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XVI I I S IMPSIO N ACIONAL DE ENSINO DE F S I C A S N E F 2 0 0 9 V I T R I A, ES 1
http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/ 26 a 30 de Janeiro de 2009
MONTAGEM DE UM EQUIPAMENTO DE BAIXO CUSTO PARA GERAO DE FIGURAS DE LISSAJOUS
*Jorge Alberto Lenz1, Edward Kavanagh2, Rodrigo Ricetti1
1 UTFPR/DAFIS/Campus de Curitiba, [email protected]
2 UTFPR/COENG/Campus de Medianeira, [email protected]
Resumo
Neste trabalho, apresentamos um mtodo alternativo para a gerao das figuras de Lissajous. Elas so geradas a partir da incidncia de um fino feixe de luz sobre um espelho e refletida neste incide sobre outro espelho cada qual conectado excentricamente aos eixos de dois pequenos motores de corrente contnua. Um dos espelhos vibra segundo um plano na horizontal enquanto o outro vibra segundo um plano na vertical. A taxa de vibrao de cada espelho alcanada atravs do ajuste do potencimetro que controla individualmente a corrente eltrica em cada motor. A imagem das figuras de Lissajous projetada num anteparo, que pode ser uma parede, e o efeito da visualizao ocorre por persistncia retiniana. Elas so interessantes para o estudo do movimento ondulatrio, pois servem para determinar a relao existente entre as freqncias de dois movimentos harmnicos simples coplanares entre si quando forem superpostos em direes perpendiculares. H na literatura diversos mtodos para a confeco de tais figuras, sendo o mais difundido aquele em que se utiliza um osciloscpio. H tambm disponvel na internet diversos aplicativos onde possvel interagir com o computador e alterar as variveis, tais como freqncias e defasagens, e com isso, gerar as figuras requeridas. Algumas das vantagens oferecidas e que se levou em considerao no momento de sua concepo era de que o equipamento oferecesse praticidade, ou seja, poderia ser levado para qualquer ambiente desde que neste local esteja disponvel rede eltrica. Outro item a destacar, era o de que em sua construo fosse utilizados materiais de baixo custo ou com materiais provenientes de instrumentos obsoletos. Independente de como foram originadas, as figuras geradas apresentam interessantes conformidades alm da beleza.
Palavras-chave : Figuras de Lissajous, experimento de baixo custo.
Introduo
A gerao das figuras com movimento naturalmente sempre despertaram o interesse nas pessoas. As figuras de Lissajous por suas caractersticas so visualmente atraentes e do ponto de vista fsico muito elegantes. Como conseqncia, vem o esprito investigativo de como elas foram geradas. Olhando-as atentamente, essas figuras tomam formas variadas em questo de segundos. A cada novo enlace das linhas surge outra forma e assim por diante. Elas pertencem a uma famlia de curvas que se formam quando um ponto efetua, simultaneamente, dois movimentos harmnicos simples. So descritas pelas equaes paramtricas x(t) = A sen (at) e y(t) = B cos (bt), em que A e B so duas constantes que fixam as amplitudes dos dois movimentos harmnicos, a e b outras constantes que fixam as freqncias destes movimentos e t o parmetro temporal da famlia. Porm, importante evidenciar que as curvas so especialmente elegantes e bonitas quando a e b so mltiplos entre si.

Essas figuras foram estudadas nos anos 1857 e 1858 por um fsico francs chamado Antoine Jules Lissajous (1822-1880) usando um reservatrio com areia que , preso a um suporte atravs de cordas (pndulo bifilar) oscilava e depositava, assim, a areia sobre uma superfcie horizontal formando figuras as quais lhe chamaram a ateno.
Projetos para obteno de tais figuras encaixam-se muito bem no estudo do movimento ondulatrio, pois servem para determinar a relao existente entre as freqncias de dois movimentos harmnicos simples coplanares entre si quando forem superpostos em direes perpendiculares.
H na literatura diversas maneiras de se conseguir tais figuras, sendo que entre elas podemos destacar as que se conseguem utilizando-se um harmongrafo (movimentos pendulares bifilares)1, num osciloscpio de raios catdicos 2, com espelhos presos em diapases 2, com espelhos colados no centro de dois alto-falantes3 ou ainda com dois espelhos presos cada um ao eixo de motores girando s olidrios aos eixos4.
Hoje em dia, com o advento de novas tecnologias, entre as quais o uso do computador, o qual permite acessar informaes as vezes em tempo real, bastante difundida a tcnica de se interagir atravs de um aplicativo para simulaes, com algum interessado em gerar as figuras de Lissajous e ver suas conformidades quando este passa a alterar as possveis relaes entre as freqncias angulares dos dois movimentos coplanares . H de se destacar algumas discrepncias entre as figuras geradas por computao algbrica e as existentes na literatura5.
Montagem Experimental
Todo o conjunto foi montado sobre uma base de madeira de dimenses de 40 cm x 25 cm x 2 cm. A figura 01 ilustra a imagem do equipamento vista de cima. Optamos pela montagem do conjunto com todos os componentes expostos, a fim de permitir a visualizao do mecanismo de oscilao, bem como dos circuitos eltricos, para melhor compreenso do fenmeno fsico envolvido. Porm, para oferecer alguma proteo durante o transporte do equipamento, a base de maneira pode eventualmente ser fechada com outras chapas, ou mesmo ser envolvida por uma caixa plstica facilmente encontrada em lojas de material eletrnico, comumente chamada de Patola.
Para que este que este experimento possa ser reproduzido por docentes ou mesmo entusiastas, escolhemos como fonte de luz um laser de diodo. Seu baixo custo (em torno de R$ 5,00) e praticidade foram levados em considerao no momento da escolha. Para que o feixe funcione de modo contnuo sugerimos que se utilize uma fita adesiva ou um grampo sobre a chave.
Os dois motores so alimentados com 12 V CC. Para que o equipamento possa ser ligado rede domstica de energia eltrica conectamos um transformador com entrada de alimentao de 127 - 220 V com reduo para 12 V CA. Uma ponte retificadora de onda completa transforma a corrente alternada para contnua. No circuito do transformador foi colocada uma chave liga-desliga (S1) e uma chave bipolar que permite ao equipamento operar em 127 V ou 220 V. O equipamento dotado ainda de um LED (D2) indicativo de que est energizado. A este LED foram conectados em srie um diodo 1N 4004 (D2), que funciona como retificador de meia onda e um resistor de 1kO e 5W (R3) que tem a funo de limitar a corrente sobre D2 evitando que este seja danificado.

A figura 02 ilustra o circuito eltrico com os componentes eletrnicos presentes na montagem do equipamento para a gerao das figuras de Lissajous.
Figura 01: Imagem do equipamento visto de cima
O controle da velocidade de rotao obtido utilizando-se dois potencimetros de resistncia eltrica mxima de 200 O cada. A fim de que, ao ligarmos o circuito o motor no entrasse subitamente em rotao, introduzimos na sada de alimentao de cada um deles resistores de 22 O e 1 W (R1 e R2). Uma alternativa para estas ligaes eltricas seria instalar motores que funcionassem com tenses menores, tais como de 6 V ou 9 V, para que se possa utilizar baterias com estas tenses e tornar este equipamento ainda mais porttil.
Os espelhos, nos quais o feixe luminoso sofre duas reflexes consecutivas , foram cortados no formato quadrado de 2 cm por 2 cm.
Para que as figuras geradas sejam efetivamente caracterizadas como figuras de Lissajous, necessrio que os espelhos vibrem com ngulos de abertura iguais. Desta forma, haver simetria nas dimenses da figura em relao aos dois eixos de oscilao. O ajuste pode ser alcanado atravs da regulagem do comprimento das hastes que fazem a ligao do eixo do motor com a plaquinha metlica que fica colada na parte trazeira do espelho. Estas hastes so constitudas de fios eltricos rgidos de 1 milmetro de dimetro. Nestas hastes, apenas o fio de cobre partido ao meio, de tal maneira que o mesmo possa ser ajustado a qualquer distncia no interior da capa polimrica, ou seja, o cabo desliza no interior da capa at que a distncia almejada seja alcanada. Desta maneira, atravs do controle do comprimento destas hastes os espelhos vibraro com ngulos aproximadamente iguais. O controle final feito observando-se a conformidade na gerao das figuras, principalmente as de formato circular, ou seja, alcanada com as
Potencimetros
Espelhos
Fonte luz laser
TransformadorPonte
retificadora
Resistor
Interruptor
Motores

mesmas freqncias angulares dos motores porm, com uma defasagem de p/2 radianos.
0S1
TR1D1
D1
D2
R3
M1
M2
R2
S2
0
12
12
127
220
P1
P2
Figura 02: Esquema eltrico com os componentes que formam o equipamento.
A figura 03 mostra imagens isoladas dos aparatos que constituem a parte ptica do equipamento, ou seja, as montagens utilizadas para posicionar cada espelho nas configuraes em que cada um possa vibrar em planos com o eixo de rotao um na vertical e o outro na horizontal. Vale ressaltar que alguns itens que fazem parte deste equipamento foram obtidos aproveitando-se peas da desmontagem de aparelhos obsoletos. Sugerimos como um mtodo alternat

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