Momento de inrciaOrigem: Wikipdia, a enciclopdia livre. Mecnica

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Em Mecnica, o momento de inrcia mede a distribuio da massa de um corpo em torno de um eixo de rotao.Quanto maior for o momento de inrcia de um corpo, mais difcil ser faz-lo girar. Contribui mais para a elevao do momento de inrcia a poro de massa que est afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relao ao seu centro, ter um momento de inrcia menor que este. Suaunidade de medida, no SI, quilograma vezes metro ao quadrado (kgm). [editar]Clculo Por definio, o momento de inrcia de um eixo, a uma distncia dele, de uma partcula de massa e que gira em torno

J = mr2

Se um corpo constitudo de n massas pontuais (partculas), seu momento de inrcia total igual soma dos momentos de inrcia de cada massa:

onde mi a massa de cada partcula, e ri a sua distncia ao eixo de rotao. Para um corpo rgido, podemos transformar essa somatria numa integral, integrando para todo o corpo o produto da massa quadrado da distncia at o eixo de rotao: em cada ponto pelo

H vrios valores conhecidos para o momento de inrcia de certos tipos de corpos rgidos. Alguns exemplos (assumindo distribuio uniforme de massa):

Para um cilindro macio de massa M e raio da base R, em torno de um eixo paralelo geratriz e passando por seu centro:

Para uma esfera macia de massa M e raio R, em torno de seu centro:

Para um anel cilndrico de massa M e raio R, em torno de um eixo paralelo geratriz e passando por seu centro:

J = MR2

Para uma barra delgada, com largura tendendo a 0 e comprimento L, em torno de um paralelo geratriz e passando por seu centro:

Momento de inrcia de uma distribuio de massas pontuaisTemos que calcular a quantidade

onde xi a distncia da partcula de massa mi ao eixo de rotao.

Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezvel. So colocados 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos. Calcular o momento de inrcia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa atravs de

Um extremo Da segunda massa Do centro de massa

O momento de inrcia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela primeira partcula IA=102+10.252+10.52+10.752+112=1.875 kgm2 O momento de inrcia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela segunda partcula IB=10.252+102+10.252+10.52+10.752=0.9375 kgm2 O momento de inrcia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela terceira partcula (centro de massas) IC=10.52+10.252+102+10.252+10.52=0.625 kgm2

Em vez de calcular de forma direta os momentos de inrcia, podemos calcular de forma indireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido IC podemos calcular IA e IB, sabendo as distncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m. A frmula que temos que aplicar I=IC+Md2

IC o momento de inrcia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de massa I o momento de inrcia relativo a um eixo paralelo ao anterior M a massa total do sistema d a distncia entre os dois eixos paralelos.

IA=IC+50.52=0.625+1.25=1.875 kgm2. IB=IC+50.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inrcia de uma distribuio contnua de massaPassamos de uma distribuio de massas pontuais a uma distribuio contnua de massa. A frmula que temos que aplicar

dm um elemento de massa situado a uma distncia x do eixo de rotao Resolveremos vrios exemplos divididos em duas categorias

Aplicao direta do conceito de momento de inrcia Partindo do momento de inrcia de um corpo conhecido

Momento de inrcia de uma varinha Vamos calcular o momento de inrcia de uma varinha de massa Me comprimento L relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa pelo centro de massas.

A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e x+dx

O momento de inrcia da varinha

Aplicando o teorema de Steiner, podemos calcular o momento de inrcia da varinha relativo a um eixo perpendicular a mesma que passa por um de seus extremos.

Momento de inrcia de um disco Vamos calcular o momento de inrcia de um disco de massa M e raio R relativo a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotao. O elemento um anel de raio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, convertido em um retngulo de comprimento 2x e largura dx, cuja massa

O momento de inrcia do disco

Momento de inrcia de um cilindro Vamos calcular o momento de inrcia de um cilindro de massa M, raio R e comprimento L relativo a seu eixo.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotao. O elemento uma camada cilndrica cujo raio interno x, externo x+dx, e de comprimento L, tal como mostrada na figura. A massa dm que contm esta camada

O momento de inrcia do cilindro

Momento de inrcia de uma placa retangular Vamos calcular o momento de inrcia de uma placa retangular delgada de massa M de lados a e b relativo ao eixo que passa pela placa. Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotao. O elemento um retngulo de comprimento a de largura dx. A massa deste retngulo

O momento de inrcia da placa retangular

Momento de inrcia de um disco

Vamos calcular o momento de inrcia de um disco de massa M e raio R, relativo a um de seus dimetros. Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotao. O elemento um retngulo de comprimento 2y de largura dx. A massa deste retngulo

O momento de inrcia do disco

Fazendo a mudana de varivel x=Rcos y=Rsen Chegamos a integral

Momento de inrcia de uma esferaVamos calcular o momento de inrcia de uma esfera de massa M e raio R relativo a um de seus dimetros

Dividimos a esfera em discos de raio x e de espessura dz. O momento de inrcia de cada um dos discos elementares

A massa de cada um dos discos

O momento de inrcia da esfera, a soma dos momentos de inrcia de todos os discos elementares.

Para resolver a integral temos que relacionar a varivel x com a z. Como vemos na figura x2+z2=R2

Momento de inrcia de um cilindroVamos calcular o momento de inrcia de um cilindro de massa M, raio R e comprimento L, relativo a um eixo perpendicular a sua geratriz e que passa por seu centro.

Dividimos o cilindro em discos de raio R e espessura dx. O momento de inrcia de cada um dos discos relativo a um de seus dimetros

Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inrcia deste disco, relativo a um eixo paralelo situado a uma distncia x.

O momento de inrcia do cilindro

Momento de inrcia de um paraleleppedoVamos calcular o momento de inrcia de um paraleleppedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces.

Dividimos o paraleleppedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx. O momento de inrcia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria

Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inrcia desta placa relativo a um eixo paralelo situado a uma distncia x

O momento de inrcia do slido em forma de paraleleppedo