Movimento em 1D

Objetivos:● Descrever o movimento de um corpo em 1

dimensão;● Resolver problemas de movimento em 1D a

aceleração constante.

Movimento em 1D

Limitações do problema tratado:● o corpo não possui forma ou dimensões, é

um ponto;● a causa do movimento não será abordada

aqui;● o movimento ocorre apenas ao longo de um

único eixo.

Posição (x)

Considere o movimento de um corpo pontual se deslocando ao longo de um eixo horizontal:

0 1 2 3 4-1-2 x (m)t

= 0

t =

1s

t =

2s

t =

3s

Tempo (s) Posição (m)

0,0 2,0

1,0 4,0

2,0 -2,0

3,0 2,0

Posição (x)

● A posição somente é conhecida nos instante em que esta é medida.

● Nada se pode afirmar sobre a posição deste corpo entre duas medidas quaisquer.

● ou seja, no intervalo 0 a 1s nada indica que o corpo esteja entre as posições 2,0m e 4,0m

Algumas observações sobre este movimento:

Variação da Posição (Δx)

Definição:

Δ x=x f−x i

Observações:

● Na simbologia matemática é de praxe usar a letra grega delta (Δ) para expressar a variação de uma grandeza;

● Como uma notação pessoal usarei os colchetes, [ ], para simbolizar a extração das unidades das grandezas em seu interior.

Unidade:[Δ x ]=[x f−xi]=m

Variação da Posição (Δx)

Calculando as variações de Posição:

0 1 2 3 4-1-2 x (m)

Intervalo: 0 – 1s Δ x01=x1−x0=4−2=+ 2,0m

Intervalo: 1s – 2s Δ x12=x2−x1=−2−4=−6,0m

Intervalo: 2s – 3s Δ x23=x3−x2=2−(−2)=+ 4,0m

Intervalo: 0 – 3s Δ x03=x3−x0=2−2=0,0m

Δ x01=+ 2,0mΔ x12=−6,0mΔ x23=+ 4,0mΔ x04=0,0

Velocidade Média (vm)

Definição:

vm ou v=Δ xΔ t

Unidade:

[v ]=[Δ x ][Δ t ]

=ms=m/ s

v=x f−xit f−t i

Velocidade Média (vm)

Calculando as velocidades médias em alguns intervalos:

Intervalo 0 – 1s: v01=Δ x01

Δ t01

=x1−x0

t1−t0=

(4−2)

(1−0)=+ 2,0m/ s

Intervalo 1s – 2s: v12=Δ x12

Δ t12

=x2−x1

t2−t1=

−2−42−1

=−6,0m/ s

Intervalo 1s – 3s: v13=Δ x13

Δ t13

=x3−x1

t 3−t1=

2−43−1

=−1,0m / s

Intervalo 0 – 3s: v03=Δ x03

Δ t 03

=x3−x0

t3−t0=

2−23−0

=0,0m/ s

Equação do movimento

Considere o movimento de um corpo onde sua posição, em qualquer instante, é conhecida por meio de uma expressão matemática, com no exemplo a segui:

A posição de um corpo é dado pela equação:

x (t )=5 t2−20 t+ 15

onde x é dado em metros e t em segundos.

Equação do movimento

Para este movimento responda:

(a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2; 3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do movimento)

(b) sua velocidade média nos intervalos:

i. 0 a 1s;

ii.1 a 4s;

iii.2 a 4s

(c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?

Equação do movimento

t (s) x (m)

0 15

1 0

2 -5

3 0

4 15

x (0)=5⋅02−20⋅0+ 15=15m

x (1)=5⋅12−20⋅1+ 15=0

x (2)=5⋅22−20⋅2+ 15=−5m

x (3)=5⋅32−20⋅3+ 15=0

x (4)=5⋅42−20⋅4+ 15=15m

(a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2; 3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do movimento)

Equação do movimento

(a) sua velocidade média nos intervalos: ...

Intervalo 0 – 1s: v01=Δ x01

Δ t01

=x1−x0

t1−t0=

(0−15)

(1−0)=−15,0m/s

Intervalo 1s – 4s: v14=Δ x14

Δ t14

=x4−x1

t4−t1=

15−04−1

=5,0m/ s

Intervalo 2s – 4s: v24=Δ x24

Δ t24

=x4−x2

t4−t2=

15−(−5)

4−2=10,0m / s

Velocidade (v)

(c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?

Como calcular a velocidade instantânea (em um instante) se a definição que se dispões necessita de dois instantes diferentes?

v ii=Δ x iiΔ t ii

=x i−xit i−t i

=00indeterminado !

Velocidade (v)

Uma boa forma de resolver este problema é representando graficamente a velocidade do gráfico espaço tempo .

Primeiro vou calcular algumas velocidades média, tomando como ponto final sempre o instante 3s, e como inicial os instantes:

0; 1s; 2s; 2,5s; 2,9s; 2,99s; 2,999s; …

ou seja um instante sempre menor que 3s, mas se aproxima indefinidamente de 3s.

Velocidade (v)

ti (s) x

i (m) t

f (s) x

f (m) Δt (s) Δx (m) v

m (m/s)

0 15 3 0 3 -15 -5

1 0 3 0 2 0 0

2 -5 3 0 1 5 5

2,5 -3,75 3 0 0,5 3,75 7,5

2,9 -0,95 3 0 0,1 0,95 9,5

2,99 -0,0995 3 0 0,01 0,0995 9,95

2,999 -0,009995 3 0 0,001 0,009995 9,995

A tabela a segui apresenta os cálculos destas velocidades:

Em seguida estas velocidades serão marcadas no gráfico espaço x tempo, representados por uma reta que liga o instante inicial ao final.

Velocidade (v)

v1s−3s v2s−3sv2,5 s−3sv2,9s−3sv2,99 s−3s

v0−3s

Graficamente percebe-se que: ● a velocidade média é a inclinação da reta que liga

o instante inicial ao final, no gráfico “espaço x tempo”

● a velocidade instantânea é a inclinação no gráfico “espaço x tempo”, no instante desejado.

Graficamente percebe-se que: ● a velocidade média é a inclinação da reta que liga

o instante inicial ao final, no gráfico “espaço x tempo”

● a velocidade instantânea é a inclinação no gráfico “espaço x tempo”, no instante desejado.

Velocidade (v)

No limite em que Δt → 0 a velocidade média se torna a velocidade instantânea

v= limΔ t→0

Δ xΔ t

v=d xd t

v=dd txou

Como um operador que atua sobre a posição e me gera a velocidade instantânea.

A derivada

A seguir é apresentado a fórmula da derivada de polinômios:

dd t

(t n)=nt n−1

dd t

(t3)=3 t3−1=3 t2

com n um número real qualquer, diferente de 0

Alguns exemplos:

dd t

(t5)=5 t5−1=5 t 4

A derivada

dd t

(t )=dd t

(t1)=1 t1−1=1

Mais alguns exemplos:

dd t

(6)=0

dd t

(6 t 2)=6dd t

(t2)=6⋅2 t2−1=12 t

dd t

(3 t2+ 5 t+ 20)=3dd t

(t 2)+ 5dd t

(t)+ 0=3⋅2 t+ 5=6 t+ 5

Derivada de uma constante é sempre nulo.

Velocidade (v)

v=d xd t

=dd t

(5 t2−20 t+15 )=5d t2

d t−20

d td t

+d 15d t

Retornando ao problema, a velocidade em 3s pode ser facilmente encontrada:

v=5⋅2 t2−1−20⋅1 t 1−1

+0=10 t−20

v (t)=10 t−20Esta é equação para a velocidade, deste corpo, em qualquer instante!

v (3s)=10⋅3−20 ⇒ v (3s)=10m/ s

Aceleração Média (am)

a=Δ vΔ t

Como feito com a velocidade, a definição da aceleração começa pela aceleração média:

Unidade:

[a ]=[Δ v ][Δ t ]

=m/ ss

=m/s2

Observe que as velocidades que aparecem nesta equação são instantâneas!

a=v f−vit f−ti

abrindo a expressão:

Aceleração (a)

a= limΔ t→ 0

Δ vΔ t

A aceleração instantânea é definida a partir da aceleração média como:

Ou, através da derivada:

a=d vd t

Aceleração (a)

Continuando o exercício anterior, responda:

(d) qual a aceleração média deste corpo no intervalo de 1s a 4s?

(e) qual a sua aceleração em 3s?

Aceleração (a)

(d) qual a aceleração média deste corpo no intervalo de 1s a 4s?

a=Δ vΔ t

=v f−vit f−t i

t i=1s ⇒ v i=v (1s)=10⋅1−20=−10m / s

v (t )=10 t−20onde, para este problema:

t f=4s ⇒ v f=v (4s)=10⋅4−20=20m /s

a=20−(−10)

4−1=

303

=10m /s2

Aceleração (a)

(d) qual a sua aceleração em 3s?

a=d vd t

=dd t

(10 t−20)=10dd t

(t )+dd t

(20)=10m/ s2

a=10m / s2⇒constante !

Isto ocorre pois a equação da posição é um polinômio de segundo grau e a cada derivação este polinômio decresce seu grau.

x (t)=5 t2−20 t+ 15 ⇒ v (t )=10 t−20 ⇒a=10m /s2