Modelagem de Sistemas Computacionais

Revisão Estatística

Aula 05

Profa. Priscila Solís Barreto

Estatística

“Uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões”

População e Amostra

Amostra é um subconjunto da população

População de Montenegro70.000

Amostra 2.000

Notas da turma

Notas Frequencia

4 1

5 5

6 6

7 20

8 22

9 32

10 10

Tabela 1 – Notas da Turma

Fonte: Dados fictícios elaborados pelo autor

Cabeçalho

Corpo

Rodapé

Gráficos

Histograma

Barras

Coluna

Setores

Dada a amostra: 3 – 7 – 10 – 6 – 8 – 6 – 8 – 4 – 5 – 7 – 6 – 10 – 9 – 5 – 6 – 3

Qual o resultado aconteceu com maior frequencia?

Número frequencia

3 2

4 1

5 2

6 4

7 2

8 2

9 1

10 2

Média

8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5 = 42 = 7

6 6

• Dado o conjunto de números, 8, 4, 6, 9, 10, 5

Determine a média:

Determine o salário médio

Salários Fr

240 - 480 15

480 - 720 22

720 - 960 30

960 - 1200 18

1200 - 1440 15

Mediana = Md

8 – 0 – 7 – 4 – 7 – 10 – 6 – 5 Colocando em ordem crescente:

0 – 4 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 10

Md = 6+7 = 6,52

É o do meio Desde que colocados em ordem crescente

Calcule a Mediana

Alturas Frequencia (f)

Frequencia Acumulada

160 – 163

4 4

163 – 166

8 12

166 – 169

10 22

169 – 172

9 31

172 – 175

7 38

175 – 178

7 45

178 - 181

5 50

Total 50

Alturas Frequencia (f)

Frequencia Acumulada

160 – 163

4 4

163 – 166

8 12

166 – 169

10 22

169 – 172

9 31

172 – 175

7 38

175 – 178

7 45

178 - 181

5 50

Total 50

Moda = Mo

Resultado com maior frequencia

Moda = Mo

Idade Frequencia (f) Frequencia Acumulada

18 – 21 9 9

21 – 24 12 21

24 – 27 12 33

27 – 30 17 50

30 – 33 16 66

33 – 36 14 80

36 – 39 11 91

39 – 42 9 100

Total 100

Dado o conjunto abaixo, determine o desvio médio:

8 – 4 – 6 – 9 – 10 – 5

4 – 5 – 6 – 8 – 9 – 10 4+5+6+8+9+10 = 42

42/6 = 7

8 – 7 = 1 4 – 7 = 3 6 – 7 = 1 9 – 7 = 2

10 – 7 = 3 5 – 7 = 2

1+3+1+2+3+2 = 12

12/6 = 2

Salário Mínimo

Funcionários

1 – 2 1

2 – 3 4

3 – 4 6

4 – 5 5

5 – 6 6

6 – 7 10

7 – 8 9

8 – 9 6

9 – 10 3

Total 50

Média

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

1,5

10

21

22,5

33

65

67,5

51

28,5

300

Média dos salários é: 300/50 = 6

Média

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

-

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4,5

3,5

2,5

1,5

0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

20,5

88/50 = 1,76

Freq

1

4

6

5

6

10

9

6

3

50

Freq

4,5

14

15

7,5

3

5

13,5

15

10,5

88

Amostra (n-1) População n

22.000/8 = 2750

Func Salários

1 2800

1 2650

1 2920

1 2800

1 2878

1 2682

1 2700

1 2570

Total 22000

Média

2750

2750

2750

2750

2750

2750

2750

2750

Desvio

50

100

170

50

128

68

50

180

816

99808 / 8 = 12476 raiz quadrada = 111,70

Ao quadrado

50

100

170

50

128

68

50

180

816

Resultado

2500

10000

28900

2500

16384

4624

2500

32400

99808

Freq

1

1

1

1

1

1

1

1

Espaço Amostral (Espaço Amostral ()): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

4. Tempo de duração de uma lâmpada. = {t: t 0}

1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) . = {A, B, AB, O}

3. Hábito de fumar. = {Fumante, Não fumante}

Exemplos:

Notação: A, B, C ...

(conjunto vazio): evento impossível

: evento certo

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6}

B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}

EventosEventos: subconjuntos do espaço amostral

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

Operações com eventosOperações com eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A B: união dos eventos A e B.Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B.

O complementar de A é representado por Ac.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é,

A B =

• A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,

A B = e A B =

•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

• sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} =

• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lançamento de um dado

• não sair face parAC = {1, 3, 5}

ProbabilidadeProbabilidade

• Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório• Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento

Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral?

Duas abordagens possíveis:

1. Freqüências de ocorrências2. Suposições teóricas.

Exemplo: Lançamento de um dado

Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado

P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.

ProbabilidadeProbabilidade

Atribuição da probabilidade:

1. Através das freqüências de ocorrências.• O experimento aleatório é repetido n vezes

• Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre.

Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da

probabilidade.

2. Através de suposições teóricas.

•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que:

.

1ii21

i

1 )P(w ...}) , w,({w P )( P

e 1 )P(w 0

No caso discretocaso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilísticomodelo probabilístico especificado quando estabelecemos:

•O espaço amostral = {w1,w2, ... }

Ainda no caso discreto,

• Se A é um evento, então

Aw

j

j

)(w P (A) P

Ω de elementos de nº.

Ade elementos de nº. (A) P

• Se } w..., , w,{w Ω N21 e

N

1 )(w P i (pontos equiprováveis), então

Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.

Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos.

SexoAlfabetizado

TotalSim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249

Fem. 46.304 7.297 56.601

Total 85.881 15.969 101.850Fonte: IBGE- Censo 1991

: conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos.

Definimos os eventos

M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino;S : jovem sorteado é alfabetizado;N : jovem sorteado não é alfabetizado.

Temos ir para a tabela

0,157 101.850

15.969 P(N) 0,843

101.850

85.881 P(S)

0,526 101.850

56.601 P(F) 0,474

101.850

48.249 P(M)

•M S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino?

M S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino?

0,928 101850

39577 - 48249 85881

em elementos de nº.

LM em elementos de nº. L)P(M

S)

S

389,0101850

39577

em elementos de nº.

LM em elementos de nº. L)P(M

S)

S

Sejam A e B eventos de . Então,

• Para qualquer evento A de , P(A) = 1 - P(Ac).

Regra da adição de probabilidadesRegra da adição de probabilidades

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Conseqüências:

• Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B).

Probabilidade condicional:Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por

. 0 P(B) ,P(B)

B)P(A B)|P(A

PROBABILIDADE CONDICIONAL E PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIAINDEPENDÊNCIA

Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades

B).|P(A P(B) B)P(A

Analogamente, se P(A) >0,

. A)|P(B P(A) B)P(A

0,82.

101.85048.249

101.85039.577

39.577 / 48.249 = 0,82.

Diretamente da tabelaDiretamente da tabela

temos P(S | M) =

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?

P(M)

M)P(S M)|P(S

definiçãodefinição, Pela

SexoAlfabetizada

TotalSim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249

Fem. 46.304 7.297 56.601

Total 85.881 15.969 101.850

A: 2ª bola sorteada é brancaC: 1ª bola sorteada é brancaP(A) = ???

Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição.

53

52 B

V

42

42

V

B

43

41

V

B

1Total

V V

VB

BV

BB

ProbabilidadesResultados

20

2

4

1

5

2

20

6

4

3

5

2

20

6

4

2

5

3

20

6

4

2

5

3

e 5

2

20

6

20

2)A(P

Temos

. 4

1)C|A(P

1Total

V V

VB

BV

BB

ProbabilidadeResultados

25

4

5

2

5

2

25

6

5

3

5

2

25

6

5

2

5

3

25

9

5

3

5

3

Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos

53

52 B

V

53

52

V

B

V

B

53

52

ou seja, o resultado na 2a extração independe do que ocorre na 1a extração.

e 5

2

25

6

25

4P(A) = P(branca na 2ª) =

Neste caso,

P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5

2

)A(P5

2P(A | Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

Independência de eventosIndependência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é,

P(B). P(A) B)P(A

Ainda temos a seguinte forma equivalente:

P(A), B)|P(A 0. P(B)

Exemplo: A probabilidade de João ser aprovado no vestibular é 1/4 e a de Maria é 3/4. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados?

A: João é aprovado

B: Maria é aprovada

P(A B) = P(A) x P(B) = 1/4 x 3/4 = 3/16