Escada I

Solução:

De forma a facilitar a resolução, construímos a figura abaixo onde AB = 4.Seja BC = x ; nestas condições, pelo enunciado da questão concluímos que EF = x + 1, pois a base da escada escorregou 1 metro.

Pela simples observação do triângulo retângulo ABC, poderemos escrever, usando o Teorema de Pitágoras:42 + x2 = AC2 

Como o triângulo DEF é retângulo em E e o ângulo F é igual a 45º , concluímos que o ângulo D vale também 45º, o que nos permite afirmar que o triângulo DEF é isósceles e, por consequência, DE = EF = x + 1.

Então, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEF, teremos:

(x + 1)2 + (x + 1)2 = DF2

Lembrando que se trata da mesma escada (que escorregou 1 metro), é claro que DF = AC.

Então, a igualdade acima pode ser reescrita como:

(x + 1)2 + (x + 1)2 = AC2

Então, comparando as duas igualdades acima em negrito vermelho  poderemos concluir facilmente que:

42 + x2 = (x + 1)2 + (x + 1)2

Ora, esta é uma equação do segundo grau; vamos resolvê-la:

16 + x2 = 2(x + 1)2 Desenvolvendo o segundo membro, fica:16 + x2 = 2(x2 + 2x + 1)

16 + x2 = 2x2 + 4x + 2Simplificando e igualando a zero, vem:x2 + 4x - 14 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara

encontraremos as raízes x' = -2 + 3.21/2 ou x'' = -2 - 3.21/2 Nota: utilizei expoente para evitar o símbolo de raiz quadrada, mais difícil de escrever neste momento pelo teclado. Afinal, estou com pressa para assistir o glorioso FLUMINENSE jogando contra o Guarani de Campinas. O FLUZÃO continua líder do Campeonato Brasileiro!

Observe que a raiz x'' não serve ao problema pois é um número negativo e o problema em questão refere-se ao cálculo dedistância, portanto a resposta deve ser um número positivo.

Então, como a distância entre a parede e o muro é igual a x + 1, teremos que a distância procurada será igual a:EF = x + 1 = -2 + 3.21/2 + 1 = 3.21/2 - 1 

EF = 3.21/2 - 1 (3 vezes a raiz quadrada de 2, menos 1).

Então, a alternativa correta é a de letra B.

Veja AQUI um outro problema sobre escadas, um pouquinho mais "puxado" do que este!

Duas escadas de 1 metro, podem valer menos de 1 metro e meio

Considere a figura a seguir onde duas escadas foram justapostas na forma indicada. Pede-se determinar as medidas de L e H.

Nota: este problema foi enviado por um visitante do site, pedindo a solução. Ei-la:

Solução:

Se necessário comece revisando Trigonometria.De forma a facilitar a resolução, construímos a figura abaixo onde CP = H e RP = PB = L.

Pela simples observação do triângulo retângulo RPB, poderemos escrever, usando o Teorema de Pitágoras:L2 + L2 = (0,5 + 0,5)2 ou seja: 2.L2 = 12 , de onde tiramos L2  = 1/2 e, daí vem imediatamente L = √2 / 2, cujo valor aproximado é igual a 0,707.Observe que o cálculo da medida L foi imediato. Já para o cálculo da medida H, teremos um pouco mais de trabalho mas, vamos lá!Observe que H = L + BC; como L já é conhecido, vamos calcular BC = x.Nota: do enunciado, o triângulo retângulo RPB é isósceles e, portanto, os ângulos de vértices R e B são iguais a 45º . Esta conclusão é decorrente de: a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º.

Vamos agora aplicar a lei dos senos ao triângulo MBC. Antes, observe que a medida do ângulo <MBC (vértice em B) é igual a 135º  pois ele é o suplemento do ângulo de 45º mostrado na figura.

Aplicando a lei dos senos: ao triângulo MBC  (veja a mesma figura reproduzida abaixo) , teremos:

MB / senβ = 1 / sen135º = x / senαComo MB = 0,5 = 1/2, vem, substituindo: 0,5 / senβ = 1 / sen135º = x / senαLembrando que sen 135º = sen(90º + 45º) = sen90º.cos45º + sen45º.cos90º = √2 / 2Nota: lembre-se que sen90º = 1 e cos90º = 0 e cos45º = √2 / 2 e, daí, o resultado acima.

Poderemos agora escrever, pela lei dos senos:(1/2)/(senβ) = 1/(√2 / 2) = x / senα

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo plano vale 180º, poderemos escrever em relação ao triângulo MBC:

β + α + 135º = 180º , de onde tiramos β + α = 180º - 135º = 45º e, portanto β = 45º - α .

Substituindo, fica:(1/2)/[sen(45º - α)] = 1/(√2 / 2) = x / senα

Observando atentamente as igualdades acima, percebemos que basta calcular o valor de senα , para achar o valor de x e, por consequência o valor de H, já que H = L + x e L já foi calculado. Então, amigos e amigas, o problema está resolvido! Só falta fazer as contas. Vamos lá!

Nota: se fosse com caneta e papel, seria bem tranquilo mas, no teclado, ah no teclado ...

Inicialmente observe que sen(45º - α) = sen45º.cosα - senα.cos45º = (√2 / 2).cosα - senα.(√2 / 2) = (√2 / 2)(cosα - senα)

Nota: lembre-se que sen45º = cos45º = √2 / 2 , o que justifica as substituições acima.

Substituindo, vem:

(1/2)/[(√2 / 2)(cosα - senα))] = 1/(√2 / 2) = x / senαTemos então as seguintes igualdades:(1/2)/[(√2 / 2)(cosα - senα))] = 1/(√2 / 2)1/(√2 / 2) = x / senα

Vamos tratar as duas igualdades separadamente.Para a primeira, teremos:(1/2)/[(√2 / 2)(cosα - senα))] = 1/(√2 / 2)Efetuando as operações indicadas nos dois membros e simplificando, fica:

1 = 2(cosα - senα) ou na forma equivalente: cosα - senα = 1/2

Para a segunda igualdade, teremos:1/(√2 / 2) = x / senαEfetuando as operações indicadas nos dois membros e simplificando, fica:

2senα = √2.x

Contamos agora com as duas igualdades, já simplificadas:

cosα - senα = 1/22senα = √2.xDa trigonometria sabemos que: sen2α + cos2α = 1Logo, como da primeira igualdade tiramos cosα = senα + 1/2 , vem substituindo:

sen2α + (senα + 1/2)2 = 1Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, obteremos:

8sen2α + 4senα - 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, obteremos:senα = (-2 + √28)/8 ou senα = (-2 - √28)/8

Observe-se aqui que a raiz senα = (-2 - √28)/8 , por ser negativa, não serve ao problema pois, sabemos que o ângulo α é agudo e, portanto, o seno é positivo. Assim, concluímos que:

senα = (-2 + √28)/8

Já sabemos que 2senα = √2.x e precisamos calcular o valor de x. Então, substituindo o valor de senα, teremos:2[(-2 + √28)/8] = √2.xResolvendo a igualdade acima e simplificando, obteremos:x = (√14 - √2)/4

Ora, já vimos no início do problema que o H procurado (vivo ou morto! eh eh eh ...) é dado por:H = L + xO valor de x, calculamos acima e o valor de L é √2/2 conforme vimos no início do problema. Logo, o valor de H será:H = √2/2 + (√14 - √2)/4Desenvolvendo e simplificando, obteremos finalmente:H = (√14 + √2)/4Usando um calculadora (a do Windows serve), encontramos o valor aproximado para H: 1,29 m, o que justifica o título dado ao arquivo. 

Como diriam os meus amigos mineiros: eta probleminha trabalhoso, sô!!! 

http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/introducao.html