N Graus de Liberdade
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porChedasSampaioJaneiro2014
NGrausdeLiberdade
NGrausdeLiberdade
-
ESTRUTURADAAPRESENTAO
Introduo
Frequnciasnaturaisemodos
Coordenadas
Vibraolivre
Vibraoforada
NGrausdeLiberdade
-
INTRODUO
NGrausdeLiberdade
-
O nmero de graus de liberdade de um sistema determinado pelo nmero de partes mveis e pelo nmerode direces que cada parte pode moverse.
Mais de 1 gdl significa mais de uma frequncia natural, o quefaz aumentar a probabilidade de ocorrncia da ressonncia.
Tambm significa mais direces (modos) de vibraosegundo as quais o sistema susceptvel de ser excitado.
Introduo
NGrausdeLiberdade
-
O conhecimento destas frequncias naturais ecorrespondentes modos de vibrao permitirnos decidircomo alterar o sistema para obter o comportamentodesejado.
Introduo
NGrausdeLiberdade
-
ento necessrio discretizar o sistema em N graus deliberdade:
)()()()( tftxKtxCtxM
1m 2m
Nm2k
1k3k
Nk
2c1c
3cNc
3m
Introduo
NGrausdeLiberdade
-
Introduo
A equao de equilbrio dinmico de um sistema de N GDLcom amortecimento viscoso :
)()()()( tftxKtxCtxM
aplicadas foras de vector -
sacelerae vector -
locidades vector ve-
tosdeslocamen vector -
rigidez matriz -
viscosontoamortecime matriz -
massa matriz -
onde
(t)f
(t)x
(t)x
(t)xKCM
NGrausdeLiberdade
-
Introduo
A matriz de rigidez inclui as propriedades de cada elementoestrutural, incluindo as dimenses, o 2 momento de rea eas constantes elsticas. Esta matriz permite definir as forasde restituio elstica em cada grau de liberdade e determinada a partir da formulao da energia dedeformao:
XKXU T
2
1
aconsiderad frequncia todeslocamen de amplitudes de vector - X
NGrausdeLiberdade
-
XMXT T
2
1
Introduo
A matriz de massas inclui a propriedade massa especfica paraalm das dimenses da seco. Esta matriz permite definir asforas de inrcia que actuam em cada grau de liberdade. determinada a partir da formulao da energia cintica:
aconsiderad frequncia e velocidadde amplitudes de vector - X
NGrausdeLiberdade
-
Introduo
A matriz de amortecimento permite definir as forasdissipadoras que actuam em cada grau de liberdade. Comono existe nenhum mtodo que defina rigorosamente oamortecimento de cada elemento estrutural, esta muitasvezes assumida, mais por razes de anlise terica, comoproporcional matriz de rigidez e/ou matriz de massa.
NGrausdeLiberdade
-
Introduo
Estas trs matrizes constituem omodelo espacial.
As suas dimenses so NxN e so simtricas. Os vectores dedeslocamentos, de velocidades, de aceleraes e de forasso invariveis no tempo e contm os termos respectivos detranslao segundo as direces ux, uy e uz e de rotaosegundo x, y e z.
NGrausdeLiberdade
-
EXEMPLO 1: o modelo da vibrao transversal de um edifciode dois andares (desprezando o amortecimento)
)()()()( tftxKtxCtxM
Introduo
NGrausdeLiberdade
-
)()()()( tftxKtxCtxM
Introduo
NGrausdeLiberdade
1m
2m tx2
tx1 2k
1k
12222
1221111
NewtondeLei 2 a Aplicando
xxkxmxxkxkxm
ou
0
0
221222
2212111
xkxkxmxkxkkxm
EXEMPLO 1: o modelo da vibrao transversal de um edifciode dois andares (desprezando o amortecimento)
-
)()()()( tftxKtxCtxM
Introduo
NGrausdeLiberdade
1m
2m tx2
tx1 2k
1k
finalmente
0
0
0
0
2
1
22
221
2
1
2
1
xx
kkkkk
xx
mm
EXEMPLO 1: o modelo da vibrao transversal de um edifciode dois andares (desprezando o amortecimento)
0
0
221222
2212111
xkxkxmxkxkkxm
-
EXEMPLO 2: o modelo da vibrao vertical de um automvel(desprezando o amortecimento)
Introduo
NGrausdeLiberdade
-
Introduo
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 2: o modelo da vibrao vertical de um automvel(desprezando o amortecimento)
Um automvel tem muitos graus deliberdade. Mas se s estivermos interessadosna comodidade dos passageiros e nos efeitosque a vibrao vertical translacional erotacional tem na mesma, podemossimplificar e considerar esses dois graus deliberdade, x e , no movimento da carroaria.
-
Introduo
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 2: o modelo da vibrao vertical de um automvel(desprezando o amortecimento)
Os amortecedores do automvel fornecem rigidez e amortecimento. Ospneus tambm mas, uma vez que as frequncias a que estes vibram nocontacto com as rugosidades da estrada so muito superiores sfrequncias naturais da carroaria, podemos desprezlos.
-
EXEMPLO 2: o modelo da vibrao vertical de um automvel(desprezando o amortecimento)
Introduo
NGrausdeLiberdade
0
0ou
222
2112211
221121
222111
2211
LkLkxLkLkJ
LkLkxkkxm
LLxkLLxkJLxkLxkxm
Do diagrama de corpo livre e da 2 Lei de Newton obtemse:
-
EXEMPLO 2: o modelo da vibrao vertical de um automvel(desprezando o amortecimento)
Introduo
NGrausdeLiberdade
0
0
0
02
222
112211
221121
x
LkLkLkLkLkLkkkx
Jm
ou
-
FREQUNCIASNATURAISEMODOS
NGrausdeLiberdade
-
NGrausdeLiberdade
Vejamos agora o sistema de 2 gdl, no amortecido e livre, ecalculemos a sua resposta x(t):
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
txtx
kkkk
txtx
mmmm
cuja soluo conhecida como sendo:
tj
tj
eXeX
txtx
2
1
2
1
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Derivando duas vezes:
tj
tj
eXeX
txtx
22
12
2
1
E substituindo na equao matricial:
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2221
12112
tj
tj
tj
tj
eXeX
kkkk
eXeX
mmmm
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Pondo em evidncia o vector deslocamento:
E como nunca zero, a igualdade verificase se:
0
0
2
1
2221
1211
2221
12112 tjeXX
kkkk
mmmm
tje
0
0
2
1
2221
1211
2221
12112
XX
kkkk
mmmm
Da soluo do sistema s ser possvel obter a direco dovector X e no a sua amplitude, uma vez que X tambm soluo qualquer que seja a constante . Assim, a soluoser um vector de amplitude arbitrria.
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Para que o vector X, que representa os deslocamentosmximos de cada uma das massas, seja diferente de zero(soluo trivial), pois a soluo em que h vibrao, a matrizquadrada no pode ter inversa.Para uma matriz no ter inversa necessrio que o seudeterminante seja nulo, logo:
0det2221
1211
2221
12112
kkkk
mmmm
KM 2
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Resolvendo o determinante, obtemse uma equaopolinomial de grau 4 em ou de grau 2 em 2:
cuja soluo :
2112221122111221211222112211222114 kkkkkmmkmkmkmmmm
211222112112221121122211
22211122121122211
21122211
221112212112221122
21
2
4
2,
mmmmkkkkmmmmkmmkmkmk
mmmmkmmkmkmk
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Logo:
0det2221
1211
2221
12112
kkkk
mmmm
0)1(21 XMK 0)2(22 XMK
Ou seja, obtemos duas frequncia naturais (e quatrosolues):
21 e Temos ento quatro solues que satisfazem a equao:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Substituindo:
0)1(
22222
121212
1
12122
111112
1
Xkmkmkmkm
0)2(
22222
221212
2
12122
211112
2
Xkmkmkmkm
que nos permitir obter o vector X para cada frequncianatural.
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Como a equao linear, aplicando o princpio dasobreposio, a soluo geral igual soma das quatrosolues obtidas:
tjtjtjtj eXdeXceXbeXatx 2211 2211
Frequnciasnaturaisemodos
Onde a, b, c e d so constantes de integrao a determinarcom as condies iniciais. Aplicando a frmula de Euler temse:
tXjdtXdtXjctXc
tXjbtXbtXjatXatx
22
22
22
22
11
11
11
11
sincossincos
sincossincos
ou
tdcjXtdcXtbajXtbaXtx
22
22
11
11
sin
cossincos
-
NGrausdeLiberdade
obtemse:
22221111 sinsin tAXtAXtx
Frequnciasnaturaisemodos
Sabendo que sincoscossinsin e considerando que
-
NGrausdeLiberdade
As constantes A1 e A2 e os ngulos 1 e 2 calculamseentrando com as condies iniciais, deslocamentos evelocidades das massas 1 e 2 no instante 0:
222
2
21
1112
11
20
10
2
1 sinsin0
0 AX
XA
X
Xxx
xx
2222
2
21
11112
11
20
10
2
1 coscos0
0 AX
XA
X
Xxx
xx
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
22221111 sinsin tAXtAXtx A equao acima permite concluir que cada massa vibra sfrequncias e .
Estas frequncias so designadas de frequncias naturais.Tambm possvel concluir que, com as condies iniciaisadequadas, as massas podero vibrar s frequncia (casode A2 =0) ou s frequncia (caso de A1 =0). No primeirocaso, a posio relativa das massas dada pelo vector X(1) e,no segundo caso, pelo vector X(2). Ao primeiro habitualdesignarse de primeiro modo de vibrao e ao segundo desegundo modo de vibrao.
1 2
12
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
11xk
122 xxk 1m
2m
tx1 2k
1k
tx2 2m
1m
11, xx
22 , xx
Calcular as frequncias naturais, os modos de vibrao e aresposta livre de um sistema fsico aproximado por ummodelo de dois graus de liberdade com as seguintespropriedades:
kgm 91 kgm 12 mNk /241 mNk /32
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
As equaes so dadas por
0
0
221222
2212111
xkxkxmxkxkkxm
0
0
0
0
2
1
22
221
2
1
2
1
txtx
kkkkk
txtx
mm
ou
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
As frequncias naturais obtmse da resoluo dodeterminante:
ou0
0
0det
22
221
2
12
kkkkk
mm
21
21212
2112
21
211222
21 2
4
2,
mmkkmmkmkm
mmkmkm
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
Logo:
Os modos obtmse das equaes:
221 422
0
01
2
11
222
12
22112
1
X
Xkmk
kkkm
0
02
2
21
222
22
22112
2
X
Xkmk
kkkm
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
Substituindo na primeira equao (primeiro modo):
Como as equaes do sistema anterior no so linearmenteindependentes s conseguimos obter a relao dedeslocamentos ou seja:
0
0
13
391
2
11
X
X
03
0391
21
1
12
11
XX
XXou
3
11
2
11 XX
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
Substituindo na segunda equao (segundo modo):
Obtendose:
ou
0
0
13
392
2
21
X
X
03
0392
22
1
22
21
XX
XX
3
12
2
21 XX
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
Se normalizarmos unidade os deslocamentos da massa 1obtemos
matriz
3
11
2
11
X
X 3
12
2
21
X
X
33
112
21
2
21
11
XXXX
chamamos matriz modal.
-
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
Graficamente:
1m
2m
1m
2m
-
NGrausdeLiberdade
Calculemos a resposta livre para as seguintes condiesiniciais:
110 x 020 x 010 x 020 x
2222
21111
2
2222
11111
1
2
1
sinsin
sinsin
tAXtAX
tAXtAXtxtx
txVimos que dada por:
E que:
33
112
21
2
21
11
XXXX 221 422
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Logo:
2211
2211
2
1
2sin32sin3
2sin2sin
tAtA
tAtAtxtx
tx
Que para resolver necessitamos das condies iniciais:
0
1
sin3sin3
sinsin
0
00
2211
2211
2
1
AAAA
xx
x
0
0
cos6cos23
cos2cos2
0
00
2211
2211
2
1
AA
AAxx
x
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
De que resulta no seguinte sistema de equaes, dondepretendemos calcular os A e os :
Se neste caso relativamente fcil resolver o sistema deequaes nolineares, para sistemas de gdl superior a 2 jno verdade.
0cos6cos23
0cos2cos2
0sin3sin3
1sinsin
2211
2211
2211
2211
AA
AA
AAAA
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Multiplicando a 3 equao por 3e somando a 4:
Donde se conclui que:
0cos6cos23
0cos2cos2
0sin3sin3
1sinsin
2211
2211
2211
2211
AA
AA
AAAA
0cos26 11 A
21
Substituindo este valor na 4 equao: 0cos6
2cos23 221
AA
Concluise que:
22
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Substituindo os valores obtidos na1 e 2 equaes obtemse:
02
sin32
sin3
12
sin2
sin
21
21
AA
AA
Finalmente:
0cos6cos23
0cos2cos2
0sin3sin3
1sinsin
2211
2211
2211
2211
AA
AA
AAAA
2
12
1
2
1
A
A
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Substituindo na soluo j obtida:
22sin
2
3
22sin
2
3
22sin
2
1
22sin
2
1
2
1
tt
tt
txtx
tx
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Soluo x(t)
(MathCad RespostaLivre2gdl.xmcd)
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
1modo 2modo(MathCad RespostaLivre2gdl.xmcd)
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
AnimaoeresoluoemSolidWorks
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Calculemosagoranumericamenteasoluox(t).Relembremosaequaodiferencial:
0)()( txKtxM
Podemos reescrevla como:
)()( 1 txKMtx
Faamos a seguinte mudana de variveis (representao emEspaoEstado):
)()(
)()(
2
1
txtu
txtu
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Substituindo na equao diferencial obtmse o sistema:
ou
tuKMtu
tutu
11
2
21
tutu
KMtu
tu
2
1
1
2
1
0
10
que est na forma de:))(,()( tutftu
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
E agora aplicar um mtodo numrico de soluo deequaes diferenciais, como o Euler, Runge, RungeKutta,etc Apliquemos o RungeKutta de 4 ordem usando oMathCad (RespostaLivre2gdl.xmcd):
Que como podemos observar reproduz muito bem assolues analticas (exactas).
EXEMPLO 3:
Frequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
O Mtodo de Holzer um mtodo iterativo que permitecalcular as frequncias naturais e os modos de vibrao deum sistema de N GDL semidefinido. Um sistema semidefinido um sistema sem condies de fronteira (livre).
So exemplos: um comboio, um avio em voo, o veio de umnavio.
MtododeHolzerFrequnciasnaturaisemodos
-
NGrausdeLiberdade
Consideremos o seguinte sistema de 3 gdl semidefinido:MtododeHolzer
Frequnciasnaturaisemodos
Aplicando a 2 Lei de Newton:
322233
3222211122
211111
xkxkxmxkxkxkxkxm
xkxkxm
-
NGrausdeLiberdade
Consideremos o seguinte sistema de 3 gdl semidefinido:MtododeHolzer
Frequnciasnaturaisemodos
Sabendo que a soluo do tipo:
e substituindo nas equaes anteriores
a segunda derivada
tjtjtj
tjtjtjtjtj
tjtjtj
eXkeXkeXmeXkeXkeXkeXkeXm
eXkeXkeXm
322232
3
3222211122
2
211112
1
tjXetx tjXetx 2
-
NGrausdeLiberdade
Consideremos o seguinte sistema de 3 gdl semidefinido:MtododeHolzer
Frequnciasnaturaisemodos
ou (como nunca 0)
somando todas as equaes32223
23
3222211122
2
211112
1
XkXkXmXkXkXkXkXm
XkXkXm
03
1
2i
iiXm
tje
-
NGrausdeLiberdade
Podemos generalizar este resultado a N GDL:MtododeHolzer
Frequnciasnaturaisemodos
Na prtica este mtodo um mtodo tabular que procura asfrequncias (frequncias naturais) e os deslocamentos Xi(modos de vibrao) que anulam a funo.
A metodologia estimar uma frequncia , calcular osdiversos Xi comeando por fixar o deslocamento X1 em 1 eterminar calculando o somatrio. Depois estimase outrafrequncia e repetese o procedimento at o somatriomudar de sinal.
01
2i
N
iiXm
-
NGrausdeLiberdade
Podemos generalizar este resultado a N GDL:MtododeHolzer
Frequnciasnaturaisemodos
Mudando de sinal sabemos que estamos perto da frequncianatural. Nesta altura estimase uma frequncia entre as duasanteriores.
O procedimento repetese at obtermos uma estimativasatisfatria de cada uma das frequncias naturais. Nessaaltura os Xi calculados representam o modo respectivo.
01
2i
N
iiXm
-
COORDENADAS
NGrausdeLiberdade
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoOs sistemas de equaes dos exemplos anteriores consistemem duas equaes diferenciais ordinrias de segunda ordemacopladas. Dizemse acopladas porque cada equao envolvemais de uma coordenada independente.
Fisicamente o acoplamento significa que o movimento deuma massa afecta o movimento da outra, e vice versa.
NGrausdeLiberdade
0
0
221222
2212111
xkxkxmxkxkkxm
0
0
222
2112211
221121
LkLkxLkLkJ
LkLkxkkxm
Coordenadas
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoQuando as equaes de um sistema so acopladas nenhumadelas pode ser resolvida independentemente da outra e, porisso, tm de ser resolvidas simultaneamente.
Dizse que um acoplamento esttico quando ascoordenadas envolvidas so deslocamentos. O acoplamentodizse amortecido ou de velocidade quando as coordenadasenvolvidas so velocidades e dizse de massa ou de inrciaquando as coordenadas envolvidas so aceleraes. Quandoo acoplamento envolve tanto velocidades como aceleraesdizse dinmico.
NGrausdeLiberdade
Coordenadas
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoA forma geral das equaes do movimento de um sistema de2 graus de liberdade sem amortecimento e livre :
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
xx
kkkk
xx
mmmm
Seguidamente iremos demonstrar que um sistema vibratriopode ser descrito por mais de um conjunto independente decoordenadas espaciais, a que chamamos coordenadasgeneralizadas.
Da escolha dessas coordenadas depender o tipo deacoplamento.
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoA forma geral das equaes do movimento de um sistema de2 graus de liberdade sem amortecimento e livre :
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
0
0
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
xx
kkkk
xx
mmmm
Tambm demonstraremos que possvel obter um conjuntode coordenadas sem acoplamento, a que chamaremoscoordenadas principais.
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
sabendo que em (b) x2 e foram escolhidos de tal forma que:
4231 LkLk
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Vejamos em primeiro lugar as coordenadas x1 e :
221211111
2121111
LLxkLLxkJLxkLxkxm
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
ou:
0
0
0
0 12
222
112211
2211211
1 x
LkLkLkLkLkLkkkx
Jm
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
ou:
0
0
0
0 12
222
112211
2211211
1 x
LkLkLkLkLkLkkkx
Jm
Nestecasooacoplamentoocorresnamatrizderigidez(esttico)
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Analisemos agora as coordenadas x2 e . Uma fora estticaaplicada em 2 faz deslocar a barra em translao sem rodar.Esta observao faznos antecipar que no existiracoplamento esttico.
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Por outro lado, durante a vibrao, a fora de inrciaem cg criar um momento em 2 que tender a rodar abarra na direco .
2xm exm 2
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Ora a rotao em torno de 2 gera um deslocamentoem cg e, portanto, uma fora na direco de x2 .
eme
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
E assim:
2442233212
4223212 xmeLLxkLLxkJ
meLxkLxkxm
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
ou:
0
0
0
0 22
422
31
212
2 x
LkLkkkx
Jmemem
Nestecasooacoplamentoocorresnamatrizdemassa(inrcia)
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Finalmente analisemos as coordenadas x3 e :
31323
132313
0
xmLLLxkJ
mLLxkxkxm
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
ou: Nestecasooacoplamentoocorreemambasasmatrizes(esttico+inrcia)
0
0 32
22
2213
31
1
x
LkLkLkkkx
JmLmLm
-
CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoPodemos ento concluir que:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
1. A escolha das coordenadas uma mera convenincia2. O sistema vibrar s suas frequncias naturais e
respectivos modos de vibrao independentementedas coordenadas escolhidas
3. O acoplamento das equaes no uma propriedadeintrseca do sistema tal como o so as frequnciasnaturais
-
CoordenadasprincipaisOs exemplos anteriores mostram que talvez seja possvelescolher um conjunto de coordenadas que resulte numsistema desacoplado. A vantagem seria que a soluo poderiaser facilmente obtida resolvendo cada equaoindependentemente.
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
-
CoordenadasprincipaisSuponhamos que temos um sistema desacoplado e, portanto,descrito por coordenadas principais p:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
cujo sistema de equaes :
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
pp
kk
pp
mm
0
0
2222
1111
pkpmpkpm
-
CoordenadasprincipaisRecordando os sistemas de 1 gdl, a soluo de cada equaodo sistema:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
:
0
0
2222
1111
pkpmpkpm
2222
1111
tsenPtptsenPtp
onde:
2
222
1
121 e m
kmk
-
CoordenadasprincipaisOu seja:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Recordemos a soluo de um sistema com coordenadasgeneralizadas:
222
111
2
1
tsenPtsenP
tptp
tp
ou 22221111 sinsin tAXtAXtx
2222
21111
2
2222
11111
1
2
1
sinsin
sinsin
tAXtAX
tAXtAXtxtx
tx
-
CoordenadasprincipaisNote que se fizermos:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
22
11
PAPA
Podemos obter a transformao de coordenadas:
22
11
tptp
XXXX
tPtP
XXXX
tPXtPX
tPXtPXtxtx
tx
2
1
22
12
21
11
222
111
22
12
21
11
2222
21111
2
2222
11111
1
2
1
sin
sin
sinsin
sinsin
-
CoordenadasprincipaisE de:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
tptp
XXXX
txtx
2
1
22
12
21
11
2
1
Finalmente:
txtx
XXXX
tptp
2
1
1
22
12
21
11
2
1
Concluise que as coordenadas principais so o produto dainversa da matriz modal pelo vector das coordenadasgeneralizadas.
-
CoordenadasprincipaisEXEMPLO 4:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Vejamos como se resolve o exemplo 3 pelas coordenadasprincipais. Sabemos que a soluo em coordenadas principais:
Lembrando os sistemas de 1 gdl livre no amortecidos:
222
111
2
1
sin
sin
tPtP
tptp
tp
20
2202
2
2
20220
10
1101
2
1
10210
2
1
atansin
atansin
pptpp
pptpp
tptp
tp
0
0
222222
111111
pkpmpkpm
-
CoordenadasprincipaisEXEMPLO 4:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Como vimos anteriormente:
logo:
txtx
XXXX
tptp
2
1
1
22
12
21
11
2
1
5.0
5.0
0
1
33
11
0
0
33
11
0
01
2
1
1
2
1
xx
pp
0
0
0
0
33
11
0
0
33
11
0
01
2
1
1
2
1
xx
pp
-
CoordenadasprincipaisEXEMPLO 4:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Substituindo:
ou
0
25.0tan2sin
2
05.0
0
25.0tan2sin
2
05.0
12
2
1
2
2
2
1
t
t
tptp
tp
22sin5.0
22sin5.0
2
1
t
t
tptp
tp
-
CoordenadasprincipaisEXEMPLO 4:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Mas como:
temos
22sin5.0
22sin5.0
33
11
2
1
t
t
txtx
tx
tptp
XXXX
txtx
2
1
22
12
21
11
2
1
-
CoordenadasprincipaisEXEMPLO 4:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
Finalmente:
ou
22sin5.0
22sin5.0
33
11
2
1
t
t
txtx
tx
22sin
2
3
22sin
2
3
22sin
2
1
22sin
2
1
2
1
tt
tt
txtx
tx
-
SimetriaNos exemplos anteriores as matrizes massa e rigidez sosimtricas. Ser que sero sempre simtricas?
Veremos que no. Na verdade a simetria assegurada se asdeflexes so medidas a partir de uma posio fixa no espao.
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
-
SimetriaConsideremos o seguinte sistema de 2 gdl:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
-
SimetriaCuja equao matricial :
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
tFtF
xx
kkkkkk
xx
cccccc
xx
mm
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
No caso de ser no amortecido e livre:
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
xx
kkkkkk
xx
mm
-
SimetriaSuponhamos que vamos escolher as coordenadas q tais que:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
122
11
xxqxq
cuja relao pode traduzirse por:
2
1
2
1
11
01
xx
qq
ou:
2
1
2
1
11
01
qq
xx
-
SimetriaSubstituindo na equao matricial:
Coordenadas
NGrausdeLiberdade
obtemse o mesmo sistema mas descrito pelas coordenadasq:
que, como podemos ver, no possui matrizes massa e rigidezsimtricas.
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
xx
kkkkkk
xx
mm
0
00
2
1
22
1
2
1
22
1
qq
kkkkk
qq
mmm
-
VIBRAOLIVRE
NGrausdeLiberdade
-
Vibraolivre
A soluo da equao homognea representa a vibrao daestrutura quando perturbada da sua situao de equilbrio edeixada a vibrar sem solicitaes externas (vibrao livre):
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
Consideremos a equao com amortecimento nulo:
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
0)()( txKtxM
A soluo deste tipo de equao (diferencial, 2 ordem,homognea) bem conhecida:
tjeXtx )(
sendo as suas derivadas:tjeXjtx )( tjeXtx 2)(
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
Substituindo na equao:
02 tjtj eXKeXM
NGrausdeLiberdade
0)()( txKtxM
e pondo em evidncia a exponencial:
02 tjeXMK como: 0tje para qualquer instante ttemos que: 02 XMK conhecido como um problema generalizado de valores evectores prprios.
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
Desta equao:
NGrausdeLiberdade
0)()( txKtxM
evidente que a existir
A equao para ter uma soluo diferente da trivialno pode admitir a existncia da inversa:o mesmo dizer: 0det 2 MK que uma equao algbrica, conhecida como equaocaracterstica do sistema, e que tem N solues reaispossveis conhecidas como frequnciasnaturais.
02 XMK Xtambm ser soluo comX
zero de diferente constante0 X 12 MK
222
21 ,...,, N
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
Substituindo cada uma destas frequncias naturais naequao
NGrausdeLiberdade
0)()( txKtxM
e resolvendo o sistema de N equaes obtmse N possveisvectoresconhecidos por modos ou vectores prprios.
)..1( )( NrX r 02 XMK
Da soluo deste sistema de equaes s ser possvel obtera direco dos vectores X e no a sua amplitude uma vez queX tambm soluo qualquer que seja a constante . Assim,a soluo sero vectores X de amplitude arbitrria.
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
A soluo completa da vibrao livre muitas vezes expressaem duas matrizes NxN (Modelo Modal):
NGrausdeLiberdade
0)()( txKtxM
2
22
21
00
0...0
0...0
N
)()2()1( ,...,, N
Matriz espectral
Matriz modal
Notese que esta matriz no nica uma vez que tambm soluo.
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
00
00
00
rT mM
00
00
00
rT kK
A matriz constituda pelos vectores prprios coluna uma matriz ortogonal, ou seja: )( 0)()( srsTr Se pr e ps multiplicarmos as matrizes massa e rigidez:
Obtmse duas matrizes diagonais conhecidas por matrizmassa modal e matriz rigidez modal, respectivamente. Notese que estas matrizes variam os seus valores com a matrizmodal.
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
No entanto, qualquer que seja a matriz modal , verificase aigualdade:
2r
r
r
mk
Como no h soluo nica para a matriz modal, uma vez quecada modo que se obtem constitudo por amplitudesrelativas, costumase normalizar esta matriz. Uma dasnormalizaes mais usuais a normalizao unidade queconsiste em dividir todos os elementos de cada vector pelomaior elemento do respectivo vector.
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
Outra normalizao a normalizao de massa de tal modoque:
NGrausdeLiberdade
0)()( txKtxM
IMT que neste caso se costuma representar por : IMT A matriz modal com normalizao de massa pode obtersede:
rrTr
r
rTrr
rr
Trr
rTr
mM
MMM
IM
11
1
que sabendo
)()(
)()(2)()()()(
T
logo:
)()( 1 r
r
r
m
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
IMT
00
00
002r
T K
Se pr e ps multiplicarmos as matrizes massa e rigidez pelamatriz modal com normalizao de massa:
Matriz espectral
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
As propriedades de ortogonalidade da matriz modal podemser aproveitadas para se obter a soluo da equao:
0)()( txKtxM
Fazendo a transformao de coordenadas:
e substituindo na equao: tptx
se prmultiplicarmos pela transposta da matriz modal: 0)( tpKtpM 0)( tpKtpM TT
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
Logo:
obtendose assim um sistema de N gdl transformado em Nsistemas independentes de 1 gdl que pode ser resolvidousando as solues estudadas nos sistemas de 1 gdl.
De notar que um caso particular do desacoplamento dasequaes o caso da matriz modal ser a matriz comnormalizao de massa:
0)(\\\\ tpktpm rr
0)(\2\ tptp r
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
Em qualquer dos casos este sistema de equaes desacoplado e constitudo por equaes de sistemas de 1gdl. Logo, a equao r :
cuja soluo vimos ser:
0)(2 tptp rrr
0
0atan
00
2
2
r
rrr
r
rrr p
ptsenpptp
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
A este mtodo de clculo da resposta do sistema chamaseMtodo da Anlise Modal que no mais que fazer uso datransformao de coordenadas generalizadas emcoordenadas principais.
tptx
Para obtermos as condies iniciais em coordenadas p(t)temos de fazer a transformao de coordenadas:
tx 00 1xp
Depois de calcularmos p(t) obtemosatravs da transformao de coordenadas:
00 1xp
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
Calculemos a resposta x(t) do sistema do exemplo 3 pelomtodo da anlise modal. Usemos o MathCad(RespostaLivre2gdl.xmcd):
EXEMPLO 5:
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 5:Clculo dos valores prprios
Clculo dos vectores prprios
Reordenao da matriz dos vectores prprios (para garantirque as colunas so os modos por ordemcrescente)
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 5:Clculo das condies iniciais em coordenadas principais
Clculo das respostas em coordenadas principais
-
Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre
0)()( txKtxM
NGrausdeLiberdade
EXEMPLO 5:Clculo das respostas nas coordenadas iniciais
E como podemos verificar a soluo coincide com a soluoexacta:
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoproporcionalVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Consideremos agora a soluo da equao:
0)()()(
txKtxCtxM
A anlise modal, em geral, no pode ser usada para resolveresta equao a no ser que se verifique a relao:
CKMKCM 11 Ora se
MKC com e constantes reaisa relao verificase e chamase amortecimento proporcional.
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoproporcionalVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Fazendo a mudana de varivel tptx obtemse
Logo 0)()()( txKtxMKtxM
0)()()( \\\\\\\\ tpktpmktpm rrrr Substituindo e prmultiplicando por T
Este sistema de N equaes constitudo por equaesindependentes de sistemas de 1 GDL cuja equao r :
0)(2 2 tptptp rrrr
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoproporcionalVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
onde ou
e cuja soluo no caso de
22 rrrr
rr
22
10 r
:
00
10atan1sin
1
000e
22
2
2
2- r
rrrr
rrrrr
rr
rrrrr
tr pp
ptppptp r
O modelo modal ento constitudo por
e -1 2 rrrr
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Em geral o amortecimento no proporcional e, por isso, omtodo de soluo anterior no se aplica uma vez que no seconseguem obter as N equaes desacopladas.
Em muitas situaes, quando o amortecimento pequeno,podem desprezarse os termos fora da diagonal da matriz C eassim obterse uma soluo aproximada pelo mtodo daanlise modal.
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Quando no possvel uma aproximao, a forma correcta deresolver a equaoconsiste em transformar o problema enunciado numproblema espaoestado. Comecemos por definir o vector:
0)()()(
txKtxCtxM
tx
txtu
e reescrevamos a nossa equao
0
0
0
0
0tu
MK
tuM
MC
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
ou mais simplesmente
A soluo desta equao do tipo:
1212221222 0 NNNNNNN tuBtuA
teUtu derivando teUtu e substituindo na equao acima, sabendo queobtemse 0 UBA
0te
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
ora um problema generalizado de valores e vectores prprioscuja soluo so 2N valores prprios pares conjugadoscomplexos e 2N vectores prprios pares conjugadoscomplexos.
Podemos dizer que h N valores e vectores prprioscomplexos e outros N valores e vectores prprios complexosconjugados dos primeiros.
0 UBA
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Cada valor prprio pode escreverse como:
jrrrrr21
onde r aproximadamente a frequncia natural do sistema noamortecido.
A matriz modal tambm neste caso tem propriedades deortogonalidade, ou seja, pode desacoplar as equaes dosistema: 0 tuBtuA
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Assim, se fizermos a mudana de varivel:
0 tpBtpA tptu
e substituirmos na equao:
se agora prmultiplicarmos por T 0 tpBtpA
obtemse 0\\\\ tpbtpa rr
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
O sistema de equaes desacoplado que se obtem
abba
bPePeaPetp
PPetptbptpa
tt
t
t
logo ,0 seja,ou
0 dosubstituin
derivando
cte, tipodo soluo a
0
um sistema cuja soluo de cada equao independente :
0\\\\ tpbtpa rr
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
A soluo ento
entrando com a condio inicial p(0) obtemse o valor daconstante P:
tabPetp
0ou 0 0 pPPep finalmente, a equao r ter ento a soluo:
tabrr rr
eptp 0
-
Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre
0)()()(
txKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Podemos concluir que o sistema livre com amortecimentoviscoso no proporcional:
para as condies iniciais
tptx tem a soluo:
0)()()(
txKtxCtxM 0x 0x
-
VIBRAOFORADA
NGrausdeLiberdade
-
VibraoforadaharmnicaVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
A soluo desta equao diferencial do tipo
Derivando e substituindo na equao obtmse:
tjeFtxKtxMKtxM )()()(
tjeXtx )(
FXMMKjK 2
Consideremos agora a soluo do sistema forado por umafora harmnica:
-
VibraoforadaharmnicaVibraoforada
NGrausdeLiberdade
ou
matriz () dse o nome de receptncia e constitui omodelo de resposta deste sistema. Cada elemento da matrizreceptncia, ou FRF, representa a resposta na coordenada i auma fora unitria aplicada na coordenada j.
12 MMKjK
ji,
)()()()( tftxKtxCtxM
-
VibraoforadaharmnicaVibraoforada
NGrausdeLiberdade
Da observao da figura podemos ver as frequncias deressonncia do sistema, ou seja, onde se verificam as amplitudesde resposta mximas. Tambm vemos que algumas frequncias deressonncia podem no ser excitadas. Isto acontece quando oponto de aplicao da fora num nodo do modo respectivo ouquando se mede num nodo desse modo.
ji,
)()()()( tftxKtxCtxM
-
VibraoforadaharmnicaVibraoforada
NGrausdeLiberdade
Por exemplo, na figura seguinte so apresentados os primeiros 3modos flexo de uma viga livrelivre.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
21
1
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
21
1
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
21
1
2
0.09446m
FRFdavigalivrelivreparaumaforaaplicadaemx=0.4emedidaemx=0m
FRFdavigalivrelivreparaumaforaaplicadaemx=0.09446memedidaemx=0m
)()()()( tftxKtxCtxM
Nesta ltima figura a fora foi aplicada num nodo do 3 modo.
-
Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
A soluo desta equao diferencial do tipo
Derivando e substituindo na equao obtmse:
tjeFtxKtxM )()(
tjeXtx )(
FXMK 2
Consideremos agora a soluo do sistema no amortecidoforado por uma fora harmnica:
-
Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
A inverso da matriz no o melhor mtodo para calcular areceptncia.
Vejamos o seguinte:
Se pr e ps multiplicarmos pela matriz modal comnormalizao de massa:
Logo: 12 MK
MKTT 21 MK 21
-
Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
ou
e
Obtemse: IrT 2\2\1 \22\1 rT
Tr 1\22\ finalmente:
N
r r
kririk
122
Respostaemiparaumaforaunitriaemk
-
Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
ou
N
r r
kririk
122
constantemodalkririk
r A
N
r r
ikr
ikA
122
-
Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Para calcularmos a resposta txfazemos a transformao de coordenadas:
e substituindo na equao: tptx
se prmultiplicarmos pela transposta da matriz modal: tftpKtpM )(
tftpKtpM TTT )(
-
Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
obtemos:
cuja equao r :
cuja soluo j conhecemos.
tftpktpm Trr )(\\\\ tjrrr eftpktpm )(
-
Vibraoforadaharmnica.ComamortecimentoVibraoforada
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
onde:
tjeFtxKtxCtxM )()(No caso de amortecimento viscoso proporcional:
MKC podese demonstrar que :
N
r rrr
kririk j1 22 2
-
VibraoforadaTransmissibilidade
NGrausdeLiberdade
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabaseMuitas vezes as mquinas so excitadas harmonicamente atravs dosseus apoios elsticos. Por exemplo, um edifcio excitadoharmonicamente pela passagem prxima de um comboio ou umveculo. Neste caso, a equao diferencial dada por:
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
)cos()( tYty
00
0 11
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
2
1 tyctyktxtx
kkkkk
txtx
ccccc
txtx
mm
onde:
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
e substituindo pelas matrizes:
A soluo desta equao diferencial do tipo
Derivando e substituindo na equao obtemse:
tjeXtx )(
0
112 YcjYkXMCjK
011
1
22
2222
22212
121
2
1 YcjYkcjmkcjk
cjkccjmkkXX
sabendo que:
dcbaacbd
dcba
det
1
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
temos:
0det
11
22
2222
22212
121
212
12122
2222
22
2
1 YcjYk
cjmkcjkcjkccjmkkccjmkkcjk
cjkcjmk
XX
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
logo, as transmissibilidades sero:
22
2222
22212
121
1122
221
detcjmkcjk
cjkccjmkkcjkcjmk
YX
22
2222
22212
121
11222
detcjmkcjk
cjkccjmkkcjkcjk
YX
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
em grfico X1/Y:
1
11 m
k2
22 m
k11
11 2 m
c22
22 2 m
c
1
YX1
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
aumentemos o amortecimento c2:
1
YX1
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
em grfico X2/Y:
2
YX 2
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
aumentemos o amortecimento c1:
2
YX 2
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
1
2
Na mais diversa bibliografia, especialmente quando se pretenderesolver problemas de optimizao, comum apresentaremse asequaes em funo dos seguintes parmetros:
razodefrequnciasnaturais
1
2
mm razodemassas
12
ou
rr razodefrequncias
Nota:nadeduoquefaremosutilizaremosaprimeirarazodefrequncias,ouseja:
2r
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Assim, se escrevermos as matrizes massa, rigidez e amortecimento emfuno destes parmetros obtemos:
22
222
2
22
222
22
2
2
22
221
222222
222222122
22
221
2
2
2
1
22
222
0
00
0
mm
mmm
kkkkk
mm
mmm
ccccc
m
m
mm
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Substituindo na equao:
0
112 YcjYkXMCjK
0
2
22
22
2
1222
2
2
1
222222
222222
22
2222
221222222
2222
22
22
2
1
mYjYm
jmmmjmm
jmmjmmmmmXX
obtemse:
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
aps algumas manipulaes (vid documentos anexos de MathCad),temos:
22321312232221222224222
112
222
2122
1
2222241
441
rrrrrrrrrrrrrrr
YX
22321312232221222224222
1222
212
2
2222241
441
rrrrrrrrrrrrr
YX
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Tambm se podem calcular as seguintes transmissibilidades relativas:
r
YX
txtxtwrYW
tytxtzrYZ
)()()( doconsideran
)()()( doconsideran
12
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
No caso de: )()()( doconsideran tytxtzrYZ
0)(0
0 11
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
2
1 tyctyktytztytz
kkkkk
tytztytz
ccccc
tytztytz
mm
substitumos a varivel x(t) e suas derivadas por z(t)+y(t):
tyktyktyctyctymtyktyktyktyctyctyctymtyctyk
tztz
Ktztz
Ctztz
M
tyctyktytztytz
Ktytztytz
Ctytztytz
M
22222
221221111
2
1
2
1
2
1
11
2
1
2
1
2
1
)(0
0)(
ou:
)(2
1
2
1
2
1
2
1
tymtym
tztz
Ktztz
Ctztz
M
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Finalmente:
)(0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
2
1
tymtym
tztz
kkkkk
tztz
ccccc
tztz
mm
Assim, se escrevermos as matrizes massa, rigidez e amortecimento emfuno dos parmetros anteriormente referidos obtemos:
tym
tym
tymtym
mm
mmm
kkkkk
mm
mmm
ccccc
m
m
mm
2
2
2
1
22
222
2
22
222
22
2
2
22
221
222222
222222122
22
221
2
2
2
1
)( e
22
222 0
00
0
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
o que, aps as manipulaes adequadas, temos:
223213122322212222242222222
232
1
2222241
)1()1(2
rrrrrrrrrrrrrr
YZ
22321312232221222224222
2213222222
2
2222241
)(2)1(
rrrrrrrrrrrrrr
YZ
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
No caso de: )()()( doconsideran 12 txtxtwrYW
substitumos a varivel x2(t) e suas derivadas por w(t)+x1(t):
ou:
00
0 11
1
1
22
221
1
1
22
221
1
1
2
1 tyctyktxtw
txkkkkk
txtwtx
ccccc
txtwtx
mm
000
0 111
2
2211
2
2211
22
1 tyctyktwtx
kkkk
twtx
cccc
twtx
mmm
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
Escrevendo as matrizes massa, rigidez e amortecimento em funo dosparmetros j referidos obtemos:
0
2
0 e
00
20
220
00
122
2
2211
22
2
22
22
2
2
2
21
222
222122
2
21
22
2
22
1
tymtymtyctyk
m
mm
kkk
m
mm
ccc
mm
m
mmm
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
o que, aps as manipulaes adequadas, temos:
22321312232221222224222
134
2222241
2
rrrrrrrrrrrrr
YW
-
VibraoforadaExcitaoharmnicadabase
)()()()( tftxKtxCtxM
NGrausdeLiberdade
No caso de: rYX
logo:
rYX
rYX
rYX
2
22321312232221222224222
112
222
2122
21
2222241
441
rrrrrrrrrrrrrrr
YX
22321312232221222224222
1222
212
22
2222241
441
rrrrrrrrrrrrr
YX
como queremos relaes adimensionais podemos definir asseguintes transmissibilidades:
rYX
rrY
X2
22
r
YX
rrY
X22
21
e
-
Refernciasbibliogrficas
EngineeringVibration,2nded.2001,PrenticeHall,DanielInman
MechanicalVibrations,3rded.1995,AddisonWesley,SingiresuS.Rao
NGrausdeLiberdade
TheoreticalandExperimentalModalAnalysis,ResearchStudiesPressLtd.,1997Maia,Silva,He,Lieven,Lin,Skingle,ToandUrgueira
IdentificaodeDanoEstruturalatravsdeTcnicasdeAnliseDinmica,Tesededoutoramento,2003Sampaio,R.P.C.
-
Refernciasbibliogrficas
NGrausdeLiberdade
ShockandVibrationHandbook,4thed.1995,McGrawHill,CyrilM.Harris
Vehicledynamics:theoryandapplications,2008,SpringerRezaN.Jazar
-
FIM
NGrausdeLiberdade