Estruturas eSubestruturas

Por: Jefferson de Menezes (jmmf)

Ricardo Salomão (rssj2)

Ciência da Computação 2010.1Ciência da Computação 2010.1

Lógica de PredicadosAté agora utilizamos a chamada “lógica

proposicional” para formalizar sentenças e argumentos, tal formalização perde muita informação, pois uma sentença(atômica) é representada por uma única variável, embora seja composta por um sujeito(objeto) e predicado...

Lógica de PredicadosCom a linguagem simbólica enriquecida de

símbolos para objetos e símbolos para predicados Frege definiu o que se chama de “Lógica de predicados” ou “Lógica de Primeira Ordem”.

Ex.: O unicórnio é lenda. Objeto = unicórnio Predicado = lenda

Estrutura MatemáticaUma estrutura matemática é dada por 4

componentes:

1 –Conjunto Domínio2 –Conjunto Predicados3 -Conjunto de Elementos Destacados4 –Conjunto de Funções

Obs.:O conceito de Valoração-verdade por si só não serve para resolver satisfatibilidade.

Estrutura MatemáticaEx.:

IN

Domínio

Funções

1Elementos Destacados

Primo(-)Menor que(-,-)

Predicados

Quadrado(-)Soma(-,-)

Estrutura MatemáticaEx.:

O número 3 é primo.

4 não é menor que 1.

Todo elemento menor que 2, seu quadrado é igual a ele mesmo.

Estrutura MatemáticaCodificando:

Predicados -> P(-) [Primo]; M(-,-)[Menor que]

Destacados -> a = 1

Funções -> q(-)[quadrado]; s(-,-)[soma]

Estrutura MatemáticaResposta:

P(s(a,s(a,a)))

¬M(q(s(a,a)),a)

x(M(x,s(a,a)) -> q(x)=x)

Assinatura de uma Estrutura Assinatura: A assinatura de uma estrutura

matemática A é dada “necessidade” simbólica para fins de codificação de sentenças sobre A. Em outras palavras a assinatura de A é dada por:

- Um conjunto de símbolos de predicado - Um conjunto de símbolos de constante - Um conjunto de símbolos de função

Estrutura Matemática

Obs.: Duas estruturas A e B podem ter a mesma assinatura e ainda assim terem naturezas bem diferentes.

A Noção de Subestrutura

A e B são L-estruturas e f é uma função (f: dom(A)->dom(B))

Homomorfismo: Dizemos que f preserva os “componentes lógicos” de A(de A para B) se: f é um homomorfismo.

• Homomorfismo(cont.):I. Preserva os Destaques:

f(cA) = cB

II. Preserva as Relações:Se (a1, a2, ..., an) Є RA --> (f(a1), f(a2), ..., f(an)) Є

RB

III. Preserva as Funções:

f(gA (a1, a2, ..., an)) = gB(f(a1), f(a2), ..., f(an))

A Noção de Subestrutura

Imersão: Dizemos que f é uma imersão se f for injetiva e for um homomorfismo que preserva os predicados indo e voltando.

O item II. seria substítuido por:

(a1, a2, ..., an) Є RA <==> (f(a1), f(a2), ..., f(an)) Є RB

Isomorfismo: Se f for uma imersão e for sobrejetora (bijetiva).

A Noção de Subestrutura

sse

Endomorfismo: Se f for um homomorfismo e f: A->A.

Automorfismo: Se f for um endomorfismo e for um isomorfismo.

A Noção de Subestrutura

Dadas duas estruturas A e B:A é uma subestrutura de B se (B é uma

expansão de A):

I. A e B são L-estruturas(possuem a mesma assinatura);

II. dom(A) dom(B);

III. A função f: A -> B é um homomorfismo imersor;

A Noção de Subestrutura

Qual será a menor subestrutura de B cujo domínio tem x?

I. O domínio de A deve conter todos os destaques de B;

II.As relações de sobre A são calculadas assim: RA = RB dom(A)n, n = aridade.

III.Destaques em A = destaques em B;

IV.As funções são definidas assim: para todo símbolo de f de L, fA deve estar definida em todos os pontos do domínio de A;

A Noção de Subestrutura Subestrutura Gerada

Dúvidas?