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UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍCENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA TERRA E DO MAR

CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO

AMBIENTE COMPUTACIONAL PARA MODELAGEM ESIMULAÇÃO DE REDES BAYESIANAS

Área de Inteligência Artificial

por

Thales Lange

Raimundo Celeste Ghizoni Teive, Dr. Orientador

São José (SC), dezembro de 2008

UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍCENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA TERRA E DO MAR

CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO

AMBIENTE COMPUTACIONAL PARA MODELAGEM ESIMULAÇÃO DE REDES BAYESIANAS

Área de Inteligência Artificial

por

Thales Lange

Relatório apresentado à Banca Examinadora do Trabalho de Conclusão do Curso de Engenharia de Computação para análise e aprovação.Orientador: Raimundo C. Ghizoni Teive, Dr.

São José (SC), dezembro de 2008

SUMÁRIO

LISTA DE ABREVIATURAS....................................................................................vLISTA DE FIGURAS................................................................................................viLISTA DE TABELAS...............................................................................................viiLISTA DE EQUAÇÕES..........................................................................................viiiRESUMO.....................................................................................................................ixABSTRACT.................................................................................................................x1. INTRODUÇÃO.......................................................................................................11.1. PROBLEMATIZAÇÃO................................................................................................................31.1.1. Formulação do Problema...........................................................................................................31.1.2. Solução Proposta.........................................................................................................................31.2. OBJETIVOS...................................................................................................................................41.2.1. Objetivo Geral.............................................................................................................................41.2.2. Objetivos Específicos...................................................................................................................41.3. METODOLOGIA...........................................................................................................................41.4. ESTRUTURA DO TRABALHO..................................................................................................52. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..........................................................................62.1. PROBABILIDADE........................................................................................................................62.1.1. Probabilidade incondicional.......................................................................................................62.1.2. Probabilidade condicional..........................................................................................................62.1.3. Probabilidade conjunta e regra fundamental da probabilidade............................................72.1.4. Regra de Bayes.............................................................................................................................82.1.5. Regra da cadeia............................................................................................................................82.2. REDES BAYESIANAS..................................................................................................................92.2.1. Redes causais..............................................................................................................................102.2.2. Evidências...................................................................................................................................112.2.3. D-separação em redes causais..................................................................................................122.2.3.1. Conexões seriais......................................................................................................................122.2.3.2. Conexões divergentes.............................................................................................................122.2.4. Propagação de evidências.........................................................................................................132.2.4.4. Rede Bayesiana dada a evidência M Ligou.........................................................................222.2.4.6. Rede Bayesiana dada as evidências em M Ligou e J Ligou...............................................242.3. ALGORITMOS PARA PROPAGAÇÃO DE EVIDÊNCIAS.................................................252.3.1. Junction Tree.............................................................................................................................262.3.1.1. Grafos triangulados................................................................................................................262.3.1.2. Grafos de domínios não triangulados..................................................................................292.3.1.3. Construção da join tree..........................................................................................................312.3.1.4. Marginalização e normalização............................................................................................322.3.1.5. Propagação na junction tree.................................................................................................332.3.2. Amostragem de Gibbs...............................................................................................................352.3.2.1. Cálculo das probabilidades dos estados...............................................................................362.3.2.2. Influência do número de amostras.......................................................................................382.3.2.3. Cálculo das probabilidades dos estados dado evidências..................................................402.3.2.4. Influência do número de amostras dado evidências...........................................................413. DESENVOLVIMENTO........................................................................................443.1. VISÃO DE NEGÓCIO................................................................................................................44

iii

3.1.2.1. Requisitos funcionais..............................................................................................................453.1.2.2. Requisitos não funcionais......................................................................................................483.1.2.3. Regras de negócio...................................................................................................................493.2. VISÃO DE CASO DE USO.........................................................................................................493.2.1. Ator do sistema: Projetista.......................................................................................................503.2.2. Telas do sistema.........................................................................................................................503.2.3. Casos de Uso...............................................................................................................................513.3. VISÃO DINÂMICA.....................................................................................................................513.3.1. Pacotes do sistema.....................................................................................................................523.3.2. Diagramas de classe por componente.....................................................................................533.3.3. Diagramas de atividade da interface de desenho...................................................................583.3.4. Algoritmos para propagação de evidências............................................................................604. SIMULAÇÕES......................................................................................................634.1. REDE BAYESIANA PARA ANÁLISE DO MERECIMENTO DO CRÉDITO..................634.2. AMOSTRAGEM DE GIBBS......................................................................................................644.2.1. Simulação sem evidências.........................................................................................................644.2.2. Simulação com múltiplas evidências.......................................................................................654.2.3. Influência do número de amostras..........................................................................................674.2.4. Desempenho...............................................................................................................................684.3. JUNCTION TREE.......................................................................................................................704.3.1. Grafo moral................................................................................................................................704.3.2. Triangulação..............................................................................................................................704.3.3. Construção da Join Tree...........................................................................................................714.3.4. Simulação sem evidências.........................................................................................................724.3.5. Simulação com evidências........................................................................................................744.3.6. Considerações finais da implementação do Junction Tree...................................................755. CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................765.1. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.....................................................................77

iv

LISTA DE ABREVIATURAS

GUI Graphical User InterfaceIA Inteligência ArtificialINPE Instituto Nacional de Pesquisas EspaciaisTCC Trabalho de Conclusão de CursoUFV Universidade Federal de ViçosaUML Unified Modeling LanguageUNIVALI Universidade do Vale do Itajaí

v

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Um grafo cíclico. Isto não é permitido nas Redes Bayesianas...............................................10Figura 2. Rede causal para o problema reduzido da falha da partida do motor de um carro.................11Figura 3. Rede causal com conexão serial..............................................................................................12Figura 4. Rede causal com conexão divergente......................................................................................13Figura 5. Rede causal com conexão convergente...................................................................................13Figura 6. Rede Bayesiana para o problema do alarme...........................................................................14Figura 7. Rede Bayesiana com probabilidades dos estados...................................................................18Figura 8. Rede Bayesiana para o problema do alarme dada a evidência MLigou.................................23Figura 9. Rede Bayesiana para o problema do alarme dada as evidências MLigou e JLigou...............25Figura 10. Grafo moral não direcionado para a rede causal do problema do alarme.............................27Figura 11. Grafo resultante dado a eliminação do nó Alarme................................................................28Figura 12. Eliminação das variáveis Ladrão, Terremoto e Maria..........................................................29Figura 13. Grafo moral não triangulado..................................................................................................29Figura 14. Grafo moral G' não triangulado, depois da seqüência de eliminação A, C, H, I e J............30Figura 15. Os cliques, separadores e índices resultantes da Figura 10...................................................32Figura 16. Join tree para cliques e separadores da Figura 15.................................................................32Figura 17. Junction Tree para o problema do alarme.............................................................................34Figura 18. Junction Tree com transmissão de mensagens, dado a evidência MLigou..........................34Figura 19. Junction Tree com transmissão de mensagens, dado a evidência JLigou............................35Figura 20. Fluxograma do algoritmo amostragem de Gibbs..................................................................37Figura 21. Gráfico erro (%) versus número de amostras para LSim e JLigou (1º ensaio)..........................39Figura 22. Gráfico erro (%) versus número de amostras para LSim e JLigou (2º ensaio)..........................39Figura 23. Gráfico erro médio (%) versus número de amostras para LSim e JLigou.................................39Figura 24. Gráfico erro (%) versus número de amostras para TSim e LNão (1º ensaio)............................41Figura 25. Gráfico erro (%) versus número de amostras para LNão e TSim (2º ensaio)............................42Figura 26. Gráfico erro médio (%) versus número de amostras para TSim e LNão...................................42Figura 27. Tela de desenho e simulação (TFMain)................................................................................50Figura 28. Telas para configurações: (a) TFBNProperties ; (b) TFNodeProperties..............................51Figura 29. Casos de Uso..........................................................................................................................51Figura 30. Pacotes do sistema: (a) pacotes da visão macro; (b) pacotes do Motor da BN....................52Figura 31. Diagramas de componentes: (a) visão macro; (b) Motor da RB..........................................53Figura 32. Diagramas de classe para o componente Interface Gráfica..................................................54Figura 33. Diagramas de classe para o componente Desenho................................................................54Figura 34. Diagramas de classe para o componente Motor da RB.........................................................56Figura 35. Diagrama de classe para o componente Controladora..........................................................58Figura 36. Diagrama de atividade para a ferramenta de inserção de arestas entre nós..........................59Figura 37. Diagrama de atividade para a ferramenta de seleção............................................................59Figura 38. Visão macro da implementação do algoritmo JunctionTree.................................................60Figura 39. Triangular o grafo G..............................................................................................................61Figura 40. Determinar os cliques e separadores.....................................................................................61Figura 41. Conectar os separadores aos seus respectivos cliques..........................................................62Figura 42. Rede Bayesiana para análise do merecimento do crédito.....................................................63Figura 43. Erro médio e máximo conforme o número de amostras.......................................................68Figura 44. Erro médio e tempo de execução versus número de amostras..............................................69Figura 45. Grafo moral............................................................................................................................70

vi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Tabela de probabilidades condicionais.....................................................................................7Tabela 2. Nomes das variáveis e estados................................................................................................14Tabela 3. Probabilidades incondicionais para as variáveis: (a) Ladrão; (b) Terremoto.........................15Tabela 4. P (A | L , T)..............................................................................................................................16Tabela 5. P (J | A)....................................................................................................................................16Tabela 6. P (M | A)..................................................................................................................................16Tabela 7. P (A , L , T) e P (A).................................................................................................................17Tabela 8. P (J , A) e P (J).........................................................................................................................17Tabela 9. P (M , A) e P (M).....................................................................................................................18Tabela 10. P (A | e = M Ligou)...................................................................................................................19Tabela 11. P (J , A) e P(J | e = M Ligou)....................................................................................................19Tabela 12. P (A , T).................................................................................................................................20Tabela 13. P (A | T).................................................................................................................................20Tabela 14. P (T | A) não normalizadas....................................................................................................20Tabela 15. P (T | A ) normalizadas..........................................................................................................21Tabela 16. P (T , A) e P (T | e = M Ligou)..................................................................................................21Tabela 17. P (A , L).................................................................................................................................21Tabela 18. P (A | L).................................................................................................................................22Tabela 19. P (L | A) não normalizadas....................................................................................................22Tabela 20. P ( L | A) normalizadas..........................................................................................................22Tabela 21. P ( L , A ) e P (L | e = M Ligou)................................................................................................22Tabela 22. P (A | e = M Ligou , J Ligou)........................................................................................................24Tabela 23. P (T , A) e P(T | e = M Ligou , J Ligou).......................................................................................24Tabela 24. P (L , A) e P (L | e = M Ligou , J Ligou)......................................................................................24Tabela 25. Domínio para cada variável...................................................................................................27Tabela 26. Domínio para cada variável do grafo da Figura 13..............................................................30Tabela 27. Domínio para cada variável do grafo G'...............................................................................30Tabela 28. P (A , L , T) e P (A)...............................................................................................................33Tabela 29. Cobertura de Markov para as variáveis da Rede Bayesiana da Figura 6 ............................36Tabela 30. Vetor com estados aleatórios para as variáveis....................................................................36Tabela 31. Amostragem de Gibbs e erro percentual...............................................................................38Tabela 32. Amostragem de Gibbs e erro percentual, dada as evidências MLigou e JLigou.................40Tabela 33. Probabilidades a posteriori e erro..........................................................................................65Tabela 34. Evidências instanciadas ........................................................................................................66Tabela 35. Probabilidades a posteriori e erro – múltiplas evidências....................................................67Tabela 36. Probabilidades a posteriori e diferença.................................................................................73Tabela 37. Probabilidades a posteriori e diferença, para simulação com múltiplas evidências............74Tabela 38. Evidências instanciadas.........................................................................................................75

vii

LISTA DE EQUAÇÕES

Equação 1...................................................................................................................................................6Equação 2...................................................................................................................................................6Equação 3...................................................................................................................................................7Equação 4...................................................................................................................................................7Equação 5...................................................................................................................................................7Equação 6...................................................................................................................................................7Equação 7...................................................................................................................................................8Equação 8...................................................................................................................................................8Equação 9...................................................................................................................................................8Equação 10.................................................................................................................................................8Equação 11.................................................................................................................................................9Equação 12.................................................................................................................................................9Equação 13...............................................................................................................................................17Equação 14...............................................................................................................................................17Equação 15...............................................................................................................................................17Equação 16...............................................................................................................................................19Equação 17...............................................................................................................................................19Equação 18...............................................................................................................................................20Equação 19...............................................................................................................................................20Equação 20...............................................................................................................................................20Equação 21...............................................................................................................................................21Equação 22...............................................................................................................................................31Equação 23...............................................................................................................................................33Equação 24...............................................................................................................................................33Equação 25...............................................................................................................................................33Equação 26...............................................................................................................................................33Equação 27...............................................................................................................................................33Equação 28...............................................................................................................................................34Equação 29...............................................................................................................................................36Equação 30...............................................................................................................................................37Equação 31...............................................................................................................................................68

viii

RESUMO

LANGE, Thales. Ambiente Computacional para modelagem e simulação de Redes Bayesianas. São José, 2008. 98 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia de Computação)–Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar, Universidade do Vale do Itajaí, São José, 2008.

O presente trabalho aborda o paradigma simbólico da Inteligência Artificial (IA), especificamente as Redes Bayesianas. Como as Redes Bayesianas possuem um modelo matemático considerado NP-Difícil e necessitam de um modelo conceitual adequado para que um sistema computacional raciocine coerentemente, desenvolveu-se um ambiente computacional para modelagem visual e simulação de Redes Bayesianas, onde o modelo matemático para propagação de evidências é abstraído. Antes do desenvolvimento do ambiente computacional, verificou-se a necessidade de conhecer os princípios básicos das Redes Bayesianas, como a regra fundamental da probabilidade, regra de Bayes, regra da cadeia de Bayes, probabilidades condicionais e incondicionadas, evidências, redes causais, d-separação e algoritmos para propagação de evidência. Com intuito de não comprometer a aplicabilidade real das Redes Bayesianas, necessita-se utilizar algoritmos eficientes para a propagação de evidências, uma vez que considera-se esta tarefa NP-Difícil. A fim de atender ao critério de precisão, com custo computacional aceitável, implementou-se o algoritmo exato Junction Tree e como alternativa, também implementou-se o algoritmo de simulação amostragem Gibbs. Para a implementação do ambiente computacional, inicialmente realizou-se a modelagem completa do sistema no Enterprise Architect, com foco na minimização do acoplamento e generalização das classes e componentes, para aumentar a reusabilidade. Depois de concebida a arquitetura do sistema, realizou-se a codificação do modelo conceitual em linguagem C++, com o auxílio das bibliotecas gráficas do QT. Após a implementação, determinou-se o processo de avaliação do sistema, principalmente dos algoritmos. O processo de avaliação ocorreu através do emprego da Rede Bayesiana da análise do merecimento do crédito. Com essa Rede Bayesiana, realizou-se ensaios comparativos entre os algoritmos desenvolvidos e um algoritmo exato, proveniente de um software comercial. Para o algoritmo amostragem de Gibbs realizou-se ensaios com intuito de verificar a precisão das probabilidades posteriores e mensurar o seu desempenho computacional. Para o algoritmo Junction Tree, realizou-se ensaios para verificação da acurácia do algoritmo, além da descrição do processo de cálculo das probabilidade a posteriori.

Palavras-chave: IA, Redes Bayesianas, algoritmos para propagação de evidência.

ix

ABSTRACT

This present work approaches the symbolic paradigm of Artificial Intelligence (AI), especially the Bayesian Networks. As the Bayesian Networks have a mathematical model considered NP-Hard and they need a suitable conceptual model so that a computational system reasoning consistently, a computational environment was developed to model, and simulate, Bayesian Networks,where, the mathematical model to belief update is abstracted. Before the develop of computational environment, the author found the necessity to know the basic principles of the Bayesian Networks, as the probability's key rule, Bayes' rule, Bayes' chain rule, unconditional probability and conditional probability, evidences, causal networks, d-separation and belief update algorithms. In order to avoid jeopardizing the real applicability of the Bayesian Networks, the algorithms must be efficient, since the belief update is considered NP-Hard. In order to meet the precision, with acceptable cost, the Junction Tree algorithm was developed, and as alternative, the algorithm Gibbs Sampling. Before the develop of computational system, the system was fully modeled in the Enterprise Architect, as focus on minimizing the coupling and generalizing the classes and components to achieve better re usability. After the system's architecture was designed, the conceptual model was codified in the language C++, with the help of QT's graphical libraries. After the system's develop, the system was assessed, specially the algorithms. The assessment occurred through the use of the Bayesian Network to analysis of credit worthiness. With this Bayesian Network was realized comparative trials between the algorithms developed and a commercial software algorithm. For the algorithm Gibbs sampling, trials were realized in order to check the probability precision, and measure the computational performance. For the Junction Tree algorithm was realized trials to check the accuracy, beyond the process description of the probability's calculus

Keywords: AI, Bayesian Networks,belief update algorithms

x

1. INTRODUÇÃO

A Inteligência Artificial (IA) é um ramo da Ciência da Computação que é ao mesmo tempo

atual e antiga, pois a IA nasceu a partir de idéias filosóficas, científicas e tecnológicas herdadas de

outras ciências (BITTENCOURT, 1998).

A IA moderna para alguns autores divide-se em 5 paradigmas: simbólica, conexionista,

evolucionária, multi-agente e híbrido (BITTENCOURT, 1998).

Este trabalho segue o paradigma simbólico da IA, focado nas Redes Bayesianas. Schreiber

(2002), cita que:

“O raciocínio probabilístico é uma das formas de processar a incerteza. As redes Bayesianas, baseadas no teorema de Bayes, podem ser utilizadas como mecanismo de raciocínio incerto, alterando (atualizando) as probabilidades de ocorrência de um evento posterior segundo a observação dos eventos presentes e anteriores”.

Orlandeli (2005, p. 57) define as Redes Bayesianas como:

“redes de conhecimento que descrevem um modelo do mundo real baseado em informações de independência condicional entre os eventos, não sendo necessário usar uma enorme tabela de probabilidades conjuntas para listar todas as combinações possíveis dos eventos”.

Redes Bayesianas são aplicadas nas áreas que incluem diagnóstico, investigação,

reconhecimento de imagens, planejamento e controle, reconhecimento de voz – resumidamente, quase

qualquer tarefa que requisite conclusões que são retiradas de pistas incertas e informações

incompletas (PEARL, 1988). Como casos de aplicações, podem-se citar:

• DiagSD, Instituto de Telecomunicações de Portugal e Instituto Superior de Engenharia de

Lisboa, 2000. Sistema para diagnóstico de doenças do sono. Esse sistema indica as

prováveis doenças do paciente, conforme os sintomas relatados (MILHO e FRED, 2002);

• ADVOCATE II, Ifremer, ATLAS Elektronik, University of Alcalá de Henares, 2004.

Utilizado em veículos aquáticos. Sistema para classificação ou decisão em situações de

erro, dados incompletos ou duvidosos, em problemas que envolvam análise sensitiva,

análise de conflitos e cálculo do valor da informação;

• Delineamento de culturas agrícolas usando informações contextuais, INPE (Instituto

Nacional de Pesquisas Espaciais) e UFV (Universidade Federal de Viçosa), 2007.

Classificação de imagens em sensoriamento remoto. Este projeto utiliza Redes Bayesianas

na classificação de imagens, para aumentar a precisão da estimativa de área plantada de

cada cultura em questão (MELLO et al, 2007);

• Spamassassin, Apache sistema Foundation, 2008. Sistema para reconhecimento de

Spam's. Este sistema é utilizado em servidores de correio eletrônico para detectar e

bloquear automaticamente Spam's; e

• COMET, A collaborative tutoring system for Medical Problem-Based Learning, 2007.

Sistema para melhorar as habilidades de raciocínio clínico de estudantes, sem o uso de

tutor humano (SUEBNUKARN E HADDWY, 2004).

Em casos reais, como os descritos anteriormente, geralmente são aplicadas Redes Bayesianas

em ambientes computacionais, em função do modelo matemático envolvido, principalmente para o

cálculo da propagação de evidências nos nós (JENSEN, 2001).

Em razão do modelo matemático, utilizam-se GUI's (graphical user interface) para

modelagem de Redes Bayesianas genéricas que propiciam modelagem intuitiva, abstraem o modelo

matemático independentemente do tamanho e/ou complexidade da rede, facilitam a verificação e

validação do modelo, melhoram a produtividade, uma vez que os desenvolvedores focam-se apenas

no modelo conceitual da rede e na obtenção das probabilidades.

No mercado existem GUI's específicas para modelagem de Redes Bayesianas que permitem a

criação de redes de forma visual, realizam inferência, aprendizado, permitem escolha de algoritmos

para propagação de evidências, geração de código e exploração automática de todos os casos na rede

(JENSEN, 2001), contudo todas possuem limitações de uso em licenças gratuitas. Como exemplos de

ferramentas para modelagem de Redes Bayesianas pode-se citar: Hugin, GeNIe e NETICA

Application.

Com intuito de desenvolver a própria ferramenta (shell) para modelagem e simulação de

Redes Bayesianas, este TCC apresenta o desenvolvimento do sistema SRB (Simulador de Redes

Bayesianas). Com esse sistema, permite-se modelar Redes Bayesianas genéricas de maneira visual e

realizar ensaios a partir de evidências, onde abstrai-se o modelo matemático para propagação de

evidências, independentemente do tamanho e/ou complexidade da rede.

A licença de uso do sistema é gratuita, pois o objetivo de sua criação é oferecer um sistema

gratuito e de código “aberto” para uso educacional.

A execução deste projeto se justifica em nível de TCC para o curso de Engenharia de

Computação porque trata do desenvolvimento de um sistema que faz uso de tecnologias, conceitos e

teorias relevantes, como: linguagem de programação; orientação a objetos; ergonomia; uso de

técnicas da Engenharia de Software para modelagem e documentação; Redes Bayesianas; UML

(Unified Modeling Language) e teoria da probabilidade.

2

Outro ponto importante que merece destaque, é a implementação dos algoritmos amostragem

de Gibbs e Junction Tree. Ambos realizam os cálculos das probabilidades a posteriori em Redes

Bayesianas, mas eles diferem essencialmente, pois a amostragem de Gibbs trata-se de um algoritmo

de simulação com resultados aproximados, enquanto que o Junction Tree trata-se de um algoritmo

exato.

Este projeto não buscou implementar todas as funcionalidades disponíveis nos sistemas

comerciais, uma vez que existem vários sistemas, alguns com anos de desenvolvimento contínuo.

1.1. PROBLEMATIZAÇÃO

1.1.1. Formulação do ProblemaA implementação prática de Redes Bayesianas somente é viável em sistemas computacionais

em razão dos cálculos necessários para a propagação de evidências. Para facilitar a modelagem e

simulação são utilizados GUI's específicas, que geralmente são proprietárias ou possuem limitações

de uso em versões gratuitas. Ainda como fatores estimulantes para o desenvolvimento da GUI,

ressalta-se que:

• a maioria das GUI's comerciais para modelagem e simulação de Redes Bayesianas não

permitem a escolha do algoritmo de propagação de evidências; e

• as aplicações comerciais não disponibilizam o código fonte dos algoritmos para

propagação de evidências.

1.1.2. Solução Proposta

Este trabalho compreende a implementação de uma GUI específica para a modelagem e

simulação de Redes Bayesianas para uso acadêmico, com licença gratuita que permita a escolha do

algoritmo de propagação de evidência e com código fonte “aberto”.

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo Geral

Desenvolver um sistema (shell) com ambiente visual que permita a criação e simulação de

Redes Bayesianas genéricas, onde o modelo matemático para propagação de evidências é abstraído.

1.2.2. Objetivos Específicos

Os objetivos específicos deste projeto de pesquisa são:

• Estudar a teoria da probabilidade;

• Estudar os algoritmos para propagação de evidências;

3

• Analisar sistemas similares e bibliotecas para Redes Bayesianas;

• Modelar a arquitetura do sistema;

• Implementar (codificar) o sistema;

• Avaliar o sistema através de um caso realístico; e

• Elaborar a documentação.

1.3. MetodologiaSão necessárias sete etapas a fim de executar esse projeto de forma que atinja os objetivos

específicos. São elas: (1) Estudar teoria, (2) Estudar algoritmos, (3) Analisar sistemas e bibliotecas,

(4) Modelar, (5) Implementar, (6) Avaliar e (7) Documentar.

1. Estudar a teoria : estudo da teoria de Redes Bayesianas para permitir a correta modelagem

e implementação do programa.

2. Estudar algoritmos : estudo de dois algoritmos para propagação de evidências em Redes

Bayesianas, especificamente os algoritmos: Junction Tree e amostragem de Gibbs;

3. Analisar sistemas e bibliotecas : visa a análise das funcionalidades e metodologias

oferecidas por alguns sistemas comerciais de modelagem e simulação de Redes

Bayesianas. Após verificadas as funcionalidades e metodologias, são pesquisadas e

analisadas, bibliotecas para simulação de Redes Bayesianas;

4. Modelar : Esta etapa visa a análise e modelagem da arquitetura do sistema com uso das

técnicas de Engenharia de sistema, linguagem UML e ferramenta automatizada para

modelagem de sistema;

5. Implementar : visa transformar o modo conceitual no sistema real, basicamente através de

codificação;

6. Avaliar : o sistema e os algoritmos de propagação de evidências serão avaliados através da

simulação de um caso realístico e resultados serão comparados com simulações realizadas

em ferramentas comerciais; e

7. Elaborar documentação : Esta etapa visa registar todo o processo pertinente à pesquisa

científica. A documentação deve permitir a outros pesquisadores a reprodução dos

resultados e testes realizados. Esta etapa ainda visa o desenvolvimento de um artigo

científico para posterior publicação.

4

1.4. Estrutura do trabalhoEsse TCC está dividido em cinco capítulos, que mantêm uma seqüência lógica e coerente. O

primeiro capítulo, a Introdução, além de uma visão geral do escopo do trabalho, também apresenta a

problematização (justificativa), objetivos (gerais e específicos) e a metodologia geral de trabalho.

No Capítulo 2, Fundamentação teórica, descrevem-se os conceitos relevantes de probabilidade

aplicados nas Redes Bayesianas, as definições teóricas, um exemplo de propagação de evidências

através das regras básicas da probabilidade e a descrição teórica, com exemplos, dos algoritmos

Junction Tree e amostragem de Gibbs. Também apresentam-se os resultados obtidos com a

implementação da versão não genérica do algoritmo amostragem de Gibbs.

No Capítulo 3, Desenvolvimento, apresenta-se a documentação e arquitetura do sistema

empregada na implementação. Demonstram-se os pacotes, componentes, classes, diagramas de

atividade e fluxogramas pertinentes ao projeto e implementação do ambiente computacional.

No Capítulo 4, Simulações, revelam-se e discutem-se os resultados obtidos com os ensaios

realizados nos algoritmos amostragem de Gibbs e Junction Tree. Apresentam-se ensaios para

determinação do erro das probabilidades a posteriori em cenários em que existem evidências

instanciadas ou não. Também verifica-se ensaios para determinação do desempenho computacional.

No Capítulo 5, Conclusões, apresentam-se os comentários finais do autor sobre todas as

atividades realizadas e resultados obtidos. Ainda propõem-se sugestões para trabalhos futuros.

5

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo apresenta-se a parte relevante, para este TCC, dos fundamentos teóricos das

Redes Bayesianas. São apresentados: os fundamentos da probabilidade, redes causais e algoritmos

para propagação de evidências em variáveis discretas.

Este trabalho não abrange técnicas para diagramas de influência, aprendizado, análise

sensitiva, cálculo da “força das influências”, 2,50notação específica para redes temporais e variáveis

contínuas.

2.1. ProbabilidadeNesta seção mostram-se os fundamentos matemáticos necessários para o adequando

entendimento de Redes Bayesianas. Inicialmente são apresentadas as diferenças entre probabilidade

incondicional, condicional e conjunta para que então seja possível o adequado entendimento da regra

fundamental da probabilidade, do teorema de Bayes e da regra da cadeia.

2.1.1. Probabilidade incondicionalConforme Russell e Norvig (2004, p. 455), “A probabilidade incondicional ou probabilidade a

priori é o grau de crença acordado para a proposição (variável) na ausência de quaisquer outras

informações”.

A representação de uma probabilidade incondicional associada a uma variável A é

demonstrada na Equação 1, onde xn representa a probabilidade associada ao evento n (JENSEN,

2001).

P A=x1 , x2 ,... , xn Equação 1

A probabilidade para cada evento xn da variável A é um número no intervalo de [0,1], onde a

distribuição das probabilidades para os estados obedecem à Equação 2. Em notação textual, a

somatória das probabilidades da variável A deve ser igual a 1 (JENSEN, 2001).

∑1

n

P Axn=1 Equação 2

2.1.2. Probabilidade condicionalPearl (1988) afirma que as relações condicionadas são importantes, pois elas são compatíveis

com a organização do conhecimento humano.

Sempre que a declaração da probabilidade da variável A é condicionada por outras fatores

conhecidos, é dito que essa probabilidade é condicional. A notação utilizada para relação condicional

é demonstrada na Equação 3, que representa a seguinte frase: dado o evento bn da variável B, a

probabilidade do evento an da variável A é x (JENSEN, 2001).

P A∣B=x Equação 3

Na Tabela 1 é demonstrada a tabela de probabilidade condicional genérica uma vez dado a

Equação 3. Observa-se que a distribuição das probabilidades, para cada estado bn da variável B, deve

respeitar a Equação 2, onde a somatória das probabilidades devem ser iguais a 1 (JENSEN, 2001).

Tabela 1. Tabela de probabilidades condicionais

O número de probabilidades condicionais da variável A condicionada a n variáveis, é dada

pela Equação 4, onde NEstados é o número de estados da variável. Se a variável A não for

condicionada, então essa variável não possui probabilidades condicionais, mas sim probabilidades

incondicionais, desta forma a Equação 4 não é aplicada (JENSEN, 2001).

NEstados A∗∏1

n

NEstados pain Equação 4

2.1.3. Probabilidade conjunta e regra fundamental da probabilidade

Probabilidade conjunta é a probabilidade dado que P (A = an) e P (B = bn) sejam verdadeiras

simultaneamente (RUSSELL e NORVIG, 2004).

A probabilidade conjunta das variáveis A e B é obtida através da regra fundamental do cálculo

da probabilidade, apresentada na Equação 5 (JENSEN, 2001). Na Equação 6 é demonstrada a

probabilidade conjunta no sentido contrário.

P A , B=P A∣B∗P B Equação 5

P A , B=P B∣A∗P A Equação 6

Diferentemente da probabilidade incondicional e condicional, a distribuição das

probabilidades condicionais é dada pela Equação 7, onde n é o número de estados da variável A e m é

o número de estados da variável B. Em linguagem textual: na tabela de probabilidade conjunta, a

soma de todas as probabilidades devem ser iguais a 1 (JENSEN, 2001).

7

A \ B b1 b2 ... bn

a1 x1,1 x1,2 ... x1,n

... ... ... ... ...ak xk,1 xk,2 ... xk,n

∑1

n

∑1

m

xn m=1 Equação 7

Observa-se que as P (A , B) são idênticas às P (B , A); a única diferença é a forma da

representação da tabela com as probabilidades conjuntas. Já nas probabilidades condicionais as P (A |

B) diferem das P (B | A) (JENSEN, 2001).

2.1.4. Regra de Bayes

A Regra de Bayes é a equação básica utilizada para propagar evidências nas Redes Bayesianas

(JENSEN, 2001).

Na Equação 8 e Equação 9 revela-se a dedução matemática da Regra de Bayes. Na Equação 8

é igualada a regra fundamental da probabilidade (Equação 5) e a regra fundamental da probabilidade

inversa (Equação 6), pois ambas resultam na P (A ^ B) (Russell e Norvig, 2001).

P A∣B∗P B=P B∣A∗P A Equação 8

Através de operações matemáticas básicas na Equação 8 é obtida então a Regra de Bayes,

demonstrada na Equação 9 (JENSEN, 2001).

P B∣A=P A∣B∗P B

P AEquação 9

Na Equação 10 mostra-se que a Regra de Bayes pode ser condicionada a mais variáveis

(JENSEN, 2001).

P B∣A ,C =P A∣B ,C ∗P B∣C

P A∣C Equação 10

2.1.5. Regra da cadeia

A regra da cadeia é uma metodologia para realizar a propagação de evidências em Redes

Bayesianas, quando é conhecida a probabilidade conjunta universal de todas as variáveis. O método

para o cálculo de P(U) é descrito na Equação 11. (JENSEN, 2001)

PU =∏ P Ai∣pais Ai Equação 11

A equação para propagação de evidências (crenças) e1,...,en, sobre o universo U de variáveis

numa Rede Bayesiana é demonstrada na Equação 12. (JENSEN, 2001)

8

PU , e=∏ PAi∣pais Ai∏ ei Equação 12

A distribuição conjunta universal é um método completo para responder consultas

probabilísticas para variáveis discretas, mas em razão do rápido crescimento da tabela P(U), dado o

aumento do número de variáveis, logo se torna completamente impraticável definir o vasto número de

probabilidades. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

Ainda, a respeito da aplicabilidade da distribuição conjunta universal, Jensen (2001, p. 25) cita

que, “P(U) cresce exponencialmente com o número de variáveis do problema, e U não necessita ser

muito grande antes das tabelas tornarem-se demasiadamente grandes”.

2.2. Redes Bayesianas

As Redes Bayesianas provém um formalismo para o raciocínio a respeito de crenças parciais

sobre condições de incerteza. (PEARL, 1988)

A seguir apresentam-se as definições básicas sobre Redes Bayesianas conforme Russell e

Norvig (2004):

• Um conjunto de variáveis que constituem os nós da redes;

• Um conjunto de vínculos orientados conecta pares de nós. Se houver uma seta do nó X até

o nó Y, X será denominado pai de Y;

• Cada nó Xi tem uma distribuição de probabilidade condicional P ( Xi | Pais(Xi) ) que

quantifica o efeito dos pais sobre o nó; e

• O grafo não tem nenhum ciclo orientado (A Figura 1 apresenta um ciclo orientado).

Conforme Jensen (2001), Redes Bayesianas consistem basicamente:

• Um conjunto de variáveis e um conjunto de arestas direcionadas entre variáveis;

• Cada variável tem um conjunto finito de estados mutuamente exclusivos;

• As variáveis em conjunto com as arestas direcionadas, formam um grafo acíclico

direcionado; e

• Para cada variável A com pais B1,...,Bn, é associado uma tabela P (A | B1, ... , Bn).

2.2.1. Redes causaisPara este trabalho adota-se a representação de Redes Bayesianas em forma de redes causais

(grafos), pois é a linguagem de modelagem mais utilizada no meio comercial e acadêmico (JENSEN,

2001). O motivo da maior utilização das redes causais é que a representação facilita a quantificação

9

das conexões locais, de forma que os parâmetros conceitualmente significativos constituam uma base

de conhecimento global consistente (PEARL, 1988).

Nas redes causais os nós (círculos ou elipses) representam as variáveis do problema, sendo

que essas variáveis podem assumir n estados finitos mutuamente exclusivos. As arestas direcionadas

entre as variáveis representam a relação de causa (RUSSELL e NORVIG, 2004).

Somente é possível a modelagem de grafos acíclicos direcionados, pois nenhum método

matemático foi desenvolvido para suportar grafos cíclicos em redes causais (JENSEN, 2001).

Na Figura 1 dá-se a conhecer um grafo cíclico direcionado, no qual o ciclo é formado pelas

variáveis (nós) B, C, D e E. (JENSEN, 2001)

Figura 1. Um grafo cíclico. Isto não é permitido nas Redes Bayesianas

Fonte: Jensen (2001).

Nas redes causais as relações entre as variáveis são definidas conforme uma relação familiar

(JENSEN, 2001). Por exemplo, na Figura 2 a variável “Medidor de combustível” é definida como

filho da variável “Combustível”; já a variável “Combustível” é definida como pai das variáveis

“Medidor de Combustível” e “Partida do Motor”. Vale ressaltar que uma variável (nó) pode possuir

tanto n finitos pais com também n finitos filhos (RUSSELL e NORVIG, 2004).

Na Figura 2 revela-se a rede causal para o problema reduzido da falha da partida do motor de

um carro. O exemplo é apresentado para demonstrar como o modelo conceitual de um problema é

correlacionado com a metodologia das redes causais. Jensen (2001, p. 3) descreve o problema como:

De manhã, o carro não liga. A partida elétrica é ouvida, mas nada acontece. Pode haver várias razões para o problema. Já que a partida é ouvida, então deve existir energia na bateria. Portanto, as causas mais prováveis são que o combustível foi roubado durante a noite ou que as velas do sistema de ignição estão “sujas”. Para descobrir se a causa do problema é a falta de combustível, pode-se observar o medidor de combustível.

10

Figura 2. Rede causal para o problema reduzido da falha da partida do motor de um carro

Fonte: Adaptado de Jensen (2001).

Pearl (1988, p. 13) afirma que, “As redes causais não são dispositivos auxiliares previstos para

fazer o raciocínio mais eficiente, mas sim uma parte integral das semânticas da base de

conhecimento”.

A representação de Redes Bayesianas através de redes causais (grafos acíclicos direcionados)

facilita a compreensão do modelo conceitual da rede, pois sua representação é intuitiva. Mesmo

pessoas que somente conhecessem as características intrínsecas do problema, poderiam entender o

modelo conceitual, pois as redes causais representam o problema de maneira similar ao raciocínio

humano em circunstâncias que envolvem incertezas. (JENSEN, 2001)

2.2.2. Evidências

Nas Redes Bayesianas uma evidência é a crença de que determinada variável A esteja no

estado an. Suponha que a variável A possua estados a1, a2, a3 e a4. É descoberto que a variável A está

no estado a3 (uma crença), então a partir dessa premissa, pode-se determinar que a probabilidade dos

demais estados da variável A é 0, pois os estados de uma mesma variável são mutuamente exclusivos;

em outras palavras, somente pode ocorrer um estado por variável. (JENSEN, 2001)

Quando uma evidência é instanciada numa variável, ela é chamada de evidência

“pesada” (crença). Uma evidência é dita “leve”, quando um estado da variável possui probabilidade

1, porém não foi instanciada uma evidência na variável. A evidência “leve” pode ocorrer em

decorrência do modelo conceitual da rede e das evidências instanciadas em outras variáveis.

(JENSEN, 2001)

2.2.3. D-separação em redes causaisDe acordo com Pearl (1988, p. 117):

“X, Y e Z são três conjuntos separados de nós num grafo direcionado acíclico, então Z é dito d-separado de X e Y se ao longo de todos caminhos entre um nó de X e um nó de Y

11

existir um nó w satisfazendo uma das seguintes condições: w tem arestas convergentes e seus descendentes estão em Z, ou w não tem arestas convergentes e w está em Z.”

A direção da aresta não é um fator limitante para os caminhos possíveis entre variáveis, uma

vez que a direção representa a relação de causa e não a orientação da influência entre as variáveis. As

variáveis que não são d-separadas, são chamadas de d-conectadas (JENSEN, 2001).

2.2.3.1. Conexões seriais

A Figura 3 demonstra uma rede causal com conexão serial entre as variáveis A, B e C.

Figura 3. Rede causal com conexão serial


Na Figura 3 a variável A influencia variável B e vice-versa, como B influencia a variável C e

vice-versa, contudo as variáveis A e C são influenciadas indiretamente através de B. Uma evidência

na variável C influencia as probabilidades da variável B, que por sua vez, influencia as probabilidades

de A. Por outro lado, uma evidência na variável B influencia A e C, mas depois o canal é bloqueado,

pois existe uma crença na variável B (evidência). Desta forma as variáveis A e C são consideradas d-

separadas, pois em função da evidência em B, A e C não se influenciam. (JENSEN, 2001)

2.2.3.2. Conexões divergentes

Na Figura 4 demonstra-se uma rede causal com conexão divergente. A variável A influencia

B1 ... Bn e vice-versa. As variáveis B1 ... Bn se influenciam indiretamente através de A. Já, dado uma

evidência em A, ocorre a propagação desta em B1 ... Bn, contudo após essa propagação, A bloqueia o

canal de influência entre as variáveis B1 ... Bn. Desta forma é dito que B1 ... Bn são d-separados.

(JENSEN, 2001)

Figura 4. Rede causal com conexão divergente


12

2.2.3.3. Conexões convergentes

Na Figura 5 é demonstrado uma rede causal com conexão convergente.

Figura 5. Rede causal com conexão convergente


Numa situação convergente, como na Figura 5, as variáveis B1 ... Bn influenciam A e vice-

versa, mas as variáveis B1 ... Bn não se influenciam se não for atribuída uma evidência a A ou a um

dos descendentes. Dado uma evidência na variável A, ocorre a propagação nas variáveis B1 ... Bn e

depois o canal é aberto, assim as variáveis B1 ... Bn são d-conectadas (JENSEN, 2001)

2.2.4. Propagação de evidênciasConforme Russell e Norvig (2004, p. 490) a propagação de evidências “é calcular a

distribuição de probabilidades posteriores para um conjunto de variáveis de consulta, dado algum

evento observado – isto é, alguma atribuição de valores a um conjunto de variáveis de evidência.”

De acordo com Pearl (1988, p. 143), a propagação de evidências:

“promove a fusão e propagação de novas evidências e crenças, através da Rede Bayesiana, de modo que cada proposição eventualmente será atribuída a uma medida consistente conforme os axiomas da teoria da probabilidade”.

Nesta seção demonstra-se matematicamente como ocorre a propagação de evidências numa

Rede Bayesiana, através de um exemplo.

2.2.4.1. Modelagem conceitual do problema

Russell e Norvig (2004, p. 481) descrevem o problema como:

Você possui um novo alarme contra ladrões em casa. Este alarme é muito confiável na detecção de ladrões, entretanto, ele também pode disparar caso ocorra um terremoto. Você tem dois vizinhos, João e Maria, os quais prometeram telefonar-lhe no trabalho, caso o alarme dispare. João sempre liga quando ouve o alarme, entretanto, algumas vezes confunde o alarme com o telefone e também liga nestes casos. Maria, por outro lado, gosta de ouvir música alta e às vezes não escuta o alarme.

Na Figura 6 vê-se o modelo conceitual do problema na forma de uma rede causal. Observa-se

que tanto o Ladrão como Terremoto são causas para que o alarme seja ativo, e o alarme a causa da

13

ligação do João e/ou da Maria, mas é atribuída incertezas às causas. Desta forma, apresenta-se,

similarmente, o problema descrito, na forma de uma rede causal. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

Figura 6. Rede Bayesiana para o problema do alarme

Fonte: Adaptado de Russell e Norvig (2004).

Na modelagem da Rede Bayesiana devem ser consideradas as variáveis e estados que

possuem maior relevância para o problema, pois se forem inseridas muitas variáveis e estados

irrelevantes, o modelo pode tornar-se muito complexo e até, eventualmente, incoerente. (JENSEN,

2001)

Na Tabela 2 descreve-se o nome dos estados para cada variável da Rede Bayesiana da Figura

6 e o apelido da variável, entre parênteses, ao lado do nome da variável, o qual é utilizado para

diminuir o tamanho das expressões.

Tabela 2. Nomes das variáveis e estados


O número de estados iguais, para as variáveis do problema do alarme, são mera coincidência,

pois as diferentes variáveis podem possuir n finitos estados. Apenas existem recomendações para

facilitar a modelagem da Rede Bayesiana, pois o número de probabilidades condicionais necessárias

numa variável aumenta consideravelmente com o número de estados dos pais e do filho. Basta

observar a Equação 4, onde o número de probabilidades condicionais de uma variável é determinado

por um produtório. (JENSEN, 2001).

Depois de definidos os possíveis estados para as variáveis é necessário, então, definir as

probabilidades condicionais e incondicionais. A definição das probabilidades incondicionais como as

condicionais, pode ser dada através da freqüência (número de vezes que determinado estado ocorre

num grupo de amostras) ou pode ser simplesmente subjetiva (JENSEN, 2001).

14

Ladrão (L) Terremoto(T) Alarme(A) João(J) Maria(M)Estado 1 Sim Sim Ativo Ligou LigouEstado 2 Não Não Não Ativo Não Ligou Não Ligou

Por exemplo, as probabilidades para a variável Alarme poderiam ser obtidas através de

informações quantitativas fornecidas pelo fabricante, mas a probabilidade de João ligar no caso do

alarme estar ativo é subjetiva, pois a verificação quantitativa dessa probabilidade é difícil de ser

obtida. A respeito da usabilidade de probabilidades subjetivas, Pearl (1988, p. 21) cita que:

“Se as pessoas preferem raciocinar qualitativamente, por quê deveriam as máquinas raciocinar com números? Probabilidades são sumário de conhecimento que é deixado para trás quando a informação é transferida para um alto nível de abstração. Os sumários podem ser codificados logicamente ou numericamente; lógica aprecia as vantagens da parcimônia e simplicidade, enquanto número são mais informativos e algumas vezes são necessários.”

Na Tabela 3 demonstram-se as probabilidades incondicionais para as variáveis Ladrão (L) e

Terremoto (T) conforme Russell e Norvig (2004). As probabilidades das variáveis não representam a

realidade brasileira, pois existe uma probabilidade maior de ocorrer um terremoto do que um roubo,

contudo essas probabilidades não foram definidas para realidade brasileira, mas sim para a realidade

do autor do problema. Desta forma fica evidente que a correta representação do modelo, depende do

contexto e do entendimento do problema.

Tabela 3. Probabilidades incondicionais para as variáveis: (a) Ladrão; (b) Terremoto

Ladrão (L)Estado Probabilidade

Sim 0,001Não 0,999

Terremoto (T)Estado Probabilidade

Sim 0,002Não 0,998

(a) (b)


Na Tabela 4 expressam-se as probabilidades condicionais para a variável Alarme, dado que

essa variável possui 2 pais, ambos com 2 estados. Reitera-se que o número de probabilidades

condicionais para esta variável é dado conforme a Equação 4, que neste caso é igual a 8 (oito).

(RUSSELL e NORVIG, 2004)

Na Tabela 5 e Tabela 6 verificam-se as probabilidades condicionais para as variáveis João e

Maria, respectivamente, conforme Russell e Norvig (2004).

Tabela 4. P (A | L , T)


15

L Sim L Não

T Sim T Não T Sim T Não

A Ativo 0,950 0,950 0,290 0,001A Não Ativo 0,050 0,050 0,710 0,999

Tabela 5. P (J | A)


Tabela 6. P (M | A)


2.2.4.2. Cálculo das probabilidades dos estados

Depois de definidas as probabilidades incondicionais e condicionais, faz-se necessário

calcular as probabilidades dos estados nas variáveis, pois deseja-se saber, qual a probabilidade do

estado ai da variável A.

Para as variáveis incondicionais Ladrão e Terremoto, a probabilidade do evento ai ocorrer é a

própria probabilidade do estado, pois essas variáveis não possuem nós pais. Já para os nós com

probabilidades condicionais, é preciso calcular a probabilidade conjunta do nó com seus respectivos

pais, para então ser determinado a probabilidade do evento ai (JENSEN, 2001).

A probabilidade do evento ai ocorrer numa variável A condicionada é determinada pela

marginalização (Equação 13), onde n é número de pais de A, mn é o número de estados do pai Bn e ai

é um estado de A (JENSEN, 2001).

P A=ai=∑1

m1

∑1

m2

...∑1

mn

P A=ai ,B1=bm1 , B2=bm2 , ..., Bn=bmn Equação 13

Para determinar as probabilidades dos estados da variável Alarme, é necessário calcular as

probabilidades conjuntas para as variáveis Ladrão, Terremoto e Alarme. Para tal, é utilizada a regra

fundamental da probabilidade (Equação 5). Entretanto a Equação 5 é utilizada para o cálculo da

probabilidade conjunta entre 2 variáveis, porém ela pode ser expandida. A Equação 14 mostra a

Equação 5 expandida para o cálculo da probabilidade conjunta de Alarme, Terremoto e Ladrão

(JENSEN, 2001).

P A ,T , L=PA∣T , L∗PT ∗P L Equação 14

Para o cálculo das P (A ^ L ^ T) são obtidas as P (A | T ^ L) na Tabela 4, as P (L) e as P (T) na

Tabela 3. Na Equação 15 é demonstrada o cálculo para P (A Não Ativo ^ L Não ^ T Não).

16

A Ativo A Não Ativo

J Ligou 0,90 0,05J Não Ligou 0,10 0,95


M Ligou 0,70 0,01M Não Ligou 0,30 0,99

P ANão Ativo , LNão ,T Não=P ANão Ativo∣LNão ,T Não∗PLNão∗P T Não

P ANão Ativo ,LNão ,T Não=0,999∗0,999∗0,998=0.996004998Equação 15

Conforme a metodologia aplicada na Equação 15, é necessário calcular a probabilidade

conjunta para todas as combinações de estados. Na Tabela 7 são demonstradas as P (A ^ L ^ T) para

todas as combinações de estados. Uma vez calculada a probabilidade conjunta, é utilizada a Equação

13 para determinar as P (A). (JENSEN, 2001)

Tabela 7. P (A , L , T) e P (A)

L Sim L Não P (A)T Sim T Não T Sim T Não

A Ativo 1,9*10-6 9,4810*10-4 5,7942*10-4 9,97002*10-4 0,002526422A Não Ativo 1,0*10-7 4,9900*10-5 1,41858*10-3 0,996004998 0,997473578

Para calcular as probabilidades dos estados da variável João, é necessário calcular as P ( J , A)

através da regra fundamental da probabilidade. Para o cálculo são obtidas as P (J | A) na Tabela 5 e as

P (A) na Tabela 7. Depois de calculada as P (J , A) é utilizada a Equação 13 para marginalizar Alarme

e obter as P (J). Os resultados são demonstrados na Tabela 8.

Tabela 8. P (J , A) e P (J)

A Ativo A Não Ativo P(J)J Ligou 0,0022737798 0,0498736789 0,0521474587

J Não Ligou 0,0002526422 0,9475998991 0,9478525413

O cálculo das probabilidades dos estados de Maria é realizado de maneira similar,

inicialmente é utilizada a regra fundamental da probabilidade para o cálculo das P (M , A) para então

utilizar a Equação 13 e marginalizar Alarme, a fim de obter as P (M). Os resultados são demonstrados

na Tabela 9.

Tabela 9. P (M , A) e P (M)

A Ativo A Não Ativo P(M)M Ligou 0,00176849540 0,00997473578 0,01174323118

M Não Ligou 0,00075792660 0,98749884222 0,98825676882

Na Figura 7 demonstram-se as Redes Bayesiana com as probabilidades dos estados nas

variáveis. Observa-se que a Rede Bayesiana já permite análise do problema, mesmo sem evidências

inseridas, pois é possível gerar conclusões como: João tem maior probabilidade de ligar do que Maria,

independentemente do alarme estar ativo ou não. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

17

Figura 7. Rede Bayesiana com probabilidades dos estados

2.2.4.3. Propagação dada a evidência M Ligou

Para demonstrar os cálculos da propagação de evidência, é pressuposto que Maria ligou para

avisar que o alarme está ativo. A evidência neste caso é: Maria = Ligou, também denotada como M

Ligou.

O processo da propagação da evidência é iniciado na variável Alarme, porque é única variável

diretamente conectada a variável Maria. Depois de propagado em Alarme, ocorre a propagação nas

demais variáveis da Rede Bayesiana. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

Propagação na variável Alarme

Na Equação 16 apresenta-se a regra de Bayes adaptada para propagação da evidência M Ligou

em Alarme. Para os cálculos são obtidas as P (M Ligou | Alarme) na Tabela 6, as P(A) na Tabela 7 e a P

(M Ligou) na Tabela 9.

P A∣e=M Ligou=PM Ligou∣A∗P A

PM LigouEquação 16

Somente é preciso utilizar a regra de Bayes quando M Ligou, pois foi atribuído a esse estado a

evidência. Como o estado M Ligou tem probabilidade 1, a P(M Não Ligou) = 0.

Na Equação 17 é demonstrado o cálculo da P (A Ativo | M Ligou).

P Aativo∣e=M Ligou =PM Ligou∣Aativo∗P Aativo

PM Ligou

P AAtivo∣e=M Ligou =0,7∗0,0025264220

0,01174323118=0,150597001190945

Equação 17

Na Tabela 10 visualizam-se as P(A | e = M Ligou). É observado o aumento significativo da

probabilidade do Alarme estar ativo, uma vez que Maria dificilmente liga erroneamente, contudo a

18

probabilidade ainda é baixa, uma vez que as probabilidades de existir roubo e/ou terremoto são

pequenas.

Tabela 10. P (A | e = M Ligou)

Propagação na variável João

Na Tabela 11 demonstram-se as P (J , A) e as P (J | e = MLigou). É utilizada a regra fundamental

da probabilidade para propagar a evidência na variável Ligação do João, através de Alarme. Para o

cálculo são obtidas as P (J | A) na Tabela 5 e as P (A) na Tabela 10.

Tabela 11. P (J , A) e P(J | e = M Ligou)

Ainda na Tabela 11 observa-se que a probabilidade de João ligar aumentou, uma vez que a

probabilidade do alarme estar ativo também aumentou, contudo a probabilidade ainda é baixa, em

função das P(LSim) e P (TSim).

Propagação na variável Terremoto

Para o cálculo da propagação na variável Terremoto utiliza-se a Equação 18, que é a regra de

Bayes adaptada para propagação em Terremoto.

PT∣A=P A∣T ∗P T

PA Equação 18

Para o cálculo são obtidas as P (A) na Tabela 10 e as P (T) na Tabela 3. As P (A | T) são

obtidas através da P (A , L , T). Para isso são necessárias duas etapas:

• Primeira etapa : obter as P (A , T) das P (A , L , T) (Tabela 7). O procedimento é somar as

probabilidades conjuntas para os estados iguais de Terremoto, independentemente de

outras combinações, separadamente para cada estado do Alarme (JENSEN, 2001). Na

Tabela 12 são demonstrados os resultados para essa operação; e

Tabela 12. P (A , T)

19

M Ligou

A Ativo 0,150597001190945A Não Ativo 0,849402998809055

A Ativo A Não Ativo P(J | e = M Ligou)J Ligou 0,13553730107 0,04247014994 0,17800745101

J Não Ligou 0,01505970012 0,80693284887 0,82199254899

T Sim T Não

A Ativo 6,0*10-4 1,9*10-3

A Não Ativo 1,4*10-3 0,9961

• Segunda etapa : obter a P (A | T) através da regra fundamental da probabilidade. Na

Equação 19 dá-se a conhecer a fórmula de maneira genérica. Na Tabela 13 são

demonstrados os resultados.

P A∣T =P A ,T

P T Equação 19

Tabela 13. P (A | T)

T Sim T Não

A Ativo 0,2907 0,0019A Não Ativo 0,7094 0,9981

Depois de calculadas as P (A | T) é possível utilizar a regra de Bayes adaptada para

propagação em Terremoto (Equação 18). Os resultados são demonstrados na Tabela 14.

Tabela 14. P (T | A) não normalizadas


T Sim 0,0039 0,0017T Não 0,0129 1,1727

Os resultados apresentados na Tabela 14 precisam ser normalizados para 1. Na Equação 20

revela-se o método utilizado para normalizar os valores da Tabela 14, onde MAX é a soma dos

valores que são normalizados. (JENSEN, 2001)

Valor normatizado=Valor∗1

MAXEquação 20

Na Equação 21 é apresentado o cálculo para normalização de P (T Não | A Não Ativo).

PT Não∣ANão Ativo normalizado=PT Não∣ANão Ativo ∗1

PT Não∣A Não AtivoPTSim∣ANão Ativo

PT Não∣ANão Ativo normalizado=1,1727∗1

1,17270,0017

PT Não∣ANão Ativo normalizado=0,9986

Equação 21

Conforme a metodologia aplicada na Equação 21, é necessário realizar a normalização para as

outras probabilidades condicionais. Na Tabela 15 percebem-se os resultados normalizados.

Tabela 15. P (T | A ) normalizadas


T Sim 0,2301 0,0014T Não 0,7699 0,9986

Para a obter as probabilidades de Terremoto, é necessário utilizar a regra fundamental da

probabilidade em P (T | A) normalizada a fim de obter as P (T , A). Uma vez determinada as P (T ,

20

A), é possível calcular as P (T | e = M Ligou). O procedimento é somar todas as probabilidades

conjuntas para cada estado de Terremoto (JENSEN, 2001). Demonstram-se os resultados na Tabela

16.

Tabela 16. P (T , A) e P (T | e = M Ligou)

Propagação na variável Ladrão

O cálculo da propagação na variável Ladrão é similar ao cálculo da propagação na variável

Terremoto. Desta forma revela-se o procedimento de maneira resumida.

Inicialmente, é necessário obter as P (A | L) com intuito de utilizar a regra de Bayes. O

processo para obter as P(A | L) é similar ao processo para obter as P (A | T). Primeiro é obtido as P (A

, L) através das probabilidades da Tabela 7, para então calcular as P (A | L) através da regra

fundamental da probabilidade. Nas Tabela 17 e Tabela 18 apresentam-se as P (A , L) e as P (A | L),

respectivamente.

Tabela 17. P (A , L)

L Sim L Não


Tabela 18. P (A | L)

L Sim L Não


Depois de calculada as P (A | L) utiliza-se regra de Bayes para calcular as P (L | A). Para os

cálculos são obtidas as P (A | L) na Tabela 18, as P(L) na Tabela 3 e as P(A | e = MLigou) na Tabela 10.

Na Tabela 19 especificam-se os resultados não normalizados. Na Tabela 20 apresentam-se as P (L |

A) normalizados.

Tabela 19. P (L | A) não normalizadas


L Sim 0,006308226541613 0,000058864873411L Não 0,010467818001244 1,174264253126590

Tabela 20. P ( L | A) normalizadas


L Sim 0,376025857912890 0,000050126641049L Não 0,623974142087110 0,999949873358951

21

A Ativo A Não Ativo P(T | e = M Ligou)T Sim 0,0347 0,0012 0,0359T Não 0,1159 0,8482 0,9641

Para obter as probabilidades incondicionais da variável Ladrão, dada a evidência, é

inicialmente aplicada a regra fundamental da probabilidade em P (L | A) normalizada a fim de obter

as P (L , A). Para obter as P (L | e = M Ligou) é necessário somar todas as probabilidades conjuntas para

cada estado de Ladrão, que é a definição textual da Equação 13 (JENSEN, 2001). Os resultados são

demonstrados na Tabela 21.

Tabela 21. P ( L , A ) e P (L | e = M Ligou)

A Ativo A Não Ativo P(L | e = M Ligou)L Sim 0,056628366571934 0,000042577719227 0,056670944291161L Não 0,093968634619011 0,849360421089828 0,943329055708839

2.2.4.4. Rede Bayesiana dada a evidência M Ligou

Na Figura 8 evidenciam-se as probabilidades dos estados nas variáveis após a inserção da

evidência M Ligou. Observa-se que essa evidência modificou as probabilidades dos estados nas demais

variáveis, de forma coerente com a formulação do problema e a sistemática do raciocínio humano.

Por exemplo, dado que Maria ligou, é intuitivo que existe o aumento considerável da probabilidade do

alarme estar ativo, uma vez que dificilmente Maria liga quando o alarme está Não Ativo. Em contra

ponto, a probabilidade de ocorrer terremoto e/ou roubo é muito baixa. Também é atribuída uma maior

probabilidade para João ligar, em decorrência da maior probabilidade do alarme estar ativo (causa e

efeito).

Figura 8. Rede Bayesiana para o problema do alarme dada a evidência MLigou

2.2.4.5. Propagação dada a nova evidência J Ligou

Numa Rede Bayesiana é permitido a inserção de mais de uma evidência na rede, desde que

sejam em diferentes variáveis, pois os estados numa mesma variável são mutuamente exclusivos.

(JENSEN, 2001)

Como continuação do caso do alarme, é pressuposto que João ligou depois de Maria, para

avisar que o alarme está ativo. Assim deve ser inserido na rede a nova evidência João = Ligou (J

Ligou).

22

Observa-se que a ordem da inserção das evidências não diferencia as probabilidades dos

estados nas variáveis, ao final da inserção, em métodos exatos. As probabilidades das variáveis

Alarme, Terremoto e Ladrão são as mesmas, tanto se forem inseridas as evidências M Ligou e J Ligou,

respectivamente, como se forem inseridas as evidências J Ligou e M Ligou, respectivamente. (JENSEN,

2001)

Dada a nova evidência J Ligou, é necessário propagá-la nas variáveis que são d-conectadas à

João. A variável diretamente conectada a João é Alarme, desta forma é preciso propagar a evidência

em Alarme, que por sua vez propaga a evidência nas variáveis Terremoto e Ladrão. A variável Maria

não sofre propagação, pois a ela foi instanciada a evidência M Ligou. (JENSEN, 2001)

Propagação na variável Alarme

Para propagar a evidência em Alarme utiliza-se a regra de Bayes. Para o cálculo das P (A| e =

M Ligou , J ligou), são obtidas as P (J Ligou | A) na Tabela 5, as P (A | e = M Ligou) na Tabela 10 e a P (J Ligou |

e = M Ligou ) na Tabela 11. Na Tabela 22 observam-se os resultados.

Reitera-se que somente é necessário utilizar a regra de Bayes quando J Ligou, pois a este estado

foi atribuída a evidência.

Tabela 22. P (A | e = M Ligou , J Ligou)

Propagação na variável Terremoto

O procedimento para propagar a evidência J Ligou em Terremoto é similar ao procedimento

utilizado para propagar a evidência M Ligou em Terremoto. Utiliza-se a regra fundamental da

probabilidade para obter as P (T , A). Para os cálculos são obtidas as P (T | A) na Tabela 15 e as P (A |

e = M Ligou , J Ligou) na Tabela 22.

Depois de calculado as P (T , A) somam-se as probabilidades conjuntas para cada estado de

Terremoto, com intuito de obter as P (T | e = M Ligou , J Ligou). Na Tabela 23 são demonstrados os

resultados.

Tabela 23. P (T , A) e P(T | e = M Ligou , J Ligou)

23

P (A | e = M Ligou ^ J Ligou)A Ativo 0,761413639164106

A Não Ativo 0,238586360835894

A Ativo A Não Ativo P (T | e = M Ligou ^ J Ligou)T Sim 0,175198354320410 0,000339335001805 0,175537689322215T Não 0,586215284843696 0,238247025834089 0,824462310677785

Propagação na variável Ladrão

Por último é preciso propagar a evidência J Ligou em Ladrão. O procedimento é similar à

propagação na variável Terremoto.

Inicialmente é calculado as P (L , A) através da regra fundamental da probabilidade. Para os

cálculos são obtidas as P (L | A) na Tabela 20 e as P (A | e = M Ligou , J Ligou) na Tabela 22. Então

utiliza-se a Equação 13 para obter as P (L | e = M Ligou , J Ligou). Os resultados são demonstradas na

Tabela 24.

Tabela 24. P (L , A) e P (L | e = M Ligou , J Ligou)

2.2.4.6. Rede Bayesiana dada as evidências em M Ligou e J Ligou

Na Figura 9 demonstram-se as probabilidades dos estados dado que tanto Maria como João

ligaram. Observa-se o aumento significativo da probabilidade do alarme estar ativo, o qual condiz

com a formulação do problema e a sistemática do raciocínio, pois a chance de ambos ligarem

erroneamente são baixas. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

Figura 9. Rede Bayesiana para o problema do alarme dada as evidências MLigou e JLigou

Ainda na Figura 9, constata-se que a probabilidade do roubo é maior que probabilidade do

terremoto. A princípio, isto aparenta ser uma contradição, pois a probabilidade a priori do roubo é

menor do que a do terremoto. Contudo ressalta-se que a probabilidade do alarme ser ativo em função

do terremoto é menor que a probabilidade do alarme ser ativo em função do Ladrão. Na Tabela 4 o

motivo desse comportamento é descrito, onde a P (AAtivo | LNão , TSim) = 0,29 e não 0,95, como na P

(AAtivo | LSim , TNão). Desta forma na maioria dos terremotos, o alarme permanece Não Ativo, enquanto

que na maioria dos roubos o alarme é ativo.

24

Alarme A Ativo A Não Ativo P(L | e = MLigou ^ JLigou)L Sim 0,286311216893261 0,000011959532869 0,286323176426129L Não 0,475102422270845 0,238574401303025 0,713676823573871

2.3. Algoritmos para propagação de evidênciasNesta seção apresentam-se dois algoritmos para o cálculo das probabilidades posteriores

(propagação de evidências) em Redes Bayesianas.

Anteriormente demonstrou-se a propagação de evidências no problema do alarme. Contudo a

resolução do problema não foi conduzida por uma metodologia formal (algoritmo); ela foi realizada

através dos princípios básicos, como a regra fundamental da probabilidade e a regra de Bayes,

mecanismos matemáticos necessários para a propagação de evidências. (PEARL, 1988)

Porém num sistema computacional necessita-se a utilização de um algoritmo eficiente, pois a

propagação de evidências é de fundamental importância na aplicabilidade das Redes Bayesianas.

(JENSEN, 2001)

Conforme Russell e Norvig (2004), os algoritmos para propagação de evidências em Redes

Bayesianas são divididos em 2 grupos:

• exatos : resultam em probabilidades posteriores exatas. Exemplos: junction tree,

clustering, polytree, cutset conditioning method e relevance-based;

• aproximados : resultam em probabilidades posteriores aproximadas. Exemplos: forward

sampling (logic sampling), likelihood weighting, gibbs sampling, algoritmo Metropolis-

Hasting, self importance sampling, backward sampling e adaptive importance sampling

for Bayesian Networks(AIS-BN).

A princípio, é imperceptível a motivação para o desenvolvimento e/ou utilização de métodos

aproximados uma vez que existem métodos exatos. Contudo, em Redes Bayesianas de grande porte,

pode ocorrer que a quantidade de memória necessária, para métodos de propagação exatos, seja

impraticável, em função do hardware disponível. Neste sentido, utilizam-se algoritmos baseados em

simulações, que usualmente necessitam menor quantidade de memória (JENSEN, 2001).

2.3.1. Junction TreeO algoritmo junction tree propõem uma metodologia que utiliza a regra da cadeia (Equação

12) em conjunto com a distribuição conjunta universal. Contudo, neste algoritmo propõem-se uma

metodologia que faz uso da lei distributiva, com intuito de reduzir e otimizar o tamanho das tabelas.

(JENSEN, 2001)

Conforme Russell e Norvig (2004, p. 496) a idéia básica do algoritmo junction tree é “unir nós

individuais da rede para formar nós de agrupamento, de tal modo que a rede resultante seja uma

poliárvore”.

25

Para exemplificar o algoritmo utiliza-se a Rede Bayesiana do problema do alarme,

demonstrada na Figura 6.

Entretanto, antes de construir a Junction Tree necessita-se verificar se a rede causal (grafo) do

problema é triangulado, pois a construção da Junction Tree necessita que o grafo seja triangulado.

Caso o grafo não seja triangulado, realiza-se o processo de triangulação. (JENSEN, 2001)

2.3.1.1. Grafos triangulados

Para determinar a triangularidade de grafos, inicialmente é necessário transformar o grafo

direcionado em um grafo não direcionado. Para isso são substituídas as arestas direcionadas por

arestas não direcionadas e são incluídas as conexões morais (JENSEN, 2001). Ainda o mesmo autor

descreve:

• Conexões morais: são arestas não direcionadas que conectam dois ou mais nós pais que

possuem um filho em comum.

Na Figura 10 demonstra-se o grafo com a conexão moral para o problema do alarme. Observa-

se que foi inserida apenas uma conexão moral, pois os únicos nós que atendem ao critério são os nós

Ladrão e Terremoto, os quais possuem o nó Alarme como filho em comum.

Figura 10. Grafo moral não direcionado para a rede causal do problema do alarme

Uma vez transformado o grafo em não direcionado e inseridas as conexões morais, é

necessário determinar os domínios para cada nó. Jensen (2001) descreve:

• Domínios do grafo : deixe = {Øɸ 1, ... , Øn} ser potenciais sobre o universo de variáveis U =

{A1, ... , An} com domínio Øi = Di. O domínio do grafo para é um grafo não direcionadoɸ

com as variáveis de U como nós e com conexões (arestas) entre pares de variáveis

membros do mesmo domínio Di. Em outras palavras, o domínio para a variável An é

composto por todos os nós vizinhos (nós conectados ao nó An) mais An .

Na Tabela 25 são demonstrados os domínios para cada variável (nó) da Figura 10.

26

Tabela 25. Domínio para cada variável

Conforme visto na Tabela 25, pode ocorrer a repetição de um mesmo domínio para várias

variáveis. Por exemplo o domínio de Alarme contém os domínios de Ladrão, Terremoto, João e

Maria, então, utiliza-se um único domínio para essas variáveis (JENSEN, 2001). O domínio resultante

do grafo é: Ø1 = {L,T,A,J,M}.

Uma vez determinados os domínios do grafo, é possível determinar se o grafo é triangulado.

Jensen (2001) define que “um grafo não direcionado é triangulado se, e somente se, todos os nós

possam ser eliminados por sucessivas eliminações de nós An simplicials”.

Para o correto entendimento do processo de verificação é necessário especificar as seguintes

definições: família do nó An, cliques, nós simplicials, eliminação de nós (variáveis), seqüência de

eliminações e fill-ins. Conforme Jensen (2001):

• Família de AN é o conjunto de nós formados pelo nó AN mais seus vizinhos (nós

conectados por arestas ao próprio nó AN, também chamados de nós adjacentes);

• AN é um clique se existem arestas que conectam todos os membros da família entre si;

• Um nó AN é simplicial, se e somente se a família de AN constituir um clique;

• É considerado uma eliminação de variável a exclusão (remoção) do nó e suas arestas do

grafo;

• Um nó AN, somente pode ser eliminado do grafo sem inserção de fill-ins, se o nó AN for

simplicial;

• Seqüência de eliminação é a ordem de eliminação dos nós do grafo; e

• Fill-ins são arestas que são inseridas entre os nós adjacentes de AN, quando a variável AN é

eliminada, contudo ela não é simplicial. A introdução dessas novas arestas (fill-ins)

destaca o fato que, quando eliminado An, trabalha-se com um potencial sobre um domínio

que não está presente originalmente. Tenta-se evitar fill-ins, pois a junction tree construída

através de seqüências de eliminações que não introduzem fill-ins são menores do que as

geradas por seqüências de eliminações que introduziram fill-ins.

27

Domínio Variável IntegrantesØL Ladrão (L) Ladrão, Terremoto, AlarmeØT Terremoto (T) Ladrão, Terremoto, Alarme

ØA Alarme (A) Ladrão, Terremoto, Alarme, Maria e João

ØM Maria (M) Alarme, MariaØJ João (J) Alarme, João

Para exemplificar os fill-ins, é eliminado do grafo da Figura 10 o nó não simplicial Alarme.

Quando um nó AN não simplicial é eliminado, são inseridos fill-ins entre os nós adjacentes de AN de

tal maneira que eles formem um clique. (JENSEN, 2001)

Figura 11. Grafo resultante dado a eliminação do nó Alarme

Para exemplificar todo o processo da verificação da triangularidade, retorna-se ao grafo da

Figura 10. É reiterado que o domínios resultante (ɸ) do grafo da Figura 10 é: Ø1 = {L,T,A,J,M}.

Como continuação, é necessário determinar os nós simplicials dos domínios de (JENSEN,ɸ

2001). Os nós simplicials para o domínio Ø1 são {L, T, M, J}.

Na Figura 12 é demonstrado o grafo após a eliminação das variáveis simplicials L, T e M.

Figura 12. Eliminação das variáveis Ladrão, Terremoto e Maria

Para eliminar todos os nós simplicials disponíveis, é ainda necessário eliminar a variável

João; desta forma restaria apenas Alarme no grafo.

Em alguns grafos, pode ocorrer que sobrem nós no grafo depois de eliminado todos os nós

simplicials dos potenciais de . Nestas ocasiões, é reiniciado o processo com o grafo G' resultante.ɸ

Então seriam determinados os novos domínios do grafo G', para então eliminar os novos nós

simplicials, e assim por diante até que todos os nós do grafo sejam eliminados. No caso do problema

do alarme, na reinicialização do processo, o nó Alarme seria simplicial e seria eliminado. Uma vez

eliminados todos os nós do grafo, ele é considerado triangulado. (JENSEN, 2001)

28

2.3.1.2. Grafos de domínios não triangulados

Entretanto, pode ocorrer em alguns grafos, que em tal ponto não existam mais nós simplicials

nos domínios para serem eliminados. Nestes casos, é necessário embutí-los num grafo triangulado

(JENSEN, 2001).

Para demonstrar o processo de transformação de um grafo não triangulado em triangulado,

considere o grafo da Figura 13. Na Tabela 26 mostram-se os domínios para cada variável e se o nó é

simplicial.

Figura 13. Grafo moral não triangulado

Fonte: Jensen (2001).

Tabela 26. Domínio para cada variável do grafo da Figura 13

ɸ ØA ØB ØC ØD ØE ØF ØG ØH ØI ØJ

Domínio A,B,D A,B,C,D,E

B,C,E A,B,D,F

B,C,E,G

D,F,H,I,G

E,F,G,I, J

H,F F,G,I G,J

Simplicial? Sim Não Sim Não Não Não Não Sim Sim Sim

Na Figura 14 determina-se o grafo G' depois da eliminação dos nós simplicials, na seqüência

A, C, H, I e J.

Figura 14. Grafo moral G' não triangulado, depois da seqüência de eliminação A, C, H, I e J


Na Tabela 27 visualizam-se os domínios para o grafo G' da Figura 14. É observado que não

existem nós simplicials; desta forma, é necessário eliminar um nó não simplicial, que insere fill-ins.

(JENSEN, 2001)

29

Na Figura 14 existem várias diferentes ordens de eliminação e muitas delas produzem

diferentes grafos triangulados. É recomendado trabalhar para determinar os menores domínios.

Infelizmente, determinar a menor seqüência de eliminação é uma tarefa NP-Difícil. Contudo, existe

um bom algoritmo heurístico que tem provado dar relativos bons resultados. (JENSEN, 2001)

Tabela 27. Domínio para cada variável do grafo G'

DomínioVariável Integrantes Nó simplicialØB B, D, E NãoØD B, D, F NãoØE B, E, G NãoØF D, F, G NãoØG E, F, G Não

Jensen (2001, p. 185) descreve a heurística: “Eliminar repetidamente os nós simplicials, e se

não existem mais nós simplicials para serem eliminados, deve-se eliminar o nó X com sz (Fx)

mínimo.”

O sz (Fx) é demonstrado na Equação 22, onde i representa o número de nós da família da

variável V e n(Xi) representa o número de estados da variável Xi. Em linguagem textual, sz (V) é o

produtório do número de estados das variáveis da família de V. (JENSEN, 2001)

sz V =∏inX i Equação 22

Jensen (2001, p. 185) exemplifica a heurística:

“Deixe que o número de estados para a variáveis da Figura 14 sejam as seguintes: B tem 2 estados, D tem 4 estados, E tem 5 estados, F tem 6 estados e G tem 7 estados. Depois de ter eliminados as variáveis A, C, H, I e J, é necessário eliminar um nó não simplicial. O sz(FB) = 40, sz(FD) = 48, sz(FE) = 70, sz(FF) = 168 e sz(FG) = 210. É escolhido para ser eliminado o nó B, o qual resulta na criação de um fill-in entre os nós D e E. Com essa nova conexão, é obtido novos tamanhos sz(FD) = 120 e sz(FE) = 140. É eliminado o nó D e adicionado um fill-in entre os nós E e F. Agora, o grafo é triangulado. A seqüência de eliminação apresentada não é ótima.”

2.3.1.3. Construção da join tree

Jensen (2001, p. 172) define, “Se o grafo G não direcionado é triangulado, então os cliques de

G podem ser organizados em uma join tree”.

Como primeira etapa da construção da join tree é necessário organizar todos os cliques do

grafo G não direcionado triangulado, conforme a ordem de eliminação utilizada, para então

determinar os separadores. (JENSEN, 2001)

Na Figura 15 revelam-se graficamente os cliques, separadores e índices para o grafo não

direcionado triangulado da Figura 10, conforme a ordem de eliminação L, T, M, J e A. Os cliques são

30

representados em forma de elipses e os separadores em forma de retângulo. O conjunto de nós que

constituem os separadores são: os nós do clique menos os nós simplicials eliminados.

Jensen (2001, p. 166) descreve que a eliminação da variável X “corresponde a usar a lei

distributiva no produto. Ao invés de calcular o produto, é mantido os fatores numa “caçamba” e esses

não são multiplicados até que sejam forçados a tal.”

Os cliques e os separadores são denotados de acordo com o número de nós eliminados

(JENSEN, 2001). Por exemplo na Figura 15, o clique {L, T e A} é determinado V2 porque no grafo

foram eliminados 2 nós (L e T), já o clique {A, M} é V3, porque foram eliminados os nós L, T e M do

grafo.

Figura 15. Os cliques, separadores e índices resultantes da Figura 10

Constata-se que existem diferentes seqüências de eliminações possíveis para o grafo da Figura

10, por exemplo, a seqüência de eliminação M, J, T, L e A também poderia ser utilizada. Tanto a

seqüência de eliminação M, J, T, L e A, como a seqüência de eliminação utilizada na Figura 15 (L, T,

M, J e A), são consideradas seqüências de eliminações perfeitas. Uma ordem de eliminação é

considerada perfeita, quando a eliminação de todos os nós não introduz fill-ins; então o grafo moral é

originalmente triangulado (JENSEN, 2001).

Depois de determinados os cliques e separadores, faz-se necessário construir a join tree. O

procedimento é conectar os separadores (retângulos) aos cliques (elipses) com uma aresta não

direcionada, de tal forma que o conjunto de nós Vj (clique) contenha o conjunto de nós Si (separador).

Somente é conectado um separador a um clique, quando Si for menor do que Vj, em outras palavras, o

número que denota S tem que ser menor do que o número que denota V (JENSEN, 2001).

Jensen (2001, p. 176) descreve que “qualquer separador S divide o grafo em duas partes, e

todos os caminhos conectando as duas partes devem passar através de S”.

Cada separador somente é conectado a um clique, pois a estrutura resultante é uma árvore, e

nas estruturas em árvores, um nó somente pode ser acessado por um único caminho, não pode existir

múltiplos caminhos (JENSEN, 2001).

Na Figura 16 é demonstrada a join tree para os cliques e separadores da Figura 15.

31

Figura 16. Join tree para cliques e separadores da Figura 15

2.3.1.4. Marginalização e normalização

Antes de especificar o método de propagação de evidências em junction tree, propriamente

dito, é necessário especificar o que é normalização e marginalização. Normalização é tornar

proporcional as probabilidades conjuntas. O método de normalização já foi utilizado anteriormente

(na Equação 21 é demonstrado um exemplo de sua utilização). Marginalização é o nome dado para o

cálculo que realiza operação similar à Equação 23 (JENSEN, 2001).

P A=ai=∑1

m1

∑1

m2

...∑1

mn

P A=ai ,B1=bm1 , B2=bm2 , ..., Bn=bmn Equação 23

Verifica-se que a marginalização não precisa ocorrer necessariamente para uma variável, ela

pode ocorrer para um conjunto de variáveis, como demonstra Equação 24, onde n representa o

número da variável que pertence ao conjunto (variáveis diferentes de A e B) e m representa o número

do estado da variável Cn. As variáveis do conjunto (C1, ... , Cn) são ditas marginalizadas (JENSEN,

2001).

P A=ai ,B=b j=∑1

m1

∑1

m2

...∑1

mn

P A=ai ,B=b j ,C1=cm1 , C2=cm2 , ... ,Cn=Cmn Equação 24

A marginalização representada na Equação 24 está na notação de somatório; contudo, ela

também pode ser representada na notação de projeção. Na Equação 25 evidencia-se a notação de

projeção, onde as variáveis que compõem o conjunto são marginalizadas, menos A e B (JENSEN,

2001).

P A ,B= A , B , C1 , ...,Cn A , B Equação 25

Para exemplificar o processo de marginalização, considere a Tabela 28. Essa tabela demonstra

as P (A , L , T) e as P (A). É observado que P (A) é obtida através da marginalização, especificamente

conforme a Equação 26. O procedimento é somar todas as probabilidades conjuntas que contenha

Aativo, independentemente de outras combinações de estados. O processo também é realizado para ANão

Ativo.

32

P Ak =∑i∑jP Ak ,T i , L j Equação 26

Tabela 28. P (A , L , T) e P (A)

L Sim L Não P (A)T Sim T Não T Sim T Não

A Ativo 1,9*10-6 9,4810*10-4 5,7942*10-4 9,97002*10-4 0,002526422A Não Ativo 1,0*10-7 4,9900*10-5 1,41858*10-3 0,996004998 0,997473578

A Equação 27 demonstra a marginalização da Equação 26 na notação de projeção.

P A= A , T , L A Equação 27

2.3.1.5. Propagação na junction tree

Inicialmente é necessário construir a junction tree a partir da join tree. Na Figura 17 é

demonstrada a junction tree para a join tree da Figura 16. Na Figura 17 os separadores foram

expandidos para caixas de mensagens, onde as setas indicam a direção da mensagem (JENSEN,

2001).

Figura 17. Junction Tree para o problema do alarme

Para demonstrar o funcionamento da propagação de evidências na junction tree, considere que

foi inserida a evidência MLigou. A primeira etapa é localizar algum clique (elípse) que contenha a

variável M. Na Figura 17 o clique V3 contém M. Então é utilizada a Equação 28 que atualiza as

probabilidades conjuntas do clique V3 conforme a evidência MLigou. As P (A , MNão Ligou) são atribuídas

com valor 0, pois não existe a possibilidade do evento MNão Ligou ocorrer. Observa-se que podem ser

obtidas as probabilidades dos estados, sem necessariamente, existir evidencias instanciadas (JENSEN,

2001).

P A ,M Ligou=PA∣M Ligou∗PM Ligou Equação 28

Depois de calculadas as probabilidades conjuntas para o clique V3, é necessário propagá-la

pela junction tree. O procedimento é enviar mensagens (Ψx) para os separadores conectados ao clique

V3. As mensagens transmitidas através dos separadores S2 e S3 são demonstradas na Figura 18. O fato

de Ψ1 e Ψ2 serem a mesma mensagem é coincidência, já que a mensagem é a projeção das variáveis

do clique, em função das variáveis do separador (JENSEN, 2001).

33

Figura 18. Junction Tree com transmissão de mensagens, dado a evidência MLigou

Depois que V3 enviou as mensagens, o clique V2 recebe a mensagem Ψ1 e V4 recebe a

mensagem Ψ2. Receber a mensagem é multiplicar a tabela de probabilidade conjunta do clique pela

tabela de probabilidade conjunta transmitida pela mensagem. No caso da Figura 18, as mensagens

apenas contém as probabilidades da variável A, pois foi realizada a marginalização da variável M.

Após a multiplicação é necessário normalizar os cliques (JENSEN, 2001).

Caso os cliques V2 e/ou V4 possuíssem outros separadores conectados, V2 e/ou V4 também

deveriam encaminhar mensagens para os separadores vizinhos (menos o separador que enviou a

mensagem), e esses iriam recalcular suas probabilidades conjuntas e enviariam mensagens para

separadores vizinhos, e assim por diante, até que seja alcançado os cliques folhas e assim toda a

junction tree seria atualizada (JENSEN, 2001).

A evidência MLigou foi propagada por toda a junction tree. Então é permitido calcular as

probabilidades dos estados condicionados a evidência (JENSEN, 2001). Por exemplo, para descobrir

as P (L | e = MLigou), apenas seria necessário realizar V2 ↓L.

A junction tree permite a instância de várias evidências. Considere a nova evidência JLigou.

Inicialmente é localizado algum clique que contenha a variável J, no caso específico o clique V4.

Então são recalculadas as probabilidades conjuntas do clique V4 e depois é enviada uma mensagem

para o separador S3. O clique V3 recebe a mensagem Ψ3, recalcula as probabilidades conjuntas,

normaliza-as e encaminha uma mensagem para o separador S2. O clique V2 recebe a mensagem Ψ4,

recalcula as probabilidades conjuntas e normaliza-as (JENSEN, 2001). Na Figura 19 é demonstrada a

junction tree após esses procedimentos.

Figura 19. Junction Tree com transmissão de mensagens, dado a evidência JLigou

Ao término da propagação é possível calcular, por exemplo, V2↓A, que resulta nas P (A | e =

MLigou , JLigou). É observado, que tanto V2↓A, V3↓A como V4↓A resultariam nas P (A | e = MLigou ,

JLigou).

34

2.3.2. Amostragem de GibbsO algoritmo de propagação de evidências, amostragem de Gibbs, é uma forma particularmente

conveniente da Cadeia de Markov Monte Carlo (CMMC) (RUSSELL e NORVIG, 2004).

Como a amostragem de Gibbs é uma variante da CMMC, as cadeias de Markov presentes em

cada variável da Rede Bayesiana devem ser ergódica (RUSSELL e NORVIG, 2004). Ainda Russell e

Norvig (2004, p. 503) definem ergódicas, “em essência, todo estado tem de ser acessível a partir de

qualquer outro estado e não pode haver nenhum ciclo estritamente periódico”.

O algoritmo faz uso da cobertura de Markov nas variáveis. Russell e Norvig (2004, p. 502)

descrevem que a cobertura de Markov em uma variável é constituída, “dos pais da variável X, os

filhos Y da variável X e os demais pais das variáveis Y”

2.3.2.1. Cálculo das probabilidades dos estados

O algoritmo é descrito juntamente com um exemplo. Para tal, considere a Rede Bayesiana do

problema do alarme, demonstrada na Figura 6. O fluxograma do algoritmo é demonstrado na Figura

20.

Inicialmente é necessário definir a cobertura de Markov para cada variável da Rede Bayesiana

(RUSSELL e NORVIG, 2004). Na Tabela 29 é demonstrada a cobertura de Markov para as variáveis

da Rede Bayesiana da Figura 6.

Tabela 29. Cobertura de Markov para as variáveis da Rede Bayesiana da Figura 6

Variável L T A J MCobertura de Markov T e A L e A L, T, J e M A A

Depois de determinada a cobertura de Markov das variáveis, é definido um vetor com os

estados aleatórios para cada variável da Rede Bayesiana (RUSSELL e NORVIG, 2004). Na Tabela 30

é demonstrado o vetor gerado com estados aleatórios, sem critério específico. Não existem evidências

instanciadas.

Tabela 30. Vetor com estados aleatórios para as variáveis

Variável Ladrão Terremoto Alarme João MariaEstado Não Não Ativo Não Ligou Ligou

Depois de definida a amostra (vetor) inicial é necessário escolher uma variável da Rede

Bayesiana e calcular a probabilidade da variável condicionada à cobertura de Markov. Na Equação 29

é demonstrada a fórmula genérica para obtenção das probabilidades da variável A condicionada à

cobertura de Markov. Na fórmula, ai representa um estado da variável A, mb(A) representa as

variáveis da cobertura de Markov e Yj são variáveis filhos de A (RUSSELL e NORVIG, 2004).

35

Pai∣mb A =Pai∣pais A∗∏Y j∈filhos A P y i∣pais Y j Equação 29

Com intuito de deixar mais claro o entendimento da Equação 29, na Equação 30 é

demonstrada a Equação 29 adaptada para obtenção das P(L | AAtivo , TNão). É observado que os estados

das variáveis da cobertura de Markov são definidos pelo vetor de amostra (antigo e/ou atual), neste

caso a amostra antiga é definida na Tabela 30. Cada vetor gerado é considerado uma amostra

(RUSSELL e NORVIG, 2004).

PL∣AAtivo ,T Não=PL∗PA Ativo∣L ,T Não Equação 30

Figura 20. Fluxograma do algoritmo amostragem de Gibbs

Depois de calculada a probabilidade de L condicionada à cobertura de Markov, essas

probabilidades são normalizadas. Então é sorteado um número aleatório no intervalo de [1,0] e é

verificado em qual intervalo de valores o número sorteado é enquadrado (os limites dos intervalos são

36

determinados pelas probabilidades calculadas); e assim é determinado o estado para a variável L na

amostra atual (RUSSELL e NORVIG, 2004).

Desta maneira, é repetido o processo para todas as variáveis da Rede Bayesiana. É observado

que o estado da variável L já foi determinado na amostra atual, então os demais cálculos que

necessitarem do estado de L na amostra atual, utilizariam o estado da amostra atual, e não o estado da

amostra anterior. Caso não fosse ainda determinado o estado de L na amostra atual, seria utilizado o

estado da amostra anterior. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

Então esse processo é repetido para n número de amostras. Ao término da amostragem, são

obtidas as freqüências dos estados nas variáveis. O procedimento é contar o número de vezes que os

estados das variáveis ocorreram, independentemente dos estados das outras variáveis na amostra.

Uma vez determinada a freqüência dos estados nas variáveis, elas são normalizadas e assim são

determinadas as probabilidades dos estados nas variáveis. (RUSSELL e NORVIG, 2004)

Para demonstrar na prática, que a amostragem de Gibbs permite a propagação de evidências

em Rede Bayesianas, o algoritmo foi implementado em linguagem C++, pois a amostragem de Gibbs

necessita de números aleatórios e quantidade significativa de cálculos, que seria inviável realizar

manualmente, ao contrário do outro algoritmo apresentado nesse trabalho.

Na Tabela 31 são demonstrados os resultados obtidos pela amostragem de Gibbs (10000

amostras) para a Rede Bayesiana da Figura 6 e o erro percentual em relação a probabilidade exata

esperada. Observa-se que para os estados com probabilidade exata esperada maior que 0,05, o método

da amostragem de Gibbs apresentou erros aceitáveis, contudo para os estados com probabilidade

exata esperada menor que 0,05, o erro aumenta significativamente.

Tabela 31. Amostragem de Gibbs e erro percentual

Variável Estado FreqüênciaProbabilidade

(Gibbs)Probabilidade

(Algorit. Exato) Erro (%)

LadrãoSim 22 0,0022 0,001 120Não 9978 0,9978 0,999 -0,12

Terremoto Sim 17 0,0017 0,002 -15Não 9983 0,9983 0,998 0,03

Alarme Ativo 40 0,0040 0,00253 58,10Não Ativo 9960 0,9960 0,99747 -0,15

João Ligou 536 0,05 0,05215 -4,12Não Ligou 9464 0,95 0,94785 0,23

MariaLigou 123 0,01 0,01174 -14,82

Não Ligou 9877 0,99 0,98826 0,18

37

2.3.2.2. Influência do número de amostras

Para determinar a influência do número de amostras na precisão numérica das probabilidades,

na Figura 21 e Figura 22 são demonstrados os gráficos do erro percentual versus o número de

amostras do primeiro e segundo ensaio, respectivamente, para os estados LSim e JLigou. Optou-se por

essas variáveis e estados, porque Lsim possui probabilidade exata esperada menor que 0,05 e JLigou

probabilidade exata esperada maior que 0,05.

O motivo da repetição da mesma simulação (Figura 21 e Figura 22), é que o algoritmo

amostragem de Gibbs apresenta erros percentuais significativamente diferentes entre distintos ensaios

sob mesmas condições.

500 1000 5000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 100000 150000 200000 300000

-50

0

50

100

150

200

250

300

350300

0 -20 0

73,33

-25 13,33 -15 -8 -10,67 -1134 29 8,33

Erro (%) x Número de Amostras

Ladrão = Sim João = LigouNúmero de Amostras

Err

o (

%)

-6,04 -4,12 7,96 2,52 2,01 0,74 -3,21 -2,01 -0,06 -0,21 0,34 2,73 0,0322,72

Figura 21. Gráfico erro (%) versus número de amostras para LSim e JLigou (1º ensaio)

500 1000 5000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 100000 150000 200000 300000

-150

-100

-50

0

50

100

-100 -100

80

200

20 6,6735

0 -17,33 -9 8,67 5,526



Err

o (

%)

-19,465,47 -2,97 5,85 4,95 4,99 -2,78 -0,38 -0,75 1,5 -0,63 -1,17 0,75 1,94

Figura 22. Gráfico erro (%) versus número de amostras para LSim e JLigou (2º ensaio)

Observa-se na Figura 21 e Figura 22 a grande discrepância entre os erros percentuais do

estado Lsim para os diferentes ensaios. Para diminuir a influência da instabilidade dos resultados entre

um ensaio e outro, na Figura 23 é apresentado o gráfico do erro versus o número de amostras para Lsim

e JLigou, porém o valor do erro percentual é a média de 31 simulações distintas (31 simulações para

cada número de amostras).

38

500 1000 5000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 100000

-50

0

50

100

150

200

250

300

143,66

257,19

-19,04 127,98

-17,84 10,43 7,35 24,22-2,81 2,33

Erro Médio (%) x Número de Amostras


Err

o M

éd

io (

%)

6,24 2,64 4,83 0,95 -2,03 -0,34 -1,18 -2,61 0,91 -0,7 1,06

Figura 23. Gráfico erro médio (%) versus número de amostras para LSim e JLigou

Na Figura 23 constata-se que na média os ensaios com menores números de amostras

apresentam os maiores erros percentuais, especialmente para o estado LSim, pois o valor exato

esperado para este estado é pequeno (0,001). Para o estado JLigou é observado uma pequena diminuição

do erro com o aumento do número de amostras.

Ressalta-se que a diminuição do erro não é proporcional ao aumento do números de amostras,

mas o custo computacional aumenta exponencialmente com o número de amostras. Então o número

de amostras utilizadas para a obtenção do melhor custo/benefício deve ser um número não tão

pequeno, para poder atender ao critério de precisão numérica, porém nem tão grande, para poder

atender ao critério de desempenho computacional. Para este caso específico, é observado que um

número de amostras entre [5000, 15000] atinge o melhor custo/benefício.

2.3.2.3. Cálculo das probabilidades dos estados dado evidências

No caso de inserção de evidências na Rede Bayesiana, o procedimento para determinar as

probabilidades dos estados nas variáveis pouco difere. A diferença é que inserido um conjunto de

evidências (ai , bj, cj, ...) numa numa Rede Bayesiana com n variáveis (A, B, C, ...), o primeiro vetor

de amostra é iniciado com A = ai , B = bj, C = cj, ..., e não com um estado aleatório. Esses estados

permanecem os mesmos até o fim da amostragem. Já as variáveis que não possuem evidências, são

iniciadas com estados aleatórios e o algoritmo é aplicado normalmente. (RUSSELL e NORVIG,

2004)

Russell e Norvig (2004, p. 502) consideram que o fato de um estado ai instanciado permanecer

o mesmo até o fim da amostragem, como uma vantagem, pois o algoritmo “vagueia ao acaso pelo

espaço de estados – o espaço de atribuições completas possíveis, invertendo uma variável de cada

vez, mas mantendo fixas as variáveis de evidência”.

39

Para exemplificar, na Tabela 32 são demonstradas as probabilidades dos estados obtidas pelo

método da amostragem de Gibbs (10000 amostras) e erro percentual em relação a probabilidade exata

esperada.

Percebe-se na Tabela 32 que a amostragem de Gibbs obteve as probabilidades dos estados

com precisão numérica aceitável. Como as probabilidades exatas esperadas são maiores do que 0,05,

é observado o mesmo comportamento da simulação sem evidência, onde o erro era menor para o

estado em que a probabilidade exata esperada é maior que 0,05. Neste ensaio, não é possível afirmar

que necessariamente a inserção de evidência melhora a precisão numérica, uma vez que não existem

probabilidades exatas esperadas menores que 0,05.

Tabela 32. Amostragem de Gibbs e erro percentual, dada as evidências MLigou e JLigou

Variável Estado Freqüência Probabilidade (Gibbs)

Probabilidade(Algorit. Exato)

Erro (%)

LadrãoSim 2917 0,2900 0,28632 1,29Não 7083 0,7083 0,71368 -0,75

TerremotoSim 1711 0,1711 0,17554 -2,53Não 8289 0,8289 0,82448 0,54

AlarmeAtivo 7639 0,7639 0,76141 0,33

Não Ativo 2361 0,2361 0,23859 -1,04

JoãoLigou 10000 1 1 0

Não Ligou 0 0 0 0

MariaLigou 10000 1 1 0

Não Ligou 0 0 0 0

2.3.2.4. Influência do número de amostras dado evidências

Nesta seção realiza-se o estudo da influência do número de amostras no erro das

probabilidades, em situações que existem evidências instanciadas. Para os ensaios são utilizadas as

evidências LNão e TSim.

Em função da existência de grandes discrepâncias entre o erro em diferentes simulações sem

evidências instanciadas, na Figura 24 e Figura 25 são apresentados os gráficos do erro percentual

versus o número de amostras do primeira e segundo ensaio, respectivamente, para os estados LNão e

TSim. O objetivo é confirmar ou não o mesmo comportamento em situações em que existam evidências

instanciadas.

Verifica-se, na Figura 24 e Figura 25, que a instabilidade, entre ensaios distintos, é similar aos

ensaios sem evidências, porém é ressaltado que as probabilidades exatas esperadas para LNão e TSim são

maiores do que 0,05, região que também demonstrou maior estabilidade entre ensaios diferentes

quando não existem evidências instanciadas.

40

500 1000 5000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 100000 150000 200000 300000

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00 18,49

-7,71 -1,222,83 3,19 3,70 3,13

0,69 -1,96 0,95 0,17 0,61 0,42 0,25


Terremoto = Sim Ladrão = NãoNúmero de Amostras

Err

o (

%)

3,97

-3,60-0,82 0,18 0,62 -1,36 0,36 0,37 -0,28

0,49 0,19 -0,29 -0,01 0,26

Figura 24. Gráfico erro (%) versus número de amostras para TSim e LNão (1º ensaio)

500 1000 5000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 100000 150000 200000 300000

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

-0,31 -1,67 0,72 0,64 -3,131,88

0,45 1,09 0,69 -0,53 -0,28 -0,64 -0,04


Terremoto = Sim Ladrão = NãoNúmero de Amostras

Err

o (

%) 0,89

-6,68

-0,960,02 0,15

-0,810,17 -0,30 -0,01 0,11 0,14 -0,12 -0,09 0,02

-11,13

Figura 25. Gráfico erro (%) versus número de amostras para LNão e TSim (2º ensaio)

Com intuito de evitar ensaios tendenciosos e mitigar a instabilidade entre diferentes

simulações, na Figura 26 é demonstrado o gráfico do erro versus o número de amostras para os

estados LNão e TSim, porém o valor do erro percentual é a média de 31 simulações distintas.

500 1000 5000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 100000

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

2,13

0,26 -0,05 -0,05 0,21 0,49-0,07 -0,16 -0,02 -0,22

Erro Médio (%) x Número de Amostras

Ladrão = Não Terremoto = SimNúmero de Amostras

Err

o M

éd

io (

%)

4,66-0,86

-0,12 0,74 -0,06-0,94

0,13 -0,21-0,83

0,12 -0,47

2,09

Figura 26. Gráfico erro médio (%) versus número de amostras para TSim e LNão

Na Figura 26 confirma-se o comportamento do método da amostragem de Gibbs conforme a

variação do número de amostras. Com pequeno número de amostras, o método apresentada os

maiores erros percentuais, contudo a diminuição do erro não é proporcional ao incremento do número

de amostras, então reitera-se a importância do adequado número de amostras, pois não pode ser tão

41

pequeno, para poder atender ao critério de precisão, contudo nem tão grande, para poder atender ao

critério de desempenho computacional.

Também é possível comparar o erro médio para estados com probabilidade exata esperada

maior que 0,05. Observa-se que os ensaios apresentam erros médios similares, tanto sem como com

evidências, desta forma é possível afirmar que o método da amostragem de Gibbs calcula

probabilidades, na média, com precisão numérica similar em ambas circunstâncias. No ensaio sem

evidência o erro médio máximo foi 6,24% enquanto que no ensaio com evidência instanciada, o erro

médio máximo foi de 4,66%.

42

3. DESENVOLVIMENTO

Neste capítulo apresenta-se a documentação da arquitetura do sistema e características

importantes da implementação. O capítulo é dividido em três seções: visão de negócio, visão de caso

de uso e por fim a visão dinâmica do sistema.

3.1. Visão de negócioEsta seção descreve sucintamente o problema envolvido, o objetivo macro a ser alcançado, a

situação no início e a desejada ao término do projeto.

3.1.1. Apresentação do sistema

Nome do sistema

SRB (Simulador de Redes Bayesianas).

Objetivo do sistema

Desenvolver um sistema (shell) com ambiente visual que permita a criação e simulação de

Redes Bayesianas genéricas, onde o modelo matemático para propagação de evidências é abstraído.

Situação no início do projeto

A Universidade não possui nenhum projeto de sistema para modelagem e simulação de Redes

Bayesianas.

Situação desejada

Existência de um sistema de modelagem e simulação de Redes Bayesianas desenvolvido na

Universidade, tanto para iniciar a produção de uma GUI completa (pois grafos de influência, redes

temporais, estados contínuos, entre outros tópicos não são abordados nesse TCC), como também

permitir que sejam desenvolvidos outros trabalhos a fim de estender o sistema.

3.1.2. Modelo de Requisitos

Nesta seção apresenta-se o detalhamento das necessidades que o sistema precisa atender ao

seu término. Os requisitos são divididos em funcionais, não funcionais e regras de negócios. Todos

eles apresentam a situação, que suscita a relação entre a implementação realizada versus as

características proposta, e a importância, que quantifica sua importância em prol do projeto.

3.1.2.1. Requisitos funcionais

REF 001 Construção de Redes Bayesianas visuais

Situação: 90% implementado e validado.

Importância: Crítico. Representa uma funcionalidade essencial do ambiente computacional.

Comentários: Não foi implementado o ajuste do tamanho dos objetos através da interface gráfica.

O sistema deve criar Redes Bayesianas em forma de redes causais (grafos). Propor um

ambiente em que possam ser: movimentadas as variáveis (elípses, barras gráficas); inseridas arestas

direcionadas entre variáveis; movimentado um conjunto de objetivos visuais selecionados; alterados

os nomes das variáveis; alteradas as configurações de fonte; alterado o tamanho dos objetos; e

excluídos um ou grupo de objetos visuais.

REF 002 Abrir/Salvar a Rede Bayesiana

Situação: Não Implementado.

Importância: crítica. Para fins de utilização prática, a opção de salvar e abrir Redes Bayesianas é

fundamental para o ganho de produtividade.

Razão: não houve tempo hábil e em função deste requisito possuir caráter secundário em relação ao

objetivo marco, optou-se por implementar os requisitos mais importantes.

O sistema deve permitir que seja aberto ou salvo uma Rede Bayesiana modelada.

Deve ser salvo as propriedades visuais da rede causal, as probabilidades inseridas nas variáveis,

configurações da rede, nome das variáveis, as arestas, enfim, todas as informações que foram

atribuídas à Rede Bayesiana. Já para abrir uma Rede Bayesiana, “carrega-se” para o sistema todas as

informações salvas no arquivo.

REF 003 Modos de representação visual da Rede Bayesiana

Situação: Implementado e validado

Importância: crítico. Representa o meio principal para visualização das probabilidades a posteriori.

O sistema deve permitir a visualização da Rede Bayesiana na forma de uma rede causal, como

também, numa forma que seja possível ver as probabilidades dos estados no próprio grafo (barra

gráfica, por exemplo).

REF 004 Inserção de evidências

Situação: Validado.

Importância: crítico. Permite a simulação de casos.

O sistema deve permitir a inserção de evidências na Rede Bayesiana de maneira visual.

REF 005 Modos para cálculo das probabilidades dos estados.


Importância: médio. Ferramenta para aumento da produtividade na simulação.

44

O sistema deve possuir duas maneiras de propagação de evidências:

• automática : a cada alteração na Rede Bayesiana, são determinadas as probabilidades dos

estados.(inserção/remoção de evidências, alteração de probabilidades condicionais ou

incondicionais, inserção de novas variáveis, etc); e

• manual : somente são calculadas as probabilidades dos estados quando requisitado.

REF 006 Inserção/remoção estados das variáveis

Situação: Parcialmente implementado e validado.

Importância: crítico. Permite a criação de Redes Bayesianas genéricas.

Comentários: as bibliotecas dos algoritmos suportam a inserção e remoção de estados das variáveis,

entretanto a interface com o usuário para modificação está incompleta.

Razão: sem tempo hábil.

O sistema deve permitir que em qualquer variável sejam inseridos n estados. Também deve

permitir a remoção de estados.

REF 007 Probabilidades condicionais/incondicionais

Situação: Parcialmente implementado e validado.

Importância: crítico. As Redes Bayesianas são compostas por probabilidades.

O sistema deve propor uma método para inserção das probabilidades condicionais ou

incondicionais nos estados. No caso da variável ser condicionada, o sistema deve automaticamente

combinar os estados dos pais e da variável, na forma de uma tabela.

REF 008 Visualização de várias Redes Bayesianas simultâneas

Situação: Validado

Importância: baixo. Permite a simulação e/ou modelagem de várias Redes Bayesianas.

O sistema deve permitir que sejam aberta n Redes Bayesianas distintas numa mesma seção do

sistema.

REF 009 Opções de Zoom


Importância: média. Ferramenta que auxilia a visualização dos nós da Rede Bayesiana.

O sistema deve implementar opções de zoom para o ambiente visual de desenho da Rede

Bayesiana.

45

REF 010 Opção de desfazer/refazer/copiar/colar

Situação: Não implementado.

Importância: média. Otimiza o processo de modelagem.

Razão: Optou-se por não implementar esse requisito em função do tempo hábil insuficiente e por

tratar-se de uma necessidade de caráter secundário em relação ao objetivo.

O sistema deve implementar opção de desfazer/refazer/copiar/colar para o ambiente visual de

desenho da Rede Bayesiana.

REF 011 Visualizar variáveis da Rede Bayesiana numa árvore


Importância: baixa. Meio para visualização das variáveis, estados e probabilidades.



O sistema deve permitir a visualização das variáveis da Rede Bayesiana numa árvore. Nesta

árvore também percebe-se as probabilidades dos estados. (TreeView)

REF 012 Algoritmos de propagação de evidências

Situação: Amostragem de Gibbs: implementado e validado.

Junction Tree: implementado, entretanto tem funcionamento parcial. Motivo:

encontrou-se dificuldades quando o grafo possui domínio não triangulado.

Importância: crítica. Os algoritmos permitem os cálculos das probabilidades a posteriori.

O sistema deve permitir a seleção do algoritmo de propagação de evidência desejado.

Algoritmos que deverão ser implementados:

• Exato : junction tree;

• Aproximado : amostragem de Gibbs.

REF 013 Configurações para algoritmos


Importância: crítica. Permite a personalização das configurações dos algoritmos.

O sistema deve permitir que sejam alterados parâmetros de configuração dos algoritmos de

propagação de evidências (por exemplo: número de amostras para algoritmo aproximado).

46

REF 014 Uso de abas flutuantes/ancoradas


Importância: média. Permite a personalização da interface gráfica.

O sistema deve implementar o uso de abas e janelas flutuantes/ancoradas.

REF 015 Personalização de objetos visuais


Importância: baixa. Permite a personalização do grafo.

O sistema deve permitir a personalização dos objetos visuais da Rede Bayesiana. Exemplo:

cores, largura das linhas, cor de fundo, etc.

REF 016 Estatísticas da Rede Bayesiana


Importância: baixa. Mensura a grandeza da Rede Bayesiana.



O sistema deve mostrar as estatísticas da Rede Bayesiana (numero de nós, número de arestas e

número de estados).

REF 017 Inserção de comentários


Importância: baixa. Documentação o significado das variáveis ou outras informações relevantes.

O sistema deve permitir a inserção de comentários nas variáveis e no ambiente visual da Rede

Bayesiana.

REF 018 Alternar entre Redes Bayesianas distintas


Importância: baixa. Simulação de várias Redes Bayesianas simultaneamente.

O sistema deve permitir a alternação da Rede Bayesiana que está sendo modelada e/ou

simulada.

REF 019 Alinhamento de nós


Importância: média. Ferramenta para organização dos nós da Rede Bayesiana.

47

O sistema deve permitir o alinhamento de um grupo de nós selecionados da Rede Bayesiana.

Modos: alinhar para esquerda; alinhar para direita; alinhamento superior; alinhamento inferior;

centralizar verticalmente; centralizar horizontalmente; distribuir verticalmente e distribuir

horizontalmente;

REF 020 Posicionamento das janelas das distintas Redes Bayesianas


Importância: baixa.

O sistema deve permitir forma de auto organizar as janelas das diferentes Redes Bayesianas

abertas. Modos: distribuição vertical; distribuição horizontal; auto organizar (organiza janelas na

forma de uma matriz) e distribuição em cascata;

3.1.2.2. Requisitos não funcionais

RNF 001 Sistema Operacional Windows XP e Vista


O sistema deve funcionar nos sistemas operacionais Windows XP e Windows Vista.

RNF 002 Implementação em C++


O sistema deve ser codificado em linguagem C++.

RNF 003 Uso das bibliotecas do QT


O sistema deve usufruir dos recursos gráficos oferecidos pelas bibliotecas de código aberto do

QT (TrollTech), principalmente para interface gráfica.

3.1.2.3. Regras de negócio

RN 001 Verificação de grafos cíclicos


O sistema não deve permitir a modelagem de grafos cíclicos.

RN 002 Verificar probabilidades


Razão: A implementação dessa regra de negócio não foi executado em razão da interface gráfica para

inserção das probabilidades estar incompleta.

48

O sistema deve verificar se as probabilidades atribuídas aos estados de uma variável respeitam

as regras. Se as probabilidades forem:

• incondicionais : a soma das probabilidades dos estados devem ser igual a 1.

• condicionais : a soma das probabilidades dos estados, para cada combinação de estados dos

pais, devem ser igual a 1.

RN 003 Número mínimo de estados = 2


O sistema não deve permitir a utilização de variáveis que possuam menos que 2 estados.

RN 004 Estados discretos nas variáveis


O sistema apenas utiliza estados discretos nas variáveis.

3.2. Visão de Caso de Uso

Nesta seção apresenta-se o ator, as telas e os Casos de Uso do sistema.

3.2.1. Ator do sistema: ProjetistaProjetista é quem desenvolve o modelo conceitual e/ou quem realiza simulações da Rede

Bayesiana.

3.2.2. Telas do sistema

TEL 001 Tela de desenho e simulação (TFMain)

Na Figura 27 apresenta-se o protótipo final da tela de desenho e simulação do sistema.

Percebe-se que esta tela é encarregada pela maioria das funcionalidades visíveis ao projetista.

TEL 002 Tela para configuração da Rede Bayesiana (TFBNProperties)

Na Figura 28 (a) revela-se o protótipo da tela de configurações da Rede Bayesiana. Esta tela

permite ao projetista alterar o nome, configurar o número de amostras para o algoritmo de simulação,

inserir a descrição e apresenta o sumário da Rede Bayesiana.

TEL 003 Tela para configuração do nó (TFNodeProperties)

Na Figura 28 (b) verifica-se o protótipo da tela para configuração de um nó. Esta tela tem por

objetivo permitir a configuração das probabilidades a priori, do número de estados, do nome da

variável, do comentário, das opções visuais do nó na área de desenho (aba formato) como também

apresenta as probabilidades dos estados com precisão máxima.

49

Figura 27. Tela de desenho e simulação (TFMain)

(a) (b)

Figura 28. Telas para configurações: (a) TFBNProperties ; (b) TFNodeProperties

3.2.3. Casos de Uso

Na Figura 29 são demonstrados os casos de uso do sistema. O sistema basicamente é

constituido por três grandes funcionalidades, abrir/salvar ou iniciar um novo projeto, modelar e

simular. Verifica-se que o caso de uso modelar abrange a maior parte das funcionalidades que

envolvem a construção da Rede Bayesiana, enquanto que o caso de uso Simular é responsável pelos

cálculos das probabilidades a posteriori (os algoritmos). Já o caso de uso Nova/Abrir Rede Bayesiana

tem caráter auxiliar, principalmente para aumento da produtividade. Os fluxos dos casos de uso são

apresentados no apêndice A.

50

Figura 29. Casos de Uso

3.3. Visão dinâmica

Nesta seção descrevem-se os pacotes, os componentes, os diagramas de classe para cada

componente, a descrição da utilidade de cada classe implementada, diagramas de atividade para

comportamentos na ferramenta de desenho de grafos e por fim o detalhamento da implementação do

algoritmo Junction Tree.

3.3.1. Pacotes do sistema

Nesta seção apresentam-se os quatros principais pacotes do sistema. Na Figura 30 (a) revelam-

se os pacotes Desenho, Interface Gráfica e Motor da RB, os quais representam as funcionalidades

perceptíveis ao projetista. Com intuito de que os pacotes das funcionalidades trabalhem em harmônia

e de maneira independente (reduzir o acoplamento), existe o pacote Controladora que serve como

interface de comunicação entre os pacotes.

(a) (b)

Figura 30. Pacotes do sistema: (a) pacotes da visão macro; (b) pacotes do Motor da BN

Para facilitar a compreensão da utilidade do pacote Controladora, observe a Figura 28. Esta

figura demonstra a tela principal do sistema e nela verifica-se a presença de três Redes Bayesianas

distintas abertas na interface de desenho. As três representam instancias distintas para o

comportamento do pacote controladora.

51

Em função da necessidade de desenvolver algoritmos desacoplados que possam ser utilizados

em outras aplicações, optou-se por dividir o pacote do Motor da RB em outros quatros pacotes, como

mostra a Figura 30 (b). Este pacote foi projetado para que possam ser adicionados novos algoritmos

com apenas a adição dos pacotes que definem o comportamento do algoritmo. Para atingir esse

objetivo, foi desenvolvido dois pacotes de uso geral para os algoritmos, eles são:

1. Topologia da RB : representa a estrutura da topologia da Rede Bayesiana, as

probabilidades condicionais/incondicionais das variáveis, as probabilidades dos estados,

definição da relação pai filho, tipo de algoritmo, entre outras funcionalidades; e

2. Controladora de Algoritmo : cria uma interface genérica entre os algoritmos e a topologia

da rede. Verifica-se que o pacote somente tem uma entrada, a topologia da RB,

independentemente do algoritmo utilizado.

A fim auxiliar a compreensão do fluxo de dados entre os diferentes pacotes do sistema, na

Figura 31 (a) revela-se o diagrama de componentes para os pacotes do sistema na visão macro e na

Figura 31 (b) apresenta-se o diagrama de componentes para o pacote Motor da BN. Verifica-se que o

nome das interfaces são as classes que realmente fornecem a interface entre o conjunto de classes do

componente com o exterior. Por exemplo, um comportamento do componente interface gráfica nunca

acessa um comportamento do componente Desenho diretamente. Para que ocorra troca de mensagens

entre os dois componentes, necessita-se o intermédio do pacote Controladora.

(a) (b)

Figura 31. Diagramas de componentes: (a) visão macro; (b) Motor da RB

3.3.2. Diagramas de classe por componenteNesta seção apresentam-se os diagramas de classe para cada componente da visão macro do

sistema, além da breve descrição da utilidade das classes.

52

Componente: Interface gráfica

Na Figura 32 visualiza-se o diagrama de classe para o componente que contem os

comportamentos da interface gráfica do sistema. Observa-se que as classes herdam outras classes que

não são demonstradas no diagrama. Essas classes pertencem ao conjunto de classes das bibliotecas do

QT, as quais permitem a construção de interfaces gráficas customizadas.

A seguir, descrevem-se as principais características das classes do componente:

• TFBNProperties: meio para alteração de configurações pertinentes da Rede Bayesiana;

• TFNodeProperties: permite a realização de alterações das configurações das propriedades

das variáveis (nós);

• TFileInterface: responsável por abrir e/ou salvar a Rede Bayesiana num arquivo; e

• TFMain: fornece uma interface homem máquina para as principais funcionalidades do

sistema (conjunto de ferramentas);

Figura 32. Diagramas de classe para o componente Interface Gráfica

Componente: Desenho

Na Figura 33 revela-se o diagrama de classe do componente Desenho. Percebe-se que algumas

classes possuem heranças de outras classes que não estão presentes no diagrama. Essas classes são

fornecidas pelas bibliotecas gráficas do QT. Por exemplo, a classe TEllipseDrawing herda a classe

QGraphicsPolygonItem, que é uma classe que contem os comportamentos necessários para o desenho

de polígonos genéricos.

Reitera-se que esse componente somente tem por objetivo representar a Rede Bayesiana numa

forma visual. Este componente não implementa os comportamentos necessários para a execução dos

algoritmos, entretanto a classe TScene (a interface do componente) emite eventos quando ocorrem

alterações na topologia do grafo na área de desenho. Esses eventos são de suma importância para que

o componente Topologia da RB seja atualizado conforme as alterações que o projetista realiza na

Rede Bayesiana. Entretanto na visão do projetista, este componente aparenta desenhar a Rede

53

Bayesiana e realizar a propagação das evidências, mas a propagação das evidências necessariamente

ocorre em outro componente.

Figura 33. Diagramas de classe para o componente Desenho

A seguir são descritas as principais características das classes do componente da Figura 33:

• TScene: classe responsável pela apresentação visual dos polígonos na área de desenho e

serve como interface de saída do componente. Também é responsável pela gerência dos

eventos provenientes do mouse, entre outras funcionalidades da área de desenho. Esta

classe gerencia os comportamentos implementados para a representação da Rede

Bayesiana na forma de um grafo;

• TRectSelection: permite o desenho de um retângulo de tamanho genérico. Esta classe é

utilizada pela classe TScene para implementar o comportamento da seleção de polígonos

na área de desenho;

• TAlign: executa ações de alinhamento entre polígonos de qualquer formato;

• TArrow: gera o desenho de uma aresta direcionada entre dois pontos. Essa classe é tanto

utilizada na ferramenta de adição de arestas entre nós como na inserção de arestas

permanentes entre nós;

• TNodeArrow: gera o desenho de uma aresta entre as bordas dos polígonos de dois nós.

Verifica-se que essa classe é compatível com qualquer formato de polígono suportado pela

classe TNode;

• TResizeDrawing: responsável pelo desenho do retângulo que funciona como ferramenta

de alteração das dimensões do polígono;

54

• TResizeBoundingRect: insere oito ou menos TResizeDrawing dispostos simetricamente

ao redor de um polígono. Eles representam a ferramenta completa para alteração das

dimensões do desenho;

• TDrawingSelection: responsável pelo desenho de um retângulo pontilhado ao redor de de

um polígono. Neste sistema o retângulo reitera que o desenho está selecionado;

• TResizeRect: em funções das classes TDrawingSelection e TResizeBoundingRect estarem

associadas aos mesmos comportamentos, criou-se uma interface genérica que controla o

comportamento de ambas as classes.

• TStatesDrawing: responsável pelo desenho do nome do estado, valor da probabilidade e

barra de gráfica;

• TText: escreve um texto na área de desenho que respeite as dimensões do polígono no

qual o texto está contido. Se o texto ultrapassar o tamanho de alguma borda do polígono,

automaticamente o texto é ajustado para que ele fique totalmente contido dentro do

polígono;

• TBarChart: desenha o nó na forma de barra gráfica. Essa classe desenha o polígono que

representa visualmente as probabilidades dos estados da variável;

• TEllipseDrawing: desenha o nó em forma de elipse, conforme as especificações das redes

causais;

• TNodeDrawing: interface genérica para controle das características dos polígonos que

representam a variável da Rede Bayesiana na interface de desenho; e

• TNode: interface genérica que permite o controle de todas as características associadas ao

polígono que representa a variável da Rede Bayesiana na interface de desenho.

Componente: Motor da RB

Na Figura 34 revela-se o diagrama de classe para o componente Motor da RB. Verifica-se que

esse diagrama contém classes pertentes a quatro componentes. Adotou-se essa representação para que

seja possível visualizar o projeto das classes na integra.

Uma característica importante da implementação separada do componente Motor da RB é o

desacoplamento em relação a interface gráfica. Da forma pela qual foi projetado o componente,

permite-se sua reutilização em outros projetos, desde que algumas bibliotecas do QT sejam incluídas

no projeto, pois em função da necessidade de rápida implementação dos algoritmos, optou-se por

utilizar algumas classes do QT que fornecem controle listas e permitem a geração de eventos

personalizáveis, entretanto criou-se uma dependência.

55

Figura 34. Diagramas de classe para o componente Motor da RB

Segue a baixo as principais considerações sobre as classes do componente:

• TMatrix: permite o uso de matrizes adequadas ao contexto das Redes Bayesianas;

• TNodeProbs: representa todas as características relevantes de uma variável da Rede

Bayesiana, como por exemplo: probabilidades a priori, evidências, estados, nome da

variável, lista com os nós pais e filhos entre outros. Também oferece métodos para

operações matemáticas;

• TTopology: lista com todos os nós da Rede Bayesiana, tipo de algoritmo, entre outras

características. Os algoritmos implementados utilizam uma instância dessa classe como

base para a execução do comportamento;

• TBNAlgorithm : interface genérica para o uso dos algoritmos de propagação de

evidências. Para que exista a abstração da implementação dos algoritmos, esta classe

somente implementa três métodos públicos, o construtor, o destruidor e o método calc();

• TJunctionTree: interface genérica para os cálculos das probabilidades a posteriori quando

utilizado o algoritmo Junction Tree;

• TMoralNode: representa os nós da Rede Bayesiana, entretanto os nós são adaptados para

grafos morais (arestas não direcionadas);

• TMoralTopology: lista de nós que compõem o grafo moral da Rede Bayesiana. Esta classe

determina as conexões morais, triangulariza grafos, determina a ordem de eliminação,

cliques entre outras funcionalidades;

• TClique: conjunto de nós que formam o clique. Esta classe fornece comportamentos

necessários para a correta execução do algoritmo Junction Tree;

• TSeparator: conjunto de nós do Clique que constituem o separador;

56

• TJoinSet: conjunto formado por um clique e separador com o mesmo identificador. Esta

classe é responsável pela transmissão de mensagens entre os diferentes cliques e

separadores, além de executar operações matemáticas necessárias para a propagação de

evidências na Junction Tree;

Componente: Controladora

Na Figura 35 revela-se o diagrama de classe para o componente Controladora. Além das

classes pertencentes ao componente, apresentam-se classes de outros componentes, as quais fazem

interface com o componente atual. O objetivo é fornecer uma visão da interface entre os diferentes

componentes do sistema.

Ressalta-se que a TUniqueName não é uma classe pertinente ao objetivo do componente

Controladora, ela apenas foi adicionada ao diagrama da Figura 35 por conveniência. Ainda observa-se

que SRBEnum não é uma classe, mas sim um header que contem todos os enumeradores utilizados

no sistema. Adotou-se essa alternativa afim de centralizar a declaração dos enumeradores do sistema.

Figura 35. Diagrama de classe para o componente Controladora

Segue a baixo as principais considerações sobre as classes do componente:

• TUniqueName: funciona como um gerador de nomes únicos, de grande valia quando

inserido um novo nó ou quando criada uma nova Rede Bayesiana (não podem existir

variáveis com o mesmo nome); e

• TFBN: é uma classe que serve de intermédio entre todas as funcionalidades oferecidas

pelos diferentes componentes do sistema.

3.3.3. Diagramas de atividade da interface de desenhoNesta seção apresentam-se os diagramas de atividade para os principais comportamentos da

interface de desenho da Rede Bayesiana. Na Figura 36 revela-se o diagrama para a inserção de arestas

entre nós distintos e na Figura 37 mostra-se o diagrama de atividade para a seleção e movimentação

dos desenhos.

57

Com intuito de facilitar a compreensão dos diagramas observe a Figura 27. Nesta figura

verifica-se uma das etapas de inserção de arestas, especificamente entre os nós Ladrão e Alarme.

Ainda observe que o nó Alarme está selecionado.

Figura 36. Diagrama de atividade para a ferramenta de inserção de arestas entre nós

Figura 37. Diagrama de atividade para a ferramenta de seleção

58

3.3.4. Algoritmos para propagação de evidênciasNesta subseção apresenta-se a documentação do algoritmo Junction Tree. A documentação

referente ao algoritmo amostragem de Gibbs não é detalhado em função da sua implementação

representar fielmente o fluxograma da Figura 20.

Junction Tree

O algoritmo para propagação de evidências em Redes Bayesianas Junction Tree, conforme o

projeto especificado, pode ser visto no fluxograma da Figura 38, que representa a visão macro do

funcionamento do algoritmo.

Figura 38. Visão macro da implementação do algoritmo JunctionTree

Em função da complexidade de algumas atividades do algoritmo, elas são separadas

individualmente em fluxogramas distintos.

Na Figura 39 verifica-se o fluxograma do processo de triangulação de grafos,

independentemente do grafo ser originalmente triangulado ou não. O processo divide-se basicamente

em duas etapas: na primeira determinam-se as conexões morais entre os nós do grafo G e a segunda

determina-se a ordem de eliminação. Caso o grafo G' não for originalmente triangulado, adicionam-

se os fill-ins necessários para transforma-lo num grafo triangulado.

Na Figura 40 revela-se o fluxograma para criar os cliques e separadores da Join Tree a partir

do grafo G moral triangulado. Em função do grafo G de entrada ser triangulado e de ser conhecida

uma ordem de eliminação, não necessita-se verificar se o nó é simplicial antes de elimina-lo. O

processo caracteriza-se por eliminar os nós simplicials e formar um novo clique e separador a partir

das famílias desses nós, entretanto somente se a família do nó que foi eliminado não estiver contido

em outro clique. Se a família do nó estiver contido em outro clique, apenas elimina-se o nó.

59

Figura 39. Triangular o grafo G

Figura 40. Determinar os cliques e separadores

Na Figura 41 verifica-se o fluxograma para conexão dos separadores aos seus respectivos

cliques (construção da Join Tree). Para o correto funcionamento desta etapa, necessita-se que a lista,

que contém os cliques e separadores, esteja ordenado crescentemente conforme o número do

identificador. A ordenação é importante, pois para qualquer separador (menos o último clique, pois

ele não tem separador) sempre existe um clique que contem todos os nós do separador e ele

necessariamente deve possuir um identificador de maior valor. Ressalta-se que um separador somente

conecta-se a um único clique de identificador superior, entretanto vários separadores podem estar

conectados a um mesmo clique.

60

Figura 41. Conectar os separadores aos seus respectivos cliques

61

4. SIMULAÇÕES

Este capítulo visa documentar os resultados obtidos com a implementação dos algoritmos

Amostragem de Gibbs e Junction Tree, através de um caso.

Com intuito de possuir um mesmo referencial de comparação entre os diferentes resultados e

simulações, adotou-se a Rede Bayesiana para análise de merecimento do crédito como base para todas

as simulações realizadas.

Na primeira seção apresenta-se a Rede Bayesiana adotada para as simulações. A segunda

seção revela a documentação dos resultados e simulações pertinentes ao algoritmo Amostragem de

Gibbs e, por último, a documentação dos resultados e simulações do algoritmo Junction Tree.

4.1. Rede Bayesiana para análise do merecimento do crédito

Adotou-se a Rede Bayesiana para análise do merecimento do crédito, visível na Figura 42,

como base para todas as simulações, em função da sua topologia com redes convergentes, pelo

número de estados, pelo número de arestas e principalmente por tratar-se de um grafo de domínio não

triangulado (se considerado arrestas não direcionadas), especialmente importante para simulações

com o algoritmo Junction Tree.

Figura 42. Rede Bayesiana para análise do merecimento do crédito

Verifica-se que as simulações visam o teste da capacidade de cálculos das probabilidades a

posteriori para ambos os algoritmos em circunstâncias sem e com múltiplas evidências instanciadas.

A capacidade do modelo em representar a relação de causa e efeito real e os valores das

probabilidades condicionais e incondicionais não são criticados, pois o objetivo é realizar as críticas

necessárias sobre as implementações dos algoritmos e não o domínio do problema.

As probabilidade a priori adotadas na Rede Bayesiana para análise do merecimento do crédito

são demonstradas no apêndice B.

62

4.2. Amostragem de GibbsNesta seção apresentam-se os resultados pertinentes ao algoritmo Amostragem de Gibbs,

quando utilizada a Rede Bayesiana para análise do merecimento do crédito.

As simulações, resultados e comentários são divididos em quatro sub-seções. Na primeira

relata-se a simulação da Rede Bayesiana sem a presença de evidências, a segunda com múltiplas

evidências, a terceira visa a influência do número de amostras e a última corresponde aos comentários

sobre o desempenho computacional.

4.2.1. Simulação sem evidências

Esta simulação visa demonstrar a capacidade do algoritmo em calcular as probabilidades a

posteriori quando não existem evidências instanciadas na Rede Bayesiana.

Na Tabela 33 são apresentadas as probabilidades a posteriori calculadas pelo algoritmo

amostragem de Gibbs (5000 amostras), as probabilidades exatas (obtidas no software GeNIe com o

algoritmo Clustering) e o erro percentual da probabilidade em relação ao valor exato.

Constata-se que na maioria dos estados, o erro encontrou-se no intervalo de [-5%,+5%]. O

maior erro encontrado foi de aproximadamente 13,6%, no estado Baixo da variável Valor. No outro

extremo, verificou-se que o valor da probabilidade para estado Não aceitável da variável Histórico de

pagamento foi idêntico ao valor exato.

Como previsto na teoria, este algoritmo apresenta probabilidades a posteriori aproximadas,

entretanto os resultados obtidos são plausíveis com os valores exatos esperados.

63

Tabela 33. Probabilidades a posteriori e erro

Nome da variável Nome do estado Erro (%)

Débitoa0_11100 0,3394000 0,3333333 1,8200102a11101_25900 0,3178000 0,3333333 -4,6599905a25901_mais 0,3428000 0,3333334 2,8399794

Receitass0_30000 0,3522000 0,3333333 5,6600106s30001_70000 0,3242000 0,3333333 -2,7399903s70001_mais 0,3236000 0,3333334 -2,9200194

Taxa: débitos/receitasFavorável 0,4570000 0,4667778 -2,0947400Desfavorável 0,5430000 0,5332222 1,8337160

AtivosSaudáveis 0,3194000 0,3333333 -4,1799904Médios 0,3340000 0,3333333 0,2000100Poucos 0,3466000 0,3333334 3,9799792

ValorAlto 0,5650000 0,5861489 -3,6081079Médio 0,2188000 0,2235270 -2,1147372Baixo 0,2162000 0,1903241 13,5956991

ProfissãoMuito rentável 0,3338000 0,3333333 0,1400100Rentável 0,3292000 0,3333333 -1,2399901Pouco rentável 0,3370000 0,3333334 1,0999798

Receitas futurasPromissora 0,6726000 0,6815710 -1,3162189Não promissora 0,3274000 0,3184290 2,8172575Excelente 0,2488000 0,2500000 -0,4800000Aceitável 0,2522000 0,2500000 0,8800000Não aceitável 0,2500000 0,2500000 0,0000000Sem referência 0,2490000 0,2500000 -0,4000000

Histórico de trabalho

Estável 0,2584000 0,2500000 3,3600000Não estável 0,2516000 0,2500000 0,6400000Sem trabalho, justificado 0,2458000 0,2500000 -1,6800000Sem trabalho, não justificado 0,2442000 0,2500000 -2,3200000

ConfiabilidadeConfiável 0,4412000 0,4472768 -1,3586245Não confiável 0,5588000 0,5527232 1,0994314

Idadea16_21 0,3398000 0,3333333 1,9400102a22_65 0,3252000 0,3333333 -2,4399902a66_mais 0,3350000 0,3333334 0,4999799Positivo 0,5228000 0,5405550 -3,2845871Negativo 0,4772000 0,4594450 3,8644451

Probabilidade (Gibbs)

Probabilidade (Algorit. Exato)

Histórico de pagamento

Merecimento de crédito

4.2.2. Simulação com múltiplas evidênciasNesta simulação relata-se o comportamento da precisão numérica das probabilidades a

posteriori quando inserida múltiplas evidências na Rede Bayesiana.

As evidências instanciadas na Rede Bayesiana foram dispostas nas variáveis conforme a

Tabela 34. Verifica-se que as evidências instanciadas foram dispostas a fim de maximar o número de

propagações em rede convergentes e para que algumas probabilidades exatas sejam menores do que

0,05. O objetivo é explorar o comportamento do algoritmo em extremos e comparar o resultados da

implementação algoritmo que suporta topologias genéricas com o resultados do algoritmo estático,

apresentado na Fundamentação Teórica.

64

Tabela 34. Evidências instanciadas

Nome da variável Estado em que foi atribuída a evidênciaValor Baixo

Taxa: débitos/receitas FavorávelMerecimento do crédito Negativo

O motivo da busca de estados com probabilidades menores do 0,05 é que nas simulações com

o algoritmo estático, verificou-se a presença dos maiores erros percentuais em estados em que as

probabilidades a posteriori exatas eram menores do que 0,05.

Os resultados obtidos com a simulação com múltiplas evidências são demonstrados na Tabela

35. Verifica-se que para a maioria das probabilidades a posteriori, o erro encontra-se no intervalo de

[-5%, +8%], que de certa forma, representa a mesma tendência de erro encontrada na simulação sem

evidências.

Constata-se que o estado Saudáveis da variável Ativo apresentou o maior erro percentual,

aproximadamente 43,6%, o qual representa um erro percentual significativo. Por outro lado, o erro

absoluto da probabilidade desse estado é de 0,0019 (0,19%), que para este caso é pouco significativo.

Com intuito de reforçar a necessidade de cautela na interpretação dos erros percentuais,

considere o estado Estável da variável Histórico de Trabalho. O erro percentual para este estado é de

aproximadamente 5,5% e o erro absoluto da probabilidade é de 0,0117 (1,17%). Verifica-se então que

o erro percentual do estado Saudáveis da variável Ativo é maior do que erro do estado Estável da

variável Histórico de Trabalho, entretanto o erro absoluto associado ao estado Estável é mais

significativo do que o erro em Saudável, conforme o ponto de vista do autor.

Ainda em relação aos resultados apresentados na Tabela 35, verifica-se a presença da mesma

tendência de erro encontrada nas simulações com o algoritmo estático, apresentado no capítulo da

fundamentação teórica.

Nesta tendência, constatou-se que o erro percentual aumenta consideravelmente conforme a

diminuição da probabilidade a posteriori exata prevista para o estado. Na Tabela 35 observa-se que os

dois maiores erros percentuais (em modulo) estão associados a estados em que a probabilidade a

posteriori exata esperada é menor do que 0,05.

Entretanto não é possível afirmar que necessariamente que todas as probabilidades a

posteriori menores do que 0,05 tenham os maiores erros, pois na Tabela 35 visualiza-se casos que

afirmam o contrário. Mas pode-se afirmar que existe uma tendência de aumento do erro quando a

probabilidade a posteriori exata do estado é inferior a 0,05.

65

Tabela 35. Probabilidades a posteriori e erro – múltiplas evidências

Nome da variável Nome do estado Erro (%)

Débitoa0_11100 0,9190 0,9179 0,1216a11101_25900 0,0612 0,0639 -4,1709a25901_mais 0,0198 0,0183 8,4795

Receitass0_30000 0,8280 0,8251 0,3562s30001_70000 0,1444 0,1468 -1,6208s70001_mais 0,0276 0,0282 -1,9907

Taxa: débitos/receitasFavorável 1,0000 1,0000 0,0000Desfavorável 0,0000 0,0000 0,0000

AtivosSaudáveis 0,0062 0,0043 43,5837Médios 0,3746 0,3643 2,8333Poucos 0,6192 0,6314 -1,9327

ValorAlto 0,0000 0,0000 0,0000Médio 0,0000 0,0000 0,0000Baixo 1,0000 1,0000 0,0000

ProfissãoMuito rentável 0,2598 0,2433 6,7949Rentável 0,3268 0,3341 -2,1820Pouco rentável 0,4134 0,4226 -2,1863

Receitas futurasPromissora 0,2444 0,2394 2,0839Não promissora 0,7556 0,7606 -0,6559Excelente 0,1930 0,1961 -1,5628Aceitável 0,2256 0,2274 -0,7998Não aceitável 0,3248 0,3222 0,8223Sem referência 0,2566 0,2544 0,8783


Estável 0,2226 0,2109 5,5291Não estável 0,2518 0,2612 -3,6080Sem trabalho, justificado 0,2386 0,2446 -2,4398Sem trabalho, não justificado 0,2870 0,2833 1,3160

ConfiabilidadeConfiável 0,2542 0,2535 0,2833Não confiável 0,7458 0,7465 -0,0962

Idadea16_21 0,3152 0,3228 -2,3468a22_65 0,2532 0,2547 -0,5999a66_mais 0,4316 0,4225 2,1546Positivo 0,0000 0,0000 0,0000Negativo 1,0000 1,0000 0,0000

Probabilidade (Gibbs)




4.2.3. Influência do número de amostrasEsta sub-seção visa descrever a influência do número de amostras na precisão numérica das

probabilidades a posteriori. Nesta simulação emprega-se a mesma Rede Bayesiana e conjunto de

evidências utilizadas na simulação com múltiplas evidências.

Na Figura 43 revela-se o gráfico com o erro percentual médio e máximo para as simulações

com diferentes números de amostras. Para o cálculo do erro médio, realizou-se a média dos módulos

dos erros de cada estado de cada variável da Rede Bayesiana, conforme pode ser visto na Equação 31.

O erro máximo também é um valor absoluto (módulo).

66

Erro médio=∑1

n∣erro do estadon∣

nEquação 31

500 1000 2000 3000 4000 5000 7500 10000 20000 30000 40000 50000

05

1015202530354045

6,59 4,73 3,84 2,99 2,44 2,27 2,43 2,35 1,04 1,13 0,77 1,09

38,95

30,5226,04

22,8

10,7815,79

26,6

128,5

19,65

6,18

13,01

Erro médio e máximo conforme o número de amostras

Erro médio (%) Erro máximo (%)Número de amostras

Err

o (

%)

Figura 43. Erro médio e máximo conforme o número de amostras

Ainda na Figura 43, percebe-se a diminuição do erro médio conforme o aumento do número

de amostras, entretanto a diminuição do erro não é proporcional ao aumento do esforço

computacional necessário para os cálculos das probabilidade a posteriori, mas o esforço

computacional aumenta exponencialmente conforme o acréscimo do número de amostras. Reitera-se

que uma conclusão similar foi apresentada quando utilizado o algoritmo estático.

O mesmo comportamento, diminuição do erro conforme o acréscimo do número de amostras,

verifica-se para o erro máximo da Figura 43, entretanto percebe-se oscilações conforme o aumento do

número de amostras, mas a tendência é a diminuição do erro máximo.

Yuan e Druzdzel (2004) também verificaram a mesma tendência de diminuição sucinta do

erro conforme o aumento do número de amostras.

4.2.4. DesempenhoNesta sub-seção pretende-se documentar aspectos sobre o desempenho computacional do

algoritmo Amostragem de Gibbs. Para as simulações, emprega-se a mesma Rede Bayesiana e

conjunto de evidências utilizadas na simulação com múltiplas evidências.

Com intuito de comprovar que o esforço computacional aumenta exponencialmente e o erro

diminui sucintamente com o acréscimo do número de amostras, na Figura 44 revela-se o gráfico do

erro percentual médio e tempo de execução versus número de amostras. Observe que o erro

percentual é calculado conforme a Equação 31, a escala de tempo é segundos e os eixo x e y estão

representados na forma logarítmica.

Realizou-se a coleta dos tempos de execução na mesma plataforma de hardware, sob o mesmo

sistema operacional e condições de ensaio.

67

500 5000 50000

0

2

4

6

8

10

0,11 0,22 0,43 0,66

2,44

4,86

6,71

8,73

10,91

6,59

4,733,84

2,992,44 2,27 2,43

1,04 1,13 0,77 1,09

Erro percentual e tempo de execução versus número de amostras

Erro médio (%) Tempo (s)Número de amostras

Va

lor

(% o

u se

gun

do

s)

0,88 1,11,66

2,35

Figura 44. Erro médio e tempo de execução versus número de amostras

Reitera-se que o desempenho computacional para o algoritmo amostragem de Gibbs não

somente depende do número de amostras, mas também do número de variáveis, arestas e estados,

enfim, quanto maior for a Rede Bayesiana, maior esforço computacional necessita-se para obtenção

das probabilidades a posteriori.

Percebe-se a necessidade do uso adequado do número de amostras, pois se o número for

insuficiente, os erros associados tornam os resultados insatisfatórios, por outro lado busca-se não

utilizar grandes quantidades de amostras, pois o esforço computacional pode ser proibitivo sem

grandes melhorias na precisão numérica dos resultados. Quando empregado este algoritmo, deseja-se

utilizar uma quantidade de amostras que apresente o melhor custo/benefício na relação precisão dos

resultados e esforço computacional.

Através do gráfico da Figura 44 constata-se que o algoritmo amostragem de Gibbs não é a

solução mais adequada para os cálculos das probabilidades a posteriori em Redes Bayesianas, pois

além de se tratar de um algoritmo com solução aproximada, o fator desempenho torna proibitivo o uso

do algoritmo para grandes Redes Bayesianas. Ressalta-se que a Rede Bayesiana empregada nas

simulações deste trabalho é de pequeno porte.

Yuan e Druzdzel (2004) também verificam que o algoritmo amostragem de Gibbs demonstra

desempenho insatisfatório quando empregado na resolução de probabilidades a posteriori em Redes

Bayesiana de grande tamanho ou mesmo se comparado com outros algoritmos.

4.3. Junction TreeNesta seção apresenta-se todo o processo pertinente à propagação de evidências, na Rede

Bayesiana de análise de merecimento de crédito, quando utilizado o algoritmo Junction Tree.

Antes de necessariamente apresentar os valores das probabilidades a posteriori, demonstra-se

todo o processo necessário para a construção da Junction Tree. Na primeira sub-seção revela-se o

processo de transformação do grafo direcionado acíclico num grafo moral. Na segunda, apresenta-se o

68

processo de triangulação do grafo moral. Na terceira, verifica-se a metodologia para a criação da Join

Tree. Na quarta revela-se os resultados obtidos com a simulação sem evidência. Na sexta os

resultados da simulação com múltiplas evidências instanciadas e, por último, os comentários finais da

implementação.

4.3.1. Grafo moral

Esta sub-seção visa demostrar o resultado obtido no processo de transformação do grafo

direcionado acíclico num grafo moral (não direcional).

Na Figura 45 revela-se o grafo moral para a Rede Bayesiana da análise do merecimento do

crédito. Verifica-se que as arestas direcionadas do grafo foram transformadas em não direcionais e

que as conexões morais foram determinadas. Observe que as arrestas provenientes das conexões

morais são apresentadas com linhas tracejadas, afim de que o leitor discirna as arestas originais das

conexões morais.

Figura 45. Grafo moral

4.3.2. Triangulação

Nesta sub-seção verifica-se o resultado do processo de triangulação do grafo moral e a

determinação da ordem de eliminação.

Conforme observado anteriormente, a topologia da Rede Bayesiana da análise do

merecimento do crédito não forma um grafo de domínio triangulado. De qualquer forma, para o

processo de triangulação desenvolvido, não necessita-se saber se o grafo possui ou não domínio

triangulado, pois a necessidade de eliminação de nós não simplicials ocorre naturalmente.

Então, ao aplicar o procedimento, determina-se a seguinte ordem de eliminação, antes de

eliminar um nó não simplicial: Ativos, Débitos, Profissão, Histórico de Pagamento, Histórico de

Trabalho, Merecimento do crédito, Idade e Confiabilidade. Desta forma, ainda restam quatro nós não

simplicials no grafo moral, conforme percebe-se na Figura 46 (a).

69

(a) (b)

Figura 46. (a)grafo moral de domínio não triangulado; (b) grafo moral com fill-in

Com intuito de eliminar um nó não simplicials, utiliza-se a heurística que escolhe o nó que

tem o menor valor do produtório do número de estados da família. Para este caso específico, os nós

Valor e Taxa: débitos/receitas possuem o mesmo valor, então, elimina-se o primeiro, que para este

caso é o nó Valor.

Depois de eliminado o nó não simplicial Valor, necessita-se inserir os fill-ins, que nada mais

são do que arestas não direcionadas entre todos os membros da família do nó eliminado ainda

presentes no grafo. Na Figura 46 (b) percebe-se que o nó Valor foi eliminado e que sua família forma

um clique, dado a nova aresta (fill-in), que no grafo moral é representado por uma linha tracejada com

dois pontos.

Em continuação com o processo de triangulação, os nós remanescentes Receitas, Receitas

Futuras e Taxa: débitos/receitas são eliminados, nesta seqüência, pois todos são simplicials.

4.3.3. Construção da Join Tree

Depois do grafo moral ser triangulado, permite-se a construção da Join Tree, que é constituída

por um conjunto de cliques e separadores. Com intuito de determiná-los, o grafo moral é

reconstituído, de tal forma que sejam consideradas as arestas originais não direcionadas, as conexões

morais e os fill-ins, conforme demonstra a Figura 47. Observe ainda a abreviatura do nome da

variável entre parentes.

Em função da certeza de existir uma ordem de eliminação de nós simplicials, dado que o grafo

é triangulado, utiliza-se a ordem de eliminação dos nós da etapa anterior, a fim de determinar os

cliques e separadores da Join Tree.

Depois de determinados os cliques e separadores do grafo, necessita-se determinar as

conexões entre os separadores aos seus respectivos cliques. Na Figura 48 apresenta-se a Join Tree, o

resultado desse processo.

70

Figura 47. Grafo moral triangulado

Figura 48. Join Tree

Para transformar a Join Tree numa Junction Tree basta transformar os separadores em caixas

de mensagens.

4.3.4. Simulação sem evidênciasEsta simulação visa demonstrar a capacidade do algoritmo Junction Tree em calcular as

probabilidades a posteriori da Rede Bayesiana da análise do merecimento do crédito sem a inserção

de evidências.

Verifica-se na Tabela 36 que a maioria das probabilidades a posteriori não diferem dos

resultados obtidos com outro sistema. Entretanto na variável Merecimento de crédito percebe-se a

presença de uma diferença entre os resultados. Em primeira instância determinou-se que a razão dessa

diferença eram problemas da implementação, entretanto constatou-se que o motivo da diferença é o

tipo de representação numérica.

Na implementação do algoritmo deste trabalho utilizou-se representação numérica do tipo

double (8 bytes), enquanto que o GeNIe utiliza o tipo single (4 bytes). Outro motivo que determinou

essa conclusão, é que os mesmos procedimentos são utilizados para os cálculos das outras

probabilidades, que não apresentaram diferenças entre os resultados. Ainda constata-se a grande

71

quantidade de multiplicações necessárias para a obtenção das probabilidades a posteriori da variável

Merecimento do Crédito.

Tabela 36. Probabilidades a posteriori e diferença

Nome da variável Nome do estado Diferença (%)

Débitoa0_11100 0,3333333 0,3333333 0,0000000a11101_25900 0,3333333 0,3333333 0,0000000a25901_mais 0,3333334 0,3333334 0,0000000

Receitass0_30000 0,3333333 0,3333333 0,0000000s30001_70000 0,3333333 0,3333333 0,0000000s70001_mais 0,3333334 0,3333334 0,0000000

Taxa: débitos/receitasFavorável 0,4667778 0,4667778 0,0000000Desfavorável 0,5332222 0,5332222 0,0000000

AtivosSaudáveis 0,3333333 0,3333333 0,0000000Médios 0,3333333 0,3333333 0,0000000Poucos 0,3333334 0,3333334 0,0000000


ProfissãoMuito rentável 0,3333333 0,3333333 0,0000000Rentável 0,3333333 0,3333333 0,0000000Pouco rentável 0,3333334 0,3333334 0,0000000

Receitas futurasPromissora 0,6815710 0,6815710 0,0000000Não promissora 0,3184290 0,3184290 0,0000000Excelente 0,2500000 0,2500000 0,0000000Aceitável 0,2500000 0,2500000 0,0000000Não aceitável 0,2500000 0,2500000 0,0000000Sem referência 0,2500000 0,2500000 0,0000000


Estável 0,2500000 0,2500000 0,0000000Não estável 0,2500000 0,2500000 0,0000000Sem trabalho, justificado 0,2500000 0,2500000 0,0000000Sem trabalho, não justificado 0,2500000 0,2500000 0,0000000

ConfiabilidadeConfiável 0,4472768 0,4472768 0,0000000Não confiável 0,5527232 0,5527232 0,0000000

Idadea16_21 0,3333333 0,3333333 0,0000000a22_65 0,3333333 0,3333333 0,0000000a66_mais 0,3333334 0,3333334 0,0000000Positivo 0,5440134 0,5405550 0,6397782Negativo 0,4559866 0,4594450 -0,7527241

Probabilidade (Juntion Tree) Probabilidade (GeNIe)



4.3.5. Simulação com evidênciasEsta simulação visa demonstrar a capacidade do algoritmo Junction Tree em calcular as

probabilidades a posteriori da Rede Bayesiana da análise do merecimento do crédito com a inserção

de múltiplas evidências. Apresenta-se as evidências instanciadas na Tabela 37.

Os resultados obtidos são revelados na Tabela 38. Constata-se novamente que existem

diferenças entre os valores simulados no sistema desenvolvido com os resultados obtidos em outro

72

sistema. Novamente atribui-se essa diferença em função da precisão numérica de representação

utilizada pelo outro sistema.

Tabela 37. Evidências instanciadas

Nome da variável Estado em que foi atribuída a evidênciaReceitas s0_30000

Valor BaixoMerecimento do crédito PositivoHistórico de pagamento Sem referência

Tabela 38. Probabilidades a posteriori e diferença, para simulação com múltiplas evidências

Nome da variável Nome do estado Diferença (%)

Débitoa0_11100 0,4207006 0,4207000 0,0001318a11101_25900 0,2896497 0,2896490 0,0002346a25901_mais 0,2896498 0,2896500 -0,0000807

Receitass0_30000 1,0000000 1,0000000 0,0000000s30001_70000 0,0000000 0,0000000 0,0000000s70001_mais 0,0000000 0,0000000 0,0000000

Taxa: débitos/receitasFavorável 0,2771111 0,2771110 0,0000204Desfavorável 0,7228889 0,7228890 -0,0000078

AtivosSaudáveis 0,0006254 0,0006254 0,0001439Médios 0,4371482 0,4371470 0,0002785Poucos 0,5622264 0,5622270 -0,0001082


ProfissãoMuito rentável 0,4889327 0,4889330 -0,0000607Rentável 0,3320258 0,3320260 -0,0000730Pouco rentável 0,1790415 0,1790420 -0,0002574

Receitas futurasPromissora 0,6865373 0,6865370 0,0000401Não promissora 0,3134627 0,3134630 -0,0000877Excelente 0,0000000 0,0000000 0,0000000Aceitável 0,0000000 0,0000000 0,0000000Não aceitável 0,0000000 0,0000000 0,0000000Sem referência 1,0000000 1,0000000 0,0000000


Estável 0,3052791 0,3052790 0,0000422Não estável 0,2248731 0,2248730 0,0000548Sem trabalho, justificado 0,2650761 0,2650760 0,0000475Sem trabalho, não justificado 0,2047716 0,2047720 -0,0001846

ConfiabilidadeConfiável 0,6214922 0,6214920 0,0000283Não confiável 0,3785078 0,3785080 -0,0000464

Idadea16_21 0,3302642 0,3302640 0,0000596a22_65 0,3772048 0,3772050 -0,0000508a66_mais 0,2925310 0,2925320 -0,0003436Positivo 1,0000000 1,0000000 0,0000000Negativo 0,0000000 0,0000000 0,0000000

Probabilidade (Junction Tree)




4.3.6. Considerações finais da implementação do Junction Tree

Por mais que os resultados obtidos sejam satisfatórios, necessita-se esclarecer que a versão

atual do algoritmo Junction Tree falha ao calcular as probabilidades a posteriori em Redes

73

Bayesianas com múltiplas conexões. O motivo dessa dificuldade trata-se dos domínios não

triangulados, pois em função da existência de um domínio não realmente presente, existem

dificuldades para realização das operações matemáticas pertinentes. Como conseqüência dessa

dificuldade, o algoritmo Junction Tree calcula probabilidades a posteriori errôneas para alguns

conjuntos específicos de evidências.

74

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente trabalho resultou num sistema para modelagem e simulação de Redes Bayesianas

que oferece como meio de propagação de evidências os algoritmos Amostragem de Gibbs e Junction

Tree.

O desenvolvimento adequado das atividades executadas neste trabalho, necessitou a

utilização de várias ferramentas, como as seguintes: Eclipse integrado com o QT, MinGw

(compilador GCC adaptado para funcionar no sistema operacional Windows), bibliotecas do QT,

Enterprise Architect, QT Designer (ferramenta para desenho de telas), GIMP, Hugin, GeNIe, Netica

Application, Microsoft Office Vision (desenho de fluxogramas), MatLab e ferramentas do

OpenOffice.

Com uso das ferramentas apropriadas, permitiu-se o desenvolvimento do sistema na

linguagem C++, com o adequado auxilio das bibliotecas do QT, que foram essenciais para a

elaboração da interface gráfica, implementação da ferramenta para visualização da Rede Bayesiana na

forma de um grafo e implementação dos algoritmos. Reitera-se que os algoritmos foram totalmente

desenvolvidos, de tal maneira que eles possam ser reaproveitados em outras aplicações.

Constata-se o grande desafio envolvido no desenvolvimento desse trabalho, pois a maioria das

ferramentas de desenvolvimento utilizadas eram novidades, os algoritmos para propagação de

evidências têm razoável complexidade em função dos modelos matemáticos e por fim o

desenvolvimento de um ferramenta de desenho de grafos 2D, pois por mais que a ferramenta de

desenho 2D seja simples do ponto de vista do usuário, a sua implementação é complexa. Ainda como

dificuldade enfrentada, verifica-se o próprio emprego das bibliotecas do QT, que por mais bem

documentadas que elas sejam, elas proporcionaram dificuldades por se tratar de uma tecnologia

desconhecida antes da implementação.

Verifica-se como um ponto positivo da elaboração deste trabalho o modelo da arquitetura do

sistema, pois este visou desacoplar as funcionalidades distintas oferecidas no software e maximizar a

reusabilidade. Como exemplo de reusabilidade, a ferramenta de desenho de grafos facilmente pode

ser reaproveitada para outros fins que necessitam de desenhos de grafos 2D, como também os

algoritmos para propagação de evidências podem ser reutilizados em outras aplicações.

Constata-se ainda como ponto positivo, o desenvolvimento da interface gráfica com o usuário,

principalmente a ferramenta para criação de grafos direcionados, a qual permite a criação de nós e a

inserção de arestas entre os nós, de maneira visual, além de disponibilizar ferramentas para adequar o

posicionamento dos nós do grafo entre outras funcionalidades. Essa ferramenta proporciona

satisfatório benefício na etapa de elaboração das relações de causas e efeito entre as variáveis, pois a

representação visual da rede facilita a compreensão do domínio do problema.

Reitera-se a capacidade de simulação propiciada pelo sistema, pois permite-se a simulação de

cenários de evidências de maneira visual, através da interface gráfica, além dos modelos de

propagação de evidência serem abstraídos tanto para a simulação como para a modelagem da Rede

Bayesiana.

Em função do exito da implementação do algoritmo Amostragem de Gibbs, permitiu-se a

realização de experimentos para mensurar o nível de erro médio, determinar a influência das

evidências na obtenção das probabilidades a posteriori, determinar a influência do número de

amostras na precisão numérica das probabilidades como também sua influência no desempenho

computacional.

Já o algoritmo Junction Tree apresentou bons resultados para algumas situações particulares

de redes, envolvendo poucas variáveis e poucas evidências simultâneas. Entretanto realizaram-se

testes que comprovam, ao menos, o funcionamento parcial do algoritmo. Como descrito

anteriormente, o motivo do sucesso parcial é a dificuldade em compreender o processo matemático

envolvido quando o grafo não possui domínio triangulado.

5.1. Sugestões para trabalhos futurosDesenvolvimento de algoritmos que abrangessem grafos de influência, variáveis contínuas,

aprendizado, determinação de conflitos de evidências ou casos raros, uso de níveis de certeza na

inserção de evidências (likelihood), cálculo da probabilidade das evidências, determinação automática

de casos, geração automática de código, implementação dos algoritmos de simulação AIS-BN ou/e

APIS-BN, determinação das forças das influências, detecção de d-separação e d-conexão,

implementação de outros algoritmos exatos e algoritmos para Redes Bayesianas Dinâmicas (grafos

temporais).

76

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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PEARL, Judea. Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference. 2 ed San Francisco: Elsevier, 1988.

RUSSELL, Stuart J; NORVIG, Peter. Inteligência Artificial. 2 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.

SCHREIBER, Jacques Nelson Corleta. Um Modelo para Hipermídia Adaptativa utilizando Redes Bayesianas. UFSC, Florianópolis, 2002. Artigo (Departamento de Engenharia de Produção).

SHAFER, G. Conditional probability. Int. Statist. Review,1985.

SUEBNUKARN, Siriwan. HADDWY, Peter. Comet: a Collaborative Tutoring System for Medical Problem-Based Learning. IEEE Inteligent Systems, 2007.

YUAN, Changhe. DRUZDZEL, Marek J. Importance Sampling Algorithms for Bayesian Networks: Principles and Performance. 19th Annual Conference on Uncertainty in Artifical Intelligence, 2004.

APÊNDICES

A FLUXOS DOS CASOS DE USO DO SISTEMA

A.1 USC 001 – NOVA/ABRIR REDE BAYESIANA

A.1.1 Fluxo base

FLUXO BASE

Pré-condição Fluxo Descrição

Pós-condições

Tela

1 O projetista inicializa o sistema.TFMain 2 O sistema mostra a tela inicial

3

TFMain 4

TFMain 5 *O projetista opta por abrir projeto salvo.

6

7 O projetista escolhe o arquivo do projeto.8 *O projetista confirma.

TFMain 9

310 O sistema lê os atributos do arquivo.

TFMain 11

TFMain 12

13 O sistema volta para a etapa 5

Associado com a etapa

O sistema inicializa um novo projeto de Redes Bayesianas (RB).O sistema atualiza a interface para estado de modelagem (existe uma RB aberta – mostrar todas as ferramentas)

O sistema mostra a tela para escolha do diretório (Dialog).

O sistema fecha o projeto de RB criado no início da execução do sistema caso ele não tenha sido modificado ou fechado. Novo projeto associado a etapa:

O sistema mostra na árvore a RB com suas variáveis e estados.O sistema mostra graficamente a RB numa janela MDI conforme os parâmetros do arquivo (posição dos nós, tamanho, cores, fontes), seleciona-a e expande-a.

A.1.2 Fluxo alternativo: Novo Projeto

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 5 O projetista opta por iniciar um novo projeto.

Pós-condições

Tela

TFMain 5-›01 O projetista inicia um novo projeto de Rede Bayesiana.

TFMain 5-›02

3

5-›03

5-›04 O sistema seleciona essa janela MDI e expande-a.

5-›05


O sistema fecha o projeto de RB criado no início da execução do sistema caso ele não tenha sido modificado ou fechado. Novo projeto associado a etapa:O sistema cria uma nova janela MDI para modelagem de uma nova Rede Bayesiana.

O projetista inicia a modelagem da nova Rede Bayesiana (ver USC 001)

A.1.3 Fluxo alternativo: Cancela

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 8 O projetista opta por cancelar a operação de abrir o projeto salvo.

Pós-condições

Tela

8-›01 O sistema volta para o passo 5


A.2 USC 002 – NOVA/ABRIR REDE BAYESIANA

A.2.1 Fluxo Base

FLUXO BASEPré-condição Fluxo Descrição

A Estar aberto ao menos uma Rede Bayesiana

Pós-condições

Tela

TFMain 1

TFMain 2 *O projetista insere os novos nós na Rede Bayesiana.3 O sistema mostra graficamente os novos nós.

4

TFMain 5 O projetista insere as arrestas direcionadas entre os nós.

6

7 O sistema mostra graficamente as arrestas.TFMain 8 *O projetista seleciona um ou grupo de nós.

9 O sistema mostra visualmente o nó selecionado.TFMain 10 *O projetista opta por configurar as propriedades do nó.

11 O sistema busca as propriedades do nó.

TFNodeProperties 12

13 O projetista define o nome da variável.14 O projetista insere a descrição da variável.15 O projetista insere n número de estados.16 O sistema ajusta a tabela para inserção das probabilidades.17 O projetista insere as probabilidades dos estados.18 O projetista configura as opções de letra e cor da variável19 O sistema mostra a pré-visualização do nó.20 *O projetista confirma as configurações.

21

22 O sistema confirma que os critérios estão adequados.23 O sistema aplica as novas configurações.

TFNodeProperties 24 O sistema fecha a tela para edição das propriedades do nó.25 O sistema volta para a etapa 1


O projetista escolhe a Rede Bayesiana aberta para ser modificada.

O sistema atualiza o sumário (índices das Rede Bayesiana) e árvore.

O sistema atualiza o sumário (índices das Rede Bayesiana) e árvore.

O sistema mostra a tela para configurar as propriedades dos nós conforme as propriedades do nó selecionado. Caso for um grupo de nós selecionados o sistema mostrará as propriedades do primeiro nó selecionado.

O sistema verifica se o nome da variável é única; verifica critério dos valores das probabilidades.

A.2.2 Fluxo alternativo: Salvar como

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 8 O projetista opta por salvar o projeto.

B

Pós-condições

Tela

8-›01

8-›02

8-›03 *O projetista confirma8-›04 O sistema cria um novo arquivo.

8-›05

8-›06


O projeto ser novo (nunca ter sido salvo) ou seleção da opção de Salvar como.


O sistema mostra a tela para seleção do diretório e nome do arquivo (Dialog).O projetista seleciona o diretório e insere o nome do arquivo

O sistema salva os parâmetros das Rede Bayesiana no arquivo.O sistema alerta que o arquivo foi salvo com sucesso (Aviso na barra de status).

A.2.3 Fluxo alternativo: Salvar

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 8 O projetista opta por salvar o projeto.B Opção de salvar e o projeto já ter sido salvo anteriormente.

Pós-condições

Tela

8-›01 O sistema cria um novo arquivo.

8-›02

8-›03



O sistema salva os parâmetros das Rede Bayesiana no arquivo.O sistema alerta que o arquivo foi salvo com sucesso (Aviso na barra de status).

A.2.4 Fluxo alternativo: Configurar Rede Bayesiana

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 10 O projetista opta por configurar as propriedades da Rede Bayesiana.

Pós-condições

Tela

10-›01

TFBNProperties 10-›02

10-›03 O projetista altera o nome da Rede Bayesiana.

10-›04

10-›05 O projetista insere a descrição da Rede Bayesiana.10-›06 *O projetista confirma.10-›07 O sistema volta para a etapa 1


O sistema busca as propriedades da Rede Bayesiana selecionada (janela MDI selecionada)O sistema mostra a tela para configuração das propriedades da Rede Bayesiana conforme a Rede Bayesiana selecionada.

O projetista altera o número de amostras para o algoritmo de Gibbs.

A.2.5 Fluxo alternativo: Cancelar

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 8-›03 O projetista opta por salvar o projeto.

OUB 10-›06 Opção de salvar e o projeto já ter sido salvo anteriormente.

Pós-condições

Tela

8->03->01 O sistema não realiza a operação e volta para a etapa 1


A.3 USC 003 – SIMULAR

A.3.1 Fluxo Base

FLUXO BASE

Pré-condição Fluxo DescriçãoA Existir uma Rede Bayesiana aberta e possuir ao menos 1 nó (variável)

Pós-condições

Tela

TFMain 1 O projetista seleciona a Rede Bayesiana.

TFMain 2

TFMain 3

4

5

6

7 *O projetista insere/remove as evidências desejadas.8 O sistema mostra em quais variáveis foram instanciadas evidências.

9

10

11

12 O sistema volta para o passo 7


O sistema busca os parâmetros associados a Rede Bayesiana e atualiza a interface (ex.: algoritmo selecionado, número de amostras, sumário, etc)O sistema mostra a tela da Rede Bayesiana no topo (acima das outras telas)O projetista seleciona o algoritmo de propagação de evidências.*O projetista opta pelo modo de representação que mostra as probabilidades dos estados diretamente no grafo (barras gráficas)O sistema mostra no gráfico as variáveis com seus respectivos estados.

O projetista opta por atualizar as probabilidades posteriores.O sistema calcula as probabilidades posteriores dada a configuração da Rede Bayesiana e as probabilidades associadas.O sistema atualiza as probabilidades posteriores dos estados nas variáveis.

A.3.2 Fluxo alternativo: Modo de representação

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 5 O projetista opta por visualizar a Rede Bayesiana em forma de rede causal.

Pós-condições

Tela

5-›01

5-›02 O sistema volta para a etapa 7


O sistema mostra a Rede Bayesiana na forma de uma rede causal.

A.3.3 Fluxo alternativo: Propagação automática

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 7 Opção de atualização automática das probabilidades posteriores ativada

Pós-condições

Tela

7-›01

7-›02

7-›03

7-›04 O sistema volta para a etapa 7-›01


O sistema calcula as probabilidades posteriores dada a configuração da Rede Bayesiana e as probabilidades associadas.O sistema atualiza as probabilidades posteriores dos estados nas variáveis.*O projetista realiza qualquer operação que altere as probabilidades dos estados (exemplo: inserção de novas arrestas, novos estados, alteração das probabilidades condicionais e/ou incondicionais, etc)

A.3.4 Fluxo alternativo: Propagação automática desabilitada

FLUXO ALTERNATIVO

Pré-condição Fluxo DescriçãoA 7-›03 Atualização das probabilidades posteriores manuais

Pós-condições

Tela

7->03->01 O sistema volta para a etapa 1


B PROBABILIDADES A PRIORI

B. VARIÁVEIS INCONDICIONAISAtivos Receitas Histórico de trabalho

Saudáveis 0,333333 s0_30000 0,333333 Estável 0,250000Médios 0,333333 s30001_70000 0,333333 Não estável 0,250000Poucos 0,333334 s70001_mais 0,333334 Sem trabalho – justificado 0,250000

Sem trabalho – não justificado 0,250000

Profissão DébitosMuito rentável 0,333333 A0_11100 0,333333Rentável 0,333333 A11101_25900 0,333333Pouco Rentável 0,333334 a25901_mais 0,333334

Idade Histórico de pagamentoa_16_21 0,333333 Excelente 0,250000a22_65 0,333333 Aceitável 0,250000a66_acima 0,333334 Não Aceitável 0,250000

Sem referência 0,250000

B.1 VARIÁVEIS CONDICIONAIS

B.1.1 Variável - ValorReceitas s0_30000 s30001_70000 s70001_maisAtivos Saudáveis Médios Poucos Saudáveis Médios Poucos Saudáveis Médios PoucosAlto 0,899 0,001 0,001 0,989 0,699 0,100 0,989 0,907 0,690Médio 0,100 0,300 0,100 0,010 0,300 0,800 0,010 0,092 0,300Baixo 0,001 0,699 0,899 0,001 0,001 0,100 0,001 0,001 0,010

B.1.2 Variável - Taxa: débitos/receitasDébitos A0_11100 A11101_25900 a25901_maisReceitas s0_30000 s30001_70000 s70001_mais s0_30000 s30001_70000 s70001_mais s0_30000 s30001_70000 s70001_maisFavorável 0,500 0,800 0,999 0,001 0,500 0,800 0,001 0,100 0,500Desfavorável 0,500 0,200 0,001 0,999 0,500 0,200 0,999 0,900 0,500

B.1.3 Variável – Receitas futurasValor Alto Médio Baixo

Profissão Rentável Rentável Rentável

Promissora 0,990 0,800 0,600 0,850 0,600 0,400 0,800 0,400 0,010Não Promissora 0,010 0,200 0,400 0,150 0,400 0,600 0,200 0,600 0,990

Muito rentável

Pouco Rentável

Muito rentável

Pouco Rentável

Muito rentável

Pouco Rentável

B.1.4 Variável - Confiabilidade

Histórico de trabalho Confiável Não confiável

Excelente

Estável 0,990000 0,010000Não estável 0,700000 0,300000Sem trabalho – justificado 0,700000 0,300000Sem trabalho – não justificado 0,500000 0,500000

Aceitável

Estável 0,700000 0,300000Não estável 0,550000 0,450000Sem trabalho – justificado 0,600000 0,400000

Sem trabalho – não justificado 0,400000 0,600000

Não Aceitável

Estável 0,196429 0,803571Não estável 0,010000 0,990000Sem trabalho – justificado 0,100000 0,900000

Sem trabalho – não justificado 0,010000 0,990000Estável 0,700000 0,300000Não estável 0,300000 0,700000Sem trabalho – justificado 0,500000 0,500000

Sem trabalho – não justificado 0,200000 0,800000


Sem referência

B.1.5 Variável – Merecimento do crédito

Confiabilidade Idade Positivo Negativo

Confiável

Favorável

Promissoraa_16_21 0,900000 0,100000a22_65 0,908257 0,091743a66_acima 0,800000 0,200000

Não Promissoraa_16_21 0,700000 0,300000a22_65 0,800000 0,200000a66_acima 0,600000 0,400000

Desfavorável



Não confiável

Favorável



Desfavorável



Taxa: débitos/receitas

Receitas Futuras

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