Modelagem de Sistemas Dinâmicos(Allisson)
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8/18/2019 Modelagem de Sistemas Dinâmicos(Allisson)
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Modelagem de Sistemas Dinâmicos para Engenharia Mecânica
Allisson Patrick Silva Albuquerque, allissoncr [email protected] Universidade Estadual do Maranhão – UEMA, Centro de Ciências Tecnológicas – CCT, Curso de Engenharia Mecânica, Av.Lourenço Vieira da Silva, s/n – Campus Universitário Paulo VI, Tirirical, Cep. 65.055-310, São Luis/MA.
Resumo
Este artigo aborda o significado e a utilização de um modelo matemático, através de
um estudo realizado com um sistema térmico. Um modelo matemático nada mais é
do que um conjunto de equações que pode representar vários sistemas, obtendodessa forma uma relação entre a entrada e a saída de dados, podendo ser utilizado,
através de ferramentas para fins de análise e síntese.
Palavras-chave: sistema, modelo, térmico e matemático.
1. Introdução
A modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida como o conjunto de
equações que irá representar a dinâmica de tal sistema com precisão ou, pelomenos de um forma bastante aceitável, isso irá depender do sistema em si, pois,
para uma maior precisão os modelos matemáticos acabam ficando muito complexos,
com muitas equações. E é preferível um sistema mais simples de tal forma que
possua uma boa precisão na análise dos resultados.
O Modelo matemático escrito irá nos dar a análise de toda as variantes descritas no
sistema de forma separada, de modo que possamos combiná-las de diferentes
formas, obtendo uma variedade de sistemas e todas as relações possíveis de
entrada e saída que poderão ser obtidas através da combinação devida de tais.
2. Sistemas Térmicos
Sistemas térmicos são aqueles nos quais estão envolvidos o armazenamento e o
fluxo de calor, através das três formas diferentes de transferência que se dá por
condução, convecção e radiação. A transferência de calor sempre se dará por esses
três meios, acontecendo de forma simultânea, porém, sempre há a preponderância
de uma forma sobre as outras ou de duas delas sobre a terceira. Alguns exemplos
de sistemas térmicos são o sistema de arrefecimento do motor de um automóvel, o
refrigerador doméstico, o sistema de condicionamento de ar de um hotel.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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No nosso estudo de caso o qual, veremos no tópico seguinte iremos considerar
uma capacitância térmica, isolada do ambiente por uma resistência térmica, para
isso se faz necessário que nos tenhamos o conhecimento de transferência de
calor e seus cálculos (variáveis térmicas, número de biot, variáveis incrementais,capacitância térmica, resistência térmica).
A fonte térmica ideal adiciona ou retira energia térmica do sistema, dessa
forma sendo o fluxo de calor positivo ou negativo, a fonte térmica ideal é
representada pela figura 1 logo abaixo.
Figura 1
3. Modelagem Matemática de um Sistema Térmico
No nosso primeiro exemplo temos uma capacitância térmica C isolada do ambiente
por uma resistência térmica equivalente R, de acordo com a figura 2. A temperatura
interna é θ, considerada uniforme, enquanto que a temperatura ambiente é θa,também uniforme. Calor é adicionado ao interior do sistema com um fluxo qi(t). No
ponto de operação, os valores de qi e θ são e , respectivamente. Devemos
desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis
incrementais.
Figura 2
Na solução para essa questão iniciaremos com a aplicação da equação do fluxo de
calor:
=1
[ − ]
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Depois substituiremos na equação da capacitância térmica, dessa forma:
=1
{ −
1
− }
Ou
+ = +
Onde reconhecemos uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem com
coeficientes constantes, não homogêneas, com duas entradas qi(t) e θa e saída θ(t).
A constante de tempo do sistema é dada por τ=RC.
Em termos das variâncias incrementais:
= − e
= −
Podemos obter um modelo matemático substituindo θ(t), qi(t) e suas derivadas na
EDOL acima, chegando a:
+ = ()
Onde no final chegamos a um sistema com uma entrada e uma saída.
4. Conclusão
Chegamos a conclusão de que os modelos matemáticos descritos são uma
ferramenta necessária para análise de sistemas de controle, pois a partir dele nós
podemos obter a relação entre a entrada e a saída do sistema e uma vez obtido tal
modelo matemático, enumeras ferramentas tanto analíticas quanto computacionais,
podem ser usadas para fim de análise e de síntese.
5. Referências
BOLTON, W. Engenharia de Controle.1.ed. SP:Makron Books, 1995.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4. ed. SP: Pearson Brasil, 2003.
SILVA, R, M. Apontamentos de aula.
