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Modelagem Fuzzy Evolutiva
Julho de 2014
Rosângela Ballini
A. Fundamentos da Teoria de Conjuntos Fuzzy
B. Sistemas de Inferência Fuzzy
Estrutura do Minicurso
A. Fundamentos da Teoria de Conjuntos Fuzzy
1. Quando surgiu Lógica Fuzzy?
2. Conjuntos Clássicos (Crisp)
3. Conjuntos Fuzzy
4. Funções de Pertinência
5. Operadores Lógicos
6. Sistema de Inferência
7. Uso do Matlab
A. Quando Surgiu a Lógica Fuzzy?
Em1965 Lotif A. Zadeh publicou “Fuzzy Sets”
Information and Control, vol. 8, pp. 338-353.
Em 1973, L. Zadeh publicou “Outline of a new
approach to the analysis of complex systems and
decision processes”, IEEE Trans. On Systems, Man, and
Cybernetics, vol. 1, pp.28-44.
Lotfi A. Zadeh nasceu em 1921, em Baku, Azerbaijani,
é Engenheiro Elétrico pela Universidade de Teerã
(1942), Mestrado em Engenharia Elétrica no MIT
(1946) e Doutorado em Engenharia Elétrica na
Columbia (1949). É professor da Universidade da
Califórnia, desde 1959.
Lógica fuzzy é uma lógica multivalorada capaz
de capturar informações vagas
FUZZY (nebuloso)
Imprecisão, incerteza baseada na intuição humana
e não na teoria da probabilidade.
A representação depende não apenas do
conceito, mas também do contexto em que
está sendo usada.
1. Conjuntos Clássicos (Crisp)
Três métodos possíveis de representação de
conjuntos no universo de discurso U:
1. Enumeração de seus elementos
Exemplo: Seja U o universo dos números pares
𝐴 = 2, 4, 6, 8, … , 20
2. Propriedade P satisfeita por seus elementos
Exemplo: 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝒩| 𝑥 é 𝑝𝑎𝑟
3. Função característica: discrimina quais
elementos do universo U são elementos
do conjunto A e quais não são:
𝒳𝐴: 𝑈 → {0,1}
A representação do conjunto A por sua
função característica é escrita como:
𝒳𝐴 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝐴0, 𝑠𝑒 𝑥 ∉ 𝐴
Exemplo: Considere o universo de discurso ℝ+
e seja A o conjunto dos números reais entre 3
e 6. A função característica é dada por:
𝒳𝐴 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≤ 60, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
3 6
1
ℝ+
𝒳𝐴 𝑥
2. Conjuntos Fuzzy (Nebulosos)
Definição: (Zadeh, 1965) Um conjunto fuzzy A é
caracterizado por uma função de pertinência
mapeando os elementos de um domínio ou universo
de discurso U para o intervalo unitário [0, 1]. Isto é:
𝐴:𝑈 → [0, 1]
Cada conjunto fuzzy é definido por uma determinada
função chamada de função de pertinência:
𝜇𝐴: 𝑈 → [0, 1]
Um conjunto fuzzy A em X é expresso como
um conjunto de pares ordenados:
}|))(,{( XxxxA A
Universo ou
Universo de discursoConjunto
fuzzy
Função de
pertinência
Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado
por sua função de pertinência.
Exemplo: U=Temperaturas entre [0, 40] definido em ℃
H: conjunto fuzzy de temperaturas altas
𝐻: [0, 40] → [0, 1]
H(t)
t
1
0 10 20 30 40
Grau de pertinência de um elemento do conjunto
universo a um conjunto fuzzy expressa o grau de
compatibilidade do elemento com o conceito
representado pelo conjunto fuzzy.
Possíveis valores têm um aspecto quantitativo,
indicando o grau com que o elemento pertence
ao conjunto.
X
X
A
B
a
c
b
Conjuntos Crisp
X A
B
b
a
c
Conjuntos Fuzzy
1
a c b
𝒳𝐴
a c b
1
0,4
𝜇𝐴
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
qui sex sab dom seg ter qua
Gra
u d
e p
ert
inên
cia
d
Lógica clássica
Exemplo: A={seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}
Lógica
clássica
Lógica
nebulosa
qui 0,0 0,1
sex 0,0 0,8
sab 1,0 1,0
dom 1,0 0,9
seg 0,0 0,0
ter 0,0 0,0
qua 0,0 0,0
𝜇𝐴
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
qui sex sab dom seg ter qua
Gra
u d
e p
ert
inên
c8ia
d
Lógica nebulosa
Exemplo: Taxa de Juros (Taxa Nominal)
“In this example, when the interest rate is 3%, the
interest rate is ‘high’ in the opinion of 10% of the
speculators, giving it a membership grade (an –M-
grade) of 0.1, and so on.
S. C. Dow and D. Ghosh (2009), “Fuzzy Logic and Keynes’s speculative
demand for money”, Journal of Economic Methodology, 16:1, 57-69.
Representações de Funções de Pertinência
As funções de pertinência podem ser
distretas ou contínuas
Podem ser representadas por:
1. Tabular e Via Lista
2. Analítica
3. Gráficos
1. Tabular e Via Lista
Em notação de lista a função de pertinência pode ser
representada por:
𝐴 𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 𝑥𝑖
Em que 𝑎𝑖 é o grau de pertinência o elemento 𝑥𝑖
A notação de “/” é usada para unir seus elementos a
seus respectivos graus de pertinência.
Exemplo: Representação do conceito temperature alta
(TA), para um conjunto universo discretizado (TD)
TD={0, 5, 10, 25, 20, 25, 30, 35, 40}
𝒕 ∈ 𝑻𝑫 𝝁𝑻𝑨 𝒕
0 0
5 0
10 0
15 0
20 0.34
25 0.67
30 1.0
35 1.0
40 1.0
Notação de lista:
TA = {(0,0), (5,0), (10,0), (15,0), (20,0.34),
(25,0.67), (30, 1.0), (35, 1.0), (40, 1.0)}
Função de Pertinência pode ser
escrita como:
TA = 0/0 + 0/5 + 0/10 + 0/15 + 0.34/20 +
0.67/25 + 1.0/30 + 1.0/35 + 1.0/40
2. Representação Analítica e Gráfica
Conjunto fuzzy definido em um universo
infinito: representação analítica
Definida por valores modais e de dispersão
Tipos de funções comumente usadas:
i. Função Triangular
ii. Função Trapezoidal
iii. Função Gaussiana
i. Função Triangular
𝐴 𝑥 =
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 − 𝑎
𝑚 − 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [𝑎,𝑚]
𝑏 − 𝑥
𝑏 −𝑚 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [𝑚, 𝑏]
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑏
1
ma b
A
Exemplo: Credit Score - Average
𝐴 𝑥 =
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1.0 𝑥 − 1.0
1.0, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [1.0, 2.0]
3.0 − 𝑥
1.0, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [2.0, 3.0]
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3.0
1
2.01.0 3.0
A
ii. Função Trapezoidal
𝐴 𝑥 =
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 − 𝑎
𝑚 − 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝑎,𝑚]
1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝑚, 𝑛
𝑏 − 𝑥
𝑏 −𝑚 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [𝑛, 𝑏
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑏
1
ma b
A
n
Exemplo: Credit Score- Average
𝐴 𝑥 =
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0.5 𝑥 − 0.5
1.0, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 0.5,1.5]
1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 1.5, 1.75]
4.0 − 𝑥
2.5, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 1.75,4.0]
0, 𝑠𝑒 𝑥 > 4.01
1.50.5 4.0
A
1.75
iii. Função Gaussiana
𝐴 𝑥 = 𝑒−𝑘 𝑥−𝑚 2
Em que k>0 1
m x
A
k
𝐴 𝑥 = 𝑒−1.0 𝑥−2 2
em que k>0 1
2.0x
A
1.0
Exemplo: Credit Score- Average
Exemplo: Credit Score
Me
mb
ers
hip
Deg
ree
Teoria de Probabilidade
X
Teoria Fuzzy
3. Operações com Conjuntos Fuzzy
Operações Padrão
1. Complemento Fuzzy
2. Intersecção Fuzzy
3. União Fuzzy
Operações Generalizadas
1. T-normas
2. T-Co-normas
Operadores de Agregação
1. Mandami
2. OWA
Operações Padrão
1. Complementos Fuzzy
Definição: Se A é um conjunto fuzzy em X,
o complemento de A, denotado por 𝐴, é
dado por:
𝐴 𝑥 = 1 − 𝐴 𝑥
Exemplo: Complemento Fuzzy
𝐴1 𝑥 = 1 − 𝐴1 𝑥
2. Intersecção Fuzzy
Definição: Se A e B são dois conjuntos fuzzy
no universo de discurso X, a intersecção é
definida como:
𝐴 ∩ 𝐵 𝑥 = min 𝐴 𝑥 , 𝐵 𝑥 = 𝐴 𝑥 ∧ 𝐵 𝑥
Exemplo: Intersecção Fuzzy
min 𝐴1 𝑥 , 𝐴2 𝑥 = 𝐴1 𝑥 ∧ 𝐴2 𝑥
3. União Fuzzy
Definição: Se A e B são dois conjuntos fuzzy
no universo de discurso X, a união é
definida como:
𝐴 ∪ 𝐵 𝑥 = max 𝐴 𝑥 , 𝐵 𝑥 = 𝐴 𝑥 ∨ 𝐵 𝑥
Exemplo: União Fuzzy
max 𝐴1 𝑥 , 𝐴2 𝑥 = 𝐴1 𝑥 ∨ 𝐴2 𝑥
Operações Generalizadas
São as operações entre conjuntos fuzzy que
assumem formas diferentes das operações padrão
Intersecção e união: empregam outros
operadores em substituição ao mínimo e máximo
Operadores denominados normas triangulares
Normas Triangulares (t-normas)
Operação binária
𝐭: [0,1]2→ [0,1]
que satisfaz as propriedades:
Comutativa: 𝑥 𝐭 𝑦 = 𝑦 𝐭 𝑥
Associativa: 𝑥 𝐭 𝑦 𝐭 𝑧 = 𝑥 𝐭 𝑦 𝐭 𝑧
Monotonicidade:
Se 𝑥 ≤ 𝑦 e w ≤ 𝑧, então 𝑥 𝐭 𝑤 ≤ 𝑦 𝐭 𝑧
Condições limite: 0 𝐭 𝑥 = 0,1 𝐭 𝑥 = 𝑥
Exemplos de t-normas
Mínimo:
𝑥 𝐭 𝑦 = min 𝑥, 𝑦
Produto Algébrico:
𝑥 𝐭 𝑦 = 𝑥𝑦
Para outras t-normas ver (Pedrycz and
Gomide, 1998), (Klir and Folger, 1988)
Exemplo: t-norma produto
𝐴1 𝑥 𝐭 𝐴2 𝑥 = 𝐴1 𝑥 . 𝐴2 𝑥
Co-Normas Triangulares (s-normas)
Operação binária
𝐬: [0,1]2→ [0,1]
que satisfaz as propriedades:
Comutativa: 𝑥 𝐬 𝑦 = 𝑦 𝐬 𝑥
Associativa: 𝑥 𝐬 𝑦 𝐬 𝑧 = 𝑥 𝐬 𝑦 𝐬 𝑧
Monotonicidade:
Se 𝑥 ≤ 𝑦 e w ≤ 𝑧, então 𝑥 𝐬 𝑤 ≤ 𝑦 𝐬 𝑧
Condições limite: 0 𝐬 𝑥 = 𝑥,𝑥 𝐬 1 = 1
Exemplos de co-normas
Mínimo:
𝑥 𝐬 𝑦 = max 𝑥, 𝑦
Soma Algébrica:
𝑥 𝐬 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦
Para outras co-normas ver (Pedrycz and
Gomide, 1998), (Klir and Folger, 1988)
Exemplo: co-norma soma algébrica
Operadores de Agregação
Combinam uma coleção de conjuntos fuzzy para
produzir um único conjunto fuzzy
Operador definido por:
𝐡: [0,1]𝑛→ [0,1]
Função h produz um conjunto fuzzy A operando
sobre os graus de pertinência dos n conjuntos
fuzzy para cada 𝑥 ∈ 𝑋, ou seja,
𝐴 𝑥 = 𝐡[𝐴1 𝑥 , 𝐴2 𝑥 ,⋯ , 𝐴𝑛 𝑥 ]
Operadores de Agregação
Mandami: usa as t-normas e s-normas
Operadores da Média
Operador OWA
Operadores que dão resultados entre a
intersecção padrão e a união padrão
Definidos por:
𝐡𝑝 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 1 𝑛 𝑎1𝑝+ 𝑎2
𝑝+⋯+ 𝑎𝑛
𝑝
𝑝
com 𝑝 ∈ ℝ, 𝑝 ≠ 0.
Operadores de Média
Exemplos de Operadores de Média
Média Aritmética (𝑝 = 1)
h 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 1 𝑛 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
Média Harmônica (𝑝 = −1)
h 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 𝑛 1 𝑎1 +⋯ 1 𝑎𝑛
Média Geométrica (𝑝 → 0
h 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑎2 ×⋯× 𝑎𝑛 1 𝑛
Operadores de Média Ponderados
Ordenados (OWA)
Proposto por Ronald R. Yager em 1988:
“On Ordered Weighted Averaging
Aggregation Operators in Multicriteria
decision Making” IEEE Trans. On
Systems, Man and Cybernetics, vol 18,
pp. 183-190
Definição:
Seja 𝐰 = 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛 um vetor de pesos tal que
𝑤𝑖 ∈ [0,1] para todo 𝑖, e
𝑖=1
𝑛
𝑤𝑖 = 1
Então, o operador OWA associado a 𝐰 é a função:
ℎ𝑤 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 𝑤1𝑏1 + 𝑤2𝑏2 +⋯+𝑤𝑛𝑏𝑛
em que 𝑏𝑖 representa o 𝑖-ésimo maior elemento em
𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛
Exemplo: Agregação OWA
Seja 𝐰 = 0.3,0.1, 0.2, 0.4 , o operador
OWA resultará em:
𝐡𝑤 0.6, 0.9, 0.2,0.7 = 0.3 × 0.9 + 0.1 ×0.7 + 0.2 × 0.6 + 0.4 × 0.7=0.54
Variáveis Linguísticas
São variáveis cujos valores são palavras ou sentenças
em vez de número
Formalmente, variável linguística é caracterizada pelo
quíntuplo de parâmetros (x, T(x), U, G, m), em que:
x é o nome da variável;
T(x) é o conjunto de termos linguísticos;
U é o universo do discurso;
G é a gramática para gerar os nomes de X;
m é a regra semântica que associa cada termo lingüístico
com seu significado em X.
Exemplo:
x = Desemprego como uma variável linguística
T(x) = {baixo, moderadamente baixo, normal,
moderadamente alto, alto}
X = [0, 25%]
Cálculo com Variáveis Linguísticas
Problema: dados os conjuntos fuzzy que representam
os termos primários e dados os significados dos
modificadores, dos conectivos e negação, calcular o
significado (conjunto fuzzy) de um termo
composto.
Exemplo:
Termos primários: baixa, normal, alta
Modificadores: moderadamente
Conectivos lógicos: and, or, not
Sistema Baseado em Regras Fuzzy
Mecanismo de fuzzification;
Mecanismo de inferência fuzzy (regras);
Mecanismo de defuzzification.
Mecanismo de Fuzzification
Definição das variáveis fuzzy de entrada e
de saída: forma e valores das variáveis
Variáveis lingüísticas: definidas de forma
subjetiva, bem como as funções de
pertinência
Funções de pertinência para cada variável
podem ser gerados:
Triangular, Trapezoidal, Gaussiana, ...
Etapa na qual os valores numéricos são
transformados em graus de pertinência para
um valor lingüístico
Cada valor de entrada terá um grau de
pertinência em cada um dos conjuntos fuzzy
Tipo e quantidade de funções de pertinência
dependem de alguns fatores tais como:
precisão, estabilidade, facilidade de
implementação...
Fuzzification
Mecanismo de Inferência – Base de Regras
Regras: são uma maneira formal de representar
diretivas e estratégias
Regras SE-ENTÃO:
SE <condições> ENTÃO <ação>
Exemplo:
Base de Regras - Inferência
Se <antecedente> ENTÃO <consequente>
Base de regras em termos de conjuntos nebulosos
R( l): Se E E . . . E
Então
Processo de Agregação das Regras
lAéx 11
l
nn AéxlAéx 22
lgéy
Exemplo
U
59
Base de regras
Se V1 é alta e V2 é alta então U e alta
Se V1 é alta e V2 é média então U é alta
Se V1 é média e V2 é alta então U é alta
Se V1 é média e V2 é média então U é média
....
Entradas:
V1 = 35%V2 = 55%
60
61
SE 𝑽𝟏 E 𝑽𝟐 ENTÃO U
U
Interpretações possíveis para a saida final:
• Traduzir para um valor linguístico
• Converter para um valor numérico
• Usar os graus de disparo das regras para
graduar as saídas:
• Usando os graus de máximos:
Alta com 0.66 e média com grau de 0.25
• Usando soma algébrica:
Alta com grau 0.82915
Métodos de defuzzification
Interpretação e utilização dos conjuntos fuzzy
resultantes dos processos de inferência podem
ser feitas de forma distintas, dependendo do tipo
de sistema e da aplicação.
Defuzzification: conversão do resultado linguístico
da inferência em um valor real que melhor o
represente
Métodos de Defuzzification
1. Centro de área (CoA)
2. Primeiro do máximos
3. Média de máximos (MoM)
4. Abordagem Takagi-Sugeno (TS)
1. Centro de área (centro de gravidade,
centróide)
É o valor do conjunto em que a área sob a função
de pertinência é dividida em duas subareas iguais
Centro de área para domínios discretizados
Conjunto fuzzy B definido no conjunto base
𝑌 = {𝑦1, ⋯ , 𝑦𝐷}:
𝐶𝑜𝐴 𝐵 = 𝑖=0𝐷 𝐵 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑖=0𝐷 𝐵 𝑦𝑖
67
%4,65
)(
)(
)()55,35(
1
1
R
i
i
R
i
i
i
xB
yxB
xyU
68
2. Primeiro dos Máximos
Encontra o primeiro ponto entre os valores
que tem o maior grau de pertinência inferido
pelas regras.
Exemplo: U(35, 50)=85%
3. Média dos Máximos
Encontra o ponto médio entre os valores que
tem o maior grau de pertinência inferido pelas
regras.
Exemplo: U(35, 50)=92,5%
Exemplos:
z0 z0 z0
Centróide Primeiro dos máximos
Média dos Máximos
Resumindo:
Sistema de Inferência Fuzzy
Modelo computacional baseado nos
conceitos de:
1. Teoria de conjuntos fuzzy
2. Regras Se-Então fuzzy
3. Raciocínio aproximado
Exemplo
Objetivo do sistema:
◦ um analista de projetos de uma empresa que
determina o risco de um projeto
Variáveis de entrada:
quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas
no projeto
Problema a ser resolvido:
dinheiro = 35% e pessoal = 60%
Base de conhecimento
1.Se dinheiro é adequado ou no. de pessoas
é baixo então risco é pequeno
2.Se dinheiro é médio e no. de pessoas é
alto então risco é normal
3.Se dinheiro é inadequado, então risco é
alto
Inferência Fuzzy
Passo 1: Fuzzification
( ) 0,75& ( ) 0,25i md d
Dinheiro
Inadequado
Médio
Adequado
35
.25
.75
.2
Pessoal
60
Baixo Alto
8,0)(&2,0)( pp ab
.2
.8
Inferência Fuzzy
Passo 2: Avaliação das regras
◦ OU máximo E mínimo
Adequado
Regra 1:
Baixo0,0ou
0,2
Risco
médio
Regra 2:
Alto0,25
e
0,8
Risco
77
Inferência Fuzzy
Risco
Inadequado
Regra 3:
0,75
78
Inferência Fuzzy
Passo 3: Defuzzification
4,708,3
5,267
75,075,075,025,025,025,02,02,02,02,0
75,0*)1009080(25,0*)706050(2,0*)40302010(
C
Risco
0,75
0,25
pequeno normal alto
0,20
10 20 30 40 706050 1009080
Exemplo: Verificação de Crédito de Firmas
Pequenas
Objetivo: explicar como gerente de crédito de
bancos tomam decisões quanto à credibilidade de
pequenas firmas
Etapas de pesquisa (estudos empíricos):
I. Agregação de determinantes de credibilidade
II. Importância relativa dos determinantes em
diferentes níveis
III. Agregação dos determinantes para obter uma
conclusão
Determinante: Posição de Lucro
Problema: Determinação de Potencial
de Auto Financiamento
Variáveis de Entrada:
1. Taxa de débito dinâmico: indica quantos
anos são necessários para a empresa pagar
seus empréstimos usando o fluxo de caixa
gerado pelas operações
2. Taxa de fluxo de caixa (cash flow per share):
fluxo de caixa/valor das ações emitidas
Primeira etapa: classificação de critérios
por intervalos
6 – 5: risco alto (pobre)
4 – 3: risco médio (médio)
2 – 1: risco baixo (bom)
Taxa de Fluxo de Caixa
Taxa de Débito Dinâmico
Potencial de Auto Financiamento
Regras Para Potencial de Auto
Financiamento
+
Inferência
Firma A
Ativação da Regra 5: Médio – Médio Médio
Médio(4.1)=0.7 AND Médio(7.9)=0.7
Resultado: Médio com grau 0.7
Ativação das Regras
Regra 1: Pobre – Pobre Pobre
pobre(4.1)=0.3 pobre(7.9)=0.3
Resultado: pobre com grau 0.3
Regra 2: Pobre – Médio Pobre
pobre(4.1)=0.3 médio(7.9)=0.7
Resultado: pobre com grau 0.3
Regra 4: Médio – Pobre Pobre
médio(4.1)=0.7 pobre(7.9)=0.3
Resultado: pobre com grau 0.3
Combinação dos Resultados
R5: Médio (grau 0.7)
R1, R2, R4: Pobre (grau 0.3)
Reavaliar saída Pobre (s-norma=soma probabilística):
𝐺𝑃 𝑅1, 𝑅2, 𝑅4 = 𝐺𝑃 𝑅1 ⨁𝐺𝑃 𝑅2 ⨁𝐺𝑃 𝑅4
𝐺𝑃 𝑅1, 𝑅2 = 0.3 + 0.3 − 0.3 × 0.3 = 0.51
𝐺𝑃 𝑅1, 𝑅2, 𝑅4 = 0.51⨁𝐺𝑃 𝑅4 = 0.51⨁0.3 = 0.657
Resultado da Inferência
Defuzzification – Centróide
Elemento “típico” do conjunto Médio: 0
Elemento “típico” do conjunto Pobre: -2
Grau de Disparo de Médio: 0.7
Grau de Disparo de Pobre: 0.657
𝑆𝑎í 𝑎 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 =0 × 0.7 + −2 × 0.657
0.7 + 0.657
𝑆𝑎í 𝑎 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 =−1.314
1.357= −0.968
TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY NO MATLAB
B. Modelos Computacionais e Aplicações
1. Contextualização
2. Algoritmos de Agrupamentos
3. Sistema de Inferência Fuzzy Adaptativa
Sistemas Fuzzy
Dificuldades dos Sistemas Fuzzy
◦ Número de termos de cada variável
◦ Parâmetros que definem as funções de pertinência
Suprir tais dificuldades:
◦ Algoritmos de Otimização
◦ Redes Neurais : aprendizagem
◦ Algoritmos Genéticos
95
Sistemas Fuzzy
Clustering (Agrupamento)
Particionar objetos em clusters de forma que:
◦ Objetos dentro de um cluster são similares
◦ Objetos de clusters diferentes são distintos
Descobrir novas categorias de objetos de
uma maneira não-supervisionada
◦ Rótulos de classes não são fornecidos a priori
Tipos de Clustering
Hard
◦ Cada objeto pertence exclusivamente a um únicogrupo na partição
◦ Geram partições sendo que padrões pertencem a apenas um cluster, ou seja, os clusters são disjuntos.
Fuzzy
◦ Cada objeto está associado a um cluster com certograu de pertinência
◦ Associa cada padrão a cada cluster usando uma função de pertinência
Exemplo:
Hard clusters:
𝐻1 = {1, 2, 3, 4, 5}𝐻2 = {6, 7, 8,9}
Fuzzy clusters:
𝐹1 = { 0.9 1 , 0.8 2 , 0.7 3 , 0.6 4 , 0.55 5 , 0.2 6 , 0.2/7,0/8,0/9}
𝐹2 = { 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0.1 4 , 0.15 5 , 0.4 6 , 0.35/7,1/8,0.9/9}
Agrupamentos Fuzzy
Algoritmo de Agrupamento Fuzzy
1. Seleciona uma partição fuzzy inicial de N
objetos em k clusters selecionando a
matriz de pertinência 𝑈𝑁×𝑘.
O elemento 𝑢𝑖𝑗 dessa matriz representa o
grau de pertinência do objeto 𝑥𝑖 no cluster 𝑐𝑗
2. Usando U, calcula-se o valor da função critério
fuzzy associada com a partição correspondente.
Exemplo de uma função do erro quadrático
ponderado:
𝐸𝑟𝑟𝑜 =
𝑖=1
𝑁
𝑘=1
𝐾
𝜇𝑖𝑗 𝑥𝑖 − 𝑐𝑘2
em que
𝑐𝑘 =
𝑖=1
𝑁
𝜇𝑖𝑘𝑥𝑖
é o k-ésimo centro de cluster.
3. Repita o passo 2 até que as entradas de
U não sejam alteradas significativamente.
No agrupamento fuzzy, cada cluster é um
conjunto de todos os padrões
Algoritmos de Agrupamentos:
Fuzzy c-Means _FCM
Subtractive Clustering
Agrupamento Fuzzy C-Means (FCM)
Proposto por Bezdek em 1981:
J.C. Bezdek, Pattern Recognition with Fuzzy
Objective Function Algorithms. Plenum Press,
1981.
Método de agrupamento particional que
encontra uma pseudo-partição fuzzy nos
dados.
Pseudo Partição Fuzzy
Seja 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛} conjunto de dados.
Partição c-fuzzy de X (pseudo partição de
X): família de conjuntos fuzzy de X
denotados por
℘ = {𝐴1, 𝐴2, ⋯ , 𝐴𝑐}
que satisfaz:
𝑖=1𝑐 𝐴𝑖 𝑥𝑘 = 1 e 0 < 𝑖=1
𝑐 𝐴𝑖 𝑥𝑘 < 𝑛
Exemplo 1:
Exemplo 2
Método de agrupamento FCM
Problema de agrupamento fuzzy:
Encontrar uma pseudo partição fuzzy e os
centros de clusters associados pelos quais a
estrutura dos dados é melhor representada.
Requer Critério: Índice de desempenho
Usualmente baseado em centros de clusters
Índice de desempenho
Dada uma pseudo partição 𝑃 = {𝐴1, ⋯ , 𝐴𝑐} os
centros de clusters 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑘 associados com a
partição são calculados:
o vetor 𝑣𝑖 , que é o centro da classe fuzzy 𝐴𝑖 , é a
média ponderada dos dados em 𝐴𝑖
Algoritmo Fuzzy c-means
Assumir que são fornecidos:
– o número de clusters c
– uma medida de distância em particular
– um número real m
– um número positivo pequeno ε (critério
de parada)
Passo 1: Seja t=0. Selecione uma pseudo
partição inicial ℘(0)
O índice de desempenho 𝐽𝑚 ℘ de uma
partição fuzzy ℘ é definido em termos
dos centros de clusters pela fórmula:
Objetivo do FCM: determinar uma
pseudo partição ℘ que minimiza o índice
de desempenho 𝐽𝑚 ℘
Passo 2: Calcule os c centros de clusters
𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑘 para ℘(t) e o valor escolhido
de m por:
Passo 3:Atualize ℘(t+1) pelo procedimento:
Para todo 𝑥𝑘 ∈ 𝑋, se 𝑥𝑘 − 𝑣𝑖 𝑡 2 para todo 𝑖 ∈ ℕ𝑐
então defina:
se 𝑥𝑘 − 𝑣𝑖 𝑡 2 = 0 para algum 𝑖 ∈ 𝐼 ⊆ ℕ𝑐então
defina 𝐴𝑖𝑡+1
𝑥𝑘 para 𝑖 ∈ 𝐼 como sendo qualquer
número real não negativo satisfazendo
Passo 4: Compare ℘(t) e ℘(t+1)
Se | ℘(t+1) - ℘(t) | ≤ ε pare;
caso contrário incremente t e volte ao passo 2.
| ℘(t+1) - ℘(t) | denota uma distância entre ℘(t+1) e
℘(t).
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