Modelagem de Escoamento Reativo. Resumo: Twopnt é um programa que encontra a solução em regime...

Modelagem de Escoamento ReativoModelagem de Escoamento Reativo


Resumo:

Twopnt é um programa que encontra a solução em regime permanente para um sistema de equações diferencias, usualmente, problemas unidimensionais.

As equações dos modelos são equações do tipo two point boundary value problems, donde surge o nome do programa Twopnt.

0)()()(

2

2

xfdx

xfd

dx

xfd

T = T(r,z)cc1

p/ z

cc2

p/z

T(r,z)

qz

Tk

zz

Tk

rrz

TCpv zrbbz

1 q

r

Tk

rrz

TCpv rbz

1

O problema é solucionado marchando-se das condições de contorno iniciais até onde exista interesse em obtê-la.


Introdução:As simulações são construídas em três passos. Cada passo engloba/realiza algum dos

quatro erros de Neumann

O que Twopnt faz:Twopnt nunca vê a equação diferencial, porque recebe as equações discretizadas. Para two point boundary value problems, o twopnt aguarda o simulador fornecer o grid

(malha) de p números: x1 x2 ... xp

Em cada ponto do grid, o Twopnt procura valores para solução c.

x1 x2 ... xp

u1,1 u1,2 ... u1,pu2,1 u2,2 ... u2,p


x1 x2 ... xp

u1,1 u1,2 ... u1,pu2,1 u2,2 ... u2,p

c = 50 e p = 100 são comuns em simulações de escoamento reativo:

As equações discretizadas podem substituir as equações diferenciais. Há

três principais métodos: df, ef e vf.

Entretanto por qualquer método, as variáveis desconhecidas uk,n se

transforma em variáveis em sistema de equações não diferencias.


Há muitas formas de formular as equações em elementos finitos. Uma das

mais simples é o método de Galerkin o qual a idéia básica é produto interno do residual

R da forma da equação problema com a função de interpolação (teste)

)()()( )(21)( en

en

e uxxxu Função de interpolação


O Domínio é subdivido em vários volumes de controle.

As equações diferenciais são integradas sobre cada volume de controle:

W P E

w e

xw xe

02

dxdx

du

dx

dw

e


Método diferenças finitas:Método diferenças finitas:

1. Fácil de formular

2. A geometria deve ser transformada em sistema cartesiano.

Método elementos finitos:Método elementos finitos:

1. Princípios fundamentais e a formulação requer grande rigor matemático.

2. Geometrias complexas são facilmente acomodadas sem a necessidade de mudar o sistema de coordenadas.

Método de volume finitos:Método de volume finitos:

1. Formulação pode ser baseada em DF e EF

2. A integral de volume garante a conservação em cada volume de controle

3. Geometrias complexas são facilmente acomodadas sem a necessidade de mudar o sistema de coordenadas.


1º Erro: Erro da aproximação de John Von Neumann

Este ocorre porque as equações diferenciais são aproximadas, e além disto, somente em poucos pontos.

X

u

Twopnt pode adicionar pontos para melhorar a aproximação. Os valores encontrados para o primeiro grid sugere pontos adicionais para o próximo grid e assim por diante. Assim, o Twopnt tem facilidade para resolver equações não diferenciais repetidamente, para as variáveis desconhecidas com sucessivos grids.


Twopnt supõe que todas as equações tenham sidas “quebrado de um lado”, assim elas podem ser escritas simbolicamente como:

f(v) = 0

em que v é um vetor de todas os valores desconhecidos f(v) é vetor de todas as equações.

Seja v* uma estimativa

f(v*) 0 vetor residual f(v*)

Twopnt procura valores, v*, com resíduo zero, f(v**)=0

Twopnt resolve as equações por sucessivas aproximações usando o Método de Método de Newton (iterativo)Newton (iterativo) que constrói uma interminável seqüência de aproximações melhoradas:

V0, v1, ... vn ...

Depois razoáveis números de passos, o Twopnt assume uma “solução aproximada” vn em lugar do v** tornando-se o resultado da simulação.Aceitar vn no lugar de v** é o segundo erro da aproximação John von Neumann.


A principal dificuldade com o método de Newton, é que uma boa estimativa

inicial v0 não garante convergência da solução.

Quando o Newton falha, o código automaticamente condiciona a estimativa

da sol. através da integração da versão dependentes do tempo das equações sobre

um número fixado de saltos de tempo.

Este procedimento fornece uma nova estimativa para o algort. de Newton

que esta perto da sol. em em RP, mas se isto falha, o twopnt introduz passos de

tempo adicionais sobre a solução transiente para promover uma melhor iteração

inicial. Finalmente o processo de Newton Converge sobre a sol. s.s.


Método de Newton modificado

Método para solução de sistemas de eq. não lineares

Método de Newton para o cálculo de zeros de uma função:

x0x1 x2

1'1 )()( nnnn ff

)(f

1'1 )()(* nnnn ff

Amortecimento (0...1)

1

1' )()(

)(

nn

nnn ff

f


n ,...,, 21 ,...,,,,,, 654321 ffffffTi

JacobianaMatrizF

O cálculo da Matriz Jacobiana requer muito tempo computacional, então Twopnt usa duas estratégias:

1 - Guarda/retém a matrix Jacobiana de várias iterações. Assim o jacobiano usado na iteracao atual, J(n), pode ser baseada sobre a sol. de muitas velhas iterações.

2 – Fator de amortecimento

Método de Newton modificado

Pode-se ver a analogia que existe com o método de Newton para uma só equação em que usava a tangente a curva, agora usa-se um plano tangente a uma superfície.


Twopnt gera um novo Jacobiano sempre que a convergência com o antigo Jacobiano falha.

O twopnt não calcula a inversa da matrix jacobiana (para evitar este cálculo "pesado" ), preferencialmente resolve o sistema de eq. linear

nnn 1

No cálculo da Matrix Jacobiana é realizado através de um artifício: Aproximação por diferenças finitas, esta abordagem é justificada pois a alta qualidade dos valores desta matriz não são necessários para o método de Modificado de Newton


Critério de convergência:

Tolerância absoluta 0.001-0.0001 ATOLTolerância relativa RTOL

Se o amortecimento não produz uma correção adequada para o vetor, twopnt calcula um novo Jacobiano. No caso quando o novo jacobiano e o amortecimento não produz uma correção adequado, o Twopnt começa adotar passos de tempo (The time-stepping procedure).

O Twopnt determina a parâmetro de amortecimento e a necessidade de um novo Jacobiano baseado sobre vários critérios definidos para manter a iteração estável dentro dos limites da soluçãolimites da solução. Para aceitar uma nova solução iterativa Twopnt requer que


Time-Stepping Procedure

Devido a sua robustez, é aplicado este procedimento para estimativa da solução nos casos em que o método de Newton não converge. Quando a o método de Newton falha, o Twopnt resolve as eqs. transientes para um dado número de passos no tempo como uma nova iteração. Esta solução será próxima da solução s.s. e assim é mais provável a convergência

O Sist. de eq. diferenciais é resolvido usando o método de backward-Euler, neste método as derivadas no tempo são aproximadas diferenças finitas:

t

TT

dt

dTnj

nj

1


Para resolver o Sist. de Eq. para cada tempo usa-se o método de Newton

como feito em problemas S.S.

A convergência ocorre em um tempo bastante pequeno, pode-se fazer a

escolha do passo de tempo (TIME, TIM2)

Depois de resolver alguns específicos saltos de tempo. O Twopnt tenta

novamente resolver o problema S.S. usando o método de Newton.

Se posteriormente o método de Newton falha. O Twopnt novamente usa o

time-stepping, começando do último time-stepping procedure.


Método de Solução Numérica para o Caso TransienteMétodo de Solução Numérica para o Caso Transiente

O Sistema de equações diferenciais obtidos nos problemas reativos são geralmente do tipo Stiff:Stiff:

Stiff:Stiff:- Se o tamanho do passo requerido para se ter estabilidade é tão pequeno que os erros de arredondamento tornam-se significantes;-Se contém alguns transientes que decaem rapidamente comparados com os transientes de maior interesse

Sist. Reativos: Grande diferença de escalas do tempo para a evolução de diferentes espécies no reator

0)()(')(' ytoytFtFyy

)())0(0()( tFeFyty t

1)0(2)(1000 yttF

2)( 1000 tety t

Solução Exata:


2)( 1000 tety t

Duas diferentes escalas no tempo:

Rápida variação no tempo associado a exponencial

Lenta variação no tempo

Para pequenos valores de tempo y(t) é dominado pela exponencial;

Para grandes valores de tempo y(t) é dominado pelo termo t+2;

Assim o erro é controlado pelo t e estabilidade por αt

0,005 0,010

2

t

y

1 2 3

2


1)2(1000' tyy

Duas Formas Integração no tempo: Explicita e Implícita (Daspk)

tyfyfydt nntt

t

1*)1(* f = 0 Explicito

f = 1 Implícito

Explicito:

nnn ytyy '*1 11 '* nnn ytyy

t =0,0025t =0,0020t =0,0005

0,0010,0005 1 2 3 4

t =0,05t =0,1

Implícito:


Conclusões:

No método implícito não há limite de tamanho do passo do tempo estável,

assim o t pode ser relativamente grande. Entretanto não como t é grande não

fornecerá bons resultados nos instantes iniciais, assim é indicado em problemas em que

o regime transitório é lento e quando o interesse é a solução após um grande período

de tempo.

No método explicito há limite de estabilidade, t < Cte


Utilizando:

-Discretização por diferenças finitas para trás

-Integração implícita no tempo

Tem-se o sist. de equação não linear:

0),,( ytF

que é resolvido para cada passo de tempo

Cte que varia com o passo de tempo

Vetor que depende sobre a solução nos tempos passados

O Daspk resolve esta equação pelo Método modificado de Newton

),,('

1

1

nnnn ytFFF

c

A matriz de iteração uma vez calculada é utilizada para vários passos de tempo quanto possível

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