RODRIGO VIARO DE SIQUEIRA

MODELAGEM DE NANOESTRUTURAS

METAMATERIAS PARA APLICAÇÕES

EM FREQUÊNCIAS ÓPTICAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado

à Escola de Engenharia de São Carlos, da

Universidade de São Paulo

Curso de Engenharia de Computação com

Ênfase em Telecomunicações

ORIENTADOR: Prof. Dr. Ben-Hur Viana Borges

São Carlos

2011

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento

da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP

Siqueira, Rodrigo Viaro de.

S618m Modelagem de nanoestruturas metamaterias para aplicações em

frequências ópticas. / Rodrigo Viaro de Siqueira ; orientador Ben-Hur Viana

Borges –- São Carlos, 2011.

Monografia (Graduação em Engenharia de Computação com ênfase em

Telecomunicações) -- Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de

São Paulo, 2011.

1. Metamaterias. 2. Ressoadores em anel. 3. Modelo de Drude. 4.

Plasmon-poláritons de superfície. 5. SPP. I. Titulo.

Agradecimentos

Aos meus queridos pais, José Almir e Adriana, que sempre se esforçaram muito para

que pudesse estudar e realizar os meus sonhos, fornecendo todo o suporte e motivação para

que eu não desanimasse nesta difícil caminhada. Sou eternamente grato por isso.

Ao professor Ben-Hur, que me auxiliou no ensino e no desenvolvimento deste projeto

sempre de forma paciente e solidária.

À instituição Universidade de São Paulo por, além de ter me fornecido grande

quantidade de conhecimento técnico, ter me preparado para os futuros problemas e

responsabilidades da vida e não temê-los. É com orgulho e satisfação que escrevo este

Trabaho de Conclusão de Curso.

Sumário

Resumo...................................................................................................................................... i

Abstract .................................................................................................................................... ii

1. Introdução ......................................................................................................................... 1

1.1. Motivação .................................................................................................................................... 2

1.2. Objetivo ........................................................................................................................................ 2

1.3. Organização dos Capítulos ...................................................................................................... 3

2. Metamateriais para Aplicações Ópticas .......................................................................... 4

2.1. Definição ...................................................................................................................................... 4

2.2. Evolução Histórica ..................................................................................................................... 5

2.3. Os Plasmons de Superfície e os Plasmon-poláritons de Superfície .................................. 7

2.4. O Modelo da Condutividade de Drude.................................................................................... 8

2.5. Principais Áreas de Interesse e Técnicas de Fabricação .................................................. 11

3. Anel Ressoador Tipo-U ...................................................................................................13

3.1. Geometria e Composição do Anel Tipo-U ............................................................................ 13

3.2. Resultados Encontrados ......................................................................................................... 16

4. Variações de Estruturas Nanometálicas Metamateriais ................................................31

5. Conclusão ........................................................................................................................45

Apêndice A ..............................................................................................................................47

Apêndice B ..............................................................................................................................52

Apêndice C ..............................................................................................................................56

C.1. O Software Comsol Multiphysics [33] ....................................................................................... 56

C.2. Iniciando o Comsol Multiphysics 3.5a ...................................................................................... 57

C.3. Iniciando um Novo Projeto para Estrutura Metamaterial a ser Estudada ........................... 57

C.6. Definindo a Composição Física da Geometria 3D ................................................................. 59

C.4. Desenhando Geometria do Metamaterial em 2D ................................................................... 61

C.5. Criando e Desenhando a Geometria em 3D ........................................................................... 63

C.7. Definindo as Condições de Contorno ....................................................................................... 67

C.8. Definindo a Simulação e Execuntado-a ................................................................................... 71

C.9. Construção de Gráficos e Densidade de Campo Magnético ................................................ 74

Referências Bibliográficas .....................................................................................................76

i

Resumo

Este trabalho tem por objetivo investigar o comportamento de estruturas nanometálicas

metamateriais para aplicações em frequências ópticas. Este estudo só foi possível graças ao

desenvolvimento da nanotecnologia e ao advento da plasmônica. Com isso, dispositivos cujas

dimensões são abaixo do limite de difração tornaram-se realidade, permitindo grandes avanços

em aplicações de sensoriamento e telecomunicações .

O fenômeno fundamental por trás da resposta em frequência das estruturas é o de

geração de plasmon-poláritons de superfície – SPP (Surface Plasmon Polaritons), o qual é

também afetado por variações geométricas das mesmas. O modelo material adotado nas

simulações foi o modelo de Drude (comumente utilizado na modelagem de metais nobres,

como os adotados nas estruturas estudadas). Neste estudo foram investigadas as

transmissividades e refletividades espectrais de diversas configurações de ressoadores em

anel dividido (Split Ring Resonators). Com isso foi possível estabelecer parâmetros de projetos

que podem auxiliar no desenvolvimento de projetos futuros.

A modelagem das estruturas foi realizada no software Comsol Multyphysics 3.5a, o qual

é baseado em elementos finitos. Foram realizados diversos estudos de sensibilidade dos

parâmetros geométricos das estruturas, e foram também propostas novas configurações

visando aplicações em telecomunicações (filtragem de comprimentos de ondas) e

sensoriamento. A figura de mérito utilizada na interpretação dos resultados foram os

parâmetros de espalhamento (parâmetros-S).

Palavras-chaves: Ressoadores em anel, metamateriais, modelo de Drude, plasmon-poláritons

de superfície, SPP.

ii

Abstract

This work aims to investigate the behavior of nano-metal metamaterials structures for

applications in optical frequencies. This study was possible by the development of

nanotechnology and the advent of plasmonics. Thus, devices whose dimensions are below the

diffraction limit have become a reality, enabling major advances in telecommunications and

sensing applications.

The fundamental phenomenon behind the frequency response of the structures is the

generation of surface plasmon polaritons (SPPs), which is also affected by variations of the

these structures. The material model adopted in the simulations was the Drude model

(commonly used in modeling of noble metals, such as those adopted in the structures studied).

This study investigated the transmissivity and reflectivity spectra of several configurations of

Split Ring Resonators. This has been possible to establish design parameters that can assist in

developing future projects.

The modeling of the structures was carried out in software Multyphysics Comsol 3.5a,

which is based on finite elements. It was performed sensitivity studies of various geometrical

parameters of structures, and new configurations have also been proposed aiming at

applications in telecommunications (filtering wavelengths) and sensing. The figure of merit used

in interpreting the results were the scattering parameters (S parameters).

Keywords: Split Ring Resonators, metamaterials, Drude model, surface plasmon polariton,

SPP.

1

1. Introdução

Ao longo dos séculos, pesquisadores vêm procurando compreender a estrutura atômica

e molecular dos mais diversos tipos de materiais e de como estas podem interferir nas

propriedades físicas e químicas dos mesmos. No entanto, com o advento da nanotecnologia

(cuja definição surgiu em 1974 por N. Taniguchi [1]), novas estruturas foram desenvolvidas

artificialmente para recriar algumas propriedades de materiais encontrados na natureza e,

surpreendentemente, criar novas propriedades possíveis do ponto de vista matemático e físico,

mas que não são encontradas no meio natural.

Por exemplo, Sir J. Pendry desenvolveu estruturas metálicas de geometrias variadas

que possibilitaram a obtenção de permissividade e permeabilidade negativas (ver Apêndice A

para mais detalhe sobre tais propriedades e suas relações com os metamaterias), algo

totalmente original para o atual meio natural até então [2]. Estas estruturas possuíam

dimensões da ordem de milímetros e estavam relacionadas com aplicações em frequências de

micro-ondas na faixa dos 3 GHz. Aproveitando-se dos estudos de Pendry, os cientistas D. R.

Smith et al. conseguiram realizar o primeiro experimento com refração negativa, um fenômeno

que na época ainda era difícil de se reproduzir em frequências ópticas [4].

Estes novos materiais ficaram conhecidos como “metamateriais”, que são compostos

por "átomos macroscópicos" que atuam de forma similar a átomos e moléculas de um meio

convencional. No entanto, para que esses novos materiais se comportem como meios

homogêneos, as dimensões dos "átomos" devem ser em torno de dez vezes menores em

relação ao comprimento de onda de operação. Para os atuais estudos de dispositivos ópticos,

o desenvolvimento da nanotecnologia tornou-se um fator de suma importância por permitir a

realização de estruturas com as dimensões necessárias para operação em comprimentos de

ondas ópticas.

Atualmente, estes dispositivos ópticos são alternativas viáveis para os seus circuitos

equivalentes da microeletrônica. Utilizando-se de um princípio físico denominado de “plasmons

de superfície”, o acoplamento de fótons com elétrons livres do metal, esses possibilitam a

transmissão de informação em escalas muito menores que o comprimento de onda evitando

assim possíveis gargalos temporais e falhas no trajeto dos dados, como podem ocorrer em

circuitos que são formados fundamentalmente por transistores. Isto somente foi possível de ser

alcançado quando Ebbesen et al. desenvolveram uma estrutura em nanoescala capaz de

superar os limites da difração [5], a qual limitava o estudo desses materiais até então.

2

Uma outra estrutura nanometálica que será utilizada neste trabalho consiste nos

chamados Ressoadores em Anel Dividido (Split Ring Resonators - SRRs). Estes anéis

possuem uma geometria de material condutor metálico utilizados para atingir uma resposta

ressonante para uma determinada frequência óptica quando esta estrutura é irradiada por uma

onda eletromagnética do espectro de luz visível ao infravermelho. O princípio da ressonância

tem como base a interação destes plasmons de superfície com a onda incidente sendo que a

sua frequência é calculada por meio da equivalência desta estrutura com um circuito elétrico do

tipo LC. Assim, a frequência de ressonância é dada pela seguinte equação:

√

(1.1)

em que L é a indutância do anel ressoador e C é a capacitância de gap existente nas

terminações deste anel. De posse destas estruturas, Yin et al. [6] desenvolveram uma pesquisa

experimental baseada na inclusão de SRRs em geometria tipo-U em uma matriz de buracos

quadrados com a finalidade de investigar sua resposta em frequência quando o metamaterial é

irradiado por ondas eletromangéticas em frequências na faixa de TeraHertz. Com isso foi

possível verificar suas frequências de ressonância e obter um extraordinário efeito de

transmissão mediante o uso da mesma.

1.1. Motivação

Este trabalho teve a indicação do Professor Dr. Ben-Hur Viana Borges e consiste em

projetar possíveis geometrias de nanoestruturas metamateriais para aplicações na faixa

comprimentos de onda de 400 nm a 1600 nm. Suas aplicações estão relacionadas com a área

de sensoriamento e Telecomunicações e serão detalhadas no capítulo dois deste trabalho.

1.2. Objetivo

O objetivo deste trabalho consiste em aproveitar o trabalho realizado em [6], alterando a

geometria (forma e tamanho) do ressoador original, bem como as dimensões dos buracos

quadrados da matriz utilizada. É bem sabido que variações geométricas afetam de forma

significativa a frequência de ressonância da estrutura como um todo. De posse dessas

geometrias será calculada a resposta em frequência procurando-se obter novos resultados que

3

possam gerar respostas de interesse prático para uso em sensoriamento e filtragem de

comprimentos de ondas. Para este trabalho será utilizado o software Comsol Multiphysics 3.5a,

onde pretende-se projetar as estruturas metamateriais e simulá-las.

1.3. Organização dos Capítulos

Este trabalho está dividido em cinco capítulos e três apêndices. O primeiro introduz os

metamateriais para aplicações ópticas e propõe a motivação e o objetivo deste trabalho.

O capítulo dois faz uma breve definição sobre os metamaterias, passando pelos

principais eventos históricos desde o seu surgimento até o atingir o foco deste trabalho: os

metamateriais para aplicações ópticas. Neste capítulo ainda serão discutidos conceitos

relevantes para esta classe como difração óptica, plasmons de superfície e o modelo de Drude,

as vantagens desta tecnologia integrada com suas possíveis aplicações para a área de

telecomunicações.

O capítulo três mostra detalhadamente os principais conceitos e resultados do artigo no

qual este trabalho se baseia [6], além de apresentar as simulações no software Comsol

Multiphysics da estrutura geométrica do tipo-U apresentada por esses cientistas.

O capítulo quatro procura inserir, neste mesmo contexto, novas estruturas

metamateriais para aplicações ópticas. Alterando-se a geometria do ressoador original bem

como as dimensões dos buracos quadrados da matriz utilizada, procura-se obter respostas em

frequências que também sejam de interesse prático para sensoresiamento e filtragem de

comprimentos de onda para a área de telecomunicações.

O capítulo cinco conclui este trabalho, analisando as simulações e testes realizados,

bem como discutindo possíveis futuros trabalhos na área.

O apêndice A aborda o princípio geral de propriedades físicas importantes para as

telecomunicações como a permissivade e a permeabilidade e seus primeiros estudos práticos

com o campo dos metamateriais. O apêndice B traz uma discussão a respeito de parâmetros

de espalhamento, ferramentas importantes para a análise em resposta em frequência das

nanoestruturas metamateriais estudadas. Por fim, o apêndice C exibe, passo a passo, como

que uma das nanoestruturas propostas foi projetada e simulada no software Comsol

Multiphysics 3.5a.

4

2. Metamateriais para Aplicações Ópticas

Para avançar aos resultados gerados por este trabalho, é necessário realizar uma

discussão mais aprofundada sobre o que são metamateriais em sua definição genérica, seu

histórico e os conceitos físicos e matemáticos mais relevantes para a classe de metamateriais

destinados às aplicações ópticas.

2.1. Definição

Segundo D.A. Lucena, em seu Trabalho de Conclusão de Curso [7], os metamateriais

apresentam diversas definições ainda não aceitas por unanimidade por parte da comunidade

científica mas, apesar disso, as idéias propostas pelos pesquisadores não se contradizem. Em

suma, metamateriais definem uma classe de materiais criados artificialmente que apresentam

propriedades eletromagnéticas normalmente não encontradas na natureza, mas totalmente

possíveis de serem criadas dentro das leis que regem a física. Vale ressaltar o fato de que para

estas estruturas metamateriais formarem um meio homogêneo é indispensável que as suas

dimensões e sua uniformidade sejam muito menores (no mínimo dez vezes) com relação ao

comprimento de onda da radiação eletromagnética incidente. Normalmente, a estrutura mais

encontrada é formada pela união dos elementos metamateriais que são dispostos de forma

periódica. A Fig. 2.1 [8] exemplifica tal meio.

Figura 2.1 - Meio formado pela inclusão de estruturas metamateriais dispostas em um arranjo periódico [8].

5

2.2. Evolução Histórica

O conceito de se construir materiais como método para manipulação de ondas

eletromagnéticas iniciou-se no final do século XIX [9]. O primeiro experimento relacionado com

o uso de materiais artificiais remete-se à J. G. Buse em 1898 [9]. Este cientista realizou os

primeiros experimentos utilizando materiais que permitiam a manipulação de ondas irradiadas

nos mesmos. Ele demonstrou o funcionamento de seu dispositivo para comprimentos de onda

incidentes que variavam de 5 mm a 2,5 cm.

De 1914 até 1920, K. F. Lindman realizou estudos com meios quirais artificiais

formados por uma junção de várias espirais distribuídas de forma aleatória. Desde a década de

80, alguns cientistas como I. V. Lindell et al. [10] realizam trabalhos sobre tais materiais. Já em

1948, W. E. Kock [11] criou lentes circulares em frequências de micro-ondas arranjadas de

forma periódica capazes de criar um índice de refração efetivo do meio artificial sob teste. A

partir deste momento, diversos estudos sobre materiais artificiais complexos vêm sendo

realizados pelo mundo. Estes trabalhos permitiram o surgimento dos metamateriais.

Em 1967, por exemplo, V. Veselago [12] (considerado o pai dos metamateriais)

estudava o comportamento de ondas planas que interagiam com meios cujas propriedades de

permeabilidade e permissividade (propriedades macroscópicas muito importantes de materiais

e que podem ser explicadas de forma mais detalhada no Apêndice A) apresentavam valores

negativos. Em seu trabalho, Veselago demonstrou que o Vetor de Poynting de uma onda plana

monocromática uniforme que se propaga neste meio é antiparalela à direção da velocidade de

fase da onda, contrariando a ideia de uma onda interagindo em um meio convencional. Esta

explicação não foi muito relevante para a época devido à dificuldade em se realizar a

permissividade negativa e a falta de se produzir, de alguma forma, a permeabilidade negativa.

Isto se tornou possível quando J. B. Pedry [13] propôs um arranjo periódico em forma

de anel capaz de produzir permeabilidade variada, baseando-se na alteração do campo

magnético ao longo da estrutura. Este anel é o chamado Split Ring Resonator ou Ressoador

em Anel Dividido. Estes anéis metálicos atuam como dipolos magnéticos macroscópicos,

permitindo que estas estruturas apresentem uma resposta interessante em sua respectiva

frequência de ressonância. Estes principais trabalhos estavam relacionados com aplicações

para o espectro de frequência de micro-ondas. Por outro lado, diversos outros estudos estavam

em desenvolvimento para a faixa de frequências ópticas com o objetivo de se compreender

melhor como estas ondas interagem com esses meios.

6

Esta forma de radiação eletromagnética produzida em altas frequências engloba os

espectros do infravermelho e da luz visível ao olho humano [14]. Por conseguinte, seus

comprimentos de onda são da ordem de nanômetros o que dificultou por muito tempo a criação

de materiais que pudessem ter dimensões menores, de no mínimo um décimo do comprimento

de onda incidente, e formar um meio supostamente homogêneo. Outra restrição encontrada

era o chamado “limite de difração”. Este fenômeno pode ser melhor compreendido pela

equação exibida abaixo [15]:

(2.1)

em que é o limite de refração, é o comprimento de onda e n é o índice de refração do

meio. Em termos práticos, o fenômeno está relacionado com o fato de que objetos também

emitem ondas sutis, evanescentes, que contêm grande nível de detalhamento, mas que são

muito mais difíceis de serem capturadas por dispositivos comuns do que as ondas refletidas e

refratadas em um objeto. Estas ondas evanescentes decaem exponencialmente fora do plano

da imagem constituindo o limite de difração. O grande desafio seria de alguma forma confinar

estas ondas abaixo deste limite.

Entretanto, desde o advento da nanotecnologia em 1974 [1], que proporciona o

desenvolvimento de dispositivos em nanoescala com robustez e alta sensibilidade, e o

posterior trabalho de Ebbesen et al [5], tal façanha tornou-se possível e está revolucionando

aquilo que se pode fazer com a luz. Utilizando-se de células quadradas de 300 nm irradiadas

pelo espectro luminoso, Ebbesen e seus co-pesquisadores perceberam que,

surpreendentemente, mais ondas eletromagnéticas passavam pela estrutura do que aquilo que

as atingia (aumento de transmissividade). Com um estudo mais aprofundado a respeito do

assunto, percebeu-se que o fenômeno estava relacionado com os chamados plasmons de

superfície formados na interface metal e dielétrico (representando pelo ar) e que serão

explicados, detalhadamente, na próximo seção deste capítulo.

Desde então, diversos estudos focados na interação da luz com estas estruturas

nanometálicas surgiram e têm demonstrado bastante interesse em obtenção de resultados

práticos [16]. Estes conceitos propiciaram, não apenas aos cientistas reverem suas visões

sobre a óptica, mas também o surgimento de um novo campo de pesquisa batizado de

plasmônica. Como exemplo desta nova área, Linden et al. desenvolveram uma nanoestrutura

metamaterial capaz de produzir uma frequência de ressonância do tipo LC, regida pela Eq. 1.1,

em torno de 100 THz [17]. Para isso, eles utilizaram um anel ressoador periódico bastante

7

semelhante ao proposto em [6], e que será discutido posteriormente neste trabalho. A Fig. 2.2

ilustra tal SRR.

Figura 2.2 - Ressoador em anel do tipo-U [17].

2.3. Os Plasmons de Superfície e os Plasmon-poláritons de Superfície

A interação de ondas eletromagnéticas com materiais condutores e isolantes despertou

o interesse de diversos pesquisadores desde o final do século XIX. Mas foi com o trabalho de

R. H. Ritchie [18] que estes estudos foram unificados e o termo “plasmon de superfície” foi

sugerido após a realização de experimentos práticos. De forma simples, os plasmons de

superfície são oscilações coletivas de elétrons existentes na superfície de um metal formados a

partir da interação da onda eletromagnética com o mesmo. Para que isso seja possível,

normalmente um metal está em contato com um meio dielétrico (ar ou vidro, por exemplo). O

fenômeno é observado em alguns metais quando estes são excitados por uma frequência

abaixo da frequência de plasma do mesmo, o que faz com que a parte real de sua

permissividade seja negativa.

Quando um fóton incide sobre um meio com as características acima, é possível

produzir o que se chama de geração de plasmon-poláritons de superfície (SPP). Em outras

palavras, o SPP é formado pela associação de fótons mais oscilações coletivas de elétrons. Ele

representa uma onda eletromagnética com polarização TM [19] (ausência de campo magnético

na direção de propagação da onda) que se propaga ao longo da interface entre um dielétrico e

um metal. A constante de propagação nessa situação é dada por:

8

√

√ (2.2)

em que é a frequência angular, c é a velocidade da luz no vácuo e e são,

respectivamente, a permissividade do metal e do dielétrico. Esta equação descreve o

fenômeno do SPP quando o metal possui a parte real da permissividade negativa, como dito

anteriormente. Um estudo mais aprofundado sobre tal fenômeno pode ser encontrado em [19-

20].

Estes metamateriais, formados pelas nanoinclusões de algum metal nobre como a prata

ou o ouro sobre uma camada de vidro mostraram ser eficientes em confinar e guiar a luz em

regiões menores que o limite de difração [21-22].

2.4. O Modelo da Condutividade de Drude

Ainda no final do século XIX, físicos iniciaram estudos com o objetivo de elaborar

modelos para os diferentes metais e que explicassem de forma qualitativa e quantitativa as

propriedades dos mesmos. O modelo de Drude, também conhecido como modelo do elétron

livre, foi e ainda é bastante utilizado para gerar excelentes aproximações de propriedades

físicas que, para uma precisa compreensão, podem requerer uma análise de considerável

complexidade.

Assim, quando se aplica um campo elétrico a um determinado metal (irradiação de

ondas eletromagnéticas) ocorre uma movimentação de elétrons quasi-livres. Por conseguinte,

existe uma corrente elétrica que circula por tal metal proveniente da movimentação de tais

elétrons. Cabe ressaltar o fato de que a concentração de cargas positivas e negativas

permanece constante, uma vez que os elétrons móveis são neutralizados pelos íons existentes

no núcleo dos átomos do material metálico em seu estado sólido.

Este movimento de elétrons provoca colisões entre íons e outros elétrons pertencentes

ao metal. Estas últimas são classificadas como perdas de energia no modelo. Sem a presença

de ondas eletromagnéticas irradiadas à estrutura metálica, o movimento de elétrons é aleatório

sendo a velocidade média dos mesmos igual a zero. Com a presença de campos

eletromagnéticos, este movimento apresenta organização, sendo modelado matematicamente

pela Força de Lorentz que obedece às leis de Newton, apresentando velocidade média não

nula.

9

De forma a se compreender e demonstrar o Modelo de Drude, este trabalho tomará

como partida o modelo de Lorentz. Esta representa uma descrição do movimento dos elétrons

por meio de um mecanismo de oscilação harmônica amortecida. Neste modelo, as cargas

movem-se na mesma direção do campo elétrico, sendo que este último descreve a resposta

temporal de uma componente de campo de polarização do meio exibida abaixo pela Eq. (2.3)

[8]:

(2.3)

O primeiro termo da esquerda representa a aceleração das cargas, já o segundo exibe

os mecanismos de amortecimento do sistema, ou seja, suas perdas devido às colisões dos

elétrons, tendo coeficiente de amortecimento dado por e, por fim, o terceiro termo mostra as

forças de restauração de frequência característica dada por

. O termo da direita,

responsável pela condução dos elétrons, possui susceptibilidade elétrica dada por . A

resposta em frequência, supondo a presença do termo de dependência no tempo ( ) é

dada por:

( )

( ) (2.4)

Com perdas pequenas, ou seja,

a resposta ressonante natural será A

polarização e os campos elétricos estão relacionados com a susceptibilidade elétrica dada por:

( ) ( )

( )

(2.5)

Mas, ε r ( ) também pode ser definido como:

( ) ( ) (2.6)

A permissividade relativa é dada por:

10

(2.7)

em que representa a permissividade do vácuo dada por 8,854e-12 F/m. Logo, substituindo

(2.5) em (2.6) tem-se:

( ) ( ) (2.8)

Quando a força restauradora é insignificante comparada com a dos demais termos da

expressão de Lorentz, tem-se o Modelo de Drude propriamente dito:

(2.9)

( )

(2.10)

Na Eq. (2.10), o coeficiente de acoplamento é geralmente representado pela frequência

de plasma . O plasma corresponde a um meio composto de cargas positivas e

negativas. Em um material sólido, por exemplo, as cargas negativas dos elétrons são

compensadas pelas cargas positivas ionizadas de mesma concentração. Esta frequência de

plasma corresponde, portanto, a uma frequência de oscilação harmônica destes elétrons

livres em torno de suas respectivas posições de equilíbrio e pode ser escrita como [23]:

(2.11)

em que é a densidade de elétrons, é a carga do elétron e é a massa do elétron.

Assim, a Eq. (2.10) pode ser reescrita utilizando-se a frequência de plasma:

( )

( ) (2.12)

11

Supondo que o coeficiente de acoplamento é positivo (frequência de plasma) e o termo

é nulo, ou seja, não ocorrem perdas devido à movimentação dos elétrons, quando

, percebe-se claramente que a permissividade é positiva e a luz pode-se propagar no

material metálico com uma relação de dispersão dada por [19]:

(2.13)

em que c é a velocidade da luz no vácuo e k a constante de propagação da onda. De maneira

análoga, quando a permissividade dada pela susceptibilidade elétrica é nergativa e,

portanto, a propagação de luz no metal é próxima de zero. Contudo, a transmissão de luz no

metal ocorre devido ao fenômeno do SPP explicado anteriormente. O modelo de Drude é de

suma importância para que neste trabalho, bem como em [6-17], fosse possível definir as

propriedades físicas da estrutura nanometálica metamaterial.

2.5. Principais Áreas de Interesse e Técnicas de Fabricação

O campo de estudo dos metamaterias para aplicações em frequências ópticas abrange,

atualmente, diversas áreas de interesse e que estão em diferentes níveis de pesquisa, mas que

possuem diversos pontos em comum.

Uma das principais aplicações deste ramo de pesquisa consiste em aproveitar as

ressonâncias LC, que uma determinada estrutura metamaterial apresenta em determinados

comprimentos de onda, e aplicá-las na área de sensoriamento e no projeto de filtros de altas

frequências. Por meio do estudo em resposta em frequência de estruturas nanometálicas

metamateriais é possível aproveitar-se desta ressonância e criar filtros passa-banda e rejeita-

banda apenas analisando o espectro e as possíveis atenuações da onda irradiada. Estudando

o comportamento da transmissividade da luz em estruturas SRRs, cientistas procuram

entender de que maneira a geometria das mesmas pode gerar resultados interessantes [6-17-

24]. Estes são chamados de guias seletivos de frequência e também são o foco de estudo

deste trabalho.

Outra área interessante de pesquisa consiste nas chamadas “lentes perfeitas”, que

utilizam metamateriais em nanoescala que procuram extrapolar os limites de difração de lentes

12

ou dispositivos ópticos convencionais, como a lente proposta por J. B. Pendry [25]. Estas lentes

podem auxiliar na melhoria do aproveitamento da energia solar, uma vez que pode-se otimizar

a recepção e o ângulo de incidência da luz em células solares. Além disso, estas “lentes

perfeitas” podem auxiliar na construção de microscópicos ópticos de melhor resolução, já que

estes não estão restritos ao limite da difração.

Uma das mais fascinantes áreas de estudo com metamateriais fotônicos consiste no

desenvolvimento de sensores de alta sensibilidade biológica e química. Estes exploram a

interação de plasmons de superfície com a presença de concentrações de substâncias

químicas que podem alterar a ressonância original existente da estrutura e a forma original de

como a luz é guiada e confinada. Portanto, funcionam como transdutores para certas

substâncias químicas. Por fim, ainda existem diversos outros estudos em que a área da

plasmônica pode ser aplicada, como no desenvolvimento de moduladores, chaves ópticas e

lasers [26].

Mas nada disto poderia ser passível de desenvolvimento sem a presença de técnicas

especializadas e robustas para o projeto e criação destas estruturas. Conforme dito na

definição dos metamateriais, para que o meio formado por tais estruturas nanometálicas seja

homogêneo, suas dimensões devem ser, no mínimo, dez vezes menores que o comprimento

de onda da luz incidente. No caso dos metamateriais fotônicos, é ainda mais difícil de se

implementar tais estruturas, uma vez que o comprimento de onda da luz já é da ordem de

nanômentros.

Assim, para a fabricação de inclusões de metamateriais nanometálicas são utilizadas

duas técnicas de litografia que permitem suas construções: feixe de elétrons (electron beam) e

feixe de íons (ion beam). Estas técnicas de litografia permitem a criação de estruturas com

dimensões abaixo do limite da difração. Em particular, a técnica de íon beam é mais barata e

mais rápida para a criação de protótipos de metamateriais fotônicos utilizando-se ferramentas

em nanoescala capazes de gerar bombardeio de íons na dimensão de 2,5 a 2,6 nanômetros.

13

3. Anel Ressoador Tipo-U

Neste capítulo, serão mostrados os resultados obtidos por meio de simulações da

nanoestrutura tipo-U proposta por Yin et al. [6]. O objetivo desta fase do trabalho é obter

resultados semelhantes aos que foram obtidos por tais cientistas para que se possa

acrescentar novas respostas interessantes para outras geometrias estudadas.

Conforme dito anteriormente, as simulações deste trabalho foram realizadas no

software Comsol Multiphysics 3.5a. Este software baseado em elementos finitos permite, em

suma, que o usuário possa desenhar a geometria, especificar a física por trás da mesma,

analisar uma determinada resposta, e obter resultados gráficos.

3.1. Geometria e Composição do Anel Tipo-U

O anel ressoador de prata do tipo-U, proposto em [6], possibilita que esta estrutura,

quando replicada de forma periódica, tenha um comportamento anômalo quando irradiada por

ondas eletromagnéticas. Quando ondas incidem na estrutura periódica, o conceito dos

plasmons-poláritons de superfície entra em cena, possibilitando que este material entre em

ressonância do tipo LC (Eq. 1.1) para certas frequências apenas variando-se a forma e

tamanho de um elemento da matriz periódica.

Além disso, estes anéis ressoadores foram definidos via processo de litografia, em

buracos periódicos presentes na estrutura. Estes buracos são delimitados por um filme também

composto de prata de espessura idêntica à do anel ressoador, de forma que o buraco isola o

SRR de seu filme de mesma composição. Esta união: anel, buraco e filme, representa uma

célula da estrutura total, como ilustra a Fig. 3.1. Esta, por sua vez, apresenta diversos

parâmetros que definem as dimensões geométricas da mesma. Abaixo, são exibidos os valores

de cada variável que compõe a estrutura original proposta:

a = 300nm;

b = 170nm;

d = 100nm;

p = 600nm;

t = 70nm;

w = 50nm.

14

Figura 3.1 - Célula do Tipo-U formada pela composição de Anel, Buraco e Filme. Diversas variáveis (a,b,d,p,t,w) compõem a estrutura inicial proposta [6].

A Fig. 3.2 exibe a união dos anéis ressoadores com a estrutura de buracos delimitada

pelas paredes de prata constituindo, desta maneira, o metamaterial periódico como um todo.

Este processo de união destes elementos foi desenvolvido pelo uso de técnicas avançadas de

inclusão dos anéis tipo-U no espaço representado pelos buracos.

Figura 3.2 - Processo de inclusão de anéis tipo-U em buracos, que compõem a estrutura matricial periódica como um todo [6].

Além das dimensões e disposição da estrutura periódica, outro aspecto importante para

que o metamaterial apresente uma resposta ressonante para certas frequências, consiste na

atribuição de propriedades físicas tanto para o substrato de vidro quanto para o anel ressoador

e para o filme de prata. Este substrato é representado por um vidro de permissividade 2,25 e a

15

prata tem sua permissividade modelada segundo o modelo de Drude da Eq. (2.12). Neste

modelo foi adotado a frequência de plasma com valor = 1,37x1016 rad/s e = 2x1014 rad/s

[6].

De posse das dimensões e da composição da estrutura, foi possível desenhá-la no

software Comsol Multiphysics 3.5a e atribuir as mesmas propriedades físicas para o substrato e

para a prata descritas acima. A Fig. 3.3 exibe tal estrutura cujas dimensões são idênticas à Fig.

3.1, apresentando altura de substrato h = 500 nm. Por esta imagem, a prata é representado

pela cor azul, enquanto o substrato de vidro possui coloração rósea. Cabe ressaltar a presença

de ar que preenche todo o espaço entre a face superior do paralelogramo e o metamaterial, e

possui permissividade unitária.

Figura 3.3 - Estrutura proposta em [6] desenhada no Sotware Comsol Multiphysics 3.5a. O substrato de vidro apresenta altura h = 500 nm.

Com o metamaterial representado pela Fig. 3.3, foi possível gerar resultados bastante

semelhantes aos exibidos por Yin et al. [6]. Estas respostas serão discutidas na próxima seção.

16

3.2. Resultados Encontrados

Nesta seção são discutidos os resultados neste trabalho que visam a obtenção de

respostas semelhantes a Yin et al. [6]. Primeiramente, foram definidas condições de contorno

para a estrutura exibida pela Fig. 3.3 e que podem ser encontradas de forma detalhada no

apêndice C deste artigo. Elas permitem que este metamaterial possa ser replicado

indefinidamente tanto para o eixo X quanto para o eixo Y, ou seja, tem-se uma matriz periódica

formada por esta unidade celular metamaterial.

Estas condições de contorno tiveram como base a teoria de parâmetros de

espalhamento e os guias de onda retangulares. Com relação aos primeiros, foram criadas duas

portas, uma de entrada e outra de saída, de nomes “porta 1” e “porta 2”, respectivamente.

Estas portas são fundamentais para a determinação dos parâmetros de espalhamento. A teoria

sobre este assunto pode ser encontrada de forma detalhada no apêndice B deste trabalho.

O conceito importante adotado no estudo dos guias de onda é que os campos elétricos

são nulos nas paredes do tubo paralelas à componente de campo elétrico. Da mesma maneira,

quando uma luz com polarização no eixo X incide no metamaterial, os campos elétricos

aparecem apenas nas paredes pertencentes à direção oposta. Seguindo a classificação

utilizada pelo Comsol, estas paredes recebem o nome de condutores elétricos perfeitos (do

inglês, PEC), enquanto que as paredes de direção perpendicular recebem a nomenclatura de

condutores magnéticos perfeitos (do inglês, PMC), uma vez que os campos magnéticos nestas

paredes devem ser nulos. Mais uma vez, é interessante observar o apêndice C para se obter

maior familiaridade com o software. A Fig. 3.4 resume as condições de contorno utilizadas.

Após simulação da estrutura proposta, foram encontrados resultados bastante

semelhantes com o trabalho de [6]. Inicialmente, a Fig. 3.5 exibe a transmissividade e a

refletividade de onda incidente em um buraco puro, ou seja sem a presença de anel ressoador.

A transmissividade na porta de saída e a refletividade na porta de entrada são representadas,

respectivamente, pelos parâmetros de espalhamentos e .

Pela figura, percebe-se que a transmissão na estrutura formada pelo buraco puro

possui ressonância em torno de 1000 a 1200 nm. Este pico de ressonância ocorre devido ao

fenômeno dos plasmons-poláritons de superfície explicado no Capítulo 2. A Fig. 3.6 exibe a

resposta em frequência em dB para a mesma estrutura. Nela é possível concluir que a

atenuação do sinal é baixa para o comprimento de onda onde ocorre a ressonância, ou seja,

em torno de 1000 nm.

17

Figura 3.4 - Estrutura metamaterial com a presença das condições de contorno.

Figura 3.5 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos), de onda incidente em uma estrutura formada por um buraco puro - sem a presença de anel tipo-U.

18

Figura 3.6 - Resposta em Frequência em dB de onda incidente em uma estrutura formada por um buraco puro. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11

triângulos.

Continuando os resultados das simulações, a Fig. 3.7 exibe a transmissividade e a

refletividade para o SRR puro com onda incidente polarizada na direção X. O Resultado é

bastante semelhante ao obtido por [6], com a ressonância em torno de 1200 nm também

apresentando uma banda mais larga. Já a Fig. 3.8 apresenta a resposta em dB para esta

composição. Por esta última imagem, é possível perceber a baixa atenuação do sinal para esta

faixa de comprimentos de onda quando analisado o parâmetro S21. Devido à grande largura

espectral, esta estrutura não é indicada para criação de sensores e filtros para estas

frequências.

A Fig. 3.9, por sua vez, exibe a transmissividade e a refletividade de uma onda incidente

polarizada no eixo Y, também com ótima concordância com [6] e ressonância na casa dos 800

a 900 nm de comprimento de onda. Por fim, a Fig. 3.10 ilustra a resposta em frequência para a

mesma situação. Sua resposta mais uma vez não é boa, uma vez que o sinal decai de forma

suavizada, não sendo indicado para as aplicações em foco.

19

Figura 3.7 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos), de onda incidente com propagação no eixo X em um anel tipo-U puro.

Figura 3.8 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um anel tipo-U puro. O parâmetro S21 é representado quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por

triângulos.

20

Figura 3.9 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo Y em um anel tipo-U puro.

Figura 3.10 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada no eixo Y em um anel tipo-U puro. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por

triângulos.

21

Os próximos resultados unem o anel ressoador tipo-U com a estrutura formado pelo

buraco puro e apresentaram excelentes resultados quando comparados com [6]. A primeira, a

Fig. 3.11, exibe a transmissividade e a refletividade de uma onda incidente com polarização na

direção X na estrutura completa formada por buraco, filme e anel ressoador. Percebe-se que a

transmissiviade possui valor um pouco superior a 0,3 para a ressonância do comprimento de

onda em torno de 1000 nm. Além desta primeira ressonância, gerada pelos plasmon-poláritons

de superfície na interface metal-dielétrico, há uma outra ressonância, cujo valor de

transmissividade está também em torno dos 0,3 para o comprimento de onda da casa dos

1500nm. Este último pico afasta-se do comprimento de onda de ressonância da prata-substrato

que é em torno de 1000 nm [6].

Este novo pico pode ser explicado via análise de densidade de corrente tanto do anel

tipo-U bem como no filme metálico esboçada pela Fig 3.12. Percebeu-se que a corrente neste

anel e na parte superior do filme formam um único laço, embora a parte inferior do filme

metálico possua um laço de corrente de sentido contrário. A presença de corrente nestes dois

elementos da estrutura indica que a ressonância do SRR interage bastante com os elétrons

presentes no filme de prata. Como consequência, as cargas positivas e negativas são

induzidas e localizadas em lados opostos do espaço preenchido com ar formando dipolos

elétricos oscilatórios. Por conseguinte, estes dipolos irão provocar o aparecimento do pico

quando a estrutura é submetida à incidência de ondas em torno deste comprimento de onda.

Figura 3.11 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial completo.

22

Figura 3.12 - Densidade de corrente e sua distribuição representada pelas flechas.

Já a Fig. 3.13 exibe a densidade de energia em J/m3 do campo magnético na estrutura

criada no Comsol (para mais detalhes, observar o Apêndice C). Pode-se concluir que a maior

concentração está presente entre o anel tipo-U e o espaço preenchido com ar indicado em cor

vermelha. Deste modo, a interação desta concentração de campo magnético com o campo

elétrico da luz incidente é responsável pelo aparecimento da ressônancia fundamental do SRR

(plasmon-poláritons de superfície).

Figura 3.13 - Densidade de campo magnético na estrutura. Concentração de campo nas proximidades do anel tipo-U imerso em contato com o ar.

23

Já a Fig. 3.14 exibe os resultados para a resposta em frequência em dB para o mesmo

metamaterial. Interessante notar a baixa perda para as frequências de ressonância e a alta

para os comprimentos de onda de 900 nm e de 1250 nm. Com relação à incidência de uma

onda no material com polarização no eixo Y, a Fig. 3.15 exibe os resultados para a

transmissividade e a refletividade. Novamente, o resultado da simulação apresentou uma

resposta bastante próxima ao experimento prático realizado em [6].

Finalmente, a Fig. 3.16 exibe a resposta em dB para a mesma composição explicada

acima. É importante observar que a largura da banda em que a perda em dB é pequena é

muito extensa (de 900 nm a 1300 nm). Novamente, não é recomendado a aplicação desta

estrutura com a devida polarização para a implementação de filtragem de frequência nesta

faixa espectral.

Figura 3.14 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial completo. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o

parâmetro S11 por triângulos.

24

Figura 3.15 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação na direção Y em um metamaterial completo.

Figura 3.16 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção Y em um metamaterial completo. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o

parâmetro S11 por triângulos.

25

Aprofundando-se ainda mais no estudo das ressonâncias LC, Yin et al. variaram o

tamanho das células, cuja dimensão é representada pela variável p, mantendo os demais

parâmetros inalterados. Na medida em que p aumenta, a posição do pico gerado pelo SPP

desloca-se em direção ao vermelho, mas o pico gerado pelo anel ressoador não apresentava

alterações significativas. Percebeu-se, portanto, que a ressonância do anel é caracterizada,

principalmente, por cada célula individual e não pela estrutura periódica como um todo.

De maneira análoga, procurou-se simular tais resultados neste trabalho. Assim, a Fig.

3.17 exibe a transmissividade e a refletividade para a estrutura com dimensão de p = 500 nm e

demais parâmetros e condições de simulação inalterados. Percebe-se que o pico de

ressonância gerado pelo SPP foi deslocado para o azul apresentando valor absoluto maior que

o observado na Fig. 3.11. Este resultado apresentou-se bastante próximo dos experimentos

realizados em [6]. Já a Fig. 3.18 apresenta a resposta em frequência em dB para a nova

simulação proposta.

Variando-se o parâmetro p para 700 nm percebe-se uma atenuação na

transmissividade, e o primeiro pico de ressonância apresenta um deslocamento para o

vermelho em relação ao pico da Fig. 3.11, como mostra a Fig 3.19. Novamente, a Fig 3.20

apresenta a resposta em frequência em dB para o novo estudo.

Figura 3.17 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial completo com parâmetro p = 500 nm.

26

Figura 3.18 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial completo com parâmetro p = 500 nm. O parâmetro S21 é representado por

quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

Figura 3.19 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial completo com parâmetro p = 700 nm.

27

Figura 3.20 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial completo com parâmetro p = 700 nm. O parâmetro S21 é representado por

quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

A última proposta apresentada por Yin et al. consiste em variar o parâmetro d do anel

ressoador sem alterar os demais parâmetros da estrutura. Em contraste com os resultados das

Figs. 3.17 e 3.19, à medida que d aumenta, a posição do pico gerado pelo SPP não é alterado.

Não obstante, o pico gerado pelo anel ressoador caminha para em direção ao vermelho com o

aumento de d. A explicação para este deslocamento está relacionado com a ressonância LC: L

é proporcional ao total comprimento do SRR, ou seja, l = b +2d e C é independente deste

comprimento d. Assim, o comprimento de onda de ressonância, com proporção de √ irá

aumentar simplesmente com o acréscimo de L.

Assim, a Fig. 3.21 apresenta a transmissividade e a refletividade para a estrutura com

dimensão de d = 80 nm e demais parâmetros e condições de simulação inalterados. Pela

figura, percebe-se que o segundo pico caminha para o azul em relação à Fig. 3.11 devido à

diminuição de d. Já a Fig. 3.22 apresenta a resposta em dB para a nova simulação proposta.

Variando-se o parâmetro d para 120 nm percebe-se um deslocamento do segundo pico

para o vermelho conforme dito anteriormente, mas com menor transmissividade como mostra à

Fig. 3.23. A Fig 3.24 encerra os resultados deste capítulo, apresentando a resposta em dB para

esta última variação estudada.

28

Figura 3.21 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial completo com parâmetro d = 80 nm.

Figura 3.22 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial completo com parâmetro d = 80 nm. O parâmetro S21 é representado por quadrados,

enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

29

Figura 3.23 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial completo com parâmetro d = 120 nm.

.

Figura 3.24 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial completo com parâmetro d = 120 nm. O parâmetro S21 é representado por

quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

30

Praticamente todos os gráficos que exibem a resposta em frequência apresentam as

ressonâncias com uma faixa espectral bastante larga. Assim, a construção de sensores e filtros

para estas frequências ópticas é comprometido por esta largura de banda, uma vez que

interferências de outras frequências podem ocorrer quando se deseja transmitir nos

comprimentos de ondas centrais destes picos. Assim, o objetivo do capítulo 4 é variar a

geometria desta estrutura nanometálica com foco em obter uma resposta em frequência mais

interessante do ponto de vista para aplicações em filtros ópticos.

31

4. Variações de Estruturas Nanometálicas Metamateriais

Nesta seção é proposto um estudo a respeito dos fatores mais relevantes que podem

alterar a largura de faixa e o posicionamento dos picos de ressonância para estruturas

nanometálicas metamateriais para aplicações em telecomunicações. Inicialmente, é exibida

uma estrutura metamaterial com anel circular ilustrada pela Fig 4.1, cujas dimensões da célula

são p = 600 nm, a = 300 nm, b = 170 nm e c = 25 nm. Já a Fig. 4.2 exibe esta estrutura em 3D.

O substrato h de 500 nm também foi preservado, assim como a modelagem da permissividade

da prata segundo o Modelo de Drude encontrado na Eq. (2.12) e o substrato de vidro de

permissividade de valor 2,25.

Figura 4.1 – Estrutura metamaterial com anel ressoador circular, buraco e filme de prata. Diversas variáveis (a,b,c,p) compõem a estrutura proposta.

Já que a estrutura proposta é simétrica, foi iluminada uma onda eletromagnética com

modo de propagação TM e polarização no eixo X. Assim, a Fig. 4.3 apresenta a

transmissividade e refletividade desta estrutura com esta polarização. Conforme explicado no

capítulo 3, percebe-se que a resposta possui dois picos de ressonância. O primeiro, em torno

dos 700 nm, ocorre devido ao fenômeno dos plasmon-poláritons de superfície e o segundo

32

(1150 nm, aproximadamente) ocorre devido à interação dos elétrons livres do metal com o ar,

constituindo os dipolos elétricos oscilatórios. Já a Fig. 4.4 exibe a resposta em frequência em

dB. Percebe-se que sua resposta em frequência apresenta uma faixa bastante larga e de baixa

atenuação para a frequência de ressonância do segundo pico, sendo ainda indesejável para

aplicações em filtros para telecomunicações. Deve-se, portanto, alterar a geometria da

estrutura visando melhorar a seletividade desta ressonância.

Figura 4.2 - Estrutura metamaterial com anel ressoador circular em 3D. O substrato de vidro também apresenta altura h = 500 nm.

Figura 4.3 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com anel ressoador circular.

33

Figura 4.4 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial com anel ressoador circular. O parâmetro S21 é representado por quadrados,

enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

O primeiro fator a ser estudado consiste em adicionar capacitâncias de gap neste anel

com o objetivo de melhorar a seletividade do filtro. A Fig. 4.5 apresenta a mesma estrutura

metamaterial com anel circular, mas com a presença de quatro capacitâncias de largura w = 25

nm cada uma.

Figura 4.5 – Estrutura metamaterial com anel ressoador circular e quatro capacitâncias de gap com largura w = 25 nm cada uma.

34

Analogamente, a Fig. 4.6 ilustra a transmissividade e a refletividade para a nova

estrutura e a Fig. 4.7 apresenta a resposta em frequência em dB. Pode-se concluir pela Fig. 4.7

que a presença das capacitâncias de gap promoveram uma melhora da inclinação da banda de

ressonância em torno de sua frequência central para o segundo pico e um deslocamento dos

picos em comparação com a Fig. 4.4 (o pico da esquerda situa-se em 850 nm e o último em

torno dos 1050 nm, aproximadamente). Este pico da direita já apresenta melhoras em ternos

de seletividade, mas ainda não muito relevante para a construção do filtro desejado.

Figura 4.6 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com anel ressoador circular com quatro

capacitâncias de gap de largura w = 25 nm cada uma.

Um outro fator interessante e que ainda não foi alterado neste trabalho, consiste em

variar as dimensões do buraco de forma a analisar de que maneira a interação da luz incidente

à superfície de vidro (presente nas localidades onde não existe a presença do anel ressoador)

altera as respostas estudadas. A Fig. 4.8 apresenta a mesma estrutura em anel circular com as

capacitâncias de gap da Fig. 4.5, mas com um buraco maior de dimensão a = 410 nm e,

portanto, com possibilidade de maior interação da onda eletromagnética incidente com a

superfície de vidro.

35

Figura 4.7 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial com anel ressoador circular com quatro capacitâncias de gap largura de w = 25 nm

cada uma. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

Figura 4.8 - Estrutura metamaterial com anel ressoador circular com quatro capacitâncias de gap, mas com buraco de lado a = 410 nm.

36

De maneira análoga, a Fig. 4.9 apresenta a transmissividade e a refletividade

espectrais para esta estrutura, enquanto que a Fig. 4.10 apresenta a resposta em dB. Destas

imagens, é possível notar uma melhora na transmissividade da onda eletromagnética para os

picos ressonantes (Fig. 4.9) e uma menor perda em dB para os mesmos (Fig. 4.10)

comprovando o fato de que o anel de prata dificulta a penetração da luz no material, ao passo

que a maior interação da onda com o vidro permite sua melhor propagação pela nanoestrutura.

Essa maior interação da luz com o vidro e o anel circular de prata permitiu o surgimento de um

novo pico relevante em torno do comprimento de onda de 700 nm. Em compensação, o pico da

direita, representado pelo fenômeno dos dipolos elétricos oscilatórios, apresenta um novo

alargamento espectral sendo ruim para as aplicações de telecomunicações desejadas por este

trabalho.

Figura 4.9 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com anel ressoador circular com quatro

capacitâncias de gap e buraco de lado a = 410 nm.

O oposto também é verdadeiro: diminuindo-se as dimensões do buraco (Fig. 4.11) com

a = 190 nm, é menor a largura de faixa dos picos ressonantes devido à maior interação da

onda eletromagnética com o anel circular de prata, mas ocorre uma diminuição da

transmissividade para suas respostas. A Fig. 4.12 exibe a transmissividade e a refletividade

espectrais, enquanto que a Fig 4.13 apresenta a resposta em dB.

37

Figura 4.10 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial com anel ressoador circular com quatro capacitâncias de gap e buraco de lado

a = 410 nm. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

Figura 4.11 - Estrutura metamaterial com anel ressoador circular com quatro capacitâncias de gap, mas com buraco de lado a = 190 nm.

38

Figura 4.12 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com anel ressoador circular com quatro

capacitâncias de gap e buraco de lado a = 190 nm.

Figura 4.13 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial com anel ressoador circular com quatro capacitâncias de gap e buraco de lado

a = 190 nm. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

39

Propositalmente, foi escolhido um buraco com dimensão a = 300 nm por apresentar

características interessantes tanto para a interação da luz com a prata quanto para com o vidro.

Desta forma, não há tanta perda de seletividade dos picos de ressonância bem como perda de

transmissão absoluta. O próximo parâmetro a ser estudado consiste em aumentar a inclusão

de prata na estrutura do anel ressoador de modo a aumentar a interação deste metal com o

dielétrico ar. A Fig. 4.14 apresenta a inclusão de uma cruz de prata central e interna de largura

e = 25 nm no interior deste anel.

Figura 4.14 - Estrutura metamaterial com anel ressoador circular com quatro capacitâncias de gap e cruz central interna de largura e = 25 nm.

Devido à maior interação do metal com o ar, ocorrerá um estreitamento dos picos de

ressonância, sendo estes resultados mais viáveis para a aplicação da filtragem óptica em

questão. Note o fato de que o aumento na quantidade de prata provoca um aumento na

indutância da estrutura. Como esta se relaciona com a frequência de acordo com a Eq. (1.1),

um aumento de L, causa uma diminuição da frequência e, portanto, um valor maior para o

comprimento de onda onde ocorrerá a ressonância. Por isso, estes picos ressonantes irão

apresentar um deslocamento para o vermelho. As Figs. 4.15 e 4.16 evidenciam estas

conclusões.

40

Figura 4.15 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com anel ressoador circular com capacitâncias

de gap e cruz central interna de largura e = 25 nm.

Figura 4.16 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial com anel ressoador circular com capacitâncias de gap e cruz central interna de

largura e = 25 nm. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

41

De modo a entender de que maneira o modelo de Drude para o metal influencia nas

respostas, o próximo fator a ser alterado consiste em variar o material condutor (prata) pelo

ouro, mantendo-se a estrutura da Fig. 4.14. Segundo a Eq. de Drude (2.12), foi adotada a

frequência de plasma = 11x1015 rad/s e = 40,8x1012 rad/s, de acordo com modelo

proposto em [17]. Assim, tem-se as Figs. 4.17 e 4.18 que exibem, respectivamente, a

transmissividade e a refletividade espectrais e a resposta em dB. Percebe-se que o uso do

ouro não muda significativamente a seletividade do pico formado pelos dipolos elétricos

oscilatórios, mas melhora consideravelmente a transmissão da onda incidente.

Figura 4.17 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com anel ressoador circular com capacitâncias de gap e cruz central interna. O material que constitui o anel, assim como o filme metálico é o

ouro.

Por fim, a Fig. 4.19 apresenta estruta semelhante à Fig. 4.14, mas acrescida de mais

uma anel externo de largura f = 25 nm e distante g = 15 nm do anel interno. Além disso, o novo

anel apresenta quatro novas capacitâncias de gap de mesma largura que as anteriores. Para

este novo teste, foi mantido o ouro como constituinte dos anéis bem como do filme metálico.

Esta estrutura, formada pelas melhores características dos estudos anteriores foi a que

apresentou os melhores resultados e foi aquilo que mais próximo se aproximou de um filtro

para as frequências ópticas. Cabe ressaltar que a inclusão de mais um anel circular aumentou

42

a indutância da estrutura de modo a diminuir a frequência e, como consequencia, aumentar o

valor do comprimento de onda dos picos ressonantes.

Figura 4.18 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um metamaterial com anel ressoador circular com capacitâncias de gap e cruz central interna. O

material que constitui o anel, assim como o filme metálico é o ouro. O parâmetro S21 é representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

Figura 4.19 - Estrutura metamaterial final com dois anéis ressoadores circulares com oito capacitâncias de gap e cruz central interna. O material que constitui estes elementos, além do

filme metálico é o ouro.

43

A Fig. 4.20 exibe a transmissividade e a refletividade espectrais para a estrutura final.

Já a Fig 4.21 exibe a resposta em frequência em decibéis para a mesma. Nota-se pela Fig.

4.21 que o pico de ressonância em torno de 1200 nm apresenta uma melhor seletividade que o

pico em torno de 1400 nm. Estes picos apresentam boa isolação entre si, como pode ser visto

na Fig. 4.21.

O pico em torno de 1200 nm é interessante para a construção de um filtro óptico

possuindo grande transmissividade e baixa perda. Já o pico em torno de 1400 nm, que também

apresenta grande transmissividade e baixa perda, possui uma menor seletividade, dificultando

seu uso em aplicações de telecomunicações.

Figura 4.20 - Transmissividade, S21 (quadrados), e refletividade, S11 (triângulos) de onda incidente com propagação no eixo X em um metamaterial com dois anéis ressoadores circulares com oito capacitâncias de gap e cruz central interna. O material que constitui o anel, assim como o filme

metálico é o ouro.

44

Figura 4.21 - Resposta em frequência em dB de onda incidente polarizada na direção X em um

metamaterial com dois anéis ressoadores circulares com oito capacitâncias de gap e cruz central interna. O material que constitui o anel, assim como o filme metálico é o ouro. O parâmetro S21 é

representado por quadrados, enquanto que o parâmetro S11 por triângulos.

45

5. Conclusão

Este trabalho procurou investigar a radiação de ondas eletromagnéticas em estrututas

metamateriais nanometálicas com dimensões muito abaixo do limite da difração. Variando-se a

geometria das duas estruturas estudadas, procurou-se verificar quais fatores alteravam as

respostas, em particular, as frequências de ressonância e como estas podiam ser melhoradas

para uso em aplicações de telecomunicações como filtros e sensores.

Estas ressonâncias estão relacionadas com o fenômeno dos plasmon-poláritons de

superfície, explicado no capítulo 2 e aos dipolos elétricos oscilatórios, detalhados no capítulo 3

deste trabalho. Utilizando-se do software Comsol Multiphysics 3.5a e da teoria dos parâmetros

de espalhamento, foi possível variar as geometrias e as dimensões, analisando as respostas

encontradas afim de criar o filtro desejado.

A seguir, é apresentado uma tabela que resume os principais fatores estudados em

termos de variações das geometrias e como estas interferem nas estruturas nanometálicas

metamateriais, tanto do anel ressoador tipo-U do capítulo 3, quanto do novo anel circular

detalhado no capítulo 4.

Tabela 4.1 - Descrição dos principais fatores estudados em termos geométricos e como estes afetam as estruturas nanometálicas metamateriais propostas.

Fatores Consequências Figuras

Diminuição da largura do filme

constituinte da célula

metamaterial.

Deslocamento para o azul do pico de

ressonância.

Fig. 3.17 e Fig 3.18

Aumento da largura do filme

constituinte da célula

metamaterial.

Deslocamento do pico de ressonância

para o vermelho.

Fig. 3.18 e Fig. 319

Aumento de inclusões

nanometálicas na composição

do anel ressoador.

Maior interação entre metal e

dielétrico, melhorando a seletividade

do pico de ressonância e e

deslocando o mesmo para o

vermelho. Este deslocamento deve-se

à diminuição da frequência de

ressonância de acordo com a Eq.

(1.1).

Fig. 4.15, Fig 4.16,

Fig. 4.20 e Fig.

4.21.

46

Inserção de capacitâncias de

gap nos anéis ressoadores.

Ligeira melhora na seletividade dos

picos de ressonância encontrados.

Fig. 4.6, Fig. 4.6,

Fig. 4.20 e Fig.

4.21.

Aumento da largura do buraco

onde o anel ressoador está

incluso.

Maior interação entre a onda

eletromagnética com o substrato de

vidro de forma a obter-se melhor

transmissividade e menor perda em

decibéis. Por outro lado, a

seletividade do pico ressonante é

menor.

Fig. 4.9 e Fig. 4.10.

Diminuição da largura do

buraco onde o anel ressoador

está incluso.

Maior interação da onda

eletromagnética com o anel

ressoador, melhorando a seletividade

dos picos ressonantes. Porém, como

a interação da onda com o substrato é

menor, ocorre uma perda tanto na

transmissão absoluta quanto em dB.

Fig. 4.12 e Fig. 4.13

Inclusão de ouro ao invés de

prata para formação do anel

ressoador, bem como do filme

metálico.

Melhora na transmissividade da onda

irradiada na estrutura sem perda de

seletividade para os picos

ressonantes.

Fig. 4.17 e Fig.

4.18.

Para a realização deste trabalho, um conhecimento teórico, em termos de criar e

analisar as variações das dimensões geométricas, foi desenvolvido e foi fundamental para a

realização do mesmo. A partir destes resultados novos estudos podem ser desenvolvidos afim

de se melhorar ainda mais as respostas encontradas com o objetivo de se utilizá-las em

diversos campos das telecomunicações. Esta área chamada de plasmônica ainda possui

certas limitações tanto físicas no dimensionamento das estruturas, quanto em termos de

resultados práticos, mas com certeza sua descoberta já mudou o pensamento e a maneira de

se interpretar a interação da luz com estruturas naturais ou metamateriais.

47

Apêndice A

É sabido que a resposta ao campo eletromagnético de um sistema encontrado na

natureza bem como aquele produzido em laboratório é determinado por certas propriedades

macroscópicas como as já citadas permissividade (denominado pela letra grega ε) e a

permeabilidade (de letra grega μ).

A permissividade é uma constante física que descreve como um campo elétrico que

interage com um determinado meio afeta e é alterado pelo mesmo. Quando um material

condutor isolado é mergulhado em um campo elétrico externo, seus elétrons livres se

rearranjam formando uma carga superficial que procura anular o campo elétrico no interior do

material. Já para um material isolante (dielétrico), devido à sua pequena concentração de

elétrons livres, o campo elétrico no seu interior não será totalmente anulado.

Por outro lado, a permeabilidade descreve o comportamento dos materiais submetidos

a um campo magnético qualquer. Desta forma, variando-se a concentração de linhas de fluxo

magnético, um material pode atrair (concentrar), repelir ou nem mesmo perturbar o campo

magnético.

O princípio destas propriedades parte do material adotado como referência neste

trabalho (o ar) e é definido, aproximadamente em unidades do SI, como:

ε 0 = 8,854e-12 F/m

μ0 = 1,257e-6 H/m

Desta maneira, a permissividade relativa e a permeabilidade relativa de um determinado

material são dadas, respectivamente, por:

ε r = ε/ε 0 (A.1)

μr =μ/μ0 (A.2)

Para que estas propriedades possam descrever um material homogêneo, é necessário

que uma onda eletromagnética incidente apresente um comprimento de onda muito superior ao

tamanho e espaçamento das estruturas atômicas naturais ou criadas artificialmente. Em meios

convencionais, as incidentes produzem valores de ε e μ que maiores que zero. Mas com a

descoberta dos metamateriais e a possível criação de novas estruturas todas as combinações

48

de propriedades foram possíveis de serem criadas (ε>0 e μ>0; ε<0 e μ>0; ε>0 e μ<0; ε<0 e

μ<0). A Fig. A.1 exibe estas possíveis combinações [8].

Figura A.1 - Possíveis Combinações de Permeabilidade e Permissividade [8].

Pela Fig. A.1, quando a permissividade e a permeabilidade são maiores que zero (ε>0 e

μ>0), tem-se os materiais denominados de meios Double Positive (DPS). Um meio com

permissividade menor que zero e permeabilidade maior que zero (ε<0 e μ>0) são designados

como meios Epsilon-Negative (ENG). Em certas frequências, muitos plasmas exibem tal

comportamento. Alguns metais nobres como a prata e o ouro possuem este comportamento

para o espectro do infravermelho e para as frequências no visível. Um meio com

permissividade maior que zero e permeabilidade menor que zero (ε>0 e μ<0) são chamados de

meios Munegative (MNG). Em certos materiais girotrópicos esta característica é exibida.

Finalmente, um meio com ambas permissividade e permeabilidade negativas (ε<0 e μ<0) são

denomidados de [8]:

Meios do tipo Left-handed;

Meios com índice de refração negativo;

Meios do tipo Backward-wave;

Metamateriais Double-Negative (DNG).

Ainda na época em que Veselago divulgou seus resultados teóricos com relação aos

metamateriais [12], uma das primeiras maneiras de se obter a permissividade negativa

consistiu em um arranjo tridimensional de fios condutores retos proposto por W. Rotman e

49

exibido na Fig. A.2 [27]. Graças ao formato, a disposição destes fios e ao equacionamento de

Drude, mostrado no item acima, foi possível criar um meio com tais características. Para as

frequências abaixo da frequência de plasma , a permissividade assume valor negativo

desde que o campo elétrico da onda irradiada incida paralelamente ao arranjo de fios.

.

Figura A.2 - Conjunto de Fios Condutores para produzir um meio com Permissividade Negativa [27].

Conforme dito no Capítulo 2, a permeabilidade negativa não pode ser reproduzida

durante o estudo de Veselago. Isto só foi possível graças ao estudo de Pendry com os

Ressoadores em Anel Dividido (SRRs) quase quarenta anos depois [13]. Em sua tese de

mestrado, T. H. Hand descreve tal estrutura representada por um anel circular com indutância

distribuída na estrutura metálica e uma capacitância de gap em seu topo [28]. A Fig. A.3 exibe

tal SRR com seu circuito RLC equivalente.

Figura A.3 - Anel Ressoador Proposto por J. B. Pendry e Circuito RLC Equivalente [28]

Utilizando-se destas novas combinações, foi possível gerar novos comportamentos para

outra propriedade importante no estudo dos metamateriais, o índice de refração dado por:

50

√ (A.3)

Assim, atualmente é possível definir estruturas com índice de refração negativo [29],

uma grande novidade com relação ao modelos clássicos de eletromagnetismo e óptica. Este

fenômeno pode ser entendido, de forma simples considerando o espalhamento de uma onda

que incide obliquamente em uma interface DPS-DNG. A Fig. A.4 [8] exibe esta situação.

Figura A.4 – Incidência obliqua em uma interface DPS-DNG [8]

Pode-se perceber da figura que se o índice de refração de um meio é negativo, o

ângulo de refração, conforme a Lei de Snell, também deveria se tornar negativo. Assim,

verifica-se que o fenômeno de refração é anômalo e o ângulo refratado está do mesmo lado da

normal exibida pelo eixo z, mas do outro lado da interface (eixo x) , ou seja, no novo meio. Os

vetores propagação da onda e os vetores de Poyting associados coma transmissão em meio

DPS são, respectivamente, exibidos abaixo:

( ) (A.4)

( ) (A.5)

( ) (A.6)

| |

( ) (A.7)

51

| |

( ) (A.8)

| |

( ) (A.9)

Conforme Veselago demonstrou [12], nos meios DNG, os vetores propagação e o vetor

de Poynting possuem sentidos opostos como mostrado abaixo. Por fim, a Fig. A.5 [30] exibe

tal comportamento.

| |

( | | | | ) (A.10)

| |

( | | | | ) (A.11)

Figura A.5 - Direções dos Vetores Propagação e Poynting em a) RHM e b)LHM [30]

Pela figura, percebe-se claramente que estes vetores, propagação e Poynting, possuem

sentidos opostos em um LHM. Já os campos elétrico e magnético respondem da mesma forma

em termos de direção e sentido para ambos os materiais.

52

Apêndice B

Neste segundo apêndice é apresentando uma breve explicação acerca dos parâmetros

de espalhamento. Esses parâmetros são úteis para determinação das características de

transmissão/reflexão espectral dos mais diversos tipos de dispositivos eletromagnéticos.

Inicialmente, em baixas frequências, um filtro e um amplificador podem ser

representados por uma rede de duas portas ou quadripolo que relaciona as variáveis de

corrente I1 e I2 e as variáveis de tensão V1 e V2, como ilustra a Fig. A.1.

Figura B.1 - Rede de duas portas para circuitos elétricos de baixa frequência.

A seguir será mostrado como são obtidas as equações que relacionam a entrada e a

saída desta rede, o que será feito por meio dos parâmetros híbridos . Para isso, faz-se

necessário o uso de circuitos abertos e curto-circuitos como condições iniciais para

determinação destes parâmetros. Assim:

|

(B.1)

|

(B.2)

em que e representam, respectivamente, a impedância de entrada da rede em Ωs e o

ganho de corrente (adimensional). Em ambas as situações aplica-se um curto-circuito à porta

de saída. Em seguida temos:

53

|

(B.3)

|

(B.4)

que representam, respectivamente o ganho inverso de tensão (adimensional) e a transdutância

de saída em S. Em ambas as situações aplica-se um circuito aberto à porta de entrada. Por

fim, a modelagem deste sistema quadripolo pode ser caracterizada em forma matricial como:

[

] [

] [

] (B.5)

Este modelo apresenta inconvenientes quando a frequência de operação for

suficientemente alta, uma vez que a realização de curto-circuitos e circuitos abertos torna-se

difícil de se obter. Portanto, esta modelagem torna-se inadequada, porém não inviável para a

caracterização de sistemas em frequências de micro-ondas e frequências na faixa de THz.

Felizmente, existe um outro conjunto de parâmetros responsáveis por caracterizar

dispositivos para as altas frequências descrevendo o seu comportamento físico de melhor

maneira que a modelagem com parâmetros híbridos. Os filtros bem como os demais

dispositivos de altas frequências também são definidos como uma rede de duas portas, mas

com a presença de ondas incidentes e ondas refletidas em ambas as portas, como ilustra a Fig.

B.2 [31].

Figura B.2 - Redes de Duas Portas para dispositivos de Alta Frequência [31].

Pela figura, percebe-se que as ondas incidentes são representadas por e as ondas

refletidas por . A fonte de tensão presente na porta de entrada produz uma onda

eletromagnética incidente, em que parte da onda é refletida devido a um descasamento de

54

impedância, e parte dela é transmitida. A passagem pela rede altera a magnitude e a fase do

sinal transmitido sendo que parte da onda pode ser novamente refletida na porta de saída

devido ao sinal incidente e parte deste sinal pode sair do quadripolo pelo parâmetro .

Assim, relações de dependência podem ser criadas a partir destes parâmetros e são exibidas

abaixo em notação matricial:

[

] [

] [

] (B.6)

em que os elementos representam os parâmetros de espalhamento. Esta matriz S é uma

propriedade intrínseca do dispositivo e descreve todas as suas propriedades nos circuitos,

relacionando ondas incidentes e emergentes normalizadas do quadripolo. Portanto, estes

parâmetros são calculados em função das ondas incidentes e refletidas de modo

matemático muito parecido com (B.1) a (B.4), mas de significado físico totalmente distinto.

Assim, tem-se:

|

(B.7)

|

(B.8)

em que implica um casamento de impedância perfeito na porta de saída, ou seja, a

reflexão é nula e a transmissão é total. Além destes dois parâmetros existem:

|

(B.9)

|

(B.10)

onde, de forma análoga, representa um casamento de impedância perfeito na porta de

entrada de mesmas características: a reflexão é nula e a transmissão é total.

55

Além da definição destes parâmetros, exibida nas equações acima, é importante

salientar o que eles representam para a rede de duas portas e qual a suas nomenclaturas

técnicas [32]:

→ Coeficiente de reflexão na entrada com a porta de saída terminada por uma carga

casada.

→ Ganho de transmissão reverso (ou perda por inserção) com a porta de entrada

terminada por uma carga casada.

→ Ganho de transmissão direto (ou perda por inserção) com a porta de saída terminada

por uma carga casada.

→ Coeficiente de reflexão na saída com entrada terminada por uma carga casada.

Normalmente, estes parâmetros são utilizados para expressar a resposta em frequência

em dB de uma determinada rede de duas portas ou quadripolo de modo a facilitar a análise.

Em geral, os parâmetros são complexos e expressos normalmente em magnitude (dB) e

fase. Cabe ressaltar que o módulo destes parâmetros também possui significado físico

importante:

| | → Potência refletida na porta de entrada.

| | → Ganho reverso de conversão de potência com fonte e carga de valor Z0.

| | → Potência líquida entregue pela porta de saída a uma carga de valor Z0.

| | → Potência refletida na porta de saída.

Neste trabalho foram utilizados os parâmetros e tanto em módulo como em

decibéis para determinação das respostas dos metamateriais estudados.

56

Apêndice C

Neste apêndice são detalhadas as etapas necessárias para a criação e posterior

simulação da estrutura metamaterial estudada no capítulo 3. Passo a passo, serão mostradas

etapas desde a criação de um novo projeto até a análise dos resultados obtidos com o

metamaterial estruturado no software Comsol Multiphysics 3.5a. O intuito é familiarizar o leitor

interessado em desenvolver novas aplicações envolvendo metamateriais por meio de uma

base inicial do software tendo em vista a vasta combinação de opções fornecida pelo

programa.

C.1. O Software Comsol Multiphysics [33]

Este software é um simulador de alto desempenho para modelagem de dispositivos em

2D e 3D capaz de resolver matematicamente várias aplicações da física e da engenharia,

especialmente fenômenos acoplados e múltiplos modelos físicos que combinam diversos

modelos distintos. Este meio de interfaciar diversas áreas da física e da engenharia de modo

distinto faz deste software uma ferramenta muito poderosa no estudo de diversos problemas

eletromagnéticos.

Para solucionar esses problemas, a ferramenta utiliza-se do método dos elementos

finitos que, por sua vez, é uma técnica numérica capaz de encontrar soluções aproximadas

para equações diferenciais parciais (EDPs). A abordagem da solução é baseada tanto na

eliminação total das equações diferenciais, como na aproximação das EDPs para um sistema

de equações diferenciais ordinárias de mais fácil obtenção de solução. O método dos

elementos finitos é uma grande opção para resolver equações diferenciais parciais em

domínios complicados, como no caso da incidência de ondas eletromagnéticas em materiais

passivos com propriedades físicas únicas em relação a meios convencionais como é o caso

dos metamateriais.

Como dito anteriormente, o software aborda diversas áreas da física e da engenharia

entre os quais destacam-se:

Módulo AC/DC – Simulam componentes e dispositivos elétricos que dependem da

eletrostática, da magnetostática e do eletromagnetismo;

57

Módulo Acústico – Contém modos e condições de contorno para modelagem de

propagação acústica em sólidos e fluidos estacionários.

Módulo de Transferência de Calor – Consiste em aplicações avançadas para a

análise de transferência de calor pelos fenômenos de condução, convecção e radiação.

Módulo RF – Caracteriza campos eletromagnéticos, correntes e ondas para rádio-

frequência, micro-ondas e frequências ópticas. Permite gerar respostas gráficas com a

presença de parâmetros de espalhamento S e densidade de campos eletromagnéticos.

Existem outras diversas áreas de cobertura do programa, mas que fogem do

escopo deste trabalho detalhá-las. Obviamente, a construção e simulação dos metamateriais

deste artigo basearam-se na aplicação do módulo RF e serão abordados nas próximas seções.

C.2. Iniciando o Comsol Multiphysics 3.5a

Após instalação do software, deve-se clicar no botão Iniciar Todos os Programas

Comsol 3.5a e realizar um novo clique em Comsol Multiphysics 3.5a. Caso haja um ícone na

Área de Trabalho, basta executá-lo.

C.3. Iniciando um Novo Projeto para Estrutura Metamaterial a ser Estudada

Ao iniciar o programa, uma tela similar à da Fig. C.1 será apresentada. Nesta tela, será

definido o modo da aplicação física em que o trabalho se baseará. Além disso, pode-se definir

a dimensão espacial da estrutura a ser definida. Estas informações são mostradas em

destaque nesta figura.

Para este exemplo será modelado o metamaterial do tipo-U estudado no capítulo 3

deste trabalho. Desta forma, o próximo passo é selecionar o modo RF Module In-Plane

Waves TE Waves, pois será realizado um estudo da incidência de ondas eletromagnéticas

no SRR em frequências ópticas no modo TE, ou seja, onde não existe componente de campo

elétrico na direção de propagação. Inicialmente, será matida a dimensão 2D para o projeto. A

Fig. C.2 exibe tal seleção destacada.

58

Figura C.1 - Tela inical do Comsol Multiphysics 3.5a.

Figura C.2 - Escolha do modo RF Module para estudo do anel ressoador tipo-U proposto no Capítulo 3.

59

O próximo passo é definir um modelo 2D para a estrutura proposta. Para isso, na guia

Multiphysics, deve-se selecionar a opção Add para que esta nova estrutura a ser criada tenha

características do modo TE Waves selecionado anteriormente. A Fig. C.3 exibe estas

características. Assim, pode-se iniciar a geometria da estrutura, inicialmente em 2D.

Figura C.3 - Definindo o modelo 2D da estrutura.

C.6. Definindo a Composição Física da Geometria 3D

O primeiro passo consiste em definir o modelo de Drude para a prata segundo a Eq.

(2.12). Assim, é necessário inserir o seu equacionamento por meio da opção Options

Expressions Global Expressions. A Fig. C.11 exibe os parâmetros a serem inseridos.

É interessante notar que as propriedades físicas permissividade e permeabilidade,

ambas do vácuo, são dadas pela nomenclatura epsilon0_rfw e mu0_rfw, respectivamente.

Estes parâmetros são utilizados na definição da velocidade da luz, denominada light velocity.

Além disso, o parâmetro lambda0_rfw representa o comprimento de onda de uma onda

eletromagnética no espaço livre. Percebe-se ainda que a frequência em Hz denominada

60

frequency bem como a frequência , dada em rad/s, variam com relação a este comprimento

de onda lambda0_rfw. As constantes wp e gamma possuem os mesmos valores fornecidos por

em [6]. Finalmente, a permissividade da prata, para este exemplo, recebeu o nome de

Er_Silver.

Figura C.11 - Modelo de Drude da prata para o metamaterial ilustrado.

A próxima etapa consiste em definir as propriedades físicas do substrato, do ar, do filme

e do anel ressoador de prata. Por meio da função Physics Subdomain Settings é possível

cumprir tal requisito. Na aba groups é possível nomear tais grupos e definir seus valores de

permissividade. Assim:

;

;

;

Por fim, é necessário atribuir tais propriedades aos elementos geométricos. Isto é

realizado na aba Subdomains e é ilustrado na Fig. C.12.

61

Figura C.12 - Atribuindo propriedades físicas à geometria do metamaterial.

C.4. Desenhando Geometria do Metamaterial em 2D

No Comsol Multiphysics 3.5a é possível desenhar diversas formas geométricas tais

como quadrados, retângulos, triângulos, círculos, elípses entre outras. Para este exemplo,

foram utilizados apenas quadrados e retângulos. Primeiramente, faz-se necessário definir o

grid para adequar a tela de exibição ao tamanho da estruturada a ser desenhada. Assim, deve-

se escolher a guia Options Axes/Grid Settings. Alguns parâmetros devem ser setados com

os valores exibidos abaixo, para melhor resolução da estrutura (unidades em metros):

Xmin: -400E-9;

Xmax: 400E-9;

Ymin: -400E-9;

Ymax: 400E-9;

X spacing: 5E-8;

Y spacing: 5E-8.

Definida a resolução, finalmente a estrutura pode ser criada. A partir da guia Draw

Specify Objects Square, foram desenhados três quadrados de 600 nm, 300 nm e 170 nm

com centro na origem do sistema, procurando manter as dimensões originais propostas por Yin

62

et al. [6]. Por fim, um retângulo de 100 nm de altura por 50 nm de largura foi sobreposto e

alinhado sobre o quadrado mais interno resultando na Fig. C.4.

Figura C.4 - Geometria inicial do metamaterial - presença de quadrados e retângulos.

O próximo passo consiste em realizar uma operação de diferença entre o quadrado

mais interno e o retângulo de maneira a formar o anel ressoador tipo-U. Para isso, deve-se ir

na opção da guia Draw Create Composite Object selecionando estas duas geometrias e

realizando a operação matemática de subtração entre ambas. A Fig. C.5 mostra a estrutura

final em 2D.

63

Figura C.5 - Geometria Final em 2D.

C.5. Criando e Desenhando a Geometria em 3D

No terceiro capítulo foi apresentado o anel ressoador tipo-U em três dimensões. Nesta

seção, portanto, são mostrados os passos para se obter a estrutura final que será utilizada para

a simulação posteriormente.

Assim, o primeiro passo consiste em exportar a geometria 2D para sua forma final em

3D. Para isso, o comando a ser utilizado pode ser encontrado na guia Draw Extrude. Este

comando irá exportar a forma em 2D variando-se a profundidade de cada geometria

desenhada anteriormente (eixo Z). A Fig. C.6 exibe tal comando. Para variar a profundidade, o

parâmetro Distance deve ser alterado.

Assim, a partir do quadrado mais externo da geometria em 2D, três paralelogramos são

desenhados. O primeiro possui profundidade de 650 nm, o segundo de 500 nm e o último de

70 nm e representam, respectivamente, o espaço total ocupado pela estrutura, o seu substrato

e o filme de prata. É fundamental utilizar o comando Move, presente na nova tela criada para o

modelo 3D, deslocando-se o filme de prata de 500 nm com o objetivo deste elemento situar-se

acima do substrato. A Fig. C.7 ilustra esta nova situação e a seta indica o comando Move.

64

Figura C.6 - Função Extrude e parâmetro Distance em destaque.

Figura C.7 - Início de estrutura 3D - uso da função Move.

65

Já utilizando-se o quadrado intermediário, exporta-se um novo paralelogramo de 70 nm

de profundidade responsável por representar o buraco da estrutura metamaterial. Após o uso

da função Extrude, este paralelogramo deve ser deslocado no eixo Z com o comando Move e

situar-se na mesma posição do paralelogramo responsável por representar o filme de prata.

Novamente, deve-se utilizar o comando Draw Create Composite Object para realizar uma

operação de subtração entre estes dois paralelogramos com o objetivo de gerar o buraco. A

Fig. C.8 exibe o resultado destas operações.

Figura C.8 - Formação do buraco da estrutura 3D.

O último passo para o término da geometria 3D consiste em exportar o anel tipo-U para

sua versão 3D. Utilizando-se das mesmas funções explicadas anteriormente, é possível chegar

ao resultado final do SRR tipo-U ilustrado pela Fig. C.9.

Figura C.9 - Geometria final 3D do SRR tipo-U.

66

Após o término da geometria 3D, deve-se ajustar as características do modelo para que

este possua o módulo de operação RF Module da mesma maneira que o modelo 2D anterior.

Para isso, deve-se ir em File Open Component Library. Na aba Multiphysics desta opção

é importante selecionar RF Module Electromagnetic Waves para futuro estudo do

metamaterial proposto. O passo final consiste em utilizar o comando Add do menu

Multiphysics e atribuir este modo à geometria criada. A Fig. C.10 revela tal alterações.

Figura C.10 - Seleção de modo RF Module para estrutura 3D.

Ainda neste ponto, é interessante definir o parâmetro que será variado durante as

simulações das ondas eletromagnéticas irradiadas no metamaterial: o comprimento de onda.

Logo, na função Application Mode Properties, deve-se trocar o parâmetro frequency por free

space wavelengh na opção Specify Wave Using.

67

C.7. Definindo as Condições de Contorno

Nesta nova etapa, o passo fundamental consiste em atribuir as condições de contorno

adequadas para a realização da simulação. Como neste exemplo será aplicada uma onda

eletromagnética incidente à estrutura com propagação no eixo X, deve-se ajustar condutores

elétricos perfeitos (PEC) nas paredes da estrutura que estão na direção X e condutores

magnéticos perfeitos (PMC) nas paredes na direção Y. O campo elétrico(magnético) tangencial

à PEC(PMC) será nulo nesta interface. O uso destas condições significa que a estrutura

metamaterial será replicada periodicamente nas direções X e Y. Portanto, tem-se uma matriz

de estruturas periódicas, como foi definida inicialmente em [6].

O próximo passo é definir as portas de entrada e saída, para que se possa realizar a

análise dos parâmetros de espalhamento. Com uma porta de entrada no topo da estrutura e

uma porta de saída em sua extremidade inferior será possível analisar o comportamento dos

parâmetros e e, consequentemente, a resposta em frequência da estrutura. Mais

detalhes sobre os parâmetros de espalhamento podem ser encontrados no apêndice A deste

trabalho.

A função Physics Boundary Settings possibilita implementar tais condições de

contorno bem como a definição das portas. Para tornar esta etapa mais intuitiva, o próprio

Comsol divide a estrutura em diversas subpartes. Para este exemplo, ela foi dividida em trinta e

cinco subpartes que receberão as condições mostradas a seguir:

Perfect Electric Conductor (Condutores Elétricos Perfeitos ou PEC): Subpartes

1,4,7,33,34 e 35. A Fig. C.13 exibe tal classificação.

68

Figura C.13 - Classificação condutor elétrico perfeito (PEC) para Subpartes 1,4,7,33,34 e 35 da estrutura metamaterial.

Perfect Magnetic Conductor (Condutores Magnéticos Perfeitos ou PMC):

Subpartes 2,5,8,11,12 e 13. A Fig. C.14 ilustra esta atribuição.

Figura C.14 - Classificação condutor magnético perfeito (PMC) para Subpartes 2,5,8,11,12 e 13 da estrutura metamaterial.

69

Port1 (Porta 1): Boundary (ou subparte) 10. Como a porta 1 é a entrada da onda

eletromagnética, deve-se ativar a caixa de diálogo Wave excitation at this port como

mostrado pela Fig. C.15. Além disso, na guia Port, alguns parâmetros devem estar

selecionados de acordo com a Fig. C.16. Notar a constante de propagação β que

recebe o nome de k0_rfw pelo Comsol (para o caso de excitação no espaço livre).

Figura C.15 - Definindo como Porta 1 (excitação) a subparte 10 da estrutura metamaterial.

70

Figura C.16 - Definição dos parâmetros para Porta 1.

Port2 (Porta 2): Subparte 3. Como a porta 2 é a saída da onda eletromagnética, não é

necessário ativar a caixa de diálogo Wave excitation at this port. Finalmente, na guia

Port, alguns parâmetros devem ser selecionados de maneira idêntica à porta 1 e são

exibidos pela Fig. C.17.

71

Figura C.17 - Definição dos parâmetros para porta 2.

As demais subpartes recebem a classificação de Continuity, pois representam partes

interiores da estrutura e não precisam ser alteradas.

C.8. Definindo a Simulação e Execuntado-a

Na opção Solve Solve Parameters será definido a simulação a ser executada. O

primeiro passo é selecionar a opção Parametric, já que queremos realizar uma varredura em

comprimento de onda. Assim, em Parameter names deve-se escrever lambda0_rfw (variável

interna do COMSOL). O próximo passo é definir qual o valor inicial e o final da varredura, bem

como o passo da simulação na opção Parameter values. A Fig. C.18 destaca estas seleções.

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Figura C.18 - Parâmetros para simulação em varredura de comprimento de onda.

O último passo antes de se realizar a simulação propriamente dita consiste em se

definir uma mesh (malha) para a estrutura. Esta função é destacada na Fig. C.19 e consiste em

dividir a estrutura em partes (elementos) infinitesimais para que o método dos elementos finitos

possa resolver as condições impostas anteriormente de modo eficiente. Quanto mais fina a

mesh, maior será a precisão da simulação, e também maior será o custo computacional.

Finalmente, para iniciar a simulação basta clicar na opção ‟‟=” ilustrada também na Fig. C.19.

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Figura C.19 - Função Mesh e divisão da estrutura em partes infinitesimais para aplicação do método dos elementos finitos.

Figura C.20 - Evolução da simulação da estrutura proposta.

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C.9. Construção de Gráficos e Densidade de Campo Magnético

Após a conclusão da simulação, os gráficos podem ser obtidos por meio da opção

Postprocessing Global Variables Plot. Nela, é posssível selecionar os parâmetros de

espalhamento e exibir suas respostas em frequência como ilustra a Fig. C.21.

Figura C.21 - Parâmetros de espalhamento que serão graficados.

Por fim, a ferramenta ainda permite que seja exibida a densidade de campo magnético

em J/m3 mediante opção Postprocessing Quick Plots Subdomain Plot. Ainda é possível

acessá-la, após término da simulação, via atalho como exibido em destaque pela Fig. C.22.

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Figura C.22 - Exibindo a distribuição de campo magnético em J/m3.

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