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Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente
Correlacionados
Apoio:
http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html
Esta apresentação pode ser obtida do site
seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
Raimundo Rocha dos [email protected]
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Esquema do mini-cursoI. IntroduçãoII. MC para Sistemas ClássicosIII. QMC a T finita: PreliminaresIV. QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com
Determinante FermiônicoV. Instabilidade a Baixas TemperaturasVI. O Problema do Sinal NegativoVII. ExemplosVIII. SupercondutividadeIX. O Modelo de Hubbard AtrativoX. Metais, Isolantes ou Supercondutores?XI. Efeitos de DesordemXII. Conclusões e Perspectivas
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A aproximação de elétrons indepen-dentes com o modelo de bandas expli-ca boa parte dos comportamentos observados:
• metais• isolantes• semicondutores
Introdução
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Elétrons (independentes) em sólidos: potencial cristalino periódico
elétrons quase-livres[menos localizados]
a limite atômico
[mais localizados]
a a
dE dE
Pergunta: quantos estados quânticos há num intervalo de energia dE ?
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Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)
MetalIsolante ouSemicondutor
Depende da magnitude do gap:•isolante se eV •semicondutor se 0.1 eV
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Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ):maior tendência à localização
elétron passa mais tempo perto do núcleo
tem maior chance de encontrar outro elétron no
mesmo núcleo
interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons não pode mais ser desprezada
os e se movimentam solidariamente, para
minimizar a energia fortemente correlacionados
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Supercondutores de Alta Temperatura
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Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):
Metal ????
Incluindo correlação, ocomportamento isolante(correto!) é obtido
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Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar propriedades coletivas Mecânica Estatística
Perguntas típicas que se quer responder sobre um determinado sistema:
• ele pode ser magnético? qual o arranjo?• é metálico?• é isolante?• pode ser supercondutor?• como a carga está distribuída espacialmente?• estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?
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Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais, os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo fundamental
Pelo menos duas escalas de energia: kBT e :• se kBT >> , o fato dos níveis serem discretos não importa
sistema “clássico”• se kBT , a ausência de estados acessíveis pode ser crucial (e.g., gap supercondutor)
sistema quântico fenômenos temporais inseparáveis: h/2 dimensões extras
Espectro:
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Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p.ex., elétrons, buracos, etc.) em cristais: interplay entre graus de liberdade de
carga
e de spin
i.e., distribuição espacial de carga, propriedades de transporte (condutividade)
Ordenamento magnético
Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado
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Modelos: através de modelos (essencialmente de uma Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento observado
Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes (spins localizados serão pensados como um caso limite)
Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”, ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que permitam caracterizar as propriedades físicas.
As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a extrema importância da análise de dados.
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Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg
ji
jiJH,
SS
Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo
Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo
i j
N.B.: Os mágnons são as excitações de mais baixaenergia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0em d 2.O que ocorre no estado fundamental?
• Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d • E os AFM’s ?????
1os. viz.apenas
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Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numarede bipartite:
(i.e., que pode ser de-composta em duas sub-redes, e , equivalentes, como as redes quadrada, cúbica simples, etc)
ii
ii
ii
,SS,SS
FMAFM HH
Flutuações quânticas efeitos não-triviais no estado fundamental (T = 0) de antiferromagnetos
P.ex., ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de comutação não são preservadas se S < :
ziij
yj
xi
ziij
yj
xi SiSSSiSS
,,
• d = 1 quase-ordem (correlações decaem com lei de potên- cia, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato).• d = 2 há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]
????
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Favorece o salto dos férmions entre sítios (termo de banda)
Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação†
iii
jiijji nnUcccctH
,,
Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard
Competição entre graus de liberdade de carga e de spin
Hubbard Heisenberg AFM para um e por sítio (banda semi-cheia) quando U t
† para uma apresentação .ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
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O papel da dimensão espacial:
em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance quase-ordem
itinerância onda de densidade de spin (SDW)
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Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s
Brown and Grüner (1994)
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ômico
não-ômico
Se período da CDW incomen-surável com a rede [i.e., r a; r racional e a parâmetro de rede] transporte de corrente é não-ômico
Explicação: analogia mecânica
Importante determinar o período da CDW
Brown and Grüner (1994)
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Acredita-se que nos su-percondutores de alta tem-peratura haja um equilí-brio entre o ordenamento de spin (AFM, não SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.):
As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM
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Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores
novo ingrediente:ordenamento direcional dosorbitais d do Mn
Formação de CDW [onda de densidadede carga]
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Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para sistemas de tamanhos finitos?P.ex., comportamento magnético (FM de Ising)
magnetização: (não há quebra de simetria) suscetibilidade: tem máximo na transição OK
função de correlação: (r) decai com a distância com lei de potência (se crítica)
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o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos aspectos quânticos (i.e., não-comutação) :
HB
s
z eTkGBG
NSm
Trln;1
Magnetização e suscetibilidade:
Como
Bm
χ
Hzi
Hzi
ji
zj
zi
zj
zi
s
eSeS
SSSSdN
τ-τ
β
τ
onde
ττβ
βχ
)(
)0()(1
,0
HH -H eH
ede ττ)βλ
λτ
λ
(
0
)(
evolução “temporal”
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MC para sistemas clássicosModelo de Ising (spin-½):
ji
ji SSJH,
Para modelos clássicos, cada configuração corresponde a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a ela uma energia E ({S}).
N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois estados Espaço de fases tem 2N configurações:
NSSSSSSS ...54321
S S z S = 1
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Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma soma sobre todas as configurações.
Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é
})({1})({ SEeZ
Sp
algumas configurações são menos prováveis que outras por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as configurações como se fossem igualmente importantes?
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Amostragem por importância: um exemplo simples
M
iixf
MxfdxI
1
1
0)(1)(
Aproximemos a integral por uma soma discreta:
se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no intervalo [0,1]:
fi f (xi), i = 1,...M são variáveis aleatórias independentes
M
ii
M
ii
fI
fM
ffM
f
M
ff
M
11
22
22
1,1 e
com
σ dois modos de se diminuir o erro:
1. M 2. diminuir f
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Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que
1)(,)()()(
1
0
1
0 xwdx
xwxfxwdxI com
Definindo
1)1(0)0();()()(0
yyxwdxdyxwxdxy
x e
a integral I pode ser escrita como
M
i i
i
yxwyxf
MyxwyxfdyI
1
1
0 )()(1
)()( Amostragem de f/w
sobre pontos y distribuídos uniformente
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Escolhendo w t.q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um erro pequeno
y
w
xdx=dy/w
Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior
Amostragem por importância
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O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por importância do espaço de fases: as configurações vão sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior
{S} {S}’
A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma propriedade local; i.e., depende apenas dos spins em torno daqueleque se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J
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A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é:
EeSpSpW
})({)}'({
• Se W > 1, a nova configuração é aceita.• Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W
Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o spin e verifique se a nova configuração é aceita.
N.B.: A possibilidade de aceitar uma configuração menos provável simula o efeito das flutuações térmicas!
Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule grandezas de interesse A({S}). A pode ser, p.ex., magnetização, energia, suscetibilidades, calor específico, etc.
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Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e umaestimativa para a média no ensemble é dada por
M
AM
A1
1
Alguns comentários técnicos, mas muito importantes:1. Cada varredura da rede é considerada como um passo de
MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de “tempo”.
2. Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo número de passos até que o sistema termalize e as médias passem a flutuar pouco; este número de passos depende da temperatura e de características do próprio sistema, como, p.ex., interações e/ou desordem.
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3. Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por construção, as configurações mantêm uma certa correlação entre si. Solução: promediar diferentes Ā
M M M
Ā1 Ā2 ĀG....
G
AG
A1
1
G
AA 22
barra de
erro
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4. Efeitos de tamanho finito.• Quais as escalas de comprimento importantes?
o tamanho linear, L;o comprimento de correlação, |T – Tc|
• Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duasescalas: L / • Segue daí a teoria de finite-size scaling [prevê como os
máximos nas diferentes grandezas (p.ex., suscetibilidade, calor específico,, etc.) se tornam singularidades ao nos aproximarmos do limite termodinâmico]:
LTT
LLconstLfLTX
xc
xx
L
se ,
se ,)(
FSS auxilia nas determinações de Tc , da natureza das fases e dos expoentes críticos.
X é qqgrandeza
TD
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QMC a T finita: PreliminaresDiscutiremos agora apenas•sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior abrangência
modelo de Hubbard, por ser o mais simples
iii
iii
jiijji
nnU
nncccctNH )(,,
KV
Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada partícula (a rigor, sítio), mas
0, K,Veee VKVK pois
gran-canônico!
[dos Santos (2003) e refs. lá contidas]
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Solução: fórmula de Trotter
BABABA
BABA
eeeeee
eee
0
1
0
lim
lim
(1/) termos
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• Interpretação de : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos• Para uma dada temperatura T, = ( kBT )-1 temos então M fatias “temporais” , M =
1322,,,
1
11
11
21
1
ieiieiiei
ieieTreTrZ
HM
HH
iii
MH
i
MHH
M
...}{
:
n
i
temporalfatia daestado
o denota
i1 i2 i3 iM i1
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• O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na direção temporal
dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 ) M quando T 0
• Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função de partição, Z , a qual deve, em princípio, ser extrapolada para 0
• Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os estados de cada sítio individualmente, mas
precisamos de uma nova aproximação
0,,,
, jkij
ji
KKKKee ijji ij
pois
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2a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez
Exemplo em d = 1:H = HA + HB
HA = H12 + H34 + H56 +
HB = H01 + H23 + H45 +
x
0 1 2 3 4
2
211,,,
1,,,21 21
iejjeiZ BA
M M
HH
iii jjj
2 oBA HHH eee
![Page 38: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/38.jpg)
Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas:H = HA + HB
ímpares plaquetas
pares plaquetas
pB
pA
HH
HH
Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases
Resumindo as 2 aproximações:1. Trotter para introduzir dimensão temporal
introduz erros sistemáticos da ordem de 2
2. Decomposição em tabuleiro de xadrez introduz erros sistemáticos também da
ordem de 2
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QMC a T finita : Amostrando o Espaço de Fases com determinante fermiônico
jjiiij nUnnUnK eee τττ
A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação sob a forma
cc
bilinear “integrável”(e.g., livre)
cccc
não-integrável façamos umatransformação que o leve a cc
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A transformação de Hubbard-Stratonovich:
Inspirada na identidade(A é um operador)
xAxA
edxe22
21
21
2π
A forma quadrática em A é transformada em linear! Custo: introdução de um “campo auxiliar” x.
1a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação
nnnnnn
nnnnnn
21
21
21
21
2
2
ouLembrando que, para férmions, n
2 = n = 0, 1temos
m (magnetização)n (carga)
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Usando a forma em que aparece m2 temos
nnxUxnnUnUn
edxeeττ
τπ
2
21
22 m
x se acopla com mU > 0 !!!!
ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n2:
nnxUxnnUnUn
edxeeττ
τπ
2
21
22 n
x se acopla com nU < 0 !!!!
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,
nUs
s
nnUnns
s
nnxUxnnUnUn
ee
edxee
2
1
2
1
21
2
21
21
22
ττ
τττ
π
Para simulações, é mais conveniente que a transformação de Hubbard-Stratonovich seja discreta:
1sdx
2τcosh Ue
Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo flutuante acoplando-se com a carga
Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são equivalentes a férmions livres em um campo magnético flutuante
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Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo), podemos escrever a gran-função de partição como
M
nsZ
1
TrTr
i
iiiji
jiji cVccKcM
ns
ML
eeZd
,
τ
,1
TrTr2
1
onde
casos outros vizinhos1 para os.
0i,jtK ij 2
UsV ii e
Dℓ ()
Os expoentes que aparecem em Dℓ () são bilineares nos operadores fermiônicos...
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...e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas.
Demonstração [2 estágios; ver dS (2003) p/ detalhes]:
1. Demonstra-se a identidade
cccBccAc
eee jijiji
jijiji
,,
onde são os autovalores da matriz e BAee
2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante:
BA
nn
ee
eee
1
1
det
TrTr
No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobreos spins fermiônicos...
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...isto é,
i
iiiji
jiji
ML
cVccKcM
nseeZ d
,
τ
,1
TrTr2
1
O traço fermiônico pode então ser efetuado:
sOsO
BBBZ
s
MMs
detdetTr
detTr 111
Fator de Boltzmann? Cuidado! O det · det não é necessariamente > 0 Se não for, tome |det · det| (mais sobre isto depois)
Matrizes Ns Ns
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A simulação:Tomando det O ·det O como fator de Boltzmann, fazemos a simulação nos {s}Escrevamos
O passo de QMC: Estamos no sítio da fatia
i
11 BBBB1O Mdetdet )(A
1
A1AA
2 )(),(
)(),()()(
),()(
iskiji
jk
ii
ei
i
ss
com
entãoSe
Todos os elementos são nulos, menos o da posição i da diagonal
Obs: det nãose alterap/ perm.
cíclica dosB’s
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OO
ROO
RRR
RRW
detdet
detdet
1e com
Este passo de QMC é aceito com probabilidade
Cálculo de R :Necessitamos da função de Green instantânea, i.e., calcu-lada na fatia ℓ, 1 ℓ M , para uma dada configuração {s}: 1
121 BBBBB1gg
Mjiij
cc )()(
iiiiiR
),( g11 A razão entre det’s fica trivial se pudermos calcular as g’s instantâneas
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Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O , ou, equivalentemen-te, as funções de Green:
1
1g11ggg
Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada: Ns 2 operações!
• Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal
Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna 1
1 BgBg
Ns 2
operações!OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma; periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição
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A manipulação através de funções de Green é uma das grandes vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já que os valores médios de interesse também podem ser expressos em termos das g’s:
iiii
iiiiiiiiiii
gg
ggccccnnm
11
O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}: 324143214321 iiiiiiiiiiii cccccccccccc
expressos em termos das g’s
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Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes problemas que discutiremos em seqüência :
1. instabilidade a baixas temperaturas;2. sinal negativo do determinante fermiônico.
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Instabilidade a Baixas TemperaturasDurante a simulação fazemos o produto de muitas matrizes, como, p.ex., no cálculo de Z
VK
MMs
eeBBBBZ comdetTr ,111
ou no cálculo da própria função de Green a partir da definição1
121 BBBBB1g
M
• O Problema: B mal condicionada autovalores que crescem exponencialmente com o inverso da temperatura níveis de energia negativa (quase sempre ocupados) autovalores ~ 1 níveis de (alta) energia positiva, raramente ocupados (mas Gran-Canônico!) mistura de escalas difícil de acompanhar numericamente
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Este problema se manifesta mais gravemente no update das g: • à medida em que T diminui, inicialmente aumenta a freqüência com que g tem que ser calculada a partir da definição• à medida em que T diminui ainda mais, o cálculo de g fica impraticável, mesmo a partir da definição
Como é baixa a escala de temperaturas de interesse, tem-se que resolver este problema
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• 1a Solução Possível: Formulação espaço-tempo [Hirsch 88]
Na formulação “espacial” original,
1
1
~1~
OgBO
L
Matrizes NxN N2 ops. por update de g N3 por fatia N3L por rede xt
Um outro extremo é a formulação espaço-temporal:
( M L )
A razão entre os maiores e os menores autovalores desta matriz cresce algebricamente com L melhor comportada para inversão
Matrizes NL x NL (NL)2 ops. por update N3L2 por fatia (NL)3 por rede xt
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Esta formulação espaço-temporal é inviável: fator L2 sobre a espacial
O melhor mesmo é um procedimento intermediário: • agrupe apenas uma fração p das fatias temporais, de modo que L0=L/p fatias sejam colapsadas
Matriz Np x Np cujo maior autovalor é da ordem de exp(0), onde é uma escala típica de energias de 1 partícula, e 0 = L0
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Vantagem adicional: a inversa de OLo fornece diretamente um conjunto de g’s:
OLo (ℓ) é definida, de modo semelhante, aumentando-se cada indice da matriz anterior de ℓ-1; analogamente para g
A escala de updates agora fica (NL)3/L02 por rede xt, e pode-se
atingir ~ 20
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• 2a Solução Possível: Fatorização de matrizes [White et al 89]
Suponha que m matrizes possam ser multiplicadas sem deterioração:
111 BBB mma
Usa-se ortogonalização de Gram-Schmidt para escrever o produto como
1111 RDUa Matriz ortogonal
bem condicionada Matriz diagonal com gran-
de variação no espectro
Matriz triangular
bem condicionada
Multiplica-se à esquerda por mais m matrizes
22211111222 BBB RDURDUa mmm
e assim sucessivamente, agrupando-se M/m multiplicações:
mMmMmMmM RDUaA
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Para calcular g, devemos isolar D, devido à sua grande variação espectral
RDU
RDRUUA mMmMmMmMmM
1111g
Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20
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O Problema do Sinal Negativo
Para o modelo de Hubbard repulsivo, na banda semi-cheia, n = 1, det det > 0, devido à simetria partícula-buraco
Demonstração:1. Transformação partícula-buraco
iiiii
iii ddcccdc 11
vizinhosprimeiros se jiKK
chddtKchcctK
ijij
jiji
ijjiij
,~..~..
1
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2UnnUnnUnnnUn iiiiiiii~~~~
A Hamiltoniana fica invariante pela simetria partícula-buraco se
2UU condição para banda semi-cheia
Obs.: No caso de hopping entre 2os. vizinhos, p.ex., não há simetria partícula-buraco, de modo que a condição para banda semi-cheia não é conhecida a priori.
2. “Det” sob transformação partícula-buraco
i
U
ii sUsV 2
2
0detdetdetdet
TrTrdet
,
~~
~
OOOeO
eeeeeO
ii
ii
iii
iii
s
snsK
n
nsK
n
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Logo, não há problema de sinal para Hubbard repulsivo (hopping de 1os vizinhos apenas) com n =1
Para o modelo atrativo, pode-se mostrar que, para qualquer n ,
0 OOOO detdetdetdet
como resultado do campo auxiliar se acoplar com a carga.
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Vejamos agora o que acontece quando o produto dos det’s é < 0
c
cpOOZ )((( σ)detσ)detTrσ soma sobre configurações c
s
sA
cscp
cAcscp
cp
cscp
cp
cAcscp
cscp
cAcscp
cp
cAcp
A
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
)()(
)()()(
|)(|
)(|)(|
|)(|
)()(|)(|
)(|)(|
)()(|)(|
)(
)()(
OK enquanto s ’ 1
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2D
3D
nes NU de fortemente depende onde ,
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Fora da banda semi-cheia, desde que trabalhemos na região em que s 0.6, pagando o preço de realizar amostragens mais longas, as médias ainda têm algum sentido.Tamanho da amostragem (independente de s ) determina os erros estatísticos
O “problema do sinal negativo” ainda não foi resolvido; vejadiscussão sobre problemas correntes
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Exemplos1. O diagrama de fases do modelo de Hubbard 2-D, a T = 0
Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)
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Propriedades magnéticas:
iii nnmoperador magnetização:
operador momento local:22
43
ii mS
fator de estrutura:
jiji
jiimmeS
,
RRq
N1)q(
suscetibilidade:
HH
jiji
jii
AeeA
mmde
τ-τ
β
τ com
τχ
)(
,)(N1
)q(0,
RRq
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Função de correlação: iiyx mmc ),(
···
Correlações AFM’s enfraquecem ao nos afastarmos da banda semi-cheia
···
n = 1, L = 10U = 4, β = 10
n = ½, L = 8U = 4, β = 10
[White et al 89]
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Fator de estrutura magnético
jiji
jiimmeS
,
RRq
N1)q(
S (q
x, q y)
qx
S (q) tem pico em (,)
Pico em S (,) a T = 0 cresce com L
S (
, )
β
[White et al 89]
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Aproximação de onda de spin:
212
31),(
NomN
S
Extrapola para um valor finito ordem de longo alcance
1/L
S/N
Erros sistemáticos não são muito dependentes de β
[White et al 89]
[Hirsch & Tang (89)]
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Fator de Estrutura para outras densidades:
Logo, para n 1 o sistema é PM
S (,) só cresce significativamen-te com para n = 1
[Hirsch (85); Hirsch & Tang (89)]
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Pico incomensurável para <n> 1; c.f. espalhamento de neutrons para LSCO
[Moreo et al. (90)]
![Page 71: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/71.jpg)
Transição Metal-isolante:
Compressibilidade:
n
nPV
V 2
11
Isolante: não se consegue adicionar partículas através de pequenas variações do potencial químico (nível de Fermi) 0
U/2 U/2
[Moreo et al. (90)]
Mais tarde: outros critérios para M ou I
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2. CDW no modelo de Hubbard 1-D, a T = 0
KF
KF
xx)kA
xxxkA
xK
xnn 422/31 124cos(
ln)2cos(
)()()0(
K caracteriza a intensidade da interação
2kF n; n é a densidade eletrônica
Para o modelo de Hubbard prevê-se que K 1/2 2kF mais importante que 4kF
Previsão da teoria de líquidos de Luttinger:
kF-kF
k
[Voit(1994)]
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Distribuição de carga:operador densidade de carga:
suscetibilidade:
iii nnn
ji
ji
jiinne
NC
,
RRq1)q(
fator de estrutura:
)0()(1)q(
0,
RRqji
ji
jiinnde
NN τ
β
Hi
Hi enen
ˆˆ
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U crescente: 4kF ainda cresce para T 0, 2kF estabiliza (Ns 36 sites)
Sem efeitos de tamanho finito ou temperatura finita: simulações com Ns 96 N(4kF) ln
n 1/6
[Paiva & dS (00a)]
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Logo, o modo de carga com 4kF de fato predomina sobre o com 2kF, ao menos para valores de U suficientemente grandes.
Acordo com descrição de LL : amplitude A1(n,U) de 2kF 0 para U U (n)
Esquematicamente:n
1
0U
2kF
4kF
U (n)
[Paiva & dS (00a)]
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iii
jiijji
jiijji nnUcccctcccctH
,,2
,,
3. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 1-D
Simetria partícula-buraco: n 1- n e t2 - t2
t2
Diagrama de fases para U=0
Questões de interesse: (1. Supercondutividade/ Gap de Spin?) 2. Rota para o Ferromagnetismo?
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t1
t2
Compostos do tipo “escadas” (ladder)
SrCu2O3Sr2Cu3O5
SrCuO2
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Ferromagnetismo [Ghosh e RRdS, 99]
U = 2t
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FM
U = 2t
A presença de t2 estabiliza a fase FM em uma região de parâmetros
O pico FM já aparece para U 6t quando t2 = 0.15a região FM do diagrama acima move-se para baixo quando U aumenta“Problemas de sinal negativo” não permitem verificar a SUC para valores maiores de t2
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Supercondutividade1. Fenomenologia
Metal normal
Resistência nula
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Efeito Meissner
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momento
ener
gia
00 jki
i 00 jki
i
Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis
dens. de corrente
Considere cargas negativas em um potencial periódico
momento
ener
gia
E
2. Condução em Metais
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Como evitar dissipação?
Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi
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3. Interação elétron-elétron
elétron
íon
A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons; pode chegar a ser atrativa em alguns casos.
constante dielétrica
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'k'k,k
k'kkkk
k)k( bbVcc
H
termo livre (banda)
kkk ccb
4. A Teoria BCS:
Solução variacional:
k 2k
kk 01
1
g
bg
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A equação do gap:
2k
2k
'k 'k
'k'kk
0k )k(
21
EE
VV
com ,
)()k(k T
dkkdkks
xyyx
yxyx
- onda
- onda -onda
sensen
coscos1
)k( 22SUC’sconvencionais
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2
Gás de e `s
Estados ocupados
Estados desocupados
F
+ interação atrativa
A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinteforma:
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ener
gia
momento
Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2):
todos têm KCM = 0
Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado:
KCM KCM dos demais pares alto custo energético (gap!)
Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência
ener
gia
momento
E
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Por quê [Anderson, 87] ? • O estado fundamental do modelo de Hubbard, fora da banda semi-
cheia, seria o de fortes correlações AFM’s de curto alcance. • Os férmions (buracos no contexto da maioria dos SUC’s de alta T)
formariam pares singletes ressonantes [RVB] pares de Cooper?
5. Supercondutividade no modelo de Hubbard repulsivo 2D?
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Propriedades supercondutoras:
)()()k(1)( kk
k ττ τ ccf
Nrr
operador de emparelhamento:
suscetibilidade uniforme (q=0):
,)()(0
0ττβ
rrr dP
fr (k) = 1 pares no estado sfr (k) = cos kx cos ky pares no estado d fr (k) = cos kx + cos ky pares no estado s* (estendido)
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1os resultados de QMC [Hirsch & Lin ’88]
Sem tendência a emparelhamento
Pr
U = 4
Ao ligar a interação, as suscetibilidades de pares ficam menores que as do caso livre.
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Outros resultados de QMC [White et al ’89]
Parte descorrelacionada retirada
Suscetibilidade total
Se o enhancement tivesse sido significativo (FSS, T mais baxas, etc), seria forte evidência para a formação de pares
Logo não há, ainda, sérias evidências numéricas para SUC no modelo de Hubbard repulsivo
![Page 93: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/93.jpg)
6. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 2-DDensidades de estados (U=0)
Singularidade de van Hove
Há expectativas de que a presença da singularidade de van Hove favoreça um estado supercondutor [BCS: Tc~ exp[-1/(F)|V|]
Só que quando t2=0, a singularidade ocorre no estado isolante; se t20, a singularidade fica deslocada para a região metálica.
![Page 94: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/94.jpg)
Solução de campo médio (Hartree-Fock) a T = 0:
t2=0
t2=0.4
![Page 95: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/95.jpg)
88, n = 42/64 0.66
1010, n =0.74
• t2<0 as correlações magnéticas na direção diagonal diminuem; aumentam na direção da face
• t2>0 comportamento oposto
[c.f. espalhamento de nêutrons em cupratos]
• As correlações de carga têm comportamento com t2 oposto ao das correlações magnéticas.
[Huang et al. (01)]
Sem evidência de FM nos intervalos
estudados
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Indicações de SUC:4x4, t2 = 0.4n = 1.1 U=0 U=4
6x6, t2 = 0.4n = 1.5 U=0 U=4
A presença de U aumenta a suscetibilidade de pares (onda-d), quando comparada ao caso livre.
Não foi possível à época realizar um estudo mais sistemático: FSS, <n>, etc.; probs: sinal negativo, tempo, etc.
[dos Santos, 89]
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tx
ty
t/’ t\’
t’’
[Kuroki e Aoki (98)]
Estendem o espaço de parâmetros para que o espectro fique com níveis pouco espaçados
12x12<n>=0.82t’=-0.43t’’= 0.07U=1
12x12<n>=1.32
t’=-0.5t’’= 0U=1
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O Modelo de Hubbard Atrativo
iii
iii
jiji nnnnUcctH
σH.c.
,,
Características:•Emparelhamento no espaço real, ao
contrário de BCS.•Equivale a BCS para |U| << t•Apresenta gap (para excitações) de
spin SUC’s de alta T
•Mais amigável para cálculos numéricos
pode ser usado como modelo efetivo para entender diversas propriedades de supercondutores (p.ex., desordem)
[Micnas et al. (90)]
Tc
T*(região de pares pré-formados;gap de spin)
|U|
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Algumas propriedades [Emery (76), dS(93)] :
1. Transformação partícula-buraco parcial:
i
iiii cccc 1,
iii
iii
jiji
nnUnnU
cctHH
2
σH.c.
,,
acoplamento com campo magnético (z)Interação Repulsiva
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Ainda como conseqüência desta transformação,
correlações de pares correlações antiferromagnéticas XX e YY
correlações de carga correlações antiferromagnéticas ZZ
U < 0 U > 0
![Page 101: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/101.jpg)
2. Limite de acoplamento forte U >> t :
Façamos o limite de acoplamento forte em H ’
||,,
UtJShJHji i
ziji
24SS com
AFM de Heisenberg com campo uniforme na direção z:• se h = 0, ordem tipo Heisenberg isotrópico• se h 0, ordem tipo XY
O que isto implica para nosso modelo atrativo original?• se a banda é semi-cheia: coexistência CDW + SUC• fora da banda semi-cheia: somente SUC
a dimensão espacial define se a ordem é de longo alcance, e/ou se persiste a T > 0
![Page 102: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/102.jpg)
Análise de QMC em 2D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, dS et al. (04)]: sem sinal negativo! Função de corelação de pares
com
Em 2D:• banda semi-cheia: Heisenberg isotrópico só há ordem de
longo alcance a T=0 • fora da banda semi-cheia: modelo XY há quase-ordem a T
< Tc Kosterlitz-Thouless
Finite-size scaling:
K-T: = ¼
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
T C
< n >
0 4 8 12 16
0,01
0,1
5 6 7 8 90.02
0,03
0,040,050,060,070,080,090,1
P
s/L2- s
L=4
18
Cruzamentos: estimativa de Tc para <n>
Variando-se <n> obtém-se Tc (<n>)
[Paiva, dS, et al. (04)]
![Page 104: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/104.jpg)
Em 3D:
Expansões em série para o modelo XY: = 0FSS:
LfTPLTLfTPL css qualquer para ,022
L = 3 ??
L = 4
L = 6[dos Santos (94)]
![Page 105: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/105.jpg)
Lx
Lz
Ly
Qual a dimensão linear deste sistema?
22213
zyx LLLL
11123
zyx LLLL
31
3 zyx LLLL
Para 4x4x2, temos L1 = 2.83, L2 = 3, e L3 = 3.17Escolhe-se a definição que aproxima os encontros no scaling plot
[dos Santos (94)]
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Suscetibiliade uniforme:
tipo Pauli (na rede)
tipo spin gap
pares pré-formados[dos Santos (94)]
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QMC no mod repulsivo
Sols. variacionais
U
O máximo de Tc não parece variar muito com U.
[dos Santos (94)]
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Metais, Isolantes ou Supercondutores?Motivação: Como determinar, através de simulações, se o estado fundamental é SUC, sem supor qualquer simetria para o estado do par? (E, caso não seja, determinar se é isolante ou metal)
[Scalapino et al. (93)]
Considere a componente x do operador densidade de corrente
e sua função de correlação espaço – i-temporal
Idéia básica: resposta do sistema (anel ou toróide) a um fluxo magnético
![Page 109: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/109.jpg)
Tomemos a transformada de Fourier (no espaço e no i-tempo) da função de correlação
Agora podemos definir os limites
transverso
longitudinal
![Page 110: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/110.jpg)
Definamos também a energia cinética associada aos links na direção x
Regra de soma impõe que deve sempre ser veri-ficada através de cál-culos explícitos
Testes: Hubbard repulsivo e atrativo na rede
quadrada com QMC
![Page 111: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/111.jpg)
Kx
Kx
N.B.: Os q são discretos:limq0 sujeito a erros deextrapolação
OK: L = Kx a cada temperatura
![Page 112: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/112.jpg)
Como resultado do Efeito Meissner, o parâmetro de ordem supercondutor (densidade superfluida) é dado por
Fase SUC: s 0 como resultado da simetria L -T (ou Kx- T) ser quebrada
![Page 113: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/113.jpg)
s = 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante
Hubbard atrativo fora da banda semi-cheia
Note efeito de temperatura: para = 2, s = 0para = 6, 10 s 0consistente com transição
de K-T a T finita
Kx
Kx
![Page 114: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/114.jpg)
Hubbard atrativoCuidado com análise a T fixa: aparente fase SUC na banda
semi-cheia.
Hubbard atrativo a = 10: s extraída a partir de T calcu-
lada no menor qy disponível
Kx
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Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia (sinal negativo!):
s = 0: não-SUC
s = 0: não-SUC; mas cuidado com efeitos de tamanho finito
![Page 116: Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Apoio: rrds/rrds.html Esta apresentação pode ser obtida do site seguindo.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f614d/html5/thumbnails/116.jpg)
Examinemos, então, a condutividade:
D é o peso de Drude ( densidade de transportadores/massa); logo
E quando o sistema não fôr SUC, podemos dizer se é M ou I?
Isolante D = 0Metal D 0
D pode ser calculado como
O lim0 é mais eficientemente tomado numericamente em termos das freqüências de Matsubara
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D 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante;
atenção para efeitos de tamanho-Kx
-Kx
D D0 : Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia é metálico.
Cuidado: isto não quer dizer que o sistema seja metálico a T > 0. Isto é
pq T < para excitações de partícula-buraco; para T fixa e L , teríamos, necessariamente, D 0
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KxHubbard atrativo a = 10: D D0 (zero resistência)
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Efeitos de DesordemMotivação: Todos os sistemas estudados até agora eram puros. Quais são os efeitos de impurezas – isto é, componentes que se comportam de modo diferente da maioria – nas propriedades físicas dos materiais? Exemplos:
• átomos magnéticos diluídos em matrizes não-magnéticas; • átomos de uma espécie diluídos em matrizes de outra; diferentes níveis atômicos ou integrais de hopping• sítios com U = 0 diluídos em matriz de sítios com U < 0• etc.
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2 tipos de desordem, caracterizadas pelas relações entre as escalas de tempo envolvidas: Sejam
• – tempos característicos da dinâmica das interações; p.ex.: tempos de flutuação dos spins; tempos de hopping de elétrons, pares de Cooper, etc.• i – tempos associados à difusão das impurezas pela matriz hospedeira
Se ~ i a configuração (posição, etc.) das impurezas é determinada pelas condições de equilíbrio desordem recozida (annealed)
ZTkGeZ BsH
c sc lnTr
P.ex., para um isolante magnético:
Se << i a configuração (posição, etc.) das impurezas é totalmente aleatória e congelada. desordem temperada (quenched)
ZTkGeZ BsH
sc
c lnTr P.ex., para um
isolante magnético:
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•No caso de simulações, gera-se uma configuração de desordem e executa-se os passos como antes: termalização, promediação, etc.
•Repete-se para um certo número de configurações de desordem, e faz-se a média das grandezas sobre as diferentes realizações de desordem.
Consideraremos aqui apenas desordem temperada
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Quanto podemos dopar um supercondutor até que ele fique normal (isolante ou metal)?Questão ainda mais interessante em 2-D (filmes bem finos):
• supercondutividade é marginal transição de Kosterlitz-Thouless
• coomportamento metálico (e- livres) também marginal
Localização para qq desordem (expts. recentes: MIT possível?)
Supercondutores desordenados
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Sheet resistance:
R a uma temperatura fixa pode ser usada como medida de disordem
Desordem em escalas atômicas: filmes amorfos sputtered
CR
ITIC
AL
TEM
PER
ATU
RE
T c (ke
lvin
)
Mo77Ge23 film
[J Graybeal and M Beasley (1984)]
t
ℓℓ
ttAR
independe do tamanho do quadrado
Tc decresce com a desordem: blindagem da repulsão coulombiana é enfraquecida
SHEET RESISTANCE AT T = 300K (ohms)
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†( . )i jìj
H t c c h c
Potencial químico: controla # de elétrons
i i ii
U n n ( )i ii
n n
Ui = 0 com prob fUi = U com prob 1-f
Modelo para estudo da desordem:
Inicialmente T 0: efeito da desordem no estado fundamental
2
2sP C
L L Aprox de onda de spin
gap supercondutor
†s i r i
r
P † † †i i ic c onde QMC
[Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]
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0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.130.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
f=0/16 f=1/16 f=2/16 f=4/16 f=5/16
Ps/
L2
1/L0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
f
[D Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]
Transição não-percolativa: fc < 0.41
Impurezas inibem CDW só resta parâmetro de ordem de 2 componentes (reflexo do que ocorre a T >0)
aumento da ordem por desordem
Em andamento: T > 0
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Conclusões e Perspectivas• QMC é um método poderoso para o estudo de sistemas fortemente correlacionados• Deve ser acompanhado de uma análise de dados criteriosa• O problema da instabilidade a baixas T foi contornado• O problema do sinal ainda está aberto (veja próximo slide)• Perspectivas:
•Adaptação para o estudo de modelos multi-orbitais deve ser buscada; e.g., Anderson
•Acoplamento de férmions com momentos localizados (tipo Kondo): propostas de THS já feitas em alguns trabalhos [Assaad (99)]
• Dissipação Quântica [Capriotti et al., (2002)]
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O sinal negativo
A origem do problema:
Façamos a THS nas ℓ primeiras fatias temporais
ℓ
2N valores de P1 emergem de P0 P0 = Z > 0
A amostragem é feita em ℓ=M; se considerássemos todas as possíveis configurações, PM teria # de valores positivos ligeiramente (exp a baixas T ’s!) maior que negativos.
{SW Zhang [1999(a)(b)]}
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Referências•PW Anderson, Science 235, 1196 (1987). •FF Assaad, Phys Rev Lett 83, 796 (1999)•S Brown and G Grüner, Sci Am 270 (4), 28 (1994)•L Capriotti et al, Europhys Lett 58, 155 (2002)•R R dos Santos, Phys Rev B 39, 7259 (1989)•R R dos Santos, Phys Rev B 48, 3976 (1993)•R R dos Santos, Phys Rev B 50, R635 (1994)•R R dos Santos, Braz J Phys 33, 36 (2003)•VJ Emery, Phys Rev B 14, 2989 (1976)•H Ghosh and R R dos Santos, J.Phys.:Condens.Matt 11, 4499 (1999)•J Graybeal and M Beasley, Phys Rev B 29, 4167 (1984)•J E Hirsch, Phys.Rev.B 31, 4403 (1985)•J E Hirsch, Phys.Rev.B 38, 12023 (1988)•J E Hirsch and HQ Lin, Phys.Rev.B 37, 5070 (1988)•J E Hirsch and S Tang, Phys.Rev.Lett. 62, 591 (1989)•Z B Huang et al., Phys.Rev.B 64, 205101 (2001)
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•D Hurt, E Odabashian, W Pickett, RT Scalettar, F Mondaini, T Paiva e R R dos Santos, Phys Rev B 72, 144513 (2005). •K Kuroki e H Aoki., J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1533 (1998) •R Micnas et al., Rev Mod Phys 62, 113 (1990)•A Moreo et al., Phys Rev B 41, 2313 (1990)•A Moreo and DJ Scalapino, Phys.Rev.Lett. 66, 946 (1991)•T Paiva and R R dos Santos, Phys.Rev.B 61, 13480 (2000) [a]•T Paiva, R R dos Santos, RT Scalettar, e PJH Denteneer, Phys Rev B 69, 184501 (2004). •J D Reger and A P Young, Phys.Rev.B 37, 5978 (1988)•D J Scalapino et al. , Phys.Rev.B 47, 7995 (1993) •J Voit, Rep.Prog.Phys. 57, 977 (1994) •W von der Linden, Phys.Rep.220, 53 (1992)•S Wessel et al., Phys Rev Lett 86, 1086 (2001)•S R White et al., Phys.Rev.B 40, 506 (1989)•Yokoyama and Shiba, J Phys Soc Jpn 56, 3582 (1987)• S W Zhang, cond-mat/9909090 [a]• S W Zhang, Phys Rev Lett 83, 2777 (1999) [b]