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Módulo 4

As variáveis aleatórias discretas em Estatística são resultados de uma contagem, ou seja, não existem em forma fracionária e não são negativas. Existem distribuições de variáveis aleatórias discretas que, pela sua freqüente utilização, merecem estudo especial. E para que essas distribuições possam ser modeladas matematicamente, devem preencher alguns requisitos essenciais bem definidos que se adaptam a muitas situações reais.

Distribuição de Bernoulli

Esta distribuição estuda um experimento aleatório feito apenas uma vez, cujos resultados possíveis são apenas dois, o sucesso (p) ou o fracasso (q). Vamos definir uma variável aleatória “x”, associada aos possíveis resultados desse experimento. Portanto, ela só pode tomar os valores, x = 0, que significa que não ocorreu o evento desejado portanto é o ”fracasso", e x = 1, quando ocorre o que se quer ou seja é o "sucesso", portanto, a distribuição de probabilidades fica:

x 0 1P ( x ) q p

Aplicando as propriedades da média e variância para essa distribuição, teremos:

Distribuição Binomial

É o resultado de um experimento de Bernoulli executado “n” vezes seguidas e, que apresentam as seguintes características:

a) Cada experimento executado apresenta um resultado independente do resultado anterior.

b) O resultado de cada experimento só pode ser o sucesso (p) ou fracasso (q), de modo que teremos sempre p + q = 1.

c) Em cada experimento executado, o sucesso terá sempre o mesmo valor para a probabilidade “p”.

Vamos executar “n” experimentos de Bernoulli. Admitamos que dos “n” experimentos efetuados ocorram “x” sucessos e, conseqüentemente, “n−x” fracassos. O valor da probabilidade para essa situação é calculada na forma:

Portanto teremos:

Porém, como os eventos podem ocorrer em outras ordens distintas, todas com a mesma probabilidade, devemos contar quantas situações diferentes podemos obter daquela,

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e isto nós conseguimos, aplicando a contagem de permutação com elementos repetidos que é igual a uma combinação de “n” elementos tomados “x a x” .

Na matemática a combinação de “n” elementos é escrita na forma que também é representada por , denominada de “número binomial”, e que vale:

portanto a fórmula que calcula a probabilidade de uma variável binomial “x” é dada por:

Para a solução de um problema de binomial, devemos identificar no problema as seguintes variáveis:

p = é o valor da probabilidade do que se quer que aconteça, ou seja, é a pergunta do problema.

q = 1 −p n = número de experimentos executados. x = é o número que representa quantas vezes desejamos que ocorra o sucesso desejado, ou seja, o que o problema está perguntando.

Média e variância de uma binomial

Conforme mostrado, a distribuição binomial nada mais é do que uma série finita de experimentos de Bernoulli. Portanto, para o cálculo da média e da variância basta aplicarmos as propriedades da Esperança e da Variância, pois cada experimento executado é independente do anterior e, portanto, uma binomial pode ser expressa na forma:

Exercícios de aplicação1) Numa urna, existem 7 bolas brancas, 2 bolas pretas e 1 vermelha. São retiradas 10

bolas com reposição. Calcular a probabilidade de sair: a) exatamente 3 bolas brancas; b) no mínimo 3 bolas pretas; c) alguma bola vermelha.

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2) Numa fábrica, examinam-se, a cada hora, 10 peças. Se for encontrada, pelo menos, uma defeituosa, o processo de fabricação é interrompido e a causa pesquisada. A porcentagem de peças defeituosas produzidas pela máquina é conhecida e tem sido sempre 3%. Qual a probabilidade de que o processo seja interrompido?

3) Uma remessa de 20 tubos de televisão contém 12 bons e 8 defeituosos. Desta remessa 3 tubos são escolhidos aleatoriamente e testados sucessivamente com reposição. Qual a probabilidade de sair, ao menos, um bom?

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4) O departamento de compra de certa empresa está considerando uma amostra de produtos manufaturados a serem recebidos que podem ser classificados como bons e ruins. O plano de amostragem consiste em tomar uma amostra, ao acaso, de 12 artigos de cada lote. Se não houver peças defeituosas na amostra, o lote é aceito; do contrário, é rejeitado. Qual a probabilidade de rejeição de um lote com 10% de defeituosas?

5) Um aluno conhece bem 70% da matéria dada. No exame com 5 perguntas sorteadas ao acaso, sobre toda a matéria, que probabilidade tem de responder mais de três perguntas?

6) Numa oficina, funcionam 6 máquinas idênticas. Para qualquer uma delas, a probabilidade de entrar em pane durante o dia de trabalho é igual a 0,2. Supondo-se que as falhas ocorram independentemente entre si, pede-se calcular a probabilidade de que: a) pelo menos uma entrar em pane; b) não ocorra falha em dois dias consecutivos.

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Tarefa mínima

1) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm uma duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas deste fabricante, mas sob a seguinte condição, ele aceita o lote se, em 10 válvulas escolhidas ao acaso, no máximo, uma tenha duração inferior a 20h; caso contrário o lote será rejeitado. Se o fabricante, de fato, tem razão, qual a probabilidade de que um lote seja rejeitado? R: 0,0861

2) Da produção de uma máquina, 10 peças são retiradas. Se ocorrer 3 ou mais peças defeituosas, a produção pára para se verificar a causa da desregularem do processo de produção. Se a porcentagem de peças defeituosas é de 5%, qual a probabilidade de a produção não parar? R: 0,0116

3) Numa linha de produção, 10% das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas de 20 unidades. A fábrica paga uma indenização de R$10,00, se em uma caixa houver 3 ou mais peças defeituosas. Quanto representa essa indenização no custo de cada peça? R: R$0,16

4) A probabilidade de que um carro tenha, no decorrer de uma viagem, um pneu furado é 0,05. Qual a probabilidade de que entre 10 carros: a) exatamente 1; b) 2 ou mais carros tenham um pneu furado.

5) Um torneio de futebol deve ser decidido após o último jogo, entre os times A e B, por cobranças de penalidades máximas. Tendo o time A desperdiçado 2 dos 5 tiros que lhe cabiam, é a vez do jogador do time B, designado para as cobranças, mostrar sua perícia; este tem probabilidade 0,8 de acertar, em cada tiro: a) qual a probabilidade do time A ser declarado vencedor do torneio, após esta última série de tentativas do time B? b) Qual a probabilidade de ser necessária a repetição do processo decisório? R: 0,0579 ; 0,2048

6) Uma companhia de aviação chegou à conclusão que 4% das pessoas, fazendo reserva num dado vôo, não comparecem ao embarque. Conseqüentemente, adotou a política de reservar 77 lugares para um avião com 75 acentos. Qual é a probabilidade de que todas as pessoas que comparecem, encontrem lugares?

R: 0,8185

7) Um atirador tem 0,4 de probabilidade de acertar um alvo. Se forem disparados 5 tiros, calcule a probabilidade de: a) acertar todos os tiros; b) acertar pelos menos 3 tiros; c) acertar exatamente um tiro?

R: 0,0102 0,3174 0,2592

8) Um fabricante de certas peças de automóvel garante que uma caixa de suas peças conterá no máximo, 2 itens defeituosos. Se a caixa contém 8 peças e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 6% de itens defeituosos, qual a

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probabilidade de que uma caixa de suas peças vá satisfazer a garantia? R: 0,9902

9) Um chaveiro fez 8 chaves sendo que 3 ficaram com defeito. Se uma pessoa escolher 3 chaves ao acaso, qual a probabilidade de encontrar no máximo uma defeituosa?

R: 0,6835

Trabalho1) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de obtermos, ao menos, uma

cara?

2) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Um experimento que consiste em retirar, simultaneamente, 3 bolas dessa urna é repetido 5 vezes consecutivas. A probabilidade de que, em pelo menos 2 tentativas, sejam retiradas as 2 bolas pretas é: a) 0,5292 b) 0,4718 c) 0,7892 d) 0,5897

3) Uma indústria fabrica tanques para combustível, e sabe-se que cada tanque possui 5 válvulas. A cada período determinado de tempo é feita uma manutenção preventiva dessas válvulas, e tem-se verificado que 30% delas necessitam ser substituídas. Calcular a probabilidade de: a) um tanque ter, no máximo, 3 válvulas que necessitam substituição; b) 4 tanques, de um conjunto de 6 tanques, apresentarem exatamente 2 válvulas por tanque que necessitam substituição.

4) O departamento de compra de certa empresa está considerando uma amostra de produtos manufaturados a serem recebidos que podem ser classificados como bons e ruins. O plano de amostragem consiste em tomar uma amostra, ao acaso, de 20 artigos de cada lote. Se não houver peças defeituosas na amostra, o lote é aceito; do contrário, é rejeitado. A probabilidade de rejeição de um lote com 10% de defeituosas é: a) 0,39 b) 0,61 c) 0,88 d) 0,27

Para mal dançarino, não há salão que chegue.