Nônio ou Vernier

É um dispositivo que nos permite efetuar a leitura das frações de unidade, ou seja, das frações da menor divisão de uma régua ou de um arco a que se adapte, e cuja invenção é atribuída a Pierre Vernier e Pedro Nunes.

O nônio ou vernier é constituído por uma pequena regüeta ou limbo circular, dividido em certo número de partes iguais, que se move ao longo de outra régua ou limbo graduados cujas divisões têm um valor conhecido (1 mm ou 1o, por exemplo). No primeiro caso temos o “nônio retilíneo” e, no segundo, o “nônio circular”.

Sua construção baseia-se no que expomos a seguir.

Nônio retilíneo (vernier)

Seja AB a regüeta denominada nônio, de comprimento correspondente a n divisões da régua de maior comprimento e graduadas em partes iguais. Suponhamos que se divida AB (nônio) em n ± k partes iguais.

Representando-se por D o valor da menor divisão da régua principal e por d o valor da menor divisão do nônio, teremos:

knDnd

dknDn

±⋅=

⋅±=⋅ )(

Designando-se por N a diferença entre D (menor divisão da régua principal) e d (valor da menor divisão do nônio), teremos:

knDkdDN

±⋅±=−= (1)

Logo, a diferença entre i partes da régua principal e outras tantas do nônio será:

knDkiNi

±⋅⋅±=⋅ (2)

Conseqüentemente, para o traço da divisão i do nônio coincidir com um traço da divisão da régua principal, é necessário que o zero do nônio esteja adiantado ou atrasado de um comprimento 0L da divisão da régua correspondente a Ni ⋅ e esse comprimento deverá ser adicionado ou subtraído à leitura feita até a divisão 0L da régua que precede imediatamente o zero do nônio, segundo este se encontre dividido em kn + ou em kn − partes iguais (na ilustração acima, n divisões da régua principal foram divididas em kn + partes no nônio).

Observação: Nos nônios circulares, tal procedimento é análogo. Os nônios acoplados nos diversos instrumentos contêm, em geral, apenas mais uma divisão que o comprimento da régua ou do arco; correspondem, no nônio, a 1+n divisões iguais, mesmo que não estejam todas gravadas, pois, considerando-se que a precisão de um nônio depende do número de suas divisões, não haverá

vantagem em sua natureza exceder o limite 501

; se tal ocorrer, a própria largura do traço fará parecer

que existem várias coincidências simultâneas entre os diversos traços do nônio e da régua. Nessas condições, teremos, nas expressões (1) e (2), 1=k e o sinal ±. Conseqüentemente, teremos:

1+=nDN

A fração D/(n + 1) é denominada natureza do nônio e exprime a diferença entre o valor da menor divisão da régua principal ou do arco e de uma divisão do nônio.

Na ilustração acima temos um nônio acoplado a uma régua cujo comprimento corresponde a 9 divisões (n = 9) da mesma. O nônio por sua vez apresenta 10 divisões e, nessas condições, sua natureza é:

mmmmnDN 1,0

101

1==

+=

Na ilustração a seguir, temos um nônio acoplado a uma régua graduada em milímetros e cujo

comprimento corresponde a 19 divisões ( n = 19) da mesma. Esse nônio apresenta 2

1+n divisões,

pois, de acordo com o anterior, estas representam, na verdade, 1+n divisões (mesmo que estejam todas gravadas).

Isso é comprovado levando-se em consideração que o comprimento do nônio corresponde a 19 divisões da escala principal ( n = 19); conseqüentemente, o nônio apresenta 20 divisões ( n ± 1 = 20). Nessas condições,

mmmmnDN 05,0

201

1==

+=

Na próxima ilustração, apresenta-se a medição de um objeto de comprimento L, determinado da maneira que segue.

a) Determina-se a natureza N do nônio: mmmmnDN 1,0

101

1==

+=

b) Ajustar o traço correspondente ao zero do nônio a uma das extremidades do objeto cujo comprimento L pretende-se medir;

c) Ler o número 0L da escala principal, correspondente ao traço da régua que precede imediatamente o traço zero do nônio;

d) Ler o número correspondente ao traço do nônio, que coincide com um dos traços da régua;

e) O valor do comprimento L é dado por: mmNiLL 4,4)1,0(440 =⋅+=⋅+= onde 0L = 4 mm; i = 4; N = 0,1 mm.

Observação: Na prática, os nônios vêm graduados de forma a indicar diretamente o produto Ni ⋅ . Observar que, na ilustração acima, o traço 4 do nônio coincide com um dos traços da escala principal. Ora, o produto Ni ⋅ será igual a 0,4. Para isso, basta ler o número que corresponde ao traço do nônio que coincide com um dos traços da régua (escala principal).

Quando temos uma medida fracionária de um dado objeto, somente um traço do nônio coincide com um traço da escala principal. Isso se deve ao seguinte teorema:

Teorema: Dado qualquer inteiro n>0 tal que n mod 10 ≠ 0, existe um único inteiro tal que (n+9k) mod 10 = 0, onde 1 ≤ k ≤ 9.

Prova: Seja k = n mod 10. Como n mod 10 ≠ 0, sabemos que k é um inteiro na faixa entre 1 e 9. Assim existe um outro 9 tal que n = 10q+k.Temos: n+9k = 10q+k+9k = 10(q+k). Essa equação mostra que n+9k é múltiplo de 10, ou seja, (n+9k) mod 10 = 0.Para estabelecer a unicidade de k, suponha i um inteiro entre 1 e 9 tal que n+9i seja também múltiplo de 10. Suponha n+9i = 10p. Então, n+9k e n +9i são ambos múltiplos de 10 e assim a diferença é também múltiplo de 10. Isso significa que (n+9k) - (n+9i) = 9(k-i) = 10s (para algum inteiro s). Agora os únicos primeiros múltiplos (menores) de 9 que são também múltiplos de 10 são –90, 0 ou 90. Assim 9(k-i) = 0 ou 9(k-i) = ± 90. Esta ultima equação implica (k-i) = ± 10 e isto é impossivel devido as duas inigualdades 1 ≤ k ≤ 9 e 1 ≤ i ≤ 9 implica –8 ≤ k - i ≤ 8. Assim, nós devemos ter 9(k-i) = 0 que implica em k-i = 0, ou seja, k=i. O numero k assim descrito deve ser unico.