Modulo Fundamentos de Calculo Limites

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE LATO SENSU

Prof.s Paulo Garcia / Newton / Marcos Engenharia de Telecomunicações

Fundamentos de Cálculo para Engenharia

Limites


• Um pouco de História– O Desafio da Reta Tangente

• Os Gregos– Arquimedes

– Apolônio

– O que conseguiram?

– Qual a importância?• ´Sair pela Tangente`

– Construção, Física, Telecomunicações (e PDS)

P.S. – Quantas Geometrias você conhece?


Arquimedes

Apolonio


• Um pouco de História e Aplicação– E para colocarmos um satélite em órbita?

• Energias …. Na Terra?– Voo Suborbital – 400 a 800 Km altitude

– Geo-estacionário – 36000 Km de altitude



• Geometria Analítica – Sec. XVI, XVI– Vantagem?

- Ex. – Equação da ´Reta` (segundo Euclides …)


Pierre de FermatRene Descartes


• Alguns Nomes Conhecidos– Ptolomeu (~100 DC) – Geocentrismo– Copérnico (Sec. XV) – Heliocentrismo– Tycho Brahe (Sec. XVI) - Medições– Galileu Galilei (Sec. XVI) – Kepler (Sec. XVI)– Newton, Leibniz (Sec. XVII)


NewtonLeibniz


• Alguns Nomes Conhecidos– Albert Einstein ….

– Leis da Física?




Definições Básicas

• Limite de uma Variável– O limite de ‘x’ é ‘a’ quando

– Importante – Conceito de Vizinhança!

ax;xencontrarpossívelsempreé0dado,ax




• Limite de uma Função

– O limite de f(x)=A quando x’ tende a ‘a’ se

– Importante – Conceito de Vizinhança! A função não precisa existir em x=a! Exemplo ...

A)x(f;axencontrarpossívelsempreé0dado,A)x(flim ax





– O limite de f(x)+ quando x’ tende a ‘a’ se

– Importante:• não é um número!!

• O limite nesta situação torna-se infinitamente grande e portanto NÃO existe !!

M)x(f;axencontrarpossívelsempreé0Mdado,)x(flim ax





– O limite de f(x) - quando x’ tende a ‘a’ se

– Importante:• - não é um número!!

• O limite nesta situação torna-se infinitamente grande negativamente e portanto NÃO existe !!

M)x(f;axencontrarpossívelsempreé0Mdado,)x(flim ax




• Conceito – Limites ‘laterais’– Limite para x a pela ‘esquerda’

– Limite para x a pela ‘direita’

– Exemplo – Onda quadrada

• Continuidade de uma função– Em um Ponto – 4 condições

– Em um intervalo



Exercícios• Determinar os pontos ‘x’ em que as funções a

seguir não são definidas e o limite para da das funções para x tendendo a estes pontos. As funções podem ser contínuas nestes pontos?

)12xx/()4x()x(f 2

)4x/(1)x(f 2

A heresia matemática ….



Exercícios• Determinar o limite das sequências a seguir para

n variando [0, [

)n(n3/)1n4(...,,9/11,6/7,1

)n()1n/()2n(...,,3/4,2/3,2

)n()10/15(...,,999,4,99,4,9,4 1n

...,1,1,1

...,,5/13,4/9,3/5,2/1O que é ´1`?



Exercícios

• Determinar os limites a seguir

x/]x)xx[(lim 220x

x/]x)xx[(lim 330x



Exercícios


x/)]x(sen)xx(sen[lim 0x

x/)]x(tg)xx(tg[lim 0x



Exercícios


]x6x38/[]x4x3x21[lim 332x

]x6)x(sen/[]x2)x(cox[lim 423x



Exercícios

• Determinar o limite a seguir

x/]1x51)xx(5[lim 0x



Desafio 1

• Determinar o limite a seguir

x/)]x(gcot)xx(g[cotlim 0x



Desafio 2

• Determinar o limite da função a seguir para x3. A Função é contínua no ponto 3?

3x)6x5x/()6x2()x(f 2

3x)15x8x/()12x4()x(f 2

3x2)x(f



Desafio 3

• Determinar o limite da sequência a seguir para n variando [0, [

n2/1...8/14/12/11S n

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