MODELOS DE FISSURAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO … · clássicos de doze vigas de...
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CMNE/CILAMCE 2007
Porto, 13 a 15 de Junho, 2007
© APMTAC, Portugal 2007
MODELOS DE FISSURAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Marcelo Augusto da Silva Machado1*, Leandro Mouta Trautwein2, Américo Campos Filho3 e Túlio Nogueira Bittencourt4
1: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Escola Politécnica
Universidade de São Paulo
Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitária, São Paulo/SP-Brasil, 05508-900
e-mail: [email protected]
2: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Escola Politécnica
Universidade de São Paulo
Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitária, São Paulo/SP-Brasil, 05508-900
e-mail: [email protected]
3: Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Escola de Engenharia
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Av. Osvaldo Aranha, 99, 3 andar, Porto Alegre/RS-Brasil, 90035-190
e-mail: [email protected]
4: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Escola Politécnica
Universidade de São Paulo
Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitária, São Paulo/SP-Brasil, 05508-900
e-mail: [email protected]
Palavras-chave: Concreto Armado, Elementos Finitos, Cisalhamento, Fissuração
Resumo. O trabalho realizado por Bresler e Scordelis [1] definiu conceitos seguidos na
análise não-linear de estruturas de concreto armado. Em tal trabalho, estão os ensaios
clássicos de doze vigas de concreto armado com o objetivo preliminar de investigar o
comportamento crítico de vigas ao cisalhamento. Três destas vigas foram reproduzidas
numericamente a fim de se validar a plataforma desenvolvida em elementos finitos para
análise não-linear de estruturas de concreto armado sob estados planos de tensões. Os
resultados obtidos numericamente de deslocamentos e modos de fissuração foram comparados
com os resultados obtidos experimentalmente e também pelos softwares DIANA e FEMOOP,
este último desenvolvido por Gamino [2].
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
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1. INTRODUÇÃO
Este trabalho apresenta um sistema computacional, desenvolvido no software MATLAB por
Machado [3], referenciado neste trabalho por MATLAB - Machado [3], utilizando o método
dos elementos finitos, para análise não-linear de estruturas de concreto armado submetidas a
estados planos de tensões.
Considera-se o comportamento distinto do concreto à tração ao seu comportamento à
compressão. Para a fissuração do concreto sob tração, utiliza-se um modelo de fissuras
distribuidas, que leva em conta a contribuição do concreto entre fissuras. Já para o concreto
comprimido, utiliza-se uma regra de endurecimento de acordo com o Código Modelo CEB-
FIP 1990 [4].
Introduz-se a armadura no modelo como um material mais rígido, com comportamento
elastoplástico, no elemento de concreto. Assim, a matriz de rigidez da armadura tem as
mesmas dimensões a matriz de rigidez do elemento de concreto e os deslocamentos da
armadura são referenciados aos deslocamentos dos nós do elemento de concreto, somando-se
diretamente as diversas matrizes de rigidez.
Para validação do sistema computacional, comparam-se os resultados numéricos com os
clássicos resultados experimentais produzidos por Bresler e Scordelis [1], com o objetivo
de se investigar o comportamento de vigas ao cisalhamento. Também se comparam com
os resultados numéricos produzidos pelos softwares DIANA e FEMOOP, este último
desenvolvido por Gamino [2].
2. MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS DOS MATERIAIS
Para se modelar o concreto sob estado plano de tensões, utiliza-se um elemento finito
isoparamétrico quadrangular de oito nós de família Serendipity, de acordo com Hinton e
Owen [5]. Tal elemento possui dois graus de liberdade por nó, deslocamentos na direções
X e Y, com campos de deslocamentos variando de forma quadrática e campos de
deformações variando de forma linear.
Já para se modelar as barras de armadura, utiliza-se um elemento finito também
isoparamétrico mas unidimensional, permitindo-se modelar tanto barras retas, definidas
por dois nós, ou curvas, definidas por três nós. Considera-se a armadura como sendo uma
linha ou um elemento unidimensional mais rigido dentro do elemento de concreto, que resiste
apenas a esforços axiais, de acordo com o modelo incorporado de Elwi e Hudrey [6]. Este
modelo Supõe-se, também, aderência perfeita entre o concreto e o aço. Assim, considera-se
que ocorra a mesma deformação e deslocamento em nós da armadura e do concreto
localizados na mesma posição. As matrizes de rigidez da armadura e do concreto possuem as
mesmas dimensões, sendo a matriz de rigidez total de um elemento de concreto armado a
soma das duas parcelas. Utiliza-se também o procedimento desenvolvido por Elwi e Hudrey
[6] para a localização automática dos segmentos de armadura, dispostos de forma aleatória no
interior da malha de elementos finitos de concreto.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
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3. MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS
Provavelmente, a principal característica do concreto é a sua baixa resistência à tração,
quando comparada a sua resistência à compressão. Para tanto, utilizam-se dois modelos
disitintos para descrever este comportamento.
3.1. Concreto Comprimido
Considera-se que o concreto comprimido tenha um comportamento elastoplástico com
endurecimento, utilizando-se um modelo composto por um critério de ruptura, um critério
de plastificação e uma regra de endurecimento. O critério de ruptura adotado é aquele
proposto por Ottosen [7], sendo o mesmo adotado pelo Código Modelo CEB-FIP 1990
[4]. Quanto ao critério de plastificação, considera-se que o concreto não fissurado tenha
endurecimento isotrópico, cuja superfície de plastificação seja àquela de Von Mises,
sendo esta um caso particular à de Ottosen [7]. Já para a regra de endurecimento, a qual
define a maneira pela qual as superfícies de plastificação se movimentam (superfícies de
carregamento), durante a deformação plástica, adota-se a relação tensão-deformação definida
pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 [4]. No modelo implementado, considera-se plasticidade
associada, por motivos práticos, já que há poucas evidências experimentais disponíveis para
este fato, segundo Hinton e Owen [5]. Desta forma, dentro do domínio plástico, na relação
tensão-deformação, o vetor de fluxo plástico é normal à superfície de plastificação.
3.2. Concreto Tracionado
O fato de o concreto possuir baixa resistência à tração resulta na sua fissuração, para baixos
níveis de tensão, se comparados com as tensões de falha à compressão. Considera-se que o
concreto fissurado segue o modelo de fissuras distribuídas. A vantagem deste modelo é que
necessita-se apenas que se atualize a relação tensão-deformação após a ocorrência da fissura,
sem modificar-se a topologia da malha de elementos finitos durante a análise, como ocorre em
outros modelos.
No presente trabalho, o concreto sob tração é modelado como sendo um material elástico com
amolecimento (“strain-softening”) e emprega-se o critério de ruptura de Ottosen para se
distinguir o comportamento elástico da fratura à tração. Para um ponto, no interior do
elemento, previamente não-fissurado, as tensões principais e suas direções são avaliadas.
Conforme o critério estabelecido pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 [4], para um ponto de
integração cujo estado de tensão atingiu a superfície de ruptura, tem-se que:
- se σ1 ≥ ftm/2, o ponto de integração fissurou;
- se σ1 < ftm/2, o ponto de integração esmagou.
A fissura é formada no plano ortogonal à tensão principal máxima σ1. Após isso, considera-se
o concreto ortotrópico, sendo desprezado o efeito de Poisson, conforme Hinton [8], e os eixos
materiais locais coincidem com as direções das tensões principais. A direção da fissura é
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admitida permanecer fixa, sendo isto conhecido como aproximação da fissura fixa. Como se
trata de estado plano de tensão, permite-se apenas uma única fissura, para cada ponto no
interior do elemento de concreto. Para um ponto já fissurado, verifica-se a formação de uma
segunda fissura, que, por simplicidade, seria ortogonal à primeira fissura. Se ocorrerem duas
fissuras, supõe-se que o concreto não colabora mais na resistência da estrutura, tendo suas
tensões anuladas no ponto em questão.
Calcula-se a direção da fissura, resolvendo-se um problema de autovetores. Calculam-se
também os co-senos diretores dos ângulos formados entre o autovalor equivalente à tensão
principal máxima, σ1 e o estado de tensão que originou a fissura.
Após a fissuração, adota-se que o concreto tracionado segue uma curva exponencial de
amolecimento de deformações (“strain-softening”), de acordo com Hinton [8]. Essa curva de
amolecimento é aplicável somente ao concreto e desconsidera-se o efeito de rigidez à tração
pela presença da armadura.
Assim como a tensão normal ao plano da fissura, a tensão paralela ao plano da fissura também
sofre uma modificação. Duas situações possíveis podem acontecer: a deformação nesta
direção ser de compressão, onde, para este caso, sugere-se que a tensão correspondente se
comporte de acordo com o diagrama de um ensaio uniaxial à compressão, segundo o Código
Modelo CEB-FIP 1990 [4]. Por outro lado, se a deformação, na direção analisada, for de
tração, adota-se uma relação tensão-deformação linear. O limite superior desta relação é a
resistência à tração do concreto. Se este limite for atingido, supõe-se que o concreto esteja
fissurado nas duas direções e as tensões, no ponto, passam a serem nulas. Em ambos os casos,
desconta-se a deformação considerada da deformação de fissuração.
3.3. Rigidez Transversal do Concreto Fissurado
Como uma regra geral, as primeiras fissuras que aparecem no concreto sob tração são
perpendiculares à direção da mais alta tensão principal de tração do concreto, σ1. As direções
principais se modificam, por mudanças no carregamento ou por não-linearidades da estrutura,
produzindo deslocamentos relativos das faces rugosas da fissura. Isto causa o surgimento de
tensões de corte no plano da fissura. O valor destas tensões de corte depende das condições
locais na fissura. O principal mecanismo de transferência de esforços transversais é o
engrenamento dos agregados e as principais variáveis envolvidas são o tipo e a granulometria
dos mesmos. Além disso, o efeito de pino da armadura que cruza a fissura (“dowell effect”)
tem também importância na transferência de esforços. Neste caso, as principais variáveis
envolvidas são o diâmetro das barras, a taxa de armadura e a inclinação das barras em relação
ao plano da fissura. Ambos mecanismos são controlados pela abertura da fissura, que, quando
aumenta, faz com que se reduza a capacidade de transferência de corte (“shear transfer”).
Não se pode incluir diretamente os mecanismos acima mencionados no modelo de fissuras
distribuídas. Nos modelos de fissura fixa, tais mecanismos podem ser aproximados, conforme
sugere Cervenka [9], reduzindo-se o valor do módulo de elasticidade transversal do concreto,
G, através de um fator β que varia entre 0 e 1. Para tanto, adota-se a fórmula para β dada por
Cervenka [9], também utilizada por Hinton [8].
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4. PROGRAMA COMPUTACIONAL DIANA
DIANA (DIsplacement Method ANAlyser) é um programa de elementos finitos utilizado para
a análise não-linear de estruturas, desenvolvido pela TNO Building and Construction
Research na Holanda. O DIANA oferece a possibilidade de se trabalhar com o modelo de
fissuração discreta (discrete crack model) e com o modelo de fissuração distribuída (smeared
crack model). As simulações numéricas realizadas neste trabalho utilizaram apenas o modelo
de fissuração distribuída. Neste trabalho, adota-se o modelo “Multi Directional Fixed Crack
Model” para se controlar a abertura e a orientação das fissuras em um determinado ponto. O
modelo incremental “Multi-Directional Fixed Crack Model” é caracterizado por combinar o
modelo de fissuração distribuída para a tração e um modelo plástico para a compressão. Esse
modelo permite abrir várias fissuras em um mesmo ponto.
Para representar o comportamento do concreto armado fissurado na tração, utiliza-se o
“tension stiffening”. Na literatura o termo “tension stiffening” é a contribuição do concreto à
tração nos trechos contidos entre fissuras, e está relacionado diretamente com a taxa e
diâmetro da armadura e com espaçamento entre as fissuras. Após o surgimento da primeira
fissura, em um certo estágio de carregamento a abertura da fissura irá se estabilizar por efeito
da armadura, e mesmo com o aumento da carga esta fissura não se propagará, apenas a
respectiva abertura aumentará. O concreto armado fissurado é capaz de transmitir tensões
entre duas fissuras adjacentes, através da armadura, conferindo asssim uma certa rigidez
adicional. A curva tensão x deformação para simular este efeito do “tension stiffening” é
ilustrada na Figura 1. Os parâmetros deste modelo são αt e εm , como se observam na Figura
1, onde εm é a deformação máxima do concreto na tração e αt o fator que reduz a tensão de
tração após a formação da primeira fissura.
Figura 1. Diagrama tension stiffening disponível no Diana[10].
Para o tratamento da compressão do concreto utiliza-se o modelo clássico de ruptura de Mohr-
Coulomb. Com relação ao efeito da redução da rigidez ao cisalhamento (β) nas análises
realizadas o parâmetro β foi igual a 0,2.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
6
Para representar as armaduras utilizam-se elementos do tipo embedded reinforcement,
permitindo simular a armadura como incorporada ao concreto. Adota-se o modelo de ruptura
de Von Mises, com a equação constitutiva do material seguindo um modelo elasto-plástico
perfeito para representar o comportamento do aço. Os elementos finitos utilizados para o
concreto são os do tipo QU8 (oito nós) quadráticos para análises em estado plano de tensões.
Aplica-se o carregamento através de incrementos de deslocamentos até que se atinja a ruptura
da viga. Adota-se uma tolerância para o critério de convergência na ordem de 10-4, fazendo-se
equilíbrio de energia.
5. DETALHES DAS VIGAS DE BRESLER E SCORDELIS[1]
Bresler e Scordelis [1] ensairam doze vigas divididas em quatro grupos contendo três vigas
cada. Neste trabalho, analisam-se o grupo de vigas OA (sem armaduras de cisalhamento),
utilizando-se o MATLAB-Machado [3], o DIANA, e o FEMOOP de Gamino [2]. A Tabela 1
e 2 apresentam respectivamente o resumo das vigas ensaiadas e as propriedades físicas e
mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados. Os detalhes da seção transversal das vigas
são ilustrados na Figura 2.
Viga bw(mm) h(mm) d(mm) L(mm) Vão(mm) As OA1 310 556 461 4100 3660 4 no 9
OA2 305 561 466 5010 4570 5 no 9
OA3 307 556 462 6840 6400 6 no 9
Tabela 1. Detalhes das vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1].
Aço Barra Diâmetro(mm) Área(mm2) fy(MPa) fu(MPa) Es(MPa) no 9 28,7 645 555 933 218.000
no 4 12,7 127 345 542 201.000
no 2 6,4 32,2 325 430 190.000
Concreto Viga fc(MPa) ft(MPa) Ec (Mpa) OA1 22,6 3,97 36.500
OA2 23,7 4,34 32.900
OA3 37,6 4,14 34.300
Tabela 2. Propriedades dos materiais utilizados nas vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1].
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7
Figura 2 – Detalhes da seção transversal das vigas de Bresler e Scordelis[1].
5. RESULTADOS OBTIDOS
Neste item compara-se os resultados numéricos produzidos pelo MATLAB - Machado [3] e
também pelos softwares DIANA e FEMOOP [2] com os cássicos resultados experimentais
produzidos por Bresler e Scordelis [1]. Para a validação da análise numérica realizada serão
utilizadas a curvas do tipo carga-deslocamento, as tensões no concreto e o padrão de
fissuração comparado com a resposta experimental.
A Tabela 3 ilustra os resultados obtidos em termos de carga de ruptura e deslocamentos na
ruptura obtidos pelos três programas utilizados nas modelagens. As curvas força-
deslocamento obtidas encontram-se na Figuras 3, 4 e 5.
Pu(kN) δδδδu(mm)
Viga Exp. Machado [3]
DIANA Femoop [2]
Exp. Machado [3] DIANA Femoop [2]
OA1 334 347 358 368 6,6 7,9 7,5 6,4
OA2 356 338 363 365 11,7 12,2 12,4 12,1
OA3 378 374 367 380 27,9 28,5 24,6 32,4
Tabela 3 Resultados obtidos nas modelagens das vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1].
De um modo geral obteve-se boa correlação entre as respostas numéricas e os resultados
experimentais de Bresler e Scordelis. Com relação aos deslocamentos calculados com o
MATLAB - Machado [3] estes foram em média 4% superiores para as vigas OA2 e OA3 e
cerca de 17% superior para a viga OA1 em comparação aos resultados experimentais. Os
deslocamentos obtidos pelo programa DIANA foram em média 6% superiores em relação aos
obtidos experimentalmente para as vigas OA1 e OA2. Porém a viga OA3 apresentou um
comportamento mais rígido no DIANA em relação ao MATLAB - Machado [3] também ao
experimental. As cargas de ruptura obtidas nas modelagens numéricas ficaram muito
próximos das respostas experimentais. A Tabela 4 apresenta a relação entre a carga e os
deslocamentos de ruptura experimental e as cargas e os deslocamentos alcançadas a partir das
modelagens realizadas.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
8
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Força (kN)
Deslocamento (mm)
Experimental
FEMOOP [2]
MATLAB -Machado [3]
DIANA
Figura 3. Resultados obtidos para a viga OA1.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Força (kN)
Deslocamento (mm)
Experimental
FEMOOP[2]
MATLAB -Machado[3]
DIANA
Figura 4. Resultados obtidos para a viga OA2.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
9
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 5 10 15 20 25 30 35
Força (kN)
Deslocamento (mm)
Experimental
FEMOOP[2]
MATLAB -Machado [3]DIANA
Figura 5. Resultados obtidos para a viga OA3.
Pu(kN) δδδδu(mm)
Viga Vexp./Vnum
Machado [3]
Vexp./Vnum
DIANA
Vexp./Vnum
Femoop [2]
δδδδu exp./ δ δ δ δu num
Machado [3]
δδδδu exp./ δ δ δ δu num
DIANA
δδδδu exp./ δ δ δ δu num
Femoop [2]
OA1 0,96 0,93 0,91 0,84 0,88 1,03
OA2 1,05 0,98 0,97 0,96 0,94 0,97
OA3 1,01 1,03 0,99 0,98 1,13 0,86
Tabela 4 Relação entre as cargas de ruptura e os deslocamentos experimentais com os obtidos numericamente.
Com o objetivo de validar e verificar os modelos numéricos adotados as Figuras 6, 7 e 8
apresentam respectivamente o padrão de fissuração obtido experimentalmente e
numericamente nas vigas OA1, OA2 e OA3 . As fissuras no modelo experimental e nos
modelos numéricos foram muito semelhantes. As primeiras fissuras surgiram próximas a
região, na qual o carregamento foi aplicado desenvolvendo-se em direção ao apoio da viga.
Este processo foi verificado em todas as análises realizadas.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
10
Padrão de fissuração obtido experimentalmente.
(*) fissuras nas duas direções
Padrão de fissuração obtido pelo MATLAB - Machado [3].
Padrão de fissuração obtido pelo DIANA
Figura 6. Padrão de fissuração obtido para a viga OA1.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
11
Padrão de fissuração obtido experimentalmente.
(*) fissuras nas duas direções
Padrão de fissuração obtido pelo MATLAB - Machado [3].
Padrão de fissuração obtido pelo DIANA.
Figura 7. Padrão de fissuração obtido para a viga OA2.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
12
Padrão de fissuração obtido experimentalmente.
(*) fissuras nas duas direções
Padrão de fissuração obtido pelo MATLAB - Machado [3].
Padrão de fissuração obtido pelo DIANA.
Figura 8. Padrão de fissuração obtido para a viga OA3.
As Figuras 9, 10 e 11 apresentam respectivamente as tensões de cisalhamento no concreto
obtidas pelo MATLAB - Machado [3] e pelo programa DIANA. As tensões de cisalhamento
obtidas eram elevadas na região próxima ao apoio e ao local de aplicação do carregamento.
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13
DIANA: Valores em kN/cm2
MATLAB - Machado [3]: Valores em kN/cm
2
Figura 9. Tensões de cisalhamento “τxy” no concreto obtidas para a viga OA1.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
14
DIANA: Valores em kN/cm2
MATLAB - Machado [3]: Valores em kN/cm2
Figura 10. Tensões de cisalhamento “τxy” no concreto obtidas para a viga OA2.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
15
DIANA: Valores em kN/cm
2
MATLAB - Machado [3]: Valores em kN/cm
2
Figura 11. Tensões de cisalhamento “τxy” no concreto obtidas para a viga OA3.
De uma maneira geral os resultados encontrados foram satisfatórios e capazes de prever o
comportamento das vigas OA1, OA2 e OA3 que romperam por cisalhamento.
6. CONCLUSÕES
Este trabalho procurou reproduzir numericamente os ensaios clássicos de vigas de concreto
armado a fim de validar um programa de elementos finitos desenvolvido por Machado [3],
MATLAB - Machado [3]. Os resultados obtidos por este programa também foram
comparados com as respostas produzidas pelo FEMOOP, desenvolvido por Gamino [2] e pelo
software DIANA. Após a realização destes trabalhos pode-se concluir que:
a) De um modo geral obteve-se boa correlação entre as respostas numéricas e os resultados
experimentais de Bresler e Scordelis;
b) Os deslocamentos determinados numericamente ficaram muito próximos das respostas
experimentais, para as vigas OA1, OA2 e OA3;
c) Em termos de carga de ruptura, os valores obtidos nas análises numéricas comparadas com
os resultados experimentais apresentaram boa aproximação.
Marcelo A. S. Machado, Leandro M. Trautwein, Américo Campos Fo. e Túlio N. Bittencourt
16
REFERÊNCIAS
[1] B. Bresler e A. C. Scordelis, “Shear strength of reinforced concrete beams”,
Journal of American Concrete Institute, n. 60, v.1, pp.51-72, (1963).
[2] A. L. Gamino, Modelagem computacional de estruturas de concreto armado
reforçadas com FRP, Tese de Doutorado, Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo, p.275, (2007).
[3] M. A. S. Machado, “Aplicação do método dos elementos finitos para análise
elasto-viscoplástica de peças de concreto armado e protendido”, Dissertação de
Mestrado, PPGEC – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 150p., (2002).
[4] Comité Euro-International du Beton, CEB-FIP model code 1990, Lausanne, 1993.
(Bulletin d’Information, 213/214).
[5] E. Hinton e D. R. J. Owen, Finite element in plasticity: theory and practice,
Swansea, Pineridge Press, 594p., (1980).
[6] A. E. Elwi e T. M. Hudrey, “Finite element model for curved embedded
reinforcement”, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, v. 115, n. 4, pp.
740-745, Abril, (1989).
[7] N. S. Ottosen, “A failure criterion of concrete”, Journal of Engineering Mechanics
Division, ASCE, v. 103, n. 4, pp. 527-535, Agosto, (1977).
[8] E. Hinton, Numerical Methods and software for dynamic analysis of plates and shells,
Swansea: Pineridge Press, 550p., (1988).
[9] V. Cervenka, “Constitutive model for cracked reinforced concrete”, Journal of the
American Concrete Institute, v.82, n.6, pp. 877-882, (1985).
[10] TNO Building and Construction Research. Diana User’s Manual – Release 8.1. Delft,
Netherlands, 2001.