Tpicos Especiais em Tecnologia da Computao II Professor Flvio Antonio Galeazzi

A MODELAGEM MATEMTICA O Que Modelagem Matemtica? Segundo Bassanezi (2004), Modelagem Matemtica um processo dinmico utilizado para a obteno e validao de modelos matemticos. uma forma de abstrao e generalizao com a finalidade de previso de tendncias. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situaes da realidade em problemas matemticos cujas solues devem ser interpretadas na linguagem usual. (Bassanezi, 2004, p.24) Um Exemplo da Aplicao da Modelagem Matemtica ao Ensino: Construo de uma Casa Existem inmeras maneiras que se poderia adotar para construo de uma casa, entretanto, em todas elas se faz necessrio: mo de obra, terreno, material (cimento, tijolo, brita), a planta da casa, entre outros. Pra projet-la no basta decidir sobre o tamanho, fachada, formato, mas preciso tambm procurar meios que garantam o conforto desse ambiente, por meio do posicionamento dos cmodos e aberturas (janelas e portas), temperatura, luminosidade e ventilao. Nesse contexto, o projetista ter que observar o posicionamento do sol no decorrer do ano, o clima da regio, assim como as condies do terreno. Nesse exemplo, tem-se a pretenso de mostrar algumas questes relacionadas a construo de uma casa atravs da feitura de uma planta e uma maquete. Nessas questes, tem-se a possibilidade de levantar questes que envolvem geometria plana e espacial, sistemas de medidas, produto notvel, porcentagem, relaes mtricas do tringulo retngulo, dentre outras. O professor pode comear o trabalho com uma discusso informal a cerca do tema, com seus alunos, abordando questes do tipo: O que necessrio para se construir uma casa? Como o pedreiro sabe a medida e o modelo de uma casa? Como e onde construir? Aps essas perguntas, propor que os alunos faam um esboo de uma planta baixa de uma casa, sendo essa atividade de forma livre e espontnea, sem orientao de qualquer natureza, o que servir para avaliar o conhecimento dos alunos sobre os conceitos de medida e geomtricos. Como fazer uma planta baixa de uma casa?

2 O primeiro passo garantir que os seguimentos que representam as paredes, estejam paralelos e/ou perpendiculares, caso a forma dos interiores seja quadriltera. As aberturas (postas e janelas) tambm devem estar indicadas. Como o construtor sabe o tamanho da casa que se quer construir? A palavra tamanho nos remete a idia de medida. As medidas so padres especficos que relacionam cada objeto de estrutura semelhantes. O construtor executa uma obra por meio da planta desenho, que deve ser semelhante casa que se quer construir, porm reduzida. O processo utilizado para reduzir ou aumentar um desenho, sem alterar a forma, denominado escala. 1 cm da planta 1 m da casa ou 1:100 (escala de 1por 100) ou ento, 2 cm da planta 1 m da casa ou 2:100 (escala de 2 por 100).

8,3 m

Qual a medida e o lugar ideal do terreno para construir a casa? Tendo em vista o fato de que h normas e de que estas variam de regio para regio, na planta deve constar tambm o espao que ser ocupado pelas paredes, bem como as medidas relativas ao terreno e parte deste que ser ocupada pela casa, ou seja, a rea do terreno, da casa e dos cmodos. A rea de uma figura geomtrica plana o nmero que expressa a medida da superfcie dessa figura numa certa unidade. Supondo que o terreno e planta da casa tenham formas retangulares e que as medidas desses sejam, respectivamente: 12 m por 25 m e 8 m por 10 m. Portanto, a rea do terreno 12 m x 25 m = 300 m e da planta baixa da casa, 8 m x 10 m = 80 m.

rea da casa = (a x b ) mb a d

rea do terreno = (c x d) m

c

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rea til e rea construda: como relacion-las? Pode-se fazer o esboo de uma planta baixa de forma retangular, levando em conta as paredes externas. Por exemplo, supondo que as medidas internas da sua planta sejam 7 m e 8 m, respectivamente, e a espessura da parede seja 15 cm (0,15 m).

7m

8m

0,15m

Temos que: rea total = rea til (interna) + rea ocupada pelas paredes + rea ocupada pelas colunas. Neste caso, representando a identidade, numericamente:

[8 + 2 (0,15)] x [7 + 2 (0,15)] = (7 x 8) + 2 [ 7 x (0,15) + 8 x (0,15) ] + 4 (0,15)Como o esboo pode ser a forma de outro ambiente, ou cmodo da casa, variando somente as medidas, pode-se considerar: 8m=a 7m=b 0,15 m = c Substituindo na expresso numrica acima, obtm-se uma expresso algbrica que nos sugere um produto entre polinmios. (a + 2c) x (b + 2c) = (ab) + 2 (bc + ac) + 4 (c) Se a forma do ambiente for quadrada, isto , se a = b, a expresso algbrica fica: (a + 2c) x (a + 2c) = (a) + 2 (ac + ac) + 4 (c) (a + 2c) = a + 4 ac + 4c

4 Esse processo de construo de uma casa envolve uma srie de etapas, como a construo de alicerce, paredes, laje, telhado, acabamento etc. Assim, faz-se uso de modelos como a maquete que permite se ter a noo de como ser a casa, como tambm a quantidade de material necessrio para a construo. Que escala usar? A escala depende da espessura do material que ser usado como parede. Por exemplo, supondo que o material utilizado seja placas de isopor de 8 mm de espessura. A espessura da parede de uma casa: 15 cm a espessura da parede da maquete: 8 mm = 0,8 cm Um metro igual a 100 cm Tamanho Real 100 cm 15 cm (parede) Determinando a escala para a maquete X = 100 x 0,8 = 5,33... (escala) ou seja, 5,33 : 100. 15 Um nmero obtido para escala far com que a maquete fique muito grande. No exemplo, a casa de 7,3 m por 8,3 m ocuparia um papel de 38,9 cm por 44,2 cm. Alm disso, os clculos, nas respectivas transformaes, sero dispendiosos. Uma alternativa usar uma escala 4:100 (quatro por cem), a parede real teria uma espessura de 20 cm, fora dos padres normais. Se voc tem um papel sulfite, que escala adotaria para fazer a planta da casa 7,3 m por 8,3 m, usando o mximo de folha? Como fazer as paredes da maquete e montar? A partir das medidas reais da casa, como altura das paredes, tamanho de cada ambiente, etc., calculam-se os valores correspondentes da maquete e delineiam-se as partes sobre o material, efetuando, assim, o corte. Uma vez cortada s paredes, s montar. Para que se possa montar a maquete, uma alternativa fazer um levantamento do nmero de paredes e respectivas medidas e, em seguida, cort-las todas de uma vez. preciso analisar a maneira ideal para o corte da folha de isopor ou papelo, riscar, para, em seguida cortar. Cartolina X 0,8 cm

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Como calcular a quantidade de tijolos, azulejos e pisos para uma casa? Qual a quantidade de tinta para as paredes? Tomando-se uma parede com as seguintes medidas:

rea da parede = rea total rea das janelas = (3 m) x (6 m) 2 x (1m x 1,5 m) = 18 m - 3 m = 15 m rea da face do tijolo = 5 cm x 20 cm = 100 cm ou 0,05 m x 0,20 m = 0,0100 m Fazendo rea da parede: rea do tijolo = total de tijolos 15 m : 0,0100 m = 1500 tijolos. Desta mesma forma, pode-se encontrar o nmero de pisos, telhas, azulejos. Vale lembrar que os revestimentos como piso e azulejo so vendidos em m e em caixas. Algumas caixas tm 1m; outras, pouco mais. Depende do tamanho do revestimento. A estrutura dos telhados

A forma triangular aparece em diversas estruturas, como portes, telhados, pontes, dentre outras. Em portes ou porteiras feitos de madeira, costuma-se colocar uma tbua travessa. Isso porque o tringulo uma figura rgida, ao contrrio de quadrados e retngulos que podem mudar de forma, ou seja, os lados no se alteram com a variao do ngulo. As estruturas triangulares possuem maior resistncia aos pesos nelas exercidos.

6 O projeto da casa, incluindo a maquete, pode ser considerado um Modelo Matemtico. Por meio desse modelo, pode-se fazer um oramento, uma estimativa do quanto custar para fazer a casa (materiais, mo-de-obra, impostos etc.), bem como do tempo que pode levar para construla. Os materiais de construo so adquiridos de acordo com uma determinada unidade de medida, como, por exemplo: o fios, canos, madeiras - metro o pisos e revestimentos metro quadrado (rea) o areia, terra metro cbico o tinta litro o prego quilograma Usando-se uma tabela, pode-se dispor de todos os itens necessrios e devidas quantidades, como tambm de preos. Os preos podem ser obtidos em revistas especializadas. Os especialistas (pedreiro, carpinteiro, pintor, dentre outros), em geral, cobram por metro quadrado construdo ou tempo necessrio para fazer o servio. Assim, tendo-se o oramento ser possvel prever o custo e o tempo para a construo. A tabela feita, previamente, poder ser facilmente alterada se houver alguma mudana nas quantidades ou preos dos produtos ou servios.Quantidade Material Tijolos Telhas Pisos Azulejos Cimento Areia ......... Mo de Obra Unidade P P m m Kg m ....... m Valor Unitrio Valor Total

Valor Total

Nesta etapa deve-se fazer um levantamento de preos de materiais de construo e dos materiais utilizados na maquete e organizar duas tabelas. Por exemplo: Uma com o oramento real dos materiais de construo que seriam gastos numa casa nos padres projetados (os preos levantados por meio de uma pesquisa ou de tabelas de preos distribudos pelas lojas como propaganda/oferta); Outra com o oramento dos materiais gastos na construo da maquete, como isopor, cola, alfinete, cartolina etc. Vale ressaltar tambm que os dois oramentos podem ser considerados modelos matemticos, uma vez que retratam, sob certa ptica, a quantidade necessria de material para a construo de uma casa ou da maquete projetada. As operaes matemticas so bsicas e visam introduzir o acadmico disciplina.