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Métodos Quantitativos

PROF. DR. Renato Vicente

Aula 6A

Revisão

Método Estatístico

Amostra

PopulaçãoEstatística Descritiva

Teoria de Probabilidades

InferênciaEstatística

Linha do Tempo da Estatística

Jogos de Azar


Teoria de Evolução

1

2

3

Inferência Estatística

Aritmética do Estado

Métodos Não-paramétricos

0 10002000 aC 1500 1750 1870 1930 1960 1980

DemografiaTeoria de Erros

Computadores Eletrônicos

1 2 3

Estatística Descritiva: Variáveis qualitativas

Classes de qualitativas: Setores, barras, barras, rosa de Nightingale

Estatística Descritiva: Variáveis quantitativas

60

80

100

120

140

Ran

king do PIB (do m

ais pobre

para o m

ais rico

)

Quant X quant : Dispersão

0

20

40

60

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Índice de Desenvolvimento Humano

Ran

king do PIB (do m

ais pobre

para o m

ais rico

)

Quant X quant : Dispersão

Estatística Descritiva: Distribuições de variáveis aleatórias

Histograma

Boxplot

Estatística Descritiva: Resumindo informação

Histogramas ou tabelas de freqüência

Rol dos dados

Média e Desvio Padrão

Sumário dos 5 números: Min, Segundo Quartil (25%), Mediana (50%), Terceiro Quartil (75%), Máx

Moda e Largura a Meia altura+ robusto

Método Estatístico

Amostra

PopulaçãoEstatística Descritiva



Probabilidades: Calculando Riscos de Extrapolação

População

Média desconhecida=x

Amostra real estimativa da média = x1

Média desconhecida=x

Dada uma única amostra de tamanho n, qual seria o intervalo que conteria a média populacional desconhecida em 95 % das vezes ?

Probabilidades: Calculando Riscos de Extrapolação

População

Amostra real Estimador= x1

Amostras hipotéticas do mesmo tamanho

População

Grandeza desconhecida=x

1. Imaginamos um número bem grande de amostras aleatórias do mesmo tamanho.

2. Imaginamos que calculamos valores estimados em cada um delas. Estes valores estimados estariam distribuídos em torno do valor desconhecido da grandeza.

3. A Teoria de Probabilidades nos permite então descrever a distribuição destes valores.

Inferência Estatística

Amostra

População


A teoria de probabilidades nos permite estimar a partir de uma amostra um intervalo com confiança definida para os valores na população. Para isso calculamos um estimador de intervalo.

Inferência EstatísticaSuponha que queiramos determinar a MÉDIA POPULACIONAL de uma quantidade. A amostra tem tamanho n. Calculamos a média amostral:

E o desvio padrão amostral:

O intervalo de confiança é :

c depende do nível de confiança desejado e do número de dados n

Estatística T Quando a amostra for pequena teremos que fixar uma confiança (por exemplo, 95%) e procurarmos pelo valor de c em uma tabela conhecida como estatística T.

http://www.dim.fm.usp.br/info/tabelat/tabelat.php

Por exemplo, nossa amostra de crânios etruscos tem n=4:141 148 132 138

Digamos que desejamos estimar um intervalo com confiança 95% para a média da população. Começamos por calcular a média:

Média=(141+148+132+138)/4 = 139,75

Calculamos em seguida o desvio padrão amostral:DPA = 6,65

Estatística T Por exemplo, nossa amostra de crânios etruscos tem n=4:141 148 132 138

Digamos que desejamos estimar um intervalo com confiança 95% para a média da população. Começamos por calcular a média:

Média=(141+148+132+138)/4 = 139,75

Calculamos em seguida o desvio padrão amostral:DPA = 6,65DPA = 6,65

O número de graus de liberdade é n-1=3 (df=3). Consultando a tabela usamos t(0.975), pois queremos um intervalo com 2,5% em cada lado (95% no total, portanto). Na tabela obtemos t(0.975)= 3,18.

Assim teremos o seguinte intervalo com confiança de 95%:

139,75-3,18*6,65/RAIZ(4) < MÉDIA POP < 139,75+3,18*6,65/RAIZ(4)

IC_MédiaPop(95%) = [129,150]

Aula 6B

Regressão

Biometria: Regressão Linear

i 1 2 3 4 5 6 7

x(i) 11.2 12.4 13.5 15.7 17.1 18.5 19.0

y(i) 3.0 3.2 4.0 4.8 4.8 4.9 5.6

http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Applets/Regression/regression.html

http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/regression.html

Regressão Linear

As distâncias entre as observações e a reta escolhida são aleatórias.

A melhor reta é aquela que minimiza a soma total destas distâncias (mínimos quadrados)

http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Applets/Regression/regression.html

http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/regression.html

A qualidade do ajuste é medida pelo R2 (quadrado da correlação de Pearson) que significa a fração da variação que é explicada pelo ajuste. Assim R2=1 indica ajuste perfeito.

Aula 6C

Testes de Hipóteses

Popper: Método Indutivo

Em 1934 Karl Popper publicou a Lógica da Pesquisa Científica. Neste livro Popper procura delimitar hipóteses científicas a partir da propriedade de falseabilidade, ou seja, a partir da possibilidade de realizar-se um experimento que contradiga previsões deduzidas de uma hipótese científica.

H -> C1, C2, C3, ... Cn

Como em geral não é possível verificar todos os experimentos possíveis, não seria possível provaruma hipótese. Mas apenas uma observação contraditória seria suficiente para rejeitá-la.

Também não é possível garantir que as mesmas consequências não possam emergir de outras hipóteses.

Teste de Significância: valor p

Em 1925 Fisher publicou um livro que viria a ser o primeiro manual de métodos estatísticos: Statistical Methods for Research Workers . Neste livro são apresentadas técnicas para avaliação do VALOR-p, medida da probabilidade de obtermos resultados iguais ou mais extremos do que nossas observações dado que uma HIPÓTESE NULA H0 seja verdadeiraH0 seja verdadeira

Quanto menor p, mais improvável a observação se H0 for verdadeira.

Se p< nível de significância (usualmente 5%) rejeitamos H0. Se p>5% não-rejeitamos H0.

Poderia haver outra explicação, mas não há evidência contra H0.

Ronald A Fisher (1890-1962)

http://www.amstat.org/publications/jse/v16n3/pvalueapplet.html

Neyman e Egon Pearson: Testes de Hipóteses

Neyman e Pearson (filho de Karl Pearson, odiado por R.A. Fisher) notaram que os testes de significância podem ser aplicados de forma mais efetiva quando a Hipótese nula é quando a Hipótese nula é comparada à uma Hipótese Alternativa.

Egon Pearson (1895-1980)

http://www.amstat.org/publications/jse/v16n3/pvalueapplet.html

Jerzy Neyman (1894-1981)

Comparando médias: Teste T

Grupo controle

Grupo em tratamento

Suponhamos duas amostras em um experimento com dois tratamentos. AS distribuições amostrais são representadas acima


variabilidade média

variabilidade alta

Dependendo da variabilidade observada a diferença entre médias será mais ou menos significativa.

variabilidade baixa


sinal

ruído Variabilidade dos grupos

Diferença entre as médias

A estatística T mede a relação sinal ruído da diferença entre as médias amostrais . Após calcular o valor t. Basta observar a significância em uma tabela T. A Hipótese nula corresponde a médias idênticas. A hipótese alternativa a médias diferentes.

Tipos de Erros

Inocente Culpado

Condenado Erro TIPO I Correto

Liberado Correto Erro TIPO II

H0 verdadeira H1 verdadeira

Rejeita H0 Erro TIPO I CorretoRejeita H0 Erro TIPO I Correto

Não rejeita H0 Correto Erro TIPO II

Tipos de Erros


Rejeita H0 Erro TIPO I Correto


culpadoinocente

http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html

aparência de culpa

Criminosos espertos com bons advogados

Inocentessuspeitos

Tipo ITipo II

Poder e Significância de um Teste


Rejeita H0 Erro TIPO I Correto


O poder de um teste é a probabilidade de que o teste rejeite uma hipótese nula falsa. Ou seja é a probabilidade de que H1 seja julgada verdadeira quando realmente for verdadeira.

http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html

Alternativamente é a chance de que o teste não cometa um erro do Tipo II, ou seja será 1-β=1-P(Erro Tipo II).

A probabilidade de erros do tipo I é a significância do teste α=P(Erro Tipo I). Normalmente fixa-se primeiro a significância (1% ou 5%), a partir disso define-se o intervalo de rejeição da hipótese nula. O poder do teste é conseqüência desta escolha, do tamanho da amostra e da própria amostra. Testes com poder muito baixo são pouco informativos.

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