Neste livro interativo fazemos uma revisão de trigonometria, definimos as funções trigonométricas diretas einversas e estudamos as suas relações e propriedades.

Sítio: Projeto MITO - Módulos Interativos de Treino OnlineDisciplina: MÓDULOS INTERATIVOS DE ANÁLISE MATEMÁTICALivro Interativo do MITO:Livro interativo de TrigonometriaImpresso por: Administrador de Análise 2Data: Quarta, 7 Novembro 2012, 17:49

1. Revisões de Trigonometria

2. Razões trigonométricas no círculo trigonométrico I

3. Razões trigonométricas no círculo unitário II

4. Estudo das funções trigonométricas diretas● Seno e cosseno

● Tangente e cotangente

● Secante e cossecante

● Fórmulas importantes

5. Estudo das funções trigonométricas inversas● Arco-seno

● Arco-cosseno

● Arco-tangente

● Arco-cotangente

● Fórmulas importantes

6. Exercícios multimédia I

Exercícios multimédia II

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir).Assim, a trigonometria é o ramo da Matemática que trata das relações entre as medidas dos lados e ângulosde triângulos.

Nesta seção vamos fazer algumas revisões breves de trigonometria no plano.

Consideremos um triângulo retângulo em , com e

Sendo o ângulo formado pelos lados e , definem-se as razões trigonométricas seno, cosseno

e tangente do ângulo de amplitude do modo seguinte:

Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que . Dividindo ambos os membros por obtemos

ou seja, Como e obtemos a Fórmula

Fundamental da Trigonometria:

A partir das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente definem-se as razões trigonométricascotangente, secante e cossecante (inversos algébricos das funções tangente, cosseno e senorespetivamente):

Como é um ângulo agudo temos que Para definir funções reais de uma variável real a partirdestas razões trigonométricas temos que considerar uma nova unidade de medida, o radiano, e o modelo docírculo trigonométrico (círculo de raio 1 centrado na origem de um referencial ortonormado ).

Sabe-se que o valor da razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência é sempreconstante e igual à constante Pi (representada pela letra grega e cujo valor é aproximadamente

). É a constante matemática mais antiga que se conhece e tem um papel muito importante namatemática.

Definição: Radiano é a amplitude do ângulo definido num círculo por um arco de circunferência com omesmo comprimento que o raio do referido círculo.

2 2 2 2

2

2

2

2 2 2

2 2

No applet seguinte pode observar que a noção de radiano não depende do raio do circulo considerado.

Sabendo que o perímetro de uma circunferência de raio é dado por concluímos, a partir da

definição de radiano, que (aproximadamente ) radianos correspondem a um ângulo giro (oucompleto). Assim, temos:

ou seja, um radiano são aproximadamente . Através de proporcionalidade direta ou da regrade três simples é possível converter graus em radianos e vice-versa. Temos assim uma correspondênciabem definida entre os sistemas sexagesimal (graus) e circular (radianos). Por exemplo, os ângulos de

amplitudes , , e são representados respetivamente por e uma vez que rad

correspondem a .

Na secção anterior definimos as razões trigonométricas de um ângulo agudo. Vamos agora estender estesconceitos a um ângulo generalizado através de um círculo de centro na origem de um referencialortonormado e raio igual à unidade que denominamos por circulo trigonométrico.

O seno de um ângulo é a ordenada do ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com acircunferência que delimita o círculo.

O co-seno de um ângulo é a abcissa do ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com acircunferência que delimita o círculo.

A tangente de um ângulo do 1.º ou 4.º quadrantes é dada pela ordenada do ponto de intersecção da reta deequação com o lado extremidade do ângulo. A tangente de um ângulo do 2.º ou 3.º quadrantes é dada

pela ordenada do ponto de intersecção da reta de equação com o prolongamento do lado extremidadedo ângulo.

A cotangente de um ângulo do 1.º ou 2.º quadrantes é dada pela abcissa do ponto de intersecção da reta deequação com o lado extremidade do ângulo. A cotangente de um ângulo do 3.º ou 4.º quadrantes é

dada pela abcissa do ponto de intersecção da reta de equação com o prolongamento do ladoextremidade do ângulo.

No applet seguinte é possível ver os eixos do seno, cosseno, tangente e cotangente bem como a variação dosinal e a monotonia das razões trigonométricas em cada um dos quadrantes. Para tal deve seleccionarseparadamente cada uma das razões trigonométricas e mover o seletor do ângulo

O eixo do cosseno e do seno coincidem respetivamente com os eixos e do referencial ortonormado.

Os eixos da tangente e da cotangente são paralelos aos eixos do seno e do cosseno, de equações e

respetivamente.

É interessante ver como variam as razões trigonométricas em cada um dos quadrantes e tirar algumasconclusões, como por exemplo:

os valores do seno e cosseno estão no intervalo ;

os valores da tangente e da cotangente variam em

Para visualizar um vídeo com uma explicação da applet anterior clique na imagem seguinte.

Estas propriedades vão ser utilizadas no estudo das funções trigonométricas apresentado nos capítulosseguintes.

Em seguida apresentamos os valores das razões trigonométricas seno, cosseno, tangente e cotangente dos

ângulos de amplitudes e

-- --

-- --

No applet seguinte mostramos como se podem obter as razões trigonométricas seno e cosseno dos ângulosassinadados nos 2.º, 3.º e 4.º quadrantes, por redução ao 1.º quadrante, através da congruência (igualdade)de triângulos. A ideia pode ser alargada a todas as razões trigonométricas. Pode mover o seletor do ângulo

ou clicar no botão no canto inferior esquerdo para ver uma animação.

Para visualizar um vídeo com uma explicação da applet clique na imagem seguinte.

Explorando a secante...

A secante é definida como a medida algébrica (com sinal) do segmento ou (representada a rosa

na figura em baixo). Na figura, os triângulos e são geometricamente iguais e ambos são

triângulos retângulos em e em , respetivamente.

Assim, o valor da secante de um ângulo pode ler-se no eixo dos cossenos ou no eixo do prolongamento dolado extremidade do ângulo. Pode mover o seletor da amplitude do ângulo ou clicar no botão no cantoinferior esquerdo para ver uma animação.

A partir da figura é imediato concluir que:

os valores da secante estão no intervalo

por aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo ou ao triângulo obtemos aseguinte relação:

Explorando a cossecante...

A cossecante é definida como a medida algébrica (com sinal) do segmento ou (representada a

amarelo na figura em baixo). Na figura, os triângulos e são geometricamente iguais e

ambos são triângulos retângulos em e em respetivamente.

Assim, o valor da cossecante de um ângulo pode ler-se no eixo dos senos ou no eixo do prolongamento dolado extremidade do ângulo. Pode mover o seletor do ângulo ou clicar no botão no canto inferioresquerdo para ver uma animação.

2 2

A partir da figura é imediato concluir que:

os valores da cossecante estão no intervalo

por aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo ou ao triângulo obtemos aseguinte relação:

2 2

Nesta secção vamos estudar as funções reais de variável real seno, cosseno, tangente, cotangente, secantee cossecante. Apresentamos aqui as definições necessárias ao estudo das funções trigométricas,considerando uma função real de variável real de domínio .

● é uma função injetiva quando verifica a condição:

Os gráficos das funções injetivas têm a propriedade de qualquer reta horizontal intersetar o seu gráfico nomáximo num ponto.

Na figura seguinte estão representados os gráficos de uma função injetiva e de uma função não injetiva.

● é uma função par quando satisfaz a condição:

Os gráficos das funções pares têm a propriedade de o seu gráfico ser simétrico em relação ao eixo dos

Na figura seguinte estão representados os gráficos de duas funções pares.

● é uma função ímpar quando

Os gráficos das funções ímpares têm a propriedade de o seu gráfico ser simétrico em relação à origem doreferencial.

Na figura seguinte estão representados os gráficos de duas funções ímpares.

1 2 1 2 1 2

● é uma função periódica de período se existir um número real tal que

O menor valor de que verifica esta condição é denominado por período positivo mínimo.

No gráfico seguinte está representado parte do gráfico de uma função periódica de periodo . Deste modo,

para todo o .

Nas applets seguintes pode mover o ponto sobre o seletor da amplitude do ângulo e observar a construçãodos gráficos das funções seno e cosseno a partir do círculo trigonométrico. Pode ainda visualizar o gráficoestendido das referidas funções e as suas restrições principais. Se clicar em no canto inferior esquerdoobtém uma animação.

Função seno

Chamamos função seno à função

Podemos observar as seguintes propriedades:

É uma função contínua, de domínio e contradomínio ;

É uma função limitada pois

É uma função ímpar pois

É uma função periódica de período pois

Não existe o limite

Não é uma função injetiva pois qualquer reta horizontal que interseta o gráfico da função seno tem maisdo que um ponto de interseção;

O domínio da restrição principal da função seno é o intervalo Como neste intervalo a função

seno é injetiva então também é invertível.

Função cosseno

Chamamos função co-seno à função

x!Æ1

Podemos observar as seguintes propriedades:

É uma função contínua, de domínio e contradomínio ;

É uma função limitada pois

É uma função par pois

É uma função periódica de período pois

Não existe o limite

Não é uma função injetiva pois qualquer reta horizontal que interseta o gráfico da função cosseno temmais do que um ponto de interseção;

O domínio da restrição principal da função cosseno é o intervalo Como neste intervalo a funçãocosseno é injetiva então também é invertível.

x!Æ1

Nos applets seguintes pode mover o ponto sobre o seletor da amplitude do ângulo e observar a construçãodos gráficos das funções tangente e cotangente a partir do círculo trigonométrico. Pode ainda visualizar ográfico estendido das referidas funções e das suas restrições principais. Se clicar em no canto inferioresquerdo obtém uma animação.

Função tangente:

Chamamos função tangente à função

onde .

Podemos observar as seguintes propriedades:

É uma função descontínua nos pontos da forma que são pontos de assíntotas

verticais ao gráfico da função, isto é:

É uma função ímpar pois verifica

É uma função periódica de período pois

Não é uma função injetiva pois qualquer reta horizontal que interseta o gráfico da função tangente temmais do que um ponto de interseção;

O domínio da restrição principal da função tangente é o intervalo Como neste intervalo a

função tangente é injetiva então também é invertível.

Função cotangente:

sin(x)

cos(x)

tan

tan 2Ù

tan 2Ù

tan

2Ù

x! +kÙ2Ù

tan

tan

sin(x)

cos(x)

Chamamos função cotangente à função

onde .

Podemos observar as seguintes propriedades:

É uma função descontínua nos pontos da forma que são pontos de assíntotas verticaisao gráfico da função, isto é:

É uma função ímpar pois verifica

É uma função periódica de período pois

Não é uma função injetiva pois qualquer reta horizontal que interseta o gráfico da função cotangente temmais do que um ponto de interseção;

O domínio da restrição principal da função cotangente é o intervalo Como neste intervalo a funçãocotangente é injetiva então também é invertível.

cot

cot

cot

cot

cot

cot

Nos applets seguintes pode mover o ponto sobre o seletor da amplitude do ângulo e observar a construçãodos gráficos das funções secante e cossecante a partir do círculo trigonométrico. Pode ainda visualizar ográfico estendido das referidas funções e das suas restrições principais. Se clicar em no canto inferioresquerdo obtém uma animação.

Função secante:

Chamamos função secante à função

onde .

Podemos observar as seguintes propriedades:

É uma função periódica de período isto é,

As retas de equação são assíntotas verticais ao gráfico da função secante;

É uma função par pois

Não é uma função injetiva.

Função cossecante:

Chamamos função cosecante à função

onde .

1cos(x)

sec

sec 2Ù

sec 2Ù

sec

sec

2Ù

sec

1sin(x)

cosec

cosec

Podemos observar as seguintes propriedades:

É uma função periódica de período isto é,

As retas de equação são assíntotas verticais ao gráfico da função cossecante;

É uma função ímpar pois

Não é uma função injetiva.

cosec

cosec

cosec

cosec

Apresentamos nesta secção algumas fórmulas importantes da trigonometria inversa.

Fórmulas Trigonométricas

Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários:

Fórmulas de adição:

Fórmulas de duplicação:

Fórmulas de bisseção:

Fórmulas de transformação:

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

Nota: As fórmulas anteriores não são válidas se os denominadores tiverem valores nulos.

2

2

Uma função real de variável real de domínio possui inversa se e só se for bijetiva, isto é,injetiva e sobrejetiva.

Note que uma função é sobrejetiva se o conjunto de chegada coincide com o contradomínio.

É fácil concluir que as funções trigonométricas não possuem inversas nos seus domínios de definição, poisas funções trigonométricas são periódicas e por isso não são injetivas. No entanto, podemos considerarsubconjuntos desses domínios para gerar novas funções que possuam inversas.

Chamamos restrição principal de uma função trigonométrica à função injetiva e contínua cujo domínio temzero como ponto médio ou como extremo esquerdo e no qual a função percorre todo o contradomínio dafunção trigonométrica. Através da restrição principal é então possível definir a função inversa.

Exemplo: A função não é bijetiva no seu domínio de definição que é o conjunto dos números

reais, pois para um valor de correspondem infinitos valores de , isto é, a função seno não é injetiva. Por

exemplo, se , podemos tomar , , , , ou mais geralmente,

, com um número inteiro. Isto quer dizer que não podemos definir a inversa de noseu domínio. Temos então de restringir o domínio a um subconjunto dos números reais onde a função ébijetiva. Neste caso o domínio da restrição principal do seno será o intervalo

Nas seções seguintes iremos definir as funções inversas das funções trigonométricas seno, cosseno,tangente e cotangente.

2Ù

2Ù

Considere-se a restrição principal da função seno

Como é uma função bijetiva então admite inversa. A sua função inversa chama-se arco-seno e define-secomo

lê-se o ângulo cujo seno é e é um ângulo do 1.º ou 4.º quadrantes.

Nestas condições verifica-se:

O gráfico da função inversa de uma função injetiva pode obter-se por simetria do gráfico de

relativamente à reta de equação . Deste modo, um ponto do gráfico de corresponde ao

ponto do gráfico de . O gráfico da função arco-seno é portanto construído a partir do gráfico da

restrição da função seno por reflexão segundo a reta .

Na applet seguinte podemos ver como se constrói o gráfico da função arco-seno. Mova o seletor do ponto Pou clique no botão para ver uma animação.

Assim, o gráfico da função arco-seno é o que se apresenta de seguida.

À1

À1

Transformações lineares da função arco-seno:

As operações de adição e multiplicação escalar nas variáveis independente e dependente constituem astransformações lineares do gráfico de uma função real de variável real. Como resultado, o gráfico da funçãopode sofrer translações verticais e horizontais, reflexões segundo os eixos, esticamentos ou encolhimentoshorizontais e verticais relativamente a um gráfico inicial. Na applet seguinte é possível ver as alterações aográfico da função arco-seno mediante os parâmetros e de acordo com o modelo de função:

Mova os seletores dos parâmetros e e verifique qual a sua influência no gráfico da função arco-seno.

Podemos observar que ao variar os parâmetros da família de funções podemos

obter funções com diferentes domínios ou contradomínios e que para e temossempre funções injetivas. Deste modo, qualquer função desta família é invertível. A demonstração formaldesta propriedade resulta do facto de a composição de funções injetivas ser também uma função injetiva.Deixamos ao leitor a tarefa de provar este resultado. Como é possível definir a presente função comocomposição de funções injetivas, o resultado surge com naturalidade.

Consideremos a família de funções com uma função injetiva, e

. Então,

Deste modo, se tomarmos temos então que é uma funçãoinjetiva.

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2 1 2 f

Considere-se a restrição principal da função cosseno

Como é uma função bijetiva então admite inversa. A sua função inversa chama-se arco-cosseno e define-secomo

lê-se o ângulo cujo cosseno é e é um ângulo do 1.º ou 2.º quadrantes.

Nestas condições verifica-se:

O gráfico da função arco-cosseno é construído a partir do gráfico da restrição da função cosseno porreflexão segundo a reta .

Na applet seguinte pode ver como se constrói o gráfico da função arco-cosseno. Mova o seletor do ponto Pou clique botão para ver uma animação.

Assim, a representação gráfica da função arco-cosseno é:

Transformações lineares da função arco-cosseno:

Na applet seguinte é possível ver as alterações ao gráfico da função arco-cosseno mediante os parâmetros e de acordo com o modelo de função:

Mova os seletores dos parâmetros e e verifique qual a sua influência no gráfico da funçãoarco-cosseno.

Podemos observar que ao variar os parâmetros da família de funções podemos

obter funções com diferentes domínios ou contradomínios e que para e temossempre funções injetivas. Deste modo, qualquer função desta família é invertível.

Considere-se a restrição principal da função tangente

Como é uma função bijetiva então admite inversa. A sua função inversa chama-se arco-tangente e define-secomo

lê-se o ângulo cuja tangente é e é um ângulo do 1.º ou 4.º quadrantes.

Nestas condições verifica-se:

O gráfico da função arco-tangente é construído a partir do gráfico da restrição da função tangente porreflexão segundo a reta .

Na applet seguinte pode ver como se constrói o gráfico da função arco-tangente. Mova o seletor do ponto Pou clique no botão para ver uma animação.

Assim, a representação gráfica da função arco-tangente é:

Transformações lineares da função arco-tangente:

Na applet seguinte é possível ver as alterações ao gráfico da função arco-tangente mediante os parâmetros e de acordo com o modelo de função:

Mova os seletores dos parâmetros e e verifique qual a sua influência no gráfico da funçãoarco-tangente.

Podemos observar que ao variar os parâmetros da família de funções podemos

obter funções com contradomínios diferentes e que para e temos sempre funçõesinjetivas. Deste modo, qualquer função desta família é invertível.

Considere-se a restrição principal da função cotangente

Como é uma função bijetiva e por isso admite inversa. A sua função inversa chama-se arco-cotangente edefine-se como

lê-se o ângulo cuja cotangente é e é um ângulo do 1.º ou 2.º quadrantes.

Nestas condições verifica-se:

O gráfico da função arco-cotangente é construído a partir do gráfico da restrição da função cotangente porreflexão segundo a reta .

Na applet seguinte pode ver como se constrói o gráfico da função arco-cotangente. Mova o seletor do pontoP ou clique botão para ver uma animação.

Assim, a representação gráfica da função arco-cotangente é:

Transformações lineares da função arco-cotangente:

Na applet seguinte é possível ver as alterações ao gráfico da função arco-cotangente mediante osparâmetros e de acordo com o modelo de função:

Mova os seletores dos parâmetros e e verifique qual a sua influência no gráfico da funçãoarco-cotangente.

Podemos observar que ao variar os parâmetros da família de funções podemos

obter funções com contradomínios diferentes e que para e temos sempre funçõesinjetivas. Deste modo, qualquer função desta família é invertível.

A partir das fórmulas

e das definições das funções trigonométricas inversas podemos deduzir fórmulas importantes datrigonometria inversa.

Exemplo 1:Para é válido o resultado .

De facto, a definição de diz-nos que

Assim, e concluímos que .

Exemplo 2:

Para é válido o resultado .De facto,

.

Consequentemente, como então e

para .

Exemplo 3:

Para é válido o resultado .

De facto,

.

Consequentemente, como então pode tomar qualquer sinal e

para .

De uma fórmula geral, são válidos os seguintes resultados:

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2

x2

x +12

2 2 1

tan (x)21

sin (x)2

tan (x)2

1+tan (x)2

2Ù

2Ù

tan (arctan(x))2

1+tan (arctan(x))2x2

x +12

2

x2

x +12

1x +12

2

1x +12

x2

x +12

x2

1Àx2

x21Àx2

1x

x21Àx2

x2

1Àx2

1x

Ex 1: Considere a função definida por definida a partir da restrição principal dafunção arco-seno.

a) Determine o domínio da função

b) Determine o contradomínio da função

c) Caraterize a função inversa de

d) Calcule e

e) Calcule as soluções da equação

Resolução:

a) Atendendo a que o domínio da função arco-seno é temos

Logo,

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

b) Atendendo a que o contradomínio da função arco-seno é temos que

Logo,

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

c) A função resulta da função por aplicação de transformações lineares pelo que a injetividade é

preservada, ou seja, a função é injetiva, logo invertível (no seu contradomínio).

Para caraterizar a função inversa de temos de determinar o domínio, o contradomínio e a expressãoanalítica da função inversa. Temos:

61

3Ù

f

0f

fÀ10f

e

Para determinar a expressão analítica da função inversa temos de resolver a equação em ordem a

(para trocarmos os papéis de e ). Sabendo que a função inversa da função arco-seno é a função senotemos:

A função inversa de é caraterizada por

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

d)

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

e)

Alternativamente, como conhecemos a expressão analítica da função inversa de podemos optar pelaseguinte resolução:

0fÀ1 f

À1

3Ù

3Ù

6À2

p3

À1

3

À1+sin(2+ À2)3Ù

3

À1+ 2

p3

6À2

p3

Logo, o conjunto solução é:

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

Ex2: Prove que

Resolução:

Pela fórmula fundamental da trigonometria temos que

Considerando temos que

Por um lado temos que Por outro lado, como o contradomínio do arco-cosseno é

então o seno assume sempre valores positivos, donde obtemos que

De forma análoga se prova a igualdade

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Ex 3: Calcule o número real designado por:

a) b)

c) d)

Resolução:

a)

Alternativamente, pelo Ex. 2 temos que

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2

2 2 2

2

2

2

2

b)

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

c)

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

d) Aqui temos que aplicar o resultado do Ex. 2:

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

Ex4: Calcule o valor da seguinte expressão:

Resolução:

Como e

temos que

2

31

3Ù

31

3Ù

31

3Ù

31

3Ù

31

3Ù

3Ù

31

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.