MUDANGA DE BASE - lehum.ufpa.brlehum.ufpa.br/material/mq1/notas/Aula 03 - Representações...
Transcript of MUDANGA DE BASE - lehum.ufpa.brlehum.ufpa.br/material/mq1/notas/Aula 03 - Representações...
DVLA 03 - REPRESENT A ES MATRICIAIS E
MUDANGA DE BASE
I Auto vetoes come kits de base .
Vi mos que auto vetoes normalizations de A formanum conjunto complete onto normal . Um kit
arbihcirio em Epode see expand. to em terms dos
auto vetoes de A, seja I 27 E E
la > = ? Ci I ai )
Multiplicand a expresses acima por Cail,
tend
( aj I L ) = ? Ci Gaj la i ) = ? Ci Si j = Cj .
On sips ,
H ) = ? I ai X ai la )-
Ci
Umavez que la > e- um but arbitrates
,terms
¥ lai X ai I = IRelasiao de
complete za on
fechamento
Note que ,u son do a relagoio de complete ya ,
at a > = at I I aiX ai la ) = ? Cit Ci = E Ici I'
se It ) E E for normalized ,i. a KID = t
,
I I Cil'
= I.
Lembremos do projectorPa=
laxat , que e- um
operator que profit a um estado ID ma dimaio
de la ).
A relaxed de complete ga po de see
escrita como
A- = I I ai X ai I = ? Pai .
2 Represents sins matrices
Umavez especifcados as Gets de base
,
mostraremos come represents um operator X por
Uma matriz quadrada. Veja mos
,
X = E I I
aiX
aiI x la ; X
as. I
Ai Aj -
X i j
U sando o fate s pl x la > *= Lal x t I p >
,
podemos escrever
( ai I Xt I a j) = C aj I x I ai ) *
.
Xist= (X ji )
't
,
que nos remit ao conceit bem familiar de
que a operations adjunta hermitian e- tomar a
"
transporter complexes conjugate"
.
Se ja 2- = X Y .
A representative matric I de Z
deve su lida come
( aj I Z I ai > = haj I X Y I a ;) = Cajl x I Y I ai )
= ? C aj I x I ar . Xan I Y I ai )
: . Zj i = I X j u Y ki, que
i o potato usual de
matings quadra das.
Vamos agora examiner come
18 > = X 127
pole see represents do faze n do u so dos mound Lets
de base.
Cail D = Cail X la > = sail x I ID
laminin:*
ou sofa ,um bet pod see representsdo por una
mating column ma forma
me!:3 )
Da ones ma forma ,
< r'
I = Lal x
L o' la i > = Cat x I ai ) = 611x la is
= § C L l a ; Xaj I X I ai )- -
Cj Xj i
que I a nigrade multiplicative de una matriz
linha por uma quadra La. Logo
Lrt = f Cr la . >,
Lola , >,
. . . )
= ( La . I D*,
La . I r )*,
. . . )
As sin,
o produto interns
C at p > = GII Ip > = I at ai Xailp )
= ( Ci , ca,
. . . ) . ( dd! ) .
di
= ( Ca.
KH,
Carla ) *
,. . . ) .
f dd! )
Final ment,
a representation national do
produto extern Ipx at e- data por
Ipx at = laixailpxxlajxa ; I
= Iai ) La ; Ip ) L ajl a) * Lajl
mafia::÷:'
: *
'
i::xn÷::*
A representative de um obscura - wel A e-
particular merit simples , poi s A Iai) = ai I ai ),
logoAij = Lajl A Iai ) = Gaj lait ai ) = ai La j I ai )
÷
A ij = ai Si j ,e portanto diagonal !
• Sistema de spin %
Vamos considerate agora um case especial de
sistema de spin Ya .Vamos demotion os bets de base
por I I ),
on sofa ,
Sz It ) = hz I t ) e Sa I - > = - I I -7,
de forma que a representagain national de Sz
e- dada por
Sz = FgIi Xi I Szljxj I
Sz = It Xttsz It X t I t It Xt I Sz I - X - II
+ I - X - ISH txt I t I - X - ISH - X - I-= O
Sz = I [ I txt I - I - X - I ]Sz If too , ) .
Vamos considered tambim autos do is operators ,
St = t It X - I e S- =t I - X t I
Oque
tais operators fazem ?
St I - > = tilt X - I - S = t It >-
= I
St I t ) = hi It X - I t ) = O
S - I - > = t I - Xt I - > = O
S - It > = t I - XtIt> = t I - >
St i ¥ Ii Xi I htt X - Ij Xj I
-
- t It X - I = t (Ooto )S
- i ¥ Ii Xi It I - Xttjxj I
= hi I - X H i t ( 9Oo )Como podemos represents as kits It > ?
I > = ¥ Sz I >
it= j ÷.
Citszlj > = j ¥ I sit sztrxklj )
FE? :c
kgpl o but Its limosIt in
It ) f t 4kSttStt t Ht St - 8 - t ) to )+ 21k S
- t Stt t Ht s - - S - t
= (T ¥
De marina similar,
I - s = (9)
3 Mu dan.ca de base ( representscaio)
Numa da da representation ,um but ( ou um
bra,
on um operator ) i representsdo por uma
matriz . Se mudamos a representative ( a base)
o mesmo but seria represents do por Uma matrizdi fuente . Por exempla ,
em sistema de spin 112
podemos war as kits I Sxt ) come mosses bets de
base no lugar de I S z t ). Eskimos intense dos
em saber come euros die as mateys se rebacionam .
Sejcrm dois opera does in compativeis A e B.
O
espacio de buts pode see risto come gwado por
I I ai ) I on I I b ' > I . Nossa tarefa e- determiner
um operator que correct e as duras bases .
There ma i .3
- Dada dois conjunto de bets de base,
ambos sat isfazendo as condign de orthonormal da de
e complete ya ,exist um operator vnitaiio U I
I b ' ' ' > = U Ici " ),
Ibl " > = U I am >,
. . .
,lb " > .
-U I ah ' ) .
Operator vnitaiio : U U t= Ut U = I
.
Afinmamos queU = I lb ' " ' X a' " I . Clara ment
U I are' ) = I b " ' ), por aorta da onto normal date
de I Ici> I.
Alim dis so,
UTU = If I talk'Xb"' I bee ' X are ' I
-
= Skl
= I la ' " X or " I = I.
.
.
U unitaiio.
• Matriz de transformativeA representative matric al de U ma
"
antigen"
base
Heist e-
( ai I U I a j ) = ( ai lbj )
on sofa ,os elements de matriz de U nai
construei dos dos products interns entrees bras da
base antiga pecos bets da nora base
.
Nos referimos'
a Lai I U I ai ) come matriz de
transfer maxoio da base Ha ' > I µ 1lb ' > I .
Dado um but arbitiario K > = Iai X ai ID,
come ester Cb ; ID ?
Lbj ID = ? Lbj I ai Xa ;I x )
= ? C advt I ai X ai la >
ore sofa , a matriz column para la > ma nova base
e- obtida pelo produto da matriz quadra da Ut
peba mating column escrita ma base antiga .
Para um dado operator X,
< bi I X lbj > = ME NE C bi I am X am I X I an X an I b j )
= Em § C ai I U t I am X am I x Ian Xan I U la j )
Esta e- a con hear da transformation de si mi la ri -
dade da cilgebra matric al
X'
= Ut x U
O trace de um operator X e- difini do como
tr I x ) = I sail X I ai ).
Note que o trace e- independent da representative :
Zi Cai I x I ai ) = ? Lai II x a I ai )
= ? § I Cail bj X b j I X I bk X b K la i >
= ? I -2 C b at ai Xa ; lbj ) Lbj I X I b u )K
8 Kj-
= §I Cbr. I bj ) Lbj I x I b K ) = § C b j I x I b j )
• Tn ( x y ) = Tr I Y Xt
Tr Ix y ) = I C ai I XIYI ai )
= Cail x taj X aj I Y I ai )
= ¥ Caj I Y I ai X ai I X I aj >
= Ej C aj I Y X I aj > = Tr ( Y x )
• Tn ( Ut X U ) = Tr C x )
Tn ( Ut x U ) = I Cail I I aj X bj I x I b r. Xavi 1) I ai )
=
,Cail aj X bj I X I b K Xan I ai )
- -
Si j 8 k i
=
µ
8 ij Lbj I X I b k ) Ski = § C bi I X I bi )
come o tha.co i independent de represents .cat,
Tr ( Ut X U ) = Tr ( x )
• Tn I I ai X a j I ) = Si j
Tr ( O ) = E Car .I O I ar . >
= I Ca k I ai Xaj I a K ) = Ek Ski Sj K = Sij
• Tn ( Ibi X ai I ) = Sail bi >
Tr (Ibi X ai I ) = I Car . I bi X ai I ar . )
= ¥ Car .I bi ) Sir = C ai I bi >
4 Diagonalize ,iao
Vamos agora dis actin come determiner auto wa -
lores e autostradas de um operator B ayios elements
de matriz numa base antiga I I a > I siao conhecidos .
B I b r. > =
braI b k >
( ai I B Ibra> = b k Lai lb K >
I C ai I B I a j X aj I b K ) = bra C ai Iba )j - -
-
I D D
§Lai IBlaj Xaj I b K ) = bra Cai Iba )
§ Bij Cj "= bra Ci "
§ ( Bij -b K Si j )
Cj"
a O
centre a. do da AL que Cj Wao trivial se e so ment-
se / Det I B - bn. I] = O I Ez .
caracteristica-
• Exempla : Sx = I ( Yto )2
Det I ( Esst's)) -- O
,s2 - tf so
i.
S = ± I2
§ I Sxij - s 8 ij ) Cj = O
( Sip - s Sir ) C , t ( S iz - s Si a ) Cz = O
( S , , - s Su ) C , t ( S , 2 - S Sir ) C a = O
{ (Sze - s Sz , ) C , t ( S 22 - S 822 ) Cz = O
Sx -- Iffto )2
( Si , - s Su ) C , t ( S , 2 - S Sir ) Cz = O
{ (Sze - s Sze ) C , t ( 522 - S 822 ) Cz = O
- LIC , t HI Cz = O( Ici - Ic , = o
⇒ c , = c , sohanaindependent
Para o automaton- LI limos ca = - c , ,
de forma
que os auto vetoes do operator Sx podem ser
exits come
lsxt > i c , ( y ) e tsx - ) = Ci ( I )
come Lsxtlsxt ) = Csx - I Sx - > = I
Cill 1) c. ( I ) = t ⇒ c ? ( i t I ) -
-
I i. 92 = z
C, = tf e- Uma sohu.in .
Em qual sail Ulaj > = Cai lbj ). Asim
,
raben do que 15×+7 = It > tf I -7 ,
terms
Utt =Lt lsxt ) =
t Nz,
Ut - = Lt 15×-7 = HE
U- t =
C- IS xt ) = Yrs,
U- -
=L - I Sx - > =- Yrs
U f. (.
'
.
'
,) : U faff ! , ) .
Utu = a
Vejamos ,
utsxu = I 's I :.
'
, )l9f) lit )= ¥1 ::X :
.it#a.:t-hItt.:lObviamente,
Sx ma base de 1sx± ) i diagonal .
I
Sx±)ziEz f ! ,) ,
Ubx± ? = IS x± >x
lsxtsx Eli.:) I - Eli :i )
:. lsxt ) = ( to ) e 15×-7 = ( on ) .
5 Obseruoiueis equivalents vnitaiios
Consider dais conjunto de vetoes de base
ortonormais 31 aisle t I bi ) I cone ctados via
U = § I
bjxajl,e A Iai > = ai Iai ) .
Po demo constrain uma transformative unitaiia de um
operator A como
B = A'
= U A U- '
Sofa B = UAV- '
,e I bi > = U I ai >
,entail
Bl bi > = UAV- '
U I ai > = U Alai > = U ( ai lait )-
I
= ai Ul ai ) = ai I bi >- IOs operators A e B = U AU possum o
mesmo aspects . Operators equivalents unitaiios
possum o mesmo espectro .