Cálculo I

Porque cursar esta disciplina?

É fácil a aprendizagem?

Tem como tornar mais fácil?

Problema 1 (O problema da caixa): Deseja-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha retangular com 5 dm de comprimento e 4 dm de largura, retirando-se os quatro cantos e dobrando as abas restantes, conforme mostra a figura. Quais as dimensões da caixa de volume máximo?

• canto retirado=quadrado de lado h

• (a) Qual o intervalo de variação de h?

• (b) Que valores pode ter o volume de uma caixa assim construída?

• Determine o volume V da caixa como função de h.

• (a) Qual o intervalo de variação de h?

• (b) Que valores pode ter o volume de uma caixa assim construída?

• Determine o volume V da caixa como função de h.

• x= 5-2h=?

• y= 4-2h=?

• x>0, y>0 → ℎ < 2

• h> 0

• (a) h ∈ (0,2)

• (b) V(1/2)=6 dm3, V(1)= 6 dm3, V(3/2)=3 dm3, V(3/5)=6,384 dm3.

• V= (5-2h)(4-2h)h

(a) h ∈ (0,2)

(b) V(1/2)=6 , V(1)= 6, V(3/2)=3, V(3/5)=6,384

V= (5-2h)(4-2h)h

(c) O gráfico da figura 1 pode ser o da função V? Porque?

• Não, porque h ∉ (0,2)

(a) h ∈ (0,2) (b) V(1/2)=6 , V(1)= 6, V(3/2)=3, V(3/5)=6,384 V= (5-2h)(4-2h)h (d) O gráfico da figura 2 pode ser o da função V? Porque? • Sim, poderia porque satisfaz

(a) e os valores obtidos para V.

(a) h ∈ (0,2) (b) V(1/2)=6 , V(1)= 6, V(3/2)=3, V(3/5)=6,384 V= (5-2h)(4-2h)h (e) Sabendo-se que o gráfico da figura 2 é realmente o gráfico da função V do problema, estime o valor do volume máximo. • V ≅ 6, 552 dm3 quando h ≅ 0,7 dm.

(a) h ∈ (0,2)

(b) V= (5-2h)(4-2h)h

(f) Qual a característica geométrica especial do ponto do gráfico onde a função V atinge seu valor máximo?

• Reta tangente à curva no ponto 𝑃∗ é horizontal ⟺𝑚 = 0

• Coeficiente angular de reta tangente a uma curva y=f(x)

Número real único m=tg 𝛼

• Derivada da função f

• Porque cursar esta disciplina?

• Derivada (entre outros)

• Solução de problemas de otimização (máximo/mínimo) de funções

• Solução de muitos outros problemas

• É fácil a aprendizagem? Tem como tornar mais fácil?

Resolução de Problemas

CÁLCULO I

Funções Equações, fatoração, desigualdades, etc

• Ensino Fundamental/Médio

Questão ⟷ Memória

Exercício ⟷ Treinar Algoritmos

• Cálculo I

Problema ⟹ Raciocínio, Síntese

Etapas de Resolução de um Problema

• Leitura e delimitação

• Modelagem matemática

• Escolha de um plano de estratégias para chegar à solução

• Execução do plano

• Validação dos resultados obtidos

• Etapa 1: Leitura e delimitação do problema:

ler cada frase, sublinhando dados relevantes

identificação dos dados conhecidos e o objetivo do problema

• Etapa 2: Modelagem matemática do problema:

transformar os dados utilizando conceitos de variável independente, dependente, função, intervalo, conjuntos

• Etapa 3: Escolha de um plano de estratégias para chegar à solução do problema

Detalhes sobre as estratégias mais comuns em problemas de Cálculo I mais à frente.

• Etapa 4: Execução do plano= Aplicação da(s) estratégia(s) para chegar à solução do problema:

elos numa cadeia lógica de raciocínio, dependentes umas das outras

etapas independentes cujas soluções conduzirão juntas ao resultado procurado

• Etapa 5: Validação dos resultados obtidos:

verificação crítica do trabalho realizado

Tipos de Estratégia

• Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico

• Organizar uma sequência de passos: para esgotar e visualizar todos os casos possíveis

• Exemplo 1: Para ir a uma festa uma pessoa tinha disponíveis 1 calça vermelha e 1 calça azul e três camisetas, um amarela, uma verde e outra preta. De quantas maneiras distintas estas peças podem ser combinadas para produzir uma roupa para a festa?

• Solução: 6 combinações possíveis

• Camiseta amarela

• Camiseta verde

• Camiseta preta

Calça vermelha

• Camiseta amarela

• Camiseta verde

• Camiseta preta Calça azul

Tipos de Estratégia

• Desdobrar um problema complexo em questões mais simples

• Exemplo 2: Para ir a uma festa uma pessoa tinha disponíveis 1 calça vermelha e 1 calça azul, três camisetas, um amarela, uma verde e outra preta e 3 sapatos, 1 preto, 1 marrom e 1 azul. De quantas maneiras distintas estas peças podem ser combinadas para produzir uma roupa para a festa?

• Solução: desdobrar em dois problemas mais simples

o do exemplo 1, com 6 combinações

para cada uma, 3 sapatos possíveis

• Logo, há 18 combinações possíveis.

Tipos de Estratégia

• Trabalhar do fim para o princípio: quando se conhece o ponto final e se quer encontrar o ponto inicial

Exemplo 3:Uma criança levou para a escola um saco de biscoitos para dar aos amigos. Deu metade dos biscoitos que tinha no saco ao primeiro grupo de amigos que encontrou ao chegar. Depois encontrou mais amigos e deu metade dos que ainda tinha. E assim chegou à sala dele já só com 20 biscoitos, um para cada colega. Quantos biscoitos havia no saco, antes de ser aberto?

Solução: raciocínio reverso

• Quantidade final= 20 biscoitos

• Deu metade do que tinha para segundo grupo de amigos, logo tinha 40

• Só que, ao chegar, tinha distribuído metade dos que tinha, então só poderia ter 80 biscoitos.

• Esta é a quantidade total de biscoitos no saco, antes de ser aberto: 80 biscoitos.

Tipos de Estratégia

• Simular / Simplificar o problema: criação de um modelo para a situação recorrendo a objetos

Exemplo 4:Uma pessoa guarda suas meias todas desarrumadas numa gaveta em seu quarto. Ela sabe que tem 1 par de meias marrons, 1 par de meias pretas e 1 par de meias brancas, todas do mesmo modelo. Supondo que a pessoa precise escolher um par de meias da mesma cor, sem acender a luz do quarto, qual o menor número de meias que deve tirar da gaveta para que, quando sair do quarto para um local iluminado, tenha com certeza um par da mesma cor?

Solução: Simulando a retirada de meias, supondo o pior cenário,

• se tirar 3 meias da gaveta, poderá haver 1 de cada uma das 3 cores.

• Se tirar pelo menos 4, haverá cor repetida, portanto, 2 da mesma cor.

• Então a solução é: 4 meias.

Tipos de Estratégia

• Descobrir uma regra ou padrão: a partir de casos específicos, obter uma generalização.

• Criar um problema equivalente: quando o problema tem números grandes, considerar primeiro com números menores, de modo que seja mais simples de representar.

• Descobrir casos particulares: consiste em resolver um problema do mesmo tipo, caso particular daquele que se quer resolver.

Exemplo 5: Dobra-se uma folha de papel retangular ao meio, e repete-se o processo em seguida, várias vezes. Em quantas partes a folha de papel original fica dividida, se a folha for dobrada 10 vezes?

Solução:

• primeira estratégia (tabela)

• problema equivalente, com um número menor de dobras

• lei de formação

Dobras 0 1 2 3 4 5 n 10

Partes 1 2 4 8 16 32 2𝑛 1024

Tipos de Estratégia

• Procurar um problema análogo mais simples: resolvendo o mais simples, pode-se descobrir mais facilmente como chegar à solução do problema original

Exemplo 6: Suponha que há um certo número de coelhos e de galinhas numa gaiola, totalizando 7 cabeças e 22 patas. Quantos coelhos e galinhas estão na gaiola?

Solução:

• Só galinhas ⇒ 7 ⇒ 7 cabeças e 14 patas;

• São 22 patas ⇒ 8 patas sobrando;

• 2 patas a mais para cada animal (que não será galinha, mas coelho) ⇒ 4 animais com 4 patas.

Então são 4 coelhos e 3 galinhas.

Estratégias mais comuns Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico Organizar uma sequência de passos: para esgotar e visualizar todos os casos

possíveis Desdobrar um problema complexo em questões mais simples Trabalhar do fim para o princípio: quando se conhece o ponto final e se quer

encontrar o ponto inicial Simular / Simplificar o problema: criação de um modelo para a situação

recorrendo a objetos Descobrir uma regra ou padrão: a partir de casos específicos, obter uma

generalização Criar um problema equivalente: quando o problema tem números grandes,

considerar primeiro com números menores, de modo que seja mais simples de representar.

Descobrir casos particulares: consiste em resolver um problema do mesmo tipo, mas que corresponda a um caso particular daquele que se quer resolver.

Procurar um problema análogo mais simples: resolvendo o mais simples, pode-se descobrir mais facilmente como chegar à solução do problema original

• Problemas envolvendo funções, suas representações e propriedades;

• Não necessitam nenhum conhecimento de Cálculo I;

• Utilizar as 5 etapas;

• Escolher estratégia (s).

Problema 2: Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo ABCD, com vértices A, B, C, D, no sentido anti-horário, sendo A o vértice inferior esquerdo. Ela parte do ponto A, ao andar 20 cm chega ao vértice B, depois se andar mais 10 cm chega ao vértice C e finaliza seu trajeto andando mais 20 cm e chegando em D. A partir de A, se ela andar x cm, a formiga estará em um ponto F do contorno. a) Determine a função que associa o comprimento x ao valor da área do triângulo ADF. b) Determine x para que a área seja máxima.

Solução: Etapa 1

• Dados conhecidos: AD = BC = 10cm, AB = CD =20cm,

x= distância de A até F, ao longo do contorno (variável independente).

• A determinar: a função f(x)= área do triângulo ADF e o valor de x para que f(x) tenha valor máximo.

triângulo ADF, se a formiga estiver em algum ponto do lado AB

Solução: Etapa 2

• Note que x varia à medida que a formiga anda de A até D.

• Os valores possíveis para x são: x є [0,50].

Solução: Etapa 3

• utilizar a estratégia de separar o problema em 3 casos, quando a formiga estiver no lado AB, no lado BC e no lado CD.

•Verificar que o tipo de triângulo é o mesmo, quando a formiga estiver num lado, assim a fórmula de área de triângulo fornecerá um resultado para cada caso.

Solução: Etapa 4:Formiga no lado AB

• xє[0, 20], o triângulo ADF é retângulo, relativo ao vértice A. Tomando como base o lado AF, que tem medida x, a altura será AD=10, logo a área será

• f(x)= 𝑥 .10

2 = 5x

Solução: Etapa 4:Formiga no lado BC

• xє[20, 30], o triângulo ADF não é mais retângulo, mas tem sempre a mesma base, AD=10 e a mesma altura, CD=AB=20.

• Logo a área será f(x)= 20 .10

2 = 100

Solução: Etapa 4:Formiga no lado CD

• xє[30, 50], triângulo ADF é retângulo, reflexão de outro quando a

formiga está em AB. Como a função área, no lado AB tem como gráfico um segmento de reta, o mesmo ocorrerá agora.

• Quando a formiga está em D, x=50 e f(50)=0; quando está em C, satisfaz a outra expressão, isto é, f(30)=100. Os extremos do segmento de reta são (50,0) e (30,100).

•𝑦−0

𝑥−50 = 100−0

30−50 => y=5 (50-x)= f(x)

Solução: Etapa 4

Área máxima: 100cm2, obtida quando a

formiga estiver em qualquer ponto do lado

BC: 20 cm ≤ x ≤ 30 cm.

Solução: Etapa 5 • O gráfico da função área quando xє[30, 50] é de fato uma

reflexão do caso em que xє[0, 20]

• Quando a formiga está nos pontos A, ou D, o triângulo tem área zero, conforme mostra o gráfico

• Quando a formiga está no ponto B, que pertence AB e a BC, e no ponto C, que pertence a BC e CD, os valores das duas sentenças coincidem.

• Observações

1) há mais de uma forma de chegar à solução correta;

2) existe uma infinidade de pontos de máximo da função área.

• Conteúdos relembrados

•área de triângulos;

•domínio e imagem de função;

•equação da reta que passa por dois pontos dados;

• função constante;

•simetria;

• gráfico de funções do 1º grau;

•função definida por várias sentenças.

Problema 3: Um criador de gado leiteiro necessita de um hectare de área de pasto para cada vaca. Cada uma produz 4500 litros de leite por ano, em média, que é vendido a R$0,20 o litro. Este produtor tem um gasto anual fixo de R$ 20.000,00 com a manutenção do processo de coleta e transporte de leite.

Um criador de gado de corte produz 250 kg de carne de gado (peso médio de 1 vaca por ocasião do abate) por hectare necessário a ela, por ano, e vende a R$0,80 o quilo, sem custos adicionais.

(a) Determine a função maior lucro (em gado de corte ou leiteiro), correspondente à área destinada ao gado.

(b) Qual o número mínimo de vacas que ele deve possuir, para que o maior lucro anual seja obtido com gado leiteiro?

Solução: Etapa 1

Tipo

(Gado)

Quantidade

(unidades)

Área

(hectares)

Rendimento

(por ano)

Preço

(reais)

Leiteiro 1

De corte 1

Tipo

(Gado)

Quantidade

(unidades)

Área

(hectares)

Rendimento (por

ano)

Preço

(reais)

Leiteiro 1 1 4500 l/ano R$ 0,20/l

De corte 1 1 250kg/ano R$ 0,80/kg

Solução: Etapa 2

Lucro = receita – custo

Solução: Etapa 3

• separar o problema em partes,

• determinar o lucro com gado leiteiro,

• o lucro com gado de corte,

• fazer o gráfico de cada função,

• determinar o gráfico da função “maior lucro”

• Determinar a função maior lucro

Solução: Etapa 4- Lucro com gado leiteiro

• x= número de hectares para pasto de vacas leiteiras por ano

• Venda= 0,20.4500.x = 900 x

• Custo=R$ 20.000,00

• Lucro: 900x – 20.000

• Função afim: gráfico reta

• x= hectares: x ≥ 0

• Pontos do segmento de reta:

A(0,-20000) e B(20000

9,0)

Solução: Etapa 4- Lucro com gado de corte

• x= número de hectares para pasto de gado de corte por ano

• Venda=0,80.250.x = 200 x

• Custo=0

• Lucro: 200x

• Função linear: gráfico reta

• x= hectares: x ≥ 0

• Pontos do segmento de reta:

A(0, 0) e B(1,200)

Solução: Etapa 4- Gráfico das duas funções e da função maior lucro

Solução: Etapa 4- função maior lucro

• f(x) = 200𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥∗

900𝑥 − 20.000, 𝑠𝑒 𝑥 > 𝑥∗

• Se forem 𝑥∗ hectares, o lucro será igual

• 200x = 900x-20000

• x= 28, 6 hectares

• f(x) = 200𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 28,6

900𝑥 − 20.000, 𝑠𝑒 𝑥 > 28,6

Solução: Etapa 4 e Etapa 5- número mínimo de vacas para o “maior lucro” ser com gado leiteiro

• Domínio: xє{0,1,.., 28, 29, 30,...}.

• Número mínimo de vacas para

“maior lucro” ocorrer com gado leiteiro

• 29 vacas

Problema 4: Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento bruto até 1.500 u.m. (unidades monetárias) anuais são isentos; aos que possuem rendimento bruto anual acima de 1.500 u.m. até 6.000 u.m., cobra-se um imposto de 10% sobre o total da renda; acima de 6.000 u.m. de rendimento bruto anual, o imposto é de 20% sobre o total da renda. a) Determine o valor do imposto de duas pessoas, uma com rendimento bruto anual de 5500 u.m. e a outra com 6100 u.m. e compare a renda líquida das duas. b) Determine a expressão algébrica e esboce o gráfico da função que relaciona o rendimento bruto anual com o imposto cobrado. c)Determine a expressão algébrica e esboce o gráfico da função que relaciona a renda bruta com a renda líquida correspondente. Analise os resultados sob o ponto de vista de justiça social.

Solução: (a) Renda Líquida = Renda Bruta - IR

• 5500: segunda faixa de Renda Bruta , então IR 10% = 550u.m.

• Renda líquida = 5500-550= 4950 u.m.

• 6100: terceira faixa de Renda Bruta, então IR 20%=1220u.m.

• Renda Líquida=6100-1220=4880 u.m

• Renda Bruta aumentou, mas a Renda Líquida diminuiu !

Renda Bruta Anual (u.m.) Imposto de Renda (% da

Renda Bruta Total)

0 até 1500 0

Acima de 1500 até 6000 10

Acima de 6000 20

• Solução (b): x = renda bruta

• F(x) = imposto a pagar

F(x)=

0, x ≤ 1500𝑥

10, 1500 < 𝑥 ≤ 6000𝑥

5, x > 6000

• Solução (c): • Renda Líquida= Renda Bruta - IR

• x= Renda Bruta

• F(x)= IR

• G(x)=x-F(x) = Renda Líquida

G(x)=

𝑥, 𝑥 ≤ 1500

𝑥 −𝑥

10, 1500 < 𝑥 ≤ 6000

𝑥 −𝑥

5, 𝑥 > 6000

Problema 5: No Brasil, o imposto de renda está sendo cobrado em 2018 da seguinte forma: os que têm rendimento mensal até R$1.903,98 ficam isentos; os que possuem renda entre R$1.903,99 e R$2.826,65, pagam um imposto de 7,5% sobre o que exceder R$1.903,98; os que possuem renda entre R$2.826,65 e 3.751,05, pagam também um imposto de 15% sobre o que exceder R$2.826,65; os que possuem renda entre R$3.751,05 e R$4.664,68, pagam também um imposto de 22,5% sobre o que exceder R$3.751,05; os que possuem renda superior a R$4.664,68, pagam também um imposto de 27,5% sobre o que exceder R$4.664,68. a)Determine a expressão algébrica e o gráfico da função que associa a cada valor de rendimento bruto mensal o imposto de renda cobrado. b) Explique a coluna “parcela a deduzir do imposto” da tabela ao lado.

• Solução de (a): • x = rendimento mensal bruto e F(x)= Imposto cobrado • Se x ≤ 1903,98 então F(x)=0

• Se 1903,99 < x ≤ 2826,65 então F(x) = 7,5

100 (x-1903,99)=

7,5

100 x – 142,80.

• Se 2826,65 < x ≤ 3751,05 então F(x)= 7,5

100 (2826,65-1903,99) +

15

100(x-2826,65)

F(x)=69,20 + 15

100(x-2826,65)=

15

100x- 354,80.

• Se 3751,05 < x ≤ 4664,68 então F(x)=15

100(3751,05)- 354,80+

22,5

100 (x- 3751,05)

F(x)=22,5

100 x-636,13.

• Se x > 4664,68 então F(x)= 22,5

100 (4664,68)+

27,5

100 (x-4664,68)=

27,5

100 x-869,36

F(x)=

0, 𝑥 ≤ 1903,987,5

100 x – 142,80, 1903,99 < 𝑥 ≤ 2826,65

15

100x − 354,80, 2826,65 < 𝑥 ≤ 3751,05

22,5

100 x − 636,13, 3751,05 < 𝑥 ≤ 4664,68

27,5

100 x − 869,36, x > 4664,68

Gráfico da função F

Solução de (b):

• A parcela a deduzir : é o tamanho do salto que haveria se a taxa de imposto fosse aplicada a todo o rendimento e não à parte que excede a faixa.

• Transforma a expressão algébrica de cada sentença, de linear em afim, transladando o gráfico para baixo para “colar” as partes.

• A parcela a deduzir representa a translação.

Atividades e problemas relacionados a estes tópicos

• Bianchini, W., Cálculo I, disponível em http://www.dmm.im.ufrj.br/~waldecir/calculo1/index.html

• Rocha, A. S., Pré-cálculo, site disponível em http://www.im.ufrj.br/precalculo