Notas Cientificas Sobre La Obra de Feynman

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    Leyendo a Feynman

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    Leyendo a Feynman

    Aranzazu Garca Pez

    Rocio Garca Puente

    Martn Rodrguez VegaAndrs Seplveda Quiroz

    Universidad de Colima

    Colima, Mxico2009

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    @ 2009 Garca Pez, Garca Puente, Rodrguez Vega, Seplveda Quiroz

    Libro de circulacin interna.Prohibida su venta.

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    A Elena, que nos motiv a hacer este proyectoy a todos aquellos que encuentranun gusto especial por la fsica.

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    ndice general

    Prefacio xi

    Agradecimientos xiii

    1 Introduccin 1

    1.1. Imaginacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Feynman: Vida y Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Experiencia Feynman Lectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 Electromagnetismo 7

    2.1. Una fuerza muy especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Sentir de lejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Las cuatro fantsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3 Clculo diferencial vectorial 17

    4 Clculo integral vectorial 21

    4.1. Primer Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Segundo Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.3. Tercer Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4. Observaciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5 Electrosttica 25

    5.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Campo Elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3. Potencial Elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    vii

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    viii ndice general

    6 Aplicaciones de la Ley de Gauss 27

    6.1. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2. Los tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3. Ejemplos de la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4. Los Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    7 El campo elctrico en diversas

    situaciones 35

    7.1. Ecuaciones del potencial electrosttico . . . . . . . . . . . . . . 357.2. El dipolo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3. Comentarios sobre ecuaciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 407.4. El potencial de un dipolo como gradiente . . . . . . . . . . . . 417.5. La aproximacin dipolar para una distribucin arbitraria . . . . 437.6. Campos de conductores cargados . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.7. El mtodo de las imgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.8. La carga puntual cerca de un plano conductor . . . . . . . . . . 467.9. La carga puntual cerca de una esfera conductora . . . . . . . . 487.10. Condensadores; las placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    8 Energa electrosttica 51

    8.1. La energa electrosttica de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2. La energa electrosttica en los ncleos . . . . . . . . . . . . . . 52

    9 La electricidad en la atmsfera 57

    9.1. El potencial en la nariz y la electricidad en las alturas . . . . . 579.2. Thunder, thunder, thuderstorms . . . !! . . . . . . . . . . . . . . . 619.3. Introduccin al Mecanismo de Tlloc . . . . . . . . . . . . . . . 639.4. Relmpagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.5. Espritus rojos y Blue Jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    10 Dieltricos 75

    10.1. Dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.2. El Vector de Polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.3. Ecuaciones electrostticas con dielctricos . . . . . . . . . . . . 77

    11 Dentro de los dielctricos 81

    11.1. Dentro de los Dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.2. Dielcticos Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    12 Magnetosttica 87

    12.1. El campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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    ndice general ix

    12.2. La corriente elctrica y Conservacin de la carga . . . . . . . . 8812.3. La Fuerza Magntica en una Corriente . . . . . . . . . . . . . 8912.4. La Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.5. La Relatividad de los Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    13 El campo magntico en varias situaciones 97

    13.1. Un Potencial Vectorial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9713.2. Por otro camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.3. Caso 1: Un alambre infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10413.4. Caso 2: Un solenoide infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10613.5. Caso 3: Un circuito pequeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.6. El Potencial Vectorial de un circuito (otra vez) . . . . . . . . . 11313.7. Les fabuleux Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    14 El potencial vectorial 11714.1. Las fuerzas sobre un lazo de corriente; energa de un dipolo . . 11714.2. Las energas mecnica y elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.3. La energa de las corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . . . 12114.4. B versus A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12214.5. El potencial vectorial y la mecnica cuntica . . . . . . . . . . 12314.6. Lo que es verdadero para la esttica y falso para la dinmica . 124

    15 Corrientes inducidas 127

    15.1. El motor que mueve al mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    15.2. Iluminacin Inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13215.3. La fuerza que mueve al mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13415.4. El mundo que Faraday no vio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    16 Las leyes de la induccin 141

    16.1. La fsica de la induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14116.2. Excepciones a la regla del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14316.3. Aceleracin de partculas por un campo elctrico inducido. El

    betatrn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14316.4. Una paradoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    17 Las ecuaciones de Maxwell 147

    17.1. Las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14717.2. La Fsica Clsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15017.3. Un campo viajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15117.4. La velocidad de la Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15417.5. Resolviendo las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 155

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    x ndice general

    18 Principio de mnima accin 159

    18.1. Principio de Mnima Accin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    19 Solucin de las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacio 165

    19.1. Solucin de las Ecuaciones de Maxwell en el Espacio Vacio . . 16519.2. Ondas en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17119.3. Ondas Esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    20 Circuitos AC 175

    20.1. Los ideales y la Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17520.2. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18120.3. Kirchhoff Dice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18320.4. Energos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18720.5. Una red infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    20.6. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    21 Electrodinmica en notacin relativista 195

    21.1. Cuadrivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19521.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19621.3. El gradiente en cuatro dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . 19721.4. La electrodinmica en notacin cuadridimensional . . . . . . . 19821.5. El cuadripotencial de una carga en movimiento . . . . . . . . . 19921.6. Invariancia de las ecuaciones de la electrodinmica . . . . . . . 199

    Los autores 201

    Las figuras 203

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    Prefacio

    Los autores de este libro, Andrs, Aranza, Martn y Roco, fueron mis alum-nos en el curso de Electromagnetismo I durante el semestre Agosto 08 - Enero09 en la Facultad de Ciencias, Universidad de Colima.

    Decid incorporar la lectura de "The Feynman Lectures on Physics" comoparte integral del curso porque pienso que es una experiencia que se quedarcon ellos toda su vida; algo en uno cambia si se ven las ecuaciones de Maxwellpor primera vez a travs de los ojos de Feynman. La escritura del Wikilibrocorrespondiente1 fue ms que nada una forma de concretizar lo que procesabande las lecturas.

    Al pasar de las semanas fui gratamente sorprendida con el entusiasmo que

    Andrs, Aranza, Martn y Roco mostraban por el Wikilibro. Me di cuentaque descubran no solo las ideas de fsica sino tambin el placer de compartiry difundir lo que uno entiende. Y como el entusiasmo, la risa y el fuego soncontagiosos, todo el esfuerzo y cario que los autores pusieron en la realizacinde este libro no poda sino despertar en mi la voluntad de apoyarlos en todo loque pudiera.

    Alguna gente piensa que un profesor es un encargado de proteger el orden delas cosas en el edificio del conocimiento, de hacer brillar alguna verdad escritaen piedra o que es el gaurdin de la puerta hacia un ttulo. Falso, falso, falso.Ensear es un baile comunal, una acrobacia sincronizada, una orquesta: que

    funcione depende de todos. En las volteretas de smbolos en el aire dependo yode mis alumnos tanto como ellos de mi. Y somos felices todos cuando el bailesale bien, cuando Andrs se agarra la cabeza y exclama que brbaro....nopuede ser o cuando se ve en los ojos de Aranza que -click- ahora si entendi

    1 http://es.wikibooks.org/wiki/Fsica/Lo_que_aprend_leyendo_a_Feynman_-

    _Electromagnetismo

    xi

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    xii PREFACIO

    el experimento del anillo y la bobina o cuando Martn con los ojos fijos en lapizarra dice, como hipnotizado, eso es una onda......

    Al ver la alta calidad del producto final de este experimento pedaggico esclaro que fue un xito. Sin embargo, ms all del contenido en si, ms all de es-tar bien escrito, ms all de lo que aprendieron, creo que este trabajo es valiosotambin como ejemplo de lo que cuatro estudiantes curiosos, inteligentes, in-quietos y muy trabajadores pueden lograr.

    De mi parte, solo me queda agradecer a los autores; nos maravillamos, nosdivertimos y aprendimos juntos. Gracias muchachos, fue un gran baile.

    Colima, Colima, enero de 2009

    Elena Cceres

    [email protected]

    Facultad de CienciasUniversidad de Colima.

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    Agradecimientos

    Agradecemos la participacin de nuestra compaera Karen Ramos Gmezen el inicio de este trabajo, en particular su aportacin al Captulo 8.

    xiii

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    Captulo1

    Introduccin

    La fsica es como el sexo:seguro tiene una utilidad prctica,pero no es por eso que lo hacemos.

    Richard P. Feynman

    1.1. Imaginacin

    Pensemos en un color. El proceso por el cual la luz, proveniente de unafuente externa, sea en parte absorbida y despus reflejada sobre un cuerpo, paraque luego, dicha luz reflejada incida de lleno en nuestro ojo, sea transformada enimpulsos elctricos y finalmente llegue a nuestro cerebro, donde ser percibidacomo color, eso es fsica.

    Pensemos en un sonido. El proceso por el cual las molculas de aire circun-dante son empujadas unas sobre otras por una fuerza externa, sirven de mediopara la transmisin de impulsos ms o menos ordenados, que al llegar a nuestro

    canal auditivo -ubicado en nuestro odo- se aglomeren, sean transformados enseales elctricas y despus, interpretadas como sonido, eso es fsica.

    Pensemos en movimiento: satlites orbitando bajo nuestras ciudades, avesvolando a grandes alturas, un ciclista cuesta abajo imponiendo nuevo record,un ventilador girando, un nio patea un baln y rompe una ventana, eso esfsica.

    Todo es, en buena parte, fsica.

    1

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    2 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

    Esta es la preciada ecencia que se busca trasmitir en este trabajo que tieneen sus manos hoy y que lleva por nombre Leyendo a Feynman. La esencia deque en la cual la naturaleza que rodea al ser humano puede llegar a ser descritay entendida en conocimiento ordenado, para despus ser usado en cuestionestan familiares como hacer una computadora, cargar un telfono celular o veruna telenovela.

    En particular, en el interior de este trabajo se trat de cubrir la naturalezade las cosas relacionadas con la electricidad, el magnetismo y sus misterios.Qu se esconde detrs de los objetos elctricos? por qu hay tanta luminosi-dad en los relmpagos? a qu se debe que un imn atrae objetos? Entre otrasinteresantes cuestiones ms.

    Por otro lado, parte de la labor de un fsico -y de todo cientfico, porextensin- es transmitir aquello que se descubre y entiende para que despus,la semilla pueda en un futuro germinar y luego brinde frutos. Nosotros, co-

    mo estudiantes de fsica, buscamos heredar el entusiasmo y la fascinacin poraprender ms acerca de nuestro entorno natural -en especial, en un ambientelleno de electricidad, magnetismo y ecuaciones de Maxwell- a todos aquellosque, si bien no sern fsicos en toda la extensin de la palabra, s son sereshumanos que se cuestionan, piensan e indagan sobre lo que pasa por el mundo.

    Tambin buscamos limpiar un poco el concepto de lo que un fsico es y hace,ya que es por todo conocido algunos estigmas sobre los que las matemticascausan a los nios en la escuela y sobre lo carentes de espritu cientfico que enla actualidad, nuestra sociedad, es.

    Srvase ste trabajo para demostrar que en nuestro caso, como personas que

    nos gusta lo que hacemos, el concepto de fsica es radicalmente diferente y queen la vida, sea lo que sea, cuando se hace algo con pasin, no hay porqu decirque es difcil.

    1.2. Feynman: Vida y Obra

    Muy seguramente, la niez de Richard Phillips Feynman en la comunidadde Far Rockaway, al sur de Manhattan fue en cierto sentido, de estilo libre yrelajado para su tiempo. Proveniente de una familia juda de clase media, en

    los primeros aos de su vida -durante la dcada de los aos 20s- se dedic ini-cialmente a responder preguntas que su padre Melville, le induca como juegos.Su madre Lucille, mientras tanto, le trasmiti el famoso sentido del humor porla vida que distinguira a Feynman y que lo forjara en actitud como persona.El espritu libre y amor por la ciencia que imperaba dentro de la familia seconsagr al destruir tabes y permitir que la hermana mayor de Richard, Joan,tuviera la oportunidad para los estudios superiores antes prohibidos para una

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    1.2. FEYNMAN: VIDA Y OBRA 3

    mujer y se convirtiera en una productiva astrofsica. Mantener el camino fuequizs la premisa que defini la filosofa de los Feynman.

    Su poca universitaria la pas en el Instituto de Tecnologa de Massachusetts(MIT) donde obtuvo su licenciatura en 1939. Durante ese tiempo conoci a lamujer ms importante en su vida, despus de su madre, quizs: Arline Green-baum. Con ella compartira los retos acadmicos y semejanza de pensamiento,tpicos de toda pareja. Fue en pocas palabras, su confidente. Pero debido acosas de la vida, al final de los preparativos de la tesis doctoral de Feymnanen Princeton, Arline fue diagnosticada con tuberculosis, incurable en aquellapoca. Se casaron en ceremonia sencilla.

    Es por todos conocido el gran poder de energa que existe dentro del tomo.En aquella poca, durante la segunda guerra mundial, se desarroll el famosoProyecto Manhattanque patrocinado por el gobierno y el ejrcito de los Esta-

    dos Unidos, buscaba la construccin de la primera bomba atmica y del cual,Feynman fue partcipe gracias a la intervencin del fsico Robert R. Wilson. Sutrabajo consisti en clculos numricos y resolver las ecuaciones planteadas enla pizarra, por lo que estuvo un tanto alejado de la lnea de accin del proyecto.Durante los fines de semana visitaba a su esposa en un sanatorio en Santa Fe.

    En su estada en Los lamos, Feynman menciona que era un lugar parano hacer nadadebido a su completo aislamiento. De aqu surgen algunas desus ancdotas, como en la cual, l era capaz de abrir los escritorios y cambiardocumentos de dueo, burlndose as de los supuestoscdigos de seguridad queall imperaban. Tambin sola tocar el bongo para el deleite de los presentes y

    para relajarse un poco.Ya al final de la guerra, la tuberculosis de Arline sigui avanzando rpida-

    mente. En julio de 1945, Arline muere. Richard contina y pocos das despusse convierte en uno de los afortunados en presenciar la detonacin de la primerabomba nuclear en Trinity, California.

    Al trmino de la guerra y del proyecto, acepta trabajar en la universidad deCornell. En esta poca de su vida entra en una ligera recesin, al sentirse a smismocarentedel espritu innovador que antes le acompaaba. Una sorpresivainvitacin a formar parte del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton -la

    cual no acepta- y su posterior incorporacin al cuerpo acadmico del Institutode Tecnologa de California (Caltech) inician la faceta de fsico consagrado enla cual todos estamos acostumbrados a escuchar.

    El gran explicadoras lo conocan en Caltech. Cuidaba en gran modo la for-ma y carcter de transmitir ideas y conceptos a su audiencia: jvenes aspirantesa fsicos que lo escuchaban y peleaban por llamar su atencin. El objetivo erano difuminar en ningn momento el entusiasmo y las ganas de aprender que

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    4 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

    con las que muchos estudiantes ingresaban a la universidad y en la mayora delos casos, a medio ciclo, simplemente desaparecan. All haba un problema yFeymnan busc resolverlo.

    Al mismo tiempo, lo que ms le gustaba del ambiente acadmico era quesi no estaba inspirado en sus investigaciones, daba clases y en ocasiones, esole ayudaba a salir del hoyo. As lo demuestran sus los tpicos de sus investiga-ciones:

    1. En electrodinmica cuntica, donde trabaj y desarroll un mtodo paracalcular la probabilidad de transicin de un estado cuntico a otro, que levali el premio Nobel de fsica en 1965. Tambin se invent el desarrollo dela integral de camino, til en mecnica cuntica y los famosos diagramas deFeynman, artilugio simblico para representar de manera simple procesos notan simples como la posible reversibilidad del tiempo en procesos de partculas,

    colisiones y partculas virtuales, entre otros.2. En fsica de superfluidos, donde aplic la ecuacin de Schrdinger al

    problema de la viscosidad del helio liquido, permitiendo as un avance notablea la ferviente rea de la superconductividad.

    3. En la creacin de un modelo de desintegracin dbil que junto con lacolaboracin de otro gran fsico Murray Gell-Mann, lograron que la teora quedescribe la interaccin nuclear dbil -una de las cuatro fuerzas fundamentalesde la naturaleza- se conociera y perfeccionara mucho mejor.

    Fue aqu, con su experiencia en Caltech donde se le invit a ayudar con la

    enseanza de los estudiantes de licenciatura ms en forma. Despus de trabajaren el asunto durante aproximadamente 3 aos, Feynman escribe The FeynmanLectures on Physics, una serie de conferencias dictadas a alumnos de primerciclo consistente actualmente en tres volmenes y del cual, se desprende elvolumen II, que habla acerca de la Electricidad y el Magnetismo en la Materiay junto con la propuesta y apoyo de Elena Cceres, nuestra profesora, inicisirvi de inspiracin este pequeo proyecto.

    El legado final de Richard Feynman, mas all de su muerte ocurrida en1988, fue la de poder trascenderen la mente de sus estudiantes, siguiendo eseespritu libre con el que creci, que lo motiv y le ayud a seguir, en todo

    momento, ante obstculos de la vida; junto con sus enormes ganas de buscarms all de lo posible, una respuesta que sacie las ganas del intelecto humano,para poder as expander la frontera del conocimiento y llevarla a sus lmites.

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    1.3. EXPERIENCIA FEYNMAN LECTURES 5

    1.3. Experiencia Feynman Lectures

    El proceso que se vivi durante todo un semestre, en el cual se aprendimucho y se sufri igual, fue en general, muy emocionante. Se trabaj muy duro

    en cubrir los temas de clase, pero en una manera muy relajada y abierta aldebate. Donde cada clase iba de sorpresa en sorpresa, a tal punto de llegar a laindigestin mental. Como estudiantes de fsica de segundo ao (sophomores),tuvimos la oportunidad de conocer a una de las sper teoras fsicas particu-larmente ms accesible: la teora electromagntica. Sentimos la experiencia dever desfilar por la pizarra, ante nuestros ojos, gran cantidad de ecuaciones tansofisticadas, elegantes y profundas, que valieron la pena el sacrificio de pasardas enteros enfrascados en su entendimiento ptimo.

    Leer The Feynman Lectures fue algo muy enriquecedor. Nos abri el panora-ma en muchos sentidos: tanto en la asimilacin como en la profundizacin de

    conceptos y su posterior implementacin en problemas y cuestiones prcticas.En ocasiones daba la impresin de tener al mismo Feynman explicando a

    detalle frente a nosotros, los contenidos del captulo.Consideramos que aprender la forma de pensar y ver al mundo como lo

    hace un fsico, es lo que a manera de resumen, se logr al leer a Feynman.El proceso de edicin fue de un constante aprendizaje tambin. El primer

    paso consisti en dictaminar los captulos que cada autor iba a leer por separadopara su posterior publicacin en lnea. La utilizacin de programas de edicin enLATEX y comandos de edicin en lnea tuvieron que ser investigados. Aprender asintetizar y a no perderle el hilo al a historia fueron los retos que como autores,

    nos tuvimos que enfrentar.Finalmente y viendo nuestro trabajo terminado, esperamos que sea de

    provechosa lectura y de especial disfrute para la divulgacin del gusto porla fsica, que nosotros nos propusimos a hacer.

    Colima, Col, enero de 2009

    LOS AUTORES

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    Captulo2

    Electromagnetismo

    As como cuando por fin encontramos la llave que nos va a permitir entrara un lugar totalmene desconocido, donde nadie jams ha entrado y en el cualtenemos la certeza de que, tarde o temprano, vamos a descubrir algo intresante,as, con esas msmas ganas, Richard Feynman hereda la adrenalina necesaria allector para poder sumergirse en el mundo del electromagnetismo en este primercaptulo del libro. Lejos de ser un prlogo o una sntesis global del mismo, aquexpreso (en lo personal) los ganchos que permitan descubrir lo interesante desu lectura.

    2.1. Una fuerza muy especial

    Supongamos que queremos hacer un diccionario y queremos empezar adefinir conceptos. Iniciamos definiendo fuerza elctrica. A dicho concepto leatribuimos propiedades, como por ejemplo, asumimos que a la fuerza elctricale gusta la moda de ser simtrica. Por dnde le buscamos? Bien, pues si nosponemos a observar un caso especial, como conectar el cargador del celular,nos damos cuenta de que el enchufe tiene dos orificios...(existen casos dondehay tres, pero para ste caso, da lo mismo), en principio pudieron haber sido

    cuatro, cinco o simplemente uno, pero al final solo existen dos. El punto es quela por la sabidura popular hemos aprendido que en nuestras casas, uno de esosorificios es positivo y el otro negativo. Qu significa esto?

    Ayuda saber que a nivel elemental, la materia de la cual estamos hechos(personas, cargadores y celulares) est hecha de tomos y en los tomos existenpartculas que poseen una propiedad llamada carga elctrica. Aqu radica lasimetra. Existen dos especies de carga, tales que conglomeradas en un grupo

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    8 CAPTULO 2. ELECTROMAGNETISMO

    y dejadas al azar, especies iguales se repelen y especies opuestas se atraen.ste hecho es tan simple que da risa pensarlo por lo comn que es. Pero estan trascendente que vale la pena estudiarlo con detenimiento. Volviendo altomo, sabemos que en el ncleo existen partculas llamadas nucleones (obviasrazones) que son el protn con carga positivay el neutrn con carga neutra, encuyo alrededor giran otras partculas llamadas electrones con carga negativa,como si fuera un minisistema solar. El tomo pues, visto desde afuera es pornaturaleza, neutro.

    Equilibrio. Por qu a primera vista, no estamos tan familiarizados con lafuerza elctrica, pero s con la gravedad? Muchas veces, el desconocimiento dealgo nos causa temor: en sus orgenes el hombre le tema al fuego y al trueno porque no los entenda. A gran parte de las personas les causa temor las cuestioneselctricas porque creen que sufrirn algn dao al manejar cables, aparatos oenchufes. Lo cierto es que la naturaleza de la fuerza elctrica radica es su

    perfecto equilibrio. Los objetos del mundo son neutros porque hay equilibrioentre positivos y negativos. Algo as como el Ying y el Yang elctrico, partesiguales y en cantidades iguales. Podramos vivir en un mundo con aire pararespirar cargado? Quizs pero ante una ligersima descompensacin elctricaen nuestro cuerpo, el acto de respirar sera molesto: se imaginan tener toquesen los pulmones?

    La fuerza elctrica ha estado con nosotros desde siempre, al igual que lagravedad y que otras cuestiones fsicas, solo que sus manifestaciones son porcausas de desequilibrios. Qu curioso, nos damos cuenta de que algo existe porque deja de funcionar ordenadamente. Peor que un desequilibrio hormonal, un

    desequilibrio de cargas del menos del 1en el cuerpo de algn mortal creara unafuerza de repulsin tan grande que bien podra mover la tierra. Hagan clculos.

    Cabe mencionar de que el hecho de que se le haya asignado el nombre decargapositivaa la partcula llamada protn y carga negativaal electrn es unamera convencin. Bien pudo haber sido al revs: electrn carga positiva y protncarga negativa. Una manera de evitar confusiones en fsica como las del tipoconversin de unidades es aceptar normas estndar para algunos conceptos, ysta fue una de ellas. No existe diferencia real subjetiva entre cargas de la mismaespecie, slo que se repelen. Si a las que llamamos positivas las ordenamosen una cajita, dado que tienen la misma carga, todas lucirn idnticas. Lo

    mismo pasar con las que llamamos negativas. Pero ya hemos inducido que simezclamos las cajas, se armar una revolucin por las atracciones y repulsionesentre ellas. Qu hace que un protn y un electrn se atraiga y dos electronesse repelan? El concepto mismo de fuerza.

    Parte del xito de Newton fue explicar matemticamente algo tan comncomo la fuerza entre dos cuerpos (en su caso, fuerza gravitatoria). Para nuestrocaso, una fuerza especial que se tratar es la fuerza elctrica arriba presentada.

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    2.1. UNA FUERZA MUY ESPECIAL 9

    Figura 2.1: Las cargas elctricas de los tomos del suelo evitan que las llaveslos traspasen

    A los fsicos nos gusta medir, y en cierto punto, medir es comparar. Hagamosapuestas. Si fuera una pelea de box, a qu fuerza le apostara que va a ganar,a la fuerza gravitatoria o a la fuerza elctrica? A la gravedad la vemos todos

    los das: nos permite mantener los pies en la tierra aunque nuestro ego no loest, hace que el mar no salga disparado y que la galaxia completa se mantengacompacta girando alrededor del superhoyo negro en la constelacin de Sagitario.A la fuerza elctrica la vemos ms tmida en los motores elctricos, en algunasdescargas de fusibles siempre tan colorida de chispas y hasta cuando andamosdescalzos en una alfombra y queremos abrir la puerta, sentimos toques.

    A primera vista, gravedad gana porque qu se compara con mover un plan-eta a sentir toques.Pero, se han puesto a pensar qu pasa cuando a uno se lecaen a uno las llaves? Bueno, pues no pasa de que lleguen al suelo y ya. Ynada ms? Es un hecho de que por la simple razn de que un cuerpo tenga

    masa, ste atrae a otros cuerpos en forma radial. La tierra, atrae a la luna,satlites, edificios, personas y llaves a su centro, de manera natural. Pero parael caso de las llaves, estas no pasan del suelo porque simplemente, no pueden,ya que algo las detiene. Y ese algo es la fuerza elctrica. Pensemos qu es loque sucede a nivel atmico. Al contacto con la superficie del suelo, los tomosdel las llaves al caer sienten a los tomos del suelo.

    Los electrones en la superficie tambin sienten la influencia de sus colegas en

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    10 CAPTULO 2. ELECTROMAGNETISMO

    las llaves. La fuerza elctrica de repulsin entr stos aparece forzando a toda lamasa de las llaves a detener su camino, liberando energa en forma de sonido,calor, etctera. As pues, la cruda realidad es que la simple rea delimitadapor las llaves genera una fuerza elctrica de repulsin suficiente como paradetenerlas de la cada producida por la fuerza de atraccin de toda la tierra.Increble, no?

    Ms increble es, que la razn por la cual sentimos por medio del tacto,es debido a la estimulacin de las fuerzas elctricas de repulsin de nuestrossensores en la piel. La nocin de contacto se reduce a repulsin. Cuando noscortamos, la presin que se genera en cierta rea de nuestra piel es tal que lafuerza de repulsin cede y se abre paso, dejando entrar el objeto que hiere, lapiel entonces se rasga pero jams toca la superficie del alfiler (por ejemplo).

    Otra vez dentro del tomo pensemos por qu ste no colapsa? Sabemos queexisten fuerzas elctricas muy fuertes en comparacin con la gravedad, por qu

    hay estabilidad en el tomo ms simple, que es el de hidrgeno, siendo que hayexactamente una carga positiva y una carga negativa? sta pregunta es muyimportante, ya que el hidrgeno est presente en mltiples organismos y engeneral, en todo el universo. Debera ser inestable. Pero otra vez, la naturalezasorprende. La respuesta viene de la Mecnica Cuntica.

    Ya vimos que dos superficies no se tocan, sino que es la fuerza de repulsinelctrica la que a escala microscpica las separa. Ahora en lugar de superficiestenemos un electrn en la mano izquierda y un protn en la mano derecha.Claramente sentimos una fuerza atractiva entre estos dos objetos. Pero no hayque olvidar que estamos en el mundo subtatmico y las cosas son muy diferentes

    a las vistas en nuestro mundo. La fsica es diferente a diferentes escalas.Si acercamos el electrn al protn, debido al principio de incertidumbre de

    Werner Heisenberg, debe existir un momento o cantidad de movimiento, queen trminos matemticos se expresa:xp el trmino de la derecha es delorden de 1034, muy pequeo pero distinto de cero. Grande comparado conlas escalas subatmicas. El punto es, que si acercamos ms y ms el electrn alprotn, la distancia entre ellos tiende a cero, pero la cantidad de movimientotiende a infinito. O sea, nuestra pobre mano izquierda se mover tan salvaje-mente conforme la acercamos a la derecha que quizs va a llegar un lapso enel que salga volando por los aires. Y todo por acercarla ms y ms al protn

    de carga positiva. Rara sutileza.Las rbitas atmicas obedecen ste principio y todo gira alrededor del equi-

    librio energtico. Ya visto pues que el tomo de hidrgeno no colapsa, porqu el ncleo mismo de tomos ms pesados no se desintegra siendo que esthecho por partculas de igual carga que deberan repelerse? En la naturalezaexisten hasta la fecha, cuatro interacciones fundamentales. Se les llama formal-mente interacciones en lugar fuerzas porque a nivel bsico, a cada fuerza se

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    2.1. UNA FUERZA MUY ESPECIAL 11

    le asocia una partcula portadora de dicha fuerza, que es intercambiada porotras partculas que sienten dicha fuerza a manera de interaccin: siento yte respondo, etctera. Esta idea viene de la fsica de partculas. Las cuatro in-

    Figura 2.2: Grfico de la fuerza nuclear fuerte versus la fuerza electromagnticaen los radios atmicos

    teracciones son la gravedad, la electromagntica, la nuclear fuerte y la nucleardbil. Para responder a esta pregunta haremos uso de la interaccin nuclearfuerte. Como su nombre lo indica, es la ms fuerte de todas, slo que su radiode accin es, por desgracia, el ms corto de todas, ya que queda confinadoal radio de un tomo promedio. Otra peculiaridad es que su magnitud como

    fuerza decrece ms rpido que 1/r2, que es la tasa de decaimiento de la mag-nitud de la fuerza elctrica. As, para tomos con radios nucleares pequeos,es increblemente poderosa, pero conforme el nmero atmico crece, se haceinestable ya que entra en conflicto con las interacciones de protones con otrosprotones.

    Imaginemos un globo de plstico que puede contener cierta cantidad decanicas, conforme le vamos agregando ms y ms canicas, el globo crece perollega al limite de que con cualquier movimiento brusco ste se rompa liberandotodo su contenido. Lo mismo pasa con el tomo de uranio con 92 protones. Estal la disputa entre la fuerza nuclear y la elctrica repulsin en el ncleo, que

    cuando se le llega a aventar un simple neutrn, se desencadena un rompimientoque libera trozos de tomo y partculas alejadas por la repulsin que por finsale a flote.

    La energa aqu descrita es la que se genera en una bomba atmica.Es rarode decir, pero la energa que se libera en una desintegracin nuclear es 100 %elctrica. Los trozos salen disparados porque se odian, se repelen. Pero lo quesiempre se destruye en el ncleo. Por eso lo de fisin nuclear.

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    12 CAPTULO 2. ELECTROMAGNETISMO

    2.2. Sentir de lejos

    El hecho de que yo traiga un vaso con agua desde la mesa del comedorhasta mi cuarto sin haberme levantado puede deberse dos cosas: a que sea yo

    el hombre elstico o a que tengo el poder de la accin a distancia. Por otro lado,cuntas veces no hemos soado con poder influir en las personas, con el meropoder del pensamiento(para lograr algn objetivo, digamos, copiar un exameno saber si nos gusta)?... Pues una carga elctrica parece que s lo puede hacer.Dejada en el vaco, una electrn extiende su influencia por todo el espacioafectando las vidas de lo que sea que tenga carga, igual u opuesta, a la suya.Un imn, a cierta distancia de una mesa llena de herrumbre de fierro, puedemover a las partculas de metal a su antojo dentro de un cierto rango. Cmopodemos entender estos fenmenos? En qu se sustenta el poder sentir delejos?

    Estrictamente hablando, un campo es una funcin matemtica que vara enel espacio (no es la definicin formal, pero nos ayudar). El ejemplo clsico esel de la temperatura en un cuarto: si nos ponemos con un termmetro juntoa la ventana, puede que la temperatura sea alta a comparacin de debajo dela cama, o viceversa. Para cada punto del espacio podemos imaginar un ter-mmetro que mide la temperatura all exactamente y que conforme recorremosla habitacin, vara su lectura. A un conjunto de cantidades numricas quevaren con la posicin, se le llama campo escalar. Por Newton, sabemos que lafuerza es una magnitud vectorial. Fuerza y campos elctrico Ey magntico Bson proporcionales a la carga y est relacionados por la fuerza de Lorentz:

    F =q[ E+ v B]

    Entonces, Ey Bsern campos vectoriales. El sustento por el cual una cargainfluye en el espacio se basa en ste tipo de campos. Vale la pena recordar queen esencia, vector es ms que una simple flechita. Es un objeto matemticoque posee magnitud o tamao, y direccin (hacia a dnde apunta), que siguereglas matemticas formales y que le facilita la vida a los fsicos en su afn deresolver algunos problemas.

    Un hecho interesante de los campos E y B es que se pueden superponer.

    La idea clsica se visualiza en que dos ondas sumadas en fase producen unaonda con el doble de amplitud. As pues, una carga Qde prueba, alejada ciertadistancia, sentir el doble de magnitud de campo Esi ste es generado por doscargas. En pocas palabras, para los campos arriba mencionados se les puedesumar y restar la cualidad de influencia: para E, ms cargas es ms influencia.

    Existen otras propiedades que hacen un poco ms entendible la nocin decampos vectoriales. Matemticamente, se puede definir la propiedad deflujotal

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    2.3. LAS CUATRO FANTSTICAS 13

    como estamos acostumbrados: a la orilla de un ro, podemos ver cmo el aguacorre en una direccin, decimos entonces que fluye. El flujo vectorial consisteen que en lugar de que sea una cantidad compacta de materia, como lo puedeser el agua, sean vectores los que apunten en dicha direccin de fluidez y seanlas trayectorias tangenciales de stos, o sea, las lineas de campo (vectores enfila india) los que provean el flujo. Entonces quedara que:

    Flujo= (componente normal promedio) (area de superficie)

    La componente normal promedio no es mas que la componente perpendic-ular a el rea de superficie (ver figura). La magnitud del flujo vectorial depen-der de cuntas componentes normales pasen a travs de cierta rea. Decimosque una superficie es cerrada si podemos caminar sobre ella y jams encon-traramos un borde o abismo (una esfera) y decimos que una superficie no es

    cerrada cuando dicha superficie est delimitada por una frontera (o abismo).La otra propiedad caracterstica de los campos vectoriales es sucirculacin.

    Cuando le bajamos al bao, el agua del retrete se hace remolino alrededor deun punto (la tubera del cao). Cuando un nio corre con su rehilete por elparque, ste gira porque el aire circula por la superficie de plstico. Cuando uncampo vectorial rota, su circulacin est dada por:

    Circulacion=

    (componente tangencial promedio) (distancia recorrida)

    As pues, las corrientes que ascienden por el vrtice de un huracn gener-an una serie de fuerzas que poseen componentes vectoriales tangenciales a sutrayectoria, lo que provoca una espiral que bien puede medirse por medio de lacirculacin. Otro nombre para esto es rotacional vectorial.

    Las ideas de campo, flujo, rotacional (y un poquito de lineas de campo)permiten una comprensin de lo que fsicos como Faraday y Newton sabanpero no podan describir: cmo influir de lejos?

    2.3. Las cuatro fantsticas

    Termino esta parte del captulo con una descripcin breve y general de loque son las cuatro ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo.

    La primera ley en electromagnetismo se deriva de un super teorema matemti-co hecho por uno de los grandes: Gauss. La as llamada ley de Gauss describeel flujo total del campo elctrico:

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    14 CAPTULO 2. ELECTROMAGNETISMO

    El flujo de Ea traves de cualquier superficie cerrada =1

    0(la carga total encerrada)

    Qu significa sto? Puede pasar que tengamos una carga elctrica y quer-emos saber cunta es. Lo que hacemos es encerrarla en su respectiva superficiegaussiana (esfera, cilindro, cubo, etc, pero que sea completamente una super-ficie cerrada) y contamos cuntas lneas perpendiculares de campo pasan atravs de la superficie. Que cmo le hacemos para contar las lneas de campo?pues evaluamos una funcin dada, correspondiente a la forma que tendra (enflechitas) el campo elctrico en el espacio (como una foto tridimensional de laslneas de campo)en una integral cerrada, cerrada porque corresponde al reade la superficie gaussiana) y ya...

    La segunda ley corresponde a la segunda propiedad caracterstica generalde los campos vectoriales: la circulacin rotacional. Si tomamos una curvaarbitraria en el espacio y medimos el rotacional del campo elctrico alrededorde dicha curva, en general no es cero. Entonces en electricidad:

    Para cualquier superficieS (no cerrada) delimitada por una curvaC (lasuperficie de una hoja de papel S est delimitada por un borde , que es unalinea cuadrada C; la superficie S de un vaso est delimitada por el borde dondetomamos, que es un crculo C, etc) se tiene que:

    La circulacin de Ealrededor deC =d

    dt (flujo de B a traves deS)

    Electrodinmica pura! (Ley de Faraday)! descifremos el lado derecho de laecuacin: imaginemos un aro de metal y una imn en barra. Si acercamos elimn al centro del aro las lneas de campo pasarn a travs de la superficie cir-cular que genera el aro. Ahora, si lo empezamos a mover dentro y fuera del aro,las lineas de campo se ven afectadas y cambian en funcin del tiempo, entonces,segn la segunda ecuacin de Maxwell, en el aro se generar una componentetangencial del campo E tal que har circulacin en dicha trayectoria. Nteseque cuando la razn de cambio de el imn para con el aro no depende deltiempo (esto es, constante) el rotacional del campo elctrico es cero y se puede

    apreciar de la imagen de las lneas de campo que genera una carga elctrica enreposo: su campo es radial y para nada posee componentes tangenciales.Completaremos las leyes de Maxwell describiendo las propiedades del campo

    vectorial magntico:

    ElflujodeB a traves de cualquier superficie cerrada S= 0

    Interpretacin: Se pueden separar los polos magnticos de un imn? Esto

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    2.3. LAS CUATRO FANTSTICAS 15

    es, puede existir algn material que visto por donde sea, genere slo atraccinmagntica negativa o slo atraccin magntica positiva? existen los monopolosmagnticos (cargas magnticas)? Esta simple pregunta tiene mucho romanti-cismo y radica en que se rompe con la belleza esttica (aunque fra) de lanaturaleza matemtica y de la teora fsica. La ecuacin anloga a esta fue lamisma ecuacin de Gauss, que dice que si sabemos el flujo total a travs dela superficie cerrada, entonces sabemos cuanta carga encerrada hay. Pero estofunciona porque cada lnea de campo radiada por un protn, por ejemplo,sale de la superficie y jams entre, por lo que no se cancela y se puede tomar encuenta. En pocas palabras, las lineas de campo magntico con curvas cerradas,aros, para nada lneas rectas que divergen ms y ms unas de otras, sino quesalen de la superficie de la cual, hipotticamente se podra encerrar una cargamagntica, y vuelven a entrar por el otro lado, cancelando el flujo total. Has-ta hoy, no se ha descubierto una carga magntica. Tericos como Paul M.

    Dirac inventaron teora profunda que llega a predecir, bajo ciertas condiciones,la existencia de dichos monopolos. Est por verse.

    Si algn da una persona le dice que:

    c2 (circulacion deB sobre C) = d

    dt(flujodeE a traves de S)+

    1

    0(flujodeunacorrienteelectricaatravesdeunareaS)

    no lo juzgue por loco, sino que ms bien, apidese de l, porque puede quesea un estudiante de fsica declamando la ley de Ampre y ltima ecuacin

    de Maxwell del electromagnetismo. Aqu se cierra el ciclo, ya que as como sevio que un campo magntico variable generaba un campo elctrico, tambinpasa lo contrario: que un campo elctrico variable genere un campo magntico.Podemos decir algo de esta ecuacin en un ejemplo de magnetosttica. Unacorriente elctrica constante (electrones movindose) en un alambre genera uncampo magntico circular como se ve en la figura. Si evaluamos la integral dela magnitud de campo magntico sobre esa trayectoria circular encontramoscunta corriente pasaba por el alambre. Sutiles recuerdos a la ley de Gauss...

    Histricamente, se hace alusin a estas cuatro ecuaciones como las ecua-ciones de Maxwell. Corren rumores que antes ya se haban publicado y que

    esto no es ms que un plagio del dichoso Maxwell. Otra vez, ms romanticismoal asunto. Lo que s podemos estar seguros es que el intelecto de ste granfsico escocs sent las bases de un sueo llamado unificacin. Para el mundode la fsica, no hay nada ms bello que poder describir a la naturaleza con lamenor cantidad de esfuerzo en trazos de tinta y gis que se gastan al escribirecuaciones. Maxwell uni con estas ecuaciones dos mundos que antes parecancompletamente alejados, dos caras de la misma moneda. No hay mejor ejemplo

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    16 CAPTULO 2. ELECTROMAGNETISMO

    de unificacin a nivel bsico, la electricidad y el magnetismo, el electromag-netismo.

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    Captulo3

    Clculo diferencial vectorial

    Por qu es importante el calculo diferencial en la fsica?. En nuestro mun-do todo tiene una determinada posicin en el espacio, pero no todo se quedaen la misma posicin ya que va cambiando debido a diversos factores. Estosfenmenos podemos verlos matemticamente y podramos utilizar el clculovectorial para tratar de explicarlos y comprenderlos. Para este debemos cono-cer perfectamente algunas leyes, propiedades y formulas para luego tratar deaplicarlas a determinados fenmenos fsicos.

    Comenzaremos este captulo definiendo los campos escalares y vectoriales.Un campo escalar: es una regin donde un solo nmero caracteriza una serie

    de puntos como por ejemplo la temperatura, la longitud, el tiempo y la masa.Un campo vectorial es una regin donde se da un vector para cada puntoen el espacio, pero este vector tiene mdulo, direccin y sentido y adems varade un punto a otro, por ejemplo la velocidad, la fuerza y la aceleracin.

    Describiremos algunas propiedades de los vectores,

    A=vector (Ax, Ay, Az) =componentes

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    18 CAPTULO 3. CLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL

    A B=escalar= AxBx+ AyBy+ AzBz(3.1)

    A B = vector( A B)z =AxBy AyBz( A B)x= AyBz AzBy( A B)y =AzBx AxBz

    (3.2)

    A A= 0 (3.3)A

    ( A

    B) = 0 (3.4)

    A ( B C) = ( A B) C (3.5)A ( B C) = B( A C) C( A B) (3.6)

    Analicemos un ejemplo de campo vectorial, el flujo de calor. Imaginemosque tenemos un bloque de algn material y que su temperatura sea alta en unpunto y baja en otro, esto significa que la temperatura va variar de un puntoa otro. Adems recordemos que el calor se propaga del punto caliente el fro,por lo tanto fluir en diferente direccin en cada punto del bloque. Tambinmencionamos el mdulo en las propiedades de campo vectorial, en este casosera la cantidad de energa trmica que atraviesa por unidad de tiempo y desuperficie en un punto.

    El Gradiente

    Representa el grado de variacin espacial de un campo escalar. En el casode la temperatura (T) sera su variacin entre un punto y otro.Pero comosaber que la temperatura es un escalar?. Imaginemos otra vez nuestro bloque,si rotamos nuestro sistema de coordenadas, esta rotacin no cambiara la tem-peratura ?total?, nicamente las coordenadas varan. Para un campo escalar se escribira

    = x

    x +

    yy+

    zz

    El operador nabla () representa el grado de variacin espacial de algnescalar, su direccin es aquella en la que puede tomar el mayor valor posible, osea donde el campo vara mas rpidamente. Este operador acta sobre cualquiercampo escalar.

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    Podemos usar nabla para un vector cualquiera como F. Sabemos por laspropiedades de los vectores que el producto punto entre dos vectores es unescalar. A esto se le llama Divergencia:

    F= Fx

    x

    + Fy

    y

    + Fz

    zAl aplicar el operador nabla a un rotacional tendremos un vector:

    F =

    Fzy

    Fyz

    x +

    Fxz

    Fzx

    y+

    Fyx

    Fxy

    z

    Derivadas segundas de los campos vectoriales

    a)div (grad f) = (f)

    b) curl (grad f) = (f)c)

    grad (div v) = ( v)d)

    div (curl v) = ( v)e)

    curl (curl v) = ( v)

    Si analizamos el caso b), veremos por las propiedades de los vectores quetiene la misma forma que A ( A B) = ( A A) B = 0El caso d) tiene la mismaforma que A ( A B) = 0.

    Entonces podremos decir:b)

    curl (grad f) = (f) = 0d)

    div (curl v) = v= 0De estos casos podemos enunciar dos teoremas.

    Teorema 1:

    Si A= 0existe un tal queA=

    Teorema 2:

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    20 CAPTULO 3. CLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL

    Si D= 0existe un Ctal que

    D= C

    Ahora analicemos el caso a). De este tendremos un nuevo operador llamadoLaplaciano (2). Este operador es un escalar y opera sobre cualquier sistemade coordenadas. Tambin aparece en el caso e) Por lo tanto tendramos:

    a)div (grad f) = (f) = 2f

    e) v= ( v) 2v

    Peligros

    Consideremos la siguiente expresin:

    ( ) ( )A primera vista pensaramos que es igual a cero, pero debemos hacer notar

    que y pueden ser diferentes escalares, por lo que el tomar el gradiente decada uno de ellos nos daran diferentes vectores y eso implica que el rotacionalya no tendra que ser cero.s

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    Captulo4

    Clculo integral vectorial

    Las leyes del electromagnetismo estn escritas en lenguaje matemtico. Sebasan en teoremas bsicos que describen a la teora de campos y estos sonde tal trascendencia como el teorema de la conservacin de la energa es a lamecnica de partculas.

    La base slida en la cual se formula la teora fsica asegura una compren-sin importante y profunda de sus manifestaciones. Un edificio con cimientosresistentes permite una estructura confiable y duradera.

    Una ligera desventaja consiste en que alguien con pocos conocimientos pre-

    vios de teora matemtica (de campos) dificilmente entender y apreciar losencantos de unas ecuaciones, que si bien son abstractas, encierran un mundode cosas tan cotidianas y tan bsicas como una aurora boreal o una cmaradigital.

    4.1. Primer Teorema

    Hablemos de cunto cambia una cantidad con respecto a otra. El gradientede una funcin vectorial representa cunto ha cambiado una magnitud vectorialen un campo con respecto a otra magnitud. Hay que recordar que el gradiente

    de una funcin es la generalizacin del concepto de derivada y que el gradientemismo de una funcin da una cantidad escalar (nmero). Dado que el gradi-ente representa en s la razn de cambio en un intervalo, si sumamos todas lasrazones de cambio en un rango ms grande, podemos obtener el cambio total.Un ejemplo sera el de querer medir la altura de una escalera, pero no conta-mos con una cinta mtrica sino con solamente, un palillo de madera. Podemosempezar de la base he ir trazando lineas dnde empieza y dnde termina el

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    22 CAPTULO 4. CLCULO INTEGRAL VECTORIAL

    palillo, haciendo una trayectoria lineal ascendente sobre el piso y luego sobrela escalera misma, despus, sumamos todos los intervalitos para conseguir unarazn total. La idea de sumar pedazo por pedazo nos dar lo mismo si hace-mos la diferencia de la altura superior menos la inferior (base) con una cintamctrica. Esto se resume en el siguiente teorema:

    (2) (1) = 21

    dl T eorema de Gradientes (4.1)

    La integral anterior es llamada integral de lnea y es porque el diferencialdscorresponde a una curva len la cual se traslada la direccin de la razn decambio. Obsrvece que solo nos interesa la componente paralela a la trayectoria(por eso el producto punto). Las integrales de lnea son el lmite de una sumade los componentes paralelos a la trayectoria de la funcin gradiente.

    4.2. Segundo Teorema

    Pongamos una bolsa de plstico alrededor de una foco en el techo. La can-tidad de lneas de luz que atraviesan la bolsa es proporcional a la intensidadluminosa del foco. Entre ms potente sea la luz que emana, mayor sern laslneas que atraviesen a la bolsa. Pero si ahora tomamos una bolsa de plsticoms grande (un costal) y con ella encerramos al foco, la cantidad de lneas deluz que emanan del foco y que atraviesan a la superficie debe ser la misma,ya que conservamos el mismo foco. Lo que cambi fue la densidad de lneas

    de luz que atraviesan la bolsa. Ahora bien, slo nos interesan los rayos de luzque salgan perpendicularmente a la bolsa, no nos interesar contar a aquellosrayos misteriosos que se curven o salgan desviados por algn objeto material.As pues, definimos un diferencial de rea sobre cualquier superficie como elproducto:da= dxdy

    Entonces, todas aquellas lneas de flujo perpendiculares a este diferencial derea, sern tomadas en cuenta para calcular el flujo neto total. Gauss estableciesa propiedad para redactar el siguiente teorema:

    superficie

    C

    ds=

    volumen

    (

    C)dv T eorema de Gauss (4.2)

    y se interpreta como sigue: del lado izquierdo tenemos una funcin vectorialCque cambia con la posicin. Se toman todas las componentes de dicha funcinque tengan la misma direccin que el rea de la superficie S y se suman. Dellado derecho vemos una operacin vectorial: la divergencia de C. Puede decirseque mide cunto se separan unas de otras las lneas generadas por la funcinC dentro del volumen V. De aqu sale directamente la primera ecuacin de

  • 7/27/2019 Notas Cientificas Sobre La Obra de Feynman

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    4.3. TERCER TEOREMA 23

    Maxwell: Si encerramos una carga dentro de una superficie esfrica: el flujo quesale perpendicular a la superficie ser igual a la carga encerrada.

    4.3. Tercer TeoremaPensemos en una red de alambre tirada en el suelo, donde existen celdas

    interiores irregulares pero definidas, como una malla de tenis o un colador.Dicha red tiene forma de una rodaja de papa. El teorema de Stokes afirma quela suma de las componentes tangenciales de una funcin Cpor la lnea l quedelimita la red es igual a la suma de las componentes normales de la operacin Csobre toda el rea S.O sea, que a una lnea de campo que rote sobrela lnea que delimita una superficie estar relacionada con las lneas de campoque pasen a travs de la superficie.

    linea

    C dl=

    superficie

    ( C) da T eorema de Stokess (4.3)

    4.4. Observaciones Importantes

    Se termina el captulo con algunos hechos interesantes sobre el clculo inte-gral vectorial. Si pintamos una linea de gis que simbolizar nuestro andar de lapuerta de la cocina a la sala, sin duda, ser una trayectoria con longitud dada.Pero si seguimos trazando nuestra lnea ahora de regreso al punto de parti-

    da, el cambio total de posicin ser cero, porque llegamos a donde partimos.Matemticamente, este hecho significa:

    cerrada

    dl=

    volumen

    ( C)dv (1) (4.4)

    Utilizando el teorema de Stokes podemos concluir que:S cerrada

    ()da= 0 (4.5)

    o sea que: = 0

    Pensemos un momento en las lneas de campo elctrico generadas por unacarga en el vaco.

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    24 CAPTULO 4. CLCULO INTEGRAL VECTORIAL

    ? Pasar lo mismo al revs? Observemos un caso, digamos, al amarrar unabolsa. Pensemos que en el borde de dicha bolsa existe un cordn. Entonces, lacurva que delimita a la bolsa es dicho cordn y la superficie es la de la bolsa.Conforme vamos cerrando la bolsa, la curva se hace cada vez ms pequea,pero la superficie est igual. El problema estriba en que si ltiende a ser cero,entonces la integral

    S

    ( M) da= 0

    Usando el Teorema de Gauss podemos relacionar este hecho y quedara:S cerrada

    ( M)da=

    volumen dentro

    ( M)dv (4.6)

    volumen dentro

    ( (M)dv= 0 (4.7)

    y como esto es general para cualquier campo Men cualquier volumen, loser tambin para todo punto:

    ( M) = 0entonces, el divergente de un rotacional ser cero siempre. As son las cosas.

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    Captulo5

    Electrosttica

    En electrosttica las ecuaciones de Maxwell no dependen del tiempo, lascargas estn fijas en el espacio por lo que las ecuaciones de Maxwell se escribende la siguiente manera,Electrosttica:

    E= 0

    E= 0

    Magnetosttica:

    B= 0

    B= 0Js

    En el caso esttico se puede ver que la electricidad y el magnetismo son

    independientes el uno del otro.

    5.1. Ley de Coulomb

    Esta ley nos dice que la fuerza entre dos cargas en reposo es directa-mente proporcional al producto entre las cargas e inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia que las separa:

    25

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    26 CAPTULO 5. ELECTROSTTICA

    F = 1

    40

    q1q2(r1 r2)|r1 r2|3 =

    1

    40

    q1q2r2

    r21

    Cuando solo nos interesa la fuerza entre cargas puntuales existe un principiollamado desuperposicinque nos dice que la fuerza sobre cualquier carga es lasuma vectorial de las fuerzas provenientes de cada una de las otras cargas.

    5.2. Campo Elctrico

    Ahora podemos introducir el concepto de campo elctrico que es la fuerzaproducida sobre una carga. No necesariamente debe haber una carga en el puntodonde queremos calcular el campo elctrico, tal vez solo queremos conocer elcampo en algn punto del espacio.

    F12 =q1 E12

    El campo elctrico en el punto 1 producido por q2 esta dado por,

    E12 = 1

    40

    q2r2

    r21

    Tambin podemos aplicar el principio de superposicin que sera el campoproducido sobre una carga o sobre un punto determinado es la suma del campoelctrico producido por cada carga.

    E=

    ni=1

    Ei = 140

    ni=1

    qir2r

    Si consideramos el caso de una carga dispersa de manera continua en unvolumen dV cualquiera le llamaramos densidad de carga (r). Donde r nos dalas coordenadas del diferencial de volumen.

    Entonces el diferencial de carga sera:dq= (r)dV

    5.3. Potencial Elctrico

    Se define como el trabajo realizado para llevar una carga de un punto aotro. Para realizar este trabajo debemos vencer una fuerza elctrica, en estecaso queremos mover nuestra carga del punto A al punto B.

    WAB =

    BA

    F dl= q B

    A

    E dl

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    Captulo6

    Aplicaciones de la Ley de Gauss

    Existen dos leyes de fundamentales de las cuales se obtienen todas laspredicciones de la electrosttica: la que dice que el flujo de un campo elc-trico de un volumen es proporcional a la carga dentro (conocida como Ley deGauss) y la que dice que la circulacin de un campo elctrico es cero. Aqu lastenemos en su forma diferencial

    E= 0

    E= 0

    6.1. Equilibrio

    Consideremos tres cargas negativas en las esquinas de un tringulo equi-ltero en un plano horizontal, si ponemos una carga positiva en el centro, Qupasara con sta carga? Permanecer ah? Es claro que la fuerza neta es cero,pero, la carga est en un punto de equilibrio estable? La respuesta es no, nohay puntos de equilibrio estable en ningn campo elctrico, excepto justo enlos puntos donde se encuentran las otras cargas.

    La ley de Gauss nos explica fcilmente porqu: primero, para que una cargase encuentre en equilibrio en un punto, digamos P, el campo debe ser cero;segundo, como el equilibrio debe ser estable, requerimos que si movemos unpoco la carga de P, exista una fuerza que la regrese al punto P, pero esto noes posible de acuerdo a ley de Gauss. Para que el punto P sea de equilibrioestable, necesitamos que el campo apunte hacia P. Imaginemos una superficieque encierra al punto, claramente el flujo debe ser un numero negativo, pero

    27

  • 7/27/2019 Notas Cientificas Sobre La Obra de Feynman

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    28 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

    como no tenemos carga dentro de la superficie, el flujo es ser cero, por lotanto, no es posible balancear una carga positiva en el espacio vaco. El mismorazonamiento funciona para el caso de un arreglo de muchas carga.

    Ahora ya sabemos que no hay punto de equilibrio estable en un campoelctrico debido a un sistema de cargas fijas, pero, Qu pasa con un sistemade conductores cargados? Pueden producir un campo con puntos de equilibrioestable? Ya sabemos que las cargas se mueven libremente en la superficie de losconductores, podemos pensar entonces que quiz al mover un poco la carga,las cargas en la superficie del conductor se muevan de manera que produzcanfuerzas restauradoras; pero no, no es as. Veamos porqu: primero recordemosque la fuerza es el negativo del gradiente del potencial, ahora notemos quecuando las cargas se redistribuyen en la superficie de los conductores, slopueden hacerlo si su movimiento reduce su energa total, un poco de energa sepierde en forma de calor. Si las cargas que producen el campo son estacionarias,

    existe cerca de cualquier punto cero en el campo una direccin hacia la cul,si movemos la carga, disminuimos la energa del sistema, entonces cualquierreajuste de las cargas del conductor solo disminuye aun ms la energa potencialdel sistema, incrementando la fuerza en esa direccin particular, alejando anms la carga en vez de regresarla al punto de equilibrio.

    Esto no significa que es imposible balancear una carga en un campo elctri-co, esta puede ser sostenida en un punto por campos elctricos si es que estosson variables, pero no en el caso de campos estacionarios.

    6.2. Los tomos

    Una vez, tratando de describir la configuracin atmica, Thomson propusoun modelo en el que sugera que la carga positiva de un tomo estaba distribuidauniformemente en una esfera y que los electrones estaran fijos distribuidos enla esfera como pasas en un pan con pasas. Pero Rutherford concluy, a partirde los experimentos de Geiger y Marsden que la carga positiva estaba msconcentradas, como en un ncleo. Como consecuencia de esto el modelo deThompson tuvo que ser abandonado.

    Rutherford y Bohr sugirieron entonces que el equilibrio deba ser dinmico,

    con los electrones girando en rbitas alrededor del ncleo, pero existe un prob-lema con esta explicacin, nosotros ya sabemos que este movimiento en circuloes acelerado, por lo que el electrn debera estar radiando energa, y cayendoen espiral hacia el ncleo. ste modelo resulta ser tambin inestable.

    Ahora, la estabilidad del tomo es explicada por la mecnica cuntica. Lafuerza elctrica atrae al electrn tanto como puede hacia el ncleo, pero elelectrn esta obligado a mantenerse a cierta distancia dada por el principio de

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    6.3. EJEMPLOS DE LA LEY DE GAUSS 29

    Figura 6.1: Lnea infinita con carga

    incertidumbre. Si el electrn fuera confinado a un espacio muy muy pequeo,su momento sera muy grande, y con ello vendra asociada una gran energaesperada, lo que le permitira al electrn escapar de la atraccin elctrica. El

    resultado es un equilibrio elctrico.

    6.3. Ejemplos de la ley de Gauss

    La ley de Gauss puede ser usada para resolver problemas de campo elctricoque involucran una simetra especial, que puede ser esfrica, cilndrica o plana.Revisaremos los tres casos:1) Simetra cilndrica:

    Supongamos que tenemos un alambre cargado que se extiende en todo el

    espacio, desde -infinito hasta +infinito. Primeramente observamos que la nicacomponente del campo que tenemos es la radial, las otras componentes se cance-lan entre ellas debido a la simetra. Consideremos ahora un superficie cilndricacoaxial que envuelva al alambre. De acuerdo a Gauss, el campo elctrico esigual a la carga que encierra la superficie, dividida por 0. Como el campo esnormal a la superficie, la magnitud del campo es igual a la componente radial,y nos podemos olvidar del producto punto. Entonces tenemo:

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    30 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

    Figura 6.2: Plano infinito uniformemente cargado

    E. ds= E

    ds=

    Q

    0

    Llamemos r al radio del cilindro, y por conveniencia, tomemos su longitudcomo una unidad. El flujo a travs del cilindro es E veces el rea del cilindro,que es 2r. El flujo a travs de las bases es cero porque no tenemos campo enla direccin tangencial. La carga total dentro de la superficie es solo porquela longitud del alambre dentro es una unidad. Entonces:

    E 2r = 0

    E=

    20r

    Vemos que el campo eletrico de una linea infinita de carga depende delinverso de la distancia desde la linea de carga.2) Simetra Plana:

    Ahora calcularemos el campo de un plano infinito cargado. Suponemos quela carga por unidad de rea es . Considerando la simetra del plano, podemosver que la direccin del campo es normal al plano, y que, si estuvieramos en elvacio, el campo sera el mismo a cada lado del plano. Esta vez elegiremos unacaja rectangular como superficie gaussiana. Las caras laterales tienen mismarea A y como el campo es normal al plano, solo tenemos flujo a traves de estascaras. El flujo total ser entonces el campo elctrico por dos veces el rea:

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    6.3. EJEMPLOS DE LA LEY DE GAUSS 31

    Figura 6.3: Esfera con densidad de carga uniforme

    E 2A= A0

    E=

    20

    La magnitud del campo no depende de la distancia al plano!El problema de los dos planos paralelos con iguales pero opuestas en signo

    densidades de carga es simple si asumimos que el mundo exterior es simtrico.Superponiendo la solucin para cada campo de las laminas nos podemos dar

    cuanta que el campo fuera de los planos es cero y que entre los planos es /03) Simetra Esfrica:

    Buscaremos cul es el campo elctrico dentro de una esfera de radio R uni-formemente cargada, con densidad de carga por unidad de volumen. Asum-imos, por cuestiones de simetra que el campo es radial e igual en magnituden todos los puntos equidistantes del centro. Para encontrar el campo a unadistancia r menor a R del centro tomamos una superfice gaussina esfrica. Elflujo a travs de esa superficie es:

    4r2E1

    y la carga dentro de la superfcie gaussiana es:

    4

    3r3

    Usando Gauss encontramos que el campo esta dado por:

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    32 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

    E= r

    30(r < R)

    El campo elctrico resulta ser proporcional al radio.

    6.4. Los Conductores

    Un conductor elctrico es un material que contiene muchos electrones libres.Estos electrones se pueden mover libremente en el conductor, pero no puedenabandonarlo, ya que para ello requieren mayor energa. Cualquier campo elc-trico pondr en movimiento muchos de estos electrones, que, para el caso deelectrosttica, se detendran solo hasta que el campo dentro del conductor seacero. El caso de la corriente producida por los electrones no se considera ahora.

    Consideremos ahora el interio de un material conductor. Como es un con-

    ductor, el campo elctrico es cero, lo que implica que el potencial es constante,por lo que cualquier conductor es una regin equipotencial. A partir de la leyde Gauss, podremos concluir que la carga dentro de un conductor es cero. To-da la carga se localiza justo en la superficie del conductor, donde hay fuerzasque no les permiten dejar el material. Vemos tambin que el campo elctricojusto afuera del conductor solo tiene componente normal, ya que si tuviera unapequea componente tangencial, esta provocara que los electrones se muevana lo largo de la superficie; no tenemos fuerzas que prevengan eso. Dicho de otromodo, los campo electricos son normales en las superficies equipotenciales.

    Ahora sabemos que el campo dentro de un conductor es cero, pero, Qu

    pasa si tenemos una cavidad dentro del conductor? Si la cavidad esta vacia,no existen campos dentro de sta, sin importar la forma de la cavidad ni delconductor. Si consideramos una superficie que encierra la cavidad, Gauss nosgarantiza que la carga neta dentro de esta es cero (debido a que el campo escero). Pero podramos tener el caso de cargas positivas y negativas equilibradasentre s, produciendo carga neta cero. Lo que realmente pasa es que las cargasiguales con signo opuesto de deslizan para encontrarse y cancelarse totalmente.Esto lo podemos ver utilizando la ley que nos dice que, en electrosttica, lacirculacin del campo elctrico a travs de cualquier curva cerrada es cero.Supongamos que tenemos igual numero de cargas negativas y positivas en la

    superficie de la cavidad, y tomemos una curva que cruce tanto la cavidad comouna parte del interior del conductor. Esta curva va de una carga positiva a unanegativa. La integral sobre la linea que va de la carga positiva a la negativadefinitivamente no es cero, y la parte que cruza el conductor si es cero. Ahora,Es la integral sobre la curva cerrada diferente de cero? Existe una ley que nosdice que esta integral es cero, por lo que no puede habar campos dentro de lacavidad. Si hubiera una carga dentro de la cavidad, si podemos tener campo

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    6.4. LOS CONDUCTORES 33

    electricos. Hemos visto que si tenemos una cavidad completamente cerrada porun conductor, ninguna distribucin de cargas estaticas puede producir camposdentro de la cavidad. Este principio es usado para proteger los equipos decampos elctricos colocandolos dentro de un recipiente de metal. Un dispositivoas es conocido como Jaula de Faraday.

    Es el campo de un punto de carga exactamente 1r2 ?

    [[Imagen:Cascaronesferico.jpg|thumb|250px|rght|El campo elctrico dentrode un cascarn esfrico es cero.]]Si analizamos con detalle como es que el campoelctrico dentro de un cascaron esfrico se hace cero, podremos darnos cuentaclaramente porque la Ley de Gauss es cierta solo porque la fuerza de Coulombdepende exactamente del inverso del cuadrado de la distancia. Consideremosun punto dentro de una esfera uniforme cargada e imaginemos unos conos comose muestra en la figura. A partir de la geometria se puede demostrar la siguienterelacin:

    a2a1

    = r22r21

    Si la esfera esta uniformemente cargada, la carga q en cada uno de loselementos de area es proporcional al rea, asi:

    a2a1

    =q2q1

    Entonces, la ley de Coulomb dice que las magnitudes de los campo prducidos

    en el punto debido a estos dos elementos de area estan a razn:E2E1

    = q2/r

    22

    q1/r21= 1

    Observamos que los campos se cancelan, y como podemos acomodar enparejas todas las partes de la superficie, podemos concluir que el campo dentrodel cascarn esferico es cero.

    Se han hecho experimentos que han demostrado que la ley de Coulombsigue siendo valida hasta ordenes de 10( 13) cm. Para ordenes menores, lafuerza electrica parece ser 10 veces ms dbil!

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    Captulo7

    El campo elctrico en diversassituaciones

    En este captulo estudiaremos cmo se comporta el campo elctrico antealgunas circunstancias diferentes. Esto nos dar cierta experiencia en el com-portamiento del campo elctrico, y describiremos algunos mtodos matemticosque se emplean para encontrar este campo.

    7.1. Ecuaciones del potencial electrosttico

    Para empezar, toda la cuestin matemtica del problema queda resueltocuando encontramos la solucin de tan solo dos ecuaciones...cuales?...pues lasecuaciones de Maxwell para la electrosttica!...ya que todo fenmeno electro-magntico queda completamente descrito con las cuatro ecuaciones de Maxwell.

    Las ecuaciones de Maxwell para la electrosttica son:

    E= 0

    E= 0Cuando tenemos un campo vectorial cuyo rotor es cero, como en la segunda

    ecuacin, el campo es igual al gradiente de alguna funcin escalar, como lovimos en el captulo clculo integral vectorial.

    E=

    35

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    36CAPTULO 7. EL CAMPO ELCTRICO EN DIVERSAS

    SITUACIONESComo podemos escribir cualquier campo elctrico en trminos de su poten-

    cial ;, obtenemos la ecuacin diferencial que debe satisfacer ; al sustituirloen la primera ecuacin, lo que nos da:

    = 0

    La divergencia del gradiente de ; es lo mismo que2 operando sobre ,

    = 2 = 2

    x2 +

    2

    y2 +

    2

    z2

    Por lo que podemos escribir la ecuacin (4) en la forma:

    2 = 0

    El operador2 se llama laplaciano y la ecuacin (6) se llama ecuacinde Poisson. De esta manera toda la electrosttica es, desde el punto de vistamatemtico, un estudio de las soluciones de esa nica ecuacin (6). Una vezobtenido; resolviendo esa ecuacin podemos hallar Einmediatamente, usando(3).

    Si conocemos ; en todo punto, el potencial en un punto (1) es:

    (1) =

    V

    (2)dV240r212

    Hay que tener muy en cuenta la solucin anterior porque hay muchas situa-ciones en la fsica que dan lugar a ecuaciones como:

    2 (algo) = (algo mas)y la ecuacin (7) es un prototipo de solucin para cualquiera de estos prob-

    lemas.La resolucin de los problemas de campo electrosttico es completamente

    directa cuando se conoce la posicin de todas las cargas.

    7.2. El dipolo elctrico

    Para empezar tomemos dos cargas puntuales, +q y -q, a una distancia 2a.Tomemos el eje y pasando por las cargas con el origen a la mitad del caminoentre ambas, como muestra la fugura e imaginando un eje zperpendicular a xy ypara extenderlo al espacio tridimencional:

    Como ya lo vimos en el captulo de Electrosttica sabemos que el potencial; en un punto (1) est dado por:

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    7.2. EL DIPOLO ELCTRICO 37

    (1) = 1

    40

    n

    qnrn

    luego el potencial de las dos cargas es dado por:

    (x,y,z) = 1

    40

    q

    (y a)2 + x2 + z2 12

    + q

    (y+ a)2

    + x2 + z2 12

    Y as es como queda resuelto el problema de dos cargas, ya que podemoscalcular el campo elctrico rpidamente porque ya hemos visto un montn deveces que es el negativo del gradiente del potencial.

    Llamamos dipolo al par de cargas que estn muy juntas una de la otra,o sea, donde la distancia entre de estas dos cargas es insignificante frente alpunto donde estamos calculando el campo.

    Si hay un campo elctrico en cualquier material, los electrones y los protonesexperimentan fuerzas opuestas y se desplazan unos respecto a otros. En unconductor algunos electrones se mueven hasta la superficie de modo que elcampo es cero en el interior. En un aislante los electrones no se pueden alejarmucho; estn retenidos por la atraccin del ncleo; sin embargo s se correnun poquito. As pues, aunque un tomo, o una molcula, siga siendo neutro enun campo elctrico externo, hay una pequesima separacin entre las cargas

    positivas y negativas por lo que se convierte en un dipolo microscpico. Siestamos interesados en los campos de estos dipolos atmicos en las cercanasde objetos de tamao ordinario, estamos considerando distancias grandes frentea la separacin de los dos pares de cargas.

    En algunas molculas las cargas estn un poco separadas aun en ausenciade campos externos debido a la forma de la molcula. En una molcula deagua, por ejemplo, hay una carga negativa neta sobre el tomo de oxgeno yuna carga positiva neta sobre cadaq uno de los dos tomos de hidrgeno, loscuales no estn colocados simtricamente sino como en la figura 2. Aunque lacarga total de la molcula sea cero, hay una distribucin de carga con un poco

    ms de carga negativa de un lado y un poco ms de carga positiva del otro. Ladisposicin no es tan simple como con dos cargas puntuales, pero si lo vemosdesde muy lejos, entonces el sistema se comporta como un dipolo.

    Volvamos entonces a la primera figura. Examinemos el campo de dos car-gas opuestas, como en la primer figura, pero donde la distancia 2a sea muycrecana a cero...pero no cero, porque de ser as entonces las dos cargas estaranuna sobre la otra, los dos potenciales se compensaran y no habra campo. En-

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    38CAPTULO 7. EL CAMPO ELCTRICO EN DIVERSAS

    SITUACIONES

    Figura 7.1: La molcula de agua, H2O. Los tomo de hidrgeno tienen un pocomenos de lo que les corresponde de la nube electrnica; el oxgeno un poco ms

    tonces asumiendo distancias cercanas a cero, usemos los trminos lineales deldesarrollo de los trminos de la ecuacin anterior en serie de potencias, entonces

    (y a)2 y2 2ayComo

    x2 + y2 + z2 =r2

    Por lo tanto

    (y a)2 + x2 + z2 r2 2ay= r2

    1 2ayr2

    y

    1(y a)2 + x2 + z2

    1

    r

    1 2ay

    r2

    12

    Usando nuevamente el desarrollo del binomio para este ltimo trmino, y

    despresiando trminos con potencias mayores al cuadrado de d, obtenemos

    1

    r

    1 +

    ay

    r2

    Anlogamente, con el segundo trmino del segundo miembro de la ecuacin

    que encontramos para el potencial de las dos cargas (ecuacin 8...despus de la7), hacemos lo mismo y obtenemos, como era de esperarse...

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    7.2. EL DIPOLO ELCTRICO 39

    Figura 7.2: Momento dipolar

    1

    r

    1 ay

    r2

    La diferencia de estos dos trminos da para el potencial:haciendo2a d

    (x,y,z) = 1

    40

    y

    r3

    qd

    Entonces, el potencial, y por lo tanto el campo (su derivada) en proporcionalaqd, el producto de la carga por la separacin. Pero este producto tiene nombre,es el momento dipolar de las dos cargas y lo denotamos por p:

    p= qd

    Dndole carcter vectorial,plo definimos como una magnitud vectorial conmdulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa d,cuya direccin es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a

    la positiva:

    p= q d

    Potencial de un dipolo

    Sea er el vector unitario en direccin de r

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    40CAPTULO 7. EL CAMPO ELCTRICO EN DIVERSAS

    SITUACIONES

    (r) = 1

    40

    p err2

    = 1

    40

    p rr3

    Esta frmula es vlida para un dipolo con orientacin y posicin cualesquierasirrepresenta el vector desde el dipolo al punto de inters. Es fcil obtener elcampo elctro en este punto, tomemos el gradiente de , digamos por ejemplola componente zel campo, o sea y. Para un dipolo orientado segn el eje ypodemos usar la ecuacin nmero (9):

    y

    =Ey = p

    40

    3cos2 1r3

    Las componentes en xy yson

    Ex = p40

    3yxr5

    , Ez = p40

    3yzr5

    Podemos combinar las ecuaciones anteriores para dar una componente per-pendicular al eje y, a la cual llamaremos componente transversal E

    Entonces

    E=

    E2x+ E2z =

    p

    40

    3y

    r5

    x2 + z2

    o bien,

    E= p40

    3cossenr3

    La componente transversal E est en el plano x z y est orientadaalejndose del eje del dipolo. El campo total es:

    E=

    E2y+ E2

    El campo de un dipolo vara con la inversa del cubo de la distancia al dipolo.Sobre el eje, para = 0 es el doble de intenso que para = 90. Para estos

    ngulos especiales el campo slo tiene componente y pero de signos opuestosen ambos lados.

    7.3. Comentarios sobre ecuaciones vectoriales

    Hay que tratar por todos los medios de aprovecharnos de que las ecuacionesvectodiales son independientes de cualquier sistema de coordenadas. Como en

  • 7/27/2019 Notas Cientificas Sobre La Obra de Feynman

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    7.4. EL POTENCIAL DE UN DIPOLO COMO GRADIENTE 41

    el ejemplo anterior que nos facilitamos la vida tomando el eje y, siempre hayque tratar de elegir los ejes de la manera ms conveniente.

    Cuando estemos tratando de calcular la divergencia de un vector, en lugarde examinar simplemente

    E no hay que olvidar qque podemos siempre

    desarrollarlo en la forma

    Exx

    +Ey

    y +

    Ezz

    .

    Si pueden calcular las componentes x,y,z del campo elctrico y las derivadas,tendrn la divergencia. A veces parece que se tiene la impresin de que hay algoinelegante -una especie de fracaso- al escribir explcitamente las componentes;de algn modo siempre habra una manera de hacerlo todo con los operadoresvectoriales. Muchas veces no se gana nada con eso. La primera vez que encon-

    tramos una clase particular de problemas, por lo comn es conveniente escribirexplcitamente las componentes para asegurarnos de que comprendemos lo quepasa. No es nada inelegante sustituir smbolos igeniosos por derivadas. Por elcontrario, muchas veces el hacerlo revela inteligencia. Por supuesto que cuandopubliquen un trabajo en una revista profesional tendr mejor aspecto -y secomprender ms fcilmente- si escriben todo en forma vectorial. Adems seahorra impresin.

    7.4. El potencial de un dipolo como gradiente

    Podemos escribir la ecuacin del dipolo (11) como sigue:

    = 140

    p

    1

    r

    Hay una razn fsica para poder escribir el potencial del dipolo como en (14).Para ver esto supongamos que tenemos una carga qen el origen, el potencialen el punto P en(x,y,z)es

    0 qr

    si movemos la carga+qa una distancia zel potencial en Pcambiara unpoco, en+digamos. Pues cambiara de la mima manera que si hubiramosmovido aPhacia abajo la misma distancia que movimosqhacia arriba, dichode otra forma:

    += 0z

    z

  • 7/27/2019 Notas Cientificas Sobre La Obra de Feynman

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    42CAPTULO 7. EL CAMPO ELCTRICO EN DIVERSAS

    SITUACIONESdonde porzentendemos lo mismo que d2 , (o, como antes a...es lo mismo,

    2a= d). Por tanto usando = qr tenemos que el potencial de la carga positivaes

    += qr

    z

    qr

    d2

    Igual, hacemos lo mismo con , entonces tenemos:

    =q

    r

    z

    qr

    d

    2

    Y pues el potencial total es la suma de los dos potenciales, que es:

    ++ =

    z1

    r qd

    Ahora, generalizando, llamaremos r+ al desplazamiento de la carga posi-tiva, y entonces la ecuacin (17) se convertira en

    =

    1

    r

    dq.

    = p 0donde0 = 140rSiepre podemos encontrar el potencial de una distribucin de carga por inte-

    gracin, pero es mejor (para ahorrarnos tiempo) pensar en otra forma de hacer-lo, por ejemplo cuando podemos recurrir al principio de superposici...podemosrecurrir a l, por ejemplo cuando se nos da una distribucin de carga que sepuede costruir a partir de la suma de dos contribuciones para las que ya seconoce el potencial, y pues al sumar el potencial conocido ya obtenemos el quequeremos.

    Un ejemplo:

    Supongamos que enemos una superfcie esfrica con una distribucin super-

    ficial que vara con el coseno del angulo polar. Ahora, imaginemos una lindaesfera con carga superficial positiva y uniforme en su volumen, y otra con lamisma densidad uniforme pero negativa en su volumen, al principio, si las so-breponemos constituyen una esfera neutra. Y si despus de esto se desplazaun poquito la esfera positiva respecto a la negativa, el lugar de la interseccinsigue siendo neutro, pero ahora aparecer carga positiva de un lado y carganegativa del otro. Si el desplazamiento relativo a las dos esferas es pequeo, la

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    7.5. LA APROXIMACIN DIPOLAR PARA UNA DISTRIBUCINARBITRARIA 43

    Figura 7.3: Clculo del potencial en el punto P a una distancia muy grande deun conjunto de cargas

    carga neta va a ser equivalente a una carga superficial, y entonces la densidad

    de carga superficial ser proporcional al coseno del ngulo polar.Sabemos que el potencial es el mismo, para cada una de las cargas -parapuntos exteriores- el mismo que el de una carga puntual. Las dos esferas de-splazadas son como dos cargas puntuales...de hecho son como el dipolo!

    Entonces una distribucin de carga sobre una esfera de radio a, con unadensidad de carga

    = 0cos

    Produce un campo fuera de la esfera que es el de un dipolo cuyo momentoes

    p=40a

    3

    3 .

    Y el campo, que es constante, es

    E= 030

    Si es el ngulo a partir del ejez , el campo elctrico dentro de la esfra esten la direccin z negativa.

    7.5. La aproximacin dipolar para una distribucinarbitraria

    Ahora vamos a calcular el potencial debido a una distribucin fea de cargaen un puntoPmuy lejos de la misma.

    Como se ve en la figura, vamos a consiferar que cada carga qi est a unadistancia di del origen, y que ri es la distancia entre Py la carga qi.

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    44CAPTULO 7. EL CAMPO ELCTRICO EN DIVERSAS

    SITUACIONESEl potencial de todo el conjunto est dado por

    = 1

    40 iqiri

    Entonces, si consideramo que el punto Pest a una distancia enorme en-tonces podemos decir que cada uno de los ri es aproximadamente igual a R,entonces tenemos lo siguiente:

    = 1

    40

    1

    R

    qi =

    Q

    40R

    dondeQes la carga total del objeto.Y pues obtenemos lo que esperbamos, que a una distancia tan grande, el

    conjunto de cargas parece como una carga puntual.

    Ahora podemos preguntarnos lo que pasa cuando la carga es neutra, cuandose compensan el nmero de cargas positivas y negativas la carga total es cero.Las cargas no estn unas sobre otras, es decir, si nos acercamos mucho de-beramos de persivir los efectos de las cargas separadas. La ecuacin (19) siguefuncionando bien, pero la ecuacin (20) empiza a fallar, porque no podemosdecir simplemente ri = R; entonces necesitamos una mejor aproximacin. Siobservamos la imagen, la proyeccin ortogonal de di sobre R es presisamentelo que le "sobra.a Rpara ser como ri, entonces lo que vamos a hacer es restarleesta parte. Tomemos por ejemplo un vector con norma uno y en la direccin deR, digamos er. Entonces podemos ver de la figura que la proyeccin ortogonal

    de di sobre R es (imaginando un ngulo ; entre di y R)|di|cos. Al calcularel producto interno di er = dicos, entonces de esta manera aproximamos arias

    ri R di erComo supusimos quePest muy pero muy lejos de la distribucin de carga,

    entonces di Ry podemos escr