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Modulo 02 - 1
Módulo 02 - Lajes
0011.. DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO
Placa: elem//tos de superfície plana, em geral horizontais, sujeitos principalmente a ações perpendiculares ao seu plano.
Lajes: são placas de concreto armado cuja função é receber carregamentos atuantes nos andares e transferi-los para os apoios (ex.: vigas, paredes, pilares, etc.)
Neste módulo: lajes retangulares maciças de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Os apoios serão considerados indeslocáveis.
Obs.: p/ carga ser transferida aos apoios, a laje deve suportar os esforços:
a) Momento Fletor:
Carregamento
curvatura
flexão.
b) Força Cortante:
Carregamento
deslocamento vertical de uma seção em relação à seção
adjacente cisalhamento
c) Momento Torçor:
Carregamento
rotações diferentes de seções adjacentes, mas localizadas em faixas
diferentes torção
CIV 1167 – Estruturas de Concreto II Prof. José Luiz P. Melges UNESP – Campus de Ilha Solteira Agosto de 2012
Modulo 02 - 2
0022.. VVÃÃOOSS
Vão Livre (o ): distância entre faces internas dos apoios
Vão Teórico ():
Laje apoiada:
21olaje aa
Laje em balanço:
1olaje a
(No geral: = distância entre os eixos dos apoios). EXEMPLO 01:
h3,0
2/ta 1
1
h3,0
2/ta 2
2
h3,0
2/ta 1
1
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Modulo 02 - 3
0033.. CCLLAASSSSIIFFIICCAAÇÇÃÃOO
Eixo x é paralelo ao menor vão e eixo y é paralelo ao maior vão.
x
y
Obs.: p/ Laje com 2 :
Laje “muito curvada” na direção x e “pouco curvada” na direção y.
Nesse caso o cálculo é feito para faixas de 1 metro de laje.
Esquema das armaduras:
0044.. VVIINNCCUULLAAÇÇÃÃOO
Se 2 , então laje é
armada nas duas direções.
Armadura principal: p/ resistir ao momento fletor
Armadura secundária: para solidarizar faixas, prevendo eventual concentração de esforços em uma delas
FLECHA
y
x
1 m y x
CORTE A- A: vinculação
Borda engastada
Bor
da
ap
oiad
a
Bor
da
ap
oiad
a
Borda livre
B
B
A A
CO
RT
E B
– B
: vi
ncu
laçã
o
Obs.:
Borda livre: não têm vigas apoiando a borda.
Borda engastada: engaste ocorre devido à existência de lajes adjacentes.
Se 2 , então laje é armada em uma direção.
Modulo 02 - 4
OBS. 01) Camacho: analisar a relação entre vãos
OBS. 02) Libânio: analisar a momentos de engastamento nas lajes adjacentes
A
Se
engastadafica2L
engastadafica1L4/12
Se
engastadafica2L
apoiadafica1L4/12
L1 L2
L1 L2
Se
engastadafica2L
apoiadafica1L2
m
m´2
´1
L1 L2
Borda analisada
A
Corte A-A
L1 L2
1 2
Borda analisada
´1m
´2m
L1 L2 L1 L2
L1 L2
´1m ´
2m
L1 L2
Se
engastadafica2L
engastadafica1L2
m
m´2
´1
´2
´1 mm
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Modulo 02 - 5
OBS. 03) Lajes rebaixadas: suas
bordas em geral são consideradas
apoiadas e não engastam as lajes
adjacentes. Para maiores detalhes, ver
apostila do Prof. Camacho.
OBS. 04) Pode ocorrer que na prática uma borda não esteja inteiramente
apoiada ou engastada.
EXEMPLO 02:
a) Para laje armada em 2 direções ( 2)
3
2
3Se
y1y
y
calcular os esforços para as 2 situações (borda totalmente apoiada e
borda totalmente engastada) e adotar os maiores valores dos esforços no dimensionamento.
engastadaborda
considerar3
2Se
.apoiadaborda
considerar3
Se
y1y
y1y
1y 2y
engaste
y
x
apoio
Modulo 02 - 6
b) Para laje armada em 1 direção ( > 2)
Armar faixas de 1 metro de largura, para trecho engastado e para o trecho
apoiado, repetindo a armadura ao longo dos respectivos comprimentos.
1y 2y
y
x
1 m 1 m
Vinculação da faixa
ao longo do
comprimento 1y :
1 m
Vinculação da
faixa ao longo do
comprimento 2y :
1 m
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Modulo 02 - 7
0055.. EESSPPEESSSSUURRAA,, CCOOBBRRIIMMEENNTTOOSS MMÍÍNNIIMMOOSS
EE PPRRÉÉ--DDIIMMEENNSSIIOONNAAMMEENNTTOO
5.1) Espessura Mínima
NBR 6118:2003: para as lajes maciças apoiadas sobre vigas, devem ser respeitadas as seguintes espessuras mínimas:
5 cm: lajes de cobertura, exceto balanços
7 cm: lajes de cobertura em balanço e lajes de piso
10 cm: lajes destinadas a passagem de veículos de peso menor ou igual a 30kN
12 cm: lajes destinadas a passagem de veículos de peso total maior que 30kN
5.2) Cobrimento da armadura
O cobrimento vai depender do nível de agressividade do ambiente (tab.6.1
da NBR 6118).
Modulo 02 - 8
Cobr. nominal (c) = cobr. mínimo (cmin) + tolerância de execução (c)
Valor tabelado pela norma, considerando -se c = 10 mm (TABELA 7.2). (em caso de controle rigoroso, pode-se reduzir o valor de c para 5 mm).
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Modulo 02 - 9
Observações:
Aproveitando o assunto “Agressividade”, a Norma também estabelece
uma resistência mínima do concreto:
Modulo 02 - 10
5.3) Pré-Dimensionamento
Expressão 01 para
altura útil estimada (dest)
(melhor para lajes com bordas
apoiadas ou engastadas):
Expressão 02 para
altura útil estimada (dest)
(melhor para lajes em balanço):
32
xestd
; onde:
2 = coeficiente dado em função
de y x e da vinculação da laje ;
3 = coeficiente dado em função da
resistência do aço
(obs.: 1,15 Sd = fyk).
Obs.: 2 ; 3 tabela 2.1
(Tabelas de Lajes - Pinheiro,1993).
Com o valor do dest, pode-se estimar o valor da espessura (ou altura da laje, h).
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Modulo 02 - 11
Prof. Chust: p/ laje armada nas 2 direções considerar dest em relação à armadura
mais distante da face inferior (a favor da segurança).
)cm1mm10estimar(
c5,1dh estest
Modulo 02 - 12
EXEMPLO 03:
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Modulo 02 - 13
0066.. AAÇÇÕÕEESS ((NNBBRR 66112200 ee NNBBRR 66111188))
6.1) Tabelas Tabela – Peso específico dos materiais de construção
Materiais Peso específico aparente, em kN/m3
Rochas
Arenito Basalto Gnaisse
Granito Mármore e calcáreo
26 30 30
28 28
Blocos artificiais
Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas
Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos
22 20 18
13 18 20
Revestimentos e
concretos
Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia
Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado
19 21
12,5 24 25
Madeiras
Pinho, cedro
Louro, imbuia, pau óleo Guajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriúva, ipê róseo
5
6,5 8 10
Metais
Aço Alumínio e ligas
Bronze Chumbo Cobre
Ferro fundido Estanho Latão
Zinco
78,5 28
85 114 89
72,5 74 85
75
Materiais diversos
Alcatrão
Asfalto Borracha Papel
Plástico Vidro plano
12
13 17 15
21 26
Tabela – Valores mínimos de cargas de uso
LOCAL kN/m2
Bibliotecas
Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livros, a ser determinada, ou 2,5 kN/m2 por
metro de altura, porém com mínimo de
2,5 4
6
Casas de máquinas (incluindo máquinas) a ser determinada, porém com o mínimo de 7,5
Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público
3 2
Edifícios residenciais
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia
1,5 2
Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público
3 2,5
Escritórios Sala de uso geral e banheiro 2
Forros Sem acesso ao público 0,5
Garagens; estaciona//tos P/ veículos de passageiros c/ carga máxima de 25 kN por veículo 3
Terraços Com acesso ao público
Sem acesso ao público
3
2
Modulo 02 - 14Inacessível a pessoas 0,5
6.2) Tipos de Ações
Piso
Camada de regularização
Peso próprio
Revestimento / forro
Paredes divisórias
Cargas de uso (pessoas, equipamentos móveis, etc)
Observação 01: na ausência de informações com relação às ações de
piso/regularização/forro, é usual, mas com os devidos cuidados, adotar o valor de
1 kN/m2.
Observação 02: ação em parapeitos
PERMA-NENTES
VARIÁ-VEIS
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Modulo 02 - 15
EXEMPLO 04:
Modulo 02 - 16
6.3) Peso próprio de parede de alvenaria
6.3.1) Materiais
Bloco cerâmico, argamassa de assentamento, argamassa de revestimento. a) Bloco cerâmico com 6 furos.
b) Argamassa de Assentamento (cal, cimento e areia)
c) Argamassa de Revestimento (cal, cimento e areia)
14 cm
11,5 cm
24 cm
Peso: 2,4 kgf = 0,024 kN
Espessura (horizontal e vertical): 1cm Peso específico: 19 kN/m3
Espessura do revestimento =
ensãodimblocodo
daespessura"acabadaparede"
Peso específico: 19 kN/m3
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Modulo 02 - 17
OBSERVAÇÃO: dependendo da posição do bloco, poderemos ter paredes de:
6.3.2) Peso por m2 de parede
O cálculo é feito para uma parede com 1 m de comprimento e 1 m de altura. EXEMPLO 05: Cálculo do peso próprio de parede de 1/2 bloco, com 15 cm de espessura acabada, com bloco cerâmico de 6 furos mostrado no item 6.3.1.
“1 bloco” (ou “inteira”)
“1/2 bloco” (ou “meia”)
“espelho”
24 cm
14 cm
11,5 cm
Modulo 02 - 18
Peso dos Blocos:
Área do “bloco” na parede:
Portanto, quantidade de “blocos" =
Portanto, peso dos blocos = 32 x 0,024 kN = 0,77 kN (para 1m2 de parede)
Peso da argamassa de assentamento =
= (volume da parede ainda sem o revestimento – volume dos blocos cerâmicos) x peso
específico da argamassa =
Portanto, peso da arg. assent. = 0,31 kN (para 1m2 de parede)
Peso da argamassa de revestimento =
volume do revestimento x peso específico da argamassa =
Peso da parede (“1/2 bloco”) =
24 + 0,5 +0,5 = 25 cm
11,5 + 0,5 +0,5 = = 12,5 cm
cos"blo"32m125,0m25,0
m1m1
x
x
3m/kN19.m24,0.m115,0.m14,0.32m14,0.m1.m1
0,5 cm
14 cm 0,5 cm
15 cm
3m/kN19.m14,0m15,0.m1.m1
Portanto, peso da arg. revest. = 0,19 kN
(para 1m2 de parede)
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Modulo 02 - 19
= 0,77 + ,0,31 + 0,19 = 1,27 kN
( por m2 de parede)
EXEMPLO 06:
Modulo 02 - 20
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Modulo 02 - 21
6.4) Carga de parede na laje
6.4.1) Para Lajes armadas em 1 direção
a) Alvenaria na direção do menor vão (apostila Prof. Camacho):
distribuir uniformemente a carga da parede segundo uma faixa de largura (b)
dimensionar o trecho como uma viga de largura bw, altura h e vão teórico l.
Modulo 02 - 22
b) Alvenaria na direção do maior vão (apostila Prof. Camacho):
6.4.2) Para Lajes armadas em 2 direções
Critério simplificado: considerar peso total da parede distribuído
uniformemente por sobre a laje:
Quando a posição da parede não estiver definida no projeto
considerar carga distribuída por metro quadrado de piso como sendo igual ao maior valor entre:
1/3 do peso por metro linear da parede pronta 1 kN / m2
a) conhecendo o peso/m2 de parede, o comprimento, e a altura da parede, posso calcular a força total que a parede aplica na laje; b) distribuir essa força total pela área da laje, calculada em função dos vãos teóricos.
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Modulo 02 - 23
EXEMPLO 07:
Calcular o peso da parede que atua na laje (em kN/m2 de laje).
Dados:
Espessura da laje estimada em 14 cm.
Espessura da parede igual a 20 cm.
Largura das vigas estimada em 12 cm.
Peso da parede: 1,27 kN/m2 de parede.
Distância de piso a piso (“pé direito”) de 3m.
Considerar eixo da viga coincidindo com eixo de parede.
Modulo 02 - 24
0077.. RREEAAÇÇÕÕEESS DDEE AAPPOOIIOO
As lajes transferem as ações para as vigas através das suas reações de apoio.
Neste processo, a reação que vai para cada viga é proporcional a uma determinada
área definida pelas linhas de plastificação (linhas que aparecem na laje quando ela
está na iminência de ruir). As reações são consideradas uniformemente distribuídas
nas vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo.
Os triângulos e trapézios, relacionados ao carregamento que vai para cada apoio,
são obtidos traçando-se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
Notação:
Eixo x: // ao menor lado;
Eixo y: // ao maior lado
Reação vx corresponde à borda perpendicular ao eixo x.
Reação vy corresponde à borda perpendicular ao eixo y.
O apóstrofe (´) indica que se trata de uma borda engastada.
• 45 entre apoios de mesmo tipo;
• 60 a partir do apoio engastado quando o
outro for livremente apoiado;
• 90 a partir do apoio quando a borda
vizinha for livre.
Exemplos:
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Modulo 02 - 25
EXEMPLO 08:
Modulo 02 - 26
O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas, como as
encontradas em PINHEIRO (1993). As tabelas fornecem coeficientes adimensionais
com os quais calculam-se as reações:
vp
x xx
10 ; vp
x xx
' '
10 ;
vp
y yx
10 ; v
py y
x' '
10
Para as lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são calculadas a partir
dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição y x 2 .
Neste caso, o dimensionamento é feito para faixas de 1 metro de laje.
Nas Tabelas de PINHEIRO (1993) foram feitas correções para levar em conta a
possibilidade de ocorrência de engastamento parcial.
Quando isto ocorre, há um aumento da reação na borda simplesmente apoiada
oposta à borda engastada.
Os alívios decorrentes dos momentos fletores atuantes na borda engastada foram
considerados pela metade, para garantir a segurança nos casos em que esse
momento negativo não se apresentar com o valor máximo previsto, ou seja, quando
o engastamento perfeito não for assegurado.
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Modulo 02 - 27
Exemplo:
Isolando-se uma faixa de laje de largura
unitária e considerando-se a vinculação
mostrada na figura, têm-se as seguintes
reações nas bordas engastada e apoiada,
perpendiculares ao vão x .
vx=3,8 kN/mv´x=6,6 kN/m
m´x
lx
Supondo-se que, por algum motivo
(falha na concretagem, deficiência no
posicionamento das barras da
armadura junto à face superior da
laje), não ocorra o engastamento,
então as reações nos apoios serão as
mostradas na figura ao lado.
Portanto, o alívio de 1,4 kN/m ( = 5,2 - 3,8 ) que ocorreria no apoio simples
pela presença do engaste deixará de ocorrer.
Deste modo, para se estar a favor
da segurança, o cálculo pela tabela
leva em conta a possibilidade de
engastamento parcial: considera-se
que irá ocorrer um alívio no apoio
simples da ordem de 50% daquele
que ocorreria se o engaste fosse
perfeito.
Modulo 02 - 28
EXEMPLO 09:
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Modulo 02 - 29
0088.. MMOOMMEENNTTOOSS FFLLEETTOORREESS
Lajes: solicitadas essencialmente por esforços de flexão: momentos fletores e
forças cortantes.
8.1) Métodos de Cálculo
Teoria das placas delgadas (teoria da elasticidade ou de “Kirshoff”): cálculo
exato só existe para placa circular, com carga simétrica ao eixo da placa. Para
outros tipos de placas, pode-se calcular os esforços usando:
métodos analíticos (séries trigonométricas)
métodos numéricos (computador):
diferenças finitas
elementos finitos
elementos de contorno
considerando a laje como uma grelha
(elementos de barras em 2 direções)
Tabelas
8.2) Cálculo utilizando Tabelas
Serão adotadas as Tabelas apresentadas em PINHEIRO (1993), adaptadas de
BARES e admitindo-se coeficiente de Poisson igual a 0,15.
Modulo 02 - 30
Os coeficientes tabelados (x , ' x , y , ' y) são adimensionais, sendo os
momentos fletores por unidade de comprimento dados pelas expressões:
mp
x xx
2
100
mp
x xx
' '
2
100
mp
y yx
2
100
mp
y yx
' '
2
100
mx , m x' momento fletor na direção do vão x
my , m y' momento fletor na direção do vão y
Para as lajes armadas em uma direção, os momentos fletores são
calculados a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à
condição y x 2 .
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Modulo 02 - 31
8.3) Compatibilização dos Momentos Fletores
Quando lajes adjacentes puderem ser consideradas engastadas umas às outras,
para o cálculo dos momentos fletores, consideram-se os apoios internos de lajes
contínuas como perfeitamente engastados, o que representa uma idealização, visto
que, de fato, os engastes são parciais.
Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de
apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois
valores diferentes para o momento negativo. Daí a necessidade de promover a
compatibilização destes momentos.
Na compatibilização dos momentos negativos, será considerado o maior valor
entre: a média dos dois momentos e 80% do maior. Acredita-se que este critério
apresenta razoável aproximação quando os momentos, entre as lajes vizinhas, são da
mesma ordem de grandeza. Assim, o momento fletor a ser adotado para o
dimensionamento da armadura sobre o apoio é dado por:
m
m m
m'
' '
, '
1 2
2
20 80
Modulo 02 - 32
Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os
momentos positivos na direção analisada devem sofrer as devidas
correções. Se esta correção tende a diminuir o valor do momento positivo,
como ocorre na laje L1, despreza-se esta redução (a favor da segurança).
Caso contrário, se houver acréscimo no valor deste momento, a correção
deverá ser feita, somando-se ao momento fletor positivo, a média das
variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos
apoios. Assim, para o exemplo da laje L2, tem-se:
m mm
cor2 2 2,'
, com m m m' ' ' 2
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Modulo 02 - 33
EXEMPLO 10:
Modulo 02 - 34
0099.. DDIIMMEENNSSIIOONNAAMMEENNTTOO DDAASS AARRMMAADDUURRAASS
9.1) Tabelas
● Tabela 1.1 do Prof. Libânio:
considerando-se b =100 cm, calculam-se os valores de kc, de ks e
a área de armadura as (em cm2 por metro de largura da laje).
● Tabela 1.4 do Prof. Libânio:
relaciona a área calculada com o diâmetro e o espaçamento das
barras.
Área da seção de barras por metro de largura as (cm2/m)
s (espaça-
mento, em cm)
Diametro Nominal (mm) s (espaça-mento, em cm)
5,0 6,3 8,0 ... 16
5,0
5,5
...
10,0 3,12
...
33,0
Exemplo:
cm0,10cadaamm3,6 corresponde a uma área as de
m/cm12,3 2
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Modulo 02 - 35
9.2) Taxa de armadura
● Taxa de armadura: h.b
a
w
ss , com bw = 100 cm, deve respeitar os
limites da Norma.
● Esses limites dependem:
● se a laje é armada em 1 ou 2 direções
● se a área as é para armadura positiva ou negativa
Armaduras negativas: mins
Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções:
mins 67,0
Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção:
mins
Observação: Para armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção, deve-se obedecer os seguintes valores mínimos:
principal.armdado%20 s.sec.arm,s
min.sec.arm,s 5,0
m/cm9,0a 2.sec.arm,s
AGORA VEREMOS COMO É QUE CALCULA O min
Modulo 02 - 36
TABELA DA NORMA (válida para CA50, 4,1c e 15,1s ):
Quando a tabela não puder ser aplicada, deve-se calcular a Taxa Mínima
de Armadura )( min com base na Taxa Mecânica Mínima de Armadura
)( min :
%15,0
f
f.
yd
cdminmin
No caso de lajes, considerar seção retangular,.com largura igual a 100 cm:
035,0min
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Modulo 02 - 37
9.3) Outros Limites
● 8
h.long.arm , onde h = altura da laje
● Distancia livre entre barras na direção horizontal (eh):
agregadomax,
h
2,1
mm20
e
●
cm20
h2principal.armoespaçament
● cm33undáriasec.armoespaçament
Modulo 02 - 38
EXEMPLO 11:
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Modulo 02 - 39
1100.. VVEERRIIFFIICCAAÇÇÃÃOO DDAA CCOORRTTAANNTTEE
O uso de armaduras para absorver a força cortante em lajes é raro.
Pode-se dispensar a armadura transversal quando a força cortante de
cálculo obedecer à expressão:
db402,1kV
V.4,1Vonde;VV
w1RdSd
SkSd1RdSd ;
onde:
Rd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento
ctdRd f25,0 , onde: cinf,ctkctd /ff ; ctminf,ctk f.7,0f ; 3/2ckctm f3,0f
Portanto: 3/2ckRd f0375,0 , com Rd e fck em MPa
k é um coeficiente que tem os seguintes valores:
para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o
apoio: 1k
para os demais casos, 1d6,1k , com d em metros
Modulo 02 - 40
02,0quemaiornão,d.b
Aarmaduradetaxa
w
1s1 , onde:
1sA : área de armadura de tração que se estende até não menos que
nec,bd além da seção considerada
(obs.: nec,b definido no item 9.4.2.5 e figura 19.1)
bw: a largura da seção transversal ao longo da altura útil d
(no caso correspondente à largura de 100 cm).
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Modulo 02 - 41
EXEMPLO 12:
Modulo 02 - 42
1111.. FFLLEECCHHAASS (( EEssttaaddoo LLiimmiittee ddee UUttiilliizzaaççããoo))
11.1) Definição de Análise “Não-
Linear”
(Figuras e material didático
disponibilizados no site da TQS –
Informática, pelo Eng. Alio Kimura)
Vamos supor que uma estrutura
com um carregamento “P” vai
sofrer um deslocamento
horizontal “d” em um
determinado ponto.
PERGUNTA: se aplicarmos o dobro do carregamento (“2P”), qual será o
deslocamento no mesmo ponto considerado?
RESPOSTA: se a análise for LINEAR, poderemos dizer que será o dobro do
deslocamento anterior (“2d”)
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Modulo 02 - 43
OBS: agora, se a análise for NÃO-LINEAR, poderemos dizer que o
deslocamento provavelmente será maior que o dobro do deslocamento
anterior ( > “2d” ).
PERGUNTA: O que provoca o comportamento Não-Linear ?
RESPOSTA:
Modulo 02 - 44
11.1.1) Não-Linearidade Física
O concreto não apresenta
diagrama “tensão x deformação”
linear.
Conforme a solicitação vai
aumentando, o concreto vai
“amolecendo” (ou seja, o módulo
de deformação E vai diminuindo).
Além disso, devido à baixa resistência do concreto à tração, é muito
comum o concreto fissurar quando o carregamento aumenta. No cálculo
das flechas, o efeito da fissuração provoca uma diminuição da rigidez à
flexão do elemento estrutural.
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Modulo 02 - 45
11.1.2) Não-Linearidade Geométrica
É muito importante no estudo da estabilidade global de edifícios e no
projeto de pilares. Será visto com maiores detalhes nos módulos seguintes.
11.2) Relembrando o conceito de “Estádio I” e “Estádio II”.
Para calcular as flechas levando em conta o
efeito da fissuração é necessário considerar o
comportamento da seção transversal
baseado no conceito de “Estádios”.
11.2.1) Estádio I
a estrutura se deforma pouco;
seções planas permanecem planas (deformações são proporcionais à
distância da linha neutra);
as tensões normais são pequenas (o concreto resiste à tração e vale a
lei de Hooke);
o momento de inércia da seção transversal pode ser considerado igual
ao momento de inércia da seção bruta de concreto armado.
11.2.2) Estádio II
existem pequenas fissuras nas proximidades da borda inferior da
viga;
Modulo 02 - 46
despreza-se a colaboração do concreto tracionado (“concreto não
resiste à tração”);
a armadura absorve as tensões de tração em função da existência da
aderência entre os materiais.
seções planas permanecem planas (as deformações são proporcionais
à distância da linha neutra);
vale a lei de Hooke para o concreto comprimido e para a armadura
tracionada “homogeneizada” (vamos ver o que é isso a seguir!!!);
adota-se a relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo
de elasticidade secante do concreto como sendo igual a e (e = Es / Ecs ).
Comportamento estrutural da seção transversal no Estádio II
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Modulo 02 - 47
Portanto, para calcular as tensões no concreto quando a seção está
trabalhando no Estádio II, utilizam-se os conceitos da resistência dos
materiais, “homogeneizando” a seção transversal de concreto armado, ou
seja, transforma-se a área de aço tracionado em uma área de concreto
equivalente tracionado.
“Transformando” um área de aço As por uma áreade concreto equivalente Ac,eq
Para fazer essa transformação, devemos considerar duas coisas: que vale
a lei de Hooke e que o alongamento da barra de aço é igual ao
alongamento da área de concreto equivalente.
Alongamento aço = Alongamento do concreto equivalente
Modulo 02 - 48
Sendo assim, aplica-se a lei de Hooke:
Para o aço: sss
s
EA
N
E
(I)
Para o concreto: cseq,ccs
eq,c
EA
N
E
(II)
Es = módulo de elasticidade do aço = 210 000 MPa
Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto
2/1
ckf560085,0 ,
com Ecs e fck em MPa.
Igualando-se (I) e (II), tem-se que:
scs
seq,c
cseq,cssA
E
EA
EA
N
EA
N Ac,eq = e As
Segundo a teoria de resistência dos materiais, têm-se que:
a) a posição da L. Neutra está localizada no c.g. da seção homogeneizada;
b) o momento estático da seção em relação ao eixo que passa pelo c.g.
é nulo;
c) a tensão que atua na seção homogeneizada de concreto é igual a:
yI
M
IIc
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Modulo 02 - 49
Convenção de sinais para cálculo das tensões atuantes
Para relacionar a tensão na área de concreto equivalente e a tensão na
armadura basta lembrar que:
cseq.c EA
N
Podemos então dizer que:
eq,ceeq,ccs
s
cseq.csss
A
N
E
E
EA
NEE
Observação:
Para calcular a posição do c.g. da seção no estádio II, o momento estático
da seção homogeneizada em relação à Linha Neutra deve ser igual a zero.
Para calcular o momento de Inércia no estádio II, pode-se considerar
apenas o “transporte” da área homogeneizada de concreto tracionado.
Modulo 02 - 50
2se
23
II
ses
xdA.2
x.x.b
12
x.bI
02
x.x.b)xd(.A.0m
; com
cs
se
E
E
EXEMPLO 13:
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Modulo 02 - 51
11.3) Momento de Fissuração
A seção vai fissurar se:
● momento atuante (Ma,max ) > momento de fissuração (Mr).
Nesse caso, o momento “Ma,max” é calculado para combinação rara,
uma vez que, se fissurar, “é para sempre”:
● mom. atuante (Ma,max) =
= mom. permanente (Mg) + mom. acidental (Mq)
O momento “Mr” é calculado pela expressão da Resistência dos
Materiais quando a seção está “quase fissurando mas ainda não fissurou”.
Nesse caso, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta (Ic).
Portanto, da Resistência dos Materiais:
y
I
M
t I
M
Modulo 02 - 52
Portanto: t
cctr
y
I.f.M
, onde:
= fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração
na flexão com a resistência à tração direta, sendo igual a 1,5 para
seções retangulares.
yt = distância do centro de gravidade da seção bruta à fibra mais
tracionada.
Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto
fct = resistência à tração direta do concreto, definida conforme o item
8.2.5, com o quantil apropriado a cada verificação particular. Para
determinação do momento de fissuração deve ser usado o fct,m no
estado limite de deformação excessiva.
3/2
ckm,ctct f3,0ff , com fct , fct,m e fck em MPa.
11.4) Modelo de Comportamento da Estrutura
Nos estados limites de serviço, as estruturas trabalham parcialmente
no estádio I e parcialmente no estádio II.
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Modulo 02 - 53
Exemplo:
Viga de concreto armado biapoiada:
EstádioI
EstádioI
EstádioII
próximo ao apoio, o momento é pequeno e a seção trabalha no estádio I;
próximo ao meio do vão, os momentos são grandes e existe a
possibilidade da peça fissurar, trabalhando no estádio II.
Sendo assim, a NBR 6118:2003, para uma avaliação imediata em vigas,
recomenda a expressão para o cálculo do momento de inércia equivalente:
cII
3
a
rc
3
a
req II
M
M1I
M
MI
; onde:
Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto
III = momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II,
calculado com e = Es/Ec.
Ma = momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento
máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio
Modulo 02 - 54
para balanços, ppaarraa aa ccoommbbiinnaaççããoo ddee aaççõõeess aa sseerr ccoonnssiiddeerraaddaa nneessssaa
aavvaalliiaaççããoo.. NNeessssee ccaassoo,, MMaa jjáá nnããoo éé mmaaiiss oobbrriiggaattoorriiaammeennttee oo vvaalloorr uussaaddoo
ppaarraa vveerriiffiiccaarr ssee aa sseeççããoo vvaaii oouu nnããoo ffiissssuurraarr ((MMaa,,mmaaxx)),, ee vvaaii ddeeppeennddeerr ddee
qquuaall lliimmiittee ddee ddeessllooccaammeennttooss,, rreeffeerreennttee aaoo EEssttaaddoo LLiimmiittee ddee UUttiilliizzaaççããoo,,
qquuee sseerráá vveerriiffiiccaaddoo..
Mr = momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser
reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas.
11.5) Cálculo da Flecha Imediata (ai)
I.E
.p.
12
b.
100a
c
4x
i
, onde:
= coeficiente tabelado em função da vinculação e de (=y/x)
x = menor vão
b = largura da seção (no caso de lajes, b = 1 m ou 100 cm)
mrmse,I
mrmse,IcI
max,aeq
max,a
,
(lembrar que ma,max, nesse caso, é o valor calculado considerando-se a
combinação rara g + q ).
Ec = módulo de elasticidade secante
2/1
ckf560085,0 ,
com Ecs e fck em MPa.
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Modulo 02 - 55
p = valor calculado em função das cargas permanente e acidental,
dependendo do Limite e do tipo de combinação que sera usada.
Exemplo:
para verificar o Deslocamentos visíveis em elementos estruturais
usamos a combinação Quase-Permanente;
para verificar as vibrações no piso, usamos a combinação
Frequente.
Portanto:
comercialedifício/p6,0
lresidenciaedifício/p4,0onde,qgp:Frequente.Comb
comercialedifício/p4,0
lresidenciaedifício/p3,0onde,qgp:.PermQuase.Comb
1
11
2
22
(obs.: tanto uma quanto a outra verificação serão vistas no próximo item)
11.6) Flecha Diferida no Tempo para Vigas/Lajes (af)
ITEM DA NORMA:
Modulo 02 - 56
11.7) Limites para Deslocamentos
TTiippoo ddee RRaazzããoo ddaa EExxeemmpplloo DDeessllooccaammeenn-- DDeessllooccaammeennttoo CCoommbbiinnaa--
sc
Rs
Rs´
Concreto vai continuar “querendo encurtar” mas armadura “não vai deixar” ou “pelo menos vai diminuir esse efeito”
M
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Modulo 02 - 57
eeffeeiittoo lliimmiittaaççããoo ttoo aa ccoonnssiiddeerraarr
lliimmiittee ççããoo ddee aaççõõeess
Aceitabili-dade
sensorial
Visual
Deslocamentos visíveis em elementos estruturais
Total 250
Quase perma-nente
Outro
Vibrações sentidas no
piso
Devido a cargas
acidentais* 350
Fre-qüente
Observações:
Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.
Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados com contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano
maior que /350**
* Para calcular o deslocamento devido apenas a cargas acidentais, mas levando-se
em conta a fissuração que pode ter sido causada pela ação permanente, adota-se o
seguinte procedimento:
Flecha devido a cargas acidentais =
= flecha p/ comb. Frequente – flecha p/ comb. Permanente
** A contraflecha deve sempre proporcionar a menor flecha possível para o
elemento estrutural.
Exemplo: af = flecha
cf = contraflecha
Modulo 02 - 58
!OKentãoLimiteafSe
Podemos adotar um valor de cf até o limite de 350/ para que a laje
tenha a menor flecha possível.
:overificaçãnovafazere350
cfadotarentãoLimiteafSe
)lajeda.espessaumentar(!OKNÃOentãoLimitecfafse
!OKentãoLimitecfafse
TABELAS ÚTEIS:
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Modulo 02 - 59
Modulo 02 - 60
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Modulo 02 - 61
EXEMPLO 14:
Modulo 02 - 62
1122.. DDEETTAALLHHAAMMEENNTTOO DDAASS AARRMMAADDUURRAASS
Armadura Negativa: na face superior da laje
Armadura Positiva: na face inferior da laje.
1122..11 AArrmmaadduurraa nneeggaattiivvaa ssoobbrree bboorrddaa eennggaassttaaddaa
Conforme Prof. Libânio, o comprimento das barras negativas deve ser
calculado com base no diagrama de momentos fletores na região dos
apoios. Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que não
apresentem borda livre, os comprimentos podem ser determinados de
forma aproximada, com base no diagrama trapezoidal mostrado a seguir:
Adota-se como sendo igual a um dos valores:
=
o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes ,
quando ambas forem consideradas engastadas nesse
apoio;
o menor vão da laje engastada, quando a outra foi
simplesmente apoiada nesse vínculo.
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Modulo 02 - 63
Recomenda-se adotar, perpendicularmente a essa armadura negativa,
barras de distribuição que tenham as mesmas áreas e espaçamentos que os
indicados para armaduras secundárias.
1122..11..11 UUmm ssóó ttiippoo ddee bbaarrrraa
Adota-se um comprimento a1 para cada lado do apoio, com a1 sendo
igual ao maior valor mostrado a seguir:
Onde:
d5,1a deslocamento do diagrama de momentos
diâmetro da barra
b7,0 70 % do comprimento de ancoragem básico
1a
b7,0a
1025,0 (em geral, maior valor)
Modulo 02 - 64
(o que equivale a dizer que nas extremidades da barra vão
existir ganchos)
Tabela correspondendo ao:
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Modulo 02 - 65
Situações de boa e de má aderência (PINHEIRO & MUZARDO, 2003)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Modulo 02 - 66
1122..11..22 DDooiiss ttiippooss ddee bbaarrrraass
Uma alternativa ao detalhamento anterior é adotar dois comprimentos de
barra conforme a figura a seguir:
21a
b7,02
a25,0
1025,0 (em geral, maior valor)
22a
b7,0a
10
2
a25,0 (em geral, maior
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Modulo 02 - 67
1122..11..33 BBaarrrraass aalltteerrnnaaddaass ddee mmeessmmoo ccoommpprriimmeennttoo
Podem ser adotadas barras de mesmo comprimento, considerando na
alternativa anterior as expressões que, em geral, conduzem aos maiores
valores:
102
a25,01025,0aaa 2221
d75,0208
3a ; a
3
2a 21 ; a
3
1a22
Modulo 02 - 68
1122..11..44 OObbsseerrvvaaççõõeess
Em geral, os comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm.
Recomenda-se adotar barras de distribuição que tenham as mesmas áreas
e espaçamentos que os indicados para armaduras secundárias na direção
perpendicular a essa armadura
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Modulo 02 - 69
1122..22 AArrmmaadduurraa nneeggaattiivvaa ssoobbrree bboorrddaa aappooiiaaddaa
Essa armadura é
usada para evitar que
ocorra uma fissuração
excessiva na ligação
da face superior da
laje com a viga.
Não se deve adotar
espaçamento dessa
armadura superior a
33 cm.
(Figura adaptada da apostila do Prof. Camacho)
1122..33 AArrmmaadduurraa nneeggaattiivvaa ddee llaajjeess eemm bbaallaannççoo
Conforme recomendação
do prof. Libânio, sendo L o
comprimento da barra no
balanço, adota-se o
comprimento total no
trecho horizontal como
sendo igual a 2,5L. O
gancho diferenciado na
extremidade da borda livre
serve para protegê-la.
Modulo 02 - 70
1122..44 AArrmmaadduurraa ddee ccaannttoo
Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas
simplesmente apoiadas, existe uma tendência deles se levantarem
decorrente da ação de momentos volventes (ou torçores). Sendo assim,
deve-se adotar uma armadura nesta região, tanto na face superior como
na face inferior, para impedir aberturas de fissura excessivas.
Quando toda a armadura positiva (na face inferior) se estender de
apoio a apoio, faz-se necessária apenas a colocação da armadura negativa
(na face superior). Caso contrário, deve-se garantir uma armadura na face
inferior igual à adotada para a face superior.
As barras devem se estender até a distância igual a 1/5 do menor vão
teórico da laje, medida a partir das faces dos apoios. O Prof. Libânio
recomenda que a malha de armadura deva ter, em cada direção, uma área
não inferior a asx/2, onde asx é a armadura no centro da laje, na direção
mais armada.
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Modulo 02 - 71
1122..55 AArrmmaadduurraass ppoossiittiivvaass ((nnaa ffaaccee iinnffeerriioorr ddaa llaajjee))
As barras das armaduras inferiores vão estar ancoradas desde que se
estendam, além da face interna do apoio, um comprimento que seja maior
ou igual a 10 e 6 cm .
Nas extremidades do edifício, elas costumam ser estendidas até junto a
essas extremidades, respeitando-se o cobrimento especificado.
Conforme o Prof. Libânio, nos casos de barras interrompidas fora dos
apoios, seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios
especificados para as vigas.
Modulo 02 - 72
Conforme o Prof. Camacho, outros modos de ser armar a laje podem ser
vistos na figura a seguir.
TABELA: DETALHAMENTO DOS GANCHOS
ARMADURA DE TRAÇÃO:
a) b) c)
Diâmetros dos pinos de dobramento, para armadura de tração
Bitola (mm) CA – 25 CA – 50 CA - 60
< 20 4 5 6
20 5 8 _
ESTRIBOS:
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Modulo 02 - 73
Diâmetros dos pinos de dobramento, para estribos
Bitola (mm) CA – 25 CA – 50 CA - 60
t 10 3 t 3 t 3 t
10 < t < 20 4 t 5 t _
t 20 5 t 8 t _
Obs. Dimensão correspondente à altura do gancho deve respeitar a
dimensão da espessura da laje subtraída dos cobrimentos inferior e superior.
TABELA: COMPRIMENTO TOTAL DAS BARRAS COM GANCHOS comprimento calculado considerando-se a linha que passa pelo c.g. da armadura = diâmetro da barra; dob. = diâmetro interno de dobra
TR = trecho reto; L1 = projeção horizontal da barra
Modulo 02 - 74
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Modulo 02 - 75
1133.. VVEERRIIFFIICCAAÇÇÃÃOO DDAA PPUUNNÇÇÃÃOO
1133..11 DDeeffiinniiççããoo
1133..22 OOnnddee ooccoorrrree
Modulo 02 - 76
1133..33 SSuuppeerrffíícciiee ddee rruuíínnaa ((eexxeemmpplloo:: llaajjee lliissaa))
Como ficam o pilar e a laje após a ruína ?
1133..33..11 PPoossiiççããoo ddoo ppiillaarr
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Modulo 02 - 77
1133..33..22 PPrreesseennççaa ddaa aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo
Exemplo: conectores tipo pino.
Modulo 02 - 78
Influência da armadura de punção:
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Modulo 02 - 79
1133..44 TTeeoorriiaa ddee bbiieellaass ee ttiirraanntteess
a) Biela comprimida b) Tirante tracionado
Modulo 02 - 80
1133..55 MMooddeellooss ddaa SSuuppeerrffíícciiee ddee CCoonnttrroollee
1133..66 RReeccoommeennddaaççõõeess ddaa NNoorrmmaa NNBBRR 66111188::22000077
1133..66..11 LLiiggaaççããoo sseemm aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo ((22 vveerriiffiiccaaççõõeess))
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Modulo 02 - 81
1133..66..22 LLiiggaaççããoo ccoomm aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo ((33 vveerriiffiiccaaççõõeess))
1133..77 CCoollaappssoo PPrrooggrreessssiivvoo
A ruína final não é proporcional à causa inicial.
As: armadura de flexão inferior; somatória das áreas das barras que
cruzam cada uma das faces do pilar.
fyd: tensão de escoamento (valor de cálculo) da armadura
Modulo 02 - 82
Exemplo:
[ (As para 1 barra ) x 8 ] x fyd FSd
(armadura passando internamente à armadura do pilar)
Observação: a armadura deve ser colocada na face da laje à qual a força está sendo aplicada.
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Modulo 02 - 83
1133..88 FFoorrmmuulláárriioo
SSIITTUUAAÇÇÃÃOO::
PPiillaarr IINNTTEERRNNOO,, SSEEMM mmoommeennttoo fflleettoorr ddeessbbaallaanncceeaaddoo aattuuaannttee,, SSEEMM
aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo
(Para outras situações, ver apostila do Prof. Camacho)
1133..88..11 VVeerriiffiiccaaççããoo aa 22dd ddaa ffaaccee ddoo ppiillaarr
Cálculo de Sd:
onde:
Modulo 02 - 84
Cálculo de Rd1:
(lajes ou trechos sem armadura de punção)
Cuidado:
d em centímetros, fck em MPa, Rd1 em MPa
Observação:
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Modulo 02 - 85
1133..88..22 VVeerriiffiiccaaççããoo nnaa ffaaccee ddoo ppiillaarr
Cálculo de Sd:
onde:
Cálculo de Rd2:
Sugestão para unidades: fck, fcd e Rd2 em MPa
Modulo 02 - 86
EEXXEEMMPPLLOO 1155
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