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Métodos de FísicaTeórica II
São Cristóvão/SE2009
Osmar S. Silva Jr.
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Hermeson Alves de Menezes
Elaboração de ConteúdoOsmar S. Silva Jr.
S586m Silva Jr, Osmar S. Métodos de física teórica II / Osmar S. Silva Jr. -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD,
2009. 1. Física teórica. 2. Matemática. I. Título.
CDU 530.1::51
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Métodos de Física Teórica II
Capa
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”
Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - São Cristóvão - SE
Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474
Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva
Ministro da EducaçãoFernando Haddad
Secretário de Educação a DistânciaCarlos Eduardo Bielschowsky
ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho
Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli
Chefe de GabineteEdnalva Freire Caetano
Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD
Antônio Ponciano Bezerra
Vice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFábio Alves dos Santos
NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO
Hermeson Menezes (Coordenador)Edvar Freire CaetanoIsabela Pinheiro EwertonLucas Barros Oliveira
Diretoria PedagógicaClotildes Farias (Diretora)Hérica dos Santos MotaIara Macedo ReisDaniela Souza SantosJanaina de Oliveira Freitas
Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves
Coordenação de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)
Núcleo de Formação ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)
Núcleo de AvaliaçãoGuilhermina Ramos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosElizabete SantosMarialves Silva de Souza
Núcleo de Serviços Gráfi cos e Audiovisuais Giselda Barros
Núcleo de Tecnologia da InformaçãoJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceição Souza
Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy
Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes MeloTadeu Santana Tartum
Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Português)Eduardo Farias (Administração)Haroldo Dorea (Química)Hassan Sherafat (Matemática)Hélio Mario Araújo (Geografi a)Lourival Santana (História)Marcelo Macedo (Física)Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas)
Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Física)Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática)Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração)Priscilla da Silva Góes (História)Rafael de Jesus Santana (Química)Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a)Trícia C. P. de Sant’ana (Ciências Biológicas)Vanessa Santos Góes (Letras Português)
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Jν
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Nν
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1y(x)
x y
x
(dy/dx)3 + 3xy2 = 9 ln x
y . y′′′ + 2x = −8
y + 2y + 1 = 0 .
dy
dx= y = y′ = y(1) .
ydy/dx d2y/dx2
y.y yky k
ky k
(ln x) y + x3 eπx y + 1 = 0
y + 2y = −1
x y + x2 y = sen x .
9
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e−x2y = −2y
y + 2y − (2x + 1)y = 0
(cosx) y + (sen x) y = tg x y .
yky k
y = 0
y
3xy − (2x − 3) y + 3x = 2xx3−1
3xy − (2x − 3) y = 0
2 ln x y − x ln (x − 1) = 0 2 ln x y = 02 y + y + 1 = xy 2 y + y = xy
an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a1 y′ + a0 y = 0
a0 a1 an
n
10
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1n
n y1(x) y2(x) yn(x)
y =
n∑i=1
ci yi(x)
ci
yGH
yP
an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a1 y′ + a0 y = b
yG = yGH + yP
y + ay = b .
y + ay = 0
dy
dx= −a y =⇒ dy
y= −a dx
ln y = −a x + C
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y = A e−ax , A = eC = .
yGH = A e−ax .
yP = C = ,
yP + a yP = b =⇒ aC = b
C = b/a a �= 0 ayP = bx
yG = yGH + yP = A e−ax +b
a
a �= 0 a
yG = b x + D
D
y + ay + by = c .
12
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1y + ay + by = 0 .
y = erx
r
y = r erx , y = r2 erx ,
erx(r2 + ar + b
)= 0
x
r2 + ar + b = 0 ,
r = −a
2±
√Δ
2, Δ = a2 − 4b .
Δ > 0r1 r2
r1 = −a
2+
√Δ
2,
r2 = −a
2−
√Δ
2,
er1x , er2x
yGH = C1 e(− a2+
√Δ2
)x + C2 e(− a2−
√Δ2
)x .
Δ = 0r1 = r2 = −a/2
er1x
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x er1x
yGH = C1 e−ax2 + C2 x e−
ax2 .
Δ < 0r
r1 = −a
2+ i
√4b − a2 , r2 = −a
2− i
√4b − a2 ,
yGH = C1 e(− a2+i
√4b−a2)x + C2 e(− a
2−i
√4b−a2)x .
yGH
yGH = e−ax2
{C1 ei
√4b−a2x + C2 e−i
√4b−a2x
};
eiα = cos α + i sen α
yGH = e−ax2
{C1
[cos
√4b − a2x + i sen
√4b − a2x
]+
+C2
[cos
√4b − a2x + i sen (−
√4b − a2x)
]}= e−
ax2
{cos
√4b − a2x [C1 + C2]︸ ︷︷ ︸
=B1=
+
+sen√
4b − a2x [iC1 − iC2]︸ ︷︷ ︸=B2=
}
= B1 e−ax2 cos
√4b − a2x + B2 e−
ax2 sen
√4b − a2x .
yGH
yGH = e−ax2 D1 sen
(√4b − a2x + D2
),
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
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1D1 D2
D1 =√
B12 + B2
2 , tg D2 =B1
B2.
y + ay + by = c .
b
yP =c
b;
b = 0 a �= 0
yP =cx
a;
a = b = 0
yP =cx2
2.
yG = yGH + yP .
y + P (x) y + Q(x) y = 0 ,
y1(x)
15
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y2(x)
y1(x) y2(x)
W (x) =
∣∣∣∣ y1(x) y2(x)y1(x) y2(x)
∣∣∣∣ = y1 y2 − y1 y2 .
W = y1 y2 − y2 y1 = y1 (−P y2 − Q y2) − y2 (−P y1 − Q y1) .
y1(x) y2(x)
y1 + P (x) y1 + Q(x) y1 = 0 ,
y2 + P (x) y2 + Q(x) y2 = 0 ,
y1 y2
W = (−P ) (y1 y2 − y2 y1) = −P W
dW
dx= −P W
dW
W= −P dx
ln W = −∫
P dx + C
W = A e−R
P dx .
W
W = y12 d
dx
(y2
y1
)
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1y1
2 d
dx
(y2
y1
)= A e−
RP dx
d
dx
(y2
y1
)=
1
[y1(x)]2A e−
RP dx
y2
y1
=
∫A e−
RP (x′) dx′
dx
[y1(x)]2+ B
y2(x) = y1(x)
∫A e−
RP (x′) dx′
[y1(x)]2dx
B = 0
y =
∞∑i=0
ai xk+i ,
k a0, a1, . . .
A(x) y + B(x) y + C(x) y = 0 ,
y + P (x) y + Q(x) y = 0 .
A(x) x = x0
P Q
P (x), Q(x) −→x→x0
∞ .
17
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P (x) Q(x) x → x0 (x−x0) P (x)(x− x0)
2 Q(x) x0
P (x) Q(x) (x − x0) P (x) (x − x0)2 Q(x)
x → x0 x0
x2 y + x y + (x2 − n2) y = 0
y +1
xy + (1 − n2
x2) y = 0
x = 0
x = 0
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1x2 y + x y + (x2 − n2) y = 0 .
y(x) = a0xk + a1x
k+1 + . . . =
∞∑i=0
ai xk+i
a0 a1 k
y(x)
y =∞∑i=0
(k + i) ai xk+i−1 ,
y =
∞∑i=0
(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 .
d xn/dx = n xn−1
y y y
x2∑∞
i=0(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 + x
∑∞i=0(k + i) ai x
k+i−1 +
+(x2 − n2)∑∞
i=0 ai xk+i = 0
x2∑∞
i=0(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 + x
∑∞i=0(k + i) ai x
k+i−1 +
+x2∑∞
i=0 ai xk+i − n2
∑∞i=0 ai x
k+i = 0 .
x2 x
∑∞i=0(k + i − 1)(k + i) ai x
k+i +∑∞
i=0(k + i) ai xk+i +
+∑∞
i=0 ai xk+i+2 − n2
∑∞i=0 ai x
k+i = 0 .
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{1, x, x2, x3, . . .}
A0 + A1x + A2x2 + A3x
3 + . . . = 0
A0 = A1 = A2 = A3 = . . . = 0 .
x
x xk i
Akxk + Ak+1x
k+1 + Ak+2xk+2 + . . . = 0
xAk Ak+1
xk+i i = 0, 1, 2, . . .xk xk+1 xk+2
xk+2
Ak
Ak+1 Ak+2
xxk
xk
xk
xi = 0
Ak = a0(k + 0)(k + 0 − 1) + a0(k + 0) − n2a0 = 0 .
Ak xk+2
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1Ak
Ak = a0(k2 − n2) = 0
xk+1
Ak+1 = a1(k + 1)(k + 1 − 1) + a1(k + 1) − n2a1 = 0
Ak+1 = a1[(k + 1)2 − n2] = 0 .
Ak+2
k = +n k = −n a0 �= 0k = +n
k = −n k = n−1
a1 = 0 a0 �= 0k = +n a1 = 0 a0 �= 0 k = −n a1 = 0
k = ±n = ±1/2n
Ak+j j ≥ 2xk+2
k + i + 2 = k + j i + 2 = j i = j − 2
∞∑i=0
ai xk+i+2 =
∞∑j=2
aj−2xk+j .
i = j
∞∑j=2
(k + j − 1)(k + j) aj xk+j +∞∑
j=2
(k + j) aj xk+j +
+
∞∑j=2
aj−2 xk+j − n2
∞∑j=2
aj xk+j = 0 .
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j2
i = 0 i = 1 Ak Ak+1
∞∑j=2
{(k + j − 1)(k + j) aj + (k + j) aj + aj−2 − n2aj
}xk+j = 0
{xk+2, xk+3, xk+4, . . .}
Ak+j = (k + j − 1)(k + j) aj + (k + j) aj + aj−2 − n2aj = 0 .
aj =−1
(k + j)2 − n2aj−2 (j ≥ 2)
a1 = 0j = 3
a3 =−1
(k + 3)2 − n2a3−2︸︷︷︸a1=0
= 0
a3 a1
a5 a3 a3 = 0 a5 = 0
a1 = a3 = a5 = . . . = 0 .
k = ±n
a0 �= 0 k = +n a1 = 0j = 2
a2 =−1
(n + 2)2 − n2a0 =
−1
2 (2 + 2n)a0 ;
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1j = 4
a4 =−1
(n + 4)2 − n2a2 =
−1
4 (4 + 2n)
−1
2 (2 + 2n)a0
=(−1)2
4 2 (4 + 2n) (2 + 2n)a0 .
j = 6, 8, 10, . . .
a2j =(−1)j
[2j (2j − 2) . . . 2] [(2j + 2n) . . . (2 + 2n)]a0
a2j =(−1)j (2n)!! a0
(2j)!! (2j + 2n)!!
j = 1, 2, . . .6!! = 6.4.2 = 48
y(x) =
∞∑j=0
a2j x2j+n
=∞∑
j=0
(−1)j (2n)!! a0
(2j)!! (2j + 2n)!!x2j+n
= Jn(x)
Jn(x)
a0 �= 0 k = −n a1 = 0
y(x) =
∞∑j=0
a2j x2j−n
=∞∑
j=0
(−1)j (−2n)!! a0
(2j)!! (2j − 2n)!!x2j−n
= J−n(x)
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y +1
x2y − a2
x2y = 0 ,
x = 0
k = 0
aj+1 =j(j − 1) − a2
j + 1aj .
∣∣∣∣aj+1
aj
∣∣∣∣ −→ 1
y − 6
x2y = 0 .
y(x) =
∞∑i=0
ai xk+i ,
∞∑i=0
(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 − 6
∞∑i=0
ai xk+i−2 = 0
x i = 0
[k(k − 1) − 6]a0 = 0
24
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1a0 �= 0 k = −2 k = 3i > 0
[(k + 1)k − 6]a1 = 0 =⇒ a1 = 0 ,
[(k + 2)(k + 1) − 6]a2 = 0 =⇒ a2 = 0 ,
y(x) =∞∑i=0
ai xk+i =︸︷︷︸
a1=a2=...=0
a0xk =
{a0x
−2
a0x3
(y)2 − 2xy = 0
x2y + xy + (x2 − n2)y = 0
x2y − 2x(y − 1) = 0
5y − 2y = 4 .
y(0) = 1
y − 2y + y = 2
y − y − 6y = 18
y − 2y + 2y = 0
y−6y+9y = 0y1(x) = e3x y1
xy + 5y = 8x3
25
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y − 2y + 3y = 2x2 + 1
y − 12y − 3y = sen x
2y − y + 4y = 2e3x
y + ω2y = 0
k = 1 a1 = 0
07
(1 − x2) y − 2x y + �(� + 1) y = 0 .
yG = −2 + Ae+2x/5
y = −2 + 3e+2x/5
yG = 2 + c1 ex + c2 x ex
yG = −3 + c1 e−2x + c2 e+3x
yG = yGH = ex[c1 eix + c2 e−ix]y = xe3x
yP = Ax2 + Bx + C
1 x x2 A, B, Cy = A sen x + B cos x y = A e3x
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