MODELAGEM E CONTROLE DE UM SISTEMA NÃO LINEAR EMPREGANDO A METODOLOGIA DE LINEARIZAÇÃO EXATA POR...

MODELAGEM E CONTROLE DE UM SISTEMA NÃO LINEAR EMPREGANDO A

METODOLOGIA DE LINEARIZAÇÃO EXATA POR REALIMENTAÇÃO

BRITO, P.V.G.C1 & BRITO, L. E.

2

RESUMO

O objetivo do trabalho é avaliar o desempenho do controle de nível de um tanque cônico, que apresenta uma

dinâmica não linear, utilizando um Controlador Digital PID (Proporcional, Integral e Derivativo)

modificado e utilizando a técnica de Linearização Exata por Realimentação para que o sistema atue em toda

faixa de operação. Primeiramente, foi feita a obtenção do modelo matemático da planta, onde seus

parâmetros podem ser prontamente atribuídos por suas constantes de acordo com os aspectos geométricos

e físicos do tanque. Em seguida, efetuou-se uma substituição da variável de estado e introduziu-se uma

variável de entrada auxiliar. Depois de ter o sistema não linear modificado de modo a que o todo se

comporte como linear, foi possível utilizar técnicas de controle lineares, mais conhecidas e mais eficazes

para realizar o controle do sistema original. Essa técnica tem sido utilizada com êxito numa grande gama

de aplicações: controle de braços manipuladores, peças de artilharia, helicópteros, aviões e satélites. O

principal resultado foi à obtenção de um modelo robusto e com parâmetros que podem ser prontamente

substituídos por suas constantes de acordo com os aspectos físicos da planta. Além disso, a simulação

computacional baseada no modelo analítico revelou que a metodologia da linearização aplicada é

adequada para o projeto de controladores lineares em sistemas particularmente complexos, comumente

encontrados na prática.

Palavras-chave: controlador, pid, linearização, modelagem, nível

ABSTRACT: Modeling and level control of a nonlinear system using the method of Exact

Linearization The objective of this work is to evaluate the control performance of a conical tank level, which features a

non-linear dynamics, using a modified Digital Controller PID (proportional, Integral and Derivative) and

using the technique of Exact Linearization by Realimentation to the system acts on the whole range of

operation. At first, mathematical model of the plant were obtained, where its parameters can be readily

assigned by his constant according to the geometrical and physical aspects of the tank. After that, the state

variable was replaced and an auxiliary input variable was introduced. Once you have the non-linear system

modified so that all behave as linear, it was possible to use linear control techniques, easier to known and

most effective to perform the control of the original system. This technique has been used successfully in a

wide range of applications: control arms handlers, pieces of artillery, helicopters, airplanes and satellites.

The main result was a robust model and parameters that can be readily replaced by his constant according

to the physical aspects of the plant. In addition, the computer simulation based on analytical model revealed

that the linearization methodology applied is suitable for the design of linear controllers in particularly

complex systems, commonly found in practice.

Keywords: controller, pid, linearization, modeling, level

1 Pesquisador bolsista - Iniciação Científica e Tecnológica - PICT – 2012/2013 - Faculdade ÁREA1 -

Graduando de Engenharia Elétrica - [email protected]

2 Pesquisador e Orientador - Faculdade ÁREA1

1 INTRODUÇÃO

Controle de um sistema significa agir sobre o mesmo de modo a obter um resultado

arbitrariamente especificado. O modelo matemático do sistema é fundamental para o projeto do

controlador automático. O presente desafio é a modelagem e controle de sistemas modernos,

complexos e interligados, como sistemas de controle processos químicos, sistemas robóticos e de

automação industrial.

Os processos envolvendo controle de nível são muito importantes na indústria de petróleo,

química, alimentícia e muitas outras. Estes processos são responsáveis por manter a vazão de

entrada igual à vazão de saída, em um determinado ponto de operação. Em processos com este tipo

de controle, perturbações originadas em outra seção da planta industrial são transmitidas mais

lentamente a outras seções. Assim, os sistemas de controle de nível devem ser sintetizados de forma

a atenuar o ruído trazido de outro subsistema pertencente ao processo (CAMPOS e TEIXEIRA,

2006).

Para o desenvolvimento do controlador digital de nível é necessária a descrição completa

dos fenômenos físicos envolvidos. O conhecimento da dinâmica do processo envolvido e o modelo

matemático são essências para o desenvolvimento do protótipo e da simulação, capazes de

descrever, com razoável semelhança, o comportamento e desempenho das técnicas de controle

aplicadas.

Um modelo matemático que descreve a dinâmica do processo a ser controlado é essencial

para o desenvolvimento do controlador. Porém, os parâmetros do modelo vão depender da

composição do tanque e do fluido trabalhado. Esta é uma premissa para se desenvolver o projeto de

um controlador adaptativo, que possibilita um bom desempenho com uma grande variabilidade de

parâmetros que podem ser escolhidos de acordo com a estrutura física da planta. Foi proposto um

modelo baseado em controle de malha fechada onde o sistema verifica a ocorrência de desvios

associados à altura de referencia do fluido, pois contém um sensor, que monitora a saída (altura),

fornecendo um sinal que retorna à entrada, formando uma malha de realimentação. O principal

objetivo dessa estratégia de controle é utilizar a realimentação para obter um sistema que seja capaz

de manter um nível esperado de desempenho mesmo frente a perturbações e variações nas

características do sistema de controle (OGATA, 2003). Assim, é possível aproveitar os recursos de

um sistema microcontrolado, com um algoritmo que define a estratégia de controle do processo

com base nas informações de saída, fornecidas pelo transdutor de nível. Esses sistemas embarcados,

quando utilizados de forma interativa, tendem a corrigir imperfeições do sistema, pois facilitam a

implementação de intertravamentos lógicos para atuarem em situações que provocariam desgaste ou

instabilidade da planta. Dentro deste contexto o objetivo deste artigo é discorrer sobre a aplicação

de controladores lineares aplicados a sistemas não-lineares linearizados utilizando a técnica de

Linearização Exata por Realimentação e propor o projeto do protótipo utilizando um

microcontrolador contendo o algoritmo de controle.

2 DESENVOLVIMENTO

Em síntese, o sistema é caracterizado por controlar o nível de água do tanque. Serão

utilizadas duas bombas (atuadores) com o intuito de injetar um sinal de entrada positivo ou

negativo, possibilitando o controle do nível do líquido tanto no enchimento como no esvaziamento

do tanque. Um microcontrolador fará o papel de aquisição dos dados de referência através de uma

interface física (teclado numérico). Assim, a saída do sistema corresponde ao nível de água no

tanque. A Figura 1 ilustra o tanque cônico modelado.

Figura 1 – Esboço do tanque cônico com suas variáveis manipuladas e controladas

Fonte: BRITO, P.V.G.C, 2013

2.1 Metodologia Analítica

Dado a proposta de estratégia de controle, inicialmente foi realizada a modelagem

matemática do sistema, representando as principais características para uma determinada aplicação.

O primeiro estágio é a identificação do sistema, onde foi formulado o problema e examinado o

propósito do modelo. A partir daí, iniciou-se a modelagem caixa-branca, conhecida como

modelagem pela física ou natureza do processo ou ainda modelagem através da metodologia

analítica (AGUIRRE, 2000). Baseando-se na aplicação de leis físicas que atuam no sistema e

utilizando seus princípios fundamentais, foi possível determinar as equações diferenciais que

compõem o modelo. Nesta etapa, foram formuladas hipóteses simplificadores que reduziram a

complexidade do modelo mas manteram as características mais relevantes do comportamento

dinâmico do processo.

2.1.1 Modelagem Matemática

A variação de massa total do sistema é equivalente à diferença entre as vazões mássicas do

fluido através de seções na superfície de controle. Assim, o balanço macroscópico transiente de

massa é definido por:

(1)

Porém, no sistema em estudo, nota-se que o volume de líquido varia em cada instante e é,

portanto, função do tempo:

(2)

(3)

Como o reservatório funcionará com uma vazão de entrada manipulada pelas bombas

(atuadores) e uma vazão de saída fixa (não manipulada) no fundo do tanque, podemos simplificar a

Equação 3, fixando as condições de operação do tanque:

(4)

Representando a Equação 4 em termos da vazão volumétrica, obtemos:

(5)

O escape contínuo do fluido para um reservatório auxiliar, que depende da altura do líquido

no interior do tanque é modelado utilizando a equação cinética de Torriceli ,

fazendo . Sendo a área da seção de tubulação no qual o fluido escorrerá.

Substituindo por , variável de entrada manipulada que representa a vazão (positiva ou

negativa) através das bombas:

(6)

O volume de líquido variante no tempo foi determinado a partir da integração :

(7)

Ao realizar a integral acima obtemos o modelo final em termos da variável de altura

(saída do sistema) e sua derivada:

(8)

Analisando a Equação 8, verifica-se que o modelo determinado ainda depende dos

parâmetros estruturais da planta hipotética: altura do tanque ( ), raio menor ( ) e raio maior ( ).

Além de que, se o valor desejado para a altura (referência) estiver, por exemplo, a ½ do tanque, o

ganho ótimo para um controlador linear é bastante diferente do ganho ótimo para uma referência à

¼ de altura. Dessa forma é necessário gerar uma lei de controle que procure linearizar o processo.

Para isso, efetuou-se uma mudança de variável intermediária que conduz o sistema original a um

sistema linear.

2.1.2 Linearização do Modelo

Linearização é o processo de encontrar um modelo linear que seja uma boa aproximação do

sistema não-linear em questão Então, para projetar um sistema de controle para um sistema não-

linear, pode-se seguramente obter uma aproximação linear deste modelo, em torno de um ponto de

operação. Uma forma de verificar se um sistema é linear é observar se a relação entre entrada e a

saída atende ao princípio da superposição (OGATA, 2003):

(9)

Para aproximar o sistema não-linear por um sistema linear, é necessário que ele opere em

torno de um ponto de equilíbrio e que os sinais envolvidos sejam pequenos em relação ao ponto de

operação (OGATA, 2003).

O procedimento inicial utilizado foi a aplicação de técnicas de linearização didaticamente

conhecidas (Expansão em Série de Taylor e emprego de variáveis incrementais), mas que

restringem o controle do sistema à uma margem em torno de um ponto de operação. Essa

característica tornou necessária a implementação de uma nova abordagem de controle. A utilização

de controle por Linearização Exata elimina o problema do ponto de operação, permitindo um

satisfatório controle em toda a faixa de operação. Para tal, considera-se uma lei de controle:

(10)

Em que é uma nova variável manipulada intermediária. Como efeito, substituindo A Equação

10 na Equação 8, resulta:

(11)

Que é a equação que representa o modelo linearizado. Assim, utilizando essa técnica ao processo de

nível de líquidos torna-se possível projetar controladores lineares eficientes em toda a faixa de

operação do sistema não-linear. O diagrama de blocos do sistema com a realimentação linearizante

é ilustrado na Figura 2.

Figura 2 – Diagrama de blocos simplificado do sistema


2.2 Sensores e Atuadores

2.2.1 Atuadores do sistema

Os atuadores do sistema, responsáveis pela alimentação do tanque hipotético, consistem em

duas moto-bombas DC (Direct Current) proporcionais que operam com tensões entre 0 a 12V.

Podendo ser bomba de limpador pára-brisa de automóveis ou bomba de sucção submersível de

aplicação náutica. A água drenada (ou injetada) no tanque proporcionará uma turbulência

acentuada, tornando a medição menos precisa, sendo necessário o projeto de filtros para atenuar o

ruído provocado.

2.2.2 Transdutor de nível

A medição do nível é feita por sensores ultrassônicos. Eles apresentam uma medição

contínua e precisa do nível de produtos líquidos ou sólidos armazenados em tanques ou

reservatórios. Fundamenta-se na emissão de pulsos ultrassônicos de alta frequência por um sensor

instalado em cima do tanque que são refletidos pelo fluido. O sensor utiliza cristais piezoeléctricos

de alto desempenho para gerar curtos impulsos de ultrassom, na forma de ondas sonoras. Estes

pulsos são direcionados para o fluido, de onde é refletida e retorna para o elemento receptor do

transdutor. O tempo de trânsito (ida e volta) das ondas sonoras de alta freqüência é convertido em

sinal de tensão. O microcontrolador irá receber o sinal de tensão vindo do transdutor de nível e

interpretá-lo em altura. Na calibração, implementada via software, foi criada uma região de

restrição da medição que tornará o controle inativo para determinadas alturas (muito baixas),

aumentando a confiabilidade do sistema sensor.

2.3 Simulação Computacional

O interesse na simulação é verificar como responde o modelo desenvolvido para uma

variedade de sinais de entrada aplicados ao sistema. Estes sinais, de grande utilização didaticamente

representam, com simplicidade, sinais que poderiam ser aplicados na prática. Para isso, a entrada do

sistema é justamente a altura de referência ao qual o fluido contido no tanque deve estacionar.

Objetivo da simulação é utilizar alguns dos muitos recursos da biblioteca do Matlab/Simulink para

melhor ajustar os parâmetros do modelo em questão à realidade. Outro ponto relevante é a

utilização de técnicas de controle para melhorar o desempenho da resposta do sistema, testando a

necessidade do emprego das ações de Controle Integral e/ou Derivativa, do Controlador Digital

PID. Como não é o foco do presente trabalho o ajuste ótimo do sistema, os parâmetros do PID

foram estimados a partir de ajustes, a cada simulação. O Controle PID (Proporcional, Integral e

Derivativo) é o algoritmo de controle mais tradicional na indústria. Um controlador PID calcula

inicialmente o “erro” entre a sua variável controlada e seu valor desejado, e em função deste “erro”

gera um sinal de controle, de forma eliminar este desvio. O algoritmo PID usa o erro em três

módulos distintos para produzir a sua saída ou variável manipulada. O PID gera a sua saída

proporcionalmente ao erro, proporcionalmente à integral do erro e proporcionalmente à derivada do

erro (OGATA, 2003).

Para a simulação se aproximar ainda mais do processo físico, foram adicionadas as não

linearidades intrínsecas dos sensores e atuadores: saturação e zona morta. Também foi acrescentado

um Delay, devido ao atraso computacional gerado pelo processamento numérico de cada cálculo

matemático da lei de controle e os efeitos de amostragem e quantização dos conversores A/D e D/A

do microcontrolador. Além disso, foi utilizado um artifício que introduz um ruído branco no

sistema, o recurso Band-Limited White Noise, que possibilita simular o comportamento de uma

turbulência gerada pelas bombas ao injetar (ou drenar) água do tanque. O diagrama de blocos

completo do sistema simulado pode ser visto na Figura 3:

Figura 3 – Diagrama de blocos do sistema no MATLAB®/Simulink


O modelo matemático do tanque, concebido através da Equação 8, foi representado no

Simulink pelo diagrama de blocos da Figura 4, fornecendo as Equações 12 e 13, que serão

prontamente introduzidas na lei de controle da Equação 14.

Figura 4 - Diagrama de blocos do tanque cônico no MATLAB®/Simulink


(12)

(13)

(14)

Substituindo a Equação 14 na Equação 8, o sistema torna-se o sistema linear da Equação 11.

Essa substituição é feita através da realimentação notada na Figura 3. Na Figura 5, podemos

visualizar com mais detalhes a arquitetura do item “Controlador”. O diagrama de blocos do

Controlador Digital PID:

Figura 5 – Diagrama de blocos do Controlador Digital PID no MATLAB®/Simulink


Os parâmetros do controlador discreto foram escolhidos de acordo com as diversas

simulações, pois os mesmos seriam alterados de acordo com o protótipo a ser construído. Além da

simulação, que confirma a linearização da planta frente ao controlador digital genérico, foi

desenvolvido o algoritmo de controle em Linguagem C na IDE (Integrated Development

Environment) do microcontrolador utilizado. No código do controlador digital, foi possível calibrar

os sensores para um tanque hipotético e foram feitas algumas modificações na estrutura do PID

Digital para que o mesmo seja mais eficiente na prática.

No algoritmo do microcontrolador foram inseridas funções que propiciam uma IHM

(Interface Homem-Máquina) ao utilizar um computador comunicando com o microcontrolador.

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

O trabalho apresentou estudos para desenvolvimento de sistema de controle automático de

nível de um tanque cônico não-linear utilizando um controlador linear. Em (ZHANG e SINGH.

2001) são feitas aplicações de linearização exata adaptativa em sistemas não-lineares. Eles

apresentam aplicações de linearização exata com estimadores recursivos para adaptação dos

parâmetros. Em (POUSEN, KOUVARITAKIS, e CANNON, 2001) foi utilizado à linearização

exata associada a controle preditivo baseado em modelo linear para controlar um processo de dois

tanques acoplados.

O controle linear robusto aplicado a sistemas não-lineares foi objeto de estudo da tese de

doutorado de Franco em (FRANCO, 2006). Ele utilizou a técnica de linearização exata robusta,

capaz de gerar sistemas lineares para aplicação de controladores lineares robustos. A principal

deficiência da linearização exata clássica utilizada no presente trabalho é a dependência dos valores

dos parâmetros do processo. Porém, optou-se pela metodologia clássica pelo julgamento que o

projeto proposto tem qualidade estritamente didática, não havendo alterações significantes nos

parâmetros da planta

Na Figura 6 verificamos a característica dinâmica discreta do sistema linearizado com uma

aplicação de uma entrada em degrau desconsiderando o ruído que, na prática, pode ser eliminado

utilizando filtros digitais.

0 2 4 6 8 10 120

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Tempo (s)

Altura

(m

)

Resposta ao Degrau

Figura 6 – Gráfico de Resposta ao degrau no MATLAB®


As diferentes respostas são conseqüências nas mudanças dos parâmetros do Controlador

Digital PID, que poderão ser sintonizados sempre que necessário via software de acordo com os

pré-requisitos do sistema.

A facilidade de ajuste dos parâmetros torna os Controladores Digitais largamente utilizados

na prática e, por isso, foram aproveitados no presente trabalho. Essas alterações são examinadas na

Figura 7:

Figura 7 – Gráficos de resposta ao degrau com ajustes no Controlador PID


Os resultados da simulação evidenciaram que a linearização exata por realimentação clássica

é adequada para a concepção de controladores lineares, pois o sistema torna-se linear do ponto de

vista do controlador, não acarretando dificuldades nas suas características de projeto.

4 CONCLUSÃO

O desenvolvimento do projeto é um grande passo para produzir e incentivar novos

conhecimentos no assunto. A pesquisa na área de controle de processos é de grande importância

para o estudante de engenharia, pois tem o objetivo de proporcionar experiências práticas que se

agregam ao conhecimento teórico, propiciando ao acadêmico a assimilação de conceitos e técnicas

utilizadas fora das salas de aula.

Nesse cenário, o trabalho mostra-se promissor para a construção futura de sistemas de

controle automático para processos complexos, e o amadurecimento dos estudos voltados para os

mais diversos interesses, tanto no âmbito industrial, como acadêmico.

5 REFERÊNCIAS

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 4 Ed. São Paulo, SP, BRASIL. Prentice

Hall, 2003

CAMPOS, M.C.M.M. e TEIXEIRA, H.C.G. Controles típicos de equipamentos e processos

industriais. Rio de Janeiro: Edgard Blucher, 2006

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AGUIRRE, L. A. Introdução à Identificação de Sistemas: Técnicas Lineares e Não-lineares

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ZUBEN, P. V. Tópicos Avançados: Controle Robusto, Controle Adaptativo e Controle Inteligente.

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POUSEN, N. K.; KOUVARITAKIS, B.; CANNON, M. Nonlinear constrained predictive control

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FRANCO, A. Controle Não-linear Robusto: um método baseado em uma Linearização por

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de Santa Catarina - UFSC, 2006.

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