NOÇÕES DE LÓGICA NOÇÕES DE LÓGICA

O aprendizado da Lógica nos auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor nos prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.Nossa introdução na lógica terá como objetivo principal a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, tem a conclusão também verdadeira.

Premissa : “Todos os homens são mortais.”Premissa : “Os gregos são homens.”Conclusão : “Os gregos são mortais.”Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro.

1ª premissa: O Sol é uma estrela.2ª premissa: Toda estrela possui luz

própria.Conclusão:

CÁLCULO PROPOSICIONAL

Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

PROPOSIÇÃOPROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

• A bola é redonda.• A reta tem extremidade.• O espaço é infinito.

OBS.: Não usaremos sentenças INTERROGATIVAS ou EXCLAMATIVAS.

O Sol possui luz própria.

SÍMBOLOS PARA O CÁLCULO PROPOSICIONALSÍMBOLOS PARA O CÁLCULO PROPOSICIONAL

• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .Exemplos:   A bola é redonda: p                     A reta tem extremidade : q

• CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :

(negação) ~ );implicação-bi ou se somente e (se

);implicação ou então (se... (ou); (e);

p)(~ redonda. é não bola A 5.

q)(p e.extremidad tem reta a se somente e se redonda é bola A 4.

q)(p e.extremidad tem reta a então redonda é bola a Se 3.

q)(p e.extremidad tem reta a ou redonda é bola A 2.

q)(p e.extremidad tem reta a e redonda é bola A 1.

:Exemplos

q ~ p c)

q) p (~ ~ b)

q ~ p a)

:para verbais sentenças as Dar

tímida. é Fátima :q

graciosa. é Joana :p

:sproposiçõe as Sejam 1.

Exercícios

Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.

É falso que Joana não é graciosa ou Fátima é tímida.

Joana é graciosa e Fátima não é tímida.

SÍMBOLOS AUXILIARESSÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos

Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos:

e , , ~,

A TABELAS VERDADE A TABELAS VERDADE • Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. • Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.

Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o valor lógico(verdade ou falsidade) das proposições compostas, conhecidos os valores das proposições simples que as compõem usaremos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negação" :• ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p ~p

V F

F V

2. Tabela verdade da "conjunção" :• a conjunção é verdadeira se e somente as proposições são verdadeiras.

p q p ۸ q

V V V

V F F

F V F

F F F

3. Tabela verdade da "disjunção" :• a disjunção é falsa se, e somente, as proposições são falsas.

p q P ۷ qV V V

V F V

F V V

F F F

4. Tabela verdade da "implicação” : • a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.

p q p→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

A proposição p → q = ~ q → ~ p

5. Tabela verdade da "bi-implicação":• a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.

p q P ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula: pqp~qp

p q ~ p

V V

V F

F V

F F

p~qp pq qp pqp~qp

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

2(2,8) mmc 82 h) Ir Ir1,333... g)

73 e 3.23.52)3(5 f) )2(2 e 11 e)

142 ou 4 2 d) 11 5 ou 43

21

c)

13 ou 13 b) 24 e 13 a)

compostas. sproposiçõe seguintes das lógico valor o Determine .1

EXERCÍCIOS

756

V ˄ V = V V ˅ F = V

V ˅ F = V V ˅ F = V

F ˄ F = F V ˄ F = F

F ↔ F = V V ↔ F = F

)~(~p~r i) r p ~h) q~p ~g)

r)(qp f) r)(qp e) qr)(p d)

pr c) qp b) r p a)

abaixo. proposição cada de lógicovalor o

determine falsa, ér e sverdadeira são q e p que o Admitind.2

rq

s. e r q, p, afirmações as falsa

ou verdadeira em eclassifiqu ,verdadeira ps~q

proposição a e falsa srp proposição a Sendo .3

p = V, q = V, r = F e s = F

a) V → F = F b) V ↔ V = V c) F → V = V

d) (V ˅ F) ↔ V = V ↔ V = V

e) V → (V → F) = V → F = F

f) V → (V ˄ F) = V → F = F

g) F ↔ F = V h) F ↔ F = V i) (F ˄ F) ˅ (F → V) = F ˅ V = V

Para que p → (r ˅ s) seja falsa, é necessário que p seja (V) e (r ˅ s) seja (F). Logo, se (r ˅ s) é (F), então r é (F) e s também é (F).Para que (q ˄ ~ s) ↔ p seja verdadeira, é necessário que as duas tenha valores lógicos iguais. Como p já é (V), então (q ˄ ~ s) tem que ser (V).Logo, para (q ˄ ~ s) ser (V), os dois tem que ser (V), então q é (V).

NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADENÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n proposições distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.

Exemplo: a tabela - verdade da fórmula terá 8 linhas como segue : rqp

p q (p ۸ q) r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

rqp V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

Proposição composta do tipo P(p, q, r)

Proposição composta do tipo P(p, q, r, s) 

A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)

A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.

Exemplo Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p q) → (~p)) → (p q), onde p e q são duas ⋁ ⋀proposições simples.

Resolução: Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 22 = 4 linhas, logo: 

TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA

Tautologia - A origem do termo vem do grego tautó, que significa "o mesmo", mais logos, que significa "assunto". Portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes.É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.

Exemplo 1A proposição p (~p) é uma tautologia. Vamos verificar através da tabela verdade.

Exemplo 2A proposição (p q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V. 

p q (p q)

(p ↔ q) (p q) → (p ↔ q)

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F V V

Contradição Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

Exemplo 1 A proposição p (~ p) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição.

Exemplo 2A proposição ~(p q) (p q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F.

p

q

p q

~ (p q)

p q ~ (p q) (p q )

V

V V F V F

V

F V F F F

F

V V F F F

F

F F V F F

Contingência  Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, achamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada.

qp a)

abaixo. iasequivalênc

das validade a verdades, tabelas das meiopor Verifique, .1

rqpr

Exercício

Aliás, essa é muito grande. Não acham?Então vamos fazer somente a montagem da tabela. Ok?

qpq c)

q~p~qp~ b)

QUANTIFICADORES

Nas sentenças abertas (ORAÇÕES QUE CONTÊM VARIÁVEIS), existem duas maneiras de transformá-las em proposições:• atribuir valor às variáveis• utilizar QUANTIFICADORES

Quantificador universal  É indicado pelo símbolo , que se lê: “qualquer que seja”, “para todo” ou “para cada”. Exemplos1) p: ( x) (x + 1 = 7) = F2) q: ( x) (x3 = 2x2) = F3) r: ( x) (x2 + 1 > 0) = V

Quantificador existencial  É indicado pelo símbolo , que se lê: “existe”, “existe pelo menos um” ou “existe um”. Exemplos1) p: ( x) (x + 1 = 7) = V2) q: ( x) (x3 = 2x2) = V3) r: ( x) (x2 + 1 > 0) = V

Algumas vezes utilizamos outro quantificador: , que se lê: “existe um único”, “existe somente um”. Exemplo 1) (x + 1 = 7) = V2) ( x + 2 > 3) = F

l

)xl( )xl(

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES

Negação de uma conjunção

~ (p ˄ q) = ~ p ˅ ~ q

Negação de uma disjunção

~ (p ˅ q) = ~ p ˄ ~ q

Negação de uma implicação

~ (p → q) = p ˄ ~ q

Negação de proposições quantificadas

xp~xxpx~)2

xp~xxpx~)1

NEGAÇÃO DE ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

~ )5

~ 4)

~ 3)

~)2

~)1