COMO ADMINISTRAR EMPRESA DO TERCEIRO SETOR MÓDULO - XI MÓDULO - XI MÓDULO - XI MÓDULO - XI Avançar.
MÓDULO 1_1
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BETO ARMADO E PR-ESFORADO II
FOLHAS DE APOIO S AULAS
MDULO 1 - PR-ESFORO
Carla Marcho Jlio Appleton
Ano Lectivo 2004/2005
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NDICE
1. INTRODUO ................................................................................................................... 1
1.1. VANTAGENS DA UTILIZAO DO PR-ESFORO................................................................. 1
2. TCNICAS E SISTEMAS DE PR-ESFORO .................................................................. 1
2.1. PR-ESFORO POR PR-TENSO.................................................................................... 1 2.2. PR-ESFORO POR PS-TENSO.................................................................................... 1
3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PR-ESFORO.................................................. 2
3.1. ARMADURAS DE PR-ESFORO....................................................................................... 2 3.2. ANCORAGENS DE PR-ESFORO..................................................................................... 3 3.3. BAINHAS DE PR-ESFORO ............................................................................................ 3 3.4. SISTEMAS DE INJECO................................................................................................. 3
4. EFEITO DO PR-ESFORO ............................................................................................. 4
5. PR-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PR-ESFORADO .............................. 5
5.1. PR-DIMENSIONAMENTO DA SECO............................................................................... 5 5.2. TRAADO DO CABO........................................................................................................ 5
5.2.1. Princpios base para a definio do traado dos cabos de pr-esforo............... 5 5.3. PR-DIMENSIONAMENTO DA FORA DE PR-ESFORO TIL ............................................... 6
6. CARACTERSTICAS DOS TRAADOS PARABLICOS............................................... 13
6.1. EQUAO DA PARBOLA .............................................................................................. 13 6.2. DETERMINAO DO PONTO DE INFLEXO ENTRE DOIS TROOS PARABLICOS................... 14 6.3. DETERMINAO DO PONTO DE CONCORDNCIA TROO PARABLICO TROO RECTO....... 14
7. CARGAS EQUIVALENTES DE PR-ESFORO............................................................. 15
7.1. ACES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAO EM QUE SE APLICA A TENSO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES).......................................................................... 15 7.2. ACES EXERCIDAS SOBRE O BETO ............................................................................ 15 7.3. DETERMINAO DAS CARGAS EQUIVALENTES ................................................................ 15
7.3.1. Zona das ancoragens........................................................................................ 15 7.3.2. Traado parablico............................................................................................ 16 7.3.3. Traado poligonal.............................................................................................. 16
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8. VALOR DA FORA DE PR-ESFORO......................................................................... 21
8.1. FORA MXIMA DE TENSIONAMENTO ............................................................................. 21 8.2. PERDAS DE PR-ESFORO ........................................................................................... 21
8.2.1. Perdas por Atrito ............................................................................................... 22 8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)............................................. 23 8.2.3. Perdas por deformao instantnea do beto................................................... 24 8.2.4. Clculo do alongamento terico dos cabos de pr-esforo ............................... 24 8.2.5. Perdas por retraco do beto .......................................................................... 29 8.2.6. Perdas por fluncia do beto............................................................................. 29 8.2.7. Perdas por relaxao da armadura ................................................................... 29
9. VERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITE LTIMOS........................... 33
9.1. ESTADO LIMITE LTIMO DE FLEXO ............................................................................... 33 9.2. ESTADO LIMITE LTIMO DE ESFORO TRANSVERSO ........................................................ 34
10. VERIFICAO DA SEGURANA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ...................... 39
10.1. VERIFICAO DA SEGURANA AO ESMAGAMENTO DO BETO ........................................... 39 10.2. DETERMINAO DAS ARMADURAS DE REFORO NA ZONA DAS ANCORAGENS .................. 40
10.2.1. Modelos de escoras e tirantes........................................................................... 40 10.2.2. Tenses de traco a absorver ......................................................................... 41
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 1
1. Introduo 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAO DO PR-ESFORO
Vencer vos maiores
Maiores esbeltezas
Diminuio do peso prprio
Melhoria do comportamento em servio
Utilizao racional dos betes e aos de alta resistncia
2. Tcnicas e sistemas de pr-esforo
2.1. PR-ESFORO POR PR-TENSO
As armaduras so tensionadas antes da colocao do beto;
A transferncia de fora realizada por aderncia;
realizado em fbrica (tenso aplicada contra cofragens ou contra macios
de amarrao).
2.2. PR-ESFORO POR PS-TENSO
As armaduras so tensionadas depois do beto ter adquirido a resistncia
necessria;
A transferncia realizada quer nas extremidades, atravs de dispositivos
mecnicos de fixao das armaduras (ancoragens), quer ao longo das
armaduras.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 2
3. Componentes de um sistema de pr-esforo
3.1. ARMADURAS DE PR-ESFORO
As armaduras de pr-esforo so constitudas por ao de alta resistncia, e podem ter
as seguintes formas:
fios Dimetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm
Designao Seco nominal
[cm2]
Dimetro
[mm]
0.5 0.987 12.7
0.6N 1.4 15.2
cordes (compostos por 7 fios)
0.6S 1.5 15.7
barras
Dimetros usuais: 25 mm a 36 mm
(podem ser lisas ou roscadas)
Caractersticas dos aos de alta resistncia utilizados em armaduras de pr-esforo:
fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa]
fios e cordes 1670 1860 195 10 barras 835 1030 170
Cabo de pr-esforo: conjunto de cordes (agrupados no interior de uma bainha)
Por questes de economia, h vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas
de pr-esforo (nmero de cordes que preenchem na totalidade uma ancoragem).
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 3
3.2. ANCORAGENS DE PR-ESFORO
Activas
Permitem o tensionamento
Passivas
Ficam embebidas no beto
De continuidade (acoplamentos)
Parte passiva, parte activa
3.3. BAINHAS DE PR-ESFORO
Metlicas Plsticas
3.4. SISTEMAS DE INJECO
Materiais rgidos (ex: calda de cimento) Materiais flexveis (ex: graxas ou ceras)
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 4
4. Efeito do Pr-Esforo
O pr-esforo , por definio, uma deformao imposta. Deste modo, a sua aplicao
em estruturas isostticas no introduz esforos adicionais.
Considere-se a seguinte viga pr-esforada:
pp
Apresenta-se em seguida os diagramas de extenses na seco transversal indicada
(seco de vo onde o cabo de pr-esforo tem excentricidade mxima), para as
seguintes situaes:
A aco do pr-esforo isolado
B Aco das cargas mobilizadas na aplicao do pr-esforo (peso prprio)
C situao aps a aplicao do pr-esforo
eP0
+
-
A
P0+
B
-
+
+ Mpp = -
C
+P0
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 5
5. Pr-dimensionamento de um elemento pr-esforado
5.1. PR-DIMENSIONAMENTO DA SECO
A altura de uma viga pr-esforada pode ser estimada a partir da relao h L15 a 20.
5.2. TRAADO DO CABO
A escolha do traado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforos das
cargas permanentes.
5.2.1. Princpios base para a definio do traado dos cabos de pr-esforo
0.35L a 0.5LL
0.05L a 0.15L
1.5 bainha
1.5 bainha
Traados simples: troos rectos ou troos parablicos (2 grau) Aproveitar a excentricidade mxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) Sempre que possvel, nas extremidades, os cabos devero situar-se dentro do
ncleo central da seco
O traado do cabo (ou resultante dos cabos) dever cruzar o centro de gravidade da seco numa seco prxima da de momentos nulos das cargas permanentes
Devem respeitar-se as restries de ordem prtica da construo e os limites correspondentes s dimenses das ancoragens e resistncia do beto, necessrios
para resistir s foras de ancoragem
Notas:
i) A excentricidade mxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para
as bainhas dos cabos de pr-esforo: cmin = min (bainha; 0.08 m);
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 6
ii) o ponto de inflexo do traado est sobre a recta que une os pontos de
excentricidade mxima;
iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mnimo que,
simplificadamente pode ser obtido pela expresso Rmin = 3 Pu (onde Pu
representa a fora til em MN).
5.3. PR-DIMENSIONAMENTO DA FORA DE PR-ESFORO TIL
O valor da fora til de pr-esforo pode ser estimada atravs dos seguintes critrios:
Critrio do balanceamento das cargas qeq (0.8 a 0.9) qcqp
ou, de uma forma mais rigorosa,
Critrio da limitao da deformao
pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) (cqp pe) admissvel
com admissvel L 500 a L
1000 (dependente da utilizao da obra)
Critrio da descompresso
EC2 pargrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhao a considerar
Tabela 7.1N Valores recomendados para wmx (mm)
Classe de
exposio
Elementos de beto armado ou pr-
esforado (p.e. no aderente)
Elementos de beto pr-esforado
(p.e. aderente)
Comb. quase-permanente de aces Combinao frequente de aces
X0, XC1 0.4 0.2
XC2, XC3, XC4 0.2(1)
XD1, XD2,
XS1, XS2, XS3
0.3 Descompresso
(1) Dever tambm verificar-se a descompresso para a combinao quase-permanente de aces
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 7
A segurana em relao ao estado limite de descompresso considera-se satisfeita
se, nas seces do elemento, a totalidade dos cabos de pr-esforo se situar no
interior da zona comprimida e a uma distncia de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m
relativamente zona traccionada, para estruturas de edifcios ou pontes,
respectivamente.
Na prtica, ser prefervel assegurar que nas seces do elemento no existem
traces ao nvel da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida)
por efeito dos esforos actuantes, com excluso do pr-esforo.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 8
EXERCCIO PE1
Considere a viga indicada na figura seguinte.
e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10
8.00 8.00 4.00 1.00 4.00
Parbola Parbola ParbolaParbola Recta
A B C D
Seco Transversal da Viga:
1.50
0.20
0.50
0.20
0.300.80
0.53
0.37
Propriedades Geomtricas da Seco:
A = 0.61 m2
I = 0.0524 m4
Materiais:C30/37
A400NR
A1600/1800 (baixa relaxao)
Considere que a viga se encontra submetida s seguintes aces:
Q
q
pp + rcp
- Cargas permanentes (g = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m - sobrecargas (q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN Nota: q e Q actuam em simultneo
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 9
a) Determine o diagrama de tenses na seco B para a combinao de aces quase permanentes e para uma fora de pr-esforo de 1000 kN. b) Qual o valor de P que seria necessrio para garantir a descompresso para a combinao quase permanentes de aces, nas seces B e C? c) Qual o valor de P que seria necessrio para garantir a condio c < fctk para combinao frequente de aces nas seces B e C? d) Determine as equaes que definem o traado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pr-esforo. f) Qual o valor de P que seria necessrio para contrariar 80% de deformao mxima para a combinao de aces quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a fora de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e P0 = 0.90 P0. Admita que os cabos so tensionados a 0.75 fpk. h) Calcule o valor das perdas instantneas (atrito, reentrada de cunhas e deformao instantnea do beto) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluncia e retraco do beto, e relaxao das armaduras). j) Calcule a rea de armadura ordinria longitudinal de modo a garantir a segurana em relao ao estado limite ltimo de flexo. l) Calcule a rea de armadura transversal.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 10
RESOLUO DO EXERCCIO PE1
ALNEA A)
1. Determinao dos esforos para a combinao de aces quase-permanentes
pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 20 = 38 kN/m Qcpq = 2 Q = 0.4 100 = 40 kN
pcqp
Qcqp
R1 R220.00 5.00
DEV[kN]
DMF[kNm] 8.00
(+)
1554.0
(-)
675.0
(+) (+)
(-)
346.3
413.8
230.040.0
MB = 0 R1 20 + 38 20 10 40 5 38 5 2.5 = 0 R1 = 346.3 kN R2 = 38 (20 + 5) + 40 346.3 = 643.8 kN
2. Clculo das tenses na seco B
(i) Caractersticas geomtricas da seco B
0.37
0.530.38
1.50
G
A = 0.61 m2
I = 0.0524 m2
winf = I
vinf = 0.0524
0.53 = 0.09886m3
wsup = I
vsup = 0.0524
0.37 = 0.1416m3
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 11
(ii) Diagramas de tenses na seco B devidas cqp e ao pr-esforo
(-)
P
Mcqp
P / A
+
(+)
(-)
P x e(-)
(+)
Mcqp
+
inf = - P A - P e
winf + Mcqp winf = -
1000 0.61 -
1000 0.38 0.09886 +
1554 0.09886 = 10.2MPa
sup = - P A + P e
wsup - Mcqp wsup = -
1000 0.61 +
1000 0.38 0.1416 -
1554 0.1416 = - 9.9MPa
ALNEA B)
1. Seco B
(+)
+
(-)
(-)
(+)
+
P / A
MB
P
(-)
MB P x e
inf < 0 - P A - P e
w + MB w < 0 -
P 0.61 -
P 0.38 0.09886 +
1554 0.09886 < 0
P > 2866.8 kN 2. Seco C
MC (-) + +
(+)
P
(-)
MC
P x eP / A
(+)
(-)
sup < 0 - P A - P e
w + MC
w < 0 - P
0.61 - P 0.22
0.1416 + 675
0.1416 < 0 P > 1492.9 kN P > 2866.8 kN
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 12
ALNEA C)
1. Determinao dos esforos para a combinao de aces frequente
pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 20 = 42 kN/m Qfr = 1 Q = 0.6 100 = 60 kN
pfr
20.00
DMF[kNm] 8.00
1686.0
(+)
R1
825.0
(-)
5.00
R2
Qfr
MB = 0 R1 20 + 42 20 10 60 5 42 5 2.5 = 0 R1 = 378.8 kN R2 = 42 (20 + 5) + 60 378.8 = 731.3 kN
2. Seco B
inf < fctk - P A - P e
w + MB w < fctk -
P 0.61 -
P 0.38 0.09886 +
1686 0.09886 < 2 103
P > 2745.6 kN
3. Seco C
sup < fctk - P A - P e
w + MC
w < fctk - P
0.61 - P 0.22
0.1416 + 825
0.01416 < 2 103 P > 1198,3 kN P > 2745.6 kN
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 13
6. Caractersticas dos traados parablicos
6.1. EQUAO DA PARBOLA
Equao geral da parbola: y = ax2 + bx + c (para determinar os parmetros a, b e c necessrio conhecer 3 pontos)
x1 x3 x2
y1y2y3
Caso se utilize um referencial local:
1) x
y
y = ax2 + c
(y (0) = 0 b = 0)
2)
x
y
y = ax2
(y (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0)
Determinao do parmetro a
f
f
L/2L/2
tg = 2f L/2 = 4f L
i) y (- L/2) = 2a L/2 = tg a = 4f L2 ou
ii) y (L/2) = f a L 2
2
= f a = 4f L2 Determinao da curvatura da parbola
1 R = - y" (L/2) = 2a =
8f L2
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 14
6.2. DETERMINAO DO PONTO DE INFLEXO ENTRE DOIS TROOS PARABLICOS
e1 f1
L1 L2
e2f2
O ponto de inflexo do traado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f1 L1 =
e1 + e2 L1 + L2 f1 =
L1 L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) f1
6.3. DETERMINAO DO PONTO DE CONCORDNCIA TROO PARABLICO TROO RECTO
L1
ff
e
L2
tg = e - f L1 = e + f
L2 (e f) L2 = (e + f) L1 e L2 f L2 + f L1
f L1 + f L2 = e L2 e L1 f (L1 + L2) = e (L2 L1) f = e (L2 - L1) L1 + L2
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 15
7. Cargas equivalentes de pr-esforo
A aco do pr-esforo pode ser simulada atravs de cargas cargas equivalentes de
pr-esforo.
7.1. ACES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAO EM QUE SE APLICA A TENSO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)
Foras nas ancoragens;
Foras radiais e tangenciais uniformemente distribudas, exercidas pelo beto.
7.2. ACES EXERCIDAS SOBRE O BETO
Foras nas ancoragens;
Foras radiais e tangenciais uniformemente distribudas iguais e directamente
opostas s que o beto exerce sobre o cabo.
7.3. DETERMINAO DAS CARGAS EQUIVALENTES
7.3.1. Zona das ancoragens
P P
P tg
P e
Nota: tg sen e cos 1
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 16
7.3.2. Traado parablico
Considere-se o seguinte troo infinitsimal de cabo de pr-esforo, e as aces que o
beto exerce sobre este,
R
P+dPP
d
q* ds
ds
d/2
ds = R d d ds = 1 R
P d 2 + (P + dP)
d 2 = q* ds
P d = q* ds q* = P d ds ou q* = P R
Notas:
- ngulo muito pequeno sen d 2 d 2 tg
d 2 e cos
d 2 1;
- consideram-se desprezveis as componentes horizontais das foras de desvio.
Para um cabo com o traado parablico ilustrado,
f
f
L/2
L/2
tg = d 2 = 2 f L/2 =
4 f L (1)
ds L (2) A partir de (1) e (2), obtm-se
d ds =
8 f L2 q* =
8 f P L2
7.3.3. Traado poligonal
L1
f Q*
Q*q*
s
tg = f L1
Q* = q* ds = P d = P f L1 Q* = P tg
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 17
RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONTINUAO)
ALNEA D)
8.008.00
Parbola 1
e2 = 0.38
Parbola 3
4.00
Parbola 2 RectaParbola 4
4.001.00
e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15
(i) Parbola 1
8.00
0.23x
y
y = ax2
y(8) = 0.23 a 82 = 0.23 a = 3.59375 10-3 y(x) = 3.59375 10-3 x2
(ii) Parbola 2 1. Determinao das coordenadas do ponto de inflexo
12.00
0.6
8.00
x
12 8 =
0.6 x x = 0.4
2. Determinao da equao da parbola
8.00
x
y
0.4
y = ax2
y (8) = 0.4 a = 6.25 10-3 y (x) = 6.25 10-3 x2
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 18
(iii) Parbola 3
x
y4.00
0.2
y = ax2
y (4) = 0.2 a = 0.0125 y (x) = 0.0125 x2
(iv) Parbola 4 e troo recto
x
yx
y 1.00 4.000.12
1. Determinao das coordenadas do ponto de concordncia
ff
1.0
y (1, 0) = tg = 2 f tg = 0.12 + f 5
2 f = 0.12 + f 5 10 f = 0.12 + f f = 0.01333 m
2. Determinao das equaes da parbola e do troo recto
Parbola 4: y (1) = 0.01333 y (x) = 0.01333 x2 Troo recto: y = mx + b = 2 0.01333 x y (x) = 0.02667 x
ALNEA E)
1. Clculo das cargas equivalentes uniformemente distribudas (considerando P = 1000 kN)
q = 8 f P L2
Parbola f [m] L [m] q [kN/m]
1 0.23 16 7.2
2 0.4 16 12.5
3 0.2 8.0 25.0
4 0.0133 2.0 26.6
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 19
2. Clculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo Extremidade Esquerda
tg = y (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575 P tg = 57.5 kN P e = 1000 0.15 = 150.0 kNm
Extremidade Direita
tg = y (1) = 0.02667 P tg = 26.7 kN P e = 1000 0.10 = 100.0 kNm
1.008.00
26.6 kN/m
8.00
25.0 kN/m12.5 kN/m7.2 kN/m
4.00 4.00
57.5 kN
1000 kN
150.0 kNm1000 kN
26.7 kN
100.0 kNm
como curiosidade,
Feq = - 57.5 + 7.2 8 + 12.5 8 - 25.0 4 - 26.6 1 + 26.7 0
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 20
ALNEA F)
1. Determinao da flecha elstica na viga para a combinao de aces quase-
permanentes
Atravs de tabelas de flechas elsticas de vigas contnuas, a deformao a meio vo
do tramo apoiado dada por:
= 1 EI 5pL4 384 +
L2 16 ( )M1 + M2
onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e
entram na expresso com o sinal de acordo com a conveno da resistncia de
materiais.
Deste modo,
= 1 32106 0.0524 5 38 204
384 + 202 16 ( )0 - 675.0 = 0.037 m
2. Determinao da flecha elstica na viga para o efeito do pr-esforo
A flecha elstica para o efeito de pr-esforo pode ser obtida considerando a actuao
das cargas equivalentes ao pr-esforo na viga. Deste modo, para P = 1000 kN
(cargas equivalentes calculadas na alnea anterior), obteve-se a seguinte deformada:
= 0.010 m
3. Determinao da fora til de pr-esforo necessria para contrariar 80% da
deformao mxima para a combinao de aces quase-permanentes
pe = 0.8 cqp = 0.8 0.037 = 0.030 m
P = 1000 0.030/0.010 = 3000 kN
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 21
8. Valor da fora de pr-esforo
8.1. FORA MXIMA DE TENSIONAMENTO
De acordo com o EC2, a fora mxima a aplicar num cabo de pr-esforo dada pela
seguinte expresso
Pmx = Ap p,mx onde,
p,mx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tenso mxima a aplicar aos cordes.
8.2. PERDAS DE PR-ESFORO
Perdas instantneas (8% 15%)
Ps-tenso
Perdas por atrito Perdas por reentrada de cabos Perdas por deformao instantnea do beto
Pr-tenso
Relaxao da armadura at betonagem Escorregamento nas zonas de amarrao Deformao instantnea do beto
Perdas diferidas (12% 15%)
Perdas por retraco do beto Perdas por fluncia do beto Perdas por relaxao da armadura
P0 ( fora de tensionamento) 8% 15% P0 12% 15% P P0 fora de pr-esforo aps perdas imediatas P fora de pr-esforo til ou a tempo infinito
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 22
8.2.1. Perdas por Atrito
d/2P q* ds
d
P+dP
q* ds = P dds
(Fa = N) q* ds = P d
Por equilbrio de foras horizontais,
P P dP P d = 0 dP = P d dP P = d
P0'P0 1 P dP = 0
- d Log P0 - Log P0' = - Log P0 P0' =
P0 P0' = e- P0 = P0 e-
Para uma seco genrica distncia x da extremidade de tensionamento,
P0 (x) = P0 e-(+kx)
onde, representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20); representa a soma dos ngulos de desvio; k representa o desvio angular parasita (valor mximo 0.01 m-1; geralmente 0.004
a 0.005m-1), que tem em considerao eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pr-esforo.
Esta expresso tambm pode aparecer com a forma, P0 (x) = P0 e-( + kx) (neste caso k = k)
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 23
8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)
PP0'
P0(x)
x
P
L L comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm) comprimento at onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante),
L = 0 dx =
0
Ep dx =
1 Ep Ap 0 P dx Adiagrama = L Ep Ap
P 2 = L Ep Ap (1)
Como P 2 = p P = 2 p (2) onde p representa a perda de tenso por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtm-se, 2 p
2 = L Ep Ap = L Ep Ap
p
8.2.2.1. Casos particulares
(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pr-esforo exterior, p.ex.)
x
P
P0'
PL Ep Ap
L
P L = L Ep Ap P = L Ep Ap L
L comprimento do cabo
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 24
(ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pr-esforo mais condicionante)
P
P0'
P
L x
p LL Ep Ap
PLpLL=LEpAp P = L L Ep Ap + pL
L comprimento do cabo
8.2.3. Perdas por deformao instantnea do beto
A perda de fora de pr-esforo mdia por deformao instantnea (ou elstica) do beto, em cada cabo, pode ser calculada atravs da seguinte expresso:
Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t) onde,
Ecm(t) representa o mdulo de elasticidade do beto data da aplicao do pr-esforo;
j = (n-1) / 2n , onde n representa o n de cabos de pr-esforo idnticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma seco transversal;
c(t) representa a tenso no beto, ao nvel do centro de gravidade dos cabos de pr-esforo, para a totalidade do efeito do pr-esforo (aps perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras aces permanentes actuantes.
8.2.4. Clculo do alongamento terico dos cabos de pr-esforo
L = 0 L dz =
0
L P Ap Ep dz = 1
Ap Ep 0 L P dz
Paps atrito [kN]
P0'
L x [m]
Paps at. (L)L P0' + Paps atrito (L) 2 Ap Ep L
Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tenso instalada nos cabos.
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 25
ALNEA G)
P = 2866.8 kN (valor resultante da verificao da descompresso)
P0 = P
0.86 = 2866.8
0.86 = 3333.5 kN
P0 = P0 0.9 =
3333.5 0.9 = 3703.9 kN
P0' = 0.75 Fpk Ap = P0' 0.75 1800 103 104 = 27.4 cm2
n de cordes = Ap Acordo = 27.4 1.4 = 20 cordes 2 cabos de 10 cordes de 0.6"
P0 = 10 2 1.4 10-4 1800 103 0.75 = 3780 kN ALNEA H)
1. Clculo das perdas por atrito
P0 (x) = P0 e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)
4.008.00
e1 = 0.15
8.00
e2 = 0.38 e4 = -0.22
4.00 1.00
e6 = -0.10
21 3 4 5 6Parbola 1 Parbola 2 Parbola 3 Par. 4 Recta
e3 = -0.02 e5 = -0.21
Clculo dos ngulos de desvio
(i) Parbola 1
y (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575
(ii) Parbola 2
y (8) = 6.25 10-3 2 8 = 0.1
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 26
(iii) Parbola 3
y (4) = 2 0.0125 4 = 0.1
(iv) Parbola 4
y (1) = 2 0.01333 = 0.02666
Seco x [m]
[rad] Paps atrito
[kN] % perdas
1 0 0 3780.0 0
2 8 0.0575 3712.9 1.8
3 16 0.1575 3616.2 4.3
4 20 0.2575 3533.3 6.5
5 21 0.2842 3511.6 7.1
6 25 0.2842 3500.4 7.4
2. Clculo das perdas por reentrada das cunhas
(i) Determinao do comprimento de reentrada das cunhas ()
1 Iterao
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Fora de pr-esforo ao longo do cabo, aps perdas por atrito
x = 8.0m p = 3780 - 3712.9 8 = 8.39 kN/m
= L Ep Ap P = 0.006 195 106 20 1.4 10-4
8.39 = 19.8 m
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 27
2 Iterao
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
x = 20.0m p = 3780 - 3533.3 20 = 12.34 kN/m (admitindo que a perda por atrito aproximadamente linear)
= 0.006 195 106 20 1.4 10-4
12.34 = 16.3 m
(ii) Determinao das perdas por reentrada das cunhas ()
P = 2p = 2 2.34 16.3 = 402.3 kN
402.3
0 8 16.316
204.97.4
402.3 x =
16.3 8.3 x = 204.9 kN
402.3 x =
16.3 0.3 x = 7.4 kN
Seco x [m] Paps atrito
[kN] Preentrada
[kN] Paps reentrada
[kN] % perdas
1 0 3780.0 402.3 3377.7 10.6
2 8 3712.9 204.9 3508.0 7.2
3 16 3616.2 7.4 3608.8 4.5
4 20 3533.3 0 3533.3 6.5
5 21 3511.6 0 3511.6 7.1
6 25 3500.4 0 3500.4 7.4
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 28
3. Clculo das perdas por deformao instantnea do beto
Admitindo que o pr-esforo aplicado aos 28 dias,
Ecm(t = 28) = 32 GPa ; Ep = 195 GPa
Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t) = Ap Ep n - 1 2n c(t) Ecm(t)
Seco 2
8.00143.0
Mpp
15.25
Mpp = 656 kNm
Mpe = P e = 3508 0.38 = 1333.0 kNm
+
P / A
(-)+
IMpp v
(+)
(-)
(-)
(+)
Mpe vI
c = Mpp v I - P A -
Mpe v I =
656 0.38 0.0524 -
3508 0.61 -
1333 0.38 0.0524 = - 10.7MPa
Pel = 20 1.410-4 195106 2 - 1 2 2 10.7
32103 =45.6 kN
P0 (seco 2) = 3508 45.6 = 3462.4 kN % perdas 8.4%
3. Clculo do alongamento terico dos cabos
L = 1 Ap Ep 0L P dx 1 28 10-4 195 106
3780 + 3500.4 2 25 = 0.167m
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 29
8.2.5. Perdas por retraco do beto
= Ep cs P Ap = Ep cs P = Ep Ap cs
cs extenso de retraco do beto ( 2.0 10-4)
8.2.6. Perdas por fluncia do beto
c = c c Ecm
= Ep c P Ap = Ep c c
Ecm P = Ap Ep c c
Ecm
c tenso ao nvel do cabo de pr-esforo, devido s cargas permanentes e ao efeito do pr-esforo (considerando a fora de pr-esforo aps perdas imediatas).
8.2.7. Perdas por relaxao da armadura
Em armaduras de alta resistncia, as perdas a longo prazo devidas relaxao so da
ordem de:
Aos de relaxao normal P < 15% Aos de baixa relaxao P < 6% Aos de muito baixa relaxao P = 2 a 4%
Segundo o EC2 e para efeitos da caracterizao da relaxao, as armaduras de alta
resistncia agrupam-se em trs classes:
Classe 1: ao em fio ou cordo, com relaxao normal (1000 = 8%) Classe 2: ao em fio ou cordo, com baixa relaxao (1000 = 2.5%) Classe 3: ao em barra (1000 = 4%)
O parmetro 1000 representa a perda por relaxao s 1000 horas, de um provete tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20C.
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 30
A perda de tenso por relaxao pode ser calculada atravs das seguintes
expresses, consoante a classe da armadura:
(i) Classe 1: pr = 0.8 5.39 1000 e6.7 t
1000 0.75 (1-)
pi 10-5
(ii) Classe 2: pr = 0.8 0.66 1000 e9.1 t
1000 0.75 (1-)
pi 10-5
(iii) Classe 3: pr = 0.8 1.98 1000 e8 t
1000 0.75 (1-)
pi 10-5
onde,
pi representa a tenso instalada nas armaduras de pr-esforo aps perdas imediatas;
t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de
pr-esforo por relaxao (poder considerar-se t = 500000 horas 57 anos); = pi / fpk
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 31
RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONT.)
ALNEA I)
1. Perdas por retraco do beto Considerando cs = - 2.0 10-4, P = Ep Ap cs = 195 106 28 10-4 2.0 10-4 = 109.2 kN 2. Perdas por fluncia do beto
Seco 2
Considerando c = 2.5
P = Ap Ep c c Ecm = 28 10-4 195 106 5.86 103 2.5
32 106 = 250 kN
Clculo de c
8.00281.3
15.25+14.75=30
Mcp
Mcp = 1290 kNm
Mpe = 3462.4 0.38 = 1315.7 kNm
c = Mcp v I - P A -
Mpe v I =
1290 0.38 0.0524 -
3462.4 0.61 -
1315.7 0.38 0.0524 = - 5.86MPa
3. Perdas por relaxao das armaduras
Seco 2
Para ao em fio ou cordo com baixa relaxao, 1000 = 2.5%.
pr = 0.8 0.66 1000 e9.1 t
1000 0.75 (1-)
pi 10-5 = = 0.8 0.66 2.5 e9.1 0.69
500000 1000
0.75 (1-0.69)
1236.6 10-5 = 36.9 MPa
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 32
pi = 3462.4 28 10-4 = 1236.6MPa
= pi fpk = 1236.6
1800 = 0.69
Ppr = 36.9 103 28 10-4 = 103.3 kN Pp,r+s+c = 250 + 109.2 + 103.3 = 462.5 kN Pseco 2 = 3462.4 462.5 = 2999.9 kN % perdas diferidas 13.4%
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 33
9. Verificao da Segurana aos Estados Limite ltimos
9.1. ESTADO LIMITE LTIMO DE FLEXO Pelo mtodo do diagrama rectangular simplificado,
Msd = g Mg + q Mq
x
Msd
LN
ApAs
Fp
Fs
0.8x
0.85fcdFc
b
Fc = 0.85 fcd 0.8 x b
Fp = Ap fpyd = Ap fp0,1k 1.15
Fs = As fyd
Atravs das equaes de equilbrio, (i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd x = ...) (ii) Equilbrio de foras ( F = 0 Fc = Fp + Fs As = ...)
Determinada a posio da linha neutra (x), necessrio definir o diagrama de
extenses na rotura e verificar se as tenses nas armaduras ordinrias e de
pr-esforo so as de clculo.
Se algum cabo no atingir a tenso de clculo fpyd, ser necessrio adoptar um
mtodo iterativo (mtodo geral)
AsAp
LN
b
x
p (p0 + p)
M
c
sp0p
c (c)
s (s)
N
Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Ento M = MRd.
Nota: No caso do cabo ser no aderente (monocordo, p.ex.) fpyd = p = P Ap
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 34
9.2. ESTADO LIMITE LTIMO DE ESFORO TRANSVERSO
(i) Clculo da armadura transversal: Asw s = Vsd - P sen z cotg fyd
(ii) Verificao da tenso de compresso: c = Vsd - P sen z bw sen cos 0.6 fcd
(iii) Considerao do efeito do esforo transverso nas armaduras longitudinais (no
apoio As fyd V cotg 1)
Notas:
Para elementos comprimidos (caso de elementos pr-esforados) 20 a 26; Caso o somatrio do dimetro das bainhas de pr-esforo existentes num
determinado nvel seja superior a 1/8 da largura da seco a esse nvel, deve
considerar-se a largura a esse nvel reduzida de metade da soma dos dimetros
das bainhas.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 35
RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONT.) ALNEA J)
psd = 1.35 (15.25 + 14.75) + 1.5 20 = 70.5 kN/m Qsd = 100 1.5 = 150 kN
20.00
R15.00
R2
150
70.5CA
MC = 0 - R1 20 + 70.5 25 7.5 150 5 = 0 R1 = 623.4 kN MB = 2731.5 kNm Seco B
1. Clculo da armadura de flexo pelo mtodo do diagrama rectangular
Hiptese: LN no banzo da seco
Fs
Fp
Fc0.85fcd0.8x
Msd
1.50
LN
Fp = Ap fp0,1k 1.15 = 28 10-4 1600 1.15 103 = 3895.7 kN
Fs = As fyd = As 348 103
Fc = 1.5 0.8x 0.85 20 103 = 20400x
(i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd) Fc (0.86 0.4x) Fsp 0.11 = Msd 20400x (0.85 0.4x) = 2731.5 + 3895.7 0.10 x = 0.199m Fc = 20400 0.199 = 4059.6 kN
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 36
(ii) Equilbrio de foras ( F = 0) Fc Fsp Fs = 0 4059.6 3895.7 As 348 103 = 0 As = 4.71 cm2
(iii) Verificao da hiptese de cedncia das armaduras
LN
p p0s
c0.199
Hiptese: c = 3.5
Determinao da extenso ao nvel das armaduras ordinrias
s 0.85 - 0.199 =
3.5 0.199 s = 11.4
Como s, mx = 10 s = 10 e c < 3.5 10
0.85 - 0.199 = c
0.199 c = 3.06
Determinao da extenso ao nvel das armaduras de pr-esforo
p 0.75 - 0.199 =
3.06 0.199 p = 8.5
p0 = P Ap Ep = 2999.9
2810-4 195106 = 5.5
p = p0 + p = 14.0 > pyd = fpyd Ep = 1600 / 1.15
195103 = 7.1
2. Clculo da armadura pelas tabelas de flexo simples (mtodo aproximado)
Hiptese: deq dp = 0.75
= Msd b d2 fcd = 2731.5
1.5 0.752 20 103 = 0.162 = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2
As = As,tot Asp, eq = 117.3 28 1600 400 = 5.3 cm2
deq 0.75 20 1.4 1600 + 5.3 0.85 400 20 1.4 1600 + 5.3 400 = 0.755m
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 37
ALNEA L)
20.00
DEV[kN]
623.4
(+)
623.4
(-)
786.6
5.00
502.5
(+)
1289.1
150
150
70.5
DEVp [kN]
164.8
286.4
76.5 76.5(-)
(+)(-)
786.6
502.5DEVtotal [kN]
(+)
458.6
(-)
73.5(+)355.5
Notas:
- O diagrama de esforo transverso devido ao pr-esforo foi obtido
considerando P = 2866.8 kN;
- Para a verificao da segurana ao esforo transverso utiliza-se DEVtotal
Apoio A
= 25 z cotg = 0.9 0.85 cotg 25 = 1.64m Vsd (z cotg ) = 458.6 49.9 1.64 = 376.8 kN
Considerando um cabo cuja bainha tem 100 mm de dimetro,
bainha balma 8 = 0.30
8 = 0.038 m bw =0.30 0.1 / 2 = 0.25 m
1. Clculo da armadura transversal
Asw s =
Vsd z cotg fyd =
376.8 1.64 348 103 10
4 = 6.6 cm2/m
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 38
2. Verificao da tenso de compresso nas bielas inclinadas
c = Vsd z bw sen cos = 376.8
0.90.850.25sen 25cos 25 = 5143.8 kN/m2 5.1 MPa
< 0.6 fcd
0.6 fcd = 0.6 20 103 = 12000 kN/m2 = 12MPa
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 39
10. Verificao da segurana nas zonas das ancoragens
Nas zonas de vizinhana da actuao de cargas concentradas no so vlidas as
hipteses da resistncia de materiais para peas lineares: a fora concentrada
transmitida ao beto sob a forma de tenses elevadas distribudas na superfcie da
placa de distribuio da carga, existindo uma zona de regularizao entre a seco de
aplicao da carga e aquela em que as tenses se distribuem linearmente. Nesta
zona, devido trajectria das tenses principais de compresso, surgem foras de
traco nas direces transversais.
Deste modo, a verificao da segurana nas zonas das ancoragens consiste em
limitar as tenses de compresso localizadas no beto e dimensionar armaduras para
absoro das foras de traco que surgem devido aco da carga concentrada.
10.1. VERIFICAO DA SEGURANA AO ESMAGAMENTO DO BETO
Imediatamente sob a zona de aplicao da carga concentrada surgem tenses de
compresso na direco transversal. Este facto permite aumentar o valor das tenses
admissveis a considerar na verificao da presso local no beto, desde que o
mesmo esteja correctamente confinado.
De acordo com o EC2 (pargrafo 6.7), o valor resistente da fora concentrada,
aplicada com uma distribuio uniforme numa determinada rea Ac0, pode ser
determinado atravs da expresso:
FRdu = Ac0 fcd Ac1 Ac0 3.3 fcd Ac0 onde,
Ac0 representa a rea sobre a qual se exerce directamente a fora (rea da placa
de ancoragem);
Ac1 representa a maior rea homottica a Ac0, contida no contorno da pea, com
o mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimenso dos lados no pode
exceder em trs vezes a dimenso dos lados correspondentes de Ac0. No caso
da existncia de vrias foras concentradas, as reas correspondentes s vrias
foras no se devem sobrepor.
-
Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 40
Dado que, em geral, a aplicao do pr-esforo efectuada antes do beto atingir a
idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substitudo por fck,j / c, representando fck,j o valor caracterstico da tenso de rotura compresso aos j dias.
10.2. DETERMINAO DAS ARMADURAS DE REFORO NA ZONA DAS ANCORAGENS
De acordo com o pargrafo 8.10.3 do EC2, a avaliao das foras de traco que
surgem devido aplicao de foras concentradas deve ser efectuada recorrendo a
modelos de escoras e tirantes.
A armadura necessria dever ser dimensionada considerando uma tenso mxima
de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhao, e tem em
conta a dificuldade de garantir uma boa amarrao.
10.2.1. Modelos de escoras e tirantes
Os modelos de escoras e tirantes (strut-and-tie models) identificam os campos de
tenses principais que equilibram as aces exteriores, correspondendo as escoras
aos campos de tenses de compresso e os tirantes aos de traco.
Estes modelos aplicam-se na anlise e dimensionamento de zonas de
descontinuidade, como o caso das zonas de ancoragem de cabos ps-tensionados
(zonas de aplicao de cargas localizadas).
Para a sua elaborao torna-se necessrio conhecer o comportamento elstico da
zona estrutural em anlise, por forma a escolher o sistema que corresponde menor
energia de deformao, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes,
sendo assim necessria menor quantidade de armadura. H tambm que entrar em
linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforos de
traco e, consequentemente a sua orientao corresponder dos tirantes, esta
dever ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 41
10.2.2. Tenses de traco a absorver 10.2.2.1. Caso de uma s ancoragem Atravs do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, possvel
obter o valor da fora de traco.
P/2
P/2
P/2
P/2
De acordo com o REBAP (artigo 140), a fora de traco para a qual as armaduras
devem ser dimensionadas, dada pela expresso:
Ft1Sd = 0.3 FSd 1 - a0 a1 (com FSd = 1.35 P0)
onde,
a1 = 2b, sendo b a dimenso, segundo a direco considerada, da menor
distncia entre o eixo da ancoragem e a face exterior do beto;
a0 representa a dimenso segundo a direco considerada, da placa da
ancoragem.
10.2.2.1.1. Disposio das armaduras
As armaduras devem, em cada direco, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser
repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em considerao que a
resultante se situa cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a
garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.
F
0.1a1
a1
a0
a1
b
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 42
A cada nvel, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual dimenso
correspondente da maior rea delimitada por um contorno fictcio contido no contorno
da pea, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direco
normal direco considerada.
No caso da ancoragem se encontrar fora do ncleo central da seco (ancoragem
excntrica), alm das armaduras j indicadas, deve dispor-se uma armadura junto
superfcie do elemento, destinada a absorver na direco em causa uma fora de
traco, como em baixo se ilustra
P
Ft = Fc2
e
Fc2
Fc1 = P
O valor da fora de traco pode ser obtido atravs da expresso:
Ft0Sd = FSd e a -
1 6 (com FSd = 1.35 P0)
10.2.2.2. Caso de vrias ancoragens
10.2.2.2.1. Ancoragens muito prximas
Um grupo de ancoragens muito prximas pode ser tratado considerando uma s
ancoragem equivalente, sendo vlidos os princpios indicados no ponto anterior. Deve
no entanto verificar-se a segurana para a actuao de cada fora, isoladamente. As
reas de influncia a considerar so as seguintes:
F
F
F
rea de influncia para uma ancoragem individual
rea de influncia do grupo de ancoragens
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 43
10.2.2.2.2. Ancoragens muito afastadas
No caso de duas foras concentradas afastadas entre si de uma distncia superior
distncia entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de
tenses normais, surgem foras de traco junto face de aplicao das cargas,
como se indica:
P
P
PP
Deste modo, alm das armaduras necessrias para cada ancoragem individual, deve
dispor-se uma armadura junto face do elemento, na direco em causa, destinada a
absorver uma fora de traco igual a 0.2P.
de notar que desde que existam vrios cabos, estes no so pr-esforados
simultaneamente, variando os esforos locais ao longo das operaes de pr-esforo.
O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforos
momentneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta
que podem existir estados provisrios mais desfavorveis do que o que surge no
sistema final.
10.2.2.3. Aspectos particulares em estruturas pr-esforadas
10.2.2.3.1. Ancoragens interiores
No caso de uma ancoragem interior, alm das tenses transversais atrs
mencionadas, surgem traces longitudinais atrs da ancoragem como resultado da
deformao local do beto. A resultante das tenses de traco depende da relao
entre a dimenso da zona carregada e a largura da difuso dos efeitos localizados.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 44
Considerando uma anlise elstica que assuma igual rigidez do beto atrs e frente
da ancoragem, a fora de traco deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a
experincia mostra que a fora de traco longitudinal pode ser considerada igual a
P/4 pois, devido fendilhao, a rigidez do beto atrs da ancoragem diminui,
diminuindo tambm a tenso instalada.
Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com
um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da seco.
CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL
10.2.2.3.2. Foras de desvio
Sempre que um cabo de pr-esforo muda de direco, so introduzidas foras radiais
no beto quando o cabo tensionado. Estas foras radiais actuam no plano de
curvatura e tm uma intensidade igual ao quociente entre a fora de pr-esforo e o
raio de curvatura.
Embora estas foras sejam na generalidade das situaes muito teis, podem no
entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do beto.
Nos casos em que os cabos estejam junto face das peas e a sua curvatura
provoque foras de desvio dirigidas para o exterior necessrio dimensionar
armadura transversal para a absoro destas foras, devendo ser disposta em toda a
zona em que actuem, como se indica na planta abaixo.
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 45
10.2.2.4. Disposies Construtivas
Nas zonas de aplicao de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposio de
armaduras em vrias camadas, constitudas por vares de pequeno dimetro. Estas
armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a
disperso dos efeitos localizados.
A soluo geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais
ramos, como se exemplifica a seguir.
PORMENOR TRANSVERSAL
PORMENOR LONGITUDINAL
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Beto Armado e Pr-Esforado II
MDULO 1 Pr-Esforo 46
No caso em que a carga actue fora do ncleo central, as armaduras dimensionadas
para este efeito devem ser dispostas junto face do beto ao longo de toda a sua
dimenso e convenientemente amarradas, com a disposio indicada.
PORMENOR LONGITUDINAL PORMENOR TRANSVERSAL