MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS · Lê-se: O produto de um ... 12 2 A multiplicação é...
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Nú
mero
s R
acio
nais
Exemplo:
A Susana comprou ¾ de uma tarte. À hora do almoço colocou no forno
½ da porção de tarte para aquecer.
Que fração do total da tarte colocou a Susana no forno?
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
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1
8
3
Nú
mero
s R
acio
nais
Observa o esquema seguinte:
de
Então, a fracção
Resolução:
Tens de calcular
é o produto entre as fracções
de = = =2
1
4
3
2
1
4
3
42
31
8
3
2
1
4
3
4
3
4
3
2
1de =
8
3
Resposta: A Susana colocou 3/8 do total da tarte no forno.
4
3
2
1e
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
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2
Repara:
1
2de
3
4
é o mesmo que:
1
2
3
4
X
X
tem o mesmo significado.
Regra:
Para multiplicar números racionais multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores.
Então:
O produto de dois números racionais representados por fracções é outro número racional representado por uma fracção, que tem por numerador o produto dos numeradores e por denominador o produto dos denominadores.
1
2
3
4 =
1 3
2 4
=3
8
ou de
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3
No caso de multiplicares um número inteiro por um racional representado por uma fracção, multiplicas esse número pelo numerador, e dás o mesmo denominador.
Exemplo
31
4
=3 1
4
=3
4
Recorda que: 3 pode-se representar pela fracção3
1
Logo:
3 1
1 4
=3
4
3
1
1
4
=
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4
Qualquer multiplicação é uma operação em que o resultado é o produto.
=2
15
1
3
2
5
Factores Produto
Lê-se:
O produto de um terço por dois quintos é igual a dois quinze avos
=6
72
3
7
Lê-se:
O dobro de três sétimos é seis sétimos ou
o produto dois por três sétimos é igual a seis sétimos.
Leitura de produtos de fracções
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5
O Tiago tem uma colecção de 24 livros de banda
desenhada. Metade dos livros é de aventuras. Um
terço dos livros de aventuras é a preto e branco.
Que fracção dos livros é a preto e branco?
Aventuras
Aventuras
1
3
1
2=
1
6
Então, é a preto e branco.1
6
A Rita, irmã do Tiago tem também uma colecção
de 24 livros de BD. Destes, a terça parte é de
aventuras e metade dos livros de aventuras é a
preto e branco.
Que fracção dos livros é a preto e branco?
1
2
1
3=
1
6
Então, é a preto e branco.1
6
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
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6
Se compararmos os cálculos do Tiago e da Rita com os produtos obtidos verificamos que:
1
3
1
2 =
1
2
1
3 =
1
6
Podemos concluir que:
1- PROPRIEDADE COMUTATIVA
A multiplicação de números racionais é comutativa: podes trocar a ordem dos
factores sem que o produto se altere.
Verificámos a “primeira” propriedade da multiplicação de números racionais.
Ambos têm a mesma quantidade de
livros de BD a preto e branco.
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Observa os esquemas 1 e 2 que se seguem:
1
2
No esquema 1 “temos”:
No esquema 2 “temos”:
Se compararmos os
cálculos verificamos que:
Logo podes concluir que:
A multiplicação de números racionais é associativa: podes associar os factores de
modo diferente sem que o produto se altere.
Verificámos uma “nova” propriedade da multiplicação de números racionais.
2- PROPRIEDADE ASSCIATIVA
1
2
1
2=
1
3 =
1
3
1
4
1
12
1
2
1
2=
1
3 =
1
3
1
4
1
12
1
2
1
2=
1
3
1
2
1
2=
1
3
1
12
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8
Observa com atenção os seguintes produtos:
12
7
=2
7
13
4
=3
4
Podemos concluir que:
O 1é o elemento neutro da multiplicação de números racionais: sempre que 1 é um dos
factores, o produto é igual ao outro factor.
Acabámos de verificar mais uma das propriedades da multiplicação de números racionais.
3- EXITÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO
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Observa com atenção os seguintes produtos:
Podemos concluir que:
O 0 é o elemento absorvente da multiplicação de números racionais: sempre que o
zero é um dos factores, o produto é igual a zero.
Esta propriedade verificada denomina-se de:
4- EXITÊNCIA DE ELEMENTO ABSORVENTE
03
9
= 0 05
8
= 0
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10
A Cristina foi à costureira para esta lhe fizesse um fato novo. A costureira precisou de
3/4m de tecido para a saia e 7/4m para o casaco. O tecido custou 20 euros o metro.
Quanto pagou a Cristina pelo tecido?
1ª
- Metros de tecido utilizado m4
10
4
7
4
3
euros20- Preço por metro
euros504
20020
4
10- Total a pagar
Então: 50204
1020
4
7
4
3
Resolução:
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2ª
Então:
- Preço para o tecido da saia euros154
6020
4
3
euros354
14020
4
7
euros503515
- Preço para o tecido do casaco
- Total a pagar
5035154
140
4
6020
4
720
4
3
Verificamos que: 3
4
7
4 20 =
7
4
3
4 20 20 50
Podemos concluir que:
A multiplicação é distributiva em relação à adição: o produto de um número por uma
soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas.
5- PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO À ADIÇÃO
=
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A Cristina pediu também á costureira que lhe fizesse um vestido. Comprou 10/3 de metro
de tecido a 12 euros o metro, mas a costureira gastou apenas 4/3 de metro de tecido.
Quanto custou a parte de tecido que sobrou?
1ª
- Tecido que sobrou m3
5
3
5
3
10
euros12- Preço por metro
euros203
6012
3
5- Custo do tecido que sobrou
Então: 203
6012
3
512
3
5
3
10
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13
2ª
Então:
- Preço do tecido todo euros403
12012
3
10
euros203
6012
3
5
euros202040
- Preço do tecido que sobrou
- Total a pagar
euros2020403
60
3
12012
3
512
3
10
Verificamos que: 5
3= 12
5
3 12 12 = 20
Podemos concluir que:
A multiplicação é distributiva em relação à subtracção: o produto de um número por
uma diferença é igual à diferença entre os produtos desse número pelo aditivo e
pelo subtractivo.
6- PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO À SUBTRACÇÃO
3
10
3
10
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14
3
4
2 2
2
1
Observa com atenção:
=2
2
4
6=
4
6
4
4
(2)
=
4
10Simplificando=
3
42
2
1:2
:2
=
4
5
5 5
3
1- =
4
5=
(3)
= Simplificando=-3
1:6
:6
=33
4
3
4
3
4
3
12
3
12
15
12
18
12 2
A multiplicação é distributiva em relação à adição.
A multiplicação é distributiva em relação à subtracção..
Nota:Dois é o factor comum.
Nota: Três quartos é o factor comum.
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A propriedade distributiva é muito útil na simplificação dos cálculos.
- Como multiplicar, rapidamente, 3,2 por 15?
3,2 15 =
1
2
3,2 10 + 5 = 3,2 10 + 53,2 =
= 32 + 16 = 48
- Como calcular, rapidamente, o valor exacto de: 5,2 +1
2 4,8
1
2 5,2 + 4,8 = 5,2 4,8+ =
1
2 10 =
10
2=5
1
2
1
2
Põe-se em evidência
o factor comum:1
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16
O INVERSO DE UM NÚMERO
O Francisco e a Joana fazem colecção de cromos de grupos musicais. O Francisco tinha 10 cromos repetidos para trocar. Trocou um décimo dos seus cromos com a Joana.
Por sua vez, a Joana, que tinha 5 para trocar, deu um quinto dos seus cromos ao Francisco.
Quantos cromos novos recebeu a Joana e o Francisco?
Um décimo dos que
o Francisco tinha
Cromos que a
Joana recebeu1101,0 10
10
1
10
101ou
Um quinto dos que
a Joana tinha
Cromos que o
Francisco
recebeu
55
1
5
51
Tanto a Joana como o Francisco receberam um cromo.
Dois números racionais representados por fracções cujo produto é 1dizem-se números inversos.
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O INVERSO DE UM NÚMERO
No frigorifico de casa dos irmãos Gabriel e da Daniela havia
cinco quartos de litro de leite. O Gabriel e a Daniela, ao lanche,
beberam quatro quintos do leite que havia no frigorífico.
Que quantidade de leite beberam os dois irmãos?
Quatro quintos de
cinco quartos do
litro
Quantidade de
leite que
beberam
4
5
5
4
20
201
Os dois irmãos beberam 1 litro de leite.
O inverso de um número representado por uma fracção é outra fracção com os mesmos membros, colocados de forma contrária: o numerador é o denominador da primeira, e o denominador da primeira.
Assim:
b
aé o inverso de
a
bO inverso de 1é 1.
O zero não tem inverso., sendo 0a e 0bhttps://ranildolopes.wordpress.co
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O INVERSO DE UM NÚMERO
8 x1
8=
8
8= 1 Logo:
8 é o inverso de 1
8
8é o inverso de 1
8
x5
2=
10
10= 1 Logo:
é o inverso de
é o inverso de
2
5 2
5
2
5
5
2
5
2Observa com
atenção!
Estas duas
fracções têm
os termos
trocados.
0,4 x10
4=
4
10= 1 Logo:
é o inverso de
é o inverso de
x10
4 4
10
4
10
10
4
10
4
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19
PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1- O professor de Educação Física da turma da Clara
organizou uma prova de corrida de resistência, por equipas:
quando um dos elementos da equipa estivesse cansado, era
substituído por outro, e assim sucessivamente até ao fim do
percurso.
- A Joana correu 0,2 do percurso;
- A Clara substituiu a Joana, mas correu apenas do que ela tinha corrido;
- O Francisco correu do percurso total.
- O Tiago correu o dobro da distância percorrida pela Joana e pelo Francisco.
1
2
2
20
1.1- Que parte do percurso correu a Clara?
1
2x 0,2 =
1
2x
2
10=
2
20=
1
10
A Clara percorreu uma décima do percurso total.https://ranildolopes.wordpress.co
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20
Na expressão anterior, multiplicaste ambos os
membros por 2 para obteres o produto;
Repara:
Depois dividis-te ambos os membros da fracção
por 2, para a simplificares.
Utilizar estes dois passos no cálculo é o mesmo que “cortar” os números
que se repetem nos dois membros da fracção.
Este “corte” facilita o cálculo de expressões numéricas.
1
2x
2
10=
1 x 2
2 x 20=
1
10
2
10
1 x 2
2 x 20=
1
10=
:2
:2
Atenção!
Só fazemos o “corte” quando estamos a efectuar
uma multiplicação de um valor igual por ambos os
membros de uma fracção. Se for adição já não é
possível.
PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS
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1.2- Que parte do percurso total percorreram a Joana e a Clara?
0,21
2x 0,2 =
1
2x
2
10=
2
10=
6
20+
2
10+ +
2
20
4
20=+
2
20
3
10=
A Joana e a Clara correram três décimas do percurso total.
Numa expressão numérica, o cálculo do produto tem prioridade em relação
ao cálculo da soma e da diferença (a multiplicação efectua-se em primeiro lugar).
1.3- Que diferença existe entre o percurso feito pelo Francisco e o que correu a Clara?
1
2x 0,2 =
1
2x
2
10=
2
20=-
2
20- -
2
20
4
20
2
20=0
A diferença é zero. O Francisco e a Clara correram partes iguais do percurso total.
Com as resoluções anteriores, verificamos que:
PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS
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1.4- Que parte do percurso total terá percorrido o Tiago?
22
20x 0,2 =
2
10x
2
20=+ +
O Tiago correu três quintos do percurso total.
24
20x
2
20=+2
6
20x2 =
12
20=
3
5
Numa expressão numérica com parêntesis, efectuam-se em primeiro lugar os
cálculos que estão dentro do parêntesis.
PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS
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