NOME DO ALUNO ___________________________________________________________________________N°_________

DISCIPLINA: Matemática DATA: 27/03/2012 CURSO: Ensino Médio ANO: º A / B

BIMESTRE: 1º PROFESSOR: Alexandre da Silva Bairrada

Complexos:

1. (Insper 2012) No conjunto dos números complexos, o número 1 apresenta três raízes cúbicas: 1, 1 i 3

2

e

1 i 3

2

. Os

pontos que correspondem às representações desses três números no plano de Argand Gauss são vértices de um triângulo de área

a) 3

4

b) 3

2

c) 3 3

4

d) 3 e) 1 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Notações

N: Conjunto dos números naturais;

R: Conjunto dos números reais;

R+: Conjunto dos números reais não negativos;

i: unidade imaginária; 2i 1 ;

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;

n(A) : número de elementos do conjunto finito A;

AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z : argumento do número complexo z;

a,b x : a x b

A \ B x : x A e x B

cA : complementar do conjunto A; n

k 2 nk 0 1 2 n

k 0

a x a a x a x ... a x ,n

.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

2. (Ita 2012) Se arg z4

π , então um valor para arg (−2iz) é

a) 2

π

b) 4

π

c) 2

π

d) 3

4

π

e) 7

4

π

CCOOLLÉÉGGIIOO AADDVVEENNTTIISSTTAA DDEE SSÃÃOO JJOOSSÉÉ DDOO RRIIOO PPRREETTOO

3. (Ita 2012) Sejam 2z n (cos45º i sen 45º) e w n(cos15º i sen 15º) , em que n é o menor inteiro positivo tal que n(1 i) é

real. Então, z

w é igual a

a) 3 1

b) 2( 3 i)

c) 2( 2 i)

d) 2( 2 i)

e) 2( 3 i)

4. (Ufsm 2011) Na iluminação da praça, três novas luminárias são instaladas do seguinte modo: uma dessas luminárias é instalada na bissetriz do primeiro quadrante; a distância de cada uma delas ao ponto de encontro das linhas centrais dos dois passeios é 20 metros; a distância entre cada par dessas luminárias é a mesma. Quais números complexos a seguir representam os pontos onde foram instaladas as três luminárias?

a) 1 2 3

11 11 19 19z 20 cos i sen ;z 20 cos i sen ;z 20 cos i sen

4 4 12 12 12 12

π π π π π π

b) 1 2 3

2 2z 20 cos i sen ;z 20 cos i sen ;z 20 cos i sen

4 4 6 6 3 3

π π π π π π

c) 1 2 3

11 11 19 19z cos i sen ;z cos i sen ;z cos i sen

4 4 12 12 12 12

π π π π π π

d) 1 2 3

2 2z cos i sen ;z cos i sen ;z cos i sen

3 3 12 12 3 3

π π π π π π

e) 1 2 3

5 5z 20 cos i sen ;z 20 cos i sen ;z 20 cos i sen

3 3 6 6

π π π ππ π

5. (Fgv 2011) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x , um aluno encontrou as soluções: 2 + i e 2 - i . Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0,5). 6. (G1 - cftmg 2011) A medida do argumento dos números complexos z x yi pertencentes à reta y x , em radianos, é

a) 5

ou 4 4

π π.

b) 3

ou 2 2

π π.

c) ou 4 4

π π

d) 4

ou 3 3

π π.

7. (Fgv 2011) a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i, 3 e 6i,

respectivamente.

b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A'B'C'D' que se obtém girando 90 o losango ABCD, em torno da origem

do plano cartesiano, no sentido anti-horário?

c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o

ponto B'?

8. (Uesc 2011) O conjunto dos afixos dos números complexos z , tais que zz 2 Re z Im z determinam, no plano de

Argand-Gauss, uma região limitada, cuja área mede, em u.a., aproximadamente, a) 3,9 b) 4,2 c) 5,0 d) 5,8 e) 6,0 9. (Ita 2011) A soma de todas as soluções da equação em :

22z z iz –1 0 é igual a

a) 2.

b) i.

2

c) 0.

d) 1

.2

.

e) – 2i. 10. (Epcar (Afa) 2011) O número complexo z a bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo.

É correto afirmar que o conjugado de 2z tem afixo que pertence ao a) 1º quadrante. b) 2º quadrante. c) 3º quadrante. d) 4º quadrante. 11. (Unifesp 2011) No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z x yi, cujo módulo

(indicado por | z |) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por ) é o menor ângulo formado com OA, no

sentido anti-horário, a partir do eixo Re(z). O número complexo z i é chamado “unidade imaginária”.

a) Determinar os números reais x tais que 4z (x 2i) é um número real.

b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo 0z , cujo afixo é o ponto (0, a), a 0, determine | z | .

12. (Ifsp 2011) Sendo i a unidade imaginária, considere os números complexos z = 1 + i e w = z

2 − z. Um argumento de w é

a) .3

b) .2

c) 2

.3

d) 3

.4

e) 5

.4

13. (G1 - ifal 2011) O valor da potência 10(1 i) é:

a) 11i. b) 5i. c) 32i. d) 50i. e) 1 5i.

14. (Ufrgs 2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo n

cos i sen8 8

π π

é

negativa é

a) 3. b) 4. c) 6. d) 8. e) 9. 15. (Ita 2010) Os argumentos principais das soluções da equação em z,

iz + 3 z + (z + z )2 – i = 0, pertencem a

a) 3

, .4 4

π π

b) 3 5

, .4 4

π π

c) 5 3

, .4 2

π π

d) 3 7

, , .4 2 2 4

π π π π

e) 7

0, ,2 .4 4

π ππ

16. (Fgv 2010) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)

20 – (1 – i)

20 é igual a

a) –1024. b) –1024i. c) 0 d) 1024. e) 1024i. 17. (Ufg 2010) Considere o polinômio p(x) = x

3 − 9x

2 + 25x − 25. Sabendo- se que o número complexo z = 2 + i é uma raiz de p, o

triângulo, cujos vértices são as raízes de p , pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura:

a)

b)

c)

d)

e) 18. (Pucrs 2010) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da Orquestra da PUCRS estão representados no plano

complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos,

respectivamente, como mostra a figura:

Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação:

a) z8 = i

b) z8 = –i

c) z8

= 1 d) z

8 = –1

e) z8 = 1 + i

19. (Ufpr 2010) Considere o polinômio p(x) = x

3 − ax

2 + x − a e analise as seguintes afirmativas:

1. i = 1 é uma raiz desse polinômio.

2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x − a . 3. Para que p(−2) = −10 , o valor de a deve ser 0. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

20. (Mackenzie 2010) Se y = 2x, sendo x= 1 i

1 i

e i = 1 , o valor de (x + y)

2 é

a) 9i b) – 9 + i c) –9 d) 9 e) 9 – i 21. (Ufba 2010) Sendo z1 e z2 números complexos tais que • z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante, • z2 satisfaz a equação x

4 + x

2 − 12 = 0 e Im(z2) > 0, calcule

12

2

z3 z .

z

22. (Ibmecrj 2009) Seja z um número complexo tal que:

,i1

2z4

onde i é a unidade imaginária.

É correto afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente, a:

a) 2 e 2

π

b) 2 e π.

c) 2 e 2

3π

d) 4 e 2

π .

e) 4 e π. 23. (Mackenzie 2009)

A figura mostra uma semicircunferência com centro na origem. Se o ponto A é (- 2 , 2), então o ponto B é:

a) (2 , 2 ).

b) ( 2 , 2).

c) (1 , 5 ).

(

d) ( 5 , 1).

e) (2 , 5 ).

24. (Uel 2009) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a e b reais e a > 0 e b > 0 cujo quadrado é -5 + 12i?

a) 1

3

b) 1

2

c) 1 d) 2 e) 3

25. (Uel 2009) O número complexo

2

1 3 i

2 2

escrito na forma trigonométrica a + bi = ρ[cos(θ) + isen(θ)] é:

a) cos(θ) + isen(θ)

b) cós 6

π

+ isen 6

π

c) cos2

3

π

+ isen2

3

π

d) 3cos2

3

π

+ isen2

3

π

e) 25 5

cos isen6 6

π π

26. (Fgv 2009) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão 6 6(i 1) (1 i) é:

a) 0 b) 16 c) 16 d) 16i e) 16i 27. (Ufrj 2009) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente.

O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w.

Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.

28. (Ufc 2008) O valor do número complexo [(1 + i

9)/[1 + i

27)]

20 é:

a) 1 b) i c) - i d) -1 e) 2

20

29. (Fgv 2008) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -

1 - 2i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo

a) 2 + i. b) 2 - i. c) 1 - 2i. d) -1 + 2i. e) - 2 - i. 30. (Unesp 2008) Considere o número complexo z = cos (π/6) + i sen (π/6). O valor de z

3 + z

6 + z

12 é:

a) - i.

b) 1

2+

3

2i

c) i - 2. d) i. e) 2 i. 31. (Uft 2008) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i + 1)

8 é:

a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i 32. (Pucrs 2008) O número complexo a + bi, diferente de zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o eixo real. É correto

afirmar que seu conjugado está situado

a) sobre o eixo real. b) sobre o eixo imaginário. c) no primeiro quadrante. d) no segundo quadrante. e) no terceiro quadrante.

33. (Ufc 2007) Ao dividir 1 - i 3 por -1 + i, obtém-se um complexo de argumento igual a:

a) 4

π

b) 5

12

π

c) 7

12

π

d) 3

4

π

e) 11

12

π

34. (Ufrs 2007) O argumento do número complexo z é 6

π, e o seu módulo é 2.

Então, a forma algébrica de z é

a) - i. b) i.

c) 3 i.

d) 3 - i.

e) 3 + i.

35. (Ufrrj 2007) Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + 2( 3 ) i.

36. (Ufsm 2007) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos

minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo

a) - 2 3 + 2i

b) 2 3 - 2i

c) - 2 3 - 2i

d) - 2 + 2 3 i

e) 2 - 2 3 i

37. (G1 - utfpr 2007) Sejam z1 e z2 dois números complexos, sendo z1 = (x1 + x2) + (3 x2 - x3)i e z2 = (2 x1 + 4) + (1 - x3)i. Se z1 = z2, pode-

se afirmar que:

a) x2 = - 3. b) x1 = 11/3. c) x1 = 13/3. d) x2 = 1. e) x2 = 1/3. 38. (Unesp 2006) A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio 1.

Indique por Re(z), Im(z) e | z | a parte real, a parte imaginária e o módulo de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde

i indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém as condições que descrevem totalmente o subconjunto do plano que

representa a região sombreada, incluindo sua fronteira, é

a) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≥ 0 e | z | 1.

b) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≤ 0 e | z | 1.

c) Re(z) ≥ 0 e | z | ≥ 1.

d) Im(z) ≥ 0 e | z | ≥ 1.

e) Re(z) ≥ 0 e | z | ≤ 1.

39. (Ufla 2006) Determine os valores de x de modo que o número complexo z = 2 + (x - 4i) (2 + xi) seja real.

a) ± 2 2 b) ± 1/3 c) ± 2

d) ± 2

e) ± 3

40. (Ufrj 2005) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas

pelos números complexos z e w a seguir: z = α

cos isen2 2

π π

, w = z

2, sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.

Determine a hora do jantar.

41. (Ufrrj 2005) João deseja encontrar o argumento do complexo z = 3 + i. O valor correto encontrado por João é

a) 6

π

b) 4

π

c) 3

π

d) 2

π

e) 2

3

π

42. (Fgv 2005) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como

indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o número complexo

a) -1 + ( 3 )i

b) 1 + ( 3 )i

c) 1 - ( 3 )i

d) ( 3 ) - i

e) ( 3 ) + i

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Ao chegar a uma das livrarias do "shopping", um professor selecionou alguns livros de Matemática para o Ensino Médio, cujo

conteúdo permitiu que ele elaborasse as três questões a seguir.

Resolva essas questões, assinalando a resposta correta.

43. (Ufsm 2005) Sabendo que x é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i) / (x + 2i) é zero, então x é

a) - 1 b) 1 c) 2 d) - 2 e) 4 44. (Ufrs 2004) (1 + i)

15 é igual a

a) 64 (1 + i). b) 128 (1 - i). c) 128 (-1 -i). d) 256 (-1 + i). e) 256 (1 + i). 45. (G1 - cftmg 2004) O valor de [(1/2) + (1/2)i]

100 é

a) (-1/2)-50

b) (1/2)

-50

c) - 2-50

d) 2-50

46. (G1 - cftmg 2004) Sendo o complexo z = 2 [cos (π/6) + sen (π/6) i], calculando z

6 obtemos

a) - 32 i b) - 32 c) - 64 i d) - 64 47. (Pucrs 2004) Dados os números complexos z = a + bi e seu conjugado Z, é correto afirmar que z + Z é um número

a) natural. b) inteiro. c) racional. d) real. e) imaginário puro. 48. (Unifesp 2004) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i.

A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é:

a) 8. b) 6. c) 4.

d) 3. e) 2. 49. (Ufg 2004) O número complexo z = x + yi pode ser representado no plano, como a seguir:

Considere r = 2 2x y , o módulo de z

O número complexo z pode ser escrito como:

a) z = r (cos α + isen α) b) z = r (cos α - isen α) c) z = r (sen θ + icos θ) d) z = r (sen α - icos α) e) z = r (cos θ + isen θ) 50. (Unesp 2003) Se z = (2 + i) . (1 + i) . i, então o conjugado de z, será dado por

a) - 3 - i. b) 1 - 3i. c) 3 - i. d) - 3 + i. e) 3 + i.

51. (Pucrs 2003) Se n é um número natural par e i = 1 , então i6n

vale

a) i b) - 1 c) - i d) 1 e) 0 52. (Ufsm 2002) Dados dois números complexos na forma

z = r(cos α + i senα)

w = s(cos β + i sen β),

pode-se afirmar que z.w é igual a

a) rs [cos (αβ) - sen (αβ)] b) rs [cos (α +β) + i sen (α +β)] c) rs [cos (α - β) - i sen (α - β)] d) (r + s) (cos α . cos β - i sen α . sen β) e) (r + s) [cos (α + β) + i sen (α + β)] 53. (Ita 2002) Seja a equação em C

z4 - z

2 + 1 = 0.

Qual dentre as alternativas a seguir é igual à soma de duas das raízes dessa equação?

d) - i e) i/2

54. (Ufal 2000) Uma equação, com coeficientes reais, de menor grau possível, que admite a raiz real 1, com multiplicidade 2, e a raiz

complexa i é

a) x4 + 1 = 0

b) x4 - 1 = 0

c) x3 - x

2 - x + 1 = 0

d) x4 - x

3 + x

2 - x + 1 = 0

e) x4 - 2x

3 + 2x

2 - 2x + 1 = 0

55. (Ufal 1999) Sejam os números complexos z1 = 3 + 9i e z2 = -5 - 7i. O argumento principal do número complexo z1 + z2 é

a) 90°

b) 120°

c) 135°

d) 145°

e) 180°

56. (Ufc 1999) Considere o número complexo z = (1 + i).( 3 - i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que

zn seja um número real positivo.

a) 6. b) 12. c) 18. d) 24. e) 30. 57. (Unirio 1998)

Sejam z1 e z2 números complexos representados pelos seus afixos na figura anterior. Então, o produto de z1 pelo conjugado de z2 é:

a) 19 + 10i b) 11 + 17i c) 10 d) -19 + 17i e) -19 + 7i

58. (Uel 1998) O argumento principal do número complexo z= -1 + i 3 é

a) 11

6

b) 5

3

c) 7

6

d) 5

6

e) 2

6

59. (Fatec 1998) Seja a equação x

2 + 4 = 0 no conjunto Universo U=C, onde C é o conjunto dos números complexos .

Sobre as sentenças

I. A soma das raízes dessa equação é zero.

II. O produto das raízes dessa equação é 4.

III. O conjunto solução dessa equação é {-2,2}

é verdade que

a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) todas são verdadeiras. e) todas são falsas. 60. (Ufrs 1997) Considere z1 = -3 + 2i e z2 = 4 + i. A representação trigonométrica de z1 somada ao conjugado de z2 é

a) cos (4

π) + i sen (

4

π)

b) ( 2 ) [cos (4

π) + i sen (

4

π)]

c) cos (3

4

π) + i sen (

3

4

π)

d) ( 2 ) [cos (7

4

π) + i sen (

7

4

π)]

e) cos (7

4

π) + i sen (

7

4

π)

61. (Ufrs 1996) A forma a + bi de z = (1 + 2i ) / (1 - i ) é

a) 1/2 + 3/2i b) -1/2 + 3/2i c) -1/2 + 2/3i d) -1/2 - 2/3i e) 1/2 - 3/2i 62. (Uel 1996) Se z ={ 2 [cos(π/4) + i sen(π/4) ] }, então o conjugado de z

2 é igual a

d) 4 e) - 4i 63. (Fatec 1995) O conjugado do número complexo z = (1 - i

-1)

-1 é igual a

a) 1 + i b) 1 - i c) (1/2) (1 - i) d) (1/2) (1 + i) e) i 64. (Fuvest 1995) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i)/(α + 2i) é zero, então α é:

a) - 4. b) - 2. c) 1. d) 2. e) 4. 65. (Unitau 1995) A expressão i

13+i

15 é igual a:

a) 0 b) i. c) - i. d) - 2i. e) 3i. 66. (Fei 1994) Escrevendo o nϊmero complexo z = 1/(1 - i) + 1/(1 + i) na forma algιbrica obtemos:

a) 1 - i b) i - 1 c) 1 + i d) i e) 1 67. (Uel 1994) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 3i)/(2 - i) é

a) 1/2 - 3i b) 5/3 + (7i/3) c) -1/5 + (7i/5) d) -1/5 + 7i e) 3/5 + (4i/5)

Polinômios:

1. (G1 - ifsc 2011) Dada a função polinominal 3 2f x x x x 1 , o valor de f 3 f 0 f f 1 é:

a) - 20. b) -18. c) - 16. d) 20. e) 16. 2. (G1 - ifal 2011) Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio (x 2)(x 4)(x 5) obtém-se resto x 3. Se os restos das divisões

de p(x) por x 2, x 4 e x 5 são, respectivamente, os números A,B e C, então ABC vale

a) 100. b) 180. c) 200. d) 280. e) 360. 3. (Ufjf 2011) Dados dois polinômios A(x) e B(x) , sabe-se que S(x) A(x) B(x) é um polinômio de grau 8 e que

D(x) A(x) B(x) é um polinômio de grau 5 . É correto afirmar:

a) O polinômio W(x) B(x) A(x) tem grau 8 . b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau. c) O polinômio C(x) A(x) B(x) tem grau 13. d) O polinômio A(x) tem grau 5. e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7.

4. (Uel 2011) Para que o polinômio 3 2f x x 6x mx n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma 3

f x x b , os

valores de m e n devem ser, respectivamente: a) 3 e −1 b) −6 e 8 c) −4 e 27 d) 12 e −8 e) 10 e −27

5. (Uel 2011) O polinômio 3 2p x x x 3ax 4a é divisível pelo polinômio 2q x x x 4 . Qual o valor de a?

a) a = −2 b) a = −1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2

6. (Upe 2011) Para que o polinômio 3 26x 4x 2mx (m 1) seja divisível por x – 3, o valor da raiz quadrada do módulo de m

deve ser igual a a) 0

b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 7. (Uftm 2011) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x

4 – 2x

3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor

de m é igual a a) –2. b) –1. c) 1. d) 2. e) 3.

8. (G1 - cftmg 2011) O valor numérico da expressão 3 2 x2x x 1

2 para x 3 é

a) 10 3

2

b) 4 3

2

c) 4 3 1

d) 13 3 8

2

9. (Ita 2011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x

4 + x

2 + ax + b = 0, com a, b , então a

2 – b

3 é igual a

a) – 64. b) – 36. c) – 28. d) 18. e) 27. 10. (G1 - utfpr 2011) Quais são os polinômios que representam o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio

3 2p x x 5x 6 pelo polinômio 2d x x – 3 ?

a) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x + 21. b) q(x) = x + 5 e r(x) = – (3x + 21). c) q(x) = x – 5 e r(x) = – 3x + 21. d) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x – 21. e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21. 11. (G1 - col.naval 2011) Sejam p (x) = 2x

2010 - 5x

2 - 13x + 7 e q (x) = x

2 + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto na divisão de p(x)

por q(x), o valor de r(2) será a) -8 b) -6 c) -4 d) -3 e) -2 12. (Fgv 2010) Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dado a seguir:

Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas são (–1, 0), (1, 0) e (3,0) . O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é (0,2). Portanto o valor de P(5) é:

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 13. (G1 - cftmg 2010) Para um polinômio P, sabe-se que P(k) = 0 se, e somente se, P(x) for divisível por (x – k). Sendo a, b e –3 as

raízes do polinômio de Q(x) = x3 + 5x

2 + 4x – 6, então, a + b vale

a) – 5 b) – 4 c) – 3 d) – 2 14. (Unemat 2010) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x

4 -1 pelo polinômio D(x) = x -1, é correto afirmar.

a) Q(0) = 0 b) Q(0) < 0 c) Q(1) = 0 d) Q(-1) = 0 e) Q(1) = 2 15. (Ibmecrj 2010) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x

3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x

2 + x + 2 é igual a 4, então podemos

afirmar que a + b vale: a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 4 16. (Fuvest 2009) O polinômio p(x) = x

3 + ax

2 + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x - 2 e x - 1,

respectivamente. Assim, o valor de a é:

a) - 6 b) - 7 c) - 8 d) - 9 e) - 10 17. (Uel 2009) Na divisão do polinômio x

4 + x

3 - 7x

2 + x + 9 por x

2 + 2x + 1 pode-se afirmar que:

a) o quociente é -x2 + x + 6

b) o quociente é x2 - x + 6

c) o resto da divisão é 15 d) o resto da divisão é 14x + 15 e) a divisão é exata, isto é, o resto é 0 18. (Unifesp 2009) Considere o polinômio p(x) = x

3 + ax

2 + bx + c, sabendo que a, b e c são números reais e que o número 1 e o

número complexo 1 + 2i são raízes de p, isto é, que p(1) = p(1 + 2i) = 0. Nestas condições existe um polinômio q(x) para o qual p(x) =

(1 - x). q(x). Uma possível configuração para o gráfico de y = q(x) é:

a)

b)

c)

d)

e) 19. (Uece 2008) Se os polinômios

e Q(x) = x

3 - 4 x

2 + x + 4 são idênticos, então o valor de m/n é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 20. (Pucrs 2008) Os polinômios p(x) e q(x) têm coeficientes em IR, e seu produto é um polinômio de grau 2, igual ao de p(x). O grau

de q(x) é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 21. (Ufsm 2008) Para embalar pastéis folheados, são utilizadas folhas retangulares de papel celofane cujas dimensões são as raízes

reais positivas do polinômio P(x) = x3 - 12x

2 + 20x + 96. Sabendo que uma das raízes é - 2, o produto de duas raízes poderá ser

a) 12 b) 16 c) 96 d) - 48 e) - 16 22. (Fgv 2008) O quociente da divisão do polinômio P(x) = (x

2 + 1)

4 . (x

3 + 1)

3 por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau

a) 5. b) 10. c) 13. d) 15. e) 18. 23. (Ufpr 2007) Sabendo que o polinômio p(x) = x

4 - 3x

3 + ax

2 + bx - a é divisível pelo polinômio q(x) = x

2 + 1, é correto afirmar:

a) 2a + b = - 2 b) a + 2b = 1/2 c) a - 2b = 0 d) 2a - b = 3/4

e) a - b = - 1 24. (Ufg 2007) Considere o polinômio:

p(x) = (x - 1)(x - 3)2(x - 5)

3(x - 7)

4(x - 9)

5(x - 11)

6.

O grau de p(x) é igual a

a) 6 b) 21 c) 36 d) 720 e) 1080 25. (Pucrs 2007) Se p (x) = x

3 + a2 x

2 + a1 x + a0 é um polinômio em C e p (0) = p (- i) = 0, então p (1) é

a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2 26. (Ufu 2007) Se a unidade imaginária i é raiz do polinômio p(x) = (x

2 - 1)(x

2 + bx + c) + x, em que b e c são números reais, então, a

soma das raízes de p(x) é igual a

a) -1/4 b) -1/2 c) 1/2 d) 1/4 27. (G1 - cftmg 2006) Se os polinômios p(x) = 2x

3 + 9x

2 + 3bx - (b - 9) e q(x) = x

3 - bx

2 + 7x + 3b, quando divididos por x + 1 fornecem

restos iguais, então, o valor de b é

a) - 4 b) 0 c) 1 d) 4 28. (G1 - cftmg 2006) Para que os polinômios P(x) = (a - 2)x

3 + (1 - b)x + c - 3 e Q(x) = 2x

3 + (3 + b)x - 1 sejam idênticos, os valores de

a, b e c devem ser, respectivamente:

a) - 4, - 1 e - 2 b) - 4, 1 e - 2 c) 4, - 1 e 2 d) 4, 1 e 2 29. (Unesp 2006) Considere o polinômio p(x) = x

3 + bx

2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por

definição, o polinômio p'(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p'(1) = 0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio p(x) é:

a) x3 - x

2 + x + 1.

b) x3 - x

2 - x + 3.

c) x3 - x

2 - x - 3.

d) x3 - x

2 - 2x + 4.

e) x3 - x

2 - x + 2.

30. (Ufjf 2006) O polinômio p(x) é divisível por x + 3, por x - 1 e por x + 5. Podemos dizer que o seu grau g é:

a) g > 3. b) g < 3. c) g ≥ 3. d) g = 3. e) g ≤ 3. 31. (Uel 2005) Sobre um polinômio p(x) de grau 1, sabe-se que:

- sua raiz é igual a 2

- p( - 2 ) é igual ao dobro de sua raiz

Nestas condições, é correto afirmar:

a) p(x) = -x + 2 b) p(x) = 2x - 4

c) p(x) = x - 2 d) p(x) = x

2 - x - 2

e) p(x) = - x2 + x + 2

32. (Ita 1998) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x - 2 obtém-se um quociente q(x) e

resto igual a 26. Na divisão de p(x) por x2 + x - 1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x - 5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então,

h(2) + h(3) é igual a:

a) 16 b) zero c) - 47 d) - 28 e) 1 33. (Ufrs 1998) Os polinômios de p(x) = x

4 - 5x

3 e q(x) = x

4 - 5

a) têm exatamente as mesmas raízes. b) têm três raízes em comum. c) têm duas raízes em comum. d) têm uma raiz em comum. e) não têm raízes em comum. 34. (Pucmg 1997) No polinômio P (x) = x

3 - x

2 + 4x - 4 uma das raízes é 2i. Então, a raiz real de P (x) é:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 35. (Mackenzie 1997) P(x) = x

3 + (m + 2) x

2 + (2m + 1) x + 2

Se -2 é a única raiz real do polinômio anterior, então o número de valores inteiros que m pode assumir é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 36. (Uel 1996) Se o resto da divisão do polinômio p = x

4 - 4x

3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é

a) - 5 b) - 4 c) 5 d) 6 e) 8 37. (Uece 1996) Se Q1(x) é o quociente da divisão de x

2 + 2 por x + 1 e Q2(x) é o quociente da divisão de x

2 + 2 por x - 1, então Q1(3) +

Q2(4) é igual:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 38. (Fuvest 1996) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3. Dividindo p(x) por x-1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da

divisão de q(x) por x-3 é:

a) - 5 b) - 3 c) 0 d) 3 e) 5 39. (Fatec 1995) Os restos da divisão de um polinômio p por (x-1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e -23. O resto da divisão de p

por (x-1)(x+2) é

a) - 23 b) - 22x

c) x - 2 d) 3x + 1 e) 8x - 7 40. (Uel 1994) A equação 2x

3 - 5x

2 + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. As outras duas são tais que

a) ambas são números inteiros. b) ambas são números negativos. c) estão compreendidas entre -1 e 1. d) uma é o oposto do inverso da outra. e) uma é a terça parte da outra. 41. (Cesgranrio 1992) O valor real de a para o qual i é raiz do polinômio

P(x) = x5 + x

4 + ax - 1 é:

a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 3 42. (Cesgranrio 1990) O resto da divisão de 4x

9 + 7x

8 + 4x

3 + 3 por x + 1 vale:

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.