade nao inferior a 0.95 para a missao em questao (Barlow e
Proschan (1975, p. 176)). •
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 161–166).
158
6.3.2 Limites para a funcao de renovamento
E altura de adiantar limites para a funcao de renovamento.
Comece-se por notar que
M(t) = E[N(t)] =∞∑n=1
P [N(t) ≥ n] =∞∑n=1
F (n)(t) (6.21)
e recordar que, de acordo com o Teorema Elementar do Renovamento,
limt→+∞
M(t)
t=
1
µ, (6.22)
onde µ representa o valor esperado do tempo entre renovamentos.
Relembre-se tambem que, caso a v.a.X nao seja periodica4 e possua
valor esperado µ, entao
limt→+∞
[M(t+ h)−M(t)] =h
µ, (6.23)
segundo o Teorema de Blackwell.
Por fim, recorde-se que A(t) = t − SN(t) e Y (t) = SN(t)+1 − t
representam, respectivamente, a idade e a vida residual de um processo
de renovamento, no instante t.
Estamos pois em condicoes de tirar partido de algumas nocoes de
envelhecimento estocastico para estabelecer limites para a funcao de
renovamento.
4A v.a. diz-se periodica se existir uma constante positiva h tal que P (X = nh, n ∈ IN0) = 1.
159
Lema 6.10 — Limite superior para a f.f. da vida residual no
instante t
Considere-se processo de renovamento {X1, X2, . . .}, onde Xi ∼iid Xe X uma v.a. com f.f.RX(t). Entao
X ∈ NBU (NWU)⇒ P [Y (t) > u] ≤ (≥)RX(u), u ≥ 0. (6.24)
Ou por outra, a vida residual, em qualquer instante t, e
estocasticamente menor (resp. maior) no sentido usual que o tempo
entre renovamentos, caso esta v.a. seja NBU (resp. NWU). •
O teorema que se segue permite concluir que a funcao de
renovamento e superaditiva (subaditiva) ao lidar-se com tempos entre
renovamentos NBU (resp. NWU).5
Teorema 6.11 — Superaditividade (subaditividade) da
funcao de renovamento
Considerem-se tempos entre renovamentos Xi ∼iid X. Entao
X ∈ NBU (NWU)⇒M(h) ≤ (≥)M(t+ h)−M(t). (6.25)
•
O proximo teorema estabelece limites para a funcao de
renovamento, limites estes particularmente uteis ja que a semelhanca
da convolucao e de difıcil calculo.
Teorema 6.12 — Limites para a funcao de renovamento
Considerem-se tempos entre renovamentos Xi ∼iid X. Entao
E(X) = µ < +∞ ⇒ M(t) ≥ t
µ− 1, t ≥ 0; (6.26)
X ∈ NBUE (NWUE) ⇒ M(t) ≤ (≥)t
µ, t ≥ 0. (6.27)
•5A funcao f(x) diz-se superaditiva (resp. subaditiva) se f(x+ y) ≥ (≤)f(x) + f(y).
160
Ao conjugar-se os dois resultados do Teorema 6.12 pode enquadrar-
se a funcao de renovamento sob certas condicoes. Com efeito, para
t ≥ 0,
X ∈ NBUE, E(X) = µ < +∞⇒ t
µ− 1 ≤M(t) ≤ t
µ, (6.28)
pelo que, neste caso, podemos adiantar a estimativa (t/µ− 1/2) para
a funcao de renovamento, bem como afirmar que o erro associado a
esta estimativa nao excede 1/2 (uniformemente).
Teorema 6.13 — Outros limites para a funcao de
renovamento
Suponha que os tempos entre renovamentos possuem f.d.FX(x) e f.f.
RX(x). Entao
X ∈ IHR ⇒ t∫ t0 RX(x)dx
− 1 ≤M(t) ≤ tFX(t)∫ t0 RX(x)dx
. (6.29)
•
Exercıcio 6.14 — Estime o numero esperado de renovamentos no
intervalo [0, 1000] num processo de renovamento associado a f.d.p.
fX(x) = 0.012xe−0.01x, x ≥ 0 e determine o erro maximo da estimativa
que obteve (Barlow e Proschan (1975, p. 176)). •
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 166–173).
6.3.3 Limites para algumas funcoes do numero de
renovamentos
Em determinadas situacoes lidamos nao com o numero de
renovamentos mas sim com suas funcoes. Caso estas funcoes sejam
convexas crescentes pode adiantar-se um limite superior para processos
de renovamento com tempos entre ocorrencias NBUE.
161
Teorema 6.15 — Limites para funcoes convexas crescentes do
numero de renovamentos
Considere-se um processo de renovamento tal que Xi ∼iid X ∈ NBUEe E(X) = µ = 1/λ. Tome-se tambem uma funcao c(n) convexa
crescente tal que c(0) = 0. 6 Entao
∞∑n=0
c(n)× P [N(t) = n] ≤∞∑n=0
c(n)× e−λt (λt)n
n!, t ≥ 0, (6.30)
ou seja,
E{c[N(t)]} ≤ E{c[NPoisson(t)]}, t ≥ 0, (6.31)
onde NPoisson(t) representa o numero de eventos, no intervalo [0, t],
para um processo de Poisson de taxa λ. •
Este resultado revela-se util nomeadamente para resolver o
problema de minimizacao descrito no exemplo seguinte.
Exemplo 6.16 — Limites para uma funcao convexa crescente
do numero de renovamentos
Suponha que pretende determinar o numero de pecas sobressalentes
N de modo a que o valor esperado do numero de pecas sobressalentes
necessarias nao exceda determina valor considerado crıtico N ∗
(minimizing expected shortage).
Para ja refira-se que esta v.a. e definida por
c[N(t)] =
0, N(t) ≤ N
N(t)−N, N(t) > N.(6.32)
Posto isto, caso a duracao das pecas seja NBUE e possua valor
esperado igual a µ = 1/λ, segue-se pelo Teorema 6.15:
∞∑n=N
(n−N)× P [N(t) = n] ≤∞∑n=N
(n−N)× e−λt (λt)n
n!, (6.33)
6Esta igualdade pode ler-se do seguinte modo: a ausencia de falhas nao acarreta custos.
162
para t ≥ 0. Por ultimo, tendo em conta que
∞∑n=N
(n−N)× e−λt (λt)n
n!= λt× [1− FPoisson(λt)(N − 2)]
− N × [1− FPoisson(λt)(N − 1)], (6.34)
a obtencao da solucao de
N : c[N(t)] ≤ N ∗ (6.35)
passa por determinar o menor dos valores de N tal que
λt×[1−FPoisson(λt)(N−2)]−N×[1−FPoisson(λt)(N−1)] ≤ N ∗,(6.36)
valor este que se obtem sem grande dificuldade apos algumas consultas
das tabelas da f.d. da distribuicao de Poisson. •
Sob certas condicoes e tambem possıvel estabelecer um limite
superior (resp. inferior) para uma outra funcao do numero de
renovamentos que, embora convexa, nao e crescente: a sua variancia.
Teorema 6.17 — Limites para a variancia do numero de
renovamentos
Considere-se um processo de renovamento com tempos entre
ocorrencias Xi ∼iid X. Entao
X ∈ NBU (NWU)⇒ V [N(t)] ≤ (≥)M(t). (6.37)
•
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 173–176).
163
6.4 Algumas estrategias de manutencao
Barlow e Proschan (1965/1996) abordam as estrategias de
manutencao de um modo que nos parece mais completo que Birolini
(1999), fazem uso da teoria de renovamento e concentram-se nas
seguintes polıticas de substituicao
• age replacement
• block replacement
• random age replacement.
Um dos primeiros tratamentos sobre polıticas de substituicao deve-
se a Lotka (1939).
Por seu lado, Campbell (1941) comparou as vantagens da
substituicao de um grupo de lampadas de candeeiros de rua aquando
da falha de uma delas com as vantagens da substituicao individual de
lampadas a medida que as falhas vao ocorrendo.7
Definicao informal 6.18 — Age replacement
De acordo com esta polıtica a componente i e substituıda
imediatamente aquando de uma falha (failure replacement ou
substituicao devido a falha) ou substituıda caso atinja a
idade (nao aleatoria) Z (planned replacement ou substituicoes
planeadas/programadas).
Refira-se tambem que de acordo com esta polıtica ao ocorrer
uma substituicao planea-se imediatamente uma substituicao daı a Z
7E claro que o custo por lampada associado a substituicao do grupo de lampadas e inferior aqueleassociado a substituicao individual somente aquando da ocorrencia de uma falha de uma lampada.Contudo o custo das lampadas adicionais requeridas na manutencao preventiva deve equilibrar-secom o custo das falhas adicionais que venham a ocorrer caso a substituicao das restantes lampadas(ainda em funcionamento) seja adiada.
164
unidades de tempo ou antes disso caso a componente nao chegue a
atingir a idade Z. •
Exercıcio 6.19 — A unica componente relevante de um dispositivo
mecanico esta sujeita a polıtica de manutencao do tipo age
replacement, com substituicoes planeadas ao fim de 2 horas.
Admita que se sabe de antemao que as duracoes (em horas) da
componente e suas 5 substitutas e de 1.5h, 1.2h, 2.1h, 4.5h, 1.8h e
2.4h, respectivamente. Quantas substituicoes ocorrerao no intervalo
[0, 8] e em que instantes? •
Exercıcio 6.20 — Admita que a componente (resp. estrutura com n
componentes) possui duracao de vida com funcao de fiabilidade R(t)
(resp. RT (t)).
(a) Prove que a probabilidade da componente nao falhar durante o
servico no intervalo [0, t] e, para a polıtica do tipo age replacement
com substituicoes planeadas ao fim de Z unidades de tempo, dada
pela expressao
SZ(t) = [R(Z)]k[R(t− kZ)], kZ ≤ t < (k + 1)Z. (6.38)
(b) Demonstre que a probabilidade da estrutura nao falhar durante
o servico no intervalo [0, t] e, nas condicoes acima, dada por
SZ,est(t) = [RT (Z)]k[RT (t− kZ)], kZ ≤ t < (k + 1)Z. (6.39)
(c) Obtenha expressoes para SZ,est(t) ao considerar estruturas em
paralelo e em serie. •
165
Proposicao 6.21 — Se T ∈ IHR entao
SZ1(t) ≥ SZ2
(t), t ≥ 0, Z1 ≤ Z2, (6.40)
ou seja, quanto mais frequentes forem as substituicoes, maior e o
tempo ate a ocorrencia de uma falha durante o servico, caso a durac ao
das componentes possua f.t.f. crescente. •
Proposicao 6.22 — Caso T ∈ IHR tem-se
SZ(t) ≥ F (t), t ≥ 0, (6.41)
i.e., a polıtica de age replacement aumenta a probabilidade de
sobrevivencia durante o intervalo [0, t] de uma componente quando
a respectiva duracao (T ) e IHR. •
Exercıcio 6.23 — Prove as duas proposicoes anteriores. •
Exercıcio 6.24 — Demonstre que o tempo esperado ate a primeira
ocorrencia de uma falha de uma componente durante o servico e igual
a
EZ =
∫Zo F (x)dx
F (Z). (6.42)
Obtenha uma expressao similar para EZ,est.8 •
Definicao informal 6.25 — Block replacement
Ao adoptar-se esta polıtica de substituicao ha substituicoes de
componentes nos instantes Z, 2Z, 3Z, . . . (planned replacement)
independentemente do historial de falhas da estrutura. Para alem
disso ocorrem substituicoes das componentes no instante das
respectivas falhas (failure replacement).9 •8Em Barlow e Proschan (1965/1996, p. 62) encontram-se limites para este valor esperado.9De acordo com Barlow e Proschan (1965/1996, p. 67) esta polıtica de subsituicao e
provavelmente mais pratica que as polıticas do tipo age replacement uma vez que nao requereo registo do uso das componentes.
166
A polıtica de substituicao do tipo block replacement e comum na
manutencao de computadores digitais e outros sistemas electronicos
complexos, apesar de requerer a substituicao de mais componentes
ainda em funcionamento que a polıtica do tipo age replacement.
Refira-se, no entanto, que caso a duracao das componente seja IHR o
numero de falhas ao utilizar-se uma polıtica do tipo block replacement
e menor que ao recorrer-se a uma polıtica do tipo age replacement.
Exercıcio 6.26 — Repita o Exercıcio 6.19 considerando agora que a
polıtica de substituicao e do tipo block replacement. •
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/96, pp. 48–61); Barlow
e Proschan (1975, pp. 159–161).
167
6.5 Comparacao de estrategias de manutencao
Barlow e Proschan (1965/1996) debrucam-se tambem sobre algumas
caracterısticas primarias de algumas estrategias de manutencao
tambem denominadas de polıticas de substituicao (replacement
policies). A saber:
• a distribuicao do numero de falhas;
• a distribuicao do numero total de substituicoes.
E com base nas caracterısticas primarias que e costume comparar
as duas polıticas de substituicao ja descritas, age replacement block
replacement.
Mas antes de enunciar quaisquer resultados convinha relembrar que:
• a v.a. X diz-se estocasticamente menor que Y (no sentido usual)
— escrevendo-se neste caso X ≤st Y — sse
RX(x) ≤ RY (x), −∞ < x < +∞; (6.43)
• a v.a. Xθ cresce estocasticamente com o parametro θ (no sentido
usual) no conjunto Θ — escrevendo-se neste caso Xθ ↑st com θ
— sse
P (Xθ1 ≥ x) ≤ P (Xθ2 ≥ x), −∞ < x < +∞, (6.44)
para quaisquer θ1, θ2 ∈ Θ que verifiquem θ1 ≤ θ2.
Note-se tambem que doravante:
• N(t) representa o numero de renovamentos/falhas no intervalo
[0, t] de um processo de renovamento;
168
• NA(t, Z) (resp. RA(t, Z)) representa o numero de falhas (resp.
substituicoes planeadas ou devidas a falha) no intervalo [0, t] ao
adoptar-se uma polıtica de manutencao do tipo age replacement
com substituicoes planeadas ao fim de Z unidades de tempo;
• NB(t, Z) (resp. RB(t, Z)) representa o numero de falhas (resp.
substituicoes planeadas ou devidas a falha) no intervalo [0, t] ao
adoptar-se uma polıtica de manutencao do tipo block replacement
com substituicoes planeadas de Z em Z unidades de tempo.
E curioso notar que N(t) coincide com o numero de substituicoes,
caso se efectue somente manutencao correctiva, i.e., substituicoes de
uma componente somente aquando da respectiva falha.
O teorema seguinte permitira afirmar que a classe de distribuicoes
NBU e a maior das classes para a qual a adopcao das polıticas de
manutencao dos tipo age e block replacement resulta numa diminuicao
estocastica (em sentido usual) do numero de falhas no intervalo [0, t],
t ≥ 0. Posto isto parece natural estudar estas duas polıticas de
manutencao para a classe das distribuicoes NBU.
Teorema 6.27 — Age e block replacement e a diminuicao
estocastica do numero de falhas
Considere-se que X representa a duracao das componentes. Entao:
• NA(t, Z) ≤st N(t), t, Z ≥ 0⇔ X ∈ NBU ;
• NB(t, Z) ≤st N(t), t, Z ≥ 0⇔ X ∈ NBU . •
E altura de averiguar qual o impacto de uma alteracao do intervalo
Z das polıticas de manutencao dos tipos age e block replacement no
numero de falhas no intervalo [0, t].
169
Teorema 6.28 — Impacto da alteracao do intervalo Z nas
polıticas age e block replacement
Considere-se mais uma vez que X representa a duracao das
componentes. Entao:
• NA(t, Z) ↑st com Z (Z ≥ 0), para t ≥ 0 fixo⇔ X ∈ IHR;
• NA(t, Z) ≤st NB(t, kZ), t, Z ≥ 0, k = 1, 2, . . .⇔ X ∈ NBU ;
• NB(t, Z) ≤st NB(t, kZ), t, Z ≥ 0, k = 1, 2, . . .⇔ X ∈ NBU . •
Por exemplo, pode concluir-se que, ao lidar com duracoes IHR e
com uma polıtica de manutencao do tipo age replacement, o numero de
falhas no intervalo [0, t] aumenta estocasticamente (no sentido usual),
caso se aumente o intervalo Z, i.e., se espace as substituicoes planeadas
nesta polıtica de manutencao.
E igualmente util confrontar o numero de substituicoes planeadas
ou devidas a falha das polıticas de manutencao.
Teorema 6.29 — Confronto entre as polıticas age e block
replacement
Seja X a v.a. que representa a duracao das componentes. Entao, para
todo t, Z > 0:
• X ∈ IHR⇒ NA(t, Z) ≥st NB(t, Z);
• RA(t, Z) ≤st RB(t, Z); •
O primeiro resultado do Teorema 6.29 pode ser interpretado do
seguinte modo: caso as duracoes das componentes seja IHR, a polıtica
de manutencao block replacement conduz a um menor numero de falhas
no intervalo [0, t] que a polıtica de manutencao age replacement.
170
O segundo dos resultados leva a afirmar que a polıtica de
manutencao block replacement conduz a um maior numero de
substituicoes planeadas ou devidas a falha que a polıtica de
manutencao age replacement, independentemente da distribuicao das
duracoes das componentes.
Teorema 6.30 — Diminuicao (resp. aumento) estocastica(o)
do numero de falhas
Caso a duracao das componentes seja IHR (resp. DHR), tem-se
• N(t) ≥st NA(t, Z) ≥st NB(t, Z)
(resp. N(t) ≤st NA(t, Z) ≤st NB(t, Z)). •
Para mais detalhes sobre o confronto destas polıticas de
substituicao, consulte-se Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 67-74) ou
Shaked e Shanthikumar (1994, Cap. 15).
Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 67–74);
Barlow e Proschan (1975, pp. 178–182); Shaked e Shanthikumar (1994,
pp. 461–483).
171
6.6 A polıtica de manutencao random age
replacement
Nem sempre e pratico substituir componentes numa base periodica.
Basta pensar, por exemplo, num mecanismo com um ciclo de operacao
variavel que nao permite ou que torna extraordinariamente difıcil
qualquer tipo de substituicao durante o referido ciclo.
A polıtica de manutencao, descrita ja a seguir, revela-se
particularmente util nestes casos e acaba por ter associados pelo menos
tres processos de renovamento.
Definicao informal 6.31 — Random age replacement
Ao assumir-se que as componentes so sao substituıdas quando falham,
a coleccao dos tempos entre substituicoes {X1, X2, . . .}, onde Xi ∼iidX, constitui um processo de renovamento.
A seguir defina-se um outro processo de renovamento {Z1, Z2, . . .},onde Zi ∼iid Z. Este processo define os tempos entre substituicoes
planeadas que nao tem em conta as falhas das componentes.
Por fim defina-se um terceiro processo de renovamento {U1, U2, . . .},onde Ui = min{Xi, Zi} ∼iid U . Ora, {U1, U2, . . .} e a coleccao dos
intervalos entre substituicoes quer planeadas, quer devidas a falha. •
Nota 6.32 — Random age replacement
Esta polıtica de manutencao corresponde a uma polıtica do tipo age
replacement com substituicoes planeadas ao fim de um intervalo
Z aleatorio. •
Sejam RX(x), RZ(x) e RU(x) as f.f. das v.a.X,Z e Y . Entao
e sabido que RU(x) = RX(x) × RZ(x) e o tempo esperado entre
substituices dado por E(U) =∫∞0 RX(x)×RZ(x)dx.
172
Denote-se por NR(t, Z) (resp.RR(t, Z)) o numero de falhas (resp. de
substituicoes quer planeadas quer devidas a falha) no intervalo [0, t] ao
adoptar-se uma polıtica de manutencao do tipo random replacement
com substituicoes originalmente planeadas de Z em Z unidades de
tempo onde Z e uma v.a.
Ao recorrer-se ao Teorema Elementar do Renovamento pode ainda
adiantar-se que o numero esperado de substituicoes por unidade de
tempo e, a longo-prazo, dado por:
limt→+∞
RR(t, Z)
t=
1
E(U). (6.45)
E ao tirar-se partido das propriedades de envelhecimento estocastico
de U podem adiantar-se limites quer para a f.f. de RR(t, Z), quer para
a funcao de renovamento ou funcoes convexas desta v.a.
E possıvel associar esta polıtica de manutencao a um quarto
processo de renovamento de particular interesse para a obtencao de
limites para o numero esperado de falhas no intervalo [0, t]. A saber:
{V1, V2, . . .}, onde
Vi =
1, se Ui = Xi (substituicao i devida a falha)
0, c.c.(6.46)
Ora, Vi ∼iid Bernoulli(E(V )), onde
E(V ) = P (X ≤ Z) =∫ ∞
0FX(x)dFZ(x). (6.47)
173
Teorema 6.33 — Limites para o numero esperado de falhas
para a polıtica random age replacement
E possıvel enquadrar o numero esperado de falhas no intervalo [0, t]
ao recorrer-se a polıtica random age replacement (E[RR(t, Z)]) a custa
de E(V ) e do numero esperado de substituicoes nesse mesmo intervalo
(E[NR(t, Z)]):
E(V )× {E[RR(t, Z)] + 1} − 1
≤ E[NR(t, Z)] ≤E(V )× {E[RR(t, Z)] + 1}.
(6.48)
E, ao tirar partido do Teorema 6.13,10 tem-se
∫∞0 FX(x)dFZ(x)× t∫ t
0RU (x)dx
− 1
≤ E[NR(t, Z)] ≤∫∞0 FX(x)dFZ(x)×
[tFU (t)∫ t
0RU (x)dx
+ 1
].
(6.49)
•
Para uma descricao um pouco mais alargada desta polıtica de
substituicao ver Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 72–74).
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 72–74).
10E curioso notar que Barlow e Proschan (1965/96, p. 74) enunciam o resultado que se segue semexigir que a v.a. seja IHR.
174
6.7 Alguns resultados sobre disponibilidade
A manutencao de componentes/estruturas/equipamentos/sistemas
possui grande influencia na fiabilidade e disponibilidade (availability)
dos mesmos.
Nesta seccao serao enunciados alguns resultados que dizem respeito
a disponibilidade de componentes sujeitas a reparacao e dos sistemas
por elas constituıdos.
Definicao 6.34 — Disponibilidade no instante t e
disponibilidade a longo prazo
Seja X(t) uma v.a. binaria que toma o valor 1 caso a componente
esteja a operar no instante t. Entao a disponibilidade da componente
no instante t e representada por A(t) e igual a
A(t) = P [X(t) = 1] = E[X(t)]. (6.50)
Ao limite
A = limt→+∞
A(t) (6.51)
da-se o nome de disponibilidade a longo prazo (ou simplesmente
disponibilidade). •
Definicao 6.35 — Disponibilidade media no intervalo [0, T ] e
disponibilidade media a longo prazo
A disponibilidade media no intervalo [0, T ] e dada por
1
T
∫ T0A(t)dt (6.52)
e a disponibilidade media a longo prazo pelo seguinte limite
Aav = limT→+∞
1
T
∫ T0A(t)dt. (6.53)
•
175
Nota 6.36 — Disponibilidades
Importa referir que a disponilidade media no intervalo [0, T ]
corresponde a proporcao esperada de tempo em que o sistema esta
a operar nesse mesmo intervalo. Com efeito,
U(T ) =∫ T
0X(t)dt (6.54)
representa o tempo total em que sistema esta a operar no intervalo
[0, T ], pelo que
1
TE[U(T )] =
1
TE
[∫ T0X(t)dt
]
=1
T
∫ T0E[X(t)]dt
=1
T
∫ T0A(t)dt. (6.55)
Por fim mencione-se que, caso exista limt→+∞A(t) e seja igual a A,
entao Aav = A. Ou por outra, a disponibilidade media a longo prazo
e a disponibilidade a longo prazo coincidem. •
E altura de avancar com uma expressao para a disponibilidade a
longo prazo em termos dos perıodos de funcionamento e de reparacao.
Comece-se por considerar uma sequencia de vectores i.i.d.
{(Ti, Di), i = 1, 2, . . .}, onde Ti e Di representam os tempos de
operacao contınua (sistema ON) e de reparacao (sistema OFF),
respectivamente. De mencionar que, para i = 1, 2, . . ., Ti ∼iid T e
Di ∼iid D, no entanto, as v.a.Ti e Di podem depender uma da outra.
{(Ti, Di), i = 1, 2, . . .} e claramente um processo de renovamento
alternado e se se assumir que a v.a.T+D e nao periodica pode concluir-
se que
A = limt→+∞
A(t) =E(T )
E(T ) + E(D), (6.56)
176
bastando para isso invocar o Teorema-Chave do Renovamento.
A vantagem deste resultado e mais que obvia: a disponibilidade a
longo-prazo depende exclusivamente dos valores esperados dos tempos
de operacao e de reparacao e nunca das respectivas distribuicoes.
6.7.1 Disponibilidade de sistemas com componentes
independentes
Tal como aconteceu no capıtulo inicial comecamos por considerar
um sistema coerente cujas n componentes funcionam de forma
independente. Mais, quando ocorre falha da componente i esta vai
a reparar ao passo que as restantes continuam a operar.
Assim sendo, se a v.a.X(t) (resp.Xi(t)) tomar valor 1, caso o
sistema (resp. a componente i) estiver a operar no instante t, entao
X(t) = φ(X1(t), . . . , Xn(t)), (6.57)
onde φ representa, naturalmente, a funcao de estrutura do sistema.
Para alem disso, a disponibilidade do sistema no instante t e igual a
A(t) = E[X(t)]
= r(E[X1(t)], . . . , E[Xn(t)])
= r(A1(t), . . . , An(t)) (6.58)
onde, note-se, r denota a fiabilidade associada a funcao de estrutura
φ e Ai(t) representa a disponibilidade da componente i no instante t.
Resta calcular a disponibilidade do sistema a longo prazo. Para
tal, considere-se uma sequencia dupla de v.a. independentes {(Tij +
Dij), i, j = 1, 2, . . .}, onde Tij representa o j−esimo perıodo de
operacao contınua da componente i e Dij a duracao da j−esima
reparacao da componente i, respectivamente. Assuma-se tambem que:
177
para qualquer i fixo, se tem, para j = 1, 2, . . ., Tij ∼iid Ti e Dij ∼iid Di;
para i = 1, 2, . . ., µi = E(Ti) < ∞, νi = E(Di) < ∞ e Ti + Di e uma
v.a. nao periodica. Entao, ao ter em conta sucessivamente o facto
de a fiabilidade ser uma funcao multilinear nos seus argumentos e o
Teorema-Chave do Renovamento, a disponibilidade deste sistema de
com n componentes e, a longo prazo, igual a:
A = r(A1, . . . , An)
= r
(µ1
µ1 + ν1, . . . ,
µnµn + νn
), (6.59)
onde Ai representa a disponibilidade da componente i a longo prazo.
Exercıcio 6.37 — Um sistema e constituıdo por um computador
e dois geradores electricos colocados em paralelo. Assuma que as
duracoes das componentes e os perıodos de reparacao se comportam
como se descreveu ha pouco e possuem os valores esperados (em horas)
condensados na tabela seguinte.
Componente i µi = E(Ti) νi = E(Di)
1 1000 1
2 98 2
3 96 4
Determine a disponibilidade das tres componentes a longo-prazo,
bem como a disponibilidade do sistema a longo prazo (Barlow e
Proschan (1975, pp. 193–4)). •
6.7.2 Disponibilidade de sistemas em serie
Desta feita esta a lidar-se com um sistema ligeiramente diferente
daquele considerado na sub-seccao anterior.
178
• Para ja assume-se que o sistema nao e um sistema coerente
arbitrario mas que possui todas as suas componentes dispostas
em serie.
• Para alem disso, enquanto a componente responsavel pela
falha do sistema em serie esta a ser substituıda, as restantes
componentes mantem-se em suspended animation. Finda a
referida reparacao estas mesmas componentes retoma o seu
funcionamento.11
• Assuma-se tambem que duas ou mais componentes nao podem
falhar no mesmo instante.12
A Figura 7.2.4 de Barlow e Proschan (1975, p. 195) ilustra uma
realizacao deste tipo de sistema, em particular chama atencao para
o facto de esta realizacao se descrever a custa de duas v.a.: U(t)
que representa o tempo acumulado em que o sistema esta em
funcionamento (up time); D(t) = t − U(t) que representa o tempo
acumulado em que as componentes do sistema suspendem o seu
funcionamento devido a uma reparacao (down time).
E possıvel adiantar resultados para, por exemplo, a percentagem
de tempo em que o sistema esta em funcionamento a longo prazo e
para a disponibilidade do sistema a longo prazo. E curioso notar que
estes resultados dependem exclusivamente dos valores esperados dos
tempos de vidas das componentes µi (0 < µi < +∞, i = 1, . . . , n), bem
como das duracoes esperadas das substituicoes νi (0 < νi < +∞, i =
1, . . . , n), e nao das distribuicoes destas v.a.
11Neste instante nao estao propriamente “como novas”mas sim tal como estavam quandosuspenderam o seu funcionamento.
12O que, alias, e verdade, caso todas as distribuicoes sejam contınuas.
179
Teorema 6.38 — Percentagem de tempo em que o sistema em
serie esta em funcionamento a longo prazo
Tem-se, com probabilidade um,
limt→+∞
U(t)
t=
1 +n∑i=1
νiµi
−1
. (6.60)
•
Corolario 6.39 — Disponibilidade media do sistema em serie
a longo prazo
Aav = limt→+∞
E[U(t)]
t=
1 +n∑i=1
νiµi
−1
. (6.61)
•
Nota 6.40 — Disponibilidade do sistema em serie a longo
prazo
Considere-se que ξ(t) e igual a i, caso a componente i, responsavel
pela falha do sistema em serie, esteja a ser substituıda, e igual a 0,
caso o sistema em serie esteja a funcionar.
Importa notar que o processo {ξ(t), t ≥ 0} nao tem pontos de
regeneracao e que o limite limt→+∞ P [ξ(t) = 0] nem sempre existe. No
entanto, tal limite existe desde que os tempos de vida das componentes
sejam v.a. nao periodicas ou possuam distribuicao exponencial. Nesta
situacao, a disponibilidade e dada por
A = limt→+∞
P [ξ(t) = 0] = Aav. (6.62)
•
E possıvel estabelecer resultados assintoticos para D(t), assim como
para o tempo acumulado em que o sistema nao esta em funcionamento
devido a falhas da componente i no intervalo [0, t], Di(t).
180
Corolario 6.41 — Resultados assintoticos para o down time
Tem-se, com probabilidade 1:
Di,av = limt→+∞
Di(t)
t= Aav ×
νiµi
; (6.63)
Dav = limt→+∞
D(t)
t= Aav ×
n∑i=1
νiµi. (6.64)
•
A justificacao heurıstica de (6.63) assenta num argumento de
igualdade das taxas de entrada e de saıda de um estado. Com efeito,
Aav (1/µi)dt pode ser entendido como a probabilidade estacionaria de o
sistema deixar de funcionar nas proximas dt unidades de tempo devido
a falha da componente i sabendo que o sistema esta de momento em
funcionamento, e, por seu lado, Di,av (1/νi)dt como a probabilidade
estacionaria de se terminar a substituicao da componente i nas
proximas dt unidades de tempo sabendo que o sistema esta de
momento inoperacional.
De seguida apresentam-se resultados assintoticos para o numero de
falhas da componente i no intervalo [0, t], Ni(t).
Corolario 6.42 — Resultados assintoticos para o numero de
falhas da componente i
Tem-se, para i = 1, . . . , n:
limt→+∞
Ni(t)
t= Aav ×
νiµi
com probabilidade 1; (6.65)
limt→+∞
E[Ni(t)]
t= Aav ×
νiµi. (6.66)
•
E interessante notar que, apos qualquer reparacao, a distribuicao do
tempo ate a proxima falha depende da historia do sistema ate aquele
181
instante mas que, no entanto, a duracao media dos perıodos em que o
sistema em serie esta a funcionar no intervalo [0, t] converge para uma
constante µ que se identifica no teorema seguinte. De modo analogo
a duracao media dos perıodos em que o sistema em serie nao esta
operacional converge para uma outra constante ν.
Teorema 6.43 — Resultados assintoticos para a duracao
media dos perıodos em que o sistema em serie esta a
funcionar ou inoperacional
As duracoes medias dos perıodos em que o sistema em serie esta a
funcionar e esta inoperacional, no intervalo [0, t], convergem quase
certamente para
µ =
n∑i=1
1
µi
−1
(6.67)
ν = µ×n∑i=1
νiµi, (6.68)
respectivamente. •
Exercıcio 6.44 — Um sistema e constituıdo por quatro
componentes: um gerador, um equipamento analogico, um
equipamento digital e uma peca mecanica, colocados em serie.
Assuma que as duracoes das componentes e os perıodos de reparacao
possuem os valores esperados (em horas) condensados na tabela
seguinte (Barlow e Proschan (1975, pp. 200–1)).
(a) Determine a percentagem de tempo em que a componente i esta
inoperacional a longo prazo.
(b) Obtenha o numero medio de falhas por unidade de tempo a longo
prazo para cada uma das componentes.
182
Componente i Tipo µi = E(Ti) νi = E(Di)
1 Gerador 50 .1
2 Equipamento analogico 100 .2
3 Equipamento digital 1000 1.0
4 Peca mecanica 10000 20.0
(c) Calcule os valores a longo prazo das duracoes medias dos perıodos
em que este sistema em serie esta a funcionar e em que esta
inoperacional. •
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 194–201).
6.7.3 Disponibilidade de sistema com uma unidade de
operacao, uma sobressalente e uma de reparacao
Na seccao anterior assumiu-se que dispunhamos sempre de pecas
sobressalentes para substituir qualquer peca que falhasse. Desta
feita assume-se que se dispoe de um numero limitado de pecas
sobressalentes, que o sistema falha caso deixe de haver pecas
sobressalentes para substituir as pecas que tenham falhado e que existe
uma unidade de reparacao para onde se envia estas ultimas pecas.
Comece-se por considerar um sistema com uma unidade de
operacao com uma componente, uma componente sobressalente e uma
unidade de reparacao. Refira-se tambem que:
• quando a componente da unidade de operacao falha, ela
e substituıda pela peca sobressalente, substituicao esta com
duracao negligenciavel;
• a componente que acaba de falhar e enviada para a unidade de
183
reparacao e este instante constitui um instante de regeneracao;
• o sistema falha quando a unidade de operacao falha e a
componente sobressalente nao esta disponıvel por ainda nao ter
sido completada a sua reparacao.
Assuma-se que as componentes (resp. reparacoes) possuem duracao X
(resp.Y ), com distribucao F (resp.G) e valor esperado µ (resp. ν). E,
por fim, assuma-se que, no instante t = 0, a componente da unidade
de operacao e a peca sobressalente nunca foram utilizadas previamente
(completamente novas).
O tempo que decorre ate a ocorrencia da primeira falha do sistema,
tempo este contabilizado a partir do instante 0, pode ser representado
por
T1 = X ′1 +X2 + . . .+XN , (6.69)
onde: X ′1, X2, X3, . . . sao v.a. i.i.d. a X; N denota o numero (aleatorio)
de falhas da unidade de operacao ate a ocorrencia da falha do sistema.
Ora, a v.a.N possui funcao de probabilidade
P (N = k + 1) = αk−1(1− α), k = 1, 2, . . . , (6.70)
onde 1 − α representa a probabilidade de o tempo de reparacao da
peca na unidade de reparacao exceder o de operacao da componente,
i.e.,
α = P (Y ≤ X) =∫ +∞
0G(t)dF (t). (6.71)
Assim sendo e tirando partido da equacao de Wald, pode adiantar-se
que o tempo esperado ate a primeira falha do sistema:
E(T1) = µE(N) = µ
(1 +
1
1− α
). (6.72)
184
Do mesmo modo pode calcular-se o valor esperado do tempo ate a
primeira falha do sistema, medindo o tempo a partir de um instante
de regeneracao,13 tempo este representado pela v.a.T :
E(T ) = E(T1 −X ′1) =µ
1− α. (6.73)
E necessario ainda calcular o valor esperado dos perıodos em que o
sistema esta inoperacional. Este valor esperado e dado por
E(D) =∫ +∞
0P (D > t)dt
=∫ +∞
0P (Y > t+X|Y > X)dt
=∫ +∞
0
∫ +∞
0
1−G(t+ x)
1−G(x)dF (x) dt. (6.74)
Por ultimo, a disponibilidade a longo prazo do sistema com uma
unidade de operacao, uma peca sobressalente e uma unidade de
reparacao e igual a
A =E(T )
E(T ) + E(D)=
µ(1− α)−1
µ(1− α)−1 + E(D)(6.75)
e depende nao so dos valores esperados do tempo de operacao contınua
das componentes e da duracao das reparacoes, mas tambem das
distribuicoes propriamente ditas destas v.a.
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 201–204).
6.7.4 Disponibilidade de sistema com m unidades de
operacao, n sobressalentes e s de reparacao
O sistema com que se lida nesta sub-seccao possui m unidades
de operacao e respectivas componentes, n pecas sobressalentes13Recorde que o instante de substituicao da componente da unidade de operacao e consequente
envio da componente (que acabou de falhar) para a unidade de reparacao e um instante deregeneracao.
185
e s unidades de reparacao. Mais, os perıodos de operacao
contınua (resp. reparacao) das componentes sao independentes e tem
distribuicao exponencial de parametro λ (resp. γ).
Tal como na seccao anterior, uma componente que falhe e
imediatamente substituıda por uma peca sobressalente caso existam
pecas sobressalentes disponıveis; a par disso, uma componente segue
para as unidades de reparacao assim que falha. Escusado sera dizer
que a reparacao e iniciada imediatamente a menos que as s unidades
de reparacao estejam todas ocupadas.
Um processo de particular interesse diz respeito ao numero de
componentes inoperacionais no instante t, X(t), ou porque estao a
ser reparadas, ou porque aguardam o inıcio da respectiva reparacao.
Ora, {X(t), t ≥ 0} e, naturalmente, um processo de nascimento
e morte14 cujas probabilidades de estado estacionarias (π0, π1, π2, . . .)
sao de calculo trivial e funcoes das taxas de nascimento λi = f(λ, γ),
i = 0, 1, 2, . . ., e de morte µi = g(λ, γ), i = 1, 2, . . .:
πi = π0 ×i−1∏j=0
λjµj+1
, (6.76)
onde
π0 =1
1 +∑+∞k=1
∏k−1j=0
λjµj+1
. (6.77)
Por seu lado a disponibilidade do sistema a longo prazo e dada por:
A = limt→+∞
P [X(t) ≤ m]
=m∑i=0
πi. (6.78)
14Ou por outra, trata-se se uma cadeia de Markov em tempo contınuo, com espaco de estados{0, 1, 2 . . .}, matriz de probabilidades de transicao homogenea e transicoes de um estado i para osdois estados vizinhos i− 1 e i+ 1.
186
Exercıcio 6.45 — Considere um sistema constituıdo por uma
unidade de operacao e respectiva componente, uma peca sobressalente
e uma unidade de reparacao. Assuma que as duracoes das
componentes (resp. os perıodos de reparacao) sao independentes e
possuem distribuicao exponencial de parametro λ (resp. γ) (Barlow
e Proschan (1975, pp. 205–6)).
(a) Obtenha uma expressao para a disponibilidade a longo prazo
deste sistema.
(b) Considere agora que o sistema e constituıdo por n unidades de
operacao e respectivas componentes, m pecas sobressalentes e s
unidades de reparacao.
Identifique as expressoes para as taxas do processo de nascimento
e de morte associado ao numero de componentes inoperacionais
no instante t neste sistema. •
Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 204–206).
187
Capıtulo 7
Controlo estatıstico de processos
7.1 O significado de qualidade
E tradicional afirmar-se no meio industrial que a qualidade e a
produtividade nao podem andar de maos dadas: ao desejarmos mais
qualidade, sacrificaremos a produtividade e vice-versa.
A semelhanca de muitos lugares comuns, aceites e produto de
pouca reflexao, este e tambem falso. Na realidade ao melhorar-se a
qualidade, por aperfeicoamento do processo de producao e maior
uniformidade do produto, ha, de um modo geral, melhorias na
produtividade ja que se reduzem desperdıcios de mao de obra, de
equipamento e de materia-prima e, consequentemente, diminuem-se
os custos de producao bem como os prejuızos.
Definicao informal 7.1 — Qualidade
Significa frequentemente adequacao do produto/servico ao
consumidor/utilizador (fitness for use), i.e., satisfacao de requisitos
considerados essenciais para o consumidor/utilizador. •
188
A qualidade e, nos dias de hoje, um criterio basico que
influencia a decisao pela aquisicao/utilizacao de qualquer
produto/servico.
Montgomery (1985, p. 1–2) acaba por distinguir dois tipos de
qualidade. Nada melhor que ilustra-los com exemplos.
Todos os bens e servicos sao intencionalmente produzidos com
diversos nıveis de qualidade pensados para tipos distintos de
consumidores. Estas diferencas de qualidade devem-se, por exemplo,
as diferencas de materiais usados na confeccao dos estofos dos assentos
de um carro (cabedal, napa, tecido, etc.). Estes aspectos prendem-se
com a quality of design (qualidade do design).
A qualidade no que diz respeito a adequacao as especificacoes
e tolerancias exigidas pelo produtor tem a ver com quality of
conformance.1
Definicao informal 7.2 — Caracterısticas de qualidade
Qualquer produto possui um grupo de caracterısticas que descrevem
conjuntamente a sua adequacao ao consumidor. Estas sao
designadas de caracterısticas de qualidade, nao passam de v.a. e podem
ser, por exemplo, dos tipos:
• fısico — voltagem, viscosidade, peso e diametro;
• sensorial — gosto, cor e aparencia;
• temporal — fiabilidade, operacionabilidade e manutencao. •
1Termo que aqui traduzimos livremente para “qualidade da adequacao”.
189
Controlo estatıstico de qualidade — Nao ha processos de
producao perfeitos ou sem variabilidade por mais cuidadosos que
sejamos no seu planeamento e a sua manutencao. A presenca dessa
variabilidade torna necessario o uso de metodos estatısticos dos
quais destacamos:
• Planeamento de experiencias (experimental design) — E
amplamente reconhecida a necessidade desta tecnica off-line que
consiste do planeamento cuidadoso do produto e da identificacao
dos nıveis optimos dos factores que claramente influenciam
as caracterısticas de qualidade (por exemplo, a pressao
atmosferica, temperatura de cozedura, tipo de catalisador usado,
etc.).
• Controlo estatıstico de processos (statistical process control,
SPC) — Tecnica on–line cujo objectivo principal e o acompa-
nhamento do processo de producao e pressupoe de um modo
geral o uso de esquemas (ou cartas) de controlo de qualidade.
• Amostragem de aceitacao (acceptance sampling) — tecnica
off–line frequentemente utilizada para avaliar a “qualidade a
saıda”dos produtos, por inspeccao dos lotes destinados aos
consumidores.
Assim, pode afirmar-se que o controlo de qualidade e uma
actividade pertencente aos domınios da engenharia, da gestao e,
sobretudo, da Estatıstica, que permite:
• avaliar o produto e confronta-lo com as especificacoes e
tolerancias requeridas pelo produtor e com os requisitos do
consumidor;
190
• tomar medidas capazes de corrigir situacoes caracterizadas por
diferencas acentuadas entre o que e produzido e o que e
requerido pelo produtor ou pelo consumidor.
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 1–4); Montgomery
(1985, pp. 1–3).
191
7.2 Os custos e os aspectos legais da qualidade
Por tratar-se, como referimos, de criterio que de um modo geral
determina a aquisicao de bens/servicos, a qualidade influencia
substancialmente o exito e o crescimento de uma empresa e vem
reforcar e melhorar a posicao da mesma no mercado.
Os programas de garantia de qualidade tem associados por vezes
custos (nem sempre negligenciaveis) que devem ser encarados como
uma estrategia que a prazo resultara em maior penetracao de mercado,
em maior produtividade e em menores custos de producao. Senao
vejamos um exemplo (Montgomery (1985, pp. 3–4)).
Exemplo 7.3 — Um fabricante de produz componentes mecanicas a
uma taxa de aproximadamente 100 componentes por dia, a um custo
de 20 USD por componente.
Por diversas razoes, o processo de producao opera de modo
que somente 75% das componentes satisfazem as especificacoes do
produtor e estao em condicoes de ser vendidas. 60% das componentes
que nao satisfazem tais especificacoes podem ser retrabalhadas
(“reworked”) — a um custo adicional de 4 USD — de modo a
poderem ser vendidas, sendo as restantes 40% transformados em
sucata (“scrapped”).
Deste modo, apos ter-se retrabalhado as componentes, somente
90% = 75% × 100 + 60% × (0.25 × 100) da producao e passıvel de
ser vendida a um custo por componente igual a
22.89 USD =20 USD× 100 + 4 USD× (0.6× 0.25× 100)
90.
Assuma-se que estudos revelaram que a elevada percentagem de
componentes nao conformes pode ser diminuıda, caso se implemente
192
um par de cartas de controlo de qualidade que permitem minimizar
desvios no valor esperado e na variancia do diametro das componentes.
Assuma-se agora que a implementacao de tal par de cartas
tem custos adicionais negligenciaveis e resultou num aumento da
percentagem inicial de componentes conformes as especificacoes
do produtor de 75% para 95%, mantendo-se a percentagem
de componentes que, embora nao conformes podem vir a ser
retrabalhadas e posteriormente vendidas, em 60%.
Deste modo aumentou-se a percentagem de componentes passıveis
de venda para 98% = 95%× 100 + 60%× (0.05× 100) e reduziu-se o
respectivo custo por componente para
20.53 USD =20 USD× 100 + 4 USD× (0.6× 0.05× 100)
98.
O acompanhamento do processo de producao resultou pois numa
reducao de 10.3% dos custos de producao por unidade. •
Montgomery (1985, p. 5–6) identifica quatros categorias de
custos de qualidade e as respectivas subcategorias. A saber:
• custos de prevencao (“prevention costs”);
• custos de avaliacao (“appraisal costs”);
• custos devidos a falhas anteriores a venda (traduccao livre
de “internal failure costs”);
• custos devidos a falhas ulteriores a venda (traduccao livre
de “external failure costs”).
Os custos de prevencao estao associados aos esforcos durante o
planeamento e a manufactura no sentido de prevenir a producao de
193
artigos nao conformes, i.e., de produzir bem a primeira (“do it
right the first time”).2
Os custos de avaliacao dizem respeito a medicao e inspeccao
de produtos, componentes e materias-primas de forma a garantir o
cumprimento das especificacoes do produtor.3
Quando os produtos, componentes, materiais e servicos nao
cumprem os requisitos do produtor e este se apercebe de tal facto
antes de os fazer chegar ao consumidor, o produtor incorre em custos
devidos a falhas anteriores a venda.4
Caso o desempenho dos produtos nao seja satisfatorio quando ja
foram fornecidos ao cliente, o produtor tera que suportar os custos
devidos a falhas ulteriores a venda.5
Ao analisar estes custos e fundamental ter em mente que, por
exemplo, o lucro do investimento de uma unidade monetaria em custos
de prevencao e de longe superior ao da mesma unidade monetaria em
custos de avaliacao.
O consumismo e a responsabilidade legal pelo produto que
se coloca no mercado sao razoes mais que suficientes para a qualidade
deva ser encarada como uma estrategia empresarial importante.
O consumismo e em parte devido ao aparente aumento do numero
de falhas durante a utilizacao dos produtos pelos consumidores. Mais,
quando estas falhas se tornam demasiado evidentes, rapidamente nos
2Prevention costs: quality planning and engineering; new products review; product/processdesign; process control; burn-in; training; quality data acquisition and analysis.
3Appraisal costs: inspection and test of incoming material; production and test; material andservices consumed; maintaining accuracy of test equipment.
4Internal failure costs: scrap; rework; retest; failure analysis; downtime; yield losses;downgrading/off-specing.
5External failure costs: complaint adjustment; returned product/material; warranty charges;liability costs; indirect costs.
194
questionamos se os produtos de hoje nao tem qualidade inferior aos
seus predecessores e se a qualidade e uma verdadeira preocupacao dos
fabricantes de hoje.6 Nao surpreende pois que os fabricantes estejam
particularmente preocupados em reduzir tais falhas; com efeito, ao
diminuir o numero de tais falhas reduzem os custos ulteriores a venda
e os ameacas a sua competitividade no mercado.
A responsabilidade legal por um produto lancado no mercado
deve ser encarada de forma seria quer pelos produtores, quer pelos
distribuidores e vendedores. A obrigacao legal de compensar o
cliente caso ocorram danos devidos a produtos defeituosos nao e um
fenomeno recente e a enfase que lhe tem sido dada tem aumentado
substancialmente. Para alem disso, as afirmacoes feitas acerca
de um produto quando este e publicitado e promovido devem ser
consubstanciadas por dados que as validem. Como seria de esperar
estes dois aspectos da responsabilidade legal por um produto exercem
uma pressao enorme sobre produtores, distribuidores e vendedores.
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 3–11, 17–19).
6A explosao do numero de produtos e os lancamentos prematuros de alguns nos dias de hojetambem contribuem para esta sensacao.
195
7.3 Um apanhado da historia do controlo de
qualidade
7.3.1 Um apanhado geral
O movimento para a promocao da qualidade encontra as suas raızes
na Europa medieval onde os artesaos comecam por organizar-se
em associacoes/sindicatos denominados de guildas (“guilds”) no final
do sec. XIII. A manufactura no mundo dito industrializado tende a
seguir este modelo ate ao inıcio do sec. XIX.
O sistema fabril, que enfatiza a inspeccao dos produtos, teve
inıcio no Reino Unido em meados da decada de 50 do sec. XVIII e
floresce, tendo por resultado a Revolucao Industrial no inıcio do
sec. XIX.
No inıcio do sec. XX, os produtores incluem, por fim, a nocao de
processo de qualidade nas suas praticas de qualidade.
Com a participacao dos EUA na II Guerra Mundial, a qualidade
torna-se crucial no esforco de guerra: por exemplo, as balas/municoes
produzidas num estado/fabrica devem ser adequar-se as espingardas
fabricadas noutro/a. Inicialmente, as forcas armadas inspeccionam
virtualmente todas as unidades produzidas; a seguir, de modo a
simplificar e acelerar este processo sem comprometer a seguranca,
comecam a recorrer a tecnicas de amostragem de aceitacao,
impulsionadas pela publicacao de tabelas com especificacoes e regras
de decisao e pelos cursos de formacao baseados nas tecnicas de
controlo estatıstico de processos de Walter A. Shewhart.
O nascimento da nocao de Qualidade Total (“total quality”)
nos EUA surge como uma resposta directa a revolucao que a
Qualidade sofreu no Japao apos a II Guerra Mundial. Os
196
japoneses mostram-se receptivos as contribuicoes de dois especialistas
americanos em Qualidade, Joseph M. Juran and W. Edwards
Deming, e, ao inves de se concentrarem na inspeccao dos produtos,
apostam na melhoria dos processos de producao por intermedio
das pessoas que neles intervem.
Na decada de 70 do seculo passado, sectores dos EUA, tais como
a industria automovel ou electronica, nao resistem a competicao
feroz dos produtos japoneses de qualidade largamente superior.
A resposta dos EUA, que enfatiza nao so a Estatıstica mas tambem
abordagens que abarcam a organizacao no seu todo, vem a designar-
se de Gestao da Qualidade Total (“total quality management”,
TQM).
Na ultima decada do sec. XX, o termo TQM cai em desuso,
particularmente nos EUA, no entanto, a sua pratica mantem-se.
Poucos anos apos o final do seculo passado, o movimento
da Qualidade parece ter amadurecido para alem da nocao de “total
quality”. Surgem novos sistemas de qualidade dos contributos
fundamentais de Deming, Juran e de especialistas japoneses como
G. Taguchi, e a qualidade e aplicada em areas bem distintas
da industria, tais como a saude, a educacao e a funcao publica,
entre muitas outras.
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/overview.html
197
7.3.2 As guildas da Europa medieval
Entre o final do sec. XIII e o inıcio do sec. XIX, os artesaos
da Europa medieval organizam-se em associacoes/sindicatos
denominados de guildas. Estas guildas sao responsaveis pelo
estabelecimento de regras rigorosas que garantem a qualidade
dos produtos fornecidos e dos servicos prestados. Para o efeito
existem comissoes de inspeccao que verificam os produtos um a
um e de certo modo forcam ao cumprimento das referidas regras ja
que marcam os artigos sem defeitos com um sımbolo que serve
de garantia de qualidade.
E frequente os artesaos acrescentarem uma segunda marca
ou sımbolo aos artigos por eles produzidos. Inicialmente esta
marca e usada para identificar a origem de artigos com defeitos.
Posteriormente, esta marca passou a simbolizar a boa reputacao
do artesao. Por exemplo, as marcas dos pedreiros simbolizam
a obrigacao de cada membro da guilda de satisfazer a clientela e
melhorar a reputacao do respectivo ofıcio.
As marcas brandidas pelas comissoes de inspeccao e pelos mestres-
artesaos servem de prova de qualidade para os clientes pela Europa
medieval fora.
Esta abordagem a qualidade dos produtos manufacturados e dos
servicos prestados e a dominante ate a Revolucao Industrial no
inıcio do sec. XIX.
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/guilds.html
198
7.3.3 A Revolucao Industrial
As praticas de qualidade americanas no sec. XIX sao moldadas pelas
mudancas nos metodos de producao dominantes:
• O modelo de manufactura dos artesaos (craftsmanship) —
no inıcio do sec. XIX, a producao nos EUA tende a seguir o
modelo de manufactura dos artesaos vigente em paıses europeus.
Segundo este modelo, os jovens aprendem um ofıcio enquanto
aprendizes de um mestre, por vezes durante diversos anos.
Uma vez que os artesaos vendem os seus artigos localmente,
acabam por por em risco a sua reputacao profissional e tambem
pessoal caso nao consigam ir ao encontro das necessidades dos
clientes. Caso os requisitos de qualidade nao sejam cumpridos, o
artesao corre o risco de perder a clientela que dificilmente pode ser
substituıda. Assim, os mestres mantem uma especie de controlo
de qualidade ao inspeccionarem os artigos antes de os venderem.
• O sistema fabril — Este sistema, fruto da Revolucao Industrial,
acaba por transformar os diversos ofıcios dos artesaos em
diversas tarefas especializadas. Esta transformacao nao so
forca os artesaos a tornarem-se operarios fabris e os donos
de lojas a passarem a ser supervisores da producao, mas
marca tambem o inıcio do declınio do sentido de autonomia
e da confianca nas proprias capacidades (“empowerment”)
por parte dos empregados no local de trabalho.
A qualidade no sistema fabril e assegurada pela perıcia dos
operarios complementada pelas revisoes sistematicas ou pelas
inspeccoes. Os produtos considerados defeituosos sao ou
199
retrabalhados (“reworked”), i.e., voltam a linha de producao)
ou transformados em sucata (“scrapped”).
• O sistema tayloriano — No final do sec. XIX os EUA afastam-
se da tradicao europeia e adoptam uma nova abordagem de gestao
desenvolvida por Frederick W. Taylor. O objectivo de Taylor
e aumentar a produtividade sem aumentar o numero
de artesaos especializados. Ele atinge este objectivo ao
atribuir a tarefa de planeamento da fabrica a engenheiros
especializados e ao usar artesaos e supervisores, que
foram entretanto transferidos com o aumento de fabricas, como
inspectores e gestores que executam os planos dos engenheiros.
A abordagem de Taylor conduz a aumentos notaveis da
produtividade mas levanta alguns problemas: os trabalhadores
sao despojados do seu ja diminuto sentido de autonomia e de
confianca nas suas proprias capacidades, pelo que a nova enfase
na produtividade tem um efeito negativo na qualidade.
De modo a remediar o declınio da qualidade, os gestores das
fabricas criam departamentos de inspeccao que impedem
que os artigos defeituosos cheguem as maos dos clientes. Caso
um artigo defeituoso chegue a um cliente, e comum os gestores
interrogarem o inspector ”Como pode deixar isto chegar ao
cliente?”ao inves de perguntar ao gestor da producao ”Por que
produzimos artigos defeituosos?”
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/industrial-revolution.html
200
7.3.4 O inıcio do sec. XX
O inıcio do sec. XX e marcado pela inclusao da nocao de
“processo”nas praticas de qualidade.
Um “processo”e definido por um grupo de actividades que,
tendo como ponto de partida materia-prima (“input”), valoriza-a e
transforma-a num produto acabado (“output”), da mesma maneira
que um mestre de cozinha transforma um conjunto de ingredientes
numa bela refeicao.
Walter A. Shewhart, um estatıstico dos “Bell Laboratories”, comeca
por concentrar-se no controlo de processos em meados dos anos 20
do sec. passado, tornando a qualidade relevante nao so para o
produto final mas tambem para os processos responsaveis pela
sua producao.
Shewhart reconhece que os processos industriais produzem
dados. Por exemplo, um processo em que um metal e cortado em
folhas as quais estao associadas medicoes, tais como o comprimento,
a espessura e o peso das folhas de metal. Shewhart entende que estes
dados podem ser analisados usando tecnicas de Estatıstica de
modo a veriguar se o processo esta estavel ou sob controlo, ou se
pelo contrario, esta fora de controlo por estar a ser afectado por
causas assinalaveis. Ao faze-lo, Shewhart fundou os alicerces da
carta de controlo, uma ferramenta essencial para a qualidade nos
dias de hoje.
Os conceitos de Shewhart sao usualmente designados por controlo
estatıstico de qualidade. Diferem de qualquer sistema orientado
para o produto na medida em que tornam a qualidade relevante quer
para o produto final, quer para o processo que o processo que o criou.
201
W. Edwards Deming, um estatıstico do “U.S. Department of
Agriculture and Census Bureau”, torna-se um defensor e promotor
dos metodos de controlo estatıstico de qualidade propostos por
W. Shewhart e mais tarde vem a ser a tornar-se mais tarde o lıder
do movimento para a qualidade quer no Japao, quer nos EUA.
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/20th-century.html
7.3.5 A II Guerra Mundial
Ao entrarem na II Guerra Mundial em Dezembro de 1941, os EUA
promulgam leis de modo a ajustar a economia civil a producao
de armas. Ate entao, os contratos militares sao geralmente
atribuıdos ao fabricante que produz mais barato. Os produtos
sao inspeccionados antes de serem entregues de modo a garantir
a sua conformidade com os requesitos.
Durante este conflito, a qualidade torna-se uma questao de
seguranca crucial no esforco de guerra. O equipamento militar
inseguro e claramente inaceitavel e as forcas armadas americanas
inpeccionam virtualmente todas as unidades produzidas de
forma a garantir a seguranca durante a operacao das mesmas.
Este procedimento requer imensos recursos humanos dedicados
exclusivamente a inspecao da producao e causa problemas no
recrutamento; mais, manter o pessoal competente revela-se tarefa
difıcil dado o caracter temporario/transitorio do servico militar.
De forma a diminuir os problemas sem comprometer a
seguranca dos produtos, as forcas armadas comecam a recorrer
a amostragem de aceitacao ao inves da inspecao a 100%.
202
Com a ajuda de consultores da industria, em particular dos “Bell
Laboratories”, adaptam-se e publicam-se tabelas de amostragem
sob a forma de uma norma militar (“military standard”)
denominada Mil-Std-105. Estas tabelas sao incorporadas nos
contratos militares de forma a que os fornecedores compreendam
de facto o que espera que produzam.
As forcas armadas ajudam tambem os fornecedores a melhorar
a qualidade ao promoverem cursos de formacao nas tecnicas de
controlo estatıstico de qualidade de Walter A. Shewhart.
Se por um lado estes cursos de formacao conduzem a alguma
melhoria da qualidade em algumas organizacoes, por outro a maioria
das companhias sentem-se pouca motivadas a integrarem plenamente
tais tecnicas. Desde que o governo efectue os pagamentos previstos
pelos contratos, a prioridade maxima das organizacoes e, sem sombra
de duvida, o cumprimento dos prazos de producao. Mais, a maioria
dos programas de controlo estatıstico de qualidade e cessada
mal terminam os contratos com o governo dos EUA.
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/wwii.html
203
7.3.6 A qualidade total
Apos a II Guerra Mundial os fabricantes japoneses abandonam
a producao de artigos militares para uso interno e apostam na
producao e exportacao de artigos quotidianos.
Inicialmente, o Japao goza da reputacao de produtor de artigos de
qualidade inferior e estes ignorados no mercado internacional. Isto
leva as organizacoes japonesas a explorar novas formas de pensar a
qualidade.
Deming, Juran e o Japao — Os japoneses sao receptivos a
informacao dada pelas companhias estrangeiras e aos contributos de
conferencistas estrangeiros, entre eles dois peritos americanos:
• W. Edwards Deming, frustrado com os gestores americanos por
terem posto um termo aos programas de controlo estatıstico de
processos aquando do fim da II Guerra Mundial e dos contratos
governamentais de fornecimento de armas.
• Joseph M. Juran, que prediz que a qualidade dos bens de consumo
japoneses vai ultrapassar a dos produzidos nos EUA em meados
dos anos 70 do seculo passado gracas a taxa revolucionaria a que
a qualidade da melhora no Japao.
De acordo com Bartmann (1986, p.5), os metodos estatısticos de
controlo de qualidade sao introduzidos em 1947 no Japao, aquando
da fundacao da “Uniao Japonesa para a Ciencia e Engenharia”(JUSE),
Em 1949, esta instituicao convida Deming para proferir uma serie
de conferencias alusivas ao tema. Estas contaram na altura com a
presenca de 400 engenheiros em 1950 e foram rapidamente seguidas
por outras quantas promovidas por Ishikawa (entao presidente da
204
“Federacao das Sociedades Economicas”) e dirigidas a executivos
da industria. Estes esforcos foram, mais tarde, estendidos a
trabalhadores de todos os nıveis e areas da industria. Esta estrategia
japonesa representa a nova aobordagem para a qualidade total.
Ao inves de contarem somente com a inspeccao dos produtos, os
produtores japoneses centram-se na melhoria de todos os processos
organizacionais com a intervencao das pessoas envolvidas nesses
mesmos processos. Com efeito, na decada de 60 do sec. XX surgem
os Cırculos de Controlo de Qualidade da autoria de Ishikawa,
que consistem em grupos de trabalhadores treinados em tecnicas
elementares de controlo de qualidade. Estes cırculos desempenham
um papel crucial no aperfeicoamento dos processos de producao.
Como resultado, o Japao passa a produzir e a exportar artigos de
qualidade elevada a precos baixos, beneficiando os consumidores de
todo o mundo e conseguida a custa do aperfeicoamento contınuo
dos processos de producao, de inumeras inovacoes tecnologicas e
muita Estatıstica.
O impacto dos metodos introduzidos por Deming no Japao e
enorme e tal facto e ha muito reconhecido pelo Japao onde se atribui
um premio de extremo prestıgio com o nome de Deming.
A industria americana, que ocupa um lugar dominante nos anos
50 e inıcio da decada de 60 do seculo anterior, rapidamente se
ve a bracos com a competicao feroz da industria japonesa e da
de outros paıses asiaticos e europeus. Os gestores americanos nao
se apercebem a partida das profundas transformacoes na industria
japonesa e assumem que toda e qualquer competicao vinda do Japao
se reduziria a uma questao de preco e nao de qualidade. Entretanto os
produtores japoneses aumentam as suas quotas no mercado americano,
205
com consequenias economicas evidentes nos EUA: os produtores
americanos perdem quotas de mercado, as organizacoes comecam
a transferir as suas unidades fabris para paragens onde a mao-de-
obra a mais barata, e a economia americana sofre um grande reves,
provando que as profundas transformacoes da economia mundial no
sec. XX mostram claramente que a “seleccao natural”tambem se
aplica a industria (Bartmann (1986, pp.2–3)). Um exemplo extremo
da perda de competividade da industria americana relatado
por Bartmann (1986) e a inexistencia de fabricas de CDs nos EUA (a
data de Marco de 1986).
Este quadro geral nada favoravel a economia americana leva,
felizmente, os EUA a reagirem. Com efeito, o nascimento da qualidade
total nos EUA e a resposta directa a revolucao da qualidade que ocorre
no Japao logo apos a II Guerra Mundial.
A resposta americana — Inicialmente os produtores americanos
assumem que o sucesso japones se deve ao preco dos seus artigos e
adoptam estrategias de reducao dos custos da producao domestica e
restricoes das importacoes nomeadamente do Japao. E claro que isto
em nada melhora a competividade dos produtos americanos no que
diz respeito a qualidade.
Com o decorrer dos anos, a competicao de precos diminui ao passo
que a competicao ao nıvel da qualidade aumenta. No final dos anos
70 do sec. XX, a crise da qualidade nos EUA atinge proporcoes
enormes, atraindo a atencao de legisladores, administradores e dos
meios de comunicacao social. Um programa da cadeia americana NBC
intitulado “If Japan Can... Why Can’t We ?”chama a atencao para
a forma como o Japao conquistou os mercados mundiais de automoveis
e de equipamento electronico. Os EUA caem, por fim, em si.
206
Os administradores de topo das maiores companhias americanas
dao um passo em frente e assumem a lideranca do movimento para
a qualidade. A resposta americana, que enfatiza nao so a Estatıstica
mas tambem estrategias que envolvem a organizacao como um todo,
passa a ser conhecida por Gestao da Qualidade Total (TQM).
Seguem-se diversas iniciativas no ambito da qualidade. Em 1987
publica-se a serie ISO 9000 de normas de gestao da qualidade. O
“Baldrige National Quality Program”e o “Malcolm Baldrige National
Quality Award”sao promovidos pelo congresso americano nesse
mesmo ano. As companhias americanas levam inicialmente algum
tempo a adoptar estas novas normas mas acabam eventualmente por
render-se as mesmas.
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/total-quality.html
7.3.7 Para alem da qualidade total
No final dos anos 90 do sec. passado a gestao da qualidade total e
considerada por alguns lıderes do mundo de negocios dos EUA pouco
mais de uma moda, apesar de ter mantido a sua importancia na
Europa.
Apesar do termo TQM ter caıdo, de algum modo, em desuso,
em particular nos EUA, a perita em qualidade Nancy Tague afirma:
“Muitas organizacoes usam a TQM com sucesso.”
O movimento para a qualidade amadurece no inıcio do sec. XXI.
A perita Tague afirma ainda que os novos sistemas de qualidade
evoluıram muito para alem do que Deming, Juran e os primeiros
defensores do movimento para a qualidade no Japao. Eis alguns
207
exemplos de tal maturacao:
• Em 2000 a serie ISO 9000 de normas de gestao da qualidade e
revisto de modo a dar mais enfase a satisfacao do cliente.
• O “Malcolm Baldrige National Quality Award”passa a incluir, a
partir de 1995, os resultados da empresa entre os varios criterios
para a atribuicao deste galardao.
• A metodologia “Six-Sigma”, desenvolvida pela Motorola com o
objectivo de minimizar o numero de defeitos e assim melhorar
os processos de producao, evolui consideravelmente e conduz
a resultados significativos. A Motorola recebe o “Baldrige
Award”em 1988 e partilha as suas boas praticas de qualidade
com outras empresas.
• A funcao de qualidade e desenvolvida por Yoji Akao como uma
forma de se concentrar no que o cliente pretende ou necessita no
planeamento de um produto ou servico.
• Sao desenvolvidas versoes especıficas da serie ISO 9000 de
normas de gestao da qualidade para sectores tais como a
industria automovel (QS-9000), a aeroespacial (AS9000) e a de
telecomunicacoes (TL9000 e ISO/TS 16949) e a gestao ambiental
(ISO 14000).
• A qualidade estabelece-se em sectores bem distintos da industria
tais como a administracao, a saude, a educacao e o governo.
• O “Malcolm Baldrige National Quality Award”acrescenta a
educacao e a saude as categorias originais (manufactura,
208
pequenas empresas e servicos). Muitos advogam que se acrescente
a categoria de “organizacoes sem fins lucrativos”.
Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/
overview/beyond-total-quality.html
7.3.8 Walter A. Shewhart — Pai do controlo estatıstico de
qualidade
Shewhart simulated theoretical models by marking numbers
on three different sets of metal-rimmed tags. Then he used an
ordinary kitchen bowl — the Shewhart bowl — to hold each
set of chips as different sized samples were drawn from his
three different populations. There was a bowl, and it played
a vital role in the development of ideas and formulation of
methods culminating in the Shewhart control charts.
Ellis R. Ott, Tribute to Walter A. Shewhart, 1967
Tinham decorrido cerca de dois seculos de revolucao industrial,
quando o jovem engenheiro Walter Andrew Shewhart (1891–1967)
altera o curso da historia da Industria ao celebrar aquilo que se pode
considerar um casamento perfeito entre Estatıstica, Engenharia
e Economia.
Shewhart publica numerosos trabalhos, mas e entre os seus
manuscritos que se encontra o fruto mais duradouro e tangıvel desta
curiosa uniao. Com efeito, no historico memorandum de 16
de Maio de 1924 (ASQ), Shewhart propoe aos seus superiores
hierarquicos a carta ou esquema de controlo, uma ferramenta
grafica fundamental na distincao entre causas aleatorias e causas
209
assinalaveis de variacao de um processo de producao que representa
um passo inicial para aquilo que Shewhart designa por “formulacao
de uma base cientıfica para assegurar o controlo economico”.
A vida de Shewhart esta cheia de concretizacoes que nao sao
alheias a sua forte preparacao em ciencias e em engenharia. Licencia-
se na University of Illinois e obtem o grau de Doutor em Fısica
pela University of California at Berkeley em 1917. Lecciona nestas
duas universidades e lidera brevemente o Departamento de Fısica da
Wisconsin Normal School in LaCrosse.
A sua carreira profissional compreende tambem o exercıcio da
Engenharia na companhia Western Electric de 1918 a 1924, e nos
Bell Telephone Laboratories, onde exerce varios cargos enquanto
membro do pessoal tecnico de 1925 ate a sua reforma em 1956,
Lecciona controlo de qualidade e estatıstica aplicada na University
of London, no Stevens Institute of Technology, na Graduate School
of the U.S. Department of Agriculture, e na India. E professor
honorario da Rutgers University e colabora em comites em Harvard e
do Departamento de Matematica de Princeton.
E frequentemente consultor do Departamento de Guerra dos EUA,
das Nacoes Unidas e do Governo indiano. Membro activo do National
Research Council e do International Statistical Institute, nos EUA.
Membro honorario da Royal Statistical Society (Reino Unido) e
da Calcutta Statistical Association (India). E editor principal da
Mathematical Statistics Series publicada pela John Wiley & Sons
durante mais de vinte anos.
Fonte:
http://www.asq.org/about-asq/who-we-are/bio shewhart.html
210
Capıtulo 8
Esquemas de controlo de
qualidade do tipo Shewhart para
atributos e variaveis
8.1 Introducao
Concentrar-nos-emos doravante no controlo estatıstico de
processos, muito em particular em esquemas de controlo de
qualidade, e posteriormente na amostragem de aceitacao.
O acompanhamento de processos de producao pressupoe, de
um modo geral:
• a escolha de uma caracterıstica de qualidade (e.g. numero de
defeitos, diametro, etc.);
• a seleccao de parametro (s) a controlar (e.g. valor esperado,
variancia, probabilidade de seleccao de artigo defeituoso);
• a recolha regular de amostras (e.g. de hora em hora);
• o registo sequencial dos valores observados de uma estatıstica
(e.g. media, variancia amostrais ou percentagens observadas de
211
defeituosos),
• em grafico com limite(s) apropriado(s).
O dispositivo grafico resultante denomina-se
• esquema/carta de controlo.
Esta ferramenta estatıstica foi proposta por Walter A.
Shewhart dos “Bell Telephone Laboratories”, em 1924, com o intuito
de vigiar e reduzir a variabilidade dos processos de producao.
Figura 8.1: Carta de controlo — No. amostra (abcissa) vs. valor obs. estatıstica
(ordenada); limite superior de controlo (UCL).
Segundo Shewhart a variabilidade da caracterıstica de qualidade
pode ter duas origens:
• causas aleatorias (chance causes) — o efeito destas resulta
em variacoes negligenciaveis, incontrolaveis e intrınsecas
a natureza aleatoria da caracterıstica de qualidade (background
noise);
• causas assinalaveis (assignable causes) — traduzem-se em
alteracoes inaceitaveis da caracterıstica de qualidade; e podem
dever-se ao ajustamento incorrecto da maquinaria, a erros dos
operadores, de materia prima inadequada, etc.
212
A ocorrencia de uma causa assinalavel pode, por exemplo,
resultar na alteracao de um ou mais parametros da distribuicao
da caracterıstica de qualidade. Estudar-se-ao somente
• shifts — alteracoes bruscas do valor de um ou mais parametros,
do nıvel desejado para um outro distinto.
Exemplo 8.1 — O valor esperado µ toma valor µ0 num primeiro
turno de 8 horas um processo de fabrico, tendo passado a tomar valor
µ1 (µ1 6= µ0) em todos os turnos seguintes. Assim, se a recolha
de amostras ocorresse de uma em uma hora terıamos µ = µ0, nos
instantes N = 1, . . . , 8, e µ = µ1, para N = 9, 10 . . .. •
Podem ocorrer tambem
• drifts — alteracoes graduais do(s) valor(es) do(s) parametros,
ou ainda alteracoes do(s) parametros — durante curto espaco de
tempo — seguidas de retorno ao nıvel alvo.
Exemplo 8.2 — Um drift linear pode ser descrito do seguinte modo
para o exemplo anterior: µ = µ0, N = 1, . . . , 8, e µ = µ0 + aN , a 6= 0
e N = 9, 10, . . . •
Estados estatısticos de processos de producao — Um processo
de producao diz-se
• sob controlo (in control) na presenca exclusiva de causas
aleatorias.
Se para alem destas estiverem presentes causas assinalaveis o processo
dir-se-a
• fora de controlo (out of control).
213
Objectivo dos esquemas de controlo de qualidade — Tem por
fim auxiliar-nos na deteccao de causas assinalaveis, que, por
traduzirem-se num desvio do(s) parametro(s) do seu valor alvo,
resultam de um modo geral na deterioracao da qualidade dos
produtos. A deteccao devera ser o mais rapida possıvel de forma a
iniciar accoes de correccao que tragam o(s) parametro(s) de novo
ao(s) seu(s) alvo(s).
Gracas a sua simplicidade e utilidade o esquema de controlo tornou-
se uma ferramenta classica e ainda hoje muito popular em controlo
estatıstico de processos/gestao da qualidade.
Aplicacoes dos esquemas de controlo — A utilizacao de esquemas
de controlo nao se confina a industria:
• a administracao (Hawkins e Olwell (1998, p.v) —
preenchimento incorrecto de documentos),
• a epidemiologia (Blacksell et al. (1994) — diagnostico de
doencas veterinarias),
• a deteccao de fraudes (Johnson (1984) — roubo sistematico
pelos caixas de supermercado),
• gestao de pessoal (Olwell (1997) — “avaliacao”de
comportamento no local de trabalho),
e tambem o atletismo, a biologia, as ciencias do ambiente, a
genetica e as financas (Hawkins e Olwell (1998) e Stoumbos et al.
(2000)) sao algumas das areas de aplicacao corrente dos esquemas de
controlo de qualidade.
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 99–102).
214
8.2 Esquemas Shewhart
Os esquemas de controlo de qualidade mais divulgados sao os
propostos por Walter A. Shewhart (1931) e justamente designados
de esquemas Shewhart: os esquemas X (mean) e R (range)
para a deteccao de eventuais alteracoes no valor esperado µ e
desvio-padrao σ de uma caracterıstica de qualidade de um processo,
respectivamente.
Esquema Shewhart — Um esquema tıpico do tipo Shewhart
para um parametro (e.g. o valor esperado µ) tem as seguintes
caracterısticas:
• em abcissa representa-se o numero da amostra N (ou o
instante da respectiva recolha);
• em ordenada regista-se o valor observado de uma estatıstica
(usualmente suficiente para o parametro sob vigilancia), valor
esse calculado com base numa amostra de dimensao n.
E costume unir os pontos com segmentos de recta para uma melhor
visualizacao da evolucao das observacoes.
A carta de controlo possui ainda tres linhas:
• CL — linha central (central line) representando o valor alvo do
parametro sob viligancia;
• LCL e UCL — limite inferior de controlo (lower control limit) e
limite superior de controlo (upper control limit)
As designacoes destes dois limites tem a sua razao de ser como
poderemos ver de seguida.
215
Emissao de sinal — O operador de um esquema de controlo e
alertado para a possıvel presenca de uma causa assinalavel assim
que se registar observacao para alem dos limites de controlo,
seguindo-se a emissao de sinal, tal como se ilustra no Exemplo 8.3.
Tipos de sinal — A semelhanca de um teste de hipoteses podem
ocorrer:
• falsos alarmes — emissao de sinal na ausencia de desvio no
parametro (erro de tipo I dos testes de hipoteses);
• sinais validos — emissao de sinal na presenca de desvio no
parametro.
Escolha dos limites de controlo — Os limites de controlo devem
ser escolhidos tendo em conta a distribuicao amostral da estatıstica
utilizada e de tal forma que seja muito pouco provavel que esta
estatıstica tome valores para alem dos limites de controlo,
quando o processo de producao esta sob controlo.
Nesta escolha deve ter-se em consideracao que o esquema nao deve
emitir sinais por perıodos o mais longos possıvel quando o processo
esta sob controlo, contribuindo assim para a reducao da frequencia
de falsos alarmes. Por outro lado, a carta de controlo devera possuir
limites escolhidos de forma a emitir sinais o mais depressa possıvel
caso o processo de producao esteja fora de controlo.
216
Exemplo 8.3 — Foram registadas 70 observacoes do numero de
artigos defeituosos em amostras de dimensao n = 100 numa
carta de controlo−np.1
Tabela 8.1: No. observado de defeituosos tN com: n = 100; p = p0 = 0.05, para
N = 1, . . . , 50; e p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70.
N tN N tN N tN N tN N tN N tN N tN
1 4 11 5 21 4 31 6 41 4 51 5 61 6
2 10† 12 5 22 6 32 5 42 2 52 5 62 9
3 5 13 5 23 7 33 5 43 8 53 7 63 5
4 11‡ 14 3 24 5 34 7 44 4 54 9* 64 3
5 2 15 4 25 6 35 9†† 45 5 55 4 65 6
6 6 16 4 26 7 36 5 46 8 56 6 66 8
7 2 17 8 27 8 37 8 47 6 57 9 67 4
8 8 18 4 28 3 38 6 48 6 58 7 68 6
9 8 19 7 29 6 39 6 49 1 59 6 69 4
10 4 20 1 30 4 40 5 50 3 60 6 70 6
† 1o. falso alarme; ‡ 2o. falso alarme; †† 3o. falso alarme
* 1o. sinal valido
As primeiras 50 observacoes foram recolhidas enquanto o
processo de producao operava sob controlo ao nıvel alvo/nominal
np0 = 100× 0.05.
As 20 observacoes seguintes foram recolhidas do mesmo
processo apos a ocorrencia de um shift para n(p0 + θ) = 100 ×(0.05 + 0.006).
Os valores observados da estatıstica TN encontram-se na Tabela
8.3. Os limites inferior e superior de controlo deste esquema Shewhart
sao iguais a LCL = 0 e UCL = 8.79, respectivamente. (Assinale no
esquema o alvo e o nıvel apos ocorrencia de shift...)1Ver a descricao desta carta para atributos na Seccao 8.4.
217
Figura 8.2: Carta de controlo (unilateral superior) — No. amostra (abcissa) vs.
No. de defeitos por amostra (ordenada); limite superior de controlo.
Convem referir que este esquema foi responsavel por 3 falsos
alarmes (sinais emitidos antes da ocorrencia do shift) e por um sinal
valido emitido pela 54a. amostra, i.e., 4 observacoes apos a ocorrencia
da alteracao do parametro np. •
Convem ainda referir que um esquema de controlo pode ser
utilizado como um dispositivo de estimacao de parametros, desde
que o processo esteja sob controlo.
Mais, os esquemas de controlo tem uma longa historia de
utilizacao na industria. Montgomery (1985, p. 107) nomea cinco
razoes para tal facto. Com efeito, os esquemas de controlo:
• constituem tecnica estatıstica que contribui para aumento
da produtividade pois reduzem a quantidade de artigos que
necessitam de ser retrabalhados ou transformados em sucata;
• sao forma eficiente de prevenir a producao de artigos
defeituosos e como tal consistente com a filosofia “do it right
218
the first time”;
• contribuem para a diminuicao de ajustamentos
desnecessarios do processo de producao ja que sao
capazes de distinguir as causas aleatorias das assinalaveis;
• fornecem informacao essencial para o diagnostico do tipo
de causa assinalavel por parte de um operador experiente;
• fornecem informacao sobre a evolucao dos processos de
producao e como tal permitem a (re)estimacao de parametros
cruciais desses mesmos processos.
Dimensao da amostra, frequencia amostral e recolha das
unidades amostrais — Ao escolher a dimensao da amostra deve ter-
se em mente a magnitude do shift que se pretende detectar. Assim,
caso a magnitude dos shifts seja grande, deve recorrer-se a uma
amostra pequena (e vice-versa).
Acrescente-se tambem que na industria tende a recorrer-se a
amostras pequenas recolhidas muito frequentemente, em
particular, quando se lida com elevadas taxas de producao ou com
a possibilidade de ocorrencia de varios tipos de causas assinalaveis.
A forma como sao recolhidas as unidades que constituem cada
amostra (“rational subgroup”) e crucial. Uma abordagem possıvel
passa pela constituicao de uma amostra com unidades produzidas
sensivelmente ao mesmo tempo; esta abordagem e recomendada
quando se tem por objectivo principal a deteccao de shifts. Outra
abordagem consiste em formar uma amostra com unidades do
produto que sejam representativas de todas as unidades
produzidas desde a recolha da ultima amostra; esta abordagem
219
e particularmente recomendada quando o esquema de controlo e usado
para tomar decisoes sobre a aceitacao de todas as unidades produzidas
desde a recolha da ultima amostra.
Regras/emissoes de sinal alternativas — E essencial que as
observacoes da carta de controlo se disponham de modo aleatorio
em torno do alvo.
Quando estas apresentam um comportamento sistematico ou
nao aleatorio deve emitir-se tambem sinal. Por comportamento
sistematico entenda-se series de observacoes (runs) para alem dos
limites de controlo (3-sigma) ou todas acima/abaixo do alvo, dos
warning limits (2 ou 1-sigma), etc.2
Estas regras usualmente denominadas de run rules ou Western
Electric rules sugerem a emissao de sinal caso:
• uma ou mais observacoes estejam para alem dos limites de
controlo 3-sigma;
• sete ou oito observacoes consecutivas se encontrem ou todas acima
ou todas abaixo do alvo;
• duas de tres observacoes consecutivas estejam para alem dos
warning limits 2-sigma (mas ainda entre os limites de controlo
3-sigma);
• se vereiiquem quatro de cinco observacoes consecutivas para alem
os warning limits 1-sigma;
• se registe um padrao pouco usual e nao aleatorio de observacoes.
Para mais detalhes acerca das Western Electric rules veja-se
Montgomery (1985, p. 112–115).
2Este tipo de limites sera posteriormente descrito em mais detalhe.
220
Como seria de esperar as diversas regras de emissao de sinal
conduzem a diferentes probabilidades de emissao de sinal e nao sao
independentes. Mais, o uso de uma mais de uma destas regras aumenta
nao so a probabilidade de emissao de sinais validos como a de falsos
alarmes, pelo que nao se deve exagerar na adopcao de regras de emissao
de sinal sob pena de emitir sinal sempre se recolha uma amostra.
E sobre o desempenho dos esquemas de controlo que nos
debrucaremos na proxima seccao.
Textos de apoio: Montgomery (1985, pp 102–107); Morais (2001,
pp. 16–23, 56–57).
221
8.3 Desempenho de esquemas Shewhart
Comece-se por destacar alguns parametros relevantes na descricao
do desempenho de esquemas de controlo antes mesmo de
passarmos a exemplos de cartas do tipo Shewhart.
Magnitude do shift — Diferenca relativa (ou racio) entre os nıveis
sob controlo, e.g.µ0 (σ0), e fora de controlo, e.g.µ1 (σ1), do parametro
de localizacao (escala) sob vigilancia, e.g. µ (σ).
Exemplo 8.4 — No controlo do valor esperado e costume considerar-
se δ = µ−µ0
σ/√n; e δ = 0 (δ 6= 0) significa que o processo esta sob controlo
(fora de controlo).
Por seu lado, no controlo do desvio-padrao e frequente considerar-
se θ = σ/σ0; e θ = 1 (θ 6= 1) significa que o processo esta sob controlo
(fora de controlo). •
Average Run Length (ARL) — Na literatura de controlo de
qualidade e usual recorrer ao no. esperado de amostras recolhidas
ate a emissao de sinal na avaliacao do desempenho de esquemas de
controlo. (Assume-se que a magnitude do shift se mantem constante
durante a contabilizacao deste numero de amostras.)
Por um lado e desejavel que os falsos alarmes sejam emitidos com
pouca frequencia → ARL grande. Por outro a emissao de sinal
valido devera ocorrer com a maior brevidade → ARL pequeno.
Run Length (RL) — A distribuicao do no. de amostras recolhidas
ate sinal e relevante na avaliacao do desempenho dos esquemas de
controlo. Esta medida de desempenho depende da magnitude do
shift, da distribuicao da estatıstica utilizada, etc.
222
Proposicao 8.5 — O desempenho de um esquema Shewhart usual
— condicional ao facto da magnitude do shift no parametro sob
vigilancia ser igual a δ, RL(δ) — possui distribuicao geometrica
com parametro
ξ(δ) = P (emissao de sinal|δ)
= 1− P (LCL ≤ T ≤ UCL|δ), (8.1)
onde T representa a estatıstica usada pela carta Shewhart. Assim
tem-se
P [RL(δ) = m] = [1− ξ(δ)]m−1ξ(δ), m = 1, 2, . . . (8.2)
ARL(δ) =1
ξ(δ), (8.3)
bem como outras propriedades de RL(δ) na Tabela 8.2. •Tabela 8.2: Propriedades de RL (caso geometrico).
F.p. PRL(δ)(m) = [1− ξ(δ)]m−1 ξ(δ), m ∈ IN
F.s. FRL(δ)(m) =
1, m < 1
[1− ξ(δ)]bmc , m ≥ 1
F. taxa de falha λRL(δ)(m) = ξ(δ), m ∈ IN
Quantil de ordem p F−1RL(δ)(p) = inf{m ∈ IR : FRL(δ)(m) ≥ p}, 0 < p < 1
F.g.p. PGRL(δ)(z) = z{1− z[1− ξ(δ)]}−1ξ(δ), 0 ≤ z < [1− ξ(δ)]−1
Momento fact. ordem s FMRL(δ)(s) = s!× [1− ξ(δ)]s−1[ξ(δ)]−s, s ∈ IN
Valor esperado ARL(δ) = [ξ(δ)]−1
Desvio-padrao SD[RL(δ)] = [1− ξ(δ)]1/2[ξ(δ)]−1
Coef. de variacao CV [RL(δ)] = [1− ξ(δ)]1/2
Coef. de assimetria CS[RL(δ)] = [2− ξ(δ)][1− ξ(δ)]−1/2
Coef. de achatamento CK[RL(δ)] = 5 + [1− ξ(δ)]−1 − ξ(δ)
Texto de apoio: Morais (2001, pp. 16–23).
223
8.4 Cartas Shewhart para atributos
Em muitas situacoes praticas e usual classificar cada artigo
inspeccionado de conforme ou nao conforme com um conjunto de
especificacoes relativas a qualidade de um produto.
Defeito — Cada especificacao nao satisfeita constitui um defeito
do artigo (e.g. irregularidade a superfıcie de painel).
Artigo defeituoso — Um artigo inspeccionado nao conforme e uma
unidade que nao satisfaz pelo menos uma dessas especificacoes, i.e.,
com pelo menos um defeito.
Cartas para atributos — E costume designar as cartas que resumem
informacao relativa ao numero/percentagem de artigos defeituosos
numa amostra, ou ao numero (total) de defeitos numa amostra/artigo,
de cartas para atributos.
Serao descritas duas cartas para caracterısticas de qualidade do
tipo qualitativo:
• carta–np — com este tipo de esquema pretende controlar-se
a probabilidade (p) de um artigo seleccionado do fabrico ser
defeituoso;
• carta–c — esta carta controla o numero esperado de defeitos (λ)
numa amostra de dimensao n.
As cartas−np e −c tem como estatıstica:
• carta-np — o numero de artigos defeituosos na amostra de
dimensao n;
• carta-c — o numero total de defeitos nos n artigos de uma
amostra.
224
Para alem destas cartas pode considerar-se a carta–p para a
percentagem observada de artigos defeituosos numa amostra ou ainda
a carta–u para o numero observado de defeitos por artigo.
De notar que as distribuicoes usualmente associadas a estas duas
estatısticas pertencem aos modelos uniparametricos:
• carta-np — {Binomial(n, p), 0 < p < 1};
• carta-c — {Poisson(λ), λ > 0}.
Importa referir que o modelo de Poisson faz sentido quando se
admite que
• os defeitos ocorrem de modo independente em qualquer artigo
produzido e de um artigo para outro — isto e, a ocorrencia de
um defeito nao torna nem mais, nem menos provavel, a ocorrencia
de um outro defeito, nesse mesmo artigo e nos restantes que
constituem a amostra, e que
• o numero maximo de defeitos e muito maior que o numero
esperado de defeitos em cada artigo produzido.
Na Tabela 8.3 encontram-se mais detalhes acerca de ambas as
cartas, assumindo que
• na N−esima recolha se obteve amostra de dimensao n,
(x1N , . . . xnN), proveniente de populacao X, e
• considerando limites de controlo do tipo 3–sigma.
Convem notar que, na carta-np, ao perder-se o controlo da
producao, a probabilidade de um artigo seleccionado ser defeituoso
tomara valor p, onde p 6= p0. Caso p > p0 (p < p0), a perda de
controlo tem como consequencia o agravamento (melhoramento) da
qualidade dos artigos produzidos.
225
Tabela 8.3: Descricao das cartas (padrao) np e c, com limites 3-sigma.
Carta-np Carta-c
Populacao
sob controlo X ∼ Bernoulli(p0) X ∼ Poisson(λ0/n)
fora de controlo X ∼ Bernoulli(p), p 6= p0 X ∼ Poisson(λ/n), λ 6= λ0
Shift δ = p− p0 δ = λ− λ0
Estatıstica∑ni=1XiN ∼ binomial(n, p)
∑ni=1XiN ∼ Poisson(λ)
numero de artigos defeituosos numero total de defeitos
LCL np0 − 3√np0(1− p0) λ0 − 3
√λ0
CL np0 λ0
UCL np0 + 3√np0(1− p0) λ0 + 3
√λ0
Exercıcio 8.6 — Justifique a adopcao dos limites de controlo na
Tabela 8.3.
Que consequencias tera o facto de estes limites de controlo
nao estarem associados a uma sequencia de testes de hipoteses
uniformemente mais potentes centrados (UMPU). •
Exercıcio 8.7 — Identifique a distribuicao (e respectivo parametro)
do desempenho RL destas duas cartas para atributos. •
Exemplo 8.8 (carta-np unilateral superior) — Na fase final da
producao de gravadores de CDs, um gravador e considerado
defeituoso se possuir mais de duas inconsistencias cromaticas a
superfıcie do seu painel frontal. 3
Para alem disso, o numero esperado de gravadores
defeituosos, em amostras de 100, nao deve exceder 2. I.e.,3Estas imperfeicoes, embora nao afectem o funcionamento do gravador, sao perceptıveis e podem
afectar o preco do gravador de CDs.
226
sob controlo a caracterıstica de qualidade possui distribuicao
Bernoulli(p0) com p0 = 0.02.
A presenca de uma causa assinalavel e responsavel por um
aumento do numero esperado de defeituosos em amostras de
dimensao n — de np0 para n(p0 + δ), onde 0 < np0 < n(p0 + δ) < n.
Os limites de controlo da carta-np unilateral superior sao
C = [LCL,UCL] = [0, bnp0 + γ√np0(1− p0)c] (8.4)
onde γ e uma constante real positiva, escolhida de tal forma que a
taxa de falsos alarmes emitidos pela carta de controlo tome um
valor especıfico — preferencialmente pequeno.
Por exemplo, se γ = 5/√
1.96 entao UCL = 7 e um falso alarme
ocorre com probabilidade
ξ(0) = P (emitir falso alarme)
= P
n∑i=1
XiN > UCL|δ = 0
= 1− Fbin(100,0.02)(7) ' 0.000932. (8.5)
Note que, uma vez que a distribuicao dos dados e Bernoulli(0.02 + δ),
o RL deste esquema de controlo possui distribuicao geometrica com
parametro
ξ(δ) = 1− Fbin(100,0.02+δ)(7), (8.6)
independentemente do valor de γ no intervalo [5/√
1.96, 6/√
1.96).
A Tabela 8.4 descreve o comportamento estocastico de RL(δ),
atraves da inclusao de varias caracterısticas relacionadas com RL, para
o valor nominal e diversos valores fora de controlo de np associados a
δ = 0, 0.001, 0.0025, 0.005, 0.0075, 0.01, 0.02, 0.03.
Esta tabela ilustra tambem quao pouco fiavel e ARL como
medida de desempenho de um esquema, quando o processo esta
227
Tabela 8.4: Valores de quantis de RL, ARL, SDRL, CVRL, CSRL e CKRL para
carta-np unilateral superior (n = 100, p0 = 0.02 e UCL = 7).
Quantis δ = p− p0
RL 0 0.001 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.02 0.03
5% 56 41 27 14 8 5 2 1
25% 309 227 148 78 45 27 6 3
Mediana 744 546 355 187 107 65 15 6
75% 1487 1092 710 374 214 130 29 11
90% 2470 1813 1179 621 355 216 48 17
95% 3214 2359 1534 808 461 281 62 22
ARL 1073.030 787.737 512.346 270.112 154.275 94.128 21.047 7.815
SDRL 1072.530 787.237 511.846 269.611 153.774 93.627 20.541 7.298
CVRL 1.000 0.999 0.999 0.998 0.997 0.995 0.976 0.934
CSRL 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.001 2.005
CKRL 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.002 6.019
sob controlo. Por exemplo, a probabilidade de um sinal ser emitido
pelas primeiras 309 amostras e de pelo menos 0.25, apesar do ARL
sob controlo pouco exceder as 1073 amostras. Para alem disso, na
ausencia de um shift em p, o desvio-padrao de RL (SDRL) e igual a
cerca de 1072 amostras, logo e possıvel registar observacoes para alem
dos limites de controlo mais cedo e mais tarde que o esperado.
Pode ainda acrescentar-se que os coeficientes de assimetria (CSRL)
e achatamento (CKRL) aumentam ligeiramente com o valor de δ
quando se usa o esquema unilateral superior np. •
228
Exercıcio 8.9 — Num processo de producao de frigorıficos recorreu-
se a carta de controlo np com as seguintes caracterısticas:
• n = 100, LCL = 0, UCL = 16.1 e p0 = 0.080.
a) Determine o numero esperado de amostras recolhidas ate falso
alarme. Comente o resultado.
b) Qual a probabilidade de uma amostra arbitraria detectar um shift
para p = 0.2?
c) Obtenha a probabilidade do shift referido em b) ser detectado o
mais tardar pela 4a. amostra recolhida a seguir a ocorrencia do
shift. •
Exercıcio 8.10 — Uma carta de controlo np (padrao) indica que a
um determinado processo de fabrico esta associada a producao de 2%
de itens defeituosos.
a) Qual a probabilidade da carta detectar um shift para 4% no dia
a seguir a ocorrencia do shift, caso se inspeccione diariamente 50
itens?
b) E ao fim do 4o. dia a seguir a ocorrencia do shift? •
Exercıcio 8.11 / Exemplo — Os dados abaixo dizem respeito ao
numero de artigos defeituosos em 30 amostras de 100 pecas soldadas
por uma maquina recentemente adquirida, totalizando 237 artigos
defeituosos (De Vor et al. (1992, p.440)).
a) Utilizando a estimativa de MV da verdadeira fraccao de pecas
defeituosas, p = 0.079, construa e desenhe uma carta de controlo
conveniente, com limites 3-sigma.
As estimativas de LCL, CL e UCL obtem-se substituindo p0 por
p nas respectivas expressoes. Assim:
229
– LCL = np− 3√np(1− p) = −0.19 < 0→ LCL = 0;
– CL = np = 7.9;
– UCL = np+ 3√np(1− p) = 16.00.
Tabela 8.5: No. de artigos nao conformes em 30 amostras de 100 pecas soldadas.
Amostra Nao conformes Amostra Nao conformes Amostra Nao conformes
1 7 11 7 21 8
2 8 12 9 22 10
3 6 13 8 23 4
4 8 14 7 24 10
5 6 15 8 25 7
6 8 16 10 26 7
7 3 17 10 27 9
8 5 18 5 28 8
9 9 19 12 29 10
10 7 20 11 30 10
b) Assumindo doravante que p0 e igual a p, diga se tera ocorrido
algum sinal de perda de controlo?
Qual o numero esperado de amostras recolhidas ate a emissao de
um falso alarme?
c) Determine a probabilidade de uma amostra arbitraria ser
responsavel pela emissao de um sinal quando a fraccao de
defeituosos passa a ser igual a p = 10% e ao utilizar-se a carta de
controlo construıda em a).
Determine o valor de ARL nessa situacao?
d) Qual o valor de ARL caso haja um melhoramento da qualidade
associado a p = 0.05?
Compare este valor com os anteriores e comente a adequacao da
carta para a deteccao de diminuicoes em p.
230
e) Elabore um programa para obter o grafico de log[ARL(δ)] com
δ ∈ (−p0, 1 − p0) ou em outros intervalos que entender mais
convenientes. •
Exercıcio 8.12 — Uma carta de controlo p (padrao) para a fraccao
de defeituosos e utilizada para controlar um processo que se julga
produzir p0 = 1.6% de pecas defeituosas. Admitindo que se recolhe
diariamente uma amostra de 100 pecas:
a) Calcule os limites de controlo desta carta;
b) Obtenha a probabilidade de um shift para p = 2.0% ser detectado
pela carta no primeiro dia a seguir a ocorrencia do shift;
c) Determine a probabilidade desse mesmo shift ser detectado 3 dias
depois da sua ocorrencia.
d) Qual o menor valor da dimensao da amostra a qual corresponde
uma carta de controlo p (padrao) com o respectivo limite inferior
de controlo positivo? •
Exercıcio 8.13 — Procura-se construir uma carta de controlo para a
fraccao de defeituosos que possua alvo igual a 10% e limites de controlo
3-sigma.
Que dimensao deverao possuir as amostras que ira recolher de modo
a que a deteccao de um shift para 16% seja detectada por uma dessas
amostras com probabilidade nao inferior a 0.50? •
Exercıcio 8.14 — Pretende controlar-se um processo de fabrico
atraves da utilizacao de uma carta de controlo para a fraccao de
defeituosos. Para o efeito foram inicialmente recolhidas 10 amostras
de dimensao 100 tendo-se obtido o conjunto de resultados da tabela
seguinte.
231
Tabela 8.6: No. de artigos defeituosos em 10 amostras de 100 pecas.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Defeituosos 3 2 6 2 7 2 1 2 0 5
a) Estabeleca e desenhe uma carta para controlar futuramente a
producao.
b) Qual e a dimensao amostral mınima a adoptar de modo a obter
uma carta de controlo com um limite inferior positivo? •
Exercıcio 8.15 — Numa fabrica de papel pretende usar-se uma carta
de controlo para vigiar o processo de producao de rolos de papel.
A producao foi inspeccionada durante 20 dias consecutivos tendo-
se registado o numero total de imperfeicoes dos rolos produzidos
diariamente.
Tabela 8.7: No. de defeitos em 20 amostras de dimensao variavel de rolos de papel.
Amostra No. rolos Defeitos Amostra No. rolos Defeitos
1 18 12 11 18 8
2 18 14 12 18 14
3 18 20 13 18 9
4 22 18 14 20 10
5 22 15 15 20 14
6 22 12 16 20 13
7 20 11 17 24 16
8 20 15 18 24 18
9 20 12 19 22 20
10 20 10 20 21 17
232
a) Use este conjunto de dados para determinar uma estimativa de
MV do alvo da carta de controlo c para o numero de defeitos por
rolo de papel.
Obtenha tambem os limites de controlo 3-sigma da mesma carta e
desenhe-a utilizando para o efeito as 20 observacoes de que dispoe.
b) Acha que a recolha das 20 amostras foi efectuada com o processo
de producao sob controlo? Justifique a sua resposta.
c) Que alvo e limites de controlo recomendaria para controlar a
producao futura de rolos de papel de forma a que a emissao de um
falso alarme ocorra com probabilidade menor ou igual a 0.002? •
Exercıcio 8.16 — Um fabricante de automoveis pretende controlar
o numero esperado de defeitos das transmissoes manuais. Para isso
recolhe 16 amostras de 4 unidades cada tendo obtido o conjunto de
resultados da Tabela 8.8.
Tabela 8.8: No. de defeitos de 16 amostras de 4 transmissoes manuais.
Amostra Defeitos Amostra Defeitos
1 2 9 2
2 4 10 1
3 3 11 3
4 1 12 4
5 0 13 5
6 2 14 4
7 1 15 2
8 8 16 3
a) Construa e desenhe uma carta c (padrao) para controlar
futuramente o numero esperado de defeitos por amostra.
233
b) Serao os dados provenientes de um processo sob controlo? Em
caso negativo, assuma que as causas assinalaveis responsaveis
por todos os pontos para alem dos limites de controlo foram
detectadas e posteriormente eliminadas, e volte a calcular os
parametros da carta.
c) Qual a estimativa do valor esperado e do desvio-padrao do numero
de amostras recolhidas ate a deteccao de um shift do valor
nominal para 5 defeitos? •
Exercıcio 8.17 — Os dados da Tabela 8.9 dizem respeito ao numero
de defeitos a superfıcie de 25 laminas de aco.
Tabela 8.9: No. de defeitos a superfıcie de 25 laminas de aco.
Amostra Defeitos Amostra Defeitos
1 1 14 0
2 0 15 2
3 4 16 1
4 3 17 3
5 1 18 5
6 2 19 4
7 5 20 6
8 0 21 3
9 2 22 1
10 1 23 0
11 1 24 2
12 0 25 4
13 8
a) Com base nestes dados construa uma carta 3-sigma para controlar
o numero de defeitos em laminas de aco. Considere amostras
diarias de uma lamina de aco.
234
b) Sera que o processo esta sob controlo?
c) Qual a probabilidade de uma amostra arbitraria ser responsavel
pela emissao de um falso alarme? •
Exercıcio 8.18 — O numero de defeitos detectados na inspeccao
final de gravadores foi registado na Tabela 8.10.
Tabela 8.10: No. de defeitos na inspeccao final de gravadores.
Gravador Defeitos Gravador Defeitos
2412 0 2421 1
2413 1 2422 0
2414 1 2423 3
2415 0 2424 2
2416 2 2425 5
2417 1 2426 1
2418 1 2427 2
2419 3 2428 1
2420 2 2429 1
a) Estara o processo de producao sob controlo? Justifique
convenientemente a sua resposta desenhando uma carta u obtida
com as observacoes de que dispoe.
b) Que carta de controlo para numero de defeitos por unidade
recomendaria para vigiar a producao futura de gravadores? •
Exercıcio 8.19 — Numa linha de producao procede-se a inspeccao
dos televisores fabricados com o objectivo de detectar imperfeicoes a
superfıcie dos mesmos.
O gestor da linha de producao pretende que seja construıda uma
carta u que cumpra os seguintes requisitos:
235
• caso o numero esperado de defeitos por unidade seja igual a 8, a
probabilidade do processo ser declarado como sob controlo seja
superior ou igual a 0.99;
• a carta nao devera possuir limite inferior de controlo.
Qual o tipo de carta de controlo mais apropriado e o respectivo
limite superior de controlo? •
Exercıcio 8.20 — O seguinte conjunto de dados diz respeito a um
processo de producao que se pretende controlar a custa da utilizacao
de uma carta para a fraccao de defeituosos.
Tabela 8.11: No. de artigos defeituosos em 20 amostras de dimensao variavel.
Amostra Dimensao Defeituosos Amostra Dimensao Defeituosos
1 200 6 11 100 1
2 250 8 12 100 0
3 250 9 13 100 1
4 250 7 14 200 4
5 200 3 15 200 5
6 200 4 16 200 3
7 150 2 17 200 10
8 150 1 18 200 4
9 150 0 19 250 7
10 150 2 20 250 6
a) Determine uma estimativa para o alvo da carta de controlo para
a fraccao de defeituosos.
b) Adoptando o procedimento descrito no Exercıcio 8.11, obtenha os
limites de controlo da carta e desenhe-a. Atente que as dimensoes
das amostras sao variaveis.
236
c) Qual a estimativa da probabilidade de uma amostra com
dimensao 200, recolhida imediatamente a seguir a ocorrencia de
um shift para p = 0.15, detectar semelhante alteracao? •
Textos de apoio: Morais (2001, pp. 27–29); Montgomery (1985,
pp. 119–157).
237
8.5 Cartas Shewhart para variaveis
Cartas para variaveis — Muitas caracterısticas de qualidade, como
o peso, o diametro, a pressao arterial, o consumo de combustıvel e
premios de seguros, sao expressas a custa de medidas numericas e nao
sao definidas de acordo com a presenca ou ausencia de determinado
atributo.
Os esquemas para tais caracterısticas de qualidade sao denominados
de esquemas de controlo para variaveis e fornecem de um modo
geral mais informacao sobre o processo de producao e sao mais
eficientes que os esquemas para atributos.
Serao apresentados esquemas para o valor esperado e a
variancia de uma caracterıstica de qualidade normalmente
distribuıda, i.e., esquemas do tipo X e S2 cujas estatısticas sumarias
sao naturalmente:
• carta X — media (reduzida) da amostra;
• carta S2 — variancia corrigida da amostra.
Na Tabela 8.12 encontra-se uma descricao mais detalhada de ambas
as cartas nas suas versoes padrao, ou seja, usadas na literatura para a
deteccao de qualquer tipo de alteracao no valor esperado ou variancia
(Montgomery (1995, p. 188, 200)).
A constante γ (resp. α) e escolhida de forma que o valor de ARL
sob controlo, ARL(δ = 0) (resp. ARL(θ = 1)) tome um valor elevado
e considerado razoavel. Assim, γ = Φ−1(1− [2ARL(0)]−1) (resp. α =
1/ARL(1)).
Distribuicao do desempenho — O numero de amostras recolhidas
ate a emissao de um sinal por parte da carta X (resp. S2), RL(δ)
238
Tabela 8.12: Descricao das cartas (padrao) X e S2.
Carta X Carta S2
Populacao
sob controlo X ∼ N(µ0, σ2) X ∼ N(µ, σ2
0)
fora de controlo X ∼ N(µ, σ2), µ 6= µ0 X ∼ N(µ, σ2), σ 6= σ0
σ conhecido µ desconhecido mas fixo
Shift δ =√n(µ− µ0)/σ θ = σ/σ0
Estatıstica XN = 1n
∑ni=1XiN S2
N = 1n−1
∑ni=1[XiN − XN ]2
media da a.a. variancia corrigida da a.a.
LCL µ0 − γσ/√n
σ20
n−1 × F−1χ2n−1
(α/2)
Alvo µ0 σ20
UCL µ0 + γσ/√n
σ20
n−1 × F−1χ2n−1
(1− α/2)
(resp.RL(θ)), e tambem uma v.a. com distribuicao geometrica. O
parametro e, neste caso, igual a
ξ(δ) = 1− [Φ(γ − δ)− Φ(−γ − δ)] (8.7)
(resp.
ξ(θ) = 1−
Fχ2(n−1)
F−1χ2
(n−1)(1− α
2 )
θ2
− Fχ2(n−1)
F−1χ2
(n−1)(α2 )
θ2
). (8.8)
Exercıcio 8.21 — Justifique os resultados (8.7) e (8.8). •
239
Exercıcio 8.22 / Exemplo — O esquema de controlo X mais
utilizado e, sem duvida, o esquema padrao com γ = 3, i.e., com
limites 3-sigma.
A probabilidade de emissao de sinal condicional ao valor da
magnitude do shift em µ, δ =√n(µ− µ0)/σ, e dada por
ξ(δ) = 1− [Φ(3− δ)− Φ(−3− δ)], (8.9)
logo aproximadamente igual a 0.0027, 0.00287, 0.02267, 0.8413, para
δ = 0, 0.1, 1.0, 4.0.
A funcao ARL(δ) encontra-se representada no grafico seguinte e
permite concluir que se trata de funcao simetrica em torno da origem.
Figura 8.3: ARL de esquema X com limites 3-sigma.
Prove que ARL(δ) e FRL(δ)(m),m ∈ IR, sao funcoes decrescentes
de |δ|. •
Importa notar a carta X com limites 3-sigma e extremamente lenta
(resp. rapida) a detectar shift de pequena (resp. media e grande)
magnitude, tal como ilustra o grafico da funcao ARL(δ). Daı que
para a deteccao de shift de pequena e media magnitude se recorra a
cartas de controlo mais sofisticadas que estudaremos mais tarde.
240
Exercıcio 8.23 — Um fabricante produz pecas cujo diametro
externo se admite ser normalmente distribuıdo com valor esperado
sob controlo igual a µ0 = 3mm e desvio-padrao constante e igual a
σ = 0.1mm independentemente do estado do processo de producao.
Um conjunto de 10 amostras sucessivas de 4 pecas conduziram as
seguintes medias amostrais:
Tabela 8.13: Medias de 10 amostras de dimensao n = 4.
Amostra Media Amostra Media
1 3.01 6 3.02
2 2.97 7 3.10
3 3.12 8 3.14
4 2.99 9 3.09
5 3.03 10 3.20
a) Construa e desenhe uma carta com limites 3-sigma que permita
controlar o valor esperado do diametro externo da peca fabricada.
b) Que conclusoes pode tirar acerca do estado do processo de
producao ao utilizar a carta construıda em a)?
c) Obtenha novos limites de controlo de modo que a probabilidade
da carta emitir um falso alarme seja igual a 0.002.
d) Ao adoptar a carta construıda em c), determine a probabilidade
de um shift para µ = 3.3mm ser detectado pela amostra recolhida
imediatamente a seguir ao instante de ocorrencia desse mesmo
shift. •
241
Exercıcio 8.24 — Uma carta X e utilizada para controlar o valor
esperado da resistencia a traccao do aco A400 que se assume possuir
distribuicao normal com desvio-padrao conhecido e igual a σ = 6.0.
A esta carta estao associadas amostras de dimensao n = 4, µ0 = 200,
LCL = 191 e UCL = 209.
Determine a probabilidade da carta descrita emitir um sinal
aquando da ocorrencia um shift para:
a) µ = 188 e µ = 212.
b) Compare e comente os dois resultados anteriores. •
Exercıcio 8.25 — Elabore o grafico de ARL(δ) de uma carta
unilateral superior X e ARL(0) = 500, para o valor esperado de uma
caracterıstica normalmente distribuıda.
Compare-o com o do desempenho esperado do esquema X padrao
com o mesmo ARL sob controlo e adiante qual das cartas lhe parece ser
mais rapida a detectar aumentos em µ. E para detectar diminuicoes
em µ? •
Exercıcio 8.26 — Os dados da Tabela 8.14 dizem respeito a medias
de 24 amostras de dimensao n = 5 recolhidas num processo de
producao de suportes metalicos.
As medidas sao referentes as tres ultimas casas decimais do
diametro de tais suportes (por exemplo, 34.5 corresponde a 0.50345).
Mais, assuma que a caracterıstica de qualidade possui distribuicao
normal com variancia conhecida e igual 49.
a) Construa e desenhe uma carta X com limites 3-sigma recorrendo
ao conjunto de dados obtidos. Sera que as 24 amostras foram
recolhidas sob controlo? Caso ache necessario, recalcule os limites
de controlo.
242
Tabela 8.14: Medias de 24 amostras de dimensao n = 5 de tres ultimas casas
decimais do diametro de suportes metalicos.
Amostra Media Amostra Media
1 34.5 13 35.4
2 34.2 14 34.0
3 31.6 15 37.1
4 31.5 16 34.9
5 35.0 17 33.5
6 34.1 18 31.7
7 32.6 19 34.0
8 33.8 20 35.1
9 34.8 21 33.7
10 33.6 22 32.8
11 31.9 23 33.5
12 38.6 24 34.2
b) Determine a probabilidade de uma amostra arbitraria emitir um
falso alarme.
c) Qual a probabilidade da ocorrencia de um shift (no valor esperado
do diametro dos suportes) para 0.5045 ser assinalado somente pela
5a. amostra recolhida a seguir a ocorrencia de semelhante shift?
d) Admitindo que as especificacoes do diametro dos suportes
metalicos sao 0.5030 ± 0.0010, determine uma estimativa da
fraccao de suportes defeituosos produzidos por um processo de
producao sob controlo. •
Exercıcio 8.27 — Com o objectivo de controlar a variancia do peso
de latas de meio quilo de cafe, pretende recolher-se amostras com
dimensao 5 e registar as respectivas variancias corrigidas numa carta
S2.
243
Admita que tal caracterıstica de qualidade possui distribuicao
normal com valor esperado constante, embora desconhecido
independentemente do estado da producao, e variancia, sob controlo,
igual a σ20 = 4.
a) Obtenha os limites de controlo da carta de forma que o numero
esperado de amostras ate falso alarme seja 200.
b) Qual a probabilidade de um shift para σ2 = 6 ser detectado
pela amostra recolhida imediatamente a seguir a ocorrencia de
tal shift? •
Exemplo 8.28 — O esquema S2 com os limites descritos na Tabela
8.12 e recomendado na literatura para controlar a variancia σ2 de
dados normalmente distribuıdos.
Tabela 8.15: Valores de ξ(θ) para esquemas S2 com σ20 = 1 e α = 0.002 (i.e.,
ARL(1) = 500).
n
θ 4 5 7 10 15 100
0.50 0.007828 0.014624 0.042134 0.132929 0.406761 1.000000
0.75 0.002359 0.003089 0.005036 0.009313 0.020672 0.762450
0.80 0.001958 0.002409 0.003528 0.005751 0.011016 0.419837
0.90 0.001533 0.001652 0.001926 0.002391 0.003274 0.037724
0.95 0.001600 0.001628 0.001699 0.001819 0.002035 0.006949
1.00 0.002000 0.002000 0.002000 0.002000 0.002000 0.002000
1.10 0.004522 0.004874 0.005553 0.006569 0.008323 0.054761
1.20 0.010808 0.012654 0.016447 0.022530 0.033848 0.373172
No entanto, esta carta possui probabilidades de emissao de
sinais validos menores que a probabilidade de emitir falso
alarme como ilustra a Tabela 8.15. Por exemplo, a funcao ARL(θ)
nao possui valor maximo sob controlo.
244
Este comportamento traduz-se em propriedades indesejaveis
como a velocidade de deteccao de determinados “shifts”poder ser
inferior a da emissao de um falso alarme, como ilustra o grafico da
Figura 8.4.
Figura 8.4: ARL de esquema S2 padrao (n = 5).
•
Exercıcio 8.29 — Redefina os limites de controlo da carta S2 por
forma a que
ARL(1) = maxθ∈IR+
ARL(θ). (8.10)
a) Considerando σ20 = 1, α = 0.002 e n = 4, 5, 7, 10, 15, 100,
ilustre numericamente a obtencao dos quantis de probabilidade
que definem o par de limites de controlo desta nova carta S2.
b) Determine os correspondentes valores de ξ(θ) por forma a
preencher a Tabela 8.15 e elabore os graficos de ARL(θ)
associados. •
245
Nota 8.30 — As cartas X e S2 sao frequentemente utilizadas em
conjunto ja que sao raras as situacoes em que o valor esperado e a
variancia nao se alteram separada ou simultaneamente.
Como alternativa ao esquema S2 e costume recorrer ao esquema
R para amplitude amostral (“range chart”) apesar do estimador
da variancia associado ser pouco eficiente, especialmente quando a
dimensao da amostra e media ou grande. (Para uma descricao
alongada sobre esta carta sugere-se a consulta de Montgomery (1985,
pp.173–92).) •
Exercıcio 8.31 — Caracterize a carta S para o desvio-padrao com
limites do tipo E(S) ± 3DP (S), provando para o efeito que S nao e
estimador centrado de σ e que
E(S) = σ ×(
2
n− 1
)1/2 Γ(n/2)
Γ[(n− 1)/2](8.11)
DP (S) = σ ×√√√√1− E2(S)
σ2 (8.12)
(Ver Montgomery (1985, p.197).) •
Exercıcio 8.32 — Estude os esquemas X e S descritos em
Montgomery (1985, pp.198–199) que fazem uso de estimativas de
µ e σ. •
Exercıcio 8.33 — Um processo de producao foi recentemente
iniciado. De modo a construir cartas que controlassem o valor
esperado e o desvio-padrao do diametro de pistoes de automoveis que
se assume ter distribuicao normal, foram recolhidas 20 amostras de
dimensao 5 tendo-se obtido o seguinte conjunto de resultados.
Construa e desenhe as cartas de controlo X e S definidas em
Montgomery (1985, pp.198–199), fazendo uso dos dados que constam
246
Tabela 8.16: Medias e desvios-padrao corrigidos de 20 amostras de dimensao 5.
Amostra Media Desvio-padrao Amostra Media Defeitos
1 35.1 4.2 11 38.1 4.2
2 33.2 4.4 12 37.6 3.9
3 31.7 2.5 13 38.8 3.2
4 35.4 3.2 14 34.3 4.0
5 34.5 2.6 15 43.2 3.5
6 36.4 4.5 16 41.3 8.2
7 35.9 3.4 17 35.7 8.1
8 38.4 5.1 18 36.3 4.2
9 35.7 3.8 19 35.4 4.1
10 27.2 6.2 20 34.6 3.7
da Tabela 8.16 e considerando limites de controlo 3-sigma para ambas
as cartas. •
Exercıcio 8.34 — Amostras de dimensao n = 6 sao recolhidas
regularmente de um processo de enchimento de garrafoes de azeite.
Assume-se que esta caracterıstica de qualidade tem distribuicao
normal e e medida e de seguida sao calculadas as medias e desvio-
padrao amostrais. Da analise de 50 subgrupos obtiveram-se
50∑i=1
xi = 1000,50∑i=1
si = 75. (8.13)
a) Estime os limites de controlo 3-sigma das cartas X e S.
b) Considerando os limites calculados em a) definitivos e os valores
estimados para µ e σ como os verdadeiros valores destes dois
parametros, determine a probabilidade de emissao de falso alarme
de cada uma das cartas.
c) Nas condicoes da alınea anterior, qual seria a estimativa da
probabilidade da carta X emitir sinal o mais tardar 5 amostras
247
apos a ocorrencia de um shift no valor esperado para o valor 25
(resp. no desvio-padrao para 2)? •
Textos de apoio: Montgomery (1985, pp. 171-209); Morais (2001,
pp. 19–23).
248
Capıtulo 9
Esquemas de controlo de
qualidade do tipo CUSUM e
EWMA para atributos e variaveis
9.1 Esquemas CUSUM e EWMA
As cartas de controlo mais frequentemente utilizadas sao do tipo
Shewhart. A sua popularidade deve-se, fundamentalmente, a
simplicidade da sua construcao e da caracterizacao do desempenho
destas cartas de controlo. Contudo, por fazerem uso exclusivo da
informacao mais recente, desprezando toda a restante informacao
disponıvel, as cartas Shewhart sao particularmente lentas a detectar
algumas alteracoes de importancia pratica, as alteracoes ligeiras num
processo de producao. Com efeito no capıtulo anterior constatou-se
que as cartas do tipo Shewhart sao, em media, extremamente lentas
a detectar shifts de pequena e media magnitude.
Em contrapartida, as cartas Shewhart sao particularmente
rapidas (mais uma vez em media) a detectar shifts de grande
magnitude. Esta caracterıstica deve-se ao facto de a estatıstica de
249
qualquer carta Shewhart utilizar somente a informacao respeitante
a ultima amostra, ignorando as restantes amostras.
Uma forma de aumentar a capacidade de deteccao de
shifts passa pela acumulacao de informacao relativa as amostras
sucessivas. Os esquemas de controlo dos tipos CUSUM (cumulative
sum) e EWMA (exponentially weighted moving average) sao disso
exemplo e foram originalmente propostos por Page (1954) e Roberts
(1959), respectivamente, para detectar shifts (quer aumentos, quer
diminuicoes) do valor esperado de uma caracterıstica de qualidade
normalmente distribuıda. Nestas referencias constatou-se que os
esquemas CUSUM e EWMA sao mais rapidos, em valor
esperado, que os esquemas Shewhart, no que diz respeito a
deteccao de shifts de pequena e media magnitude do referido
parametro, devendo-se isso ao facto deste tipo de carta de controlo
conjugar a informacao mais recente e toda a historia passada do
processo de producao.
Tabela 9.1: Caracterısticas de esquemas Shewhart e CUSUM/EWMA.
Shewhart CUSUM/ EWMA
Shewhart (1924) Page(1954)/ Roberts (1959)
Estatıstica dependente da Estatıstica dependente de
amostra mais recente todas as amostras recolhidas
Simplicidade Caracter recursivo
TN = g(TN−1, XN , . . .)
Popularidade inquestionavel Popularidade crescente
Estes esquemas podem ser tambem definidos para os parametros de
todas as distribuicoes usuais a que se recorre em controlo de qualidade,
tal como o valor esperado do numero total de artigos defeituosos numa
amostra de dimensao n, a semelhanca do que se ilustra a seguir.
Textos de apoio: Morais (1995, pp. 57–58); Morais (2001, p. 23).
250
9.2 Esquemas CUSUM para atributos
O esquema CUSUM e, sem sombra de duvida, um dispositivo grafico
de controlo muito informativo uma vez que pode fornecer estimativas
da magnitude do shift e valores preditos para o instante de ocorrencia
dessa mesma alteracao (Hawkins e Olwell (1998, pp. 20–22)).
Nesta seccao apresentaremos brevemente um esquema CUSUM
padrao para dados binomiais que se presta a deteccao quer de
aumentos, quer de diminuicoes de p (ou equivalentemente de np).
Em adicao debrucar-nos-emos longamente sobre esquemas
CUSUM unilaterais superiores para p cuja utilizacao se presta
a deteccao exclusiva de aumentos no numero esperado de artigos
defeituosos numa amostra de dimensao fixa.
Definicao 9.1 — O esquema CUSUM padrao para dados
binomiais caracteriza-se pela utilizacao da estatıstica:
ZN =
0, N = 0∑Nj=1(Yj − np0) = ZN−1 + (YN − np0), N ∈ IN,
(9.1)
onde:
• 0 e o valor inicial atribuıdo a estatıstica (ao (re)iniciar-se o
processo de controlo de producao);
• YN ∼ binomial(n, p = p0 + θ) e o numero de artigos defeituosos
na N−esima amostra aleatoria (de dimensao n), i.e., corresponde
ao estimador de MV de np; e
• np0 o valor sob controlo de np. •
Nota 9.2 — A estatıstica ZN acumula os desvios entre o numero de
artigos defeituosos e o respectivo valor esperado sob controlo. Mais,
nao e um estimador de np •
251
Definicao 9.3 — O esquema CUSUM unilateral superior para
dados binomiais faz uso da seguinte estatıstica:
ZN =
u, N = 0
max{0, ZN−1 + (YN − k)}, N ∈ IN,(9.2)
onde:
• u e o valor inicial atribuıdo a estatıstica, tambem pertencente a
[LCL,UCL] = [0, UCL] para este esquema;
• YN e de novo o numero de artigos defeituosos na N−esima
amostra aleatoria (de dimensao n) e possui distribuicao,
condicional a θ, binomial(n, p = p0 + θ); e
• k representa o que se chama de valor de referencia
necessariamente inferior a n ja que YN toma valores em
{0, 1, . . . , n}. •
Nota 9.4 — Lucas e Crosier (1982) recomendam a utilizacao de head
start (HS) values, i.e, um valor inicial nao nulo para a estatıstica do
esquema CUSUM (ou EWMA). Esta recomendacao prende-se com
os seguinte:
• se o processo estiver a operar sob controlo, a estatıstica do
esquema e rapidamente “forcada”a ficar perto da origem ja que os
desvios entre o observado e o esperado nao sao de grande monta,
logo o efeito esperado do head start e mınimo no desempenho
da carta;
• caso contrario, o operador do esquema e alertado para a situacao
de perda de controlo antes do que e habitual, prevenindo assim
start–up problems (i.e., problemas quando se (re)inicia o
processo de producao).
252
Nota 9.5 — Uma vez que a carta CUSUM unilateral superior
se propoe a deteccao exclusiva de aumentos no parametro p de nada
adianta assinalar qualquer valor negativo da estatıstica. 1 Assim,
altera-se imediatamente o valor observado da estatıstica para 0,
sempre que ela tome valor negativo. Daı o uso da funcao max.
Nota 9.6 — Refira-se, por fim, que a obtencao nao so dos limites
de controlo como do valor de referencia e de u sera discutida mais
tarde. Pode, no entanto, adiantar-se que a seleccao destas constantes
dependera do desempenho desejado para o esquema sob e fora de
controlo, assunto que discutiremos na proxima seccao.
Exemplo 9.7 — Na Tabela 9.2 encontram-se os valores observados
dos numeros de artigos defeituosos em amostras de dimensao n = 100.
As primeiras 50 observacoes foram recolhidas quando o processo
operava ao nıvel nominal np0 = 100×0.05. As 20 observacoes seguintes
foram recolhidas do mesmo processo apos um shift para n(p0 + θ) =
100× (0.05 + 0.006).
Os valores observados para a estatıstica CUSUM, ZN , encontram-se
igualmente na Tabela 9.2, para o valor de referencia k = 5.29 e valor
inicial u = 0 (i.e., nao se atribuiu head start (0%HS) a este esquema).
O limite superior de controlo do esquema CUSUM unilateral superior
e igual a UCLC = 18.3.
De notar que o esquema CUSUM unilateral superior para dados
binomiais assinalou a perda de controlo somente a 60a. observacao tal
como confirmam a Tabela 9.2 e a Figura 9.1.
De referir tambem que o esquema nao foi responsavel por nenhum
falso alarme antes da ocorrencia do shift.1Valor este que se deveria ao acumular de desvios negativos entre o que se observa e o valor de
referencia.
253
Tabela 9.2: No. observado de defeituosos yN e estatıstica CUSUM para: n = 100,
p = p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50, p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70;
k = 5.29, u = 0 e UCLC = 18.3.
N yN N yN N yN N yN N yN N yN N yN
1 4 11 5 21 4 31 6 41 4 51 5 61 6
2 10 12 5 22 6 32 5 42 2 52 5 62 9
3 5 13 5 23 7 33 5 43 8 53 7 63 5
4 11 14 3 24 5 34 7 44 4 54 9 64 3
5 2 15 4 25 6 35 9 45 5 55 4 65 6
6 6 16 4 26 7 36 5 46 8 56 6 66 8
7 2 17 8 27 8 37 8 47 6 57 9 67 4
8 8 18 4 28 3 38 6 48 6 58 7 68 6
9 8 19 7 29 6 39 6 49 1 59 6 69 4
10 4 20 1 30 4 40 5 50 3 60 6 70 6
N zN N zN N zN N zN N zN N zN N zN
1 0 11 8.1 21 0.20 31 5.30 41 12.40 51 7.50 61 19.60
2 4.71 12 7.81 22 0.91 32 5.01 42 9.11 52 7.21 62 23.31
3 4.42 13 7.52 23 2.62 33 4.72 43 11.82 53 8.92 63 23.02
4 10.13 14 5.23 24 2.33 34 6.43 44 10.53 54 12.63 64 20.73
5 6.84 15 3.94 25 3.04 35 10.14 45 10.24 55 11.34 65 21.44
6 7.55 16 2.65 26 4.75 36 9.85 46 12.95 56 12.05 66 24.15
7 4.26 17 5.36 27 7.46 37 12.56 47 13.66 57 15.76 67 22.86
8 6.97 18 4.07 28 5.17 38 13.27 48 14.37 58 17.47 68 23.57
9 9.68 19 5.78 29 5.88 39 13.98 49 10.08 59 18.18 69 22.28
10 8.39 20 1.49 30 4.59 40 13.69 50 7.79 60 18.89* 70 22.99
* primeiro sinal valido
254
Figura 9.1: Valores observados da estatıstica CUSUM (zN).
•
Exercıcio 9.8 — Obtenha os valores observados da estatıstica
CUSUM padrao para os dados do Exemplo 9.7 e averigue se, com
LCL = 3 e UCL = 17, e esquema CUSUM padrao teria emitido
algum sinal valido.
Desenhe e comente o esquema com os valores observados desta
estatıstica. •
Textos de apoio: Hawkins e Olwell (1998, pp. 105–133); Morais
(2001, pp. 55–58).
255
9.3 Desempenho de esquemas CUSUM para
atributos
O esquema CUSUM possui estatısticas sumarias dependentes e dado
o caracter recursivo das mesmas pode ser vistas como constituindo
uma cadeia de Markov em tempo discreto com espaco de
estados discreto 2 uma vez que estamos a lidar neste caso com dados
discretos. 3
Apesar de os esquemas CUSUM serem mais rapidos a
detectar shifts de pequena e media magnitude que os esquemas
Shewhart, os esquemas CUSUM nao atingiram, ate hoje, a
popularidade das cartas do tipo Shewhart.
Uma das razoes que se pode apontar e o facto dos esquemas
CUSUM (a par dos do tipo EWMA) nao serem de facil implementacao
e a caracterizacao do respectivo desempenho nao ser necessariamente
trivial, ao contrario do que acontece com os esquemas do tipo
Shewhart.
A avaliacao do desempenho do esquema CUSUM tirando partido
das estatısticas constituırem uma cadeia de Markov facto conduz
aquilo que se designa usualmente de abordagem markoviana.
2{ZN , N ∈ IN0} diz-se uma cadeia de Markov homogenea em tempo discreto com espaco deestados discreto S sse
P (ZN+1 = j | ZN = i, ZN−1 = iN−1, . . . , Z1 = i1, Z0 = i0)
= P (ZN+1 = j|ZN = i)
= pij , ∀i0, i1, . . . , iN−1 ∈ S,N ∈ IN0. (9.3)
Ou seja, a probabilidade do estado vir a tomar certo valor no instante futuro (N + 1) —condicionalmente a informacao sobre o estado no instante presente N e os estados nos instantespassados N − 1, . . . , 0 — depende exclusivamente do estado presente. A matriz [pij ]i,j∈S da-se onome de matriz de probabilidades de transicao (entre estados e a um passo). Note-se ainda quepij = P (transicao do estado i→ estado j) e
∑j∈S pij = soma da linha i = 1.
3O espaco de estados seria contınuo para dados contınuos.
256
Esta abordagem, originalmente proposta por Brook e Evans (1972),
permite determinar a distribuicao exacta (ou aproximada) do
numero de amostras recolhidas ate a emissao de sinal, RL, e
consequentemente qualquer outra caracterıstica que diga respeito a
RL como e o caso de ARL.
Exemplo 9.9 / Exercıcio — Considere um esquema CUSUM
unilateral superior para dados binomiais cuja estatıstica e
ZN = ZN(θ) =
u, N = 0
max{0, ZN−1(θ) + [YN(θ)− k]}, N ∈ IN.(9.4)
Caso k e u sejam inteiros positivos, a estatıstica e regida por uma
cadeia de Markov em tempo discreto com espaco de estados IN0,
estado inicial nulo, e matriz de probabilidades de transicao,
dependente da magnitude do shift θ
P(θ) =
Fθ(k) Pθ(k + 1) Pθ(k + 2) · · ·Fθ(k − 1) Pθ(k) Pθ(k + 1) · · ·Fθ(k − 2) Pθ(k − 1) Pθ(k) · · ·Fθ(k − 3) Pθ(k − 2) Pθ(k − 1) · · ·...
...... . . .
, (9.5)
onde Fθ(i) = Fbinomial(n,p0+θ)(i) e Pθ(i) = Pbinomial(n,p0+θ)(i)
representam a funcao de distribuicao e a funcao de probabilidade de
YN = YN(θ) para qualquer inteiro nao negativo i. (Justifique!)
Assuma agora que se emite um sinal assim que a estatıstica
exceda o limite superior de controlo UCL = x, onde x e um
inteiro positivo. Nestas circunstancias, o run length deste esquema
CUSUM unilateral superior pode ser representado pelo seguinte
tempo de primeira passagem:
RLu(θ) = min{N : ZN(θ) > x | Z0(θ) = u}. (9.6)
257
De facto o run length tem exactamente a mesma distribuicao que certo
tempo de primeira passagem da seguinte cadeia de Markov absorvente
em tempo discreto {SN(θ), N ∈ IN0}, onde: S0(θ) = Z0(θ) = u; e, para
N ∈ IN ,
SN(θ) =
ZN(θ), se ZN(θ) ≤ x e SN−1(θ) ≤ x
x+ 1, c.c..(9.7)
Esta cadeia de Markov possui espaco de estado finito {0, 1, . . . , x+ 1}e estado absorvente x + 1. Para alem disso, as suas transicoes sao
regidas pela matriz de probabilidades de transicao P(θ) dada por
Fθ(k) Pθ(k + 1) Pθ(k + 2) · · · Pθ(k + x) 1− Fθ(k + x)Fθ(k − 1) Pθ(k) Pθ(k + 1) · · · Pθ(k + x− 1) 1− Fθ(k + x− 1)Fθ(k − 2) Pθ(k − 1) Pθ(k) · · · Pθ(k + x− 2) 1− Fθ(k + x− 2)
......
.... . .
......
Fθ(k − x) Pθ(k − x+ 1) Pθ(k − x+ 2) · · · Pθ(k) 1− Fθ(k)0 0 0 · · · 0 1
. (9.8)
Com efeito,
RLu(θ) =st min{N : SN(θ) = x+ 1 | S0(θ) = u}. (9.9)
•
Exercıcio 9.10 — Obtenha a matriz de probabilidades de transicao
associada a uma carta CUSUM padrao para dados binomiais com
limites de controlo e valor de referencia inteiros, LCL = 2, UCL = 10
e k = 6, respectivamente e YN ∼ binomial(10, 0.5). •
Tal como se constatou no exemplo anterior lidaremos com uma
cadeia de Markov absorvente em tempo discreto e com espaco de
estados finito {0, 1, . . . , x + 1}, estado absorvente x + 1, estados
258
transeuntes 0, 1, . . . , x e matriz de probabilidades de transicao, passıvel
da seguinte representacao:
P(θ) =
Q(θ) [I−Q(θ)] 1
0> 1
(9.10)
onde:
• Q(θ) = [pij(θ)]xi,j=0, i.e., esta matriz (x + 1)× (x + 1) e obtida a
partir da matriz P(θ) por eliminacao da ultima linha e da ultima
coluna; esta matriz rege as transicoes entre os estados transeuntes
da cadeia;
• 1 (0>) e um vector-coluna (vector-linha) com x+ 1 uns (zeros); e
• I e a matriz identidade com caracterıstica x+ 1.
Exercıcio 9.11 — Considere agora que os dados possuem
distribuicao fora de controlo de Poisson(0.04), i.e., o numero de
defeitos em amostras aleatorias de dimensao 80 possuem distribuicao
de Poisson(3.2).
Prove que a carta CUSUM unilateral superior com valor de
referencia k = 2 e limite superior de controlo UCL = 2 esta associada
a matriz Q:0.3799 0.2226 0.1781
0.1712 0.2087 0.2226
0.0408 0.1304 0.2087
. (9.11)
•
Tal como se viu no Exemplo 9.9, o RL do esquema de
controlo CUSUM esta relacionado com o numero de transicoes
ate absorcao da cadeia de Markov {SN(θ), N ≥ 0} descrita
anteriormente.
259
Proposicao 9.12 — Seja RLu(θ) o RL de um esquema CUSUM cuja
estatıstica toma valor inicial u, u ∈ {0, 1, .., x}. Entao RLu(θ) e uma
v.a. inteira positiva com funcao de probabilidade dada por:
PRLu(θ)(m) = e>u [Q(θ)]m−1 [I−Q(θ)] 1, m ∈ IN, (9.12)
onde eu representa o (u + 1)−esimo vector da base ortonormada de
IRx+1. •
Nota 9.13 — A distribuicao de RLu(θ) e designada na literatura de
discrete phase-type distribution.
Tabela 9.3: Algumas propriedades de RLu(θ).
F.p. PRLu(θ)(m) = e>u [Q(θ)]m−1 [I−Q(θ)] 1, m ∈ IN
F.s. FRLu(θ)(m) =
1, m < 1
e>u [Q(θ)]bmc 1, m ≥ 1
F. taxa de falha λRLu(θ)(m) = 1− e>u [Q(θ)]m 1
e>u [Q(θ)]m−1 1, m ∈ IN
Quantil de ordem p F−1RLu(θ)(p) = inf{m ∈ IN : FRLu(θ)(m) ≥ p}, 0 < p < 1
F.g.p. PGRLu(θ)(z) = z × e>u [I− zQ(θ)]−1 [I−Q(θ)] 1, 0 ≤ z ≤ 1
Momento fact. ordem s FMRLu(θ)(s) = s!× e>u [Q(θ)]s−1 [I−Q(θ)]−s 1, s ∈ IN
Valor esperado E[RLu(θ)] = e>u [I−Q(θ)]−1 1
Para referencia futura listamos na Tabela 9.3 algumas
caracterısticas de RLu(θ). De notar que:
• FRLu(θ)(m) representa a probabilidade de se emitir um sinal
apos a recolha de mais de m amostras;
• λRLu(θ)(m) representa a probabilidade da amostra m emitir
um sinal, dado que as m − 1 amostras anteriores nao
260
foram responsaveis por qualquer sinal, e pode ser entendida
como uma “taxa de alarme”do esquema aquando da recolha da
amostra m. •
Ha algumas semelhancas entre estas caracterısticas de RLu(θ) e as
do run length de uma carta Shewhart; para todos os efeitos Q(θ) pode
ser pensada como o analogo matricial de 1− ξ(θ).Esta analogia era de certo modo de esperar pois as discrete phase-
type distributions correspondem a uma generalizacao matricial da
distribuicao geometrica.
Tabela 9.4: Esquemas Shewhart vs. CUSUM
Shewhart CUSUM
Estatısticas Estatısticas regidas por
i.i.d. Cadeia de Markov
RL(θ) =st Geometrica (ξ(θ)) RLu(θ) =st Phase-type (eu,Q(θ))
u = estado inicial
1− ξ(θ) = Pθ(TN ∈ [LCL,UCL]) Q(θ) matriz sub-estocastica
Deteccao lenta de desvios Deteccao eficiente de desvios
pequenos ou moderados pequenos ou moderados
As distribuicoes phase-type sao computacionalmente muito
apelativas, como se pode constatar apos a consulta da Tabela 9.3.
Primeiro, porque as propriedades de RLu(θ) expressam-se a custa de
somente dois parametros (eu e Q(θ)). Segundo, porque a obtencao
das propriedades de RLu(θ) envolve operacoes triviais tais como:
• a multiplicacao de matrizes (para obter, por exemplo, a f.p. e a
f.s);
• a inversao de matrizes (para calcular momentos factoriais e ARL).
261
Por ultimo, porque algumas destas propriedades podem ser calculadas
de modo recursivo, como ilustram Champ e Rigdon (1991):
PRL(θ)(m) = [P [RLu(θ) = m]]u=0,...,x
= Q(θ)× PRL(θ)(m− 1). (9.13)
No planeamento de um esquema de controlo e necessario estabelecer
um compromisso entre um RL grande sob controlo e um RL
pequeno fora de controlo, por forma a garantir falsos alarmes
pouco frequentes e uma deteccao rapida de uma alteracao especıfica
no parametro que se pretende controlar.
Tendo presente este compromisso, Gan (1993) sugere, por exemplo,
que o valor de referencia de um esquema CUSUM unilateral superior
para dados binomiais seja seleccionado o mais proximo de
n× ln[(1− p0)/(1− p1)]
ln[(1− p0)p1/(1− p1)p0]. (9.14)
Recorde-se que np0 e o valor esperado nominal do numero de
defeituosos por amostra aleatoria de dimensao n, e np1 denota o
correspondente valor fora de controlo que se pretende detectar com a
maior brevidade. Gan (1993) alega que resultados numericos sugerem
que o valor de referencia em (9.14) conduz a esquemas CUSUM
unilaterais superiores optimos para dados binomiais — optimos, em
termos de ARL — na deteccao de um aumento em p com magnitude
p1 − p0.
Exemplo 9.14 — Considere um esquema CUSUM unilateral
superior sem head start (i.e. u = 0) com np0 = 100 × 0.02 = 2,
valor de referencia k = 3 — que corresponde a np1 = 4.27685 de
acordo com a Equacao (9.14) — e UCL = x = 6. Neste caso, o RL
262
sob controlo, RL0(0) possui distribuicao phase-type discreta definida
por (e0,Q(0)), onde, recorrendo a Equacao (9.8),
Q(0) =
0.8590 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 0.0007 0.0002
0.6767 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 0.0007
0.4033 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031
0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114
0 0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353
0 0 0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902
0 0 0 0.1326 0.2707 0.2734 0.1823
. (9.15)
O conjunto de parametros da carta conduz a ARLs para os valores
nomimais e fora de controlo de np, np0 e np1, iguais a ARL0(0) =
1015.71 — proximo do ARL sob controlo do esquema−np do Exemplo
9.8, 1073.03 — e ARL0(p1 − p0) = 5.932, como reporta a Tabela 9.5.
Esta tabela descreve o comportamento de RL0(θ), atraves da
inclusao de varias medidas de RL, para θ = 0, 0.001, 0.0025, 0.005,
0.0075, 0.01, 0.02, p1 − p0, 0.03.
Ilustra tambem quao pouco fiavel e ARL como medida de
desempenho do esquema quando o processo esta sob controlo; por
exemplo, a probabilidade de um sinal ser emitido entre as primeiras
295 amostras e de pelo menos 0.25, apesar de o ARL sob controlo
exceder 1015 amostras. Para alem disso, na ausencia de shift em p,
o desvio-padrao SDRL e de cerca de 1000 amostras, logo e possıvel
registar observacoes para alem dos limites de controlo muito mais cedo
ou muito mais tarde do que o esperado; ARL0(0) = 1015.71 amostras.
De acrescentar que RL0(θ) possui assimetria positiva e
achatamento mais acentuado que RL(θ), run length do esquema−npunilateral superior.
Para alem disso, a substituicao do esquema esquema−np unilateral
superior pelo esquema CUSUM unilateral superior resulta numa
263
Tabela 9.5: Alguns quantis do RL e valores de ARL, SDRL, CVRL, CSRL e CKRL
para os esquemas unilaterais superiores CUSUM e np (n = 100, p0 = 0.02, p1 =
0.0427685).
Esquema CUSUM unilateral superior para dados binomiais
RL perc. θ = p− p0
points 0 0.001 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.02 p1 − p0 0.03
5% 55 34 18 9 6 4 2 2 2
25% 295 173 85 32 16 10 4 4 3
Median 705 411 198 72 33 19 6 5 4
75% 1407 819 392 140 63 34 9 7 5
90% 2334 1358 649 230 101 53 13 10 7
95% 3036 1765 843 297 130 68 16 12 8
ARL 1015.71 591.724 284.121 102.081 46.227 25.458 7.194 5.932 4.095
SDRL 1012.18 588.012 280.175 97.895 42.022 21.419 4.320 3.322 1.998
CVRL 0.997 0.994 0.986 0.959 0.909 0.841 0.600 0.560 0.488
CSRL 2.000 2.000 2.000 1.998 1.989 1.961 1.627 1.523 1.303
CKRL 6.000 6.000 5.999 5.992 5.953 5.833 4.296 3.814 2.853
Esquema−np unilateral superior
RL perc. θ = p− p0
points 0 0.001 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.02 p1 − p0 0.03
5% 56 41 27 14 8 5 2 1 1
25% 309 227 148 78 45 27 6 5 3
Median 744 546 355 187 107 65 15 11 6
75% 1487 1092 710 374 214 130 29 21 11
90% 2470 1813 1179 621 355 216 48 35 17
95% 3214 2359 1534 808 461 281 62 45 22
ARL 1073.030 787.737 512.346 270.112 154.275 94.128 21.047 15.369 7.815
SDRL 1072.530 787.237 511.846 269.611 153.774 93.627 20.541 14.861 7.298
CVRL 1.000 0.999 0.999 0.998 0.997 0.995 0.976 0.967 0.934
CSRL 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.001 2.001 2.005
CKRL 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.002 6.005 6.019
reducao quer em ARL quer em SDRL e na maior parte dos quantis,
tal como ilustra a Tabela 9.5. •
264
Nota 9.15 — Caso a estatıstica tome valores fraccionarios ao inves
de inteiros pode tambem aplicar-se a abordagem markoviana apos ser
ter coberto todos os valores possıveis da mesma por um rescalamento
conveniente, tal como sugerem Brook e Evans (1972) e Lucas (1985)
e Gan (1993). •
Exercıcio 9.16 — Elabore um programa no package Mathematica
que permita obter um grafico com as curvas de ARL para as cartas
unilaterais superiores para dados binomiais, descritas no Exemplo
9.14. •
Exercıcio 9.17 — Construa um esquema CUSUM padrao para o
controlo do valor esperado de uma caracterıstica de qualidade com
distribuicao normal, neste caso as medidas referentes as tres ultimas
casas decimais do diametro dos suportes descritos no Exercıcio 9.26.
Assuma que o valor alvo para o valor esperado e igual a a µ0 = 32.5 e
que a variancia e conhecida e igual σ20 = 49.
a) Sera que o processo esta sob controlo?
b) Como poderia obter o desempenho deste esquema de controlo? •
Para mais detalhes acerca de cartas CUSUM para variaveis e favor
consultar Montgomery (1985, pp. 221-239).
Textos de apoio: Hawkins e Olwell (1998, pp. 105–133); Morais
(2001, pp. 23–29).
265
9.4 Esquemas EWMA para variaveis
9.4.1 Esquema EWMA padrao para µ
A semelhanca dos esquemas CUSUM, os esquemas do tipo EWMA
(exponentially weighted moving average) garantem em media uma
deteccao mais rapida de shifts de pequena e media magnitude, por
fazerem uso de uma estatıstica que tira partido nao so da informacao
mais recente como passada do processo de producao.
Definicao 9.18 — O esquema EWMA padrao — para o valor
esperado de uma caracterıstica de qualidade normalmente
distribuıda com variancia constante, conhecida e igual a σ20 — possui
estatıstica dada por
WN =
w,
0 N = 0
(1− λ)×WN−1 + λ× XN , N ∈ IN(9.16)
onde:
• w0 e o valor inicial atribuıdo a estatıstica, usualmente igual ao
alvo da carta, i.e., w0 = µ0;
• λ ∈ (0, 1] e uma constante de amortecimento; e
• XN = 1n
∑ni=1XiN a media da N−esima amostra aleatoria e n a
respectiva dimensao. •
Equivalentemente e considerando agora as medias reduzidas, pode
adoptar-se tambem a seguinte estatıstica para o esquema EWMA:
W ∗N =
w0, N = 0
(1− λ)×W ∗N−1 + λ× XN−µ0
σ0/√n, N ∈ IN.
(9.17)
Contudo deixa de se lidar com um estimador de µ.
266
A seleccao de λ sera discutida mais tarde. Pode, no entanto,
adiantar-se que a sua seleccao dependera do desempenho que se
pretende para o esquemas sob e fora de controlo.
Nota 9.19 — A informacao mais recente acerca do processo esta
condensada em XN e tem associado o peso λ, λ ∈ (0, 1]. A historia
passada do processo e representada na estatıstica por WN−1 e possui
um peso associado igual a (1− λ). A estatıstica em (9.16) nao so tem
um caracter recursivo,
WN = f(WN−1, λ), (9.18)
como pode escrever-se alternativamente do seguinte modo:
WN = (1− λ)Nw0 +N−1∑j=0
λ(1− λ)jXN−j (9.19)
Esta formula permite-nos concluir que o peso atribuıdo a media XN−j
decresce a medida que j aumenta, em particular, a importancia
da informacao decresce geometricamente (exponencialmente) com a
respectiva idade. Daı a designacao do esquema de exponentially
weighted moving average. •
Exercıcio 9.20 — Demonstre o resultado (9.19). Com base neste
resultado e considerando para o efeito que a dimensao das amostras e
igual a n:
a) Obtenha o valor esperado sob controlo da estatıstica e averigue
em que situacoes se trata de estimador centrado de µ.
b) Calcule a variancia sob controlo de WN bem como o seu valor
assintotico, σ2a = limN→+∞ V (WN). •
Exercıcio 9.21 — Compare os pesos atribuıdos a observacoes com
idades 1 a 10 pelas cartas EWMA padrao com λ = 0.05, 0.1, 1. •
267
Definicao 9.22 — Ao recorrer-se so esquema EWMA padrao
descrito na Definicao 9.29 podem usar-se de dois tipos de limites
de controlo:
• limites de controlo exactos, calculados com base em
momentos sob controlo de WN (δ = 0) e considerando w0 = µ0,
LCLN = E(WN)− γ√V (WN)
= µ0 − γ
√√√√√λ [1− (1− λ)2N ]σ20
(2− λ)n(9.20)
UCLN = E(WN) + γ√V (WN)
= µ0 + γ
√√√√√λ [1− (1− λ)2N ]σ20
(2− λ)n(9.21)
onde γ e uma constante real positiva que, cuja seleccao e feita a
par da de λ, tendo sempre em vista o desempenho que se pretende
para carta sob e fora de controlo;
• limites de controlo assintoticos, calculados tambem com base
em momentos sob controlo de WN , w0 = µ0 e considerando
N → +∞,
LCLa = limN→+∞
[E(WN)− γ
√V (WN)
]
= µ0 − γ
√√√√√ λσ20
(2− λ)n(9.22)
UCLa = limN→+∞
[E(WN) + γ
√V (WN)
]
= µ0 + γ
√√√√√ λσ20
(2− λ)n. (9.23)
•
268
Nota 9.23 — Com o objectivo de tornar menos complexa a
determinacao do desempenho do esquema e de evitar calculos
sucessivos dos limites de controlo (e deste modo aligeirar a
manipulacao da carta) e costume substituir os limites de controlo
exactos pelos limites de controlo assintoticos. •
Exercıcio 9.24 — Elabore um grafico com os limites de controlo
exactos e assintoticos admitindo que γ = 3, w0 = µ0 = 0, λ = 0.05,
σ0 = 1, n = 9 e N = 1, . . . , 10.
Repita o grafico considerando desta feita λ = 0.25, 0.5. Compare e
comente os graficos obtidos. •
Atente-se que, ao utilizar o esquema com limites de controlo
assintoticos, se corre maior risco de nao emitir sinal valido as primeiras
amostras e ser-se levado a crer que o processo esta sob controlo quando
efectivamente esta fora de controlo.
Ha pois uma perda de sensibilidade do esquema no inıcio do
processo. Este problema e agravado quando λ toma valores proximos
de 0 pois nestes casos V (WN) converge mais lentamente para o seu
valor limite.
Por forma a minimizar as consequencias da utilizacao dos limites
assintoticos na fase inicial do processo e costume adoptar os limites de
controlo exactos para as primeiras 8 a 10 observacoes e recorrer aos
limites de controlo assintoticos para as seguintes observacoes.
Exercıcio 9.25 — Pretende controlar-se o processo de enchimento de
saquetas de produto quımico que conduziu ao conjunto de resultados
(em gramas) da Tabela 9.6.
a) Obtenha os valores da estatıstica de um esquema EWMA padrao
269
para o controlo do valor esperado do peso de cada saqueta,
considerando µ0 = 10.0, w0 = µ0, λ = 0.2, σ/√n = 2 e γ = 3.
Tabela 9.6: Pesos medios de saquetas de produto quımico.
Amostra Media Amostra Media Amostra Media
1 10.5 11 9.5 21 12.0
2 6.0 12 12.0 22 6.0
3 10.0 13 12.5 23 12.0
4 11.0 14 10.5 24 15.0
5 12.5 15 8.0 25 11.0
6 9.5 16 9.5 26 7.0
7 6.0 17 7.0 27 9.5
8 10.0 18 10.0 28 10.0
9 10.5 19 13.0 29 12.0
10 14.5 20 9.0 30 18.0
b) Apos ter elaborado um grafico com os limites de controlo exactos
(e a seguir com os assintoticos) averigue se havera alguma
observacao fora de controlo. •
Exercıcio 9.26 — Uma maquina e utilizada no enchimento de latas
de oleo para motor de carro. Foram recolhidas amostras de n = 4
latas da producao, de meia em meia hora, tendo-se obtido os pesos
medios (em oncas) da Tabela 9.7.
Uma vez que o processo de enchimento foi ha muito automatizado o
desvio-padrao do mesmo ja se estabilizou e a experiencia aponta para
um valor de σ0 = 0.1.
a) Construa um esquema EWMA sem head start (i.e. tal que w0 =
µ0) e γ = 3, µ0 = 8.00 e λ = 0.05.
b) O que podera dizer acerca do estado do processo de producao
considerando limites de controlo exactos. E considerando limites
270
de controlo assintoticos?
Tabela 9.7: Pesos medios de latas de oleo para motor de carro.
Amostra Media Amostra Media
1 8.00 9 8.05
2 8.01 10 8.04
3 8.02 11 8.03
4 8.01 12 8.05
5 8.00 13 8.06
6 8.01 14 8.04
7 8.06 15 8.05
8 8.07 16 8.06
•
9.4.2 Esquema EWMA unilateral superior para σ2
O controlo de aumentos da variancia de uma caracterıstica de
qualidade pode fazer-se tambem a custa de um esquema EWMA
unilateral superior.
Posto isto, a substituicao de XN pelo estimador centrado da
variancia σ2, S2N , parece um passo natural para a obtencao de uma
estatıstica do tipo EWMA para σ2. No entanto, essa substituicao e
descabida ja que as cartas de controlo do tipo EWMA se propoem a
detectar alteracoes no valor esperado e nao em parametros de escala
ou suas funcoes como e o caso de σ2.
Crowder e Hamilton (1992) contornaram este problema do seguinte
modo: em vez de substituırem XN na expressao
WN = (1− λ)WN−1 + λXN (9.24)
pelo estimador centrado de σ2, substituıram-no por ln(S2N), logaritmo
da variancia corrigida da N−esima amostra aleatoria.
271
A escolha desta funcao especıfica de S2N tem a sua razao de ser:
um aumento em σ2 provoca um aumento no valor esperado de ln(S2N),
ln(σ2) + ln(2) − ln(n − 1) + ψ[(n − 1)/2], bem como na variancia de
ln(S2N), ψ′[(n − 1)/2], onde ψ e ψ′ representam as funcoes digama e
trigama.
Nota 9.27 — Recorde-se que a funcao gama e definida por
Γ(z) =∫ +∞
0tz−1e−tdt, z > 0. (9.25)
Por seu lado as funcoes digama e trigama sao definidas do seguinte
modo
ψ(z) =d ln Γ(z)
dz(9.26)
ψ′(z) =d2 ln Γ(z)
dz2 , (9.27)
respectivamente (Abramovitz e Stegun (1964, pp. 255 e 260)),
tratando-se, portanto, de casos particulares da funcao poligama
ψ(n)(z) =dn ln Γ(z)
dzn(9.28)
para n = 0, 1. Para alem disso estas duas funcoes estao definidas no
package Mathematica (Polygamma[. . . ]).
A funcao digama e, para valores inteiros positivos e segundo a
formula 6.3.2 e a formula de recorrencia 6.3.5 da p. 258 de Abramovitz
e Stegun (1964), igual a:
ψ(n+ 1) =
−γ, n = 0
ψ(n) + 1/n, n ∈ IN(9.29)
onde γ representa a constante de Euler
γ = limm→+∞
m∑j=1
1
j− ln(m)
= 0.5772156649 (9.30)
272
(Abramovitz e Stegun (1964, p. 255)).
Refira-se tambem que, tendo em conta o valor de ψ′(1) na tabela
6.1 da p. 267 de Abramovitz e Stegun (1964) e a formula de recorrencia
6.4.6 da p. 260 dessa mesma referencia, a funcao trigama para valores
inteiros positivos pode escrever-se recursivamente do seguinte modo:
ψ′(n+ 1) =
1.6449340668, n = 0
ψ′(n)− 1/n2, n ∈ IN(9.31)
•
Exercıcio 9.28 — Tirando partido do facto de a variancia corrigida
de uma amostra aleatoria proveniente de uma populacao normal
verificar (n−1)S2
σ2 ∼ χ2(n−1) (i.e., S2 tem distribuicao gama com
parametro de forma e de escala iguais a (n − 1)/2 e 2σ2/(n − 1))
e que ln(S2) tem distribuicao log-gama, demonstre que:
E[ln(S2N)] = ln(σ2) + ln(2)− ln(n− 1) + ψ[(n− 1)/2]; (9.32)
V [ln(S2N)] = ψ′[(n− 1)/2]. (9.33)
•
Definicao 9.29 — A carta EWMA unilateral superior — para
a variancia de uma caracterıstica de qualidade normalmente
distribuıda — faz uso da estatıstica
VN =
v0, N = 0
max{ln(σ2
0), (1− λ)× VN−1 + λ× ln(S2N)}, N ∈ IN
(9.34)
onde, convenhamos, so vale a pena mencionar que:
• v0 e o valor inicial atribuıdo a estatıstica, usualmente igual a
v0 = ln(σ20);
• S2N = 1
n−1∑ni=1(XiN − X)2 a variancia corrigida da N−esima
amostra aleatoria.
273
Por seu lado esta carta possui limites de controlo assintoticos iguais a
LCLa = ln(σ20) (9.35)
UCLa = ln(σ20) + γ
√√√√ λ
(2− λ)ψ′[(n− 1)/2] (9.36)
•
Exercıcio 9.30 — A temperatura de um reagente quımico e uma
factor crucial para a obtencao de resultados satisfatorios um processo
quımico. O valor nominal para a media e o desvio-padrao da
temperatura do reagente quımico sao µ0 = 100oC e σ0 = 1oC,
respectivamente.
Tabela 9.8: Temperaturas de reagente quımico.
N x1N x2N x3N x4N x5N s2N vN
1 99.3 99.7 100.0 100.2 99.6 0.123
2 98.2 101.1 100.3 100.3 98.0 1.937
3 97.3 100.2 101.0 99.7 100.2 1.987
4 97.9 100.5 97.9 101.0 98.4 2.233
5 101.1 98.7 99.9 101.5 97.8 2.450
6 101.1 98.4 97.9 100.4 100.1 1.867
7 102.4 99.8 99.7 101.3 100.0 1.383
8 100.7 98.6 99.4 101.2 100.0 1.062
9 98.0 100.4 101.0 100.4 101.8 2.012
10 100.4 101.4 99.7 100.2 101.8 0.760
Foram registados grupos de cinco observacoes da temperatura do
reagente quımico de hora a hora, durante um perıodo de dez horas,
com a particularidade de o desvio-padrao do processo tomar valor
distinto do seu alvo e igual a σ = 1.1oC. As temperaturas encontram-
se na Tabela 9.8, a par dos valores observados da variancia amostral
corrigida.
274
a) Preencha a Tabela 9.8 com os valores observados da estatıstica
EWMA sem head start e considerando λ = 0.05 e v0 = ln(σ20).
b) Obtenha os limites de controlo da carta na situacao em que γ =
1.25 e identifique a amostra responsavel pelo primeiro sinal valido.
c) Determine agora os limites de controlo de uma carta Shewhart
unilateral superior com γShew = 1.25. Serao as amostras
responsaveis por algum sinal valido? •
Exercıcio 9.31 — O diametro e uma caracterıstica importante de
uma fibra textil. Foram recolhidas vinte amostras com dimensao igual
a n = 10 tendo-se obtido o conjunto de medias e variancias corrigidas
amostrais da Tabela 9.9 (Montgomery (1985, pp. 251–252)).
Tabela 9.9: Medias e variancias corrigidas do diametro de fibra textil.
N xN s2N wN vN N xN s2
N wN vN
1 1.04 0.87 11 0.99 0.79
2 1.06 0.85 12 1.06 0.82
3 1.09 0.90 13 1.05 0.75
4 1.05 0.85 14 1.07 0.76
5 1.07 0.73 15 1.11 0.89
6 1.06 0.80 16 1.04 0.91
7 1.05 0.78 17 1.03 0.85
8 1.10 0.83 18 1.05 0.83
9 1.09 0.87 19 1.06 0.79
10 1.05 0.86 20 1.04 0.85
a) Preencha a Tabela 9.9 com os valores observados da estatıstica
EWMA padrao sem head start para µ e da estatıstica EWMA
unilateral superior tambem sem head start para σ2, admitindo
que λµ = λσ = 0.05, w0 = 1.06 e v0 = ln(0.83).
275
b) Obtenha os limites de controlo de ambas as cartas na situacao
em que γµ = 3 e γσ = 1.25.
c) Tera sido alguma amostra responsavel por um sinal? •
Textos de apoio: Montgomery (1985, pp. 239–243); Crowder e
Hamilton (1992).
276
9.5 Desempenho de esquemas individuais
EWMA para variaveis
Sem perda de generalidade considerem-se cartas EWMA unilaterais
superiores individuais para µ e σ2 descritos a seguir e que privilegiam
a deteccao de aumentos em µ e na variancia de
Caracterıstica de qualidade =st Normal(µ, σ2)
Sob controlo Fora de controlo
µ = µ0 µ = µ0 + δ × σ0/√n, δ > 0
σ = σ0 θ × σ0, θ > 1
e que fazem uso das seguintes estatısticas sumarias e dos seguintes
pares de limites de controlo:
Tabela 9.10: Caracterizacao dos esquemas individuais
EsquemaEstatıstica no instante de inspeccao N
Limites de controlo
E+ − µ W+µ,N =
w+µ,0, N = 0
max{
0, (1− λ+µ )×W+
µ,N−1 + λ+µ ×
XN−µ0
σ0/√n
}, N > 0
CE+−µ = [LCLE+−µ, UCLE+−µ] =[0, γ+
µ ×√λ+µ /(2− λ+
µ )]
E+ − σ W+σ,N =
w+σ,0, N = 0
max{ln(σ2
0), (1− λ+σ )×W+
σ,N−1 + λ+σ × ln(S2
N )}, N > 0
CE+−σ = [LCLE+−σ, UCLE+−σ]
=[ln(σ2
0), ln(σ20) + γ+
σ ×√ψ′(n−1
2
)× λ+
σ
2−λ+σ
]
onde os valores iniciais das estatısticas sumarias sao iguais a:
w+µ,0 = α× (UCLE+−µ − LCLE+−µ), α ∈ [0, 1) (9.37)
w+σ,0 = ln(σ2
0) + β × (UCLE+−σ − LCLE+−σ), β ∈ [0, 1). (9.38)
Caso α > 0 (β > 0) afirma-se que foi dado um head start de α× 100%
(β × 100%).
277
Seja RLαE+−µ(δ, θ) (RLβE+−σ(θ)) o numero de amostras recolhidas
ate sinal da carta EWMA unilateral superior para µ (σ2) quando
e dado head starts de α × 100% (β × 100%) e a magnitude do shift e
igual a δ (θ).
A abordagem markoviana fornece aproximacao das
caracterısticas de RLαE+−µ(δ, θ) e de RLβE+−σ(θ). Por exemplo,
para o caso do esquema para µ e necessario:
• dividir o intervalo [LCLE+−µ, UCLE+−µ] em x+µ +1 sub-intervalos
com amplitude ∆µ, Ei = [eµ, i, eµ, i+1), i = 0, . . . , x+µ ;
• associar estes sub-intervalos aos estados transeuntes
{0, 1, . . . , x+µ } de uma cadeia de Markov absorvente com espaco
de estados discreto {0, 1, . . . , x+µ + 1};
• aproximar RLαE+−µ(δ, θ) pelo tempo ate absorcao da cadeia de
Markov.
Procede-se do mesmo modo para obter as caracterısticas de
RLβE+−σ(θ). Assim, o numero esperado de amostras recolhidas
ate sinal e a probabilidade de nao ser emitido sinal entre
as primeiras m amostras sao, para os dois esquemas individuais
aproximados por:
Esquema Aproximacao Markoviana
E+ − µ ARLαE+−µ(δ, θ) ' e>bα(x+µ+1)c × [I−Q(δ, θ)]−1 × 1
FRLαE+−µ
(δ,θ)(m) ' e>bα(x+µ+1)c × [Q(δ, θ)]m × 1, m = 0, 1, 2, . . .
E+ − σ ARLβE+−σ(θ) ' e′[β(x+
σ+1)]× [I−Q(θ)]−1 × 1
FRLβ
E+−σ(θ)
(m) ' e′[β(x+
σ+1)]× [Q(θ)]m × 1
Importa notar que no calculo do desempenho do esquema para µ (σ2)
se admitiu que σ2 (µ) e desconhecido embora constante.
278
Discutiremos oportunamente o controlo simultaneo dos parametros
µ e σ2 e constataremos que o desempenho do esquema para µ
depende nao so de δ como da magnitude do shift em σ. Daı
termos lindo a lidar com RLE+−µ(δ, θ).
No que diz respeito ao esquema EWMA unilateral superior
para µ, as transicoes entre os estados transeuntes sao regidas por
uma matriz sub-estocastica com entradas do tipo
qµ, ij(δ, θ) = P [W+µ,N ∈ Ej|W+
µ,N−1 = (eµ, i + eµ, i+1)/2, δ, θ]
= aµ, i j(δ, θ)− aµ, i j−1(δ, θ) (9.39)
onde aµ, i −1(δ, θ) = 0, i = 0, . . . , x+µ , e
aµ, i j(δ, θ) = Φ
1θ×
γ+µ × [(j + 1)− (1− λ+
µ )(i+ 1/2)]
(x+µ + 1)
√λ+µ (2− λ+
µ )− δ
, (9.40)
para i, j = 0, . . . , x+µ . Analogamente, tem-se, para o esquema EWMA
unilateral superior para σ2,
qσ, ij(θ) = P [W+σ,N ∈ Ej|W+
σ,N−1 = (eσ, i + eσ, i+1)/2, θ]
= aσ, i j(θ)− aσ, i j−1(θ) (9.41)
onde
aσ, i j(θ) = Fχ2(n−1)
(n− 1θ2
× exp
γ+σ ×
√ψ′[(n− 1)/2]× [(j + 1)− (1− λ+
σ )(i+ 1/2)]
(x+σ + 1)
√λ+σ (2− λ+
σ )
, (9.42)
para i, j = 0, . . . , x+σ e com aσ, i −1(θ) = 0, i = 0, . . . , x+
σ .
Nota 9.32 — Importa notar que todas as entradas da matriz Qµ(δ, θ)
e Qσ(θ) sao aproximacoes das probabilidades de transicao da cadeia
de Markov original com espaco de estados contınuo, resultantes da
substituicao, no acontecimento condicional, dos eventos {W+µ, N−1 ∈
Eµ, i} e {W+σ, N−1 ∈ Eσ, i} por {W+
µ, N−1 = (eµ, i + eµ, i+1)/2} e
{W+σ, N−1 = (eσ, i + eσ, i+1)/2}, respectivamente. •
279
Exercıcio 9.33 — Deduza a expressao de qµ, i j(δ, θ) para uma carta
EWMA unilateral superior e para uma carta EWMA padrao para µ.
•
Exercıcio 9.34 — Deduza agora a expressao de qσ, i j(θ) para uma
carta EWMA unilateral superior para σ2. •
Exercıcio 9.35 — Recorrendo a um programa para o package
Mathematica e a 41 estados transeuntes, certifique-se que, de acordo
com a aproximacao markoviana, ARLE+−µ(0, 1) ' 500 para o esquema
EWMA unilateral superior para µ com as seguintes caracterısticas:
• µ0 = 0, σ0 = 1, γ+µ = 2.8116 e λ+
µ = 0.134.
Obtenha o ARL desta carta para
• δ = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0.
•
Exercıcio 9.36 — Escreva um programa para o package
Mathematica por forma a obter o ARL sob controlo da carta
EWMA padrao descrita no Exercıcio 9.26, considerando 41 estados
transeuntes na aproximacao markoviana. •
Exercıcio 9.37 — Considere uma carta EWMA unilateral superior
para a variancia de uma caracterıstica de qualidade com distribuicao
sob controlo Normal(µ0, σ0), com n = 5, 0% head start, µ0 = 0,
σ0 = 1, λ = 0.05, LCL = 0, UCL = 0.157079, θ = σ/σ0 ≥1 e o numero esperado de amostras recolhidas ate sinal igual a
ARLE+−σ(1) = 370.414.
Tome agora uma carta Shewhart unilateral superior para σ2 com
limites de controlo LCL = 0 e UCL = 4.06286.
280
a) Prove que ARLS+−σ(1) = 370.414, i.e., as duas cartas sao
comparaveis sob controlo.
b) Elabore um programa no Mathematica por forma a obter valores
de ARLS+−σ(θ), ARLE+−σ(θ) e a alteracao percentual em ARL,
1− ARLE+−σ(θ)
ARLS+−σ(θ)
× 100%, (9.43)
por substituicao do esquema Shewhart pelo esquema EWMA (ver
Figura 9.2). Considere 21 estados transeuntes na aproximacao
markoviana (i.e. x+σ = 20).
Figura 9.2: Reducao percentual em ARL por substituicao de esquema Shewhart por
esquema EWMA.•
Texto de apoio: Morais (2001, pp. 163–170).
281
9.6 Desempenho de esquemas conjuntos para µ e
σ2
E irrealista considerar, no contexto de caracterısticas de qualidade
normalmente distribuıdas, que somente um dos parametros se altera
pois de um modo geral quer µ, quer σ2 estao sujeitos a shifts que e
crucial detectar.
O controlo conjunto de µ e σ2 e em geral efectuado usando esquemas
conjuntos, dividindo-se estes em duas categorias:
• esquemas que recorrem a uma so carta e uma estatıstica
univariada (Chengalur et al. (1989), Domangue e Patch (1991))
ou bivariada (Takahashi (1989));
• esquemas que resultam do uso simultaneo de duas cartas
de controlo individuais — uma para µ outra para σ2 (Crowder
(1987), Saniga (1989), Gan (1989, 1995), St. John e Bragg (1991),
Morais e Pacheco (2000)).
Exercıcio 9.38 — Caracterize um esquema conjunto para µ e σ2 que
faz uso de uma carta Shewhart padrao para µ e uma carta Shewhart
unilateral superior para σ2.
a) Em que situacoes e emitido sinal por este esquema conjunto?
b) Como se pode escrever o numero de amostras recolhidas ate que
o esquema conjunto emita sinal, RLµ,σ(δ, θ), a custa dos RLs das
cartas individuais?
c) Qual a distribuicao de RLµ,σ(δ, θ)?
d) Obtenha um grafico tridimensional de ARLµ,σ(δ, θ) para um
esquema conjunto a sua escolha. •
282
Exercıcio 9.39 — Retome o Exercıcio 9.31 considerando agora um
esquema conjunto similar ao do Exercıcio 9.38.
a) Defina os limites de controlo das cartas individuais de modo que
a probabilidade de emissao de falso alarme e em qualquer dos
casos igual a 0.002?
b) Obtenha a probabilidade de o esquema conjunto emitir um falso
alarme.
c) Qual a probabilidade de vir a ser emitido um sinal valido entre
as 10 primeiras amostras recolhidas apos um shift simultaneo em
µ e σ com magnitude (δ, θ) = (0.1, 1.1)?
d) Obtenha um grafico tridimensional de ARLµ,σ(δ, θ) para este
esquema conjunto. •
9.6.1 Sinais erroneos — Misleading Signals
Qualquer dos esquemas conjuntos que faca uso simultaneo de duas
cartas emite um sinal aquando da recolha da N -esima amostra desde
que pelo menos uma das duas cartas o faca. Entao ha a
possibilidade de
• um aumento em σ ser seguido de sinal na carta para µ ou
de
• uma alteracao em µ ser seguida de sinal na carta para σ.
Estas ocorrencias foram designadas, a par de outras, de
Misleading Signals por St. John e Bragg (1991) e Morais e Pacheco
(2000) classificaram-nos de Tipos III e IV, respectivamente.
Exercıcio 9.40 — Procure identificar outros tipos de misleading
signals quando se faz uso de esquema EWMA padrao para µ. •
283
Exemplo 9.41 — Os valores alvo para o valor esperado e desvio-
padrao da temperatura de um reagente quımico sao µ0 = 100oC and
σ0 = 1oC, respectivamente.
Suponha que se recolhe gupos de n = 9 temperaturas de reagente
de hora a hora, durante 10 horas consecutivas.
Considere-se um primeiro caso em que somente o desvio-padrao do
processo esta fora de controlo e toma o valor σ = 1.2oC.
No segundo caso assuma-se que somente o valor esperado do
processo esta fora de controlo mais precisamente no nıvel µ =
100.05oC.
Tabela 9.11: Medias (x), variancias (s2) e max{σ20, s
2} das temperaturas do reagente.
(µ, σ) = (100oC, 1.2oC) (µ, σ) = (100.05oC, 1oC)
N x s2 max{σ20, s
2} x s2 max{σ20, s
2}
1 99.887 0.437 1.000 99.980 3.295 3.295***
2 99.429 1.085 1.085 100.478 0.922 1.000
3 100.807 0.610 1.000 99.962 0.963 1.000
4 99.992 1.497 1.497 99.878 0.978 1.000
5 100.025 0.761 1.000 100.130 0.904 1.000
6 100.380 1.113 1.113 99.589 1.402 1.402
7 100.702 1.861 1.861 99.776 0.943 1.000
8 99.897 0.512 1.000 100.093 1.819 1.819
9 101.015* 1.343 1.343 100.408 1.507 1.507
10 100.139 4.779 4.779** 100.116 1.281 1.281
* Misleading signal de Tipo III *** Misleading signal de Tipo IV
** Sinal valido
µ0 = 100oC; σ0 = 1oC; n = 9;
[LCLS−µ, UCLS−µ] = [99.064, 100.936]; [LCLS+−σ, UCLS+−σ] = [1, 2.744].
Os dados respeitantes as medias e variancias corrigidas das
temperaturas de do reagente quımico encontram-se na Tabela 9.11
284
e ilustram a ocorrencia de sinais erroneos nestes dois casos quando
se faz uso de um esquema conjunto com uma carta X padrao para
µ (S − µ) e uma carta S2 unilateral superior para σ2 (S+ − σ),
com limites de controlo (LCLS−µ, UCLS−µ) = (99.064, 100.936) e
(LCLS+−σ, UCLS+−σ) = (1, 2.744).
Com efeito, o esquema conjunto produziu um misleading signal
de Tipo III a 9a observacao no 1o conjunto de dados como se pode
constatar na Tabela 9.11. Analogamente, a 1a observacao de 2o
conjunto de dados esta para alem dos limites de controlo do esquema
para σ2, dando a indicacao de que o desvio-padrao do processo esta
aparentemente fora de controlo, logo produzindo um misleading signal
de Tipo IV.
Convem mencionar que a 10a amostra do 1o conjunto de dados foi
responsavel por um sinal valido, emitido pela carta S+− σ. Contudo,
a carta S − µ nao emitiu nenhum sinal valido entre as primeiras 10
observacoes do 2o conjunto de dados. •
9.6.2 Probabilidades de Misleading Signal (PMS)
Os misleading signals podem levar o utilizador do esquema
conjunto a tentar
• diagnosticar e corrigir causa determinıstica inexistente,
logo a agravar custos de inspeccao.
Esta situacao sugere a utilizacao de pelo menos uma outra medida
de desempenho para alem de RL:
• PMS — Probabilidade de MS.
A independencia entre as estatısticas sumarias das cartas individuais
para µ e σ2 volta a desempenhar um papel importante na obtencao
285
de expressoes simples para as probabilidades de misleading signals dos
Tipos III e IV, denotadas por PMSIII(θ) e PMSIV (δ).
Lema 9.42 — As expressoes das PMSs de Tipos III e IV para
esquemas conjuntos envolvendo esquemas individuais com estatısticas
sumarias independentes sao iguais a
PMSIII(θ) = P [RLσ(θ) > RLµ(0, θ)]
=+∞∑i=2
FRLµ(0,θ)(i− 1)× PRLσ(θ)(i) (9.44)
=+∞∑i=1
PRLµ(0,θ)(i)× FRLσ(θ)(i), θ > 1 (9.45)
PMSIV (δ) = P [RLµ(δ, 1) > RLσ(1)]
=+∞∑i=1
FRLµ(δ,1)(i)× PRLσ(1)(i) (9.46)
=+∞∑i=2
PRLµ(δ,1)(i)× FRLσ(1)(i− 1), δ 6= 0 (9.47)
(ou δ > 0 ao utilizar-se esquemas unilaterais superiores para µ), onde
RLµ(δ, θ) e RLσ(θ) representam os RLs dos esquemas individuais para
µ e σ2. •
Exercıcio 9.43 — Prove que as expressoes exactas das PMSs dos
esquemas conjuntos SS 4 e SS+ 5 sao as que se encontram na Tabela
9.12.
4Este esquema conjunto resulta do uso de uma carta X para µ e uma carta S2 unilateral superiorpara σ2.
5Este esquema faz uso da carta X unilateral superior para µ e carta S2 unilateral superior paraσ2.
286
Tabela 9.12: Expressoes exactas das PMSs de Tipos III e IV para os esquemas
conjuntos SS e SS+.
Esq. conjunto PMSIII(θ), θ > 1 PMSIV (δ), δ 6= 0 (δ > 0)
SS1−[Φ(γµ/θ)−Φ(−γµ/θ)]
[Fχ2n−1
(γ+σ /θ2)]−1−[Φ(γµ/θ)−Φ(−γµ/θ)]
1−Fχ2n−1
(γ+σ )
[Φ(γµ−δ)−Φ(−γµ−δ)]−1−Fχ2n−1
(γ+σ )
SS+ 1−Φ(γ+µ /θ)
[Fχ2n−1
(γ+σ /θ2)]−1−Φ(γ+
µ /θ)
1−Fχ2n−1
(γ+σ )
[Φ(γ+µ −δ)]−1−F
χ2n−1
(γ+σ )
•
Exercıcio 9.44 — Elabore graficos para as PMSs dos Tipos III e IV,
considerando o esquema conjunto descrito no Exemplo 9.41. •
Refira-se que a obtencao das PMSs para esquemas que fazem uso
de cartas do tipo EWMA ou CUSUM passa pela substituicao das
funcoes de sobrevivencia e de probabilidade em (9.45) e (9.46) pelas
suas aproximacoes markovianas.
Refira-se ainda que estes esquemas conjuntos possuem de um modo
geral PMSs inferiores as dos esquemas conjuntos do tipo Shewhart, a
acrescer a uma maior capacidade de deteccao de shifts em µ e σ2, como
se ilustra no exemplo seguinte.
Exemplo 9.45 — Na tabela abaixo encontram-se valores das PMSs
dos Tipos III e IV para esquemas conjuntos SS+ e EE+ para
• dimensao da amostra igual a n = 5;
• valores nominais do parametros, µ0 = 0 e σ0 = 1; e
• δ = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0,
θ = 1.01, 1.03, 1.05, 1.10, 1.20, 1.30, 1.40, 1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90,
2.00, 3.00.
287
Estes esquemas conjuntos possuem as seguintes caracterısticas:
• SS+ — faz uso de cartas X e S2 unilaterais superiores tais que
γ+µ = 2.87816, γ+
σ = 16.9238 e ARLS+−µ(0, 1) = ARLS+−σ(1) =
500.000;
• EE+ — resulta da utilizacao simultanea de cartas EWMA
unilaterais superiores para µ e σ2 tais que γ+µ = 2.8116, λ+
µ =
0.134 e ARLE+−µ(0, 1) = 500.047, γ+σ = 1.2198, λ+
σ = 0.043,
ARLE+−σ(1) = 500.027, e 41 estados transeuntes na aplicacao
da abordagem markoviana quer para a carta para µ, quer para a
carta para σ2.
Tabela 9.13: Valores das PMSs dos Tipos III e IV para esquemas conjuntos SS+ e
EE+.
PMSIII(θ) PMSIV (δ)
θ SS+ EE+ δ SS+ EE+
1.01 .484676 .455274 0.05 .460162 .403991
1.03 .456701 .377092 0.10 .421864 .319232
1.05 .430911 .313194 0.20 .349949 .191651
1.10 .375334 .206131 0.30 .286075 .114210
1.20 .295048 .114615 0.40 .231295 .069767
1.30 .242637 .081130 0.50 .185599 .044152
1.40 .206805 .065605 0.60 .148269 .028898
1.50 .180893 .057295 0.70 .118230 .019432
1.60 .161108 .052531 0.80 .094298 .013327
1.70 .145270 .049768 0.90 .075349 .009262
1.80 .132095 .048249 1.00 .060389 .006491
1.90 .120806 .047556 1.50 .021323 .001126
2.00 .110920 .047439 2.00 .008458 .000185
3.00 .051170 .059958 3.00 .001644 .000004
Importa notar que dar head-starts as cartas EWMA unilaterais
superiores para µ (σ) agrava as PMS’s de Tipos III (IV). Os resultados
288
sugerem que a substituicao de um esquema combinado Shewhart
unilateral superior por um do tipo EWMA reduz as PMSs e que
a ocorrencia de misleading signals quer do Tipo III, quer do
Tipo IV, nao parece negligenciavel especialmente para os esquemas
SS+. •
Exercıcio 9.46 — A qualidade do enchimento de garrafas de
refrigerante e controlada recolhendo observacoes respeitantes ao desvio
entre a altura do lıquido em cada garrafa e uma marca-chave no
gargalo da mesma. Admita que o referido desvio possui, sob controlo,
distribuicao normal com valor esperado µ0 = 0cm e desvio-padrao
σ0 = 0.1cm.
Na tabela seguinte foram registadas as medias e as variancias de 10
amostras de 5 garrafas cada:
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xN 0.108 -0.074 -0.248 0.539 0.144 0.497 0.206 1.152 0.560 0.235
s2N 0.236 1.364 0.552 1.823 2.504 0.504 0.923 1.354 0.898 3.723
a) Considere-se que o controlo de σ e feito a custa de uma carta
EWMA unilateral superior, caracterizada por λσ = 0.043 e γσ =
1.2198, que possui ARLσ(1) = 500.027 e ARLσ(1.9) = 4.120.
Averigue se alguma das tres primeiras observacoes apontam para
a alteracao de σ.
(b) Admita agora que para o controlo de µ se toma uma carta padrao
do tipo Shewhart cujos limites de controlo sao tais que
– o numero esperado de amostras recolhidas ate a emissao de
falso alarme por parte desta carta e de 370.4.
289
Determine a probabilidade de esta carta emitir um sinal quando
ocorre um aumento de 81% na variancia σ2. Comente.
(c) Ao utilizar-se a carta descrita em (b) e simultaneamente uma
carta unilateral superior do tipo Shewhart para σ, obtem-se o
que se designa por esquema conjunto para µ e σ. Determine
a probabilidade de ocorrencia de sinal erroneo de Tipo III (IV)
quando θ = 1.9 (δ = 0.1), caso a carta para σ possua ARLσ(1) =
200. Comente estes resultados.
Nota: Na impossibilidade de obter valores exactos obtenha
intervalos de valores para estas duas probabilidades.
(Exame de Epoca Especial, 2o. Sem. – 2004/05) •
Exercıcio 9.47 — O fenomeno dos sinais erroneos nao e exclusivo
dos esquemas conjuntos para µ e σ.
a) Qual a probabilidade de ser emitido um sinal erroneo pelo
esquema S2 unilateral superior com numero esperado de amostras
ate falso alarme igual a 100, quando n = 10 e ha uma reducao de
10% no desvio-padrao?
b) Compare-a com a correspondente probabilidade de emissao de
sinal valido por parte de um esquema S2 padrao com ARL sob
controlo tambem igual a 100.
Confronte tambem as probabilidades de emissao de sinal entre as
primeiras 100 amostras destas duas cartas, mais uma vez quando
θ = 0.9. Comente estes resultados.
(Exame de 2a. Epoca, 2o. Sem. – 2004/05) •
Texto de apoio: Morais (2001, pp. 107–137).
290
Capıtulo 10
Amostragem de aceitacao
10.1 Introducao
Nao existem processos de producao perfeitos ou sem variabilidade, por
mais cuidadosos que sejam o seu planeamento e a sua manutencao,
pelo que a inspeccao de materia-prima, de produtos semi-
acabados ou de produtos acabados e fundamental para assegurar
a qualidade da producao.
Quando a inspeccao tem por proposito aceitar ou rejeitar um
lote de um produto de acordo com determinada regra padrao, ela e
habitualmente designada por amostragem de aceitacao.
A amostragem de aceitacao nao fornece, no entanto, nenhuma
forma directa de reduzir a variabilidade do processo de producao, ao
contrario do que acontece com o controlo estatıstico de processos.
Apresenta-se, de seguida, uma aplicacao tıpica da amostragem de
aceitacao.
Exemplo 10.1 (Montgomery (1991, p. 551)) — Uma companhia
recebe um produto de um vendedor. Este produto e uma componente
ou materia-prima usada no processo de fabrico da companhia. E
291
retirada uma amostra de um lote e sao inspeccionadas algumas
caracterısticas de qualidade de cada unidade da amostra. Com base
na informacao obtida desta amostra, e tomada uma decisao no que
diz respeito ao lote.
Os lotes aceites sao utilizados na producao, ao passo que os lotes
rejeitados ou sao devolvidos ao vendedor ou sao sujeitos a outro tipo
de accao. •
A amostragem de aceitacao e pois um compromisso entre a
inspeccao a 100% e a aceitacao dos lotes sem recurso a qualquer
observacao.
Segundo Montgomery (1991, p. 552), a amostragem de aceitacao
e normalmente usada quando, por exemplo:
• testar uma unidade incorre na sua destruicao;
• o custo de uma inspeccao a 100% e demasiado elevado;
• a inspeccao a 100% nao e viavel tecnologicamente ou requereria
tanto tempo que teria um impacto bastante negativo ao nıvel da
producao;
• apesar do processo de producao ter uma notavel historia de
qualidade, a nao inspeccao nao e de todo razoavel e a inspeccao
a 100% e desprovida de sentido.
A amostragem de aceitacao apresenta vantagens obvias,
quando confrontada com o recurso a inspeccao a 100%:
• e geralmente menos dispendiosa por haver um menor numero de
observacoes;
• diminui o contacto com o produto implicando, por isso, uma
reducao em eventuais danos no produto;
292
• envolve menor numero de operadores em actividades de
inspeccao;
• reduz frequentemente o erro de inspeccao, nomeadamente, pela
menor fadiga dos inspectores;
• provoca uma maior motivacao ao vendedor no sentido de uma
melhor qualidade para os seus produtos, mediante a rejeicao de
lotes completos por oposicao a simples rejeicao de unidades com
defeitos.
No entanto, a amostragem de aceitacao tem tambem as suas
desvantagens por comparacao com a inspeccao a 100%. Entre elas
incluem-se, de acordo com Montgomery (1991, p. 556):
• a existencia do risco de aceitar lotes “maus”e, naturalmente,
rejeitar lotes “bons”;
• a geracao de menor informacao acerca do produto ou do processo
de producao;
• a necessidade do planeamento e documentacao dos planos de
amostragem de aceitacao, ao contrario do que acontece com a
inspeccao a 100%.
Os planos de amostragem de aceitacao dividem-se
essencialmente em amostragem por atributos e amostragem
para variaveis. Note-se, no entanto, que ambos os tipos de planos
de amostragem de aceitacao acabam por avaliar a qualidade do lote
atraves da fraccao de unidades defeituosas (ou nao-conformes) e a sua
aplicacao passa, na pratica, pela consulta de normas de falaremos
mais tarde. A saber:
293
• a norma Military Standard 105D (MIL-STD 105D)1 para
atributos ou a sua versao civil ANSI/ASQC Z1.4-1981 (1981) ou
ainda uma versao mais recente desta norma;2 e
• a norma Military Standard 414 (MIL-STD 414) para variaveis ou
a sua versao civil ANSI/ASQC Z1.9-1980 (1980).3
Embora menos popular, a amostragem de aceitacao para variaveis
apresenta uma vantagem importante quando comparada com a
amostragem por atributos (Montgomery (1991, p. 623-624)):
• os planos de amostragem para variaveis apresentam um menor
risco de aceitacao de lotes com qualidade inaceitavel que os
planos de amostragem por atributos, ao considerar-se amostras
de dimensoes iguais.
Debrucar-nos-emos tambem sobre dois tipos de amostragem de
aceitacao:
• os planos de amostragem simples, de longe os mais usados
que estao associados a uma decisao sobre lotes baseada na
informacao respeitante a uma amostra;
• os planos de amostragem dupla que, grosso modo, fazem
depender o processo de decisao da recolha de duas amostras;
estes planos podem ser generalizados, obtendo-se, por exemplo,
planos de amostragem multipla ou ainda planos de amostragem
sequencial.
Acrescente-se ainda que se averiguara as implicacoes da
rectificacao da inspeccao no desempenho de planos de amostragem
de aceitacao simples ou dupla.1De acordo com Montgomery (1985, p. 389), esta norma data de 1963.2E o caso da norma ANSI/ASQC Z1.4-2003 (2003).3Ou ainda a versao mais recente, a norma ANSI/ASQC Z1.9-2003 (2003).
294
Fontes: Casquilho et al. (2005) e Constantino (2004, pp. 6–9).
Texto de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 115-119).
295
10.2 Planos de amostragem de aceitacao simples
por atributos
Comece-se por admitir que se tem um lote de dimensao N , com fraccao
de unidades defeituosas p.
Recorrer a um plano de amostragem de aceitacao simples por
atributos pressupoe normalmente a recolha aleatoria de uma
amostra de dimensao n e apurar o numero de unidades
defeituosas da amostra. De seguida, deve comparar-se esse valor
com o chamado numero de aceitacao, c. Se o numero de unidades
defeituosas da amostra nao for superior ao numero de aceitacao c ,
aceita-se o lote; caso contrario, rejeita-se o lote.
A definicao de um plano de amostragem simples por
atributos passa por determinar a dimensao da amostra n e
o numero de aceitacao c. A escolha destas duas constantes
pressupoe a obtencao previa da curva caracterıstica operatoria
(“operating characteristic curve”ou curva OC). Esta curva nao passa
da probabilidade de aceitacao dum lote em funcao da sua qualidade,
i.e., de p.
Considere-se M = N×p um inteiro que mais nao e que o numero de
unidades defeituosas no lote. Entao a v.a.D que representa o numero
de unidades defeituosas numa amostra de n unidades seleccionadas
ao acaso sem reposicao segue uma distribuicao hipergeometrica, cuja
funcao de probabilidade e dada por:
P (D = d) =
M
d
N −Mn− d
N
n
, (10.1)
296
para d = max {0, n− (N −M)} , ...,min {n, M}.
A probabilidade de aceitacao do lote e, evidentemente, funcao de p
e igual a:
Pa = Pa(p) = P (D ≤ c) =c∑
d=0
M
d
N −Mn− d
N
n
, (10.2)
onde, recorde-se, M = Np. A equacao (10.2) define o que se denomina
de curva OC do tipo A.
Ao supor-se que a dimensao do lote e suficientemente grande, a
distribuicao de D pode ser aproximada pela distribuicao binomial de
parametros n e p = M/N . Esta aproximacao e particularmente boa
quando n/N < 0.1 e conduz a seguinte aproximacao da probabilidade
de aceitacao do lote
Pa(p) 'c∑
d=0
n!
d!(n− d)!pd (1− p)n−d = FBinomial(n,p)(c). (10.3)
(10.3) define a chamada curva OC do tipo B.
Exercıcio 10.2 — Considere n = 89 e c = 2. Esboce a curva OC do
tipo B.
Esboce agora a curva OC ideal, ou seja, a curva que caracteriza
um plano de amostragem de aceitacao que distingue perfeitamente os
lotes “bons”4 de lotes “maus”. •
A escolha das constantes n e c que determinam o plano de
amostragem de aceitacao simples por atributos e norteada por um
compromisso: e necessario que a curva OC passe por dois pontos,
4I.e., lotes com fraccao de unidades defeituosas nao superior a p1.
297
de forma a que a probabilidade de aceitacao seja igual a 1 − α para
lotes com fraccao de unidades defeituosas p1, e que a probabilidade
de aceitacao seja β para lotes com fraccao de unidades defeituosas
p2 (p2 > p1). Assim:
(n, c) :
Pa(p1) = 1− αPa(p2) = β.
(10.4)
E costume designar os valores da fraccao de unidades defeituosas
p1 e p2 de ındices:
• AQL (“Acceptable Quality Level”ou nıvel de qualidade aceitavel)
• LTPD (“Lot Tolerance Percent Defective”ou fraccao toleravel de
defeituosos),
respectivamente.
O ındice AQL(= p1) corresponde a pior qualidade a que o
processo pode operar e que ainda conduz a uma probabilidade
elevada de aceitacao do lote. Por seu lado, o ındice LTPD(= p2)
e o valor da qualidade a partir do qual se considera que o
produto nao e aceitavel. (Veja-se Gomes e Barao (1999, pp. 121-
122).)
Deste modo, n e c sao escolhidos de modo a curva OC passe
pelos pontos (AQL, 1−α) e (LTPD, β), habitualmente designados de
ponto do risco do produtor e o ponto do risco do consumidor,
respectivamente.
Estas designacoes tem a sua razao de ser:
• o produtor deseja evitar rejeitar lotes de boa qualidade,
daı exigir-se que a probabilidade de aceitacao do lote verifique
Pa(p) ≥ 1−α, para p ≤ AQL, onde 1−α toma um valor proximo
de 1 e α denota o risco do produtor;
298
• o consumidor pretende evitar aceitar lotes de ma
qualidade, donde exigir-se que Pa(p) ≤ β, para p ≥ LTPD,
onde β toma valor proximo de 0 e representa o risco do
consumidor.
Ao recordar o caracter discreto da v.a.D, a natureza inteira de
n e c, o reparo do paragrafo anterior e ao assumir-se a validade da
aproximacao a distribuicao binomial, o tamanho da amostra n e o
numero de aceitacao c deverao ser escolhidos por forma a satisfazerem
as duas inequacoes seguintes:
(n, c) :
∑cd=0
n!d!(n−d)! p
d1 (1− p1)
n−d ≥ 1− α∑cd=0
n!d!(n−d)! p
d2 (1− p2)
n−d ≤ β.(10.5)
(10.5) assegura (ao produtor) uma probabilidade de aceitacao maior
que 1 − α para lotes com fraccao de unidades defeituosas AQL = p1
e garante (ao consumidor) uma probabilidade de aceitacao menor que
β para lotes com fraccao de unidades defeituosas LTPD = p2.
A resolucao de (10.5) pode conduzir a diferentes pares de inteiros
(n, c) logo a distintos planos de amostragem de aceitacao simples por
atributos, com as correspondentes curvas OC passando proximo dos
pontos do risco do produtor e do risco do consumidor.
Descreve-se, de seguida, um metodo aproximado de obtencao do par
(n, c) do plano de amostragem. Este metodo e descrito por Wetherill e
Brown (1991) e basea-se no uso da distribuicao de Poisson como uma
aproximacao binomial e tira partido de uma relacao conhecida entre
a f.d. da v.a. de Poisson e a f.d. da v.a. qui-quadrado.
Uma vez estabelecidos os pontos do risco do consumidor (AQL =
p1, 1−α) e do risco do produtor (LTPD = p2, β), o uso da aproximacao
299
da Poisson a binomial, leva-nos a concluir que
(n, c) :
∑cd=0
e−np1(np1)d
d! ≥ 1− α∑cd=0
e−np2(np2)d
d! ≤ β.(10.6)
Tirando agora partido do facto de
FPoisson(λ)(c) =c∑
d=0
e−λλd
d!= 1− Fχ2
2(c+1)(2λ), (10.7)
(10.6) passa a ser equivalente a
(n, c) :
1− Fχ2
2(c+1)(2np1) ≥ 1− α
1− Fχ22(c+1)
(2np2) ≤ β(10.8)
ou ainda a
(n, c) :
2np1 ≤ F−1
χ22(c+1)
(α)
2np2 ≥ F−1χ2
2(c+1)(1− β).
(10.9)
Agora, ao tomar-se
r(c) =F−1χ2
2(c+1)(1− β)
F−1χ2
2(c+1)(α)
, (10.10)
conclui-se que a constante de aceitacao do plano de amostragem
simples por atributos c e o menor inteiro que satisfaca a condicao
r(c) ≤ p2
p1. (10.11)
Por seu lado, a dimensao da amostra n decorre das duas desigualdades
em (10.6) e como tal e enquadrada do seguinte modo:
F−1χ2
2(c+1)(1− β)
2p2≤ n ≤
F−1χ2
2(c+1)(α)
2p1. (10.12)
Qualquer valor de n que satisfaca (10.12) e solucao do problema.
Recomenda-se, no entanto, que se tome, por exemplo, o menor inteiro
que satisfaca (10.12) para o valor da dimensao da amostra.
300
Exercıcio 10.3 — Considere os valores
• p1 = AQL = 0.01,
• p2 = LTPD = 0.10,
• α = 0.05 (risco do produtor) e
• β = 0.10 (risco do consumidor),
e responda as questoes seguintes:
(a) Defina o plano de amostragem simples por atributos.
(b) Obtenha uma tabela com valores aproximados da probabilidade
associada de aceitacao do lote para p = 0.005, 0.01, 0.04, 0.065,
0.1, 0.15.
(c) Esboce o grafico da curva OC do tipo B.
(d) Repita (a)–(c), resolvendo o sistema de inequacoes
(n, c) :
Pa(p1) ≥ 1− αPa(p2) ≤ β,
(10.13)
considerando agora a distribuicao exacta de D (hipergeometrica)
e o tamanho do lote igual aN = 800. Comente.
(e) Repita (d) considerando somente a aproximacao binomial a
hipergeometrica na resolucao do problema.
(f) Compare as tres curvas OC obtidas. •
Fonte: Constantino (2004, pp. 13–21).
301
10.3 A norma Military Standard 105
(ANSI/ASQC Z1.4)
A norma Military Standard 105D5 ou uma sua versao civil, como e
o caso de norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 surge como alternativa
a resolucao do sistema (10.13) para a definicao de um plano de
amostragem de aceitacao simples por atributos.
Ao inves dos valores correspondentes a dimensao do lote N e aos
pontos do risco do produtor (AQL, 1−α) e do consumidor (LTPD, β),
a norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 requer simplesmente o ındice
AQL e o letra de codigo da dimensao da amostra (sample
size code letter)6 para a obtencao do plano de amostragem
considerado acima.
De realcar que so e possıvel considerar certos valores para o ındice
AQL. O valor mınimo e maximo de AQL correspondem a 0.01%
e 10%, respectivamente. Saliente-se que os valores tabelados
superiores a 10% correspondem ao numero de defeitos por cada
100 unidades e nao a percentagem de defeituosos.
E importante notar que a norma nao da qualquer indicacao acerca
da probabilidade de aceitacao do plano de amostragem ao nıvel do
ındice AQL, nem tao pouco da qualquer informacao acerca de LTPD
e respectiva probabilidade de aceitacao.
A letra de codigo da dimensao da amostra e obtida por recurso
a Tabela I (Sample Size Code Letters) da norma ANSI/ASQC
5A versao original desta norma, MIL-STD 105A, data de 1950, de acordo com Montgomery(1985, p. 389).
6Esta designacao deveras enganadora diz, na verdade, respeito ao tamanho do lote mas e porutilizacao desse codigo que se obtem, posteriormente e por recurso a outra tabela, a dimensao daamostra.
302
Z1.4-1981, determinando a linha onde se situa o intervalo onde
se enquadra a dimensao do lote Nessa mesma linha encontra-se,
consoante o nıvel geral de inspeccao (que aqui sera sempre considerado
o nıvel II geral de inspeccao), a correspondente letra de codigo da
dimensao da amostra.
Por exemplo, o codigo obtido para a dimensao da amostra e a letra
H para lotes com dimensoes compreendidas no intervalo entre 281 e
500).
Inspeccionando a Tabela II-A (Single Sampling Plans for Normal
Inspection) da norma ANSI/ASQC Z1.4-1981, obtem-se a
dimensao da amostra n na linha correspondente ao codigo da dimensao
da amostra. E ao intersectar esta linha com a coluna correspondente
ao valor do ındice AQL, obtem-se a constante de aceitacao c. Esta
assim definido o plano de amostragem de aceitacao simples por
atributos.
A tıtulo de exemplo, ao considerar-se AQL=0.01 obtem-se o plano
de amostragem caracterizado por n = 50 e c = 1.
Exercıcio 10.4 — Averigue quao concordantes sao os planos obtidos
no Exercıcio 10.3 com o plano de amostragem determinado pela norma
ANSI/ASQC Z1.4-1981, no que diz respeito a curva OC. Relembre-
se que naquele exercıcio considerou-se AQL = p1 = 0.01, α = 0.05,
LTPD = p2 = 0.1 e β = 0.1. •
Exemplo 10.5 — A Tabela 10.1 permite uma comparacao entre as
constantes n e c dos planos de amostragem simples obtidos pela norma
ANSI/ASQC Z1.4-1981 e dos planos obtidos resolvendo o sistema
(10.6) fazendo uso da distribuicao exacta de D, considerando para
o efeito o tamanho do lote igual a N = 800 e diversos valores dos
303
pontos do consumidor e do produtor.
Esta tabela revela uma serie de diferencas entre os planos de
amostragem obtidos pela norma e pelo sistema (10.6). Estas diferencas
devem-se ao facto de serem considerados pela norma diferentes valores
para o LTPD, sobre os quais nao existe, por sinal, qualquer referencia.
Alias, a norma vai fazendo uso de diferentes ındices de LTPD para
diferentes valores de AQL.
De assinalar, igualmente, a evolucao do tamanho da amostra para
planos de amostragem em que so varia o valor de p2. Assim, mantendo
p1 constante e a medida que p2 vai aumentando, o valor obtido
para a dimensao da amostra n vai diminuindo (para a distribuicao
hipergeometrica). Tal deve-se ao facto de um plano de amostragem
com valores de p1 e p2 relativamente proximos ter que ser mais sensıvel
a pequenas alteracoes ao nıvel da qualidade, exigindo, por isso, que se
recolha uma amostra de dimensao maior.
Repare-se por fim que, para um valor baixo de p1, o plano de
amostragem requer uma dimensao de amostra elevada: por sinal, para
a norma ANSI/ASQC Z1.4-1981, e necessaria uma inspeccao a 100%;
o valor obtido para n considerando a distribuicao hipergeometrica nao
lhe e muito inferior. •
Recomenda-se vivamente a leitura de Montgomery (1985, pp. 389–
413) para mais detalhes acerca da utilizacao das tabelas MIL-STD
105D e similares, nomeadamente no que diz respeito aos nıveis de
inspeccao.
Por curiosidade refira-se que existem tres nıveis gerais de inspeccao
(general inspection levels). A saber:
• Nıvel II (Level II) — e designado tambem de nıvel normal de
inspeccao (normal level);
304
Tabela 10.1: Planos de amostragem obtidos por uso da norma ANSI/ASQC Z1.4-
1981 e por recurso a distribuicao hipergeometrica, para N = 800, α = 0.05 e β = 0.1.
Norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 Hipergeometrica
p1 =AQL p2 =LTPD n c n c
0.0001 0.001 800 0 720 0
0.001 0.01 125 0 325 1
0.001 0.05 125 0 74 1
0.01 0.1 80 2 37 1
0.04 0.2 80 7 32 3
0.04 0.3 80 7 16 2
0.1 0.2 80 14 96 14
0.1 0.3 80 14 33 6
• Nıvel I (Level I) — requer cerca de metade da quantidade
de unidades a inspeccionar que o nıvel II, e designado de
nıvel reduzido de inspeccao (reduced level) e o seu uso
e recomendado quando nao se pretende grande poder de
discriminacao entre lotes “bons”e ”maus”;
• Nıvel III (Level III) — requer cerca do dobro da quantidade de
unidades a inspeccionar que o nıvel II, e denominado de nıvel
“rigoroso”de inspeccao (tightened level) e recomenda-se o seu
uso quando se pretende uma grande discriminacao entre lotes
“bons”e ”maus”.
A forma como se transita entre estes tres nıveis e tambem descrita
por Montgomery (1985, pp. 390–391).
Refira-se tambem que existem quatro nıveis especiais de inspeccao
(special inspection levels), S1, S2, S3, S4. De acordo com Montgomery
(1985, p. 390), os nıveis especiais de inspeccao requerem amostras
de dimensao pequena e so devem ser usados quando os custos de
305
inspeccao sao proibitivos e quando pode tolerar-se uma certa falta
de poder discriminatorio por parte do plano de amostragem.
Fonte (parcial): Constantino (2004, pp. 21–24).
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 389–413).
306
10.4 Planos de amostragem de aceitacao simples
por atributos – com rectificacao da inspeccao
Por um lado parece perfeitamente natural que, face a aceitacao de
um lote, se
• substitua todas as unidades amostrais que tendo sido
inspeccionadas revelaram-se defeituosas e
• nao se inspeccione as restantes N − n unidades do lote.
Por outro lado a rejeicao de um lote devera desencadear uma accao
correctiva por parte do produtor que compreenda nao so a substituicao
das unidades amostrais inspeccionadas e defeituosas como a inspeccao
das restantes N − n unidades do lote e a substituicao de eventuais
unidades defeituosas. Em resumo, a rejeicao de um lote deve ter
como resultado
• uma inspeccao a 100% do mesmo e
• a substituicao de todas as unidades defeituosas do lote.
A este tipo de procedimento damos o nome de rectificacao
da inspeccao. Esta designacao tem a sua razao de ser ja
que as accoes acabadas de descrever acabam por resultar numa
“melhoria/rectificacao”da qualidade do lote.
Os planos com rectificacao da inspeccao sao anteriores a II Guerra
Mundial e sao normalmente usados na inspeccao de materia-prima
ou produtos semi-acabados (receiving inspection) antes de seguirem
no processo de producao ou antes de os produtos acabados (final
inspection) seguirem para os consumidores.
Apos a rectificacao da inspeccao, a fraccao de unidades defeituosas
nos lotes diminui, muito em particular nos lotes rejeitados. Importa
307
pois calcular a fraccao de unidades defeituosas apos a rectificacao da
inspeccao. Para tal recorre-se ao que se designa de qualidade media
a saıda e se representa abreviadamente por AOQ (average outgoing
quality).7
Para calcular AOQ basta notar que apos a rectificacao da
inspeccao:
• acabamos por ficar com 0 (zero) unidades defeituosas no lote,
caso se tenha rejeitado o lote.
• restam em media p(N − n) unidades defeituosas entre as
restantes N − n unidades nao inspeccionadas do lote, caso o lote
tenha sido aceite.8
Dividindo estes dois numeros pela dimensao do lote N obtem-se a
fraccao desejada:
AOQ = AOQ(p)
=1
N× {0× [1− Pa(p)] + p (N − n)× Pa(p)}
=p (N − n)Pa(p)
N. (10.14)
Este indicador e, obviamente, bem aproximado por pPa(p), caso n/N
seja suficientemente pequeno. De referir tambem que as curvas
AOQ(p) estao sempre abaixo da recta y = x.9
Exercıcio 10.6 — Esboce e compare as curvas AOQ(p), associadas
a um par de planos de amostragem simples a sua escolha de entre os
descritos na Tabela 10.1, ao adoptar-se rectificacao da inspeccao. •7Convem voltar a referir que AOQ, ao contrario do que possa sugerir esta designacao,
corresponde a fraccao de unidades defeituosas apos a rectificacao da inspeccao.8Recorde-se que entre as n unidades amostrais de um lote aceite nao ha quaisquer unidades
defeituosas apos a rectificacao da inspeccao.9Basta ter em conta a expressao (10.14) que define AOQ(p).
308
Ao esbocar curvas AOQ(p) rapidamente se conclui que AOQ e uma
funcao monotona por trocos:
• comeca por ser monotona crescente para valores pequenos
da fraccao original de unidades defeituosas p;
• atinge um valor maximo e e, naturalmente, decrescente para
valores de p associados a lotes originalmente com ma
qualidade.
Ao maximo de AOQ(p), p ∈ (0, 1), da-se o nome de (Average
Outgoing Quality Limit) ou limite AOQ e representamo-lo por AOQL;
trata-se da maior das fraccoes de unidades defeituosas devido a
adopcao de rectificacao da inspeccao.
Por seu lado,[1− AOQ(p)
p
]×100% corresponde a reducao relativa
da fraccao de unidades defeituosas nos lotes gracas a rectificacao
da inspeccao.
A rectificacao da inspeccao imprime nao so um caracter
aleatorio ao numero de unidades defeituosas num lote como ao
numero de unidades que e necessario inspeccionar. Se por
um lado num plano de amostragem simples sao recolhidas n unidades
do lote, por outro ao efectuar rectificacao da inspeccao acabamos
por inspeccionar um total de:
• n unidades, caso o lote seja aceite;
• N unidades, caso o lote seja rejeitado.
O numero esperado de unidades inspeccionadas e designado na
literatura anglo-saxonica por ATI (average total inspection) e e uma
outra medida de desempenho do plano de amostragem simples com
rectificacao da inspeccao, e por sinal igual a
ATI = ATI(p) = nPa(p) +N [1− Pa(p)]. (10.15)
309
Exercıcio 10.7 — Esboce agora as curvas ATI(p) para dois dos
planos de amostragem simples descritos na Tabela 10.1, assumindo
rectificacao da inspeccao.
Confronte-as com o numero de unidades inspeccionadas caso nao
se tivesse adoptado rectificacao da inspeccao. •
E perfeitamente natural que AOQL e ATI sirvam, em conjunto,
de criterio para a seleccao de um plano de amostragem
simples com rectificacao da inspeccao. Com efeito, Montgomery
(1985, pp. 372–373) sugere que se fixe um valor para AOQL e
simultaneamente se minimize ATI, para um valor especıfico de p,
obtendo-se assim o que usualmente se designa por plano AOQL.
Analogamente, pode procurar-se escolher um plano de amostragem
simples com rectificacao da inspeccao com um risco fixo ao nıvel LTPD
que minimize o ATI para um valor especıfico de p, obtendo-se deste
modo um plano LTPD.
Os valores de n e c que respeitam (aproximadamente) um destes
dois criterios de seleccao encontram-se em tabelas que se devem
a Dodge e Romig e cuja utilizacao e descrita aturadamente em
Montgomery (1985, Sec. 10-6).
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 122-125); Montgomery
(1985, pp. 368–373).
310
10.5 Planos de amostragem de aceitacao dupla
por atributos – com e sem rectificacao da
inspeccao
A extensao natural obvia dos planos de amostragem simples
compreende duas etapas de amostragem, sendo que a segunda amostra
e recolhida somente em determinadas circunstancias. Os planos
resultantes denominam-se planos de amostragem dupla e sao
definidos a custa de quatro parametros:
• n1, a dimensao da primeira amostra;
• c1, o numero de aceitacao da primeira amostra;
• n2, a dimensao da segunda amostra;
• c2, o numero de aceitacao face a recolha das duas
amostras;
Dado que ha a possibilidade de recolher duas amostras lida-se
com duas v.a.D1 e D2 que representam os numeros de unidades
defeituosas na primeira e na segunda amostras. Posto isto pode
recorrer-se ao esquema abaixo para descrever sumariamente um plano
de amostragem dupla:
Figura 10.1: Descricao esquematica de um plano de amostragem dupla.
Amostra 1
n1Eunidades
↗ D1 ≤ c1 → Aceitar lote
→ c1 < D1 ≤ c2 →Amostra 2
n2Eunidades
↘ D1 > c2 → Rejeitar lote
↗ D1 +D2 ≤ c2 → Aceitar lote
↘ D1 +D2 > c2 → Rejeitar lote
311
Montgomery (1985, pp. 374–375) aponta nao so vantagens como
algumas desvantagens aos planos de amostragem dupla quando
confrontados com os planos de amostragem simples.
A tıtulo de exemplo refere que o recurso a planos de amostragem
dupla pode resultar numa diminuicao dos custos de inspeccao,
para alem da vantagem psicologica de dar ao lote (e, e claro, ao
produtor) uma segunda oportunidade.
Por sinal, ao dar-se esta segunda oportunidade ao lote, podemos ter
que inspeccionar uma segunda amostra ate ao fim a menos que
se decida fazer o que se designa por censura (curtailment) e consiste
em dar por finda a inspeccao da segunda amostra assim que o numero
registado de unidades defeituosas nas duas amostras exceda c2. E
pois natural que, sem uma escolha criteriosa dos parametros
n1, c1, n2 e c2 e sem a adopcao de censura, se possa por em risco
as potenciais vantagens economicas dos planos de amostragem
dupla.
Por fim, outra desvantagem obvia dos planos de amostragem
dupla prende-se com a complexidade (administrativa) deste
procedimento e dos erros de inspeccao daı decorrentes.
Como seria de esperar, os planos de amostragem dupla requerem
um cuidado particular no calculo de medidas de desempenho como a
probabilidade de aceitacao do lote, bem como a determinacao de uma
medida adicional de desempenho: a dimensao media da amostra
(average sample number).
Sejam P Ia (p) e P II
a (p) as probabilidades de aceitacao do lote na
primeira e segunda fases do plano de amostragem simples. Ora, de
acordo com o esquema da Figura 10.1, pode afirmar-se que
P Ia (p) = P (D1 ≤ c1) (10.16)
312
P IIa (p) = P (c1 < D1 ≤ c2, D1 +D2 ≤ c2)
=c2∑
k=c1+1P (D1 = k)× P (D2 ≤ c2 − k), (10.17)
pelo que a probabilidade de aceitacao do lote e, para um plano
de amostragem dupla, dada por:
Pa(p) = P Ia (p) + P II
a (p). (10.18)
A esta funcao e usual dar o nome de curva OC primaria (primary
OC curve) do plano de amostragem dupla. As probabilidades de
aceitacao e rejeicao do lote a primeira amostra, P Ia (p) e 1 − P I
a (p), e
costume dar o nome de curvas OC suplementares (supplementary
OC curves).
Saliente-se tambem que P Ia (p) mais nao e que a probabilidade
de aceitacao de um lote associada a um plano de amostragem
simples com n = n1 e c = c2.
De assinalar que sob a validade da aproximacao binomial
obtemos as seguintes curvas OC do tipo B das quais depende a
aproximacao de Pa(p), tambem ela uma curva OC do tipo B:
P Ia (p) ' FBin(n1,p)(c1) (10.19)
P IIa (p) '
c2∑k=c1+1
PBin(n1,p)(k)× FBin(n2,p)(c2 − k). (10.20)
Exercıcio 10.8 — Esboce as tres curvas OC do tipo B que
aproximam P Ia (p), P II
a (p) e Pa(p) para um plano de amostragem dupla
caracterizado por n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100 e c2 = 3. Acompanhe
estas curvas por valores destas funcoes para valores de p a sua escolha.
Compare e comente a curva OC primaria de tipo B com a
probabilidade de aceitacao de um lote associada a um plano de
amostragem simples com n = 75 e c = 2. •
313
E altura de nos debrucarmos sobre a dimensao media da
amostra, que se designara abreviadamente por ASN.
Ao ter presente o esquema da Figura 10.1 rapidamente se conclui
que as n1 unidades amostrais vem acrescidas outras n2 unidades
amostrais, caso a primeira amostra nao conduza nem a aceitacao do
lote nem a rejeicao do mesmo. Assim:
ASN = ASN(p)
= n1 × [P (D1 ≤ c1)
+P (D1 > c2)] + (n1 + n2)× P (c1 < D1 ≤ c2)
= n1 + n2 × P (c1 < D1 ≤ c2). (10.21)
Exercıcio 10.9 — Considere um plano de amostragem dupla
caracterizado por n1 = 50, c1 = 2, n2 = 100 e c2 = 6.
(a) Determine valores (aproximados) de ASN(p) e esboce o grafico
dessa mesma curva.
(b) Compare ASN(p) e a dimensao (media) da amostra de um plano
de amostragem simples com n = 79 e c = 4. Comente. •
O exercıcio anterior permite concluir que a dimensao media da
amostra dos planos de amostragem dupla nem sempre e inferior a
dimensao fixa dos planos de amostragem simples com riscos identicos.
Nao surpreende pois que na pratica se efectue censura (curtailment)
na segunda amostra de um plano de amostragem dupla, censura
esta que consistem em interromper a inspeccao da segunda
amostra assim que D1 +D2 > c2. Face a esta modificacao, o ASN
do plano de amostragem dupla vem alterado:
ASN(p) = n1 +c2∑
j=c1+1P (n1, j)× [n2PL(n2, c2 − j)
+(c2 − j + 1)/p× PM(n2 + 1, c2 − j + 2)] , (10.22)
314
onde, caso se considere que D(ν) representa o numero de unidades
defeituosas numa amostra de dimensao ν,
P (n1, j) = P [D(n1) = j] (10.23)
PL(n2, c2 − j) = P [D(n2) ≤ c2 − j] (10.24)
PM(n2 + 1, c2 − j + 2) = P [D(n2 + 1) = c2 − j + 2]. (10.25)
Exercıcio 10.10 — Deduza a expressao de ASN(p) para planos de
amostragem dupla sem censura. •
Exercıcio 10.11 — Considere um plano de amostragem dupla com
censura caracterizado por n1 = 60, c1 = 2, n2 = 120 e c2 = 3.
(a) Determine valores de ASN(p) e esboce o grafico desta curva.
(b) Confronte a curva OC primaria do tipo B deste plano de
amostragem com o de um plano de amostragem simples com
n = 89 e c = 2.
(c) Compare ASN(p) e a dimensao da amostra do plano de
amostragem simples referido em (b). •
A seleccao de n1, c1, n2 e c2 pode fazer-se exigindo que a curva
OC passe o mais proximo possıvel de um par de pontos de risco do
produtor e do consumidor: (AQL = p1, 1 − α) e (LTPD = p2, β).
Mas como seria de esperar estes dois pontos sao insuficientes para
definir univocamente aqueles quatro parametros, pelo que e usual
acrescentar-lhe algumas restricoes, nomeadamente, exigir que n2 seja
um multiplo de n1 e que a razao p2/p1 tome um valor especıfico. Assim,
a seleccao de planos de amostragem dupla passa pela consulta
de tabelas proprias, usualmente designadas de Tabelas de Grubbs.
315
Em Montgomery (1985, pp. 379–381) pode encontrar-se dois exemplos
dessas tabelas10 e ilustracoes da utilizacao das mesmas.
Exercıcio 10.12 — Defina um plano de amostragem dupla com p1 =
0.01, α = 0.05, p2 = 0.06, β = 0.10 e n2 = 2n1 e obtenha a respectiva
curva OC primaria do tipo B e ASN(p). •
Resta-nos falar do impacto da rectificacao da inspeccao neste
tipo de planos de amostragem e ja agora da seleccao de planos de
amostragem dupla.
A rectificacao da inspeccao num plano de amostragem dupla
sem censura conduz a uma qualidade media a saıda AOQ igual
a
AOQ(p) =p[(N − n1)P
Ia (p) + (N − n1 − n2)P
IIa (p)]
N, (10.26)
ja que:
• ao rejeitar-se um lote a primeira ou a segunda amostra ha
inspeccao de todo o lote e substituicao de todas as unidades
defeituosas e
• em media restam p(N −n1) unidades defeituosas, caso o lote seja
aceite a primeira amostra, e p(N −n1−n2) unidades defeituosas,
caso tal aceitacao ocorra a segunda amostra.
Por seu lado, o numero medio de unidades inspeccionadas ATI num
plano de amostragem dupla sem censura e com rectificacao
da inspeccao e dado por:
ATI(p) = n1PIa (p) + (n1 + n2)P
IIa (p) +N [1− Pa(p)], (10.27)
dado que sao inspeccionadas10Na Tabela 10-3 da pagina 380 desta referencia encontram-se os numeros de aceitacao c1 e c2,
para o caso em que n1 = n2 = n, α = 0.05 e β = 0.10 e diversos valores de n e respectivas razoesp2/p1. Por seu lado a Tabela 10-4 da pagina 381 reporta-se ao caso n2 = 2n1, α = 0.05 e β = 0.10.
316
• n1 unidades se a primeira amostra conduzir a aceitacao do lote;
• n1 + n2 unidades se a aceitacao do lote decorrer do resultado da
inspeccao da segunda amostra;
• N unidades se houver rejeicao do lote quer a primeira amostra,
quer a segunda amostra.
Exercıcio 10.13 — Considere o plano de amostragem dupla com
p1 = 0.01, α = 0.05, p2 = 0.06, β = 0.10 e n2 = 2n1 que definiu
no Exercıcio 10.12.
(a) Obtenha a curva AOQ(p), determine AOQL e comente os seus
resultados.
(b) Esboce o grafico de ATI(p) e compare este grafico com o numero
medio de unidades inspeccionadas de um plano de amostragem
simples com rectificacao da inspeccao com os pontos de risco do
produtor e do consumidor similares. •
Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 125-128); Montgomery
(1985, pp. 373–382).
317
10.6 Planos de amostragem de aceitacao para
variaveis
Quando a caracterıstica de qualidade e uma v.a. contınua,
nomeadamente quando se assume que possui distribuicao normal,
o tratamento ao nıvel dos planos de amostragem e totalmente
distinto.
E, de um modo geral, adoptado um intervalo [L,U ] de valores
razoaveis para a caracterıstica de qualidade, onde os limites L e U
sao denominados de limite superior e superior de especificacao.
Sem qualquer risco de perda de generalidade, nao abordaremos
o caso em que sao usados dois limites de especificacao. Considere-
se apenas o caso em que se faz uso de um limite superior de
especificacao U .
Posto isto uma unidade amostral e considerada defeituosa, caso
o correspondente valor observado da caracterıstica de qualidade X
exceda o limite superior de especificacao U . Assim, a fraccao de
pecas defeituosas e dada por
p = P (X > U) = 1− Φ
(U − µσ
), (10.28)
caso se assuma que X ∼ Normal(µ, σ2).
Ao contrario da amostragem de aceitacao por atributos que assenta
no numero de unidades defeituosas numa amostra, o plano de
amostragem para variaveis baseia a decisao de aceitacao ou
rejeicao do lote naquilo se designa por ındice de qualidade
que nao passa de uma estatıstica. Para alem disso, a definicao do
plano de amostragem para variaveis passa pela determinacao de
uma dimensao da amostra e de uma constante de aceitacao
318
que estejam associados a pontos de risco do produtor e do
consumidor pre-especificados.
Convinha tambem notar que o plano de amostragem de
aceitacao para variaveis auxiliar-nos-a a evitar que sejam
expedidos lotes com valor esperado µ da caracterıstica de
qualidade X demasiado elevado ou, equivalentemente, com uma
fraccao de pecas defeituosas11 demasiado elevada.
Por seu lado, a determinacao das curvas OC, embora similar
a da amostragem de aceitacao por atributos, conduz, de um modo
geral, a calculos mais complexos. Estes calculos estao omissos
na generalidade dos livros, que, apos uma explicacao normalmente
exaustiva sobre as curvas OC em planos de amostragem por atributos,
se limitam a referir que tais curvas se obtem de forma analoga para
os planos de amostragem para variaveis.
Bowker e Goode (1952) e uma excepcao. Refere, por exemplo, a
forma como se obtem as curvas OC para os planos para variaveis:
os planos de amostragem para variaveis sao definidos de forma que a
curva OC se aproxime o mais possıvel da correspondente curva OC
obtida para os planos por atributos para um mesmo valor de AQL.
Refira-se tambem que, no inıcio deste capıtulo, foi referida uma
vantagem dos planos de amostragem por variaveis. Esta vantagem
prende-se essencialmente com o facto de ser possıvel obter uma curva
OC similar a de um plano de amostragem por atributos recorrendo
para o efeito a um plano de amostragem para variaveis com menor
numero de observacoes. Este facto e particularmente importante
se notarmos que o custo das medicoes requeridas num plano de
11Definida por exemplo por (10.28).
319
amostragem para variaveis e superior ao correspondente custo
num plano por atributos.
De assinalar tambem que as medicoes usadas num plano de
amostragem para variaveis proporcionam informacao mais
detalhada acerca da qualidade do lote que as medicoes associadas
a planos de amostragem por atributos. Nao surpreende pois que este
tipo de planos seja preterido a favor de planos de amostragem para
variaveis, quando o valor de AQL e muito pequeno como e caso de
situacoes em que este indicador e medido em numero de defeitos por
milhao.
Montgomery (1985, p. 432) aponta tambem algumas desvantagens.
O recurso a um plano de amostragem para variaveis pressupoe
que se conheca a distribuicao da caracterıstica de qualidade.
E frequente assumir que se trata de uma distribuicao normal.
E, como seria de esperar, o uso de um plano de amostragem
de aceitacao, que assuma incorrectamente que os dados tem
distribuicao normal, esta necessariamente associado a riscos do
produtor e do consumidor distintos do que seriam esses riscos sob
a validade da distribuicao normal.12
Fonte (parcial): Constantino (2004, pp. 25–26).
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 431–432).
12Vejam-se os resultados em Constantino (2004, Caps.4–5), para as distribucoes gaussiana inversae exponencial.
320
10.7 Planos de amostragem de aceitacao para
variaveis — distribuicao gaussiana: desvio
padrao conhecido
Ao lidarmos com uma caracterıstica de qualidade com distribuicao
normal com valor esperado desconhecido e desvio padrao conhecido,
teremos certamente que ter presente que deveremos rejeitar lotes
quando a media amostral for consideravelmente grande, caso se esteja
a lidar com um limite de especificacao superior.
Posto isto e considerando um limite superior de especificacao U ,
o plano de amostragem simples para variaveis devera conduzir a
aceitacao do lote se a media amostral x satisfaz x+ kσσ ≤ U , onde kσ
denota a constante de aceitacao.
Ou seja, o lote sera aceite se
Q =U − Xσ
≥ kσ, (10.29)
onde Q e denominado de ındice de qualidade e X depende,
naturalmente, da dimensao da amostra nσ.
E, tal como para os planos de amostragem por atributos, os planos
para variaveis serao definidos a custa de nσ e kσ que satisfacam as
duas condicoes seguintes:
• se a fraccao de unidades defeituosas for igual a p1 = 1− Φ[(U −µ1)/σ],13 deve aceitar-se o lote com probabilidade elevada 1−α;
• se a fraccao de defeituosos for p2 = 1 − Φ[(U − µ2)/σ] > p1,14
deve aceitar-se o lote com probabilidade pequena β.
13Equivalentemente, se o valor esperado de X for igual a µ1.14Equivalentemente, se o valor esperado de X for igual a µ2.
321
O metodo de obtencao das constantes nσ e kσ encontra-se descrito
em Wetherill e Brown (1991, pp. 271–275), embora de forma um pouco
menos clara:
(nσ, kσ) :
P (Q ≥ kσ|µ = µ1) = 1− αP (Q ≥ kσ|µ = µ2) = βP(X ≤ U + kσ σ|µ = µ1
)= 1− α
P(X ≤ U + kσ σ|µ = µ2
)= β
Φ(U+kσ−µ1
σ/√nσ
)= 1− α
Φ(U+kσ−µ2
σ/√nσ
)= β.
(10.30)
Notando agora que a fraccao de unidades defeituosas (p) esta
relacionada com o valor esperado (µ) da caracterıstica de qualidade
X do seguinte modo
µ = U + σΦ−1(p), (10.31)
obtem-se sucessivamente:
(nσ, kσ) :
Φ{√
nσ[kσ − Φ−1(p1)
]}= 1− α
Φ{√
nσ[kσ − Φ−1(p2)
]}= β
kσ = Φ−1(p1) + Φ−1(1−α)√nσ
kσ = Φ−1(p2) + Φ−1(β)√nσ
nσ =[
Φ−1(1−α)−Φ−1(β)Φ−1(p2)−Φ−1(p1)
]2kσ = Φ−1(p2)Φ−1(1−α)−Φ−1(p1)Φ−1(β)
Φ−1(β)−Φ−1(1−α) .(10.32)
Na pratica nσ tera de ser aproximado pelo menor valor inteiro n∗σ
que satisfacaPa(p1) ≥ 1− αPa(p2) ≤ β,
(10.33)
322
onde Pa(p) representa a probabilidade de aceitacao do lote que pode
ser indistintamente escrita a custa do valor esperado µ ou da fraccao
de pecas defeituosas p:
Pa(p) = Φ
U + kσ − µσ/√nσ
= Φ{√
nσ[kσ − Φ−1(p)
]}. (10.34)
Trata-se, pois, da curva OC para um plano de amostragem de
aceitacao para variaveis com limite superior de especificacao.15
Exercıcio 10.14 — Considere os seguintes pontos de risco do
produtor e do consumidor (p1 = 0.01, 1−α = 0.95) e (p2 = 0.07, β =
0.10).
(a) Tirando partido do resultado (10.32) e das condicoes em (10.33),
certifique-se que o valor da dimensao da amostra e da constante
de aceitacao sao, respectivamente, nσ = 12 e kσ = 1.85.
(b) Justifique que os valores da dimensao da amostra e da constante
de aceitacao seriam n = 72 e c = 2, caso se considerasse um
plano de amostragem por atributos para os mesmos pontos de
risco do produtor e do consumidor, se recorresse a distribuicao
exacta hipergeometrica e se considerasse a dimensao do lote igual
a N = 500.
(c) Represente as curvas OC para estes dois tipos de planos
de amostragem de aceitacao para variaveis e por atributos.
Comente. •
Na Seccao 10.9 debrucar-nos-emos sobre a utilizacao de uma norma,
forma alternativa de obtencao de valores para nσ e kσ.
Fonte: Constantino (2004, pp. 26–31).15De notar que (10.33) significa que a curva OC passara acima do ponto de risco do produtor e
abaixo do ponto de risco do consumidor.
323
10.8 Planos de amostragem de aceitacao para
variaveis — distribuicao gaussiana: desvio
padrao desconhecido
Analise-se agora a situacao em que o desvio padrao e desconhecido.
Neste caso o ındice de qualidade sera nao so funcao de X mas
tambem funcao do estimador centrado de σ2,
S2 =1
n− 1
n∑i=1
(Xi − X
)2(10.35)
e o procedimento de obtencao dos valores da dimensao da amostra
(ns) e da constante de aceitacao (ks) para o plano de amostragem de
aceitacao para variaveis e sem sombra de duvida mais complexo.
Ao considerar-se mais uma vez um limite superior de especificacao
U deve aceitar-se um lote se x+ ks s ≤ U ou, equivalentemente, e em
termos do ındice de qualidade, se:
Q =U − XS
≥ ks. (10.36)
Antes de proceder a obtencao da probabilidade de aceitacao,
ao lidar-se com uma fraccao de unidades defeituosas igual a p = 1 −Φ[(U − µ)/σ], e necessario relembrar/considerar:
• Z =√ns(X − µ)/σ ∼ Normal(0,1);
• Y = (ns−1)S2
σ2 ∼ χ2ns−1;
• δ =√ns(µ−U)σ =
√ns Φ−1(p);
• T = (Z + δ)/√Y/(ns − 1) que representa uma variavel aleatoria
com distribuicao t nao-central com ns − 1 graus de liberdade e
parametro de “nao centralidade”δ.
324
Assim sendo, tem-se a seguinte curva OC para o plano de
amostragem de aceitacao para variaveis com o desvio-padrao
desconhecido:
Pa(p) = P (Q ≥ ks | p)
= P(X ≤ U − ks S | p
)= P
Z + δ√Y/(ns − 1)
≤ −√ns ks
∣∣∣∣∣∣ p
= P[T ≤ −
√nsks | δ =
√ns Φ−1(p)
]. (10.37)
Segundo Wetherill e Brown (1991, p. 278), os planos de
amostragem de aceitacao para variaveis com desvio-padrao conhecido
e desconhecido deverao ter praticamente a mesma curva OC, caso ns
e ks sejam ajustados de tal forma que X + ks S tenha o mesmo valor
esperado e variancia que X+kσ σ. Deste modo, obtem-se as seguintes
expressoes para ns e ks, em funcao de nσ e kσ:ks =
√3ns−33ns−4 kσ
ns =(1 + 3nsk2
σ
6ns−8
)nσ.
(10.38)
Mais uma vez deve aproximar-se ns ao menor inteiro n∗s que garanta
que Pa(p1) ≥ 1− α e Pa(p2) ≤ β.
De salientar que a dimensao da amostra requerida quando o
desvio-padrao ns e desconhecido e, naturalmente, superior aquela
necessaria caso se conhecesse σ; com efeito ns/nσ e igual a(1 + 3nsk2
σ
6ns−8
),
claramente superior a unidade. Por outro lado, a constante de
aceitacao ks e praticamente igual a kσ.
Dado que a utilizacao da distribuicao t nao-central nao e corrente,
recomenda-se o recurso a seguinte aproximacao para a curva
OC, aproximacao esta originalmente proposta por Hamaker (1979)
325
e disponıvel em Wetherill e Brown (1991, p. 278-279):
Pa(p) ' Φ(θµ) = Φ(θp), (10.39)
onde
θµ =U − µ− ksσ
√3ns−43ns−3
σ
√1+ 3nsk2s
6ns−8
ns
(10.40)
θp =Φ−1(1− p)− ks
√3ns−43ns−3√
1+ 3nsk2s6ns−8
ns
. (10.41)
Exercıcio 10.15 — Considerando os pontos de risco do produtor e
do consumidor do Exercıcio 10.14:
(a) Obtenha os valores (exactos e aproximados) das constantes ns e
ks.
(b) Compare (os valores) das curvas OC (exacta e aproximada)
com (os d)a curva OC obtida para o plano de amostragem
para variaveis com desvio-padrao conhecido naquele exercıcio.
Comente os resultados obtidos. •
Fonte: Constantino (2004, pp. 31–38).
326
10.9 A norma Military Standard 414
(ANSI/ASQC Z1.9)
A norma Military Standard 414 ou uma sua versao civil, como e o
caso de norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 (Sampling Procedures and
Tables for Inspection by Variables for Percent Nonconforming), surge
como alternativa a (10.32) e (10.38) para a definicao de um plano
de amostragem de aceitacao simples por variaveis com desvio-padrao
conhecido e desconhecido, respectivamente.
A consulta da norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 e em tudo
similar a da norma para atributos ANSI/ASQC Z1.4-1981, pelo
que se sugere uma leitura breve de Montgomery (1985, pp. 439–453) e
do exemplo que se segue, bem como a elaboracao do Exercıcio 10.17.
Exemplo 10.16 — Proceda-se a uma comparacao do plano de
amostragem para variaveis com desvio-padrao conhecido, obtido
recorrendo a (10.32), e do plano que se obtem por utilizacao da norma
ANSI/ ASQC Z1.9-1980.
Admita-se que N = 500 e que os pontos de risco do produtor e do
consumidor (p1 = 0.01, 1− α = 0.95) e (p2 = 0.07, β = 0.10).
Ao considerar-se o nıvel II geral de inspeccao, pela observacao da
Tabela A-2 (Sample Size Code Letters), o codigo obtido para a
dimensao da amostra e a letra I, para lotes com dimensao do lote
compreendida no intervalo entre 401 e 500.
A consulta da coluna respeitante ao valor de AQL = p1 = 0.01,
na Tabela D-1 (Master Table for Normal and Tightened Inspection
for Plans Based on Variability Known), permite obter o plano de
amostragem de aceitacao para variaveis com desvio-padrao conhecido:
e, caracterizado por nσ = 9 e kσ = 1.83, valores estes ligeiramente
327
distintos dos referidos no Exercıcio 10.14. Esta diferenca deve-se ao
facto de a norma estar associada a: um valor da probabilidade de
aceitacao ao nıvel do ındice AQL = p1 = 0.01 distinto de 1−α = 0.95;
e muito provavelmente a um risco do consumidor diferente de β = 0.10.
•
Tabela 10.2: Alguns planos de amostragem para variaveis com σ desconhecido (β =
0.10), recorrendo norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 e a (10.38).
Norma (10.38)
p1 α p2 ns ks ns ks
0.001 0.05 0.04 25 2.50 20 2.36
0.0025 0.07 0.04 25 2.26 26 2.26
0.004 0.07 0.06 25 2.14 20 2.08
0.015 0.07 0.10 25 1.72 25 1.70
0.04 0.07 0.20 25 1.35 17 1.27
0.10 0.07 0.30 25 0.94 18 0.89
Na Tabela 10.2 confrontam-se os planos de amostragem para
variaveis com σ desconhecido, para diferentes valores dos pontos de
risco do consumidor e do produtor, obtidos pela norma e por utilizacao
de (10.38).
A analise da Tabela 10.2 permite concluir que os planos obtidos
pela norma e pela expressao (10.38) conduzem a valores similares das
constantes de aceitacao e a algumas discrepancias na dimensao da
amostra.
Exercıcio 10.17 — Considerando exactamente os mesmos
parametros que no Exemplo 10.16:
(a) Certifique-se que a utilizacao da norma ANSI/ASQC Z1.9-1980
328
conduz aos valores ns = 25 e ks = 1.85 e compare-os com os
obtidos na alınea (a) do Exercıcio 10.15.
(b) Compare as curvas OC (exacta e aproximada) com a curva OC
obtida para o plano de amostragem para variaveis com desvio-
padrao desconhecido obtido na alınea anterior. •
Assinale-se por fim que, ao contrario da norma, (10.32) e (10.38)
nao fazem uso da dimensao do lote para determinacao do plano de
amostragem.
Para uma discussao aturada sobre a norma MIL STD 414 e as
semelhancas entre esta norma e a MIL STD 105D, remete-se o leitor
para Montgomery (1985, pp. 453–455).
Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 439–455).
329
Capıtulo 11
Esquemas com intervalos
amostrais variaveis
11.1 Introducao
O esquema de controlo de qualidade constitui, sem duvida, o metodo
grafico mais divulgado empregue na distincao entre causas aleatorias
e causas assinalaveis de variacao de um processo.
E usual recorrer-se a esquemas de controlo com intervalos amostrais
fixos, isto e, a recolha de amostras e feita a intervalos fixos (e.g de
hora em hora). Neste caso diz-se fazer uso da polıtica amostral Fixed
Sampling Intervals (FSI).
No entanto, alguns trabalhos sobre as propriedades estatısticas
dos esquemas de controlo com intervalos amostrais dependentes
das observacoes recolhidas mostraram que esta polıtica amostral
denominada de Variable Sampling Intervals (VSI) pode aumentar
a rapidez de deteccao de alteracoes no processo.
A ideia de fazer variar os intervalos entre recolhas amostrais
sucessivas tem vindo a ser empregue em diferentes domınios. Reynolds
e Arnold (1989) referem alguns exemplos. E o caso da amostragem
330
de aceitacao em que surgem os continuous sampling plans (ver Dodge,
1943) cuja taxa de inspeccao de itens produzidos varia de acordo com o
nıvel de qualidade dos itens ja inspeccionados.1 Todavia, a aplicacao
formal desta ideia a esquemas de controlo e a averiguacao das suas
consequencias no desempenho das cartas data do final dos anos 80.
Embora existam alguns trabalhos anteriores a Reynolds et
al. (1988), cre-se ter sido este o primeiro artigo publicado versando
a aplicacao da polıtica amostral VSI ao esquema X para o o valor
esperado µ de caracterıstica de qualidade com distribuicao normal.
De entre outros trabalhos com a mesma orientacao destaque-se:
• Saccucci et al. (1989) que estudam a aplicacao da polıtica
amostral VSI as cartas EWMA;
• Reynolds et al. (1990) que se debrucam sobre o seu uso de
esquemas CUSUM associadas a polıtica amostral VSI;
• Ramalhoto e Morais (1994) que apresentam um resumo dos
resultados mais importantes referentes a associacao da polıtica
amostral VSI aos esquemas X, EWMA e CUSUM.
A orientacao comum a estas referencias nao e de estranhar dada
a popularidade dos esquemas para o valor esperado da distribuicao
normal.
Fonte: Morais (1995, pp. 1–2).
1O principal objectivo deste tipo de planos amostrais nao e, no entanto, controlar a qualidadedos itens on line mas sim o melhoramento da qualidade dos lotes a serem expedidos, por inspeccaodos mesmos.
331
11.2 Descricao das polıticas amostrais FSI e VSI
Ao utilizar uma carta de controlo para detectar alteracoes num
(ou mais) parametro(s) de uma caracterıstica de qualidade, e
usual considerar os intervalos amostrais — intervalos entre qualquer
par de observacoes consecutivas — fixos e iguais a d (d > 0,
independentemente do resultado da primeira destas duas observacoes.
Esta polıtica amostral e designada por FSI e pressupoe que, apos a
recolha de cada amostra e registo do valor observado de uma estatıstica
sumaria no esquema de controlo, se tome uma unica decisao:
• emitir (ou nao) sinal de perda de controlo.
Contudo, e plausıvel permitir que os intervalos amostrais variem
dependendo das observacoes recolhidas.
Se o valor observado da estatıstica sumaria for extremo,
mas nao o suficiente para se emitir um sinal de perda de controlo, e
perfeitamente natural antecipar a recolha de uma nova amostra de
modo a confirmar se o referido valor e, ou nao, uma indicacao de que
o processo se alterou.
Por outro lado, se o valor observado da estatıstica sumaria
se encontrar proximo do alvo da carta de controlo, nao e descabido
um adiamento do instante de recolha da proxima amostra.
Assim sendo, ao considerar uma carta de controlo generica com
• regiao de continuacao C = [LCL,UCL] e
• estatıstica sumaria WN , referente a N−esima amostra
aleatoria XN = (X1N , . . . , XnN),
e razoavel actuar da seguinte forma sempre que WN pertenca a C:
332
• Accao 1 — antecipar a recolha da proxima amostra, se WN
estiver proximo dos extremos de C;
• Accao 2 — adiar a recolha da proxima amostra, se WN
estiver afastado dos extremos de C.
O intervalo amostral que precede a (N + 1)−esima recolha e,
portanto, uma variavel aleatoria funcao de WN . Doravante tal
intervalo amostral sera designado por DN .
A adopcao da polıtica amostral VSI pressupoe a escolha de
• dois intervalos amostrais distintos d1 e d2 (d1 < d2).
O intervalo amostral mınimo d1 e utilizado quando WN se encontrar
proximo dos limites de controlo. Se pelo contrario WN estiver afastado
desses mesmos extremos, deve usar-se o intervalo maximo d2. Estas
atribuicoes a variavel aleatoria DN sugerem a divisao da regiao
de continuacao C em duas sub-regioes que constituem uma sua
particao:
C1, C2 : C1 ∩ C2 = ∅, C1 ∪ C2 = C. (11.1)
A C1 e C2 estao associados o menor e o maior dos intervalos amostrais,
respectivamente.
Assim, a variavel intervalo amostral pode ser definida como
DN =
d1 (e.g. 10 min.; antecipacao...), se WN ∈ C1
d2 (e.g. 110 min.; adiamento...), se WN ∈ C2.(11.2)
Fonte: Morais (1995, pp. 8–10).
333
11.3 Caracterısticas primarias
Na caracterizacao de qualquer esquema de controlo,
independentemente da polıtica amostral, e da maior importancia a
analise do comportamento de duas variaveis aleatorias que Reynolds
(1989) designou por caracterısticas primarias:
• o numero de amostras recolhidas ate sinal, RL (run length);
• o tempo ate sinal, TS (time to signal).
TS representa o tempo decorrido desde o (re)inıcio do processo ate
ao instante em que e recolhida a amostra responsavel pela emissao de
sinal de perda de controlo. Consequentemente:
• TSFSI = d×RL, se a polıtica amostral adoptada for FSI
• TSV SI =∑RLN=1DN−1, caso a polıtica amostral seja VSI.
Note-se que, ao assumir que se recolhe uma amostra no instante em que
o processo se (re)inicia ou ao fixar/gerar um valor para W0 pertencente
a C, o intervalo amostral que precede a recolha da primeira amostra,
D0, fica de imediato definido. Para alem disso, e recomendavel que
se considere D0 = d1, caso se decida nao atribuir/gerar ou nao se
disponha de um valor inicial para W0. (Justifique!)
Os valores esperados de RL e TS sao representados por ARL e ATS
(average time to signal) Nos esquemas de controlo FSI, pelo facto do
intervalo amostral ser constante e igual a d tem-se
ATSFSI = d× ARL. (11.3)
No entanto, nos esquemas VSI, ATSV SI nao e um multiplo de ARL e
escreve-se
ATSV SI = E
RL∑N=1
DN−1
. (11.4)
334
Tanto ATSFSI como ATSV SI dependem da magnitude (θ)
da alteracao do parametro sob controlo. De forma a tornar
esta dependencia mais explıcita estes valores esperados passam a
escrever-se doravante do seguinte modo: ATSFSI(θ) e ATSV SI(θ),
respectivamente.
Serao tratadas outras caracterısticas do tempo ate sinal para estes
dois tipos de polıticas amostrais na proxima seccao.
Fonte: Morais (1995, pp. 10–12).
335
11.4 Calculo das caracterısticas primarias dos
esquemas Shewhart
Ao considerar um esquema do tipo Shewhart, a estatıstica sumaria
WN e funcao exclusiva da amostra aleatoria mais recente, isto e,
WN = WN(XN). Logo, ao assumir que as amostras aleatorias XN
sao independentes e que o valor do parametro se mantem constante
e igual a µ, as estatısticas sumarias WN sao i.i.d. a uma estatıstica
sumaria W .
Por consequencia, a probabilidade de XN ser responsavel pela
emissao de um sinal e dada por
ξ(θ) = P (W 6∈ C|θ), (11.5)
independentemente do ındice da amostra e da polıtica amostral
adoptada. Logo o RL(θ) ∼ geometrica(ξ(θ)), qualquer que seja a
polıtica amostral adoptada.
Em contraponto, o tempo esperado ate sinal depende da polıtica
amostral adoptada. Para o caso FSI, tal funcao e igual a
ATSFSI(θ) =d
ξ(θ). (11.6)
Na situacao VSI a obtencao do tempo esperado ate sinal
pressupoe a descricao probabilıstica dos intervalos aleatorios DN =
DN(θ). Estes intervalos, pelas mesmas razoes apontadas acima sao,
condicionalmente ao facto de WN ∈ C e da magnitude da alteracao
no parametro ser igual a θ, i.i.d. a variavel aleatoria D = D(θ) com
f.p. dada por
P [D(θ) = y] =
1− ρ2(θ), se y = d1
ρ2(θ), se y = d2(11.7)
336
onde
ρ2(θ) =P [WN(θ) ∈ C2]
P [WN(θ) ∈ C](11.8)
representa a probabilidade de utilizacao do maior dos intervalos
amostrais. Ora, tendo em consideracao esta f.p., a expressao (11.4) e
a equacao de Wald, ATSV SI(θ) passa a escrever-se do seguinte modo:
ATSV SI(θ) = E[D(θ)]× ARL(θ)
=d1 [1− ρ2(θ)] + d2 ρ2(θ)
ξ(θ)
=d1 + (d2 − d1)ρ2(θ)
d× ATSFSI(θ). (11.9)
Exercıcio 11.1 — Na Tabela 11.1 podem encontrar-se estas e outras
caracterısticas do tempo ate sinal de esquemas Shewhart associados
as polıticas FSI e VSI, nomeadamente os seus valores possıveis, a sua
distribuicao, a sua variancia e a sua funcao geradora de probabilidades,
assumindo que o valor do intervalo amostral que antecede a recolha
da primeira amostra tem a mesma distribuicao que os restantes.
337
Tabela 11.1: Tempo ate sinal para esquemas Shewhart
FSI VSI
TS d×RL(θ)∑RL(θ)N=1 DN−1(θ)
Conj. valores possıveis {d, 2d, 3d, . . .} {k1 d1 + k2 d2 : k1, k2 ∈ IN0}\0
Distribuicao d×Geometrica(ξ(θ)) Geometrica Composta
Valor esperado ATSFSI(θ) = dξ(θ)
d1+(d2−d1)ρ2(θ)d ×ATSFSI(θ)
Variancia V [TSFSI(θ)] = d2[1−ξ(θ)]ξ2(θ)
{[d1+(d2−d1)ρ2(θ)]2
d2
+ (d2−d1)2d2
p(θ)ρ2(θ)[1−ρ2(θ)]1−p(θ)
}×V [TSFSI(θ)]
Coef. variacao CV [TSFSI(θ)] =√
1− p(θ)√
1 + (d2−d1)2[d1+(d2−d1)ρ2(θ)]2
p(θ)ρ2(θ)[1−ρ2(θ)]1−p(θ)
×CV [TSFSI(θ)]
F.geradora prob. E(zTS(θ)) = zd ξ(θ)1−zd[1−ξ(θ)]
E[zD(θ)] ξ(θ)1−E[zD(θ)][1−ξ(θ)]
D(θ) ∼ d1 + (d2 − d1)× Bernoulli(ρ2(θ)); E[zD(θ)] = zd1 +(zd2 − zd1
)ρ2(θ).
Prove todos estes resultados. •
Importa notar que ATSV SI e V (TSV SI) foram convenientemente
escritos a custa de ATSFSI e V (TSFSI).
Fontes: Morais (1995, pp. 12–13), Morais e Pacheco (2007).
338
11.5 Obtencao numerica das caracterısticas
primarias para esquemas do tipo markoviano
A estatıstica sumaria de um esquema do tipo markoviano
(CUSUM ou EWMA) nao depende somente de XN . O caracter
recursivo de WN = WN(WN−1, XN) impoe uma estrutura de
dependencia as estatısticas sumarias. Por este motivo a avaliacao
das caracterısticas primarias dos esquemas de controlo associadas
deixa de ser trivial, passando a ter de se fazer numericamente.
Ao adoptar-se a abordagem markoviana — descrita, por exemplo,
em Lucas e Saccucci (1990) e Reynolds et al. (1990) — a estatıstica
sumaria WN cujo espaco de estados e contınuo ve o seu contradomınio
discretizado, obtendo-se deste modo um cadeia de Markov cujas
propriedades podem ser avaliadas exactamente e que aproximam as
propriedades do processo estocastico original — uma cadeia de Markov
com espaco de estados contınuos.
Distinga-se a situacao em que os intervalos amostrais sao fixos
do caso em que se adopta a polıtica amostral VSI. Segundo Lucas
e Saccucci (1990) e Reynolds et al. (1990), a discretizacao do
contradomınio da estatıstica sumaria deve ser feita, em qualquer dos
casos, nos seguintes moldes:
• a regiao de continuacao C do esquema e dividida em k estados
transeuntes correspondendo estes estados a intervalos disjuntos
com amplitudes, de preferencia, iguais;
• o complementar de C corresponde ao estado absorvente da cadeia
de Markov.
Ao adoptar intervalos amostrais variaveis a divisao do
339
contradomınio em estados transeuntes deve ser feita de modo
mais cuidado ja que a regiao C foi particionada. Assim:
• considera-se a mesma k estados transeuntes dos quais k1 e k2
estao associados a d1 e d2, respectivamente;
• o estado absorvente mantem-se.
Os valores de k1 e k2 devem ser escolhidos de forma que a sua soma seja
igual a k e que todos os estados transeuntes correspondam a intervalos
disjuntos com amplitudes o menos distintas possıvel.
Refira-se que nada impede de adoptar esta ultima discretizacao
quando a polıtica amostral e a FSI. No entanto, a utilizacao da
discretizacao considerada na situacao FSI nao e recomendavel para
o caso VSI pois ao faze-lo pode tornar-se ambıgua a definicao do
intervalo amostral na fronteira de C2.
Considere-se que:
• Q(θ) representa a matriz de probabilidades de transicao entre os
k estados transeuntes da cadeia de Markov discretizada em que
ocorre uma transicao sempre que e recolhida uma amostra;
• M(θ) = [mij(θ)]i,j=1,...,k = [I − Q(θ)]−1 denota a matriz
fundamental desta cadeia de Markov com um estado
absorvente, onde e sabido que mij(θ) representa o numero
esperado de vezes que a cadeia de Markov se encontra no estado
transeunte Ej antes de atingir o estado absorvente, partindo do
estado transeunte Ei (Reynolds, 1989).
Sejam:
• Ei o estado transeunte a que pertence o valor inicial da estatıstica
sumaria, WN ;
340
• bj o intervalo amostral usado quando WN pertence ao
estado transeunte Ej;
• D0 o primeiro intervalo amostral utilizado (D0 = bi).
Por fim, condicione-se ao facto do estado inicial ser Ei e considere-se:
• ARLi(θ) o numero esperado de amostras recolhidas ate sinal;
• ATSi(θ) o tempo esperado ate sinal.
Entao, ao discretizar da mesma forma o contradomınio da estatıstica
sumaria nos casos FSI e VSI, tem-se
ARLi(θ) =k∑j=1
mij(θ) = e>i [I−Q(θ)]−1 1, i = 1, . . . , k, (11.10)
qualquer que seja a polıtica amostral adoptada, tal como no caso em
que as estatısticas sumarias sao independentes.
O tempo esperado ate sinal escreve-se de forma distinta para
as duas polıticas amostrais:
ATSiFSI(θ) = d× ARLi(θ), i = 1, . . . , k; (11.11)
ATSiV SI(θ) =k∑j=1
mij(θ)× bj, i = 1, . . . , k. (11.12)
ARLi(θ) e ATSi(θ) aproximam na verdade o numero esperado
de amostras recolhidas ate sinal e o tempo esperado ate sinal
da cadeia original.
Os valores esperados ARLi(θ) e ATSiV SI(θ) podem ser obtidos de
forma alternativa (Reynolds et al., 1990). Com efeito, considere-
se que ARLim(θ),m = 1, 2, o numero esperado de vezes que o
341
intervalo amostral dm e utilizado depois do instante da obtencao da
concretizacao de W1 e ate que seja emitido um sinal. Entao:
ARLim(θ) =
∑kj=1mij(θ)× Idm(bj)− 1, D0 = dm∑kj=1mij(θ)× Idm(bj), D0 6= dm,
(11.13)
para m = 1, 2; e
ARLi(θ) = 1 +2∑i=1
ARLim(θ) (11.14)
Considere-se agora, para m = 1, 2,
ρm(θ) =
ARLim(θ)+1ARLi(θ) , D0 = dm
ARLim(θ)ARLi(θ) , D0 6= dm,
(11.15)
onde ρm(θ) pode ser interpretado como a proporcao de tempo em que
o intervalo dm e utilizado ate a emissao de sinal de perda de controlo.
Logo
ATSiV SI(θ) = D0 +2∑i=1
dm × ARLim(θ)
=d1 + (d2 − d1)ρ2(θ)
d× ATSiFSI(θ), (11.16)
a semelhanca do que aconteceu no caso em que as estatısticas sumarias
sao independentes.
Texto de apoio: Morais (1995, pp. 13–17).
342
11.6 Comparabilidade sob controlo;
caracterıstica primordial; comparacao dos
desempenhos de cartas FSI e VSI
O tempo esperado ate sinal nao so quantifica o desempenho de
qualquer carta de controlo, como serve de termo de comparacao dos
desempenhos de esquemas de controlo.
O criterio de comparabilidade entre esquemas de controlo,
introduzido por Reynolds et al. (1988), refere que:
• dois (ou mais) esquemas de controlo dizem-se comparaveis
sob controlo (matched control charts) sse possuırem tempos
esperados ate sinal iguais quando o processo de producao esta
sob controlo, i.e., sse os respectivos tempos esperados ate falso
alarme forem iguais.
A comparabilidade sob controlo escreve-se do seguinte modo, no
contexto da comparacao dos desempenhos de dois esquemas para um
parametro, um com intervalos amostrais fixos e outro associado a
polıtica amostral VSI:
ATSV SI(θ0) = ATSFSI(θ0), (11.17)
onde θ0 corresponde ao valor de θ sob controlo (e.g. θ0 = 0 no controlo
de parametro de localizacao).
E recorrendo a esta igualdade que se obtem a particao de C do
esquema VSI. Com efeito, ao recordar a relacao existente entre os
tempos esperados ate sinal das versoes FSI e VSI comparaveis sob
controlo de uma mesma carta, a igualdade (11.17) pode escrever-se a
343
custa da probabilidade de utilizacao do intervalo amostral maximo:
d1 + (d2 − d1)ρ2(θ0)
d= 1⇔ ρ2(θ0) =
d− d1
d2 − d1. (11.18)
A escolha dos limites de controlo de um esquema bem como da
particao da sua regiao de continuacao C deve ainda reger-se de acordo
com o seguinte princıpio:
• e preciso ter a garantia que o tempo esperado de deteccao de uma
alteracao de magnitude θ, seja sempre inferior ao tempo esperado
ate a emissao de um falso alarme, i.e., ATS(θ) < ATS(θ0),∀θ 6=θ0,
independentemente da polıtica amostral e do tipo de esquema e
controlo adoptados. Esta propriedade do tempo esperado ate sinal
e designada de caracterıstica primordial.
Atente-se que a literatura de controlo de qualidade e fertil em
exemplos de esquemas de controlo que nao possuem tempo esperado
ate sinal gozando da caracterıstica primordial. Acrescente-se, a tıtulo
de curiosidade, que a caracterıstica primordial contribui, nalgumas
situacoes, para a definicao unıvoca da regiao de continuacao e da
respectiva particao.
Uma vez obtida a particao da regiao de continuacao do esquema
VSI e caracterizada este mesmo esquema, resta averiguar se se obteve
um esquema mais rapida, em valor esperado, que a versao FSI que lhe
e comparavel sob controlo, na deteccao de todas as alteracoes a que
estes esquemas se propoem detectar. Ou seja, se
ATSV SI(θ) < ATSFSI(θ), ∀θ 6= θ0. (11.19)
So nesta situacao o recurso a polıtica amostral VSI e vantajoso.
A verificacao analıtica desta propriedade e, por vezes, difıcil.
344
Compreende-se, por isso, que a literatura que discute a polıtica
amostral VSI se limite de um modo geral a verificacao numerica desta
condicao.
Refira-se por fim que, qualquer confronto de tempos esperados ate
sinal de esquemas FSI e VSI comparaveis sob controlo pode ser escrito
a custa da funcao ρ2(θ). De facto (11.19) e equivalente a
ρ2(θ) < ρ2(θ0),∀θ 6= θ0 (11.20)
A condicao (11.20) e perfeitamente razoavel ja que sob controlo as
recolhas amostrais devem ser o mais espacadas possıvel: deste modo
nao so se retarda as emissoes de falsos alarmes, como se acelera a
deteccao de uma alteracao do parametro.
Fonte: Morais (1995, pp. 19–21).
345
11.7 Ilustracao: esquemas X dos tipos FSI e VSI
com limites 3σ
Com este esquemas pretende-se detectar “shifts”no valor esperado de
caracterıstica de qualidade com distribuicao normal de µ0 para µ0 +
θ × σ0/√n, θ 6= 0.
Considere-se esquemas FSI e VSI com os seguintes intervalos
amostrais, limites de controlo e outras caracterısticas:
• d = 1.0, d1 = 0.1, d2 = 1.9;
• LCL = µ0 − γσ/√n, UCL = µ0 + γσ/
√n, onde γ = 3.0;
ξ(θ) = P (X ∈ [LCL,UCL]) = Φ(γ − θ)− Φ(−γ − θ)
• LBL = µ0 − ασ/√n, UBL = µ0 + ασ/
√n, com
α = Φ−1{d−d1
d2−d1× [Φ(γ)− .5] + .5
}= 0.672367;
• ρ2(θ) = P (usar intervalo amostral maximo d2)
= P (X ∈ (LBL,UBL))
= Φ(α−θ)−Φ(−α−θ)Φ(γ−θ)−Φ(−γ−θ)
Com este conjunto de parametros obtem-se os valores para o valor
esperado, variancia e coeficiente de variacao do tempo ate sinal da
Tabela 11.2.
Pode concluir-se da Tabela 11.2 que as alteracoes no parametro
µ sao, em valor esperado, mais facilmente detectadas pelo esquema
VSI que pelo esquema FSI. De notar, no entanto, que a utilizacao
desta polıtica amostral e tanto mais vantajosa, quanto mais grave for
a alteracao em µ.
Para alem disso a adopcao de intervalos amostrais variaveis nem
sempre resulta (resulta sempre) numa reducao da variancia (coeficiente
346
Tabela 11.2: Valor esperado, variancia e coeficiente de variacao do tempo ate sinal
θ ATSFSI(θ) ATSV SI(θ)(
1− ATSV SI(θ)ATSFSI(θ)
)× 100%
0.00 370.4 370.4 0.000%0.50 155.2 141.5 8.855%1.00 43.9 30.6 30.253%3.00 2.0 0.3 86.456%
θ V [TSFSI(θ)] V [TSV SI(θ)](
1− V [TSV SI(θ)]V [TSFSI(θ)]
)× 100%
0.00 369.9 370.3 -0.110%0.05 365.4 365.5 -0.018%1.00 43.4 30.8 29.062%3.00 1.4 0.4 71.559%
θ CV [TSFSI(θ)] CV [TSV SI(θ)](
1− CV [TSV SI(θ)]CV [TSFSI(θ)]
)× 100%
0.00 0.999 1.000 -0.110%0.50 0.997 1.000 -0.313%1.00 0.989 1.005 -1.707%3.00 0.707 1.485 -109.982%
e variacao) do tempo ate sinal. (Justifique analiticamente estes dois
resultados!)
Em Ramalhoto e Morais (1995) e Ramalhoto e Morais (1997)
podem encontrar-se exemplos de esquemas VSI dos tipos Shewhart
e EWMA (respectivamente) para o parametro de escala de uma
caracterıstica de qualidade com distribuicao Weibull tri-parametrica.
Por seu lado, em Morais e Natario (1998) procede-se a averiguacao
das vantagens dos esquemas VSI no controlo do numero esperado de
defeitos em amostras de dimensao fixa. Por sinal o caracter discreto
da caracterıstica de qualidade exige cuidados especiais na adopcao da
polıtica amostral VSI.
Textos de apoio: Morais (2006); Morais e Pacheco (2007).
347
Referencias
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Alguns reparos e um agradecimento
O autor destas notas de apoio salienta que a seccao 8.3 resultou de uma
traducao livre de diversos textos disponıveis em http://www.asq.org/
learn-about-quality/history-of-quality/ e recomenda vivamente a
leituras destes originais. A esta traducao livre foram acrescentados
alguns reparos inspirados pela leitura de Bartmann (1986, pp.2–3),
Derman e Ross (1997, pp.3–4) e Gomes e Barao (1999, pp.1–4).
O autor salienta tambem que o Capıtulo 11 resultou de uma
adaptacao parcial autorizada de Constantino (2004, Cap. 1–3) e muito
agradece a Marco Constantino a permissao para o fazer.
360