Modelos de retardos distribuidos

Capitulo 11: Modelos dinámicos

CausasModelos autoregresivosModelos de retardos distribuidosModelos ADModelos ARMAXMultiplicadoresRetardo medio, retardo medianoTeorema de Mann-WaldEstimación por Variables InstrumentalesRegressores estocásticas ExpectativasHipótesis de ajustamiento

Información

• Estos transparencias no son completas.• La idea con las transparencias es dar una

estructura general y asegurar que gráficos y ecuaciones están reproducidos correctamente.

• Cada estudiante debe tomar notas adecuadas para completar las transparencias.

Introducción

– La variable endógena retarda como variable explicativa. Bajo ciertas circunstancias MCO no es consistente y hay que usar alternativas.

– El efecto de una variable explicativa puede ser repartida a largo del tiempo, es decir, efectos a corto y largo plazo.

Causas

• Causas psicológicas: • Costumbres, hábitos. Ejemplos: precio de

tabaco, nuevo peaje, nuevo impuesto.

• Incertidumbre y expectativas del futuro. Ejemplos: tipo de interés en préstamos e hipotecas.

Causas

• Causas tecnológicas:• Ejemplos: subida de precio de petróleo y

una preferencia para coches de bajo consumo o alternativas. Cambiar de coche no es instantáneo.

• Causas institucionales:• Retrasos cuando se trata de tomar

decisiones.

Causas

• Incercia:• Persistencia, es decir valores (muchas

veces) son muy parecidos para observaciones cercano en el tiempo. La frecuencia de los datos (diarios, mensuales, anuales) influye si captamos este efecto.

Tipos de modelos dinámicos

• Modelos autoregresivos• Modelos de retardos distribuidos• Modelos AD• Modelos ARMAX

Modelos autoregresivos, AR(p)• Esto es una generalización del modelo autoregresivo

unívariado; ahora el modelo incluye otras variables explicativas.

Modelos autoregresivos, AR(p)• La dinámica viene (aparte del termino

determinista ; que puede incluir un constante, tendencia lineal, variables ficticias estacióneles) a través de la variable endógena retarda.

• Para un modelo estacionario: - es necesario que las raíces del polinomio

caen fuera del círculo unidad - y que las variables explicativas son

estacionarios.

Modelos autoregresivos, AR(p)

• Se puede estimar el modelo con MCO:

• si el termino de perturbación no esté autocorrelacionado. (consistente y sesgado).

Modelos de retardos distribuidos,

• La dinámica está introducida por retardos de las variables explicativas. Si el modelo solo contiene una variable explicativa, RD(r);

),...,( 1 krrRD

Modelos de retardos distribuidos

• Cada variable explicativa puede entrar con un número de retardos diferentes.


• La variable es estacionaria si todas las variables explicativas son estacionarias.

• Estimacion: Entonces, y si los requisitos básicos del MCO son cumplidas, MCO es insesgado y consistente.

ty

Modelos de retardos distribuidos• Normalmente el modelo da una alta

multicolinealidad entre los regresores; Contrastes de significación individual son poco fiables y es mejor contrastes conjuntas.

• Se puede decidir el orden adecuado de los retardos con criterios de información, como Akaike;

( es la varianza residual y m el numero de parámetros en el modelo).

2eS


• Si el orden del modelo es infinito, es decir el número de retardos es infinito hay que imponer supuestos sobre la distribución o evolución de los coeficientes. (¡Si no hay demasiados parámetros para estimar!) Dos soluciones: Koyck y Almon.


• Modelo de Koyck

• Supongamos el modelo ;)(RD


• Esta estructura aparece en modelos con expectativas adaptativas.

Modelos de retardos distribuidos• Para estimar el modelo se puede… - poner diferentes valores de y buscar el valor que

minimizar la suma de los residuos cuadrados: (“Grid search”, “Cerca per graella”, “red de buscada”).

- multiplicar el modelo por y tener un modelo con un termino de perturbación que sigue un .

- Este es el modelo ARMAX(1,0,0,1) que vamos a estudiar luego.

)1( L)1(MA


• Modelo de Almon

• La hipótesis de Almon es que los parámetros evolucionan siguiendo una relación polinómica.

• En esta manera los infinitos parámetros , se quedan reducidas a m+1 coeficientes .

j

jj

Modelos de retardos distribuidosEjemplo en el caso de

m=2.

• Bajo este supuesto el modelo se puede escribir como;

9342

2103

2102

2101

00

2210

jjj

Modelos AD, • Si combinamos un modelo autoregresivo y

un modelo de retardos distribuidos tenemos un modelo .

),...,,( 1 krrpAD

),...,,( 1 krrpAD

Modelos AD

• Si las variables explicativas son estacionarios, las propiedades de MCO son las mismas que tienen los modelos AR(p).

Modelos ARMAX

• Este es una generalización del modelo AD adonde se permite que el termino de perturbación sigua un proceso .

),,,...,,( 1 qlrrpARMAX k

),( qlARMA

Modelos ARMAX• Ejemplo: Un es;

• Los modelos ARMA, AD, RD i AR son casos particulares del modelo ARMAX.

)0,1,1,0(ARMAX

Modelos ARMAX

Si tiene todas sus raíces fuera del círculo unidad el modelo ARMAX se puede escribir en la forma de función de transferencia:

Esta es la base para los multiplicadores.

)(Lp

Modelos ARMAX• Estimación del ecuación

con MCO normalmente da un estimador inconsistente como consecuencia de una correlación entre la variable endógena retarda el termino de error . Tenemos que usar alternativas (Sección 3.1).

tu

Multiplicadores• ¿Cuanto varia la variable y si la variable x

cambia con una determinada cuantidad, después que 0, 1 , 2, 3 … periodos?

• Nota: el parámetro no es la respuesta, porque sólo capta el efecto directo. Para conocer los efectos completas tenemos que calcular multiplicadores.

Multiplicadores• Ejemplos:

Multiplicadores

• Por ejemplo: indica la cantidad que varia y después que dos periodos como consecuencia de un incremento de una unidad de en periodo t. El multiplicador contemporáneo, el efecto inmediato, es .

• Si las variables vienen expresadas como logaritmos los multiplicadores indican una elasticidad (en corto placo).

12m

1x

10m

Multiplicadores• Los multiplicadores se calculan a través

de la representación en términos de función de transferencia del modelo:

Multiplicadores

• recoge el efecto sobre de una variación unitaria de una vez que han transcurrido periodos.

jhv tytx h

Multiplicadores

• La secuencia de coeficientes del polinomio se llama función de respuesta al impulso.

Multiplicadores• Multiplicador total o ganancia:

• El multiplicador total o ganancia asociada a la variable se define como:

• Es la suma de todos los multiplicadores dinámicos (o los coeficientes de la función de respuesta al impulso).

00 kjk

kjkj vmMg

jx

Multiplicadores• La suma tiene sentido calcular si tentemos

una serie estacionario,

• Si las variables están expresadas en logaritmos tendremos una elasticidad a largo placo.

Multiplicadores• La forma más sencilla de calcular el

multiplicador total es:

• Donde es el polinomio valorado para L=1.

)1(

)1()1(

0 p

jrj

kjkj

jvvMg

)1(jv )(Lv j

Retardo medio• Si todo los coeficientes en el polinomio

son positivas, es decir; todo los multiplicadores son positivas, se puede calcular el retardo media del efecto de x sobre y.

Retardo medio

Retardo medio

para todos i.

En el retardo 0 se ha producido una fracción del efecto total. En el

retardo 1 una fracción

es el efecto en total.

Retardo medio • Se puede calcular el retardo medio como;

• Nota;

• Entonces:

1

1

k

kjk Lk

Retardo medio• Dado que• se puede escribir;

• Y el retardo medio es:

Retardo medio

• [EJEMPLO 8]

El retardo mediano

Estimación de modelos con regresores estocásticas.

• El teorema de Mann-Wald especifica condiciones suficientes para que MCO fuera consistente con distribución normal, aunque haya regresores estocásticas (es decir no deterministas).

Mann-Wald

• 1: indica que la correlación muestral entre regresores y el término de perturbación converge a cero, el valor poblacional.

Mann-Wald

Estimación por Variables Instrumentales

• Cuando hay regresores correlacionadas con el término de perturbación, es decir cuando el supuesto no está cumplido, se puede usar estimadores con variables instrumentales.

Estimación por Variables Instrumentales

• Como solución hay que usar otros variables, es decir, variables instrumentales, que tienen que cumplir las siguientes condiciones;

• - No estar correlacionadas con el término de perturbación.

• - Estar muy correlacionadas con la variable que se desea instrumentalizar, es decir la variable que tiene la correlación con el término de perturbación.

• - No puede tener un efecto directo en la variable dependiente; entonces tendríamos que usar la variable como variable explicativa en lugar de instrumento.

Variables Instrumentales• Es necesario tener por lo menos un

instrumento por cada variable explicativa (endógena) que está correlacionada con el término de perturbación. Con estas variables se puede estimar el modelo consistente.

Variables Instrumentales

Las variables ( ) están correlacionadas con el término de perturbación y tenemos que encontrar por lo menos un instrumento ( ) por cada de estas variables.

*x

Variables Instrumentales• Escribimos el modelo en forma de

matrices:


• Los estimadores de VI son en principio sesgados, pero el sesgo desaparece a nivel asintótica dado que los estimadores VI son consistentes.


• Nota: El valor puede ser muy grande si la variable instrumental es poco correlacionada con la variable explicativa endógena ( ). Entonces la varianza del estimador sería muy elevada.

*x

Modelo bietápico (VI)

• En algunas casos hay varias variables instrumentales que se pueden usar para una variable explicativa endógena ( ).

• Entonces no es cuadrático y no se puede invertir. En estos casos se puede estimar un modelo bietápico, con los siguientes pasos;

*x

Modelo bietápico (VI)• 1. Estimar una regresión para cada variable correlacionada con el

término de perturbación sobre el resto de los regresores sin problemas y todos los instrumentos disponibles. Con esta regresión se obtiene los valores ajustados, que es una combinación lineal de las variables incorrelacionadas con el término de perturbación del modelo.

• 2. Los valores ajustados se usan como instrumentos para los variables.

Modelo bietápico (VI)

Regressores estocásticas• Si tenemos la variable endógena retardada como variable

explicativa, MCO tiene un sesgo y la tendencia que infraestimar (en valor absoluto) el valor del parámetro.

- El sesgo aumenta con el valor del parámetro.

- El sesgo es menor (en valor absoluto) con muestras más grandes.

• Si no hay correlación entre los regresores i el término de perturbación MCO es consistente y el sesgo es asimptoticamente cero.

• Con la variable endógena retardada como variable explicativa, los tests de t y F dejan de ser aplicables en muestras pequeñas.

Regressores estocásticas• Ejemplo: ARMA(1,1)

• Es decir, tenemos una correlación entre la variable endógena retarda y el termino de perturbación, que viene por la autocorrelación del termino de perturbación.

• Entonces; MCO es inconsistente. Podemos estimar el modelo por variables instrumentales. Un instrumento podría ser porque

Regressores estocásticas• Ejemplo: AD(1,0)

• Con autocorrelación en el término de perturbación. MCO es inconsistente, pero podemos usar variables instrumentales (VI) para instrumentar la variable endógena retardada. Podemos usar si no está correlacionada con el término de perturbación, y está correlacionada con (si ).

1tx

1ty 0

Regressores estocásticas• Simultaneidad

• Una variable explicativa puede ser una función de la variable dependiente, es decir el modelo tiene dos direcciones de causa. Se puede usar variables instrumentales para aclarar el efecto de la variable explicativa.

Regressores estocásticas• Errores de medida

• Considera el modelo:

• Pero está medido con un error. Lo observado es donde es una variable aleatoria que representa el error de la medida.

tx

tw

Regressores estocásticas• Para simplificar supongamos que es

ruido blanco con y

• Entonces tenemos:

con

tw2w

Regresores estocásticas• Si estimamos el modelo con MCO y la

variable observada, tenemos una correlación entre la variable y el término de perturbación.

• MCO sería inconsistente. (La segunda teorema de Mann-Wald no está cumplida).

tx

Regressores estocásticas

• El sesgo es y el error de medida tiene la consecuencia una infraestimación del valor de .

Regressores estocásticas• Nota 1: Si el ratio de señal-ruido es

muy elevado, sería pequeño y el sesgo menos importante. Es decir esto es el caso si la varianza del error de medida es pequeño comparado con la varianza de .

• Nota 2: En una regresión múltiple, todos los coeficientes serían inconsistentes con un error de medida en una variable explicativa.

tx

Regressores estocásticas• Nota 3: Si el error de medida es en la

variable dependiente y el error no está correlacionado con los regressores, se puede estimar el modelo con MCO.

Regressores estocásticas• Para estimar el modelo podemos usar variables

instrumentales. • Se puede usar el contraste de Hausman (1978) para

comparar un modelo estimado por variables instrumentales con un modelo estimado por MCO.

• La idea es comparar los parámetros estimados con los dos métodos y si son significativo diferente rechazamos la hipotes nula que no hay error en medida. Es decir, en este caso hay que usar variables instrumentales porque este método es consistente, mientras MCO es inconsistente.

Expectativas• ¿Que información es relevante para formular

expectativas?

• Si tenemos el modelo teórico,

• es la expectativa para en el periodo t. • no es directamente observable y tenemos

que trabajar con un hipótesis sobre como las expectativas se forman.

1tx

Expectativas• Expectativas ingenuas

• Es decir, la expectativa es el mismo valor como en el periodo t. Este modelo podría ser adecuado si sigue un paseo aleatorio.

tx

Expectativas

Expectativas• Expectativas adaptativas

• Las expectativas se revisan como una función del error de pronóstico para .

• ; Expectativas ingenuas. • ; Las expectativas no se revisan.

tx

0

1

Expectativas

• La expectativa es una suma ponderada entre el valor de la variable y la expectativa en el momento anterior.

• es la suma ponderada, con pesos decrecientes, de todos los valores pasados de

etx 1

tx

Expectativas• Si combinamos esta hipótesis sobre las

expectativas con el modelo teórico;

Expectativas• Estimación

Hipótesis de ajustamiento• Una relación teorética de equilibrio:

• La variable dependiente no está directamente observable.

Hipótesis de ajustamiento

• ; No hay ajustamiento. • ; El ajustamiento es instantáneo

01

Hipótesis de ajustamiento• Se puede escribir como:

• es una combinación lineal convexa entre y .

• Es una combinación lineal de los valores presentes y pasados.

ty*ty 1ty

Hipótesis de ajustamiento• Ejemplo: Minimizar costes; Hay una

diferencia un valor real y un valor optimo. • A) coste de estar y una situación no

optima (que es una función de la diferencia y ) .

• B) coste de ajustarse (que es una función de la variación de y ).

*ty ty

ty 1ty

Hipótesis de ajustamiento• Función (aditiva) de costes:

• Minimizar costes: (condición de primer orden).

• Tenemos un ajustamiento parcial, con .

Hipótesis de ajustamiento• cerca 1: El coste de estar fuera de la

posición óptima es muy grande comparado con el coste de ajustarse, el ajustamiento se hace rápidamente.

• cerca 0: El coste de estar fuera de la posición óptima es muy pequeña comparado con el coste de ajustarse, el ajustamiento se hace lentamente.

Hipótesis de ajustamiento• Con un ajustamiento parcial para la

variable dependiente, el modelo es;

Hipótesis de ajustamiento• Estimación: • 1)

Tenemos un AR(1) con un cambio de escala para todo los parámetros a la derecha.

Hipótesis de ajustamiento

Hipótesis de ajustamiento• Nota: Lo interesante son los parámetros

estructurales. Por ejemplo, si estimamos un AR(1) se puede recuperar los parámetros estructurales

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