Modelagem Matemática de Sistemas Eletromecânicos

Estudos e Analogias de modelos de funções de transferências.

Prof. Edgar Brito

Introdução

• Os sistemas elétricos são componentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos complexos que necessitam de certos circuitos elétricos para funcionar.

• Por exemplo, controladores de drivers, controlador da velocidade, etc.

Considerações

• Existem diversas abordagens que tratam de diversos sistemas dinâmicos, por exemplo analogias do tipo:

• eletromecânicas,

• eletro-hidráulicas,

• eletro-pneumáticas,

• eletrotérmicas, etc.)

Nesse caso trataremos dos sistemas eletromecânicos como inicio dos estudos de casos.

Definições

• É preciso deixar bem claro que um sistema de controle consiste em subsistemas e processos (ou plantas) reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos.

Função de Transferência

• Relaciona, de forma algébrica, a entrada e a saída de um sistema.

• Relacionados à Transformada de Laplace para simplificar a representação. A transformada da entrada R(s) pode calcular a saída:

Modelagem de circuitos elétricos

•Componentes passivos – não produzem energia (sem fontes internas)

•Resistor • Indutor •Capacitor

Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitores, resistores e indutores

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem:

A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero. • A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a

zero. • A partir destas relações podemos escrever as equações

diferenciais do circuito.

Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência

Exemplo:

• Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura.

Resolução: • Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o

circuito. Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial.

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação i(t) = dq(t) / dt resulta:

Finalizando

• A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela

• Substituindo:

• Aplicando Laplace:

Calculando a função de transferência, Vc(s)/V(s):

Sistemas Mecânicos em translação

Sistemas Mecânicos em rotação

Exemplos:

Outras Analogia para formas concentradas.

Conversão de sistemas elétricos-mecânicos Passos para a conversão de um sistema mecânico para elétricos, são os seguintes:

• 1. Cada massa do sistema mecânico é substituída por um capacitor no sistema elétrico análogo. (Todos capacitores que representam as massas, são aterrados.) A tensão inicial nestes capacitores é igual à velocidade inicial das massas no sistema mecânico.

• 2. Encontram‐se os análogos elétricos dos componentes mecânicos restantes: molas são substituídas por indutores e amortecedores são substituídos por resistores.

• 3. As ligações entre os componentes elétricos são realizadas, observando‐se como o análogo mecânico que está ligado aos demais elementos mecânicos. Por exemplo, se uma mola está ligada a duas massas, no análogo elétrico o indutor análogo da mola deve estar conectado aos capacitores análogo das massas.

• 4. As fontes de corrente representando as forças no sistema mecânico são incluídas no diagrama elétrico.

Sistema Mecânico Ex.

Massas do sistema mecânico substituídas por Capacitores.

Substituem‐se as massas por capacitores. As tensões nos capacitores são análogas as velocidades das massas

Componentes Análogos.

• A seguir, os outros componentes mecânicos são substituídos pelos componentes elétricos análogos

Conexões Finais.

• componentes elétricos são conectados para formar o análogo elétrico

Circuito elétrico Análogo

• Neste sistema, as tensões são análogas às velocidades dos componentes mecânicos e as correntes têm como análogo as forças aplicadas no sistema mecânico.