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Metodo de Gauss-Jordan Sistemas Homogeneos

Metodo de Gauss-Jordan e Sistemas Homogeneos

Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2017.1

14 de agosto de 2017

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Sumario

1 Metodo de Gauss-Jordan

2 Sistemas Homogeneos

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Sumario



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Considere o sistema

S

x + 2y − 3z = −7

2x − 3y + z = 73x + y + 2z = 6

Vimos que uma solucao para S e x = 1, y = −1 e z = 2 ou,equivalentemente,

S ′

x = 1

y = −1z = 2

isto e, um sistema cuja matriz ampliada e

[E ′ | ∆] =

1 0 0 | 10 1 0 | −10 0 1 | 2

Vejamos que [E ′ | ∆] e uma forma escalonada para o sistemaoriginal S .

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Uma Forma Escalonada para o sistema original S e

[E | b′] =

1 2 −3 | −70 1 −1 | −30 0 1 | 2

O pivot da segunda linha aparece indicado abaixo. Parazerarmos os demais coeficientes desta coluna, devemosrealizar as operacoes elementares como se segue:1 2 −3 | −7

0 1 −1 | −30 0 1 | 2

← L1 − 2L2

Passando ao terceiro pivot, temos:1 0 −1 | −10 1 −1 | −3

0 0 1 | 2

← L1 + L3

← L2 + L3

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Daı, obtemos

[EA | ∆] =

1 0 0 | 10 1 0 | −10 0 1 | 2

onde ∆ e precisamente a solucao do sistema original S .

A matriz [EA | ∆] e chamada Forma Escalonada Reduzidado sistema S .

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[A|b] [E |b′] [EA|∆]

Matriz Aumentada Forma Escalonada F. E. Reduzida

Substituicao Reversa ∆ = solucao

E.G. G-J

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Exemplo: Determinar a solucao do sistema abaixo usando oMetodo de Gauss-Jordan

S

3x + 4y + 2z + w = 24x + y − z + 2w = 12x + 2y + z + w = 2x + 4y + 2z + w = 2

Resposta...

(0,−1, 2, 2).

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Exemplo: Considere o sistema cuja matriz aumentada e

[A | b] =

2 3 4 0 | −21 0 −2 1 | 34 2 1 −1 | 2

e encontre sua solucao pelo Metodo de Gauss-Jordan.

Resposta...(5

11+ α,

8

11− 2α,−14

11+ α, α

)onde α ∈ R.

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Exemplo: Encontre a solucao para o sistema abaixo usando oMetodo de Gauss-Jordan

S

3x + 2y + z + w + t = 2−2x + 2y + z + 3w + 2t = 4−x + y + z + 2w + 2t = 1

Resposta...(2α + β − 2

5,−3α + β + 13

5,−α− 2β − 2, α, β

)com

α, β ∈ R

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No exemplo anterior, encontramos a seguinte solucao:

α

(2

5,−3

5,−1, 1, 0

)+ β

(1

5,

1

5,−2, 0, 1

)+

(−2

5,

13

5,−2, 0, 0

)ou, ainda, escrevendo as listas em forma de coluna,

X = α

2

5

−3

5

−1

1

0

+ β

1

5

1

5

−2

0

1

+

−2

5

13

5

−2

0

0

e a solucao geral do sistema.

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Sumario



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Quando os termos independentes das equacoes de um sistemalinear sao todos nulos, diremos que o sistema e homogeneo.

A primeira coisa a observar a respeito desses sistemas e quesao sempre possıveis.

De fato, se toda equacao do sistema e da forma

ai1x1 + ai2x2 + ...+ aimxm = 0

entao a sequencia formada por m zeros (0, 0, ..., 0) satisfaz aigualdade acima. Tal sequencia, portanto, sera solucao dosistema, mas podem existir (infinitas) outras.

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Considere o sistema homogeneo3x + 2y − z = 04x − 3y + 2z = 05x + 5y − 3z = 0

Sua Forma Escalonada Reduzida e:

[EA | ∆] =

1 0 0 | 00 1 0 | 00 0 1 | 0

e portanto sua unica solucao e X = (0, 0, 0).

Importante

Quando um sistema homogeneo tem apenas uma solucao, a saber,a sequencia formada apenas por zeros, diremos que o sistemapossui solucao trivial.

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Agora, considere o sistema nao homogeneo

S

2x + 3y − 4z + w = 4x − 2y + z − w = 7−x + y − z + 5w = 15

Sua Forma Escalonada Reduzida e

[EA | ∆] =

1 0 0 −23

6| −13

|0 1 0 −4 | −22

|0 0 1 −31

6| −24

e sua solucao geral:

X =

(23α

6− 13, 4α− 22,

31α

6− 24, α

)ou X = α

( 23

6 )4

( 316 )1

+

−13−22−24

0

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Agora, vamos considerar a versao homogenea deste sistema:

S ′

2x + 3y − 4z + w = 0x − 2y + z − w = 0−x + y − z + 5w = 0

Sua Forma Escalonada Reduzida e

[EA | ∆′] =

1 0 0 −23

6| 0

|0 1 0 −4 | 0

|0 0 1 −31

6| 0

que resulta na solucao geral

X ′ =

(23α

6, 4α,

31α

6, α

)ou X ′ = α

( 23

6 )4

( 316 )1

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Comparando

Matriz Ampliada:

[A | b] e [A | 0]

Forma Escalonada Reduzida:

[EA | ∆] e [EA | 0]

Solucao:

X = α

( 23

6 )4

( 316 )1

+

−13−22−24

0

e X ′ = α

( 23

6 )4

( 316 )1

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Teorema

Seja S um sistema nao homogeneo cuja solucao geral e

X = α1h1 + α2h2 + ...+ αrhr + p

entao, a solucao do sistema homogeneo associado e

X ′ = α1h1 + α2h2 + ...+ αrhr

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ExemploA matriz ampliada de um sistema nao homogeneo S e:

[A | b] =

4 2 1 2 3 2 | 19 5 3 2 1 1 | −15 2 5 2 2 5 | 3

Forma Escalonada Reduzida

[EA | ∆] =

1 0 0 ( 83 ) ( 17

3 ) ( 359 ) | ( 10

3 )0 1 0 −4 −9 (− 20

3 ) | −60 0 1 (− 2

3 ) (− 53 ) (− 2

9 ) | −( 13 )

Solucao geral:

X = α.

(− 8

3 )4

( 23 )100

+ β.

(− 17

3 )9

( 53 )010

+ θ.

(− 35

9 )( 20

3 )( 2

9 )001

+

( 10

3 )−6

(− 13 )

000

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ExemploA matriz ampliada do sistema homogeneo associado:

[A | b] =

4 2 1 2 3 2 | 09 5 3 2 1 1 | 05 2 5 2 2 5 | 0

Forma Escalonada Reduzida

[EA | 0] =

1 0 0 ( 83 ) ( 17

3 ) ( 359 ) | 0

0 1 0 −4 −9 (− 203 ) | 0

0 0 1 (− 23 ) (− 5

3 ) (− 29 ) | 0

Solucao geral:

X = α.

(− 8

3 )4

( 23 )100

+ β.

(− 17

3 )9

( 53 )010

+ θ.

(− 35

9 )( 20

3 )( 2

9 )001

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ExemploEncontre a solucao do sistema abaixo e do sistema homogeneoassociado.

S

x + 2y − 3z = 4

2x − y + 5z = 74x + 3y − z = 14

S e impossıvel.

Mas...

[EA | 0] =

1 0 ( 75 ) | 0

0 1 (−115 ) | 0

0 0 0 | 0

X ′ =

(−7α

5,

11α

5, 0, α

)para α ∈ R

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