Máximos e mínimos de funções de duas variáveis

Cálculo Diferencial e Integral III

Suzana M. F. de Oliveira

2

Índice

● Revisão● Máximos e mínimos ● Resumo● Bibliografia

Revisão

4

Revisão

● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer

direção

Inclinação =

5

Revisão

● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer

direção● Gradiente

– Inclinação máxima

Inclinação =

6

Revisão

● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer

direção● Gradiente

– Inclinação máxima– É o vetor

normalàs curvade nível

Inclinação =

Máximos e mínimos de funções de duas variáveis

8

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Motivação

– Cadeia de montanhas

9

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Motivação

– Cadeia de montanhas

10

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos

– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...

● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo

● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f

● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo

● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f

Não seespecifica

o raio

11

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos

– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...

● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo

● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f

● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo

● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f

Não seespecifica

o raio

12

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos

– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...

● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo

● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f

● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo

● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f

Não seespecifica

o raio

Extremorelativo

Extremoabsoluto

Extremoabsoluto

Extremorelativo

13

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Conjuntos limitados

– Para funções de uma variável● Distinção entre domínio finito e infinito na reta x

– Para funções de duas variáveis● Limitado: o conjunto inteiro couber dentro de algum

retângulo● Ilimitado: não há retângulo que contenha todos os

pontos do conjunto

14

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Conjuntos limitados

– Para funções de uma variável● Distinção entre domínio finito e infinito na reta x

– Para funções de três variáveis● Limitado: o conjunto inteiro couber dentro de alguma

caixa● Ilimitado: não há caixa que contenha todos os pontos

do conjunto

15

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definição: Teorema do valor extremo

– Se f(x, y) for contínua em um conjunto fechadoe limitado R, então f terá máximo e mínimo absolutos em R

16

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: A região quadrada R cujos pontos

satisfazem as desigualdades

é um conjunto fechado e limitado no plano xy

17

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: A região quadrada R cujos pontos

satisfazem as desigualdades

é um conjunto fechado e limitado no plano xy– O teorema anterior

garante a existência de extremos absolutos em R

– Ocorrem nos pontos A e D

18

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Observações:

– Uma função descontínua em um conjunto fechado e limitado não precisa ter extremos absolutos

– Uma função contínua em um conjunto que não é fechado ou que não é limitado tampouco precisa ter algum extremo absoluto

19

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Função de uma variável● Se uma função g tiver um extremo relativo em um

ponto x0 onde g é diferenciável, então g’(x0) = 0

20

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Função de uma variável● Se uma função g tiver um extremo relativo em um

ponto x0 onde g é diferenciável, então g’(x0) = 0

Vai seranálogo para

duas variáveis

21

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Função de uma variável

Pontoestacionárioé o que tem

derivadazero

O sinalda derivadanão mudaem pontosde inflexão

O sinalda derivada

segundaindica

mínimo oumáximo

22

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Teorema: Se f tiver um extremo relativo em um ponto (x0, y0) e se as derivadas parciais de primeira ordem de f existirem nesse ponto, então

Máximorelativo

23

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se

● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não

existirem em (x0, y0)

24

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se

● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não

existirem em (x0, y0)

os extremos relativosocorrem nos pontos críticos

25

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se

● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não

existirem em (x0, y0)

– Pontos de mínimo e máximonão precisam ocorrer em todosos pontos críticos

● Pontos de sela

Mínimo relativo em um planoe máximo em outro

26

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Exemplo: Pontos críticos no (0,0)verificado

algebricamente e visto

geometricamente

27

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos

– Exemplo: Pontos críticos no (0,0)

Mínimo relativoe absoluto Mínimo relativo

e absoluto

Máximo relativoe absoluto

A função écontínua, porém

não tem derivadasparciais na origem

28

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Teorema: Teste da derivada segunda

– Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em um ponto crítico (x0, y0) e seja

● Se D > 0 e fxx(x0, y0) > 0, então f terá um mínimo relativo em (x0, y0).

● Se D > 0 e fxx(x0, y0) < 0, então f terá um máximo relativo em (x0, y0).

● Se D < 0, então f terá um ponto de sela em (x0, y0).● Se D = 0, então nenhuma conclusão pode ser

tirada.

Vem da matrizHessiana

29

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

Processo: achar pontos críticos

e calcular D

30

(2, 6) é o únicoponto crítico

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos e

pontos de sela:

– Pontos críticos● Derivadas parciais

● Cálculo do ponto crítico

– Cálculo de D● Derivadas parciais de segunda ordem

● AnáliseMínimorelativo

31

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

– Gráfico

Mínimo relativono ponto (2,6)

32

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

Processo: achar pontos críticos

e calcular D

33

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

– Pontos críticos● Derivadas parciais

● Cálculo do ponto crítico

– Cálculo de D● Derivadas parciais de segunda ordem

34

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

– Análise

Pontode sela

Máximosrelativos

35

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

– Análise

36

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos

e pontos de sela:

– Análise

O padrão “número oito” étípico de um mapa de contornos

em um ponto de sela

37

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Teorema: Se uma função f de duas variáveis

tiver um extremo absoluto em um ponto interior de seu domínio, então esse extremo ocorrerá em um ponto crítico

É preciso verificarqual o ponto relativo de

menor/maior valor

38

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitadosPodem ocorrer ou nafronteira de R ou no

interior de R

Se forno interior,é em um

ponto crítico

39

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitadosPasso 1:

Encontre os pontos críticos de f que estão situados no interior de R.

Passo 2: Encontre todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem ocorrer.

Passo 3: Calcule f(x, y) nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior desses valores é o máximo absoluto eo menor é o mínimo absoluto

40

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)

Pontos críticos

Pontos de fronteira

análise

41

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)

● Pontos críticos

(1, 2) é o únicoponto crítico

Está nointerior de R

42

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)

● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 0) e (3, 0)

Não tem pontocrítico, assim osvalores extremos

ocorrem nosextremos de u:(0, 0) e (3, 0)

43

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)

● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 0) e (3, 0)

– Seguimento de reta entre (0, 0) e (0, 5)

Não tem pontocrítico, assim osvalores extremos

ocorrem nosextremos de u:(0, 0) e (3, 0)

Pontos de extremo(0, 0) e (0, 5)

44

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)

● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 5) e (3, 0)

● Substituindo em f

y− y0=y1− y0x1−x0

(x−x0)

Ponto crítico (7/5, 8/3),pontos de extremo (0, 5) e (3, 0)

45

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)

● Análise

Máximo Mínimo

46

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

Minimizara área dasuperfícieda caixa

47

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● x = comprimento da caixa (em cm)● y = largura da caixa (em cm)● z = altura da caixa (em cm)● S = área da superfície da caixa (em cm2)

● Restrição de volume

48

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● x = comprimento da caixa (em cm)● y = largura da caixa (em cm)● z = altura da caixa (em cm)● S = área da superfície da caixa (em cm2)

● Restrição de volumeS é uma função

de duas variáveis

49

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y

devem serpositivos

50

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y

devem serpositivos

O problemase resume a

achar o mínimode S no primeiro

quadrante

51

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y

devem serpositivos

O problemase resume a

achar o mínimode S no primeiro

quadrante

A região não élimitada nem fechada,

não dando garantiaque exista um mínimo

absoluto

Se existir,é em um ponto

crítico de S

52

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)

● Pontos críticos

Ponto críticoaceito (4, 4)

53

Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos

fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa

retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material

● Verificando se é um ponto de mínimo

∂2S

∂ x2=128x3

=12843

=2 ,∂2S

∂ y2=128y3

=12843

=2,∂2S

∂ xy=1

D=∂2S

∂ x2∂2S

∂ y2−( ∂

2S∂ xy )

2

=2.2−12=3

Como Sxx

e D sãopositivos, o ponto

é de mínimo!

Resumo

55

Resumo

● Máximos e mínimos relativos e absolutos

56

Resumo

● Máximos e mínimos relativos e absolutos

● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo

57

Resumo

● Máximos e mínimos relativos e absolutos

● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo

● Pontos críticos– fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou – uma ou ambas as derivadas parciais

não existirem em (x0, y0)

58

Resumo

● Máximos e mínimos relativos e absolutos

● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo

● Pontos críticos– fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou – uma ou ambas as derivadas parciais

não existirem em (x0, y0)

● Derivada segunda

59

Resumo

● Exercícios de fixação:– Seção 13.8

● Exercícios de compreensão 13.8● 9-20

60

Resumo

● Próxima aula:– Multiplicadores de Lagrange

● Encontrar extremos de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.

● Graficamente– A linha a vermelho indica

a restrição g(x,y)=c– As linhas azuis são os

contornos de f(x,y).– A solução ocorre no

ponto em que aslinhas vermelha eazul se tocamtangencialmente

Bibliografia

62

Bibliografia

● Bibliografia básica:– ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen.

Cálculo, v. 2. 10a ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.

● Seção 13.8