Modelaci on Matem atica: en un entorno de la visualizaci ...
Modelagem Matem atica
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Modelagem Matematica
Sandro Rodrigues Mazorche em parceria comFelipe Toledo Ferreira - IC
Tatiana Danelon Assis - MestradoNoemi Zeraick Monteiro - Mestrado
Prof. Dr. Daniel Alexis Gutierrez Pachas( Universidad Catolica San Pablo-Peru)
Universidade Federal de Juiz de Fora
I Congresso de Matematica Academicae Profissional da UFJF - I COMAP
17 e 28 de agosto de 2020
Modelos Matematicos - O inıcio da Jornada
Um passeio pela Matematica atraves de 3 Modelos.
Modelo Economico:Problema de Equilibrio de Nash-Cournot(Felipe Toledo Ferreira)
Modelo de Deformacao:O Problema da Torcao Elasto-Plastico.(Tatiana Danelon Assis)
Modelo Epdemico:SIR em Derivadas Fracionarias.(Noemi Zeraick Monteiro)
Problema de Equilibrio de Nash-Cournot
Antoine Augustin Cournot(1801-1877) , John Forbes NashJr.(1928-2015).
Pavimentando o Caminho: Calculo ; Analise ; ProgramacaoMatematica: Isaac Newton (1642-1727), Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716), Euler (1707-1783), Bernard Bolzano(1781-1848), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), WilliamKarush(1917–1997) e Harold W. Kuhn(1925–2014) e AlbertW. Tucker(1905–1995) - (Condicoes de KKT para umProblema de Minimizacao com Restricoes).
Problema de Equilıbrio de Nash-Cournot
O problema e definido com uma estrutura de mercadooligopolıstica na qual N firmas fornecem um produtohomogeneo de uma forma nao cooperativa.• q = (q1, ..., qn) o vetor de producao das N firmas. A firma i produz qi do
total produzido.
• Q =n∑
i=1
qi e o total produzido por todas as N firmas.
• P(Q) e a funcao demanda inversa.• fi (qi ) e o custo de producao para a firma i .• ui (q1, ..., qi , ...qn) = qi ∗ P(Q)− fi (qi ) e a funcao utilidade da firma i .
Maximizar qi ∗ P(qi + Q)− fi (qi )S .a. qi ≥ 0
, onde Q =n∑j 6=i
qj .
A mathematical programming approach for determiningoligopolistic market equilibrium FH Murphy, HD Sherali, ALSoyster - Mathematical Programming, 1982 - Springer
Iteracao ALG-EP2
0 1000 2000 3000 4000 5000 60000
100
200
300
400
500
Figure: EP1
Iteracao ALG-EP2
0 1000 2000 3000 4000 5000 60000
100
200
300
400
500
Figure: EP1
Iteracao ALG-EP2
0 1000 2000 3000 4000 5000 60000
100
200
300
400
500
Figure: EP1
Iteracao ALG-EP2
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000100
150
200
250
300
350
400
450
Figure: EP1
Iteracao ALG-EP2(*)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000100
150
200
250
300
350
400
450
Figure: EP1(*)
Equilıbrio de Nash-Cournot(Murphy, Sherali, Soyster)
Como de Problema de Equilıbrio:
Maximizar qi ∗ P(qi + Q)− fi (qi )
S .a. qi ≥ 0 onde Q =∑n
j 6=i qj .
Como de Problema de Complementaridade:P(Q∗) + q∗i P
′(Q∗) ≤ f
′i (q∗i ) para cada i = 1, ...,N
q∗i ≥ 0 para cada i = 1, ...,N
q∗i ∗ [P(Q∗) + q∗i P′(Q∗)− f
′i (q∗i )] = 0 para cada i = 1, ...,N
Q∗ =∑N
i=1 q∗i
Como de Problema de Otimizacao Parametrizado PO(Q):Maximizar P(Q)
∑Ni=1 qi + 1
2P′(Q)
∑Ni=1 q
2i −
∑Ni=1 fi (qi )
S .a.∑N
i=1 qi = Qqi ≥ 0
Resultados Numericos
O Problema de Nash-Cournot para cinco firmas.As funcoes fi (qi ) e P(Q) sao definidas da seguinte maneira.
P(Q) = 50001γQ−
1γ e fi (qi ) = ciqi + bi
1+biL− 1
bii q
bi+1
bii .
ui (qi ) = qiP(Q)− fi (qi )
c = [10, 8, 6, 4, 2]; b = [1.2, 1.1, 1, 0.9, 0.8]; L = [5, 5, 5, 5, 5];γ = 1.1Solucao x∗ = [36.9325, 41.8181, 43.7066, 42.6592, 39.1790]
Alg ALG-EP PO(Q) FDA-NCP
1 2 3 Q PO(Q) MNCP NCP
nit 72 34 29 11 69 8 12BL 437 1631 609 - 59 15 25
Problema de Torcao Elasto-Plastico: (Secao Transversal)
Elasto-Plastico: alteracao dimensional ocorremconcomitantemente com as deformacoes elastica e plastica.
H. BREZIS , M. SIBONY em ”Equivalence de DeuxInequations Variationnelles et Applications”, 1971.
Abrindo a Caixa de Ferramenta
Equacoes Diferenciais ; Analise Funicional ; InequacoesVariacionais; Metodos Numericos:
Joseph-Louis Lagrange (1736—1813), Jean-Baptiste JosephFourier (1768—1830);
Marie-Sophie Germain (1776—1831), Richard Edler vonMises (1883-1953);
David Hilbert (1862-1943), Felix Hausdorff (1868-1942), BorisGrigoryevich Galerkin (1871-1945);
Hans Hahn (1879—1934), Stefan Banach (1892—1945),Sergei Lvovich Sobolev (1908-1989);
William Prager (1903-1980), Guido Stampacchia(1922—1978), Jacques-Louis Lions (1928-2001), Tsuan WuTing (1923-1997);
Roland Glowinski (1937), Alain Bensoussan (1940);
Haım Brezis (1944), Pierre-Louis Lions (1956).
O Problema de Torcao Elasto-Plastico
Caso Base Quadrada c constante.(Tatiana)Em azul o Conjunto de Plasticidade P = {(x , y) ∈ D : ||∇u|| = 1}
Caso: Barra Circular para c constante.(Tatiana)Em azul o Conjunto de Plasticidade P = {(x , y) ∈ D : ||∇u|| = 1}
Caso em L para c constante.(Tatiana)Em azul o Conjunto de Plasticidade P = {(x , y) ∈ D : ||∇u|| = 1}
Caso: c nao constante.(Tatiana)
c(x , y) =
5 se (x , y) ∈]0, 1
2[x ] 1
2, 1[
−5 se (x , y) ∈] 12, 1[x ]0, 1
2[
0 se (x , y) ∈]0, 12[x ]0, 1
2[∪]1, 1
2[x ]1, 1
2[
Modelos Epidemicos
O guia do mochileiro das galaxias
Probabilidade e Estatıstica; Calculo Fracionario; SistemaDinamicos; Metodos Numericos para Calculo Fracionario;Processo Estocastico; Analise Complexa; Funcoes Especiais;
Guillaume Francois Antoine, Marques de l’Hopital(1661—1704); Simeon Denis Poisson (1781—1840);Pierre-Simon, Marques de Laplace (1749—1827);JosephLiouville (1809-1882);Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866);
Niels Henrik Abel(1802—1829);Oliver Heaviside(1850-1925);Jules Henri Poincare (1854—1912);
Anton Karl Grunwald (1838–1920); Aleksey VasilievichLetnikov (1837–1888);Magnus Gosta Mittag-Leffler(1846—1927);Hermann Klaus Hugo Weyl (1885—1955)
Michele Caputo;Podlubny;Humbert;Agarwal;Prabhakar
Derivada Fracionaria(1695,l’Hopital / Leibniz) Dny = dny
dxn : ”Segue que D12 x sera
igual a x√dx : x . Este e um aparente paradoxo do qual um
dia importantes aplicacoes serao obtidas.”
(Funcao de Mittag–Leffler de dois parametros) Seja z ∈ C,com α, β ∈ C dois parametros tal que Re(α) > 0 eRe(β) > 0. Funcao de Mittag–Leffler via series de potencia:
Eα,β(z) =∞∑k=0
zk
Γ(αk + β). (1)
A derivada fracionaria Riemann-Liouville
R−La Dα
t f (t) =1
Γ(n − α)
(dn
dtn
)∫ t
a(t − θ)n−α−1f (θ)dθ . (2)
A derivada fracionaria de Caputo
Ca D
αt f (t) =
1
Γ(n − α)
∫ t
a(t − θ)n−α−1 dn
dθnf (θ)dθ . (3)
Modelo SIR com dinamica Vital: S(t)+I(t)+R(t)=N
Caso Classico: [tempo]−1
dS(t)dt = λN − β S(t)
N I (t)− λS(t)dI (t)dt = β S(t)
N I (t)− γI (t)− λI (t)dR(t)dt = γI (t)− λR(t)
Caso-1 Derivada Fracionaria de Caputo: [tempo]−α
DαS(t) = λN − β S(t)N I (t)− λS(t)
DαI (t) = β S(t)N I (t)− γI (t)− λI (t)
DαR(t) = γI (t)− λR(t)
Caso-2 Derivada Fracionaria de Caputo: [tempo]−α
DαS(t) = λαN − βα S(t)N I (t)− λαS(t)
DαI (t) = βα S(t)N I (t)− γαI (t)− λαI (t)
DαR(t) = γαI (t)− λαR(t)
Modelo SIR com α1 6= α2 6= α3 e N(t)= S(t)+I(t)+R(t)
Dα1S(t) = −βα1 S(t)N I (t)
Dα2 I (t) = βα2 S(t)N I (t)− γα2 I (t)
Dα3R(t) = γα3 I (t)
Antoine Lavoisier: O princıpio da conservacao de massas:”Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”
Fluxo diferente entre os compartimentos e dN(t)dt = 0.
N = N0 +
∫ t
0
[β2(t − θ)α2−1
Γ(α2)− β1(t − θ)α1−1
Γ(α1)
]S(θ)
NI (θ)dθ
+
∫ t
0
[γ3(t − θ)α3−1
Γ(α3)− γ2(t − θ)α2−1
Γ(α2)
]I (θ)dθ
Dokoumetzidis, Magin and Macheras, A commentary onfractionalization of multi-compartmental models, Journal ofpharmacokinetics and pharmacodynamics, 2010.
Modelo SIR com dinamica vital em DF Riemann-Liouville
Angstmann, Christopher N and Henry, Bruce I and McGann,Anna V, A fractional-order infectivity and recovery SIR model,Fractal and Fractional, 2017.
dS(t)dt = γ(t)N − ω(t)S(t)θ(t,0)
NτβD1−β
(I (t)θ(t,0)
)− γ(t)S(t)
dI (t)dt = ω(t)S(t)θ(t,0)
NτβD1−β
(I (t)θ(t,0)
)− θ(t,0)
τα D1−α(
I (t)θ(t,0)
)− γ(t)I(t)
dR(t)dt = θ(t,0)
τα D1−α(
I (t)θ(t,0)
)− γ(t)R(t)
θ(t, 0) = e−∫ t
0 γ(u)du. Se β = α = 1 , γ(t) ≡ γ e ω(t) ≡ ω :
Modelo Classico:
dS(t)dt = γN − ωS(t)I (t)
Nτ − γS(t)dI (t)dt = ωS(t)I (t)
Nτ − 1τ I (t)− γI (t)
dR(t)dt = 1
τ I (t)− γR(t)
Modelo SIR-DF(Caputo)
Figure: Alfas iguais Figure: Alfas iguais
Figure: Alfas diferentes Figure: Alfas diferentes
Modelo SIR-DF - Riemann-Liouville
Figure: w - constante Figure: w - constante
Figure: w - variavel Figure: w - oscilatorio
Modelo SIR-DF - Noemi
Figure: Model X Real data Figure: Projection of the peak
Figure: Projection of thepeak
Figure: Projection of thepeak
OBRIGADO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
J.R.R. Tolkien, foi um premiado escritor, professor universitario efilologo britanico.