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UNIMARCONCRETO ARMADO I Prof. Eng. VICENTE BUDZINSKI

CONCRETO

Concreto é um material de construçãoproveniente da mistura, em proporçãoadequada, de: aglomerantes, agregados eágua. Também é frequente o emprego deaditivos e adições.


AGLOMERANTES

Os aglomerantes unem os fragmentos deoutros materiais. No concreto, em geral seemprega cimento Portland, que por ser umaglomerante hidráulico, reage com a água eendurece com o tempo.


ADITIVOS

Os aditivos são produtos que, adicionados em pequenaquantidade aos concretos de cimento, modificam algumaspropriedades, no sentido de melhorar esses concretos paradeterminadas condições.Os principais tipos de aditivos são: plastificantes (P),retardadores de pega (R), aceleradores de pega (A),plastificantes retardadores (PR), plastificantes aceleradores(PA), incorporadores de ar (IAR), superplastificantes (SP),superplastificantes retardadores (SPR) e superplastificantesaceleradores (SPA).


AGREGADOS

Os agregados são partículas minerais que aumentam ovolume da mistura, reduzindo seu custo, além de contribuirpara a estabilidade volumétrica do produto final.Dependendo das dimensões características, dividem-se emdois grupos:• Agregados miúdos: 0,075mm < φ < 4,8mm. Exemplo:

areias.• Agregados graúdos: φ≥ 4,8mm. Exemplo: pedras.


PASTA

A pasta resulta das reações químicas do cimento com a água. Quando há água em excesso, denomina-se nata.


ARGAMASSA

A argamassa provém da mistura de cimento, água e agregadomiúdo, ou seja, pasta com agregado miúdo.


CONCRETO SIMPLES

O concreto simples é formado por cimento, água, agregadomiúdo e agregado graúdo, ou seja, argamassa e agregadograúdo.


CONCRETO SIMPLES

No estado endurecido, o concreto apresenta:

• boa resistência à compressão;• baixa resistência à tração;• comportamento frágil, isto é, rompe com pequenas

deformações.

Na maior parte das aplicações estruturais, para melhorar ascaracterísticas do concreto, ele é usado junto com outrosmateriais.


CONCRETO ARMADO

O concreto armado é a associação do concreto simplescom uma armadura, usualmente constituída por barras deaço.

Os dois materiais devem resistir solidariamente aosesforços solicitantes. Essa solidariedade é garantida pelaaderência.

CONCRETO SIMPLES +

ARMADURA +

ADERÊNCIA=

CONCRETO ARMADO


CONCRETO PROTENDIDO

No concreto armado, a armadura não tem tensões iniciais.Por isso, é denominada armadura frouxa ou armadurapassiva. No concreto protendido, pelo menos uma parte daarmadura tem tensões previamente aplicadas, denominadaarmadura de protensão ou armadura ativa.

CONCRETO +

ARMADURA ATIVA=

CONCRETO PROTENDIDO


VANTAGENS DO CONCRETO ARMADO

?????


VANTAGENS DO CONCRETO ARMADO:

1. É moldável, permitindo grande variabilidade de formas ede concepções arquitetônicas.

2. Apresenta boa resistência à maioria dos tipos desolicitação, desde que seja feito um cálculo correto e umadequado detalhamento das armaduras.

3. A estrutura é monolítica, com trabalho conjunto, se umapeça é solicitada.

4. Baixo custo dos materiais – água e agregados, graúdos emiúdos.

5. Baixo custo de mão de obra, pois, em geral, a produção deconcreto convencional não exige profissionais comelevado nível de qualificação.



6. Processos construtivos conhecidos e bem difundidos emquase todo o país.

7. Facilidade e rapidez de execução, principalmente se foremutilizadas peças pré-moldadas.

8. O concreto é durável e protege as armaduras contracorrosão.

9. Os gastos de manutenção são reduzidos, desde que aestrutura seja bem projetada e adequadamenteconstruída.

10. O concreto é pouco permeável à água, quando dosadocorretamente e executado em boas condições deplasticidade, adensamento e cura.



11. É um material com bom comportamento em situações deincêndio, desde que adequadamente projetado para essassituações.

12. Possui resistência significativa a choques e vibrações,efeitos térmicos, atmosféricos e a desgastes mecânicos.


RESTRIÇÕES DO CONCRETO ARMADO:

Providências adequadas devem atenuar as consequências de algumas restrições do concreto. As principais restrições são:

1. Retração e fluência,2. Baixa resistência à tração,3. Pequena ductilidade,4. Fissuração,5. Peso próprio elevado,6. Custo de formas para moldagem,7. Corrosão das armaduras.


PROVIDÊNCIAS PARA O CONCRETO ARMADO:

Para suprir as deficiências do concreto, há várias alternativas.Tanto a retração quanto a fluência dependem da estrutura interna do concreto. Portanto, para minimizar seus efeitos, adequada atenção deve ser dada a todas as fases de preparação, desde a escolha dos materiais e da dosagem até o adensamento e a cura do concreto colocado nas fôrmas.



A fluência depende também das forças que atuam naestrutura. Portanto, um programa adequado das fases decarregamento, tanto na fase de projeto quanto durante aconstrução, pode atenuar os efeitos da fluência.

A baixa resistência à tração pode ser contornada com o usode adequada armadura, em geral constituída de barras deaço, obtendo-se o concreto armado. Além de resistência àtração, o aço garante ductilidade e aumenta a resistência àcompressão, em relação ao concreto simples.



A fissuração pode ser contornada ainda na fase de projeto,com armação adequada e limitação do diâmetro das barras eda tensão na armadura.

A corrosão da armadura pode ser prevenida com controle dafissuração e com o uso de adequado cobrimento daarmadura, cujo valor depende do grau de agressividade doambiente em que a estrutura for construída.


APLICAÇÕES DO CONCRETO ARMADO:

É o material estrutural mais utilizado no mundo. Seuconsumo anual é da ordem de uma tonelada por habitante.Entre os materiais utilizados pelo homem, o concreto perdeapenas para a água.

Outros materiais como madeira, alvenaria e açotambém são de uso comum e há situações em que sãoimbatíveis.


ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS:

Estrutura é a parte resistente da construção e tem as funçõesde suportar as ações e as transmitir para o solo.

Em edifícios, os elementos estruturais principais são:Lajes: são placas que, além das cargas permanentes, recebemas ações de uso e as transmitem para os apoios; travam ospilares e distribuem as ações horizontais entre os elementosde contraventamento;



Vigas: são barras horizontais que delimitam as lajes,suportam paredes e recebem ações das lajes ou de outrasvigas e as transmitem para os apoios;



Pilares: são barras em geral verticais que recebem as ações das vigas ou das lajes e dos andares superiores as transmitem para os elementos inferiores ou para a fundação;



Fundação: são elementos como blocos, lajes, sapatas, vigas, estacas etc., que transferem os esforços para o solo.



Pilares alinhados ligados por vigas formam os pórticos, que devem resistir às ações do vento e às outras ações que atuam no edifício, sendo o mais utilizado sistema de contraventamento.



Nos andares com lajes e vigas, a união desses elementospode ser denominada tabuleiro, andar, piso ou pavimento.

São muito comuns as lajes nervuradas. Se as nervuras e asvigas que as suportam têm a mesma altura, o uso de um forrode gesso, por exemplo, dão a elas a aparência de lajes lisas.

Nos edifícios, são considerados elementos estruturaiscomplementares: escadas, caixas d’água, muros de arrimo,consolos, marquises etc.



LAJE NERVURADA:



LAJE MACIÇA:



LAJE NERVURADA:


EDIFÍCIOS DE PEQUENO PORTE:

Apresentar os fundamentos do concreto, as bases para cálculo e a rotina do projeto estrutural para edifícios de pequeno porte.Em exemplos simples, serão dimensionadas e detalhadas lajes, vigas e pilares.

Mas o que é edifício de pequeno porte ????


EDIFÍCIOS DE PEQUENO PORTE:

Serão considerados edifícios de pequeno porte aqueles com estruturas regulares muito simples, que apresentem:

• até quatro pavimentos;• ausência de protensão;• cargas de uso nunca superiores a 3kN/m2;• altura de pilares até 4m e vãos não excedendo 6m;• vão máximo de lajes até 4m (menor vão) ou 2m, no

caso de balanços.


MASSA ESPECÍFICA:

Concreto Simples: 2400Kg/m3

Concreto Armado: 2500 Kg/m3


PROPRIEDADES MECÂNICAS:

Resistência à compressão, resistência à tração e módulo de

elasticidade. Essas propriedades são determinadas a partir deensaios.

Resistência à compressão:

A resistência à compressão simples, denominada fc, é acaracterística mecânica mais importante. Para estimá-la, segue-sea NBR 5738 – Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos,

que depois são ensaiados conforme NBR 5739 – Concreto –

Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos.



Resistência à compressão: O corpo de prova padrão brasileiro é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, e a idade de referência é 28 dias.



Resistência à compressão: Após ensaio de um número muito grande de corpos de prova,pode ser feito um gráfico com os valores obtidos de fc versus aquantidade de corpos de prova relativos a determinado valor defc, também denominada densidade de frequência.



Resistência à compressão: Na curva de Gauss encontram-se dois valores de fundamentalimportância: resistência média do concreto à compressão, fcm, eresistência característica do concreto à compressão, fck.


PROPRIEDADES MECÂNICAS:Resistência à compressão: O valor fcm é a média aritmética dos valores de fc para o conjuntode corpos de prova ensaiados, e é utilizado na determinação daresistência característica, fck, por meio da fórmula: fck=fcm-1,65SO desvio padrão S corresponde à distância entre a abscissa de fcme a do ponto de inflexão da curva (ponto em que ela muda deconcavidade).


PROPRIEDADES MECÂNICAS:Resistência à compressão:

O valor 1,65 corresponde ao quantil de 5 %, ou seja, apenas 5 %dos corpos de prova possuem fc < fck, ou, ainda, 95 % dos corposde prova possuem fc >= fck.


PROPRIEDADES MECÂNICAS:Resistência à tração:

Os conceitos relativos à resistência do concreto à traçãodireta, fct, são análogos aos expostos no item anterior, para aresistência à compressão. Portanto, tem-se a resistência médiado concreto à tração, fctm, valor obtido da média aritmética dosresultados, e a resistência característica do concreto à traçãofctk.



Resistência à tração:

1. Ensaio de tração direta2. Ensaio de tração na compressão diametral (spliting test)3. Ensaio de tração na flexão



Resistência à tração:

Na falta de ensaios, as resistências à tração direta podem ser obtidas a partirda resistência à compressão fck:


PROPRIEDADES MECÂNICAS:Módulo de elasticidade:

Outro aspecto fundamental no projeto de estruturas de concreto consiste narelação entre as tensões e as deformações.

Sabe-se da Resistência dos Materiais que a relação entre tensão edeformação, para determinados intervalos, pode ser considerada linear (Lei deHooke), ou seja, σ = E ε , sendo σ a tensão, ε a deformação específica e E oMódulo de Elasticidade

Para o concreto, a expressão do Módulo de Elasticidade é aplicada somente àparte retilínea da curva tensão versus deformação ou, quando não existir uma parteretilínea, a expressão é aplicada à tangente da curva na origem. Desta forma, éobtido o Módulo de Deformação Tangente Inicial, Eci.


PROPRIEDADES MECÂNICAS:Módulo de elasticidade:



Módulo de elasticidade:

Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto,para a idade de referência de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo deelasticidade inicial usando a expressão:

Eci = 5600 fck1/2

Eci e fck são dados em MPa.

O Módulo de Elasticidade Secante, Ecs, a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação e estadoslimites de serviço, deve ser calculado pela expressão:

Ecs = 0,85 Eci



Coeficiente de POISSON:

Quando uma força uniaxial é aplicada sobre uma peça de concreto, resulta umadeformação longitudinal na direção da carga e, simultaneamente, uma deformaçãotransversal com sinal contrário:



Coeficiente de POISSON:

A relação entre a deformação transversal e a longitudinal é denominada coeficiente de

Poisson e indicada pela letra ν. Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e detração menores que fct, pode ser adotado ν = 0,2.


AÇO:

DEFINIÇÃO:

O aço é uma liga de ferrocarbono com outros elementos adicionais (silício,manganês, fósforo, enxofre etc.), resultante da eliminação total ou parcial de elementosinconvenientes que se fazem presentes no produto obtido na primeira redução dominério de ferro.

Os aços estruturais para construção civil possuem teores de carbono daordem de 0,18% a 0,25%. Esse material tem grande aplicação na Engenharia graças àsseguintes características: ductilidade; incombustibilidade; facilidade de ser trabalhado;resistência a tração, compressão, flexão e torção; resistência a impacto, abrasão edesgaste. Em condições adequadas, apresenta também resistência a variações detemperatura, intempéries e agressões químicas.


AÇO:

DEFINIÇÃO:

Como o concreto simples apresenta pequena resistência a tração e é frágil,é altamente conveniente a associação do aço ao concreto, obtendo-se o concretoarmado.

Esse material, adequadamente dimensionado e detalhado, resiste muito bemà maioria dos tipos de solicitação. Mesmo em peças comprimidas, além de fornecerductilidade, o aço aumenta a resistência do concreto à compressão.


AÇO:

Tratamento a quente

Chama-se tratamento mecânico a quente quando a temperatura de trabalhoé maior 720°C (zona crítica), em que ocorre a recristalização do aço. Nessa situação oaço é mais mole, sendo mais fácil de trabalhar, pois os grãos deformados recristalizam-se em seguida sob a forma de pequenos grãos.

Estão incluídos neste grupo os aços CA-25 e CA-50.A laminação consiste na passagem do material entre dois rolos que gira com a

mesma velocidade periférica em sentidos opostos e estão espaçados de uma distânciaalgo inferior à espessura da peça a laminar.

Nessas condições, em função do atrito entre o metal e os rolos, a peça é“puxada” pelos rolos, tendo sua espessura reduzida, o comprimento alongado.


AÇO:Diagrama Aço tratado à quente:

Aço CA 50Diâmetro de 6,3mm;Valores nominais:As = 31,2 mm2;fyk = 500 MPa;


AÇO:Tratamento a frio ou encruamento

Neste tratamento ocorre uma deformação dos grãos por meio detração, compressão ou torção. Resulta no aumento da resistência mecânica eda dureza, e diminuição da resistência à corrosão e da ductilidade, ou seja,decréscimo do alongamento e da estricção.

O processo é realizado abaixo da zona de temperatura crítica(720°C). Os grãos permanecem deformados e diz-se que o aço estáencruado.

Nesta situação, os diagramas tensão-deformação dos açosapresentam patamar de escoamento convencional, a solda torna-se maisdifícil e, à temperatura da ordem de 600°C, o encruamento é perdido.

Neste grupo está incluído o aço CA-60.


AÇO:BITOLAS:


AÇO:Diâmetros:

Não é aconselhável o emprego de diâmetros inferiores a 5 mm emelementos estruturais, pois os inconvenientes de seu manuseio durante a obra,tais como transporte desde a central de armação até sua colocação na fôrma eposterior concretagem, podem comprometer o bom funcionamento daarmadura.

O comprimento de fornecimento das barras e fios retos deve ser de 12m e a tolerância de ± 1 %. São fornecidos em peças, feixes, rolos ou conformeacordo entre fornecedor e comprador.


AÇO:CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS :

As características mecânicas mais importantes para a definição de umaço são o limite elástico, a resistência e o alongamento na ruptura. Essascaracterísticas são determinadas em ensaios de tração.

O limite elástico é a máxima tensão que o material pode suportar semque se produzam deformações plásticas ou remanescentes, além de certoslimites.

Resistência é a máxima força de tração que a barra suporta, divididapela área de seção transversal inicial do corpo de prova.


AÇO:CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS :

Os aços para concreto armado devem obedecer aos requisitos:

Ductilidade e homogeneidade;

Valor elevado da relação entre limite de resistência e limite deescoamento;

Soldabilidade;

Resistência razoável a corrosão.

A ductilidade é a capacidade do material de se deformar plasticamente semromper. Quanto mais dúctil o aço, maior é a redução de área ou o alongamentoantes da ruptura.


AÇO:

CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS :

Adota-se, para aço destinado a armadura passiva (paraconcreto armado), massa específica de 7850 kg/m3, coeficiente dedilatação térmica α = 10-5/°C, para temperatura entre -20°C e150°C, e módulo de elasticidade de 210GPa.


Pré-dimensionamento:

O pré-dimensionamento dos elementos estruturais énecessário para que se possa calcular o peso próprio daestrutura, que é a primeira parcela considerada no cálculo dasações.

O conhecimento das dimensões permite determinar osvãos equivalentes e as rigidezes, necessários no cálculo dasligações entre os elementos.


Pré-dimensionamento:PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS LAJES



Cobrimento nominal da armadura (c) é o cobrimento mínimo (cmin)acrescido de uma tolerância de execução (Δc): c = cmin + Δc



c) Espessura mínimaA NBR 6118 (2007) especifica que nas lajes maciças devem serrespeitadas as seguintes espessuras mínimas:

• 5 cm para lajes de cobertura não em balanço• 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso totalmenor ou igual a 30 kN• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso totalmaior que 30 kN


Pré-dimensionamento:PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS

Uma estimativa grosseira para a altura das vigas é dada por:

• tramos internos: hest = L/12

• tramos externos ou vigas biapoiadas: hest = L/10

• balanços: hest =L/5


Pré-dimensionamento:PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS


Pré-dimensionamento:


Pré-dimensionamento:PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PILARES

Inicia-se o pré-dimensionamento dos pilares estimando-se sua carga, por exemplo, através do processo das áreas deinfluência.

Este processo consiste em dividir a área total dopavimento em áreas de influência, relativas a cada pilar e, apartir daí, estimar a carga que eles irão absorver.



Após avaliar a força nos pilares pelo processo das áreas deinfluência, é determinado o coeficiente de majoração da forçanormal (α) que leva em conta as excentricidades da carga, sendoconsiderados os valores:α = 1,3 → pilares internos ou de extremidade, na direção da maiordimensão;α = 1,5 → pilares de extremidade, na direção da menor dimensão;α = 1,8 → pilares de canto.

A seção abaixo do primeiro andar-tipo é estimada, então,considerando-se compressão simples com carga majorada pelocoeficiente α, utilizando-se a seguinte expressão:

BASES PARA O CÁLCULO

Aplicação de uma força: 0 até a ruptura da peça

ESTÁDIOS

ESTÁDIO 1

•Início do carregamento;•Tensões atuantes menores que a resistência à tração do concreto;•Diagrama linear de tensões – Vale Lei de Hooke;•Momento de fissuração – limite entre Estádio 1 e 2.

ESTÁDIO 2

•Seção fissurada – concreto não resiste mais à tração;•Concreto comprimido – diagrama linear – Lei de Hooke;•Verificações de Estados Limites de Serviço (fissuração e flechas);•Aumento do carregamento – aumento das fissuras;•Plastificação do concreto comprimido – Término do Estádio 2.

ESTÁDIO 3

•Plastificação do concreto comprimido – limite de ruptura;•Diagrama parábola-retângulo para o concreto;

ESTÁDIO 3

•Para cálculo – simplificação para diagrama retangular do concreto comprimido;•É neste estádio que se realiza o dimensionamento das estruturas.

•Tensão de 0,85fcd – Seção constante paralela à LN;•Tensão de 0,80fcd – Caso contrário.

•Aço ou concreto atinge o seu limite de deformação:•Alongamento último do aço (ruína por deformação plástica excessiva do aço):

•Encurtamento último do concreto (ruína por ruptura do concreto):

FlexãoCompressão simples

DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA

%0,1=SUε

%20,0

%35,0

==

CU

CU

εε

Considerações:•Perfeita aderência entre o aço e o concreto;•Seções planas permanecem planas.

Limites de deformação dos materiais:•Alongamento máximo do aço: 1,0%;•Encurtamento máximo do concreto: 0,35%.

Ruína por deformação plástica excessiva:

•Tração simples: alongamento constante e igual a 1,0%;•O alongamento se dá de forma uniforme na seção.

•Notação:•‘x’ = posição da LN em relação à borda superior da seção (‘+’ abaixo da borda);•Na reta a: LN se encontra em -∞.

Reta a

Domínio 1

•Tração em toda a seção, mas não uniforme (Tração excêntrica);•As com ε=1,0%;•Borda superior com 0 ≤ ε < 1,0%;•LN ⇒ -∞ < x ≤ 0.

Domínio 2

•Flexão simples ou composta;•Último caso de ruína por deformação plástica excessiva da armadura;•As com ε=1,0%;•Borda superior: 0 < εc < 0,35%.

Domínio 3

•Flexão simples ou composta;•Concreto na ruptura e aço tracionado em escoamento;•Seção subarmada (aço e concreto trabalham com suas resistências de cálculo);•Aproveitamento máximo dos materiais – ruína com aviso;•As com εyd ≤ εs ≤ 1,0%;•Borda comprimida: εcu = 0,35%.

Ruína por ruptura do concreto na flexão:

•Flexão: LN dentro da seção.

Domínio 4

•Flexão simples ou composta;•Seção superarmada (concreto na ruptura e aço tracionado não atinge o escoamento);•Aço mal aproveitado – ruína sem aviso;•As com 0 < εs < εyd;•Borda comprimida: εcu = 0,35%.

Domínio 4a

•Duas armaduras comprimidas;•Ruína pelo concreto comprimido;•As com deformação muito pequena – mal aproveitada;•Borda comprimida: εcu = 0,35%;•LN: d < x < h.

•Seção inteiramente comprimida: x > h;•εcu = 0,20% - na linha distante 3/7 h;•Compressão excêntrica;•Borda comprimida: 0,35% < εcu < 0,20%.

Domínio 5

Ruína da seção inteiramente comprimida:

•Deformação uniforme de compressão: εcu = 0,20% ;•LN: ‘x’ tenda a +∞;•Borda comprimida: 0,35% < εcu < 0,20%.

Reta b

•LN: definição da posição por semelhança de triângulos.

Diagrama único

•Da reta a para domínios 1 e 2: diagrama gira em torno do ponto A (Armadura como limite com deformação de 1,0%);•Nos domínios 3, 4 e 4a: diagrama gira em torno do ponto B (ruptura do concreto na borda comprimida com deformação de 0,35%);•Domínios 5 e reta b: diagrama gira em torno do ponto C (Concreto com 0,2%).

FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA - EQUAÇÕES

•Momento fletor separado da força cortante;

•Perfeita aderência entre concreto e armadura: εc = εs;•Resistência à tração do concreto é desprezada;

•Manutenção da forma plana da seção transversal ⇒ ε são proporcionais à distância em relação à LN

Hipóteses

Diagramas de tensão do concreto

•Flexão: tração resistida pela armadura;•LN: 0 < x < d ⇒ Domínios 2, 3 e 4.

Domínios possíveis

•Ruína por deformação plástica excessiva do aço;•Definindo:

Domínio 2

d

xx =β ou

sc

cx εε

εβ+

=%35,00

%0,1

<<=

c

s

εε

ydsd f=σ

259,0135,0

35,03,2 =

+=

+=

sc

cx εε

εβ 259,00 << xβ

•Ruína por ruptura do concreto com deformação máxima de 0,35%;•Definindo:

Domínio 3

%35,0

%0,1

=

<<

c

syd

εεε

ydsd f=σ

ydydc

cx εεε

εβ+

=+

=35,0

35,04,3

4,3259,0 xx ββ <<

s

ydyd E

f=ε

628,0)4,3(%207,021000015,1500

lim,)( =⇒=⋅

= xAyd βε

•Ruína por ruptura do concreto com deformação máxima de 0,35%;•Definindo:

Domínio 4

%35,0

0

=

<<

c

yds

εεε

ydsd f<σ

•Solução antieconômica, além de perigosa – ruptura brusca (sem aviso);•Alternativas:

•Aumentar a altura h;•Adotar armadura dupla;•Aumentar a resistência do concreto.

0,14,4 =+

=sc

cax εε

εβ 0=sε

Diagrama do aço

Domínio 2

Equações de equilíbrio

As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente:

)2()(2

0

)1(00

''

'

ddRy

dRMMM

RRRF

sckfdA

sscx

s−+

−==⇒=

=−+⇒=

∑

∑

γ

As resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) são dadas por:

cdc ybR σ⋅⋅= xy 8,0= cdc xbR σ⋅⋅⋅= 8,0 ⇒

d

d⇒

cdc fd

xdbR ⋅⋅⋅⋅⋅= 85,08,0

cdxc fdbR ⋅⋅⋅⋅= β68,0 '''sss

sss

AR

AR

σ

σ

=

=

Com isso, temos as seguintes equações:

)1(068,0 '' =−+⋅⋅⋅⋅ sssscdx AAfdb σσβ

Colocando d em evidência e substituindo y=0,8x, na equação do equilíbrio do momento:

)2()()4,01(68,0 '''2 ddAfdbM saxcdxd −+−⋅⋅⋅⋅= σββ

Trabalhando nos domínios 2 e 3, com armadura simples (As'=0), tem-se:

)1(068,0 '=−⋅⋅⋅⋅ sscdx Afdb σβ

)2()4,01(68,0 '2xcdxd fdbM ββ −⋅⋅⋅⋅=

Temos, neste caso, 3 incógnitas (βx, A

s, σ

s), para duas equações. A solução passa

por definir βx

e com isso temos os domínios de deformação.

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