Nestor_Bendo_Geracao de Abacos Para Dimensionamento de Secoes de Pilares Solicitadas Por Flexao...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUO CIVIL

NESTOR ELEUTRIO PAIVA BEND GERAO DE BACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEES DE PILARES

SOLICITADAS POR FLEXO COMPOSTA

FORTALEZA 2011

ii

NESTOR ELEUTRIO PAIVA BEND

GERAO DE BACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEES DE PILARES SOLICITADAS POR FLEXO COMPOSTA

Monografia submetida Coordenao do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal do Cear, como requisito parcial para obteno do grau de Engenheiro Civil. Orientadora: Professora Dra. Magnlia Maria Camplo Mota

FORTALEZA 2011

iii

NESTOR ELEUTRIO PAIVA BEND

GERAO DE BACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEES DE PILARES SOLICITADAS POR FLEXO COMPOSTA

Monografia submetida Coordenao do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal Cear, como requisito parcial para obteno do grau de Engenheiro Civil. Aprovada em ___/___/___

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________________________ Professora Doutora Magnlia Maria Camplo Mota (Orientadora)

Universidade Federal do Cear UFC

______________________________________________________________ Professor Doutor Joaquim Eduardo Mota


______________________________________________________________ Professor Doutor Augusto Teixeira Albuquerque


iv

Dedicado inteiramente minha famlia, que me proveu tudo o que um filho poderia precisar

v

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais Joo Bend e Jovane Paiva, que me deram a vida e a educao que

hoje tenho. minha grandssima famlia, que me ensinou que mesmo irmos so diferentes

entre si.

s minhas irms, Antonia Alanne e Joane Alinne, por me encherem de alegria e

orgulho.

Aos meus grandes amigos, Adonias, Andr, Antonio Marcos, Carina, Dcyo,

Fbio, Filipe, Jennifer, Jennysson, Jorge, Juscelino Filho, Mateus, Paulo Henrique, Renata,

Samanta, Sheldon, Wesley e Wilker, por tornarem a infncia mais alegre e ensinarem o valor

da amizade e do respeito mtuo.

s professoras (tias) do Ensino Fundamental, especialmente Francisca Tavares,

Isabel Arago, Maria das Graas e Socorro Martins, pela dedicao e proteo do eterno mais

jovem da turma.

Aos amigos que fiz no ensino mdio em Sobral (a cidade que fica no centro do

universo!), especialmente Domitila, Emerson, Helton, Jacimara, Lucas, Lucinara, Marcellus,

Marly, Pedro Henrique, Rita Irene, Ridner, Saulo, Tamises e Vincius, que me influenciaram

na escolha da Engenharia Civil como carreira (E ainda bem que no fiz Computao, como

queria!).

s minhas tias, Joana, Edina e Olga Paiva, por tornarem possvel minha vinda de

Santa Quitria para Fortaleza em 2006.

Aos amigos que aqui fiz, especialmente Adelino, Carlos David, Francisco Alan,

Iuri Arago, Iuri Barcelos, Jhonatas, Jos Graciano, Luiz Antonio, Pedro Ygor, Raul e Thiago

Bomfim, que entraram na instituio comigo em 2006, por seu companheirismo em

momentos adversos. Aos demais colegas (a maioria das duas turmas seguintes 2007 e

2008), que enfrentam os mesmos desafios que eu, e que no esto aqui listados, pois seu

nmero imenso (Por que ser que Cabo Vicento! Cabo Vicento! sempre ecoa na minha

cabea?).

Aos colegas do Centro Acadmico e do PET, por sua amizade e momentos de

descontrao. s amigas da Coordenao, Leonildes e Selimar, por sua simpatia e auxlio no

momento da concluso de curso. Ao Chiquinho, por me ajudar vrias vezes quando fiquei

preso no Campus.

s minhas tias Erotildes Bend e Eridan Paiva, e s minhas madrinhas Benedita

Bend e Francisca Paiva por seu apoio moral e financeiro em tempos de dificuldade e tambm

nos momentos de felicidade.

vi

Ao professor Silvrano Dantas, e aos colegas do Laboratrio de Mecnica dos

Solos e Pavimentao, pela amizade e pela oportunidade de trabalhar em sua pesquisa em

2009.

Aos professores Evandro Parente Junior, John Kennedy e Felipe Loureiro, por

ensinar a ter respeito pelo que fao, e por ensinar o valor de uma boa conversa com um

mestre.

professora Magnlia, por sua amizade, e por definir a rea de atuao que

pretendo seguir.

Ao professor Joaquim e seu pai, Dr. Hugo Mota, que me permitiram estagiar em

sua empresa e adquirir experincia em nosso campo de trabalho.

Aos meus sogros, Joo e Ins, por seu carinho e amizade, e ao meu cunhado, Joo

Vitor, por me levar de volta minha infncia sempre que o vejo.

minha esposa, Meiriciana, que esteve comigo e acreditou em mim quando eu

mesmo pensava em desistir. Ao meu filho, Antonio Saulo, por ser um pequeno tubaro no

meio do cardume, me mantendo focado ao resultado sem me perder.

E a todos os que contriburam, de uma forma ou de outra, para a realizao deste

trabalho.

vii

Pensar o trabalho mais pesado que h,

e talvez seja essa a razo para to poucos

se dedicarem a isso.

Henry Ford

viii

RESUMO

Pilar um elemento estrutural geralmente vertical que recebe aes predominantemente de compresso, podendo estar submetido flexo composta reta ou oblqua. No dimensionamento de pilares de concreto armado flexo composta comum o emprego de diagramas adimensionais de esforos resistentes em funo da taxa mecnica de armadura, dado que os mesmos abrangem grande faixa de valores de esforos resistentes e de sees transversais. O presente trabalho mostra como gerar bacos adimensionais para sees retangulares simtricas predefinidas, variando o cobrimento, a quantidade e a disposio das armaduras. Foi confeccionada uma planilha em Microsoft Excel que obtm os bacos para sees retangulares submetidas flexo composta reta. A planilha foi validada com exemplos apresentados na literatura consultada, e mostrou ser uma ferramenta adequada para o uso por parte de estudantes engenharia e profissionais da rea, adicionando mais possibilidades ao dimensionamento e verificao de pilares de concreto armado.

Palavras-Chave: dimensionamento, pilares, bacos adimensionais.

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Flexo Reta e Flexo Oblqua ............................................................................. 4

Figura 2.2 Flexo Simples e Flexo Composta .................................................................... 5

Figura 2.3 Comprimento de flambagem do pilar .................................................................. 7

Figura 2.4 Comprimentos de Flambagem para cada situao de vinculao ......................... 8

Figura 2.5 Classificao quanto posio em planta ........................................................... 9

Figura 2.6 Situao de projeto da excentricidade inicial e da fora normal em pilares

(CARVALHO, 2009) ........................................................................................................... 13

Figura 2.7 Aproximao em apoios extremos (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ..... 14

Figura 2.8 Imperfeies geomtricas globais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ...... 15

Figura 2.9 Imperfeies geomtricas locais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ........ 16

Figura 3.1 Rotina para obteno de diagramas de interao e bacos adimensionais .......... 22

Figura 3.2 Seo genrica empregada na planilha .............................................................. 23

Figura 3.3 Diagrama tenso-deformao parbola-retngulo do concreto .......................... 25

Figura 3.4 Diagrama tenso-deformao bilinear do ao ................................................... 25

Figura 3.5 Domnios e Regies de Deformao (adaptada de SANTOS, 1994) .................. 27

Figura 3.6 Deformaes na Regio I ................................................................................. 28

Figura 3.7 Deformaes na Regio II ................................................................................ 29

Figura 3.8 Deformaes na Regio III ............................................................................... 29

Figura 3.9 Resultante e sua posio (adaptada de SANTOS, 1994) ............................. 31

Figura 3.10 Casos para o clculo de e (adaptada de SANTOS, 1994) ......................... 32

Figura 3.11 Esforos resistentes da seo transversal ......................................................... 34

Figura 3.12 Entradas da Planilha-Base .............................................................................. 37

Figura 3.13 Iterao da planilha para uma posio da Linha Neutra ................................... 38

Figura 3.14 Interface da Planilha-Resumo ......................................................................... 39

Figura 3.15 baco gerado pela planilha............................................................................. 39

Figura 4.1 Seo do Exemplo 01 ....................................................................................... 40

Figura 4.2 Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Base ........................................................ 41

Figura 4.3 Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Resumo ................................................... 41

Figura 4.4 baco do Exemplo 01 ...................................................................................... 42

Figura 4.5 Seo do Exemplo 02 ....................................................................................... 43

Figura 4.6 Entradas do caso para a Planilha-Base .............................................................. 44

Figura 4.7 Entradas do caso para a Planilha-Resumo ......................................................... 44

x

Figura 4.8 baco gerado para o caso ................................................................................. 44

xi

SUMRIO

1 INTRODUO .............................................................................................................. 1

1.1 Objetivos ........................................................................................................... 2

1.2 Metodologia ...................................................................................................... 2

1.3 Estrutura do trabalho ......................................................................................... 3

2 DIMENSIONAMENTO DE PILARES ........................................................................... 4

2.1 Flexo Composta Normal e Oblqua .................................................................. 4

2.2 Elementos geomtricos do dimensionamento de pilares ..................................... 5

2.2.1 Dimenses mnimas .......................................................................... 5

2.2.2 Cobrimento mnimo das armaduras ................................................... 6

2.2.3 Armaduras longitudinais mximas e mnimas na seo ..................... 6

2.2.4 Comprimento efetivo de flambagem ................................................. 6

2.2.5 ndice de Esbeltez e Raio de Girao ................................................ 8

2.3 Classificao dos pilares .................................................................................... 9

2.4 Considerao dos efeitos de segunda ordem .................................................... 11

2.5 Esforos nos pilares ......................................................................................... 12

2.5.1 Excentricidades ............................................................................... 12

2.6 Mtodos de clculo dos Efeitos de Segunda Ordem ......................................... 18

2.6.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada ...................... 18

2.6.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada ...................... 20

2.6.3 Mtodo do Pilar-Padro Acoplado a Diagramas M, N, 1/r ............... 20

2.6.4 Mtodo Geral Processo Exato ...................................................... 20

3 PLANILHA PARA GERAO DE BACOS ............................................................. 22

3.1 Geometria da seo proposta ........................................................................... 22

3.2 Clculo dos esforos nos materiais .................................................................. 24

3.2.1 Relaes constitutivas dos materiais ................................................ 24

3.2.2 Domnios de Deformao e Regies de Deformao ....................... 26

3.2.3 Curvatura ........................................................................................ 30

3.2.4 Esforo resistente de clculo do concreto ........................................ 30

xii

3.2.5 Esforos resistentes nas armaduras .................................................. 33

3.3 Equilbrio da seo transversal......................................................................... 34

3.4 Planilha-Base .................................................................................................. 36

3.5 Planilha-Resumo ............................................................................................. 38

4 EXEMPLOS DE APLICAO .................................................................................... 40

4.1 Exemplo 01 ..................................................................................................... 40

4.2 Exemplo 02 ..................................................................................................... 42

5 CONCLUSO .............................................................................................................. 45

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................................. 46

1

1 INTRODUO

Pilares so elementos estruturais lineares cuja dimenso predominante se encontra

na direo vertical, estando assim submetidos principalmente a esforos de compresso axial

ou flexocompresso. A funo dos pilares na estrutura transmitir os esforos verticais das

lajes e vigas para as fundaes, bem como os esforos laterais causados pelo vento

(CARVALHO, 2009).

O dimensionamento de pilares uma importante atividade do clculo estrutural,

dada a elevada suscetibilidade dos pilares (e, consequentemente, das estruturas como um todo)

a possveis erros de execuo, sendo que alguns deles so considerados na fase de projeto

como hipteses de clculo, caso das excentricidades acidentais, por exemplo.

O dimensionamento adequado dos pilares exigido principalmente pelo perigo de

queda brusca de resistncia perante a presena de momentos fletores, que podem levar

flambagem da pea. A flambagem um fenmeno de instabilidade onde o estado de

deformao da estrutura influi no clculo dos esforos internos, caracterizando no-

linearidade geomtrica e invalidando o princpio da superposio de efeitos. Este fenmeno

denominado efeito de segunda ordem (CARVALHO, 2009).

O objetivo do dimensionamento de pilares manipular sua geometria e

caractersticas dos materiais de modo que sejam obtidas dimenses compatveis com as

exigncias arquitetnicas e de projeto estrutural, ao mesmo tempo em que se limitam os

valores dos Esforos Solicitantes de Clculo, de modo que, preferencialmente, obtenham-se

carregamentos limites em pelo menos um dos materiais, aproveitando ao mximo sua

resistncia. O objetivo da verificao de pilares obter, para a seo em questo, os esforos

resistentes de clculo, que devem superar os esforos solicitantes de clculo apresentados no

problema.

Tanto para o dimensionamento como para a verificao, bacos que forneam os

diagramas de interao que contenham os esforos limites podem ser usados, facilitando os

processos de clculo por serem empregados normalmente diagramas adimensionais.

bacos para dimensionamento de sees de pilares so equaes de superfcie que

fornecem o valor do esforo normal adimensional (), dos momentos fletores adimensionais

( e ), e taxa mecnica de armadura (), representadas em plano cartesiano por suas

curvas de nvel. Estas equaes fornecem os limites de resistncia de uma dada seo

transversal em funo de suas caractersticas fsicas e geomtricas, sendo que os valores so

2

transformados em adimensionais de modo a possibilitar o emprego de um mesmo baco para

representar vrias sees semelhantes (condio esta que garantida pela prpria geometria e

pela disposio das barras da armadura longitudinal).

Durante o perodo de graduao dos estudantes de engenharia, os professores das

disciplinas referentes a Estruturas de Concreto ensinam o uso destes bacos para

dimensionamento de sees de concreto solicitadas por flexo composta, j que no h

disponibilidade de programas de baixo custo para faz-lo (CARVALHO, 2009). No entanto,

os bacos existentes so poucos e restritos, com apenas algumas distribuies de armadura e

cobrimentos.

1.1 Objetivos

Como motivao para este trabalho, tem-se a gerao de bacos de flexo

composta reta para pilares com seo retangular macia com arranjo simtrico de armadura

num meio computacional familiar aos estudantes e engenheiros, o MICROSOFT EXCEL. O

que se pretende obter uma planilha que contenha os bacos e que possa ser empregada

facilmente para obter resultados os mais fieis possveis, aumentando significativamente a

quantidade de bacos disponveis e contemplando arranjos de armadura que o prprio usurio

proponha, permitindo uma anlise mais econmica e qualitativa dos mesmos.

Completado este objetivo ter-se- em mos um meio prtico e didtico para obter

o diagrama de resistncia para uma dada seo transversal, que deve ser testado por meio de

exemplos com disposies de armadura tipicamente adotadas pelos calculistas.

1.2 Metodologia

Para obter a planilha de clculo foram estudados desde maio de 2011 captulos de

livros contendo a formulao bsica do equilbrio de sees de pilares, caracterizando uma

pesquisa bibliogrfica exploratria.

Foi gerada uma planilha que implementa novos bacos a partir de uma seo

predeterminada, e ento validaram-se os bacos resultantes, caracterizando-se tambm uma

pesquisa analtica com estudo comparativo qualitativo.

3

1.3 Estrutura do trabalho

Este trabalho est dividido em cinco captulos, sendo o primeiro esta introduo, a

qual contextualiza o problema, os objetivos, metodologia e a estrutura do trabalho.

O segundo captulo trata dos conceitos fundamentais do dimensionamento de

pilares, definindo as caractersticas geomtricas, os esforos que devem ser calculados para

seu dimensionamento e os mtodos de clculo empregados para dimensionamento de pilares.

Apresentados os mtodos de dimensionamento, o terceiro captulo traz a planilha

para gerar bacos a partir da geometria de uma seo transversal. Segue no quarto captulo

uma srie de exemplos de aplicao da planilha citada e a discusso dos resultados.

O quinto captulo traz as concluses e sugestes para trabalhos futuros.

4

2 DIMENSIONAMENTO DE PILARES

2.1 Flexo Composta Normal e Oblqua

A flexo normal caracteriza-se quando o momento fletor atuante na seo

transversal tem a direo de um dos eixos centrais principais de inrcia. Caso contrrio, tem-

se flexo oblqua. Os eixos centrais so os que passam pelo centroide da seo, enquanto que

as direes principais de inrcia se caracterizam por conterem os extremos momentos de

inrcia da seo, sendo sempre ortogonais entre si. Tambm se encontra uma direo principal

de inrcia sempre que o produto de inrcia () para esta direo nulo (CARVALHO,

2009). Assim sendo todo eixo de simetria um eixo principal de inrcia. Ocorre tambm

flexo normal sempre que o momento solicitante perpendicular a um eixo de simetria da

seo. Nas demais situaes, ocorre flexo oblqua (Figura 2.1).

Para o clculo de concreto armado, a flexo normal muito vantajosa, pois

trabalha-se com menos equaes de equilbrio e a declividade da Linha Neutra (LN) na seo

conhecida, sendo sempre perpendicular ao eixo de simetria (CARVALHO, 2009).

L

N

L

N

a) FLEXO RETA b) FLEXO OBLQUA

Figura 2.1 Flexo Reta e Flexo Oblqua

A flexo composta ocorre quando, alm do momento fletor atuante na seo, h

tambm uma fora normal atuante, seja ela de trao ou de compresso. Quando ocorre o

esforo normal aplicado ao CG da pea, sem presena de momento fletor, tem-se trao ou

compresso centrada. A Figura 2.2 mostra as flexes simples e composta.

5

Md

CG

Md

CG

Nd

a) FLEXO SIMPLES b) FLEXO COMPOSTA

Figura 2.2 Flexo Simples e Flexo Composta

Para o caso do concreto armado, entretanto, no se pode aplicar os conceitos

acima diretamente, pois ocorre fissurao em parte da seo e a presena da rea de ao influi

sobre o clculo dos momentos de inrcia (CARVALHO, 2009).

2.2 Elementos geomtricos do dimensionamento de pilares

2.2.1 Dimenses mnimas

O item 13.2.3 da NBR 6118 (ABNT, 2003) relaciona as dimenses limites que

devem ser obedecidas para o dimensionamento de pilares, afirmando que, de maneira geral,

no devem ser admitidos em projeto pilares macios com dimenso mnima menor que

19 , a no ser que suas cargas solicitantes sejam majoradas por um coeficiente adicional

, de acordo com a Tabela 2.1 abaixo. A norma proibitiva quanto a pilares com rea de

seo transversal menor que 360 cm.

Tabela 2.1 Valores do coeficiente adicional (adaptada da Tabela 13.1 da NBR 6118 (ABNT, 2003))

b (cm) 19 18 17 16 15 14 13 12

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

Onde:

= 1,95 0,05;

a menor dimenso da seo transversal do pilar.

6

2.2.2 Cobrimento mnimo das armaduras

Os itens 6 e 7 da NBR 6118 (ABNT, 2003) so dedicados a especificar as

caractersticas necessrias estrutura e ao concreto para garantir a proteo da armaduras e a

durabilidade de elementos estruturais quando no so empregados aditivos e produtos

protetores, como a relao gua/cimento mais adequada e a resistncia caracterstica ideal

para o cobrimento das armaduras em cada caso.

O cobrimento das armaduras uma varivel relevante para o dimensionamento,

pois um dos limites de posicionamento das armaduras na seo. Os bacos existentes na

literatura so, inclusive, limitados a certos valores de cobrimento.

2.2.3 Armaduras longitudinais mximas e mnimas na seo

A armadura mnima a ser considerada em sees de pilares e tirantes, de acordo

com o item 17.3.5 da NBR 6118 (ABNT, 2003), deve ser:

, = 0,15

0,4% (2.1)

Onde:

o valor da Fora Normal Solicitante de Clculo;

a resistncia trao de clculo do ao;

a rea da seo transversal do pilar.

O valor mximo da armadura na seo transversal de pilares deve ser, j incluindo

a sobreposio das armaduras na regio de emenda por traspasse, segundo a norma:

, = 8% (2.2)

A recomendao para a taxa mnima de armadura feita sobre a considerao de

um momento mnimo que provocaria fissurao no concreto simples, sendo obedecidas as

condies para abertura de fissuras. A recomendao para a armadura mxima feita sobre a

condio de validade dos ensaios de aderncia e funcionamento conjunto dos materiais, alm

da exequibilidade do elemento estrutural.

2.2.4 Comprimento efetivo de flambagem

Comprimento efetivo de flambagem a distncia entre os pontos de momento

nulo (pontos de inflexo) do elemento estrutural em sua configurao deformada quando

7

submetido ao seu carregamento crtico. O comprimento de flambagem dependente da

condio de vinculao das extremidades do pilar.

Para um pilar vinculado em ambas as extremidades, a NBR 6118 (ABNT, 2003)

exige que o comprimento de flambagem seja o menor entre os seguintes valores (Figura 2.3):

+

(2.3)

Onde:

a distncia entre as faces internas dos elementos estruturais que vinculam o

pilar;

a altura da seo transversal do pilar medida na direo em questo;

a distncia entre os eixos dos elementos estruturais que vinculam o pilar.

l0 l

h/2

h/2

h l0+h

Figura 2.3 Comprimento de flambagem do pilar

A vinculao do pilar pode ser feita por vigas ou por lajes, no mudando a

analogia em funo da situao. No entanto, para diferentes vinculaes das extremidades, os

valores obtidos devem ser multiplicados por um coeficiente, dado para cada situao

apresentada na Figura 2.4:

8

L

le = 2L

le = 0,7L

le = 0,5L

Figura 2.4 Comprimentos de Flambagem para cada situao de vinculao

2.2.5 ndice de Esbeltez e Raio de Girao

O ndice de esbeltez de um pilar uma grandeza adimensional que depende de

suas dimenses e das condies de vinculao das suas extremidades, sendo definido como a

razo entre o comprimento de flambagem () e o raio de girao da seo transversal (),

como mostra a equao (2.4):

=

(2.4)

Onde:

=

(2.5)

Quanto maior o ndice de esbeltez de um pilar em uma dada direo, mais

provvel a ocorrncia de flambagem nesta direo. Para sees simtricas, como as

9

retangulares, definido para as duas direes, como mostram as equaes (2.6) a (2.9)

abaixo:

=,

(2.6)

=,

(2.7)

=

(2.8)

=

(2.9)

2.3 Classificao dos pilares

Carvalho (2009), com o intuito de sistematizar o estudo e melhorar a abordagem

do dimensionamento, classifica os pilares em relao a dois critrios, a saber:

Quanto posio em planta: central, lateral e de canto (Figura 2.5);

Quanto esbeltez: curto, medianamente esbelto, esbelto e muito esbelto.

a) PILARINTERNO

b) PILAR DEBORDA

c) PILAR DECANTO

Figura 2.5 Classificao quanto posio em planta

10

2.3.1.1 Classificao quanto posio em planta

A localizao do pilar em planta determina como as excentricidades do

carregamento vertical em relao seo devero ser consideradas, e a partir da o tipo de

solicitao presente no mesmo. Pilares centrais so solicitados por compresso centrada,

pilares laterais so solicitados por flexo composta reta e pilares de canto por flexo composta

oblqua (CARVALHO, 2009).

Esta classificao embasada na continuidade das rotaes entre vigas e pilares:

nos vos centrais as rotaes so pequenas, significando transmisso de pouco ou nenhum

momento fletor da viga para o pilar, enquanto que nas extremidades das vigas h rotaes

maiores, indicando transmisso de momentos fletores para os pilares de extremidade.

A NBR 6118 (ABNT, 2003), em seu item 14.6.7.1, especifica que pode ser

desprezada a transmisso de momento nos pilares centrais (considerando que as vigas so

simplesmente apoiadas nestes) e que deve haver transmisso de uma parcela do momento

fletor que seria considerado quando houvesse engastamento perfeito em pilares de

extremidade. Esta parcela deve ser proporcional rigidez de cada elemento considerado

(CARVALHO, 2009). O clculo deste momento proporcional ser mais detalhado na seo

2.5.1.

2.3.1.2 Classificao quanto esbeltez

A considerao da flambagem e dos efeitos de segunda ordem em pilares feita a

partir do valor de seu ndice de esbeltez (), como j explicado na seo 2.2.5, e enunciado

por Carvalho (2009). De acordo como o autor, a abordagem para considerao dos efeitos de

segunda ordem tem maior ou menor simplificao para determinados valores deste ndice. O

autor ainda faz a classificao dos pilares em curtos ( ), medianamente esbeltos

( < 90 ), esbeltos ( 90 < < 140 ) e muito esbeltos ( 140 < 200), dando

nomenclatura e didtica classificao da NBR 6118 (ABNT, 2003). A norma admite pilares

com ndice de esbeltez maior que 200 apenas no caso de postes solicitados por apenas 10% da

resistncia do concreto ().

As recomendaes da norma para cada um destes intervalos de ndice de esbeltez

foram resumidas no Quadro 2.1.

11

2.4 Considerao dos efeitos de segunda ordem

Conforme o item 15.8.2 da NBR 6118 (ABNT, 2003), a anlise dos efeitos locais

de segunda ordem dispensvel para pilares curtos, quando o ndice de esbeltez for menor

que o limite . Os efeitos de segunda ordem so responsveis por reduzir a resistncia do

pilar frente ao crescimento dos esforos solicitantes. O valor de dado por:

=25+ 12,5

(2.10)

Quadro 2.1 Recomendaes da NBR 6118 (ABNT, 2003) (adaptado de CAMPOS FILHO, 2011)

ndice de

Esbeltez

Considerao

dos Efeitos

de Segunda

Ordem

Processo de Clculo

Considerao

da Fluncia Exato

Aproximado

por

Diagramas

(M, N, 1/r)

Simplificado

Dispensvel

90

Obrigatria Dispensvel Permitido

Permitido Dispensvel

140 Proibido Obrigatria

200 Obrigatria Proibido

Onde:

35 90;

a excentricidade de primeira ordem;

a altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo.

O coeficiente obtido como se mostra a seguir:

a. Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

= 0,6 + 0,4

0,40 (2.11)

Com e sendo os momentos de primeira ordem nos extremos do pilar.

o momento de maior valor absoluto ao longo do elemento e deve ter o mesmo sinal de

se tracionar o mesmo lado que aquele e o sinal contrrio caso no o faa.

b. Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo

da altura:

12

= 1,0 (2.12)

c. Para pilares em balano:

= 0,80+ 0,20

0,85 (2.13)

Sendo o momento de primeira ordem no engaste e o momento no meio do

vo.

d. Para pilares com momentos menores que o estabelecido no item

11.3.3.4.3 da NBR 6118 (ABNT, 2003):

= 1,0 (2.14)

2.5 Esforos nos pilares

2.5.1 Excentricidades

Para o clculo dos esforos solicitantes, devem ser consideradas no projeto

excentricidades que representam a distncia de aplicao do Esforo Normal Solicitante de

Clculo em relao ao centro geomtrico do pilar, gerando os Momentos Fletores Solicitantes

de Clculo. Segundo Carvalho (2009) as excentricidades devem ser conhecidas por

representarem os diversos fatores que influem no dimensionamento. As excentricidades assim

definidas so classificadas em:

a. Excentricidade inicial: resulta da presena da ligao monoltica entre

as vigas e os pilares laterais e de canto. A ligao transmite momentos fletores ao pilar,

gerando a excentricidade, que pode ser obtida a partir das expresses (2.15) e (2.16) abaixo:

=

(2.15)

=

(2.16)

A excentricidade inicial ocorre em pilares independentemente da esbeltez e em

ambas as direes, dependendo apenas da presena ou no de momento solicitante (Figura

2.6). Esta de excentricidade deve ser associada s demais (CARVALHO, 2009).

Considera-se para o clculo que a estrutura seja de ns fixos (estrutura

contraventada) e submetida apenas a aes verticais (CARVALHO, 2009).

Na verificao dos mximos esforos em um pilar de edifcio, devem ser

consideradas duas situaes, uma delas na extremidade do pilar (onde a excentricidade de

primeira ordem maior que a de segunda ordem esta nula se o pilar for biapoiado) e outra

13

numa seo intermediria (onde a excentricidade de segunda ordem maior). De acordo com

Carvalho (2009), deve ser escolhida a mais crtica destas duas situaes.

y y y y

x x x x

eix

eiy eiy

eix

ei

Nd Nd

Nd Nd

a) PILARINTERNO

b) PILAR DEBORDA

c) PILAR DECANTO

Figura 2.6 Situao de projeto da excentricidade inicial e da fora normal em pilares (CARVALHO, 2009)

Na situao de extremidade, a excentricidade inicial se apresenta como na

equao (2.15) ou a equao (2.16), e deve ser somada excentricidade acidental de

desaprumo (exposta no subitem c), ou considerada a excentricidade mnima estabelecida pela

norma (subitem d). Na seo intermediria h excentricidade de segunda ordem e a

excentricidade inicial passa a ter um valor reduzido ponderado por (sendo este fator

calculado como na equao (2.11) para pilares biapoiados), portanto, segundo a igualdade

(2.17) abaixo:

= (2.17)

O item 14.6.7 da NBR 6118 (ABNT, 2003) traz uma formulao aproximada de

obter o momento proveniente da solidariedade com as vigas, advinda da teoria estudada na

Disciplina de Anlise de Estruturas, tomando o momento fletor como uma frao do momento

de engastamento perfeito, supondo que os elementos estruturais envolvidos (viga e dois

tramos de pilar) sejam construdos com o mesmo material, tendo assim o mesmo mdulo de

elasticidade. A formulao da norma mostrada nas equaes (2.18) a (2.20) abaixo:

Momento na extremidade da viga:

, = +

+ + (2.18)

14

Momento no tramo superior do pilar:

, =

+ + (2.19)

Momento no tramo inferior do pilar:

, =

+ + (2.20)

Onde:

, e a rigidez de cada elemento no n considerado;

= /, sendo o momento de inrcia de cada elemento e o comprimento do

elemento, conforme a Figura 2.7;

o momento de engastamento perfeito na ligao viga-pilar;

, o momento na extremidade inferior do pilar superior;

, o momento da extremidade superior do pilar inferior.

linf/2

lsup/2

lviga

Figura 2.7 Aproximao em apoios extremos (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003))

b. Excentricidade de forma: em virtude muitas vezes de exigncia

arquitetnica, comum que os eixos de vigas e pilares venham a no coincidir, de modo que

gerada uma excentricidade puramente geomtrica.

De acordo com Carvalho (2009) necessrio cuidado adicional quando forem

empregados programas de clculo que incluam as excentricidades de forma automaticamente,

evitando o aumento exagerado do momento fletor atuante nos pilares.

c. Excentricidade acidental: A NBR 6118 (ABNT, 2003) parte do

princpio que no h perfeio geomtrica na execuo de estruturas, incluindo no clculo as

imperfeies de posio e forma das peas, imperfeies estas chamadas excentricidades

acidentais.

15

As excentricidades acidentais so agrupadas na NBR 6118 (ABNT, 2003) em dois

grupos: imperfeies geomtricas globais e imperfeies geomtricas locais. As imperfeies

globais so consideradas como sendo um desaprumo da estrutura como um todo, calculado

como nas equaes (2.21) e (2.22):

qa

H

n Figura 2.8 Imperfeies geomtricas globais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003))

=1

100 (2.21)

= 1+

1

2

(2.22)

Onde:

o desaprumo de um elemento vertical contnuo;

,= 1/400 para estruturas de ns fixos;

,= 1/300 para estruturas de ns mveis;

,= 1/200;

a altura total da edificao em metros;

o nmero de prumadas de pilares.

A NBR 6118 (ABNT, 2003) no recomenda que o desaprumo seja superposto ao

carregamento de vento, devendo ser tomado entre eles o mais desfavorvel, que gere maior

momento na base da construo.

As imperfeies locais so computadas em apenas um lance de pilar, sendo

considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade, como mostrado na Figura 2.9.

16

l

l

l

l

l

l

l/2

ea ea

q 1 q 1

a) FALTA DERETILINEIDADE

b) DESAPRUMO

Figura 2.9 Imperfeies geomtricas locais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003))

O clculo de feito a partir da expresso (2.23):

=1

100 , (2.23)

Para o caso da falta de retilineidade, temos:

=

2 (2.24)

E, para o desaprumo:

= (2.25)

Sendo:

o desaprumo de um elemento vertical contnuo;

a altura de um pavimento;

,= 1/300 para imperfeies locais;

,= 1/200.

d. Excentricidade de primeira ordem mnima: segundo o item 11.3.3.4.3

da NBR 6118 (ABNT, 2003), pode-se substituir a considerao das imperfeies geomtricas

em um lance de pilar pela considerao da excentricidade mnima de primeira ordem, dada

pela equao (2.26), desde que a excentricidade mnima seja superior imperfeio

considerada.

, = 0,015+ 0,03 (2.26)

Onde a altura da seo transversal na direo considerada, em metros.

17

H autores que interpretam que esta excentricidade deve substituir no s a

imperfeio geomtrica considerada, mas a soma desta com a excentricidade inicial, de

acordo com o especificado no item 15.8.3.3.2. H referncia na NBR 6118 (ABNT, 2003), no

item 11.3.3.4.3, que o momento mnimo substitui o oriundo das imperfeies geomtricas

quando for maior que este. Neste trabalho, no h interesse em definir qual destas

recomendaes deve ser seguida, mas Carvalho (2009) afirma que o prprio projetista o

responsvel por adotar a interpretao que achar mais desfavorvel.

e. Excentricidade de segunda ordem: proveniente dos efeitos da

flambagem, sendo considerada em pilares cujo ndice de esbeltez supere o valor de dado

pela equao (2.10). De acordo com Carvalho (2009), para reproduzir os efeitos da

flambagem, admite-se que a compresso no pilar atue com uma excentricidade , existente

mesmo em pilares centrais, o que faz com que eles sofram flexo composta em lugar de

compresso centrada. O clculo desta excentricidade ser visto mais adiante.

f. Excentricidade suplementar devido fluncia: prevista para incluir no

clculo a fluncia do concreto, conforme a recomendao prevista no item 15.8.4 da NBR

6118 (ABNT, 2003). obrigatrio calcular esta excentricidade para pilares com ndice de

esbeltez maior que 90, e o procedimento exposto em Carvalho (2009) para obteno da

mesma acrescentar excentricidade de segunda ordem o valor mostrado na equao (2.27):

=

+

1 (2.27)

Onde:

= (10 )/ ;

e so os valores caractersticos dos esforos solicitantes devido s aes

permanentes;

a excentricidade acidental (imperfeies geomtricas);

o coeficiente de fluncia;

o mdulo de elasticidade do concreto;

o momento de inrcia da seo bruta de concreto segundo a direo analisada.

O estudo apresentado sobre excentricidades resumido pelo Quadro 2.2.

18

Quadro 2.2 Resumo do emprego das excentricidades (adaptado de CARVALHO, 2009)

Excentricidade Situaes de uso Expresses de Clculo

Inicial Em Pilares Laterais

ou de Canto

Pilar Lateral:

= /

Pilar de Canto:

= /,

= /

Sees

intermedirias:

=

De Forma Imposio de

projeto Obtida das plantas de forma

Acidental () Todas Seo Extrema:

/

Seo

Intermediria:

/2

=1

100

1

200

Mnima

Todas, se maior

que as imperfeies

geomtricas ou de

primeira ordem

,= 0,015 + 0,03 ( em metros)

De Segunda

Ordem Sempre que >

< < 90

=

,

(,)

90 < 140

=

Grficos M, N,

1/r

140 < 200

Processo geral

Suplementar Sempre que > 90 =

+

1, =

2.6 Mtodos de clculo dos Efeitos de Segunda Ordem

De acordo com Carvalho (2009) existem alguns mtodos para clculo dos efeitos

de segunda ordem, variando em preciso e grau de complexidade dos clculos. Os mtodos

mais simplificados so de emprego limitado, mas os mais sofisticados exigem emprego de

programao computacional. Os mtodos de clculo sero abordados neste trabalho apenas a

ttulo de apresentao.

2.6.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada

De acordo com Carvalho (2009), os mtodos aproximados tentam identificar a

seo mais solicitada e obter expresses que calculem o efeito de segunda ordem. Como

19

hipteses de clculo, tem-se: a flecha mxima funo da curvatura da pea; a no-

linearidade geomtrica considerada de forma aproximada por uma senoidal; a curvatura

dada pela segunda derivada da linha elstica da barra; a no-linearidade fsica considerada a

partir do clculo aproximado da curvatura na seo crtica.

O emprego do Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada permitido

apenas para pilares com 90, conforme explicitado no Quadro 2.1, sendo a forma de

clculo da excentricidade de segunda ordem dada pela equao (2.28):

= 1

10 (2.28)

Onde o comprimento de flambagem da pea e 1/ a curvatura mxima na

seo crtica, calculada de forma aproximada pela frmula (2.29) obtida a partir das

deformaes no Estado Limite ltimo, apresentada na NBR 6118 (ABNT, 2003) e vlida para

ao CA-50:

1

=

0,005

( + 0,5) (2.29)

Com:

( + 0,5) 1;

a altura da seo da direo considerada;

= /( ) o valor adimensional da fora normal.

A expresso final para o clculo da excentricidade de segunda ordem ser dado

pela equao (2.30):

=0,005

( + 0,5)

10 (2.30)

Como mostrado no Quadro 2.2.

Assim o clculo do momento total mximo, que inclui o momento de primeira

ordem, para pilares curtos e medianamente esbeltos ( 90), ser dado pela igualdade (2.31):

,= , +

10

0,005

( + 0,5) , , (2.31)

Onde:

dado pela equao (2.11);

o esforo normal de clculo;

, o momento de primeira ordem para o caso;

, o momento mnimo de primeira ordem para o caso.

20

2.6.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada

feito com base nas mesmas hipteses que o mtodo anterior, mas com a

diferena que a no-linearidade fsica considerada por uma expresso aproximada da

rigidez. Este mtodo tambm empregado para clculo de pilares com 90, mas sempre

com seo retangular constante com armadura simtrica e constante ao longo do eixo

(CARVALHO, 2009).

O momento total mximo no pilar dado pela expresso (2.32):

,= ,

1

120 /

, , (2.32)

Com a rigidez calculada aproximadamente pela equao (2.33):

= 32 1+ 5 ,

(2.33)

As variveis pertinentes j foram todas previamente definidas.

Percebe-se que o problema recursivo, exigindo clculo iterativo, sem maiores

dificuldades desde que a convergncia esteja assegurada.

2.6.3 Mtodo do Pilar-Padro Acoplado a Diagramas M, N, 1/r

Para pilares esbeltos com < 140 , Carvalho (2009) afirma que pode ser

empregado o Mtodo do Pilar-Padro com curvatura real, valendo a mesma equao (2.28).

No entanto, pelo efeito de segunda ordem se apresentar bastante elevado no caso, o clculo da

rigidez no feito pelas deformaes no ELU. A rigidez da pea no atingir o valor mximo

antes da instabilidade.

O autor traz um baco condicionado a esta situao de instabilidade, que j

considera o efeito de segunda ordem, e trazendo como sada o valor da taxa mecnica de

armadura (). Como este no um baco de Estado Limite ltimo condicionado ruptura

por deformao excessiva, no entra no escopo deste trabalho.

2.6.4 Mtodo Geral Processo Exato

Para clculo da carga crtica de flambagem, de acordo com a NBR 6118 (ABNT,

2003), item 15.8.3.2, deve ser efetuada discretizao adequada do elemento para realizar uma

21

anlise de segunda ordem no-linear, sob a considerao da relao momento-curvatura real

em cada seo e a considerao da no-linearidade geomtrica de maneira no aproximada.

Este mtodo deve ser empregado obrigatoriamente para pilares muito esbeltos

( > 140), sendo dispensvel seu uso em caso de esbeltez menor. O mtodo tambm

indicado para pilares de seo varivel e submetidos a cargas laterais (CARVALHO, 2009).

As equaes diferenciais que relacionam o momento atuante e a curvatura podem

ser resolvidas por processos aproximados, j que podem no ter soluo direta, ou por

carregamentos incrementais, acompanhando a variao de rigidez e o ponto onde a curva de

carga deslocamento atinge seu valor mximo para a direo considerada (CARVALHO,

2009).

22

3 PLANILHA PARA GERAO DE BACOS

Neste captulo ser mostrada a teoria (etapas e hipteses) que embasa a planilha

para gerao de bacos adimensionais, e a planilha resultante propriamente dita.

De acordo com Santos (1983), ao trabalhar com grandezas adimensionais, fato

que a variao das mesmas diminui. Tabelas dimensionais teriam de abranger uma faixa de

valores imensa, na ordem de 10, enquanto trabalhar com os valores reduzidos de zero a 2,0

consegue traduzir a mesma variao, e s vezes at mais. Outra grande vantagem das

grandezas adimensionais que elas tornam o problema linear: a variao da rea de ao

necessria para resistir a um par de solicitaes (, ) em relao ao no linear.

Quando tratamos com as variveis , e (ou ), h linearidade, como ser visto adiante.

Para a gerao de bacos adimensionais e diagramas de interao h uma rotina de

trabalho com passos simples, mostrada na Figura 3.1.

Figura 3.1 Rotina para obteno de diagramas de interao e bacos adimensionais

3.1 Geometria da seo proposta

Estudar a geometria da seo o passo inicial para obteno do seu diagrama de

interao. O conhecimento da forma da seo e das posies e reas das armaduras

fundamental para obter os esforos resistentes ltimos da mesma. Este trabalho se fundamenta

sobre as sees retangulares, com disposio simtrica de armaduras, submetida a apenas um

momento fletor que resulte em flexo reta.

A disposio de armaduras adotada feita ao longo da profundidade da seo,

sempre simtrica em relao sua vertical. A rea de ao em cada camada de armaduras

denominada . A poro comprimida da seo est sempre no topo da mesma, ou seja, deve

haver um pr-processamento por parte do usurio para posicionar a seo adequadamente

planilha para que seu uso seja considerado vlido. O usurio pode modificar a posio e a

Passo 1: Geometria da

Seo Proposta

Passo 2: Posio da Linha Neutra

Passo 3: Clculo das deformaes

na Seo

Passo 4: Clculo das Tenses nos

Materiais

Passo 5: Clculo de e

Passo 6: Variao da Taxa Mecnica

de Armadura

Passo 7: Obteno dos valores de e

Passo 8: Variao da Posio da Linha Neutra e volta ao Passo 3

Passo 9: Obteno da Planilha-

Resumo

Passo 10: Gerao do Grfico

23

quantidade das armaduras para configurar uma disposio ao longo do permetro. A seo

genrica empregada mostrada na Figura 3.2.

d'

hy

hx

Md

Nd

d

diAsi

d'

Figura 3.2 Seo genrica empregada na planilha

A profundidade relativa ao topo a varivel bsica de posio de qualquer ponto

da seo, sendo definida por:

=

(3.1)

Onde:

: Profundidade do ponto em relao ao topo da seo;

: Altura da seo.

A profundidade relativa ao cobrimento das armaduras () dada por:

=

(3.2)

A profundidade relativa da Linha Neutra ento:

=

(3.3)

Devem ser inseridos como entradas o nmero de barras em cada camada, a bitola

das barras inseridas nesta camada, sua profundidade em relao ao topo () e o cobrimento

destas armaduras (). O cobrimento considerado o mesmo nas quatro faces da seo. O

24

estudo para garantir o espaamento adequado entre as armaduras no feito no

processamento, sendo necessrio que o usurio verifique as condies de detalhamento em

ps-processamento.

3.2 Clculo dos esforos nos materiais

O clculo de uma seo transversal levado ao Estado Limite ltimo (E.L.U.)

exige que os esforos resultantes sejam obtidos como a soma referente ao maior esforo

possvel obtido em cada um dos materiais empregados para aquela condio do E.L.U.

(SANTOS,1994).

Desta forma, devem ser dados do problema as resistncias ltimas de cada

material, bem como seus respectivos diagramas tenso-deformao, para que assim possamos

calcular a parcela da resistncia (esforo normal e momento fletor ltimos) correspondente a

cada material.

No entanto, para a gerao de um baco genrico, apenas a caracterstica do ao

deve ser previamente um dado de entrada, j que a deformao ltima do ao interfere na

resoluo do problema, como ser visto no subitem 3.2.1.2.

A planilha gerada para este trabalho abrange o problema genrico e plota como

sada tambm um caso especfico escolha do usurio.

3.2.1 Relaes constitutivas dos materiais

3.2.1.1 Diagrama tenso-deformao do concreto

De posse da resistncia caracterstica do concreto, deve se calcular tenso de

clculo , levando em conta o coeficiente de minorao e o Efeito Rsch, resultando na

equao (3.4):

= 0,85

(3.4)

O diagrama tenso-deformao do concreto assume a forma retangular-parablica

mostrada na Figura 3.3.

25

s cd

ececu

s c

Figura 3.3 Diagrama tenso-deformao parbola-retngulo do concreto

Onde a equao (3.5) representa o trecho parablico (SANTOS, 1994).

= 4 (4 ) (3.5)

O valor de adotado neste trabalho dado na equao (3.6) (SANTOS, 1994).

= 3,5 (3.6)

O limite de emprego desta igualdade, e, por conseguinte, deste trabalho como um

todo, de 50 .

3.2.1.2 Diagrama tenso-deformao do ao

Ser adotado o diagrama bilinear empregado por Santos (1994) e mostrado na

Figura 3.4, que tem por equaes constitutivas as igualdades (3.7), (3.8) e (3.9).

fyd

esesueyd

s s

Figura 3.4 Diagrama tenso-deformao bilinear do ao

= 0 || (3.7)

26

= || > (3.8)

= 210 (3.9)

Estas equaes so vlidas tanto para a trao como para a compresso, alterando-

se apenas o limite de ruptura, que de 10 na trao e de 3,5 na compresso

(respeitando o limite do concreto).

3.2.2 Domnios de Deformao e Regies de Deformao

Caracteriza-se a runa da seo transversal para qualquer solicitao quando as

deformaes especficas ltimas de pelo menos um dos materiais so atingidas, sendo a

deformao ltima do concreto de 2 na compresso centrada e de 2 a 3,5 na flexo,

e a deformao ltima do ao de 10 tanto em trao como em compresso. Por

convenincia, doravante, quando no especificado, as deformaes estaro em .

Para estudar a ruptura da seo transversal, portanto, devemos variar a posio da

Linha Neutra e verificar qual dos materiais rompe primeiro no caso em questo. Da so

definidos seis Domnios de Deformao, tipos particulares de ruptura dependentes da

solicitao ltima em cada material.

No Domnio 1, por exemplo, a ruptura comandada pelo ao na camada inferior,

que est a 10, e no h encurtamento da seo; no Domnio 2, tambm o ao est a 10,

mas h encurtamentos na seo, e assim por diante. Ficam definidos trs polos de runa e trs

Regies que englobam os seis Domnios, como mostrado na Figura 3.5 (SANTOS, 1994).

Para obter as deformaes em um ponto qualquer da seo so empregadas

equaes de compatibilidade, levando em conta que as deformaes so constantes para uma

mesma fibra paralela Linha Neutra, bastando ento calcular a variao das deformaes em

relao LN (SANTOS, 1994).

Para simplificar o trabalho, devemos calcular as deformaes sempre em relao a

um mesmo ponto, no importa em que Domnio esteja solicitada a seo. O ponto mais

conveniente a fibra mais comprimida, que neste trabalho ser considerada sempre no topo

da seo transversal. Como nossa anlise engloba trs casos, correspondentes aos polos de

runa, vamos estud-los separadamente.

27

2 3,5

2-10

1

2

2a2b

3

4

4a

5

C

B

A

alongamentos (-) encurtamentos (+)

eyd

2 3,5

2-10

Regio III

Regio I

C

B

A

alongamentos (-) encurtamentos (+)

Regio II

DOMNIOS DE DEFORMAO

REGIES DE DEFORMAO

hy

hy

3hy/7

3hy/7

Figura 3.5 Domnios e Regies de Deformao (adaptada de SANTOS, 1994)

Na Regio I, correspondente ao Domnio 5, o diagrama de deformaes

semelhante ao apresentado na Figura 3.6, sendo o encurtamento na borda superior da seo

e o mnimo encurtamento da seo (que ocorre em sua base). Todas as retas que definem

as deformaes passam pelo ponto B (polo de runa), onde a deformao 2.

Pela Hiptese de Navier-Bernoulli, as deformaes variam linearmente,

permitindo que empreguemos semelhana de tringulos para obter a deformao na fibra

genrica (SANTOS, 1994):

=

2

37

=14

7 3 =

147 3

(3.10)

28

2

B

ec

ec0

di

x

Linha Neutra externa seo

esdi

hy

3hy/7

Figura 3.6 Deformaes na Regio I

Como as deformaes de interesse normalmente atuam sobre o ao, usaremos a

notao para a deformao na fibra genrica. Ainda por semelhana de tringulos, tem-

se, para a fibra genrica:

=

(3.11)

Substituindo-se o valor de da equao (3.10) na equao (3.11):

=14( )

7 3 (3.12)

Santos (1994) afirma que se deve ter cuidado ao empregar estas equaes em

rotinas, pois quando = 2 , tende ao infinito. A planilha gerada neste trabalho, entretanto,

no se limita com este problema de implementao, pois se limita posio da LN a =

10000.

Na Regio II, referente ao polo de runa A e englobando os Domnios 3, 4 e 4a,

temos um diagrama de deformaes como o da Figura 3.7:

Observando a Figura 3.7, percebe-se que a deformao na fibra genrica dada

por:

= 3,5

(3.13)

29

A

ec=3,5

esdidi

x

Linha Neutra

hy

Figura 3.7 Deformaes na Regio II

Que idntica equao (3.11) com = 3,5. Alm do mais, para > ,

resulta negativo automaticamente.

Por fim, na Regio III, a deformao no ao constante e igual a 10, gerando

um diagrama como o presente na Figura 3.8:

C

ecesdi di

x Linha Neutra

10

d'

hy-d'

Figura 3.8 Deformaes na Regio III

Da Figura 3.8, tem-se:

=10

=

10( )

=10( )

1 (3.14)

A equao que relaciona e :

=

10

=10

=10

1 (3.15)

30

3.2.3 Curvatura

A curvatura do eixo da pea numa dada seo transversal uma grandeza

dimensional dada pela equao (3.16) (SANTOS, 1994).

1

=

(3.16)

Onde:

1/: curvatura, medida em () ou (), por exemplo;

: diferena entre as deformaes em duas fibras genricas quaisquer da

seo;

: distncia entre as fibras medida perpendicularmente Linha Neutra.

Como mais vantajoso trabalhar com adimensionais, Santos (1994) definiu a

curvatura adimensional nos termos da equao (3.17):

= 1000 1

(3.17)

Tomadas como fibras relevantes o topo da seo e a linha neutra, e aplicando

equao (3.16):

1

= 0

=

(3.18)

Substituindo (3.18) em (3.17):

= 1000 = 1000

(3.19)

com em nmero puro. Para em , tem-se (SANTOS, 1994):

=

(3.20)

O autor preocupa-se com o caso em que = 0, pois = 0 e a equao (3.20)

fica invalidada. A planilha no sofre com esta dificuldade, pois a varivel comea o

clculo iterativo com o valor de 0,1.

3.2.4 Esforo resistente de clculo do concreto

A parcela do esforo normal resistida pelo concreto e a parcela do momento fletor

resistida pelo concreto ficam determinadas quando obtemos a resultante das tenses no

concreto () e seu ponto de aplicao () em relao fibra mais encurtada (SANTOS,

1994).

31

Quando no possvel empregar diagramas de tenso-deformao simplificados,

o clculo destas duas incgnitas parte muito trabalhosa, exigindo integraes numricas ou

processos lentos. Para contornar esta dificuldade, Santos (1994) definiu dois coeficientes

adimensionais, a saber:

=

(3.21)

e

=

(3.22)

Onde:

: Esforo normal resistido pelo concreto reduzido adimensional;

: Momento fletor resistido pelo concreto reduzido adimensional;

: Parcela do esforo normal resistido exclusivamente pelo concreto;

: Posio do esforo normal descrito acima em relao ao topo da seo.

Os valores de e so obtidos a partir de e , e usados para o clculo do

equilbrio da seo, visto mais adiante. Ainda necessrio calcular e , o que feito

obtendo-se as tenses em cada fibra comprimida do concreto (lembrando mais uma vez que

no se considera que o concreto trabalhe trao) e integrando sobre a rea comprimida da

seo, conforme mostram as equaes (3.23) e (3.24) e a Figura 3.9.

=

(3.23)

=

(3.24)

Linha Neutra

xy

dy

a Rcc

s c

hx

hy

Figura 3.9 Resultante e sua posio (adaptada de SANTOS, 1994)

32

Dado o Domnio em que se encontra a seo na ruptura, o concreto pode estar

parcial ou totalmente comprimido, fato j expresso no clculo de . Alm do mais, quando

a deformao no concreto atinge o valor de 2 (escoamento), a funo que define suas

tenses de compresso muda de parbola para retngulo, assim definindo quatro casos de

estudo para o clculo de e , detalhados na Figura 3.10.

LN

s c

33

=

(3.25)

=

(3.26)

definido como o encurtamento mnimo da seo, ocorrendo na base da seo

para o caso de , e na LN para < , sendo nulo neste caso. Assim, as integrais nas

equaes (3.25) e (3.26) podem ser reescritas simplesmente como:

=

(3.27)

=

(3.28)

Os quatro casos definidos na Figura 3.10 ficam resumidos a dois: estado elstico e

estado plstico, dependendo apenas do escoamento do concreto. Santos (1994) efetuou todas

as integraes pertinentes para a seo retangular e aplicou os resultados s definies de e

, equaes (3.21) e (3.22). Para o estado elstico, valem as equaes (3.29) e (3.30):

=(6 )

(6 )

12 (3.29)

=(8 )

(24 16 4 + 3 )

48 (3.30)

Para o estado plstico, valem as equaes (3.31) e (3.32):

=12 8

(6 )

12 (3.31)

=16 32 + 24

(24 16 4 + 3

)

48 (3.32)

A nulidade de no interfere no emprego de nenhuma destas frmulas,

conforme j foi mostrado por Santos (1994). evidente que deve ser no nulo, o que

sempre garantido na planilha.

3.2.5 Esforos resistentes nas armaduras

Os esforos resistentes nas armaduras so de clculo muito mais simples do que

no concreto, pois no so necessrias integraes. Basta calcular as deformaes em cada

barra, a partir das quais se obtm as tenses nas mesmas empregando as equaes (3.7) e

(3.8). O clculo destas deformaes foi feito no subitem 3.2.2. A fora nas armaduras de uma

camada (chamada de neste trabalho) ser dada pela equao (3.33):

34

= (3.33)

O momento de cada uma destas foras em relao ao centroide da seo

transversal (chamado de neste trabalho) ser dado pela equao:

= (0,5 ) (3.34)

Onde = 0,5 a distncia do centroide da seo transversal borda

tracionada (ou menos encurtada), conforme Santos (1994).

3.3 Equilbrio da seo transversal

De posse dos valores de , (ou e ), e (estes dois ltimos para cada

camada de armaduras), as equaes de equilbrio para a resistncia ltima da seo podem ser

finalmente escritas. A soma destes esforos melhor compreendida com o auxlio da Figura

3.11.

hy

hx

c2=0,5hy

di

Asi

L NNd

Md

Rcc

As1s sd1

Asis sdi

Asns sdn

Figura 3.11 Esforos resistentes da seo transversal

O equilbrio da seo transversal escrito nas equaes (3.35) e (3.36):

= +

(3.35)

= 0,5 + (0,5 )

(3.36)

35

Trabalhando com adimensionais, teremos (SANTOS, 1994):

=

+

(3.37)

= 0,5

+

(0,5 )

(3.38)

Com os adimensionais mostrados em Santos (1994):

=

(3.39)

=

(3.40)

=

(3.41)

=

(3.42)

=

(3.43)

=

(3.44)

Podemos escrever as equaes (3.37) e (3.38) como mostrado nas equaes (3.45)

e (3.46):

= +1

(3.45)

= 0,5 +1

(0,5 )

(3.46)

Santos (1994) expressa a relao entre e , mostrada na equao (3.47):

=

(3.47)

Que permite reescrever as igualdades (3.45) e (3.46) como segue nas equaes

(3.48) e (3.49):

= +

(3.48)

36

= 0,5 +

(0,5 )

(3.49)

Os valores de , e dependem da posio da linha neutra na seo, para uma

dada posio desta ltima fica comprovada a linearidade entre , e em uma mesma seo

transversal.

Duas variveis auxiliares na planilha so definidas nas equaes (3.50) e (3.51):

1 =1

(3.50)

2 =1

(0,5 )

(3.51)

Ambas so constantes para uma mesma posio da linha neutra, justificando seu

uso para reduzir as frmulas empregadas na planilha.

3.4 Planilha-Base

Com a formulao acima mostrada foi possvel gerar a planilha para uma seo

retangular simtrica genrica de concreto armado, sendo estipulado um mximo de 30

camadas de armadura, com o cobrimento de armaduras desejado pelo usurio. Os dados de

entrada da Planilha-Base so mostrados na Figura 3.12.

37

Figura 3.12 Entradas da Planilha-Base

So feitas iteraes com diferentes posies de linha neutra (LN), e para cada

posio varia-se a taxa mecnica de armadura (), obtendo assim os valores do esforo

normal reduzido adimensional () e do momento fletor reduzido adimensional (). A primeira

posio da LN = 0,1, variando desta a = 2 de 0,05 em 0,05; a partir da, de 0,25 em

0,25 at = 3 ; da, de 0,5 em 0,5 at = 4 ; ento, = 5 , = 10, = 100, =

1000 e = 10000 completam as cinquenta iteraes feitas pela planilha. Como exemplo de

trecho de planilha que abrange uma iterao, apresenta-se a Figura 3.13.

GEOMETRIA DAS ARMADURAS:

Camada i: n Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm)

1 2 0,1000 25 10 0,785

2 12,5 1,227

3 16 2,011

4 20 3,142

5 25 4,909

6

7

8

9 bx (in) Domnio bx (fim)

10 Regio III 0 2 0,233

11 Regio II 0,233 3 0,565

12 Regio II 0,565 4 0,9

13 Regio II 0,9 4a 1

14 Regio I 1 5 10000

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25 Fi = Fora nas Armaduras

26 Mi = Momento das foras nas Armaduras em relao ao centroide da seo

27

28

29

30 2 0,9000 25

Razo d'/h = d =

0,1

1 =1

(

)

2 =1

[ 0,5

]

=

=

=

=

=

38

Figura 3.13 Iterao da planilha para uma posio da Linha Neutra

Os quatro valores de taxa mecnica de armadura no canto inferior direito da

Figura 3.13 correspondem s situaes de projeto, a saber: taxas mxima e mnima

regulamentadas pela NBR 6118 (ABNT, 2003), taxa de projeto para a seo da planilha-

resumo (item 3.5) e situao de Concreto Simples (teoricamente sem necessidade de

armadura).

3.5 Planilha-Resumo

Plotados em um grfico, os valores obtidos diretamente das iteraes geraro uma

srie de retas, uma para cada posio da LN variando a taxa de armadura. No entanto, os

bacos so comumente traados levando em conta a resistncia ltima para uma dada taxa de

armadura, obrigando assim o tratamento dos dados e sua organizao por este critrio.

Ao fim do tratamento, os grficos gerados so curvas, como esperado das

envoltrias de resistncia de uma dada seo para cada taxa de armadura.

A planilha-resumo faz a verificao de uma seo de projeto, com dimenses e

solicitaes dadas pelo usurio (sendo as armaduras as mesmas selecionadas na planilha

base), plotando o ponto correspondente s solicitaes na mesma srie de curvas que

representam a resistncia da seo. Isso facilita a interpretao dos resultados, se levarmos em

conta que uma das 24 curvas plotadas no baco gerado a curva resistente de projeto da seo

Iterao: 1 Camada i: n Barras: bi: ei () ssdi Bitola: Asi Fi Mi w = n = m =

1 4 0,25 -2,308 -434,8 20 12,566 -5463,639 -1365,910 0,05 0,0072 0,0265

Posio de Linha Neutra: 2 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,10 -0,0428 0,0265

3 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,15 -0,0928 0,0265

bx = 0,1 4 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,20 -0,1428 0,0265

5 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,25 -0,1928 0,0265

Domnio: 2 6 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,30 -0,2428 0,0265

7 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,35 -0,2928 0,0265

8 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,40 -0,3428 0,0265

Clculo das Deformaes: 9 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,45 -0,3928 0,0265

bi e () 10 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,50 -0,4428 0,0265

Topo: 0,00 1,538 11 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,55 -0,4928 0,0265

Linha Neutra: 0,10 0,000 12 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,60 -0,5428 0,0265

Base: 1,00 -13,846 13 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,65 -0,5928 0,0265

14 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,70 -0,6428 0,0265

Curvatura adimensional majorada: 15 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,75 -0,6928 0,0265

16 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,80 -0,7428 0,0265

q = 15,385 17 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,85 -0,7928 0,0265

18 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,90 -0,8428 0,0265

Encurtamento Mnimo da Seo: 19 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,95 -0,8928 0,0265

20 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 1,00 -0,9428 0,0265

ec0 = 0 21 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000

22 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Mnimo: 0,15 -0,0927 0,0265

Clculo de h: Clculo de h': 23 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Mximo: 0,95 -0,8976 0,0265

24 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Projeto: 0,85 -0,7927 0,0265

h = 0,05720 h' = 0,00207 25 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000

26 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 C.S.: 0,00 0,0572 0,0265

As = 25,1327 27 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000

Soma 1 = -1,0000 28 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000

Soma 2 = 0,0000 29 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000

30 4 0,75 -10,000 -434,8 20 12,566 -5463,639 1365,910

39

e outras duas delas so a representao da resistncia para as taxas de armadura mnima e

mxima normatizadas.

A Figura 3.14 mostra um trecho da interface da planilha-resumo, onde possvel

alterar as dimenses da seo e as solicitaes de clculo.

Figura 3.14 Interface da Planilha-Resumo

Aps o clculo de todos os valores pertinentes, a planilha gera um grfico

adimensional, como o mostrado na Figura 3.15.

Figura 3.15 baco gerado pela planilha

GEOMETRIA DA SEO TRANSVERSAL:

GEOMETRIA DO CONCRETO:

hx = 20 cm Ac = 600 cm

hy = 30 cm fck = 30 MPa

SOLICITAES DE CLCULO:

Nd = 0,00 kN nd = 0,0000 wmn = 0,00

Md = 70,29 kNm md = 0,2144 wmx = 0,95

wd = 0,125

=> =>

40

4 EXEMPLOS DE APLICAO

Os exemplos aqui mostrados so idnticos aos presentes no Captulo 4 de

Carvalho (2009), sendo seus resultados comparados com os advindos da verificao feita pela

planilha como critrio de validao.

4.1 Exemplo 01

Este exemplo se apresenta na pgina 286 de Carvalho (2009).

Calcular a quantidade de armadura necessria (considerada simtrica) para

uma seo transversal retangular (Figura 4.1), com = 3 , = 30 , ao CA-50 e

momento atuante = 70,29 .

30

20

3

Mk=70,29 kN.m

Nk=0

Figura 4.1 Seo do Exemplo 01

Carvalho (2009) encontrou = 0 , = 0,255, e, correspondendo a estas

solicitaes, = 0,61 ( = 18 , ou 425).

Os valores de entrada da planilha so mostrados na Figura 4.2 e na Figura 4.3.

41

Figura 4.2 Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Base

Figura 4.3 Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Resumo

Depois que a planilha gerou todos os resultados, o baco adimensional foi

desenhado e mostrado na Figura 4.4.



1 2 0,1000 25 10 0,785

2 12,5 1,227

3 16 2,011

4 20 3,142

5 25 4,909

6

7

8


10 Regio III 0 2 0,233

11 Regio II 0,233 3 0,565

12 Regio II 0,565 4 0,9


14 Regio I 1 5 10000

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24



27

28

29

30 2 0,9000 25

Razo d'/h = d =

0,1

1 =1

(

)

2 =1

[ 0,5

]

=

=

=

=

=



hx = 20 cm Ac = 600 cm



Nd = 0,00 kN nd = 0,0000 wmn = 0,04

Md = 98,41 kNm md = 0,2551 wmx = 0,95

wd = 0,664

=> =>

42

Figura 4.4 baco do Exemplo 01

A curva correspondente taxa de armadura mnima est muito prxima da

situao de concreto simples para esta seo, de acordo com a planilha. A taxa de armadura

de projeto est mais prxima do mximo normatizado, enquanto que o ponto correspondente

solicitao se apresenta muito prximo da curva de projeto ( 0,63, sendo = 0,664).

4.2 Exemplo 02

Este exemplo se apresenta na pgina 290 de Carvalho (2009).

Calcular as armaduras para a seo apresentada (Figura 4.5) para a seguinte

solicitao:

43

30

20

3

Nk

Mk

Figura 4.5 Seo do Exemplo 02

Solicitao: = 918 e = 41 .

A geometria das armaduras idntica do Exemplo 01 alterando-se apenas a

bitola das barras para 20, situao ilustrada na Figura 4.7 (o autor encontrou =

12,4 ). A Planilha-Resumo mostra a solicitao no caso (Figura 4.7). O baco gerado para

o caso mostrado na Figura 4.8.



1 2 0,1000 20 10 0,785

2 12,5 1,227

3 16 2,011

4 20 3,142

5 25 4,909

6

7

8


10 Regio III 0 2 0,233

11 Regio II 0,233 3 0,565

12 Regio II 0,565 4 0,9


14 Regio I 1 5 10000

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24



27

28

29

30 2 0,9000 20

Razo d'/h = d =

0,1

1 =1

(

)

2 =1

[ 0,5

]

=

=

=

=

=

44

Figura 4.6 Entradas do caso para a Planilha-Base

Figura 4.7 Entradas do caso para a Planilha-Resumo

Figura 4.8 baco gerado para o caso

O ponto que representa as solicitaes corresponde a uma taxa de armadura

0,39, enquanto que = 0,425, indicando adequao dos resultados.



hx = 20 cm Ac = 600 cm



Nd = 1285,20 kN nd = 0,9996 wmn = 0,15

Md = 57,40 kNm md = 0,1488 wmx = 0,95

wd = 0,425

=> =>

45

5 CONCLUSO

Foi obtida uma planilha capaz de realizar a verificao de sees transversais

retangulares simtricas submetidas flexo composta reta, permitindo que o

dimensionamento de um pilar que tenha estas caractersticas seja feito com relativa facilidade.

A planilha se adequa s condies de posio das armaduras e cobrimentos de

acordo com a necessidade do usurio, aumentando significativamente a quantidade de bacos

adimensionais presentes na literatura e fornecendo meio para que estudantes e profissionais de

engenharia ampliem a preciso de seus projetos e verificaes. No entanto, necessria a

validao completa da planilha com maior quantidade de exemplos, que abranjam mais casos

de solicitao em Domnios de Deformao diferentes, para verificar a atuao desta planilha

nestas situaes.

Sugere-se para trabalhos futuros: a obteno do diagrama de resistncia exato

correspondente a um par de esforos solicitantes e a confeco de uma planilha que obtenha

os diagramas de resistncia para a flexo composta oblqua.

46

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR 6118:2003. Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento. 1 Edio. Rio de Janeiro, 2004. 221 p. CARVALHO, R. C. Clculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado, Volume 2. 1 Edio. So Paulo: Ed. PINI, 2009. 589 p. CAMPOS FILHO, A. Projeto de pilares de concreto armado. Rio Grande do Sul, 2011 SANTOS, L. M. Clculo de concreto armado, segundo a nova NB-1 e o CEB. So Paulo: Ed. LMS Ltda, 1983. SANTOS, L. M. Sub-rotinas bsicas do dimensionamento de concreto armado. So Paulo: Ed. Thot, 1994.

Nestor_Bendo_Geracao de Abacos Para Dimensionamento de Secoes de Pilares Solicitadas Por Flexao...

Documents

Transcript of Nestor_Bendo_Geracao de Abacos Para Dimensionamento de Secoes de Pilares Solicitadas Por Flexao...