Modelação e Simulação Matemática a partir da 5ª série:

uma proposta de uso do MS-Excel e do MS-Paint Brush no Ensino Fundamental 1

Franz Kreüther Pereira

Um método é um truque que funciona mais de uma vezG. Polya

Resumo

Discutir a importância da modelagem e da simulação para a construção do pensamento

matemático e para o ensino/aprendizagem de Matemática a partir da 5ª série do Ensino

Fundamental, utilizando-se a planilha eletrônica MS-Excel e o editor de desenhos MS-

Paint, ambos da Microsoft.

Palavras-chave: Modelagem Matemática, Simulação, Informática Educativa.

Abstract

To argue the relevance of modelling and simulation in building of mathematic thought and

the teaching/learning of Mathematics in elemantary school, employing MS-Excel and MS-

Paintbrush.

Key-words: Mathematic modelling, simulation, informatic on education

Apresentação

Esse artigo quer apenas discutir a importância da modelação2 matemática e da

simulação para a construção do pensamento matemático e para o ensino/aprendizagem de

Matemática a partir da 5ª série do Ensino Fundamental, ao mesmo tempo que apresenta

uma proposta para o professor de Matemática trabalhar a planilha eletrônica Excel e o

editor de desenho Paint Brush como ambientes de modelagem computacional, enquanto

tece algumas considerações teóricas e metodológicas. Não vamos tratar aqui dos

1 Artigo escrito como forma de avaliação parcial da disciplina Modelagem Matemática, no Curso de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemáticas do NPADC/UFPA/2003.2 Entendemos mais apropriado empregar a expressão “modelação”, posto que se tratar de um processo matemático, em lugar de “modelagem”, que é a forma mais corrente e aceita no Brasil, no entanto faremos uso dos dois termos.

procedimentos necessários para a elaboração de modelos matemáticos; para isso existem os

excelentes trabalhos de Rodney C. Bassanezi e de Maria Sallet Biembengut3.

Recomendamos que, de início, o professor se familiarize como estes trabalhos, mas se já

possuir suficientes conhecimentos sobre o assunto pode passar direto para o trabalho no

computador; contudo é mister que planeje as atividade no Paintbrush e/ou Excel com

cuidado e atenção aos detalhes.

Introdução

É da natureza intrínseca do homem compreender como se comportam determinados

sistemas, orgânicos ou não; como funciona esse ou aquele fenômeno, natural ou não; de

que forma se realiza ou se realizou determinada tarefa humana; como se processou

determinado evento etc. Para isso ele sempre necessitou construir estruturas físicas ou

mentais com os quais pudesse vislumbrar as soluções buscadas para as circunstâncias em

estudo. Essas estruturas são chamadas de modelos. Para Vergani (2003, p. 44), “o modelo é

o suporte capaz de sustentar o trabalho da imaginação. É o modelo, o objeto abstrato, que

constitui uma representação suficientemente fiel – embora simplificada – da realidade.”

No Aurélio4 lemos que modelo pode ser a “representação em pequena escala de algo

que se pretende executar em grande” ou “conjunto de hipóteses sobre a estrutura ou o

comportamento de um sistema físico pelo qual se procuram explicar ou prever, dentro de

uma teoria científica, a propriedade do sistema.” Exemplos marcantes são os modelos

desenvolvidos pelos astrônomos para explicar as condições para que o nosso sistema solar

funcione como um organismo (Ochmann, 2002) e os modelos elaborados por

pesquisadores e estudiosos do passado (arqueólogos, paleontólogos etc) para conferir

veracidade às suas hipóteses e teorias, nomeadamente: como as civilizações da antiguidade

conseguiram erguer construções megalíticas tão surpreendentes como as pirâmides de Gizé,

no Egito ou os monólitos de Stonehenge, na Inglaterra? Como, por exemplo, os antigos

egípcios conseguiram talhar, transportar, erguer e encaixar com precisão blocos de granito

com dezenas de toneladas fazendo uso de troncos de palmeira, cordas, planos inclinados e

3 Veja em Referências Bibliográficas.4 Dicionário Aurélio Escolar da Língua Portuguesa. Nova Fronteira, 1ª ed. RJ. 1988.

força humana? Para responder a isso a ciência cria modelos, tenta reproduzir, contudo estas

e outras tantas obras construídas a milhares de anos continuam sendo um mistério.

Na falta de um modelo mais adequado, aceitamos o modelo que nos parece mais

plausível. René Descartes, no século XVII, tentou entender o Universo e a natureza dos

sistemas orgânicos através da analogia desses com máquinas. Naquela época, o mecanismo

de mais alta tecnológia conhecido e que representava a concepção que o homem tinha de

precisão e perfeição era o relógio. Assim, Descartes usou o modelo mecânico (os

complicados mecanismos de relojoaria), estabelecendo um   conjunto   de   regras   que 

governavam o funcionamento do todo e de suas partes para explicar o comportamento de

planetas e satélites, bem como o funcionamento dos organismos biológicos. Ainda hoje

mantemos algumas dessas analogias cartesianas: comparamos o coração com uma bomba

hidráulica; consideramos o organismo vivo como um motor térmico que recebe o

combustível (alimento) e o converte em energia, que vai gerar movimento (ação muscular)

etc.

Estamos, pois, sempre buscando compreender os fenômenos que nos cercam através

de comparações, de analogias com sistemas cujos padrões já sejam conhecidos e cujas leis

e regras sejam dominadas. A partir daí elaboramos cenários onde vamos analisar o

comportamento do modelo ante variações determinadas e estabelecemos as relações com o

comportamento do sistema real; construímos protótipos ou modelos prototípicos para testar

nossas hipóteses, e nesse processo fazemos inferências, deduzimos, aprendemos...

Modelando, simulando e evoluindo cientificamente

Há milênios o homem observou que determinados fenômenos ocorriam no céu

sempre nas mesmas condições e circunstâncias: eram o nascer e o pôr-do-sol e as fases da

Lua. A regularidade com que isso acontecia permitiu a construção do primeiro modelo

matemático da história humana: o calendário (solar ou lunar). Com a criação do calendário

o homem pode, então, prever as condições naturais mais favoráveis para atender suas

necessidades básicas de sobrevivência (caça, pesca, plantio e colheita) e assim planejar

melhor suas ações. Na tentativa de entender e dominar a natureza ele construiu

representações simbólicas da realidade e elaborou modelos que permitissem compreender o

funcionamento de sistemas reais. Assim,

(...) modelos podem ser  visto  como um novo mundo construído para 

representar   fatos/eventos/objetos/processos   que   acontecem   no   nosso 

mundo ou num mundo imaginário. Normalmente tais modelos são mais 

simples   que   o   ‘mundo   a   ser   modelado’   e   na   maioria   dos   casos 

interagimos   com   esses   modelos   com   o   claro   objetivo   de   melhor 

compreender o mundo modelado. (Sampaio, p.7)

E foi traçando relações de analogia entre causa e efeito que deu seu primeiro passo

em direção ao progresso científico e tecnológico; é assim, criando modelos, testando-os,

analisando e comparando os resultados que a ciência trabalha e evolui. A modelagem, vem

a ser, então, o ato de construir tais modelos. Biembengut & Hein apresentam a modelagem

como “um processo que emerge da própria razão e participa da nossa vida como forma de

constituição e de expressão do conhecimento.” (2002, p.11)

A verificação da aplicabilidade de uma determinada lei ou princípio num dado

sistema denominamos de simulação. Um sistema de modelagem pode ser utilizado tanto 

para criar modelos, quanto simulações. A  diferença entre  modelo  e  simulação  é que no 

primeiro temos a estrutura que arremeda a realidade e sobre a qual se assentam as teorias 

que buscamos comprovar; no segundo vemos o resultado obtido a partir do emprego do 

modelo. Um bom exemplo do que acabamos de expor está na tecnologia dos fabricantes de

aviões, navios e similares. Estes costumam construir réplicas (modelos ou protótipos) em

escala para serem testadas em um túnel de vento ou em uma piscina onde reproduzem as

condições (simulação) a que estarão submetidos seus produtos reais.

Nessas experiências conduzidas com maquetes ou miniaturas em escala, o tempo

transcorre sem produzir alterações no comportamento do próprio modelo, e nesse caso

dizemos que este sistema trabalha com um modelo estático. Um sistema de modelagem é

considerado dinâmico quando tende a evoluir com o decorrer do tempo, isto é, quando

estabelece relações matemáticas entre quantidades físicas e o tempo, considerado como

uma variável independente. É o caso de modelos que envolvem sistemas orgânicos e

relações do homem com a natureza e com a sociedade. Sampaio ( op.cit. p.3) cita como

exemplo de modelo dinâmico o comportamento dos sistemas econômicos de um país,

posto que está submetido a pontos de vista políticos.

Linguagem matemática: modelos

Quanto maior a quantidade de informações que o indivíduo tem sobre determinada

situação ou sistema, maior será seu controle sobre ela, ou seja; mais ordem poderá ser

instalada na situação. Por outro lado, a desordem mental (entenda-se por desordem mental

as falhas conceituais; os links não estabelecidos para a construção de novos conhecimentos)

é diretamente proporcional à quantidade de informações que o indivíduo possui sobre o

objeto de seu estudo; assim, quanto menos informações têm sobre um determinado

fenômeno observado, menor é a possibilidade dele saber do que se trata, de entendê-lo e

descrevê-lo, quer dizer, maior a desordem mental instaurada.

A título de exemplo, vamos tentar visualizar a reação de um aluno sendo colocado

pela primeira vez na vida diante de um conceito expresso em linguagem matemática da

seguinte forma: Se a = b e b = c, então a = c. É lógico supor que tal proposição matemática

se lhe assemelhe a uma mensagem cifrada, uma informação transmitida em código? E, para

quem acha que isso é pouco, adiante o professor lhe apresenta um problema convertido

numa equação do tipo ax + b = c, e lhe diz que a, b e c são números naturais. É ou não algo

para deixar o aprendiz confuso e atordoado?

Podemos supor que diante dessa lógica matemática tão abstrata o raciocínio desse

estudante não se prenderá, especificamente, a nada que o conduza ao entendimento do

conceito ou à resolução do problema, posto que ele não possui referenciais ou não

estabeleceu os mecanismos de ancoragem (âncoras ou conceitos subsunçores, segundo

Ausubel) com os quais possa elaborar seu raciocínio em direção à solução desejada.

Podemos supor, ainda, que para ele a, b e c não passem de letras do alfabeto e que este é,

muito provavelmente, um sistema sem nenhuma analogia/relação com a Matemática.

Seguramente esse aluno sabe que com letras do alfabeto pode se comunicar, construir

orações, transmitir mensagens; querer que ele faça o mesmo com números pode ser

semelhante a coloca-lo diante de um enigma complexo, um mistério assustador.

Uma proposta para minimizar esses impactos é começar a trabalhar com a

modelagem matemática a partir da 5ª série do Ensino Fundamental. D’Ambrosio (1996,

p.97) informa-nos que uma proposta semelhante já foi apresentada a partir de 1973, quando

a Unicamp desenvolveu um projeto para o Ministério de Educação5 que trabalhava essa

metodologia aplicada na 3ª, na 4ª e na 5ª séries. Mas o que diferencia a nossa proposta é o

emprego de computadores e de ambientes de modelagem computacional como ferramental

básico do processo. Mas é evidente que a aplicação dessa metodologia, com ou sem a

Informática, exige do professor um preparo que se traduz em criatividade, disposição para

inovar e coragem para rever, constantemente, sua atuação profissional.

Modelação e Simulação no Ensino Fundamental

Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – tanto para o Ensino Fundamental

quanto para o Ensino Médio estimulam o emprego de novas metodologias e recomendam

que o professor incorpore os recursos da Informática e das novas tecnologias da informação

e da comunicação em suas aulas. No processo de ensino e aprendizagem em Matemática a

questão fulcral consiste em estabelecer ações, inicialmente sobre objetos concretos, que se

generalizam em esquemas, e num estágio mais avançado são as ações sobre objetos

abstratos que se generalizam em conceitos e teoremas. O pensamento matemático, num

nível mais avançado, é capaz de promover no estudante uma forma mais percuciente de

olhar seu objeto de investigação e com isso identificar regularidades, casos particulares e

generalizações que solidificam nele algumas certezas e convicções com as quais ele pode se

aventurar nas demonstrações e produzir seus próprios argumentos de maneira convincente.

Alguns professores do Ensino Fundamental, pela própria natureza de suas

disciplinas utilizam-se, de maneira natural e freqüente durante suas aulas, de processos e

sistemas de modelação como instrumento de investigação e compreensão de conteúdos, é o

caso, por exemplo, de Ciências e Geografia. O processo de modelagem está organicamente

inserido nos eixos temáticos de tais disciplinas: ao montar uma experiência em aula, o

professor de Ciências apresenta uma reflexão sobre a realidade complexa através de alguns

parâmetros significativos e isolados, dá ao estudante uma representação simplificada de um

5 Geometria experimental (Livros do Aluno 3ª, 4ª e 5ª séries e Livro do Professor), Projeto Premen- MEC/Imecc-Unicamp, 1985.

sistema, mantendo apenas suas características essenciais; quando o professor de Geografia

trabalha com os alunos a construção de maquetes que representam cenários modificados

pelo homem, também está modelando um sistema complexo, uma porção da realidade, e

simulando um evento real a partir de uma aproximação com um sistema artificial. Podemos

observar durante as Feiras de Ciências diversos modelos construídos pelos alunos tendo por

base conteúdos dessas disciplinas.

Mas o professor de Matemática ainda permanece numa prática expositiva e

memorística, atada às explicações e aos exercícios passados no quadro, embora as

tendências atuais no ensino de Matemática apontem para métodos inovadores e de caráter

investigativo, centrados no uso de jogos, na metodologia de resolução de problemas, no uso

de materiais concretos, na Etnomatemática, na História da Matemática, na Informática e na

Modelagem Matemática. Ao trabalhar nessa perspectiva investigatória o professor pode

fazer uso dessas diversas metodologias, conjugando-as em sua prática de sala de aula.

Como exemplo podemos citar o uso de computadores, a resolução de problemas e a

modelagem. Agindo dessa maneira ele possibilita ao aluno a construção de sentenças e

proposições matemáticas de forma prática e simples; a ampliação de seus horizontes

cognitivos; a formalização de conceitos matemáticos com mais segurança; o

desenvolvimento de habilidades de reflexão, questionamento, socialização etc.

Do ponto de vista da psicologia da Educação Matemática, a modelagem 

pode  desenvolver  nos  alunos  a  compreensão do   significado,   estrutura  e 

função   de   conceitos   matemáticos;   desenvolver   a   competência   para 

construir abordagens matemáticas para problemas e situações de atividade 

matemática enquanto prática cultural. (2002, p.19) 

Ao elaborar sua proposta de trabalho o professor de Matemática deve, antes de tudo,

levar em conta as idéias matemáticas presentes não somente nos sistemas de numeração,

contagem, comparação e representações de grandezas; nas relações e aplicações da

Geometria (tão presente na nossa vida) como também aquelas que contribuem para que o

aprendiz possa desenvolver noções matemáticas cada vez mais complexas e estabelecer

parâmetros através dos quais construa sua “leitura do mundo”. Mas os   conteúdos 

sistematizados   e   estruturados  pelo  professor   de  Matemática   em  sala   de   aula,   além  de 

exigirem   do   aluno  um  conjunto   de  pré­requisitos   concatenados   como   os   elos   de  uma 

corrente, são apresentados de forma rígida, estática,  repetitiva: não estimulam uma ação 

investigatória.   Nessa   prática   conteudista   o   objetivo   é   que   o   aluno   absorva   uma   certa 

quantidade  de   informações   e   depois,  quando   solicitado,   possa  apresentá­las   na  mesma 

ordem que lhe foi passada; o professor, então, vai confrontar aquilo que o aluno apresentou 

como resposta com aquilo que ele  espera  ter  como resposta.  Veja­se que, dessa forma, 

temos dois modelos, sendo que um deles (o do professor) é o padrão que irá avaliar o outro, 

o produto do aluno. D’Ambrosio (1996, p.66­8) compara esse modelo de ensino com uma 

linha de montagem e conceitua este proceder como mero treinamento. 

Segundo Bredeweg e Forbus6

Modeling is a central skill in scientific reasoning and provides a way of

articulating knowledge.Learning to formulate, test, and revise models is a

crucial aspect of understanding science and is critical to helping students

become active, lifelong learners.

Ao considerarem a modelagem matemática como uma competência ou habilidade 

central para o desenvolvimento do pensamento cientifico ativo e duradouro,  Bredeweg e

Forbus apontam para um papel importante e significativo da modelagem, que é habilitar os

estudantes a desenvolverem suas próprias teorias; realizar projeções/predições em situações

concretas tendo por base dados numéricos, etc. Daí que o processo de construção de

modelos pode vir a ser uma eficiente ferramenta pedagógica para o professor interessado 

em renovar sua prática de sala de aula se, de um lado, ele tiver coragem para assumir suas 

limitações   e   optar   pelo   caminho   da   pesquisa7  e,   de   outro,   os   estudantes   estiverem 

conscientes   que   estão   trabalhando   com   aproximações   do   real   e   teorizando   sobre 

representações (D’Ambrosio, 1993); ou seja, deve ficar bem entendido que o que se tem em 

6 Cf. in: http://www.swi.psy.uva.nl/usr/bert/pdf/aimag2003b.pdf. Qualitative Modeling in Education. Bert Bredeweg e Ken Forbus.7 Nos referimos ao novo perfil do profissional em educação - o professor-pesquisador - e a pesquisa como estratégia de conhecimento e como prática pedagógica, tendo em vista a interação aluno e objeto de estudo e a transformação da sala de aula em um ambiente onde deve acontecer situações de aprendizagem.

mãos   num   trabalho   de   modelagem   matemática   é   uma   visão   ou   descrição   parcial   da 

realidade, mas que nem por isso pode ser desprezada. 

Convém não esquecer que o processo de modelagem matemática começa sempre 

com uma situação real, um problema do cotidiano, para depois buscar na Matemática as 

ferramentas   que   podem   ser   empregadas   para   a   resolução   desse   problema,   e   que   num 

trabalho   de   modelagem   matemática   valoriza­se   mais   as   descobertas   feitas   pelo   aluno 

durante  o  processo  de   resolução  do  desafio  proposto   (o  que  em verdade  constitui  um 

elaborado  processo  de  pesquisa)  e  nesse  processo  o  aluno  não apenas  extrai   reflexões 

analíticas significativas  como também percebe que as intrínsecas relações entre teoria e 

prática constituem o arcabouço sobre o qual constrói seus conhecimentos.  

A questão da modelagem matemática no ensino fundamental pode ser abordada sob 

várias   perspectivas,   com   especial   destaque   para   a   construção   de   conhecimento;   o 

desenvolvimento de um raciocínio abstrato, necessário ao aprendizado da Matemática; a 

explicitação   e   refinamento   das   representações   mentais   sobre   um   conhecimento;   a 

elaboração de estratégias para o enfrentamento de situações do cotidiano; a percepção do 

mundo a partir de uma visão de dinâmica de sistemas e, tópico fundamental, a abertura das 

portas da Filosofia e desta para a compreensão de um mundo maior e totalmente integrado.

Poderíamos dizer que a matemática é o estilo de pensamento dos dias de 

hoje, a linguagem adequada para expressar as reflexões sobre a natureza e 

as  maneiras  de explicação.   Isso  tem,  naturalmente,   importantes   raízes  e 

implicações filosóficas. (D’Ambrosio 1996, p.59)

Ao trabalhar com modelos fragmentamos a realidade, o todo, e consideramos

apenas algumas qualidades (parâmetros) nos quais concentramos nossa análise, mas ao

refletir sobre ele e sua essência retornamos à realidade e reatamos o elo com o todo. A

sugestão acima (trabalhar a técnica de resolução de problemas com a modelagem

matemática num ambiente computacional) nos parece uma boa forma de o professor de

Matemática começar a enfrentar o desafio de formar um cidadão capaz de atender as

necessidades da sociedade atual e emergente. Compartilhamos da crença de D’Ambrosio,

segundo a qual na base formativa desse novo cidadão está a Educação Matemática.

O Excel e o Paint como ambientes de modelagem computacional

Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de grande

potencial frente aos obstáculos inerentes ao processo de aprendizagem. É a

possibilidade de "mudar os limites entre o concreto e o formal" (Papert,

1988). Ou ainda segundo Hebenstreint (1987):"o computador permite criar

um novo tipo de objeto - os objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque

existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se

tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais.".8

Tendo-se por conceito que a Modelagem Matemática é a construção de metáforas

visuais originadas por equações e funções matemáticas capazes de serem plotadas em

tabelas e gerarem gráficos, podemos inferir que a construção de alguns gráficos à mão livre

deve ser uma tarefa penosa, demorada e nem sempre satisfatória.  Nesse   ponto   as 

ferramentas disponibilizadas pela Informática se prestam com excepcional eficiência.  Em

sua maioria estas ferramentas computacionais são baseadas nas relações matemáticas entre

as principais variáveis presentes num evento (físico,   biológico   ou   social)  ou sistema

estudado, e sua exata condição ou função nessa relação. Chamamos o software de

“ambiente” porque, além de possibilitar ao usuário alguns recursos e funções pré-

determinadas com as quais pode construir um modelo quantitativo da situação observada,

também lhe permite construir conhecimento, ampliando sua capacidade de entendimento e

compreensão do evento, auxiliando-o na formulação de questões, etc. As planilhas

eletrônicas, como o MS-Excel, são exemplos desses ambientes de modelagem quantitativa.

Um ambiente de modelagem computacional é um programa de computador que

realiza a tarefa de construir modelos e/ou simulações virtuais a partir dos dados que lhes

são introduzidos. Há programas específicos para trabalhar as funções matemáticas e criar

ambientes de modelagem virtuais, mas estes exigem do usuário um certo domínio, tanto da

linguagem matemática como das ferramentas disponibilizadas pelo programa e suas

funções. São softwares gráficos com os quais, uma vez escolhida a função, pode-se

8 Cf. http://solaris.niee.ufrgs.br/cursos/tópicos-ie/malice. In A Educação Matemática e as NovasTecnologias da Informação e Comunicação, de Maria Alice Gravina.

construir gráficos (difíceis ou impossíveis de serem desenhados manualmente) que

representam a imagem da função/expressão (modelo) matemática desejada. O Modellus, o

MatLab e o Mathematica são exemplos desses ambientes. Outro software gráfico muito

empregado em aulas de Matemática é o Cabri Geométre, específico para a geração de

figuras geométricas planas e no estudo de suas propriedades. E temos ainda o ambiente ou

linguagem Logo, um software que, embora não tenha sido desenvolvido especificamente

para aplicações Matemáticas é bastante utilizado no ensino de geometria e na construção de

conceitos matemáticos, prestando-se de forma excepcional a construção de modelos

matemáticos.

O Logo é uma linguagem de programação concebida sob um paradigma

construcionista piagetiano na década de 1960 por Seymour Papert e Marvin Minsky, do

Massachussets Institute of Tecnology; foi apresentada na década seguinte e atingiu seu

auge nos anos finais do século passado. A Linguagem Logo pode ser usada em diversos

domínios do conhecimento (artes, música, matemática, etc) mas foi desenvolvida para fins

educacionais e está afinada com o paradigma educacional emergente, que reconhece a

interdependência dos atores participantes do processo educativo e da influência do meio na

aprendizagem e na construção de conhecimento. O Logo evoluiu do ambiente DOS para

versões que rodam em ambiente Windows (SuperLogo, MegaLogo), facilitando

sobremaneira seu emprego e aplicação em trabalhos com alunos do Ensino Fundamental,

quanto do Ensino Médio ao Superior, passando pelos cursos de Capacitação ou Formação

de Professores, em nível de pós-graduação.

Além desses e outros softwares para aplicações no ensino da Matemática existem

aqueles que, por suas características e guardadas as devidas proporções, podem ser

trabalhados na transmissão de conteúdos matemáticos. Numa perspectiva de ensino

fundamental existem aplicativos de uso simples e corriqueiro que podem ser utilizados no

processo de modelagem matemática com excelentes resultados. Dentre eles destacamos o

MS-Paint e o MS-Excel. O editor de desenhos da Microsoft está presente em toda máquina

que roda em ambiente Windows, enquanto planilha eletrônica Excel faz parte do pacote de

aplicativos do Office, também da Microsoft. Tomamos esses dois produtos para exemplo e

objeto desse trabalho por serem os mais freqüentes na grande maioria dos computadores

domésticos, por apresentarem facilidade no manuseio de suas ferramentas e,

fundamentalmente, por possibilitar investigações em Matemática com ênfase nos processos

de raciocínio (indutivo, dedutivo, analógico, aritmético, algébrico, proporcional, espacial,

estatístico) e construção do pensamento matemático.

Modelando com o MS-Paint

O Paintbrush é um aplicativo do ambiente Windows “bastante utilizado para

produzir desenhos livres, mapas, organogramas, etc.(...) Embora existam editores de

desenho mais sofisticados para tratar imagens scanneadas ou copiadas de outros programas,

o Paint pode ser também usado com esta finalidade devido à sua facilidade de manuseio.”

(Freire&Prado 2000, p.13). Após o domínio de algumas ferramentas do Paint o aluno estará

apto a elaborar trabalhos mais complexos e com melhor acabamento facilmente. Este

aplicativo é ideal para o professor trabalhar conceitos elementares de Geometria Plana a

partir mesmo das séries iniciais do Ensino Fundamental. Os entes e figuras geométricas são

reproduzidos facilmente com um simples clicar e arrastar do mouse. Após ter trabalhado os

conceitos básicos da Geometria plana em sala de aula e, depois, no Paint, o professor

poderá, por exemplo, pedir que cada aluno desenhe a planta baixa de sua casa e a partir

dessa atividade explorar os conteúdos matemáticos referentes à série. A esse respeito

recomendamos tomar por base um conjunto de atividades apresentadas por Biembengut9

nas duas obras já citadas, embora não tenham sido elaboradas para o computador.

Chamamos especial atenção para o capitulo em que Biembengut trabalha a Isometria e a

“arte de construir e analisar ornamentos.” (2002, p.70) Ela sugere que se trabalhe com

moldes de cartolina mas utilizamos algumas ferramentas do Paint. Com esse aplicativo

podemos executar movimentos de translação (ou deslizamento. Fig.1) e rotação (ou

reflexão. Fig.2) de uma figura. Tais movimentos são necessários para a construção de

9 Cf. sugestões de Biembengut em 1999, pgs. 51 em diante; em 2002, pgs. 31 a 83.

ornamentos como faixa, roseta e mosaicos. A construção de mosaicos segundo a técnica de

M.C. Escher, que empregou esses movimentos nos seus trabalhos, fica enormemente

facilitada com o uso do Paint, conforme podemos observar abaixo.

Particularmente, recomendamos que o professor de Matemática trabalhe no Paint a

partir do conteúdo Eixo de Simetria, que pode ser apresentado e discutido em todo o

Ensino Fundamental10 e que proporciona grande satisfação, tanto para o aluno quanto para

o professor, além de possibilitar a construção de conceitos subsunçores para outros

conteúdos, como números simétricos, números relativos, ângulos, frações, etc.

Antes, porém, é fundamental que o professor demonstre à turma que a natureza

modela sobre simetria; que os conceitos filosóficos de estética, de feiúra e beleza, estão

associados a esse fenômeno. Para mostrar que a natureza está repleta de exemplos desse

fenômeno o professor pode utilizar o corpo de um aluno, posto em pé diante da turma e

sobre o qual traça uma linha (eixo de simetria) imaginária; pode utilizar folhas de árvores,

figuras de animais ou de objetos (tartaruga, borboleta, avião, igreja, etc), ou outras em que

se perceba claramente a isometria. O potencial criativo liberado nessa atividade e a

interdisciplinaridade presente reforçam, sobremaneira, seu emprego para as classes do

Ensino Fundamental e Médio. Se os trabalhos forem bem executados e bem acabados,

podem se constituir em autênticas obras de arte, merecendo uma exposição ao final.

Temos, a esse respeito, desenvolvido algumas atividades em Laboratório de

Informática denominadas “Brincando com Eixo de Simetria”, utilizando o Paintbrush.

Nessas atividades são explorados, fundamentalmente, conceitos básicos de Geometria

Plana, isometria, congruência, etc, e a construção de ornamentos (faixas e mosaicos) com

10 A esse respeito recomendamos a excelente coleção “Matemática para todos” de Imenes e Lellis, Ed. Scipione. Eles tratam do tema Simetria de forma muito inteligente, moderna e com diversos níveis de aprofundamento, conforme a série.

figuras geométricas. Abaixo apresentamos um resumo dos procedimentos que empregamos

para aplicar essa atividade em turmas de 5ª a 8ª séries.

Procedimento para trabalhar simetria no Paint:

1 - Uma vez na área de trabalho do Paint, selecionar a ferramenta Linha e traçar um

segmento de reta vertical, dividindo a área de trabalho em duas partes. Caso cometa

algum erro, clique no botão Editar/ Desfazer ou use CTRL+Z.

*Para facilitar, mantenha a tecla Shift pressionada enquanto arrasta o mouse.

2 - Com a ferramenta Polígono, desenhar um polígono irregular fechado com altura e

comprimento máximo de 1/3 da área de trabalho e tendo como um dos lados o

segmento de reta traçado.

3 – Usando a ferramenta Seleção, selecionar o polígono desenhado.

4 - Na Barra de Menu clicar em Editar e no menu que se abre escolher Copiar (ou

CTRL+C). Repetir a operação e escolher Colar (ou CTRL+V).

*Note que a figura será colada no canto superior esquerdo.

5 - Na Barra de Menu clicar em Imagem e desabilitar a opção Desenho Opaco (a

cópia ficará transparente). Arrastar a figura até que coincida exatamente sobre a

original.

* Note que assim também podemos explorar a congruência.

6 – Na Barra de Menu clicar em Imagem e selecionar Inverter/Girar. (Observe

que a opção inverter horizontalmente deve estar selecionada). Clique no botão OK.

Agora, temos uma imagem invertida do original. Pode-se, também, usar a opção

inverter verticalmente.

7 - Arraste a figura assim rotacionada para o outro lado do segmento de reta, fazendo

coincidir os pontos em que ambas (original e cópia) tocam o segmento de reta.

Pronto, esta é a Figura Padrão ou para se construir um ornamento.

A partir desse ponto podemos começar a trabalhar a construção de elementos

decorativos como faixas, rosetas e mosaicos, dando ao aluno condições de perceber a

importância desses elementos na industria de estamparia, nas fábricas de revestimentos e

pisos cerâmicos, na arquitetura, na decoração, nas artes, etc. Pode-se optar por trabalhar

sobre um determinado tema, por exemplo, o estilo da arte marajoara. Os alunos realizam

uma pequena pesquisa e depois constroem a figura padrão e montam a faixa.

8 - Selecionar a figura Padrão, clicar em Copiar e depois Colar (e rotacionar, se

necessário), e ir dispondo as figuras lado a lado (faixa) ou uma sobre a outra (painel

ou mosaico), procurando construir uma repetição coerente até preencher todo o

espaço desejado. Para melhor acabamento pode-se apagar a linha que serve como eixo

de simetria.

9 – Colorir tomando cuidado para a tinta não vazar.

10 - Salvar o trabalho.

Modelagem Matemática com o Excel

O Excel é um aplicativo que possibilita a construção e manipulação de Planilhas

Eletrônicas Inteligentes. Uma planilha inteligente é aquela que através da inclusão de

operadores, fórmulas e funções, tem a capacidade de tomar decisões e prever resultados

para uma análise hipotética dentro de parâmetros preestabelecidos. Além da criação de

tabelas, ou conjunto de tabelas (planilhas), o Excel possibilita a incorporação de figuras,

gráficos, mapas, vídeos, sons, etc., numa planilha ativa. Além de serem utilizadas para fazer

cálculos e operações, trabalhar com diversas funções matemáticas e manipular números, as

planilhas eletrônicas servem, também, para armazenar e recuperar informações, fazer

projeções, analisar tendências, elaborar gráficos e montar um pequeno banco de dados.

Entre as funções do Excel destacam-se:

1 – Funções Financeira: calcula juros, rendimentos de aplicações, depreciações de ativos,

taxas, etc.

2 – Funções Matemáticas e Trigonométricas: calcula raiz quadrada, Pi, seno, co-seno,

tangente, fatorial, potência.

3 – Funções Estatísticas: calcula a média de valores, valores máximos e mínimos de uma

lista, o desvio padrão, distribuição, etc.

4 – Funções Lógicas: permite comparar células e apresentar valores que não podem ser

calculados com fórmulas tradicionais.

Ele também permite a criação de cenários e de macros. Cenário é um conjunto de

valores utilizados para prever o resultado de um modelo de planilha, enquanto macros são

programinhas em linguagem Visual Basic criados para executar ações repetidas. Com as

macros podemos construir, por exemplo, uma animação para uma simulação simples.

Como podemos perceber esse aplicativo foi originalmente desenvolvido para

planejamento financeiro, para controle de gastos e orçamentos (pessoais ou de empresas),

para a previsão de investimentos futuros, mas usado de maneira criativa pode transformar-

se num excelente software para incrementar as aulas de Matemática. A facilidade para a

realização de operações e cálculos, desde as mais simples continhas até as mais complexas

e sofisticadas projeções matemáticas faz do Excel uma poderosa ferramenta didática e

pedagógica para auxiliar o professor de Matemática tanto em atividades de fixação de

conteúdo quanto no desenvolvimento e construção de conceitos. Alie-se a isso o fato de que

a utilização de gráficos do Excel é uma boa estratégia para auxiliar os estudantes na

resolução de problemas.

Algumas questões a considerar

Alguns professores podem considerar que Modelagem Matemática não é parte do

currículo, portanto não vale a pena ser trabalhada em sala, pois irá faze-los perder tempo e

atrasarem o programa. Uma boa maneira de perceberem esse equivoco (e estimularem seus

alunos) é trabalhar com a metodologia de projetos, e dentro dela usarem a modelagem

matemática como ferramenta básica. Outra questão diz respeito ao entendimento, por parte

do professor, da relevância da construção de modelos matemáticos na apropriação de

competências e habilidades dos alunos, não somente no estabelecimento de relações

interdisciplinares com a Biologia, a Física, a Química e a Geografia, entre outras, como

também no desenvolvimento do raciocínio científico e de um entendimento maior dos

fenômenos circundantes.

Outra questão significativa esta relacionada com a forma dos alunos utilizarem os

modelos construídos nas relações com em suas concepções espontâneas e intuitivas sobre

determinado conteúdo, enquanto promove uma mudança de conceitos. Por fim, mas nem

por isso menos importante, ficam as considerações sobre o ambiente de modelagem

computacional e seu valor na/para transmissão de conteúdos e construção de

conhecimentos, o que tem a ver com as concepções pedagógicas de cada professor, seu

interesse e engajamento nessa metodologia.

Entendemos que a maioria dos professores de Matemática que trabalha com o

Ensino Fundamental parece desconhecer que ao representar graficamente um dado

conhecimento, está construindo uma articulação entre essa sua representação e os esquemas

mentais que seu aprendiz constrói/deve construir e que se tornará a estrutura sobre a qual

edificará seus conhecimentos sobre o fenômeno em questão. Podemos perceber essas

articulações mais facilmente quando trabalhamos com o mapeamento conceitual em sala de

aula. Um mapa conceitual é a externalização das representações mentais dos alunos.

Os Mapas Conceituais são diagramas que representam a maneira como o indivíduo

estrutura e organiza seu conhecimento a respeito de determinado assunto ou tema. A

técnica foi criada pelo Dr. J.D. Novak em 1960, tomando por base as teorias sobre a

aprendizagem significativa de David Ausubel, embora Ausubel nunca tenha se referido aos

mapas conceituais em sua teoria cognitiva. Há softwares específicos para a construção de

mapas conceituais como o Cmap, mas um editor de textos como o Word pode servir muito

bem. Aliás, esse pode ser um bom começo para o professor que ainda não trabalhou com

modelagem matemática: utilizar Mapas Conceituais como ponto de partida, afinal, mapas

conceituais, assim como uma proposição matemática, também são modelos.

Considerações finais

“Qualquer modelo existe somente no mundo platônico das idéias. Isso é claro no caso dos conceitos matemáticos: ninguém jamais viu uma circunferência perfeita, pois ela não pode existir fisicamente.”(Setzer 2001, p. 222)

Procuramos nesse trabalho discutir o papel e o potencial pedagógico da Planilha

Eletrônica Excel e do Editor de Desenho Paint na construção de modelos matemáticos e

simulações como estratégia didática/recurso pedagógico para melhorar o processo

aprendizagem de assuntos relativamente complexos de disciplinas como Ciências e

Matemática para o Ensino Fundamental, desde a 5ª série.

Vimos que a modelagem matemática é uma ferramenta importante na construção de

conhecimento pois permite ao estudante desenvolver hipóteses, testa-las, analisar os

resultados obtidos e definir conceitos. A modelagem matemática permite ao estudante os

passos necessários para completar o ciclo de habilidades essenciais para uma aprendizagem

significativa e para a atribuição de significados a novos conhecimentos, a saber: descrição,

execução, reflexão e depuração.

Franz Kreuther Pereira

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