Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia Elétrica - COPPE

COE723 – Controle de Máquinas Elétricas

3ª Lista de Exercícios

“Motor de Indução (MI)”

Rafael Ramos Gomes DRE – 104110824

2004/2

2

Terceira Lista de Exercícios: Motor de Indução (MI)

1) O vetor tensão de alimentação do estator é definido pela equação:

3/43

3/221

ππ jS

jSSs eVeVVV ++=

a) Mostre que para o caso de uma alimentação senoidal e equilibrada, este vetor descreve

um círculo no plano complexo. b) O que ocorre com esta trajetória se uma componente de terceiro harmônico, de

amplitude 1/3 da fundamental, for acrescida em cada uma das fases? c) E se for adicionada uma componente de quinto harmônico de amplitude 1/5 da

fundamental? d) O que ocorre com esta trajetória se as tensões forem as saídas de um inversor PAM

(pulse amplitude modulation) de 6 pulsos (Fig. 4.32 do L.T.)? e) E se for um inversor PWM-senoidal (Fig. 4.34 do L.T.)? f) Desprezando as resistências de estator, como se comporta o vetor fluxo do estator (i.e. a

integral do vetor tensão) nos casos ‘a’, ‘d’ e ‘e’? DICA: use MATLAB Resposta: a) Utilizando o MATLAB, foram definidos os vetores VS1, VS2 e VS3 como:

+=

−=

=

)3/2 cos(2

)3/2 cos(2

)cos(2

3

2

1

πω

πω

ω

tV

tV

tV

S

S

S

(1)

Para determinar o vetor de alimentação do estator utilizamos a equação 2 que considera as defasagens espaciais: 3/4

33/2

21ππ j

Sj

SSs eVeVVV ++= (2)

VS é então determinado pela inserção da equação 1 na equação 2. O resultado de Vs para o caso de alimentação senoidal e equilibrada é mostrado na figura 1.

O resultado numérico corresponde ao resultado analítico cuja expressão é dada pela equação 3:

tjS eVV ω

223

= (3)

3

Figura 1: Trajetória do vetor de alimentação do estator no plano complexo para o caso senoidal e

equilibrado.

b)

Para adicionar uma componente de terceiro harmônico na componente fundamental do vetor de alimentação do estator, foi definido um conjunto de tensões de 3º harmônico como mostra a equação 4:

+⋅⋅=

−⋅⋅=

⋅=

))3/2 (3cos(2)3/1(

))3/2 (3cos(2)3/1(

)3cos(2)3/1(

33

32

31

πω

πω

ω

tV

tV

tV

hS

hS

hS

(4)

O vetor alimentação do estator com uma componente de terceiro harmônico pode

ser calculado pela soma do vetor de alimentação obtido com tensões puramente senoidais e dos vetores de terceiro harmônico considerando as defasagens devido às distribuições espaciais do estator, como mostra a equação 5: 3/4

333/2

32313ππ j

hSj

hShSSsh eVeVVVV +++= (5) O resultado da trajetória do vetor alimentação com componente de terceiro harmônico é mostrado na figura 2. Como pode-se observar, não há alteração na trajetória devido ao acréscimo de uma componente de terceiro harmônico. Isto pode ser explicado pelo fato de que o 3º harmônico corresponde à inserção de uma componente de seqüência zero, ou seja, todas as três fases têm sempre a mesma direção. Como a distribuição espacial

4

das bobinas do estator está sempre defasada de 120º elétricos, faz com que esta componente de seqüência zero se anule.

Figura 2: Trajetória do vetor de alimentação do estator no plano complexo para o caso com

componentes de terceiro harmônico.

c)

Assim como foi feito para o caso de terceiro harmônico a inserção do 5º harmônico pode ser realizada somando o vetor de alimentação obtido com tensões puramente senoidais com os vetores de quinto harmônico considerando as defasagens devido às distribuições espaciais do estator, como mostra as equações 6 e 7:

+⋅⋅=

−⋅⋅=

⋅=

))3/2 (5cos(2)5/1(

))3/2 (5cos(2)5/1(

)5cos(2)5/1(

53

52

51

πω

πω

ω

tV

tV

tV

hS

hS

hS

(6)

3/4

533/2

52515ππ j

hSj

hShSSsh eVeVVVV +++= (7)

O resultado da trajetória do vetor de alimentação do estator é apresentado na figura 3. A inserção de uma componente de 5º harmônico corresponde à inserção de uma componente de seqüência negativa, isto é, esta componente gira 5 vezes mais rápida que a fundamental e no sentido contrário.

5

Figura 3: Trajetória do vetor de alimentação do estator no plano complexo para o caso com

componentes de quinto harmônico. d) Para simular o caso da trajetória se as tensões forem a saída de um inversor PAM de 6 pulsos, foi definido um conjunto de tensões trifásicas no MATLAB segundo uma modulação PAM. O resultado desta trajetória é mostrado na figura 4, onde pode-se observar que o lugares dos vetores são os pontos do vértice de um hexágono.

Figura 4: Trajetória do vetor de alimentação do estator com modulação PAM.

6

e) Para simular a saída de um inversor PWM senoidal foi utilizado um modelo definido no simulink para gerar o PWM. Este modelo é apresentado na figura 5.

Figura 5: Modelo definido no simulink para gerar os sinais com modulação PWM.

O vetor alimentação do estator a partir de um inversor PWM é obtido de forma idêntica aos casos anteriores, como mostra a equação 8.

3/43

3/221

ππ jPWMS

jPWMSPWMSsPWM eVeVVV ++= (8)

A figura 6 mostra a trajetória do vetor de alimentação do estator utilizando o inversor PWM, onde pode-se observar que o lugar dos vetores são os pontos de vértice do hexágono mais a origem.

. Figura 6: Trajetória do vetor de alimentação do estator com modulação PWM.

7

g) O vetor fluxo do estator pode ser calculado a partir da integração do vetor tensão.

Para realizar este cálculo foi definido uma integração numérica pelo método trapezoidal no programa fonte. A figura 7 mostra o vetor fluxo do estator para o caso ‘a’, onde se pode observar que a trajetória descreve um círculo perfeito semelhante ao seu vetor tensão. A figura 8 mostra o vetor fluxo para o caso ‘d’ que corresponde a alimentação PAM, cuja trajetória é um hexágono. A figura 9 mostra o vetor fluxo para o caso de alimentação utilizando um inversor PWM. A trajetória para este caso descreve um círculo com distorções de discretização.

O programa fonte escrito do MATLAB para a resolução deste exercício está anexo a

este trabalho.

Figura 7: Trajetória do vetor fluxo do estator com alimentação senoidal.

8

Figura 8: Trajetória do vetor fluxo do estator com modulação PAM.

Figura 9: Trajetória do vetor fluxo do estator com modulação PWM.

9

2) Mostre que as correntes de fase podem ser obtidas a partir do conhecimento do vetor corrente iS, considerando ΣiSi = 0, através de:

[ ] [ ] sieeiii TjjT

sss3/43/2

321 1Re 3/2 ππ −−= Verifique que este resultado significa que as equações de cada fase podem ser

obtidas pela projeção de iS sobre as direções ej0, e-j2π/3, e-j4π/3. Resposta: As direções ej0, e-j2π/3, e-j2π/3 são mostradas graficamente na figura 10, que corresponde às posições 0º, -120º e 120 º respectivamente. A partir da equação apresentada, podemos comprovar que:

Figura 10:

111321321 23º60cos)(º60cos)º60cos()º60cos(Re SSSSSSSSSs iiiiiiiiii =+=+−=−+−+=

[ ] 2223123123/2

23º60cos)(º60cos)º60cos()º60cos(Re SSSSSSSSS

js iiiiiiiiiei =+=+−=−+−+=− π

[ ] 3332132133/2

23º60cos)(º60cos)º60cos()º60cos(Re SSSSSSSSS

js iiiiiiiiiei =+=+−=−+−+=π

A partir das equações desenvolvidas acima podemos comprovar que as correntes de fase podem ser obtidas pela forma apresentadas no enunciado do exercício. As correntes em de cada fase podem ser calculadas pelo produto escalar do vetor is pelos vetores unitários das direções apresentadas na figura 10. Para a direção ej0, podemos escrever:

13210240

30120

200

10

23)º60cos()º60cos().().().(. SSSS

jjS

jjS

jjS

js iiiieeieeieeiei =−+−+=++=

O mesmo pode ser verificado para as três outras direções.

10

3) Mostre que as equações (3.26) do L.T. são idênticas às equações (10.50) e (10.51) do livro “Control of Electrical Drives”, Leonhard. Resposta: A equação (3.26) do L.T. é apresentada abaixo:

rrr

SSSS

iR

iRu

Ψ+=

Ψ+=&

&

0

onde:

sj

rrr

rj

sss

iMeiL

iMeiLθ

θ

ψ

ψ−+=

+=

Desenvolvendo o primeiro conjunto de equações inserindo a derivada do segundo conjunto, obtemos:

( )

( )dtied

Mdtdi

LiR

dtied

Mdtdi

LiRu

sj

rrrr

rj

ssSSS

θ

θ

−

++=

++=

0

Que é a equação (10.51) apresentada no livro do Leonhard considerando que para um motor de gaiola ur=0. 4) Trace a curva torque x velocidade de um motor de indução tomando: Xs = j0,50Ω, Xr = j0,21Ω, Rs = 0Ω, RR = 0,14Ω. Varie o valor de RR, para 0,50Ω e para 1,00Ω e verifique a mudança na curva de torque. Resposta:

A figura 10 mostra a curva de torque x velocidade de um motor de indução de 2 pólos com alimentação de 127V com um valor de RR=0,14Ω. A figura 11 mostra uma comparação desta curva com as curvas obtidas com RR=0,5Ω e RR=1,0Ω. Podemos notar que com o aumento da resistência rotórica o torque de partida aumenta. O programa fonte utilizado para este exercício está anexo a este trabalho.

11

Figura 11: Curva de torque por velocidade para um motor de indução com RR=0,14Ω.

Figura 12: Comparação das curvas de torque por velocidade para várias resistências rotóricas.

12

5) Mostre que os 3 circuitos abaixo apresentam a mesma função de transferência Us/Is e, portanto, são representações equivalentes de um motor de indução.

Resposta:

Podemos definir um circuito genérico a partir dos circuitos e equações apresentadas acima, como mostra a figura 13.

Figura 13: Circuito genérico equivalente parametrizado a partir de α.

onde: α = 1, para o circuito “a”. α = 1/(1 + σr), para o circuito “b”. α = (1 + σo), para o circuito “c”. Calculado a impedância deste circuito equivalente no MATLAB de forma simbólica, verificamos que o resultado independe de α. O código fonte encontra-se anexo.

13

6) Para o circuito (b) acima, mostre que: mRRs ITjI )1( 2ω+=

Com TR = LR / RR, chamada de constante de tempo rotórica. Resposta: A corrente que flui pelo ramo resistivo pode ser calculada por:

sR

r

s

ss

sR

r

ss

sR

r

ss

LjsRILj

LjsRILj

LjsR

ILjI

1

1

12

1

12

1

)1()1(

.

)1(1

)1(1

.

)1()1(

1.)1(

ωσσ

ω

ωσσ

ω

σωσ

σω

+++

=+

−+

=−+

+

−=

Como:

r

s

r

s

LL

=++

)1()1(

σσ

sr

r

r

sr

r

s

sR

r

s

ss IjTjT

jsTIjsT

jsT

Ij

LjsR

LL

ILjI

2

2

1

1

1

1

1

1

111.

ωω

ωω

ω

ω

ω

ω+

=+

=+

=+

=

srmRrmRsrs

sr

rmRmRs

IjTIjTIIjTI

IjTjT

IIII

222

2

2

1ωωω

ωω

++=++

+=+=

Logo:

( ) mRrs IjTI 21 ω+=

14

Exercício 1

%Terceira lista de exercicios de controle de maquinas eletricas %Rafael Ramos Gomes clear all; close all; wt=0:.01:2*pi; %vetor wt com variaçao de 1 ciclo %Fundamental Vs1=sqrt(2)*cos(wt); Vs2=sqrt(2)*cos(wt - 2*pi/3); Vs3=sqrt(2)*cos(wt + 2*pi/3); Vs = Vs1 + Vs2*exp(j*2*pi/3) + Vs3*exp(j*4*pi/3) plot(Vs,'.'); title('Trajetoria do vetor alimentaçao do estator - Senoidal equilibrado'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %3a Harmonica Vs1h3=(1/3)*sqrt(2)*cos(3*wt ); Vs2h3=(1/3)*sqrt(2)*cos(3*(wt - 2*pi/3)); Vs3h3=(1/3)*sqrt(2)*cos(3*(wt + 2*pi/3)); Vsh3 = Vs + Vs1h3 + Vs2h3*exp(j*2*pi/3) + Vs3h3*exp(j*4*pi/3) figure; plot(Vsh3,'.'); title('Trajetoria do vetor alimentaçao do estator - 3o harmonico'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %5a Harmonica Vs1h5=(1/5)*sqrt(2)*cos(5*wt ); Vs2h5=(1/5)*sqrt(2)*cos(5*(wt - 2*pi/3)); Vs3h5=(1/5)*sqrt(2)*cos(5*(wt + 2*pi/3)); Vsh5 = Vs + Vs1h5 + Vs2h5*exp(j*2*pi/3) + Vs3h5*exp(j*4*pi/3) figure; plot(Vsh5,'.'); title('Trajetoria do vetor alimentaçao do estator - 5o harmonico'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %Modulaçao PAM vx = sign(sin(wt)); vy = sign(sin(wt - 2*pi/3)); vz = sign(sin(wt + 2*pi/3)); %define as tensoes

15

Vs1pam = sqrt(2)*(vx - vy)/2; Vs2pam = sqrt(2)*(vy - vz)/2; Vs3pam = sqrt(2)*(vz - vx)/2; Vspam = Vs1pam + Vs2pam*exp(j*2*pi/3) + Vs3pam*exp(j*4*pi/3); Vspam = Vspam(2:length(Vspam)); figure plot(Vspam,'.'); title('Trajetoria do vetor alimentaçao do estator - modulaçao PAM'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %Modulaçao PWM sim PWM %chama modelo do simulink para gerar o PWM Vspwm=Vs1pwm+Vs2pwm*exp(j*2*pi/3)+Vs3pwm*exp(j*4*pi/3); figure plot(Vspwm(3:length(Vspwm)),'.'); title('Trajetoria do vetor alimentaçao do estator - modulaçao PWM'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %Calcula o vetor fluxo do estator para alimentaçao senoidal %integraçao pelo metodo trapezoidal fluxo(1)=Vs(1); for i=2:length(Vs) *(2*pi)/length(Vspwm) fluxo(i)=fluxo(i-1)+Vs(i)*(2*pi)/length(Vs); end figure; plot(fluxo,'.'); title('Trajetoria do vetor fluxo do estator - Senoidal'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %Calcula o vetor fluxo do estator para modulaçao PAM %integraçao pelo metodo trapezoidal fluxopam(1)=Vspam(1)*(2*pi)/length(Vspwm); for i=2:length(Vspam) fluxopam(i)=fluxopam(i-1)+Vspam(i)*(2*pi)/length(Vspam); end figure; plot(fluxopam,'.'); title('Trajetoria do vetor fluxo do estator - modulaçao PAM'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); %Calcula o vetor fluxo do estator para modulaçao PWM %integraçao pelo metodo trapezoidal fluxopwm(1)=Vspwm(1) *(2*pi)/length(Vspwm); for i=2:length(Vspwm) fluxopwm(i)=fluxopwm(i-1)+Vspwm(i)*(2*pi)/length(Vspwm); end

16

figure; plot(fluxopwm,'.'); title('Trajetoria do vetor fluxo do estator - modulaçao PWM'); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario');

Exercício 4 clear; xs=0.5; xr=0.21; rr=1; V=127; ws=7200; for i=1:100 s(i)=(ws-i*ws/100)/ws; T(i)=(1/(ws*(2*pi/60)))*(V^2*rr/s(i))/((rr/s(i))^2 + (xs+xr)^2); end; wm=(1-s)*ws; plot(wm,T); hold on; rr=0,5; for i=1:100 s(i)=(ws-i*ws/100)/ws; T(i)=(1/(ws*(2*pi/60)))*(V^2*rr/s(i))/((rr/s(i))^2 + (xs+xr)^2); end; wm=(1-s)*ws; plot(wm,T,’red’); rr=1; for i=1:100 s(i)=(ws-i*ws/100)/ws; T(i)=(1/(ws*(2*pi/60)))*(V^2*rr/s(i))/((rr/s(i))^2 + (xs+xr)^2); end; wm=(1-s)*ws; plot(wm,T,’green’);

Exercício 6

syms Rs Rr L0 sigma_r sigma_s alfa S z1 = Rs + L0*sigma_s + L0*(1-alfa); z2 = L0*alfa; z3 = L0*alfa^2*sigma_r+L0*(alfa^2-alfa)+alfa^2*Rr/S; z4 = (z2*z3)/(z2+z3); z=simplify(z1+z4)