Aula Particular de Matemática em BH Professora Fernanda Pires

MÚLTIPLOS E DIVISORES

1) Números primos: São aqueles que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo, com exceção do próprio número 1.

Qualquer número não-primo ou composto, pode ser decomposto em fatores primos.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …}

2) Múltiplos: Um número natural a é múltiplo de outro número natural b, se existe um natural k tal que bka ⋅= .

Exemplos:

20 é múltiplo de 4, pois 4520 ⋅= → a = 20, b = 4 e k = 5

111 é múltiplo de 37, pois 373111 ⋅= → a = 111, b = 37 e k = 3

3) Conjunto dos múltiplos de um número: Para obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse

número por todos os números naturais.

Exemplo: M(3) = {0,3, 6, 9, 12, 15, 18, …}

4) Divisores: Um número natural b é divisor de a, se a é múltiplo de b. Ou ainda, b é divisor de a, se a divisão de a por

b resultar em um número natural.

Exemplos:

6 é divisor de 48, pois 6848 ⋅= ou 8648 =÷ → a = 48 e b = 6

12 é divisor de 180, pois 1215180 ⋅= ou 1512180 =÷ → a = 180 e b = 12

5) Conjunto dos divisores de um número: Um conjunto finito formado por todos os divisores de um número natural.

� Método prático para determinar os divisores de um número:

I. decompor o número em fatores primos;

II. traçar uma linha e acrescentar o número 1, pois ele é divisor de qualquer número;

III. multiplicar sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos, começando pelo 1.

Exemplo: Determinação dos divisores do número 48

1

48 2 2 (2x1)

24 2 4 (2x2)

12 2 8 (2x4)

6 2 16 (2x8)

3 3 3, 6, 12, 24, 48 (3x1, 3x2, 3x4, 3x8, 3x16)

1

D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

6) Mínimo Múltiplo Comum: O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferentes de zero, é chamado de

mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. para designar esse número. Exemplo:

Determinar o mmc entre 8 e 12

M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, …} M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …}

M(8, 12) = {24, 48, 72, 96, …} mmc (8, 18) = 24

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→ Métodos para cálculo do mmc

a) Fatores primos: O m.m.c. de dois ou mais números é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns a

eles, cada um elevado ao maior expoente.

8 = 23 12 = 2

2.3 mmc(8, 12) = 2

3 .3 = 8 . 3 = 24

b) Decomposição Simultânea: Nesse processo, fatoramos simultaneamente os dois ou mais números por fatores

primos comuns e não-comuns. O mmc será o produto desses fatores.

mmc(8, 12) = 2.2.2.3 = 8 . 3 = 24

7) Máximo Divisor Comum: O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum

desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Exemplo: Determinar o mdc entre 8 e 12.

D(8) = {1, 2, 4, 8} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(8, 12) = {1, 2, 4} mdc (8, 12) = 4

→ Métodos para cálculo do mdc

a) Fatores primos: O m.d.c. de dois ou mais números é o produto dos fatores primos comuns a eles, cada um

elevado ao menor expoente.

8 = 23 12 = 2

2.3 mdc(8, 12) = 2

2 = 4

b) Divisões sucessivas (QDR): Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor

desta divisão é o m.d.c. (Q: quociente, D: divisor, R: Resto)

Q 4 2

D 12 8 4

R 1 0

c) Decomposição Simultânea: Nesse processo, fatoramos simultaneamente os dois ou mais números apenas por

fatores primos comuns. O mdc será o produto desses fatores.

mmc(8, 12) = 2.2 = 4

8) Relação entre mmc e mdc de um número: ( ) ( ) bab,amdcb,ammc ⋅=⋅

8 , 12 2

4 , 6 2

2 , 3 2

1 , 3 3

1

8 , 12 2

4 , 6 2

2 , 3

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Exercícios

1) O médico de Paulo receitou que ele tomasse um antibiótico a cada 8h, um analgésico a cada 4h e um antipirético

a cada 10h. Paulo tomou os três às 14h de terça-feira, que horas tomará os três remédios no mesmo horário?

2) A passagem conjunta de dois cometas pela Terra ocorre a cada 2 280 anos. Se um deles passa a cada 120 anos,

qual é o período do outro?

3) Seu Flávio é marceneiro e dispõe de três ripas de madeira que medem 60 cm, 80 cm e 100 cm de comprimento.

Ele deseja cortá-las em pedaços iguais de maior comprimento possível. Qual a será a medida de cada pedaço?

4) Para assinalar os pontos mais perigosos para a navegação, na entrada de um porto estão um farol e duas boias

luminosas, que piscam intermitentemente. O farol pisca a cada 15 segundos, uma das boias pisca a cada 20

segundos e a outra boia, a cada 35 segundos. Se às 02h00min o farol e as boias piscam ao mesmo tempo, a que

horas eles voltarão a piscar juntos novamente?

5) Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se uma delas

tem 196 centímetros e a outra 140 centímetros, no total, em quantos pedaços elas serão partidas?

6) A soma de dois números inteiros a e b é 43. Sabe-se que mdc(a,b).mmc(a,b) = 190. O valor absoluto de a – b é:

a) 25 b) 33 c) 41 d) 49 e) 57

7) Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,40 m, 2,70 m e 3 m em pedaços iguais e de maior

comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de cada parte?

a) 21 b) 30 c) 38 d) 45 e) 51

8) Duas composições de metrô partem simultaneamente de um mesmo terminal fazendo itinerários diferentes. Uma

delas tem partida a cada 80 minutos, enquanto a outra a cada hora e meia. Determine o tempo decorrido entre

duas partidas simultâneas dessas composições, nesse terminal.

9) Dois pilotos de Fórmula 1 percorrem um circuito com velocidades médias constantes. Um deles completa uma

volta a cada 3 minutos e 40 segundos e o outro a cada 3 minutos e 50 segundos. Se eles passaram juntos num

ponto P desse circuito, qual será o menor intervalo de tempo necessário para que eles passem novamente juntos

neste ponto P?

10) Uma sala retangular medindo 3 m por 4, 25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que

não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses

ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? Quantos ladrilhos serão utilizados?

GABARITO

1. 6h de 5ª feira 2. 19 anos 3. 20cm 4. 02h07min 5. 12 pedaços

6. B 7. B 8. 12 horas 9. 84min e 20s 10. 25 cm e 204 ladrilhos