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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB
Departamento de Educação Matemática – DEEMA
Mestrado Profissional em Educação Matemática
MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM AMBIENTE DE
APRENDIZAGEM PARA O DESENVOLVIMENTO DAS COMPETÊNCIAS
EM MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM GRUPO DE ESTUDANTES AO
TRANSFORMAR UMA BRINCADEIRA EM UMA PRÁTICA ESPORTIVA
Mestrando: Rogério Braga Soares
Orientador: Daniel Clark Orey
Ouro Preto, Minas Gerais
Maio/2018
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB
Departamento de Educação Matemática – DEEMA
Mestrado Profissional em Educação Matemática
Rogério Braga Soares
MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM AMBIENTE DE
APRENDIZAGEM PARA O DESENVOLVIMENTO DAS COMPETÊNCIAS
EM MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM GRUPO DE ESTUDANTES AO
TRANSFORMAR UMA BRINCADEIRA EM UMA PRÁTICA ESPORTIVA
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado Profissional em Educação
Matemática da Universidade Federal de
Ouro Preto como requisito parcial para a
obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática sob a orientação
do Prof. Dr. Daniel Clark Orey.
Ouro Preto, Minas Gerais
Maio/2018
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por não me abandonar nos momentos difíceis e por sempre colocar
em meu caminho pessoas sábias e amigas, com as quais sempre pude contar nesse longo
trajeto.
Agradeço a minha esposa Miliane e aos meus filhos Caio e Miguel, por compreenderem
minhas ausências e meus momentos de recolhimento, durante essa fase de
aprofundamento acadêmico e dedicação à pesquisa.
Agradeço a meus pais Fernando e Marina e a meus irmãos Rubens, Juliana e Fernando,
que sempre torceram pelo meu sucesso acadêmico e profissional.
Agradeço a minha sogra Abadia por ser uma avó paciente e dedicada e sempre pronta a
cuidar dos netos quando precisei.
Agradeço aos professores Dr. Daniel Clark Orey (meu orientador), Dr. Milton Rosa
(membro interno da banca examinadora), Dr. Dale Willian Bean (in Memorian) e Dr.
Tod Shockey, com os quais tive meu primeiro contato dentro do Programa de Mestrado
Profissional em Educação Matemática da UFOP, quando me aceitaram como aluno
especial da disciplina de Etnomatemática em 2015, contribuindo para que eu seguisse
nessa trajetória.
Agradeço aos demais professores do programa, em especial a Profa. Dra. Ana Cristina
Ferreira, Prof. Dr. Frederico da Silva Reis, Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura
Viana e Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira, com os quais aprendi várias lições.
Agradeço ao professor Dr. Jonei Cerqueira Barbosa, por aceitar o convite para compor a
minha banca examinadora como membro externo e, também, pelas suas valiosas
contribuições para a valorização desse estudo.
Agradeço aos colegas mestrandos das turmas de 2015, 2016 e 2017 pelos momentos de
convívio, trocas de experiências, colaborações, incentivos e confraternizações. Em
especial aos amigos, Andressa, Josias, Luan e Márcio.
Agradeço a Senhora Gislaine Alves e a Professora Ana Carolina Maciel, que foram as
minhas maiores incentivadoras para ingressar no programa de mestrado.
Agradeço ao amigo Professor Wanderlei da Silva, pelo companheirismo e caronas, sem
essa ajuda não teria conseguido concluir as duas disciplinas isoladas em 2015.
Agradeço aos alunos participantes desse estudo pelo empenho, dedicação e seriedade no
desenvolvimento das tarefas e aos diretores das escolas onde o trabalho de campo foi
conduzido.
Enfim agradeço a todos aqueles que direta ou indiretamente colaboraram para que eu
pudesse alcançar esse objetivo, que Deus abençoe todos vocês.
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RESUMO
Esta pesquisa foi realizada em uma escola pública da rede estadual de ensino, localizada
em Belo Horizonte, Minas Gerais, com 34 alunos do segundo ano do Ensino Médio na
Educação de Jovens e Adultos (EJA). O objetivo central deste estudo foi verificar quais
são as possíveis contribuições que a modelagem matemática como um ambiente de
aprendizagem pode trazer para o desenvolvimento das competências de modelagem
matemática de um grupo de estudantes, ao transformarem uma brincadeira em uma
prática esportiva. Nesse direcionamento, a fundamentação teórica foi pautada na
modelagem matemática como um ambiente de aprendizagem, em suas dimensões crítica
e reflexiva, na modelagem matemática e os esportes e nas competências de modelagem
matemática. Por conseguinte, foram desenvolvidos quatro blocos de atividades,
desenvolvidos de acordo com as três fases e as dez etapas da modelagem matemática
conforme propostas por Rosa em suas investigações. A coleta, a análise e a
interpretação dos dados foram realizadas por meio da utilização da metodologia do
estudo misto denominado QUAL+quan, por meio da qual os dados qualitativos e
quantitativos foram coletados, analisados e interpretados simultaneamente.
Posteriormente, os dados qualitativos foram quantificados. Nesse estudo, foram
utilizados como instrumentos para a coleta de dados, dois questionários, sendo um
inicial e outro final, com questões fechadas e abertas; quatro blocos de atividades do
registro documental, que foram realizadas pelos participantes durante a condução do
trabalho de campo, bem como as anotações registradas no diário de campo do professor-
pesquisador. A interpretação dos dados foi realizada por meio da elaboração de duas
categorias temáticas mistas, de seis subcategorias mistas e uma emergente, que
possibilitaram o desenvolvimento da resposta para a questão de investigação dessa
pesquisa. Os resultados dessa investigação mostram que, no ambiente de aprendizagem
proporcionado pela modelagem matemática, os participantes desse estudo puderam
relacionar a matemática com a prática esportiva, observando a sua importância na
padronização de equipamentos esportivos, favorecendo, assim, o desenvolvimento da
criticidade e da reflexão, sobre o papel da matemática em outras áreas ou situações do
mundo real. Desse modo, a partir do envolvimento dos participantes nas atividades
propostas em sala de aula, foi possível identificar ações realizadas pelos participantes,
explícita ou implicitamente, envolvendo o raciocínio e a utilização de estratégias
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diversas que os tornaram competentes para entender a situação-problema dada, elaborar
modelos com dados provenientes mundo real, resolver as questões relacionadas com os
modelos matemáticos e validar as soluções encontradas durante a condução do projeto
de construção de carrinhos de rolimã. A partir da finalização dessa pesquisa, foi
elaborado um produto educacional em formato de um caderno de sugestões com
atividades interdisciplinares para que os professores e pessoas interessadas nessa
temática possam criar um ambiente de aprendizagem sociocrítico e reflexivo para seus
alunos, fundamentado na modelagem matemática.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Ambientes de Aprendizagem, Dimensões
Crítica e Reflexiva, Modelagem e Esportes, Competências em Modelagem.
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ABSTRACT
This research was carried out in a public school in the state education network, located
in Belo Horizonte, Minas Gerais, with 34 second year high school students enrolled in
youth and adult education (EJA). The central objective of this study was to verify what
are the possible contributions that mathematical modeling as a learning environment can
bring to the development of mathematical modeling skills of a group of students, by
transforming a game into a sports practice. The theoretical basis for this study was
based on mathematical modelling as a learning environment in both its critical and
reflexive dimensions, mathematical modelling and sports and mathematical modelling
skills. Four blocks of activities were developed, developed according to the three phases
of mathematical modelling proposed and made use of the ten steps suggested by Rosa in
his investigations. Data collection, analysis and interpretation were performed using the
mixed study methodology QUAL + quan, through which qualitative and quantitative
data were collected, analyzed and interpreted simultaneously where the qualitative data
were quantified. In this study, the application of two questionnaires were used as an
instrument for the collection of data. Both a pre and post questionnaire was developed
with closed and open questions, four blocks of documentary activities that were carried
out by the students during the course of the field work with notes made by the teacher-
researcher's field diary. The interpretation of the data was carried out by means of the
elaboration of two mixed thematic categories, six mixed subcategories and one
emergent subcategory that allowed the research question of the research to be answered.
The results of this investigation showed that in the learning environment provided by
mathematical modelling the participants of this study were able to relate mathematics to
sports practice, observing its importance in the standardization of sports equipment, thus
favoring the development of criticality and reflection on the role of mathematics in
other areas and situations in the real world. From the involvement in the proposed
activities, it was possible to identify actions taken by the participants both explicitly or
implicitly, involving reasoning and diverse strategies that made them competent to
understand the problem situation, and to elaborate real world models, to solve questions
related to mathematical models and validate the solutions. Based on this research, an
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educational product was developed in a book format including suggestions with
interdisciplinary activities so that interested teachers can easily create a sociocritical
learning environments for their own students.
Key words: Mathematical Modelling, Learning Environments, Critical and Reflective
Dimensions, Modelling and Sports, Modelling Competencies.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Carrinho de rolimã construído com madeira e rolamentos de aço. ................. 24
Figura 2: Croqui do campo de beisebol .......................................................................... 52
Figura 3: Participação de alunos e professores nos 3 (três) casos de modelagem.......... 56
Figura 4: Processo de realização do método misto de pesquisa ..................................... 65
Figura 5: Design metodológico simultâneo do estudo misto ......................................... 66
Figura 6: Processo de pesquisa QUAL + quan do estudo misto .................................... 67
Figura 7: Fontes de triangulação utilizadas no estudo .................................................... 68
Figura 8: Kit com os 18 carrinhos da marca Hot Wheels ............................................... 96
Figura 9: Pista utilizada na corrida de carrinhos ............................................................ 97
Figura 10: Print de tela mostrando o trecho do vídeo de uma competição entre ciclistas
...................................................................................................................................... 107
Figura 11: Print de tela mostrando trecho do vídeo em que um garoto desenvolve uma
prática de empilhar copos ............................................................................................. 108
Figura 12: Print de tela mostrando trecho do vídeo em que aparece a brincadeira entre
os atletas de uma equipe de futebol .............................................................................. 110
Figura 13: Parte I do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate .................... 112
Figura 14: Parte II do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate .................. 113
Figura 15: Parte III do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate ................. 113
Figura 16: Parte IV do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate ................. 113
Figura 17: Parte V do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate .................. 114
Figura 18: Parte VI do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate ................. 114
Figura 19: Momento da largada de uma bateria infantil no Mundialito de Rolimã do
Abacate ......................................................................................................................... 115
Figura 20: Momento da largada de uma bateria infantil no Mundialito de Rolimã do
Abacate ......................................................................................................................... 115
Figura 21: Parte inicial da pista de corrida de carrinhos de rolimã .............................. 115
Figura 22: Parte central da pista de corridas de carrinhos de rolimã ............................ 116
Figura 23: Foto do trecho final da pista de corrida utilizada no Mundialito de Rolimã do
Abacate ......................................................................................................................... 116
Figura 24: Mapa da localização da rua onde é realizado o Mundialito de Rolimã do
Abacate ......................................................................................................................... 117
Figura 25: Carrinho I utilizado por um competidor no Mundialito de Rolimã do Abacate
...................................................................................................................................... 119
Figura 26: Carrinho II utilizado por um competidor no Mundialito de Rolimã do
Abacate ......................................................................................................................... 120
Figura 27: Questão 166 da prova cinza do Enem de 2011 ........................................... 122
Figura 28: Esboço do carrinho de rolimã realizado pela participante DF06 ................ 127
Figura 29: Esboços de um carrinho de rolimã elaborados pelos participantes do grupo A
...................................................................................................................................... 127
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Figura 30: Esboços de um carrinho de rolimã elaborados pelos participantes do grupo B
...................................................................................................................................... 128
Figura 31: Esboço do carrinho de rolimã apresentado elaborado pelo participante CM06
do grupo C .................................................................................................................... 128
Figura 32: Esboços de um carrinho de rolimã apresentados pelos participantes DM01 e
DM03 do grupo D ......................................................................................................... 129
Figura 33: Participantes do grupo B realizando as comparações para definirem as
dimensões do banco e do eixo principal do carrinho de rolimã ................................... 130
Figura 34: Participantes AM02, BF05 e CM06 definindo a medida do eixo central do
carrinho de rolimã ......................................................................................................... 130
Figura 35: Print de tela mostrando o momento do vídeo em que o participante DM01
expõe sua ideia de posicionamento do banco para os participantes dos demais grupos
...................................................................................................................................... 131
Figura 36: Esboço feito pelo participante DM01 mostrando a perfuração do eixo
principal para o ajuste do acento .................................................................................. 131
Figura 37: Esboço do rolimã dianteiro elaborado pelo participante DM02 juntamente
com os integrantes de seu grupo ................................................................................... 132
Figura 38: Esboço do rolimã traseiro elaborado pelo participante DM02 juntamente com
os integrantes de seu grupo ........................................................................................... 132
Figura 39: Print de tela mostrando momento do vídeo em que aparece a apresentação
dos líderes dos grupos para os demais participantes .................................................... 134
Figura 40: Planilha preenchida pelo participante BM02 .............................................. 136
Figura 41: Vista superior do carrinho de rolimã .......................................................... 137
Figura 42: Vista lateral do carrinho de rolimã .............................................................. 138
Figura 43: Vistas frontal e traseira do carrinho de rolimã ............................................ 138
Figura 44: Desenho elaborado pelo participante CM06 ............................................... 140
Figura 45: Desenho do banco do carrinho de rolimã elaborado pelo participante CM06
...................................................................................................................................... 141
Figura 46: Banco do carrinho de rolimã ....................................................................... 143
Figura 47: Base guia do carrinho de rolimã ................................................................. 143
Figura 48: Bases suspensoras dianteiras ....................................................................... 143
Figura 49: Base suspensora traseira.............................................................................. 144
Figura 50: Eixo principal do carrinho de rolimãs ......................................................... 144
Figura 51: Eixo dos rolimãs dianteiro .......................................................................... 144
Figura 52: Eixo dos rolimãs traseiro ............................................................................ 144
Figura 53: Conjunto com parafuso, arruelas e porcas para fixação da base guia. ........ 144
Figura 54: Conjunto com parafusos, arruelas e borboletas para fixação do banco. ..... 145
Figura 55: Rolimãs dianteiros....................................................................................... 145
Figura 56: Rolimãs traseiros ......................................................................................... 145
Figura 57: Quatro kits para a montagem dos carrinhos de rolimã. ............................... 146
Figura 58: Grupo C recebendo o kit de peças, o desenho e a planilha ......................... 148
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Figura 59: Participantes do grupo A conferindo as dimensões das peças e lançando os
valores na planilha ........................................................................................................ 148
Figura 60: Participantes do Grupo B desenvolvendo as atividades do terceiro bloco .. 149
Figura 61: Participante DM03 medindo as peças do carrinho de rolimã para transcrevê-
las para a planilha ......................................................................................................... 149
Figura 62: Montagem do carrinho de rolimã pelas integrantes do grupo A ................. 154
Figura 63: Montagem do carrinho de rolimã pelos participantes do grupo B .............. 154
Figura 64: Integrantes do grupo C mancando as posições dos pregos para prender a
parte traseira do carrinho de rolimãs ............................................................................ 155
Figura 65: Momento em que o participante DM03 utilizou um estilete para desgastar o
eixo dos rolimãs ............................................................................................................ 155
Figura 66: Desenho das vistas superiores das sete peças de madeira do carrinho de
rolimã elaborado pela participante BF05...................................................................... 159
Figura 67: Cálculos desenvolvidos pelo participante CM02 ........................................ 159
Figura 68: Cálculos da aluna BF07 para a atividade proposta ..................................... 160
Figura 69: Esboço elaborado pelo participante CM06 do corte no eixo do e da cunha
para fixação dos rolimãs ............................................................................................... 163
Figura 70: Rolimã fixado no eixo do carrinho ............................................................. 163
Figura 71: Teste dos carrinhos dentro da sala de aula .................................................. 164
Figura 72: Teste do carrinho de rolimã do grupo C no corredor da escola .................. 164
Figura 73: Pesagem dos carrinhos de rolimã ................................................................ 165
Figura 74: Pista utilizada para a competição de corrida de carrinhos de rolimã .......... 169
Figura 75: Largada da primeira bateria eliminatória entre os participantes AM02 e BM02
...................................................................................................................................... 170
Figura 76: Chegada da primeira bateria da competição masculina .............................. 170
Figura 77: Eliminatória masculina disputada entre os participantes CM06 e DM03 ... 171
Figura 78: Largada da prova final disputada entre os participantes AM02 e DM03 .... 171
Figura 79: Chegada da prova final disputada entre os participantes AM02 e DM03 ... 172
Figura 80: Largada da prova final feminina ................................................................. 172
Figura 81: Prova final da competição feminina............................................................ 173
Figura 82: Final dos 200 metros da prova T44 das paraolimpíadas de Londres 2012 . 256
Figura 83: Mundialito de Rolimã do Abacate que acontece anualmente ..................... 258
Figura 84: Ilustração de uma pista de atletismo ........................................................... 259
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LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Faixa etária dos participantes desse estudo ................................................... 71
Gráfico 2: Renda familiar dos participantes em salários mínimos ................................. 72
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Competências em modelagem matemática identificadas por Almeida e Zanin
(2016) ............................................................................................................................. 40
Quadro 2: Relacionamento entre as três fases e as dez etapas do desenvolvimento da
modelagem matemática em sala de aula......................................................................... 63
Quadro 3: Horário de aulas do turno da noite ................................................................ 69
Quadro 4: Tipo de escola frequentada pelos participantes no ensino fundamental........ 72
Quadro 5: Resposta dada pelos participantes para a questão cinco do questionário inicial
........................................................................................................................................ 73
Quadro 6: Atividades desenvolvidas durante a condução do trabalho de campo .......... 79
Quadro 7: Tipo de dados coletados em cada um dos instrumentos ................................ 80
Quadro 8: Respostas dadas para a questão 6 do questionário inicial ............................. 83
Quadro 9: Respostas dadas para a questão 7 do questionário inicial ............................. 84
Quadro 10: Respostas dadas para a questão 8 do questionário inicial ........................... 85
Quadro 11: Esportes praticados pelos participantes desse estudo .................................. 85
Quadro 12: Respostas dadas pelos participantes para a questão 9 do questionário inicial
........................................................................................................................................ 86
Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes para a questão 10 do questionário
inicial .............................................................................................................................. 87
Quadro 14: Respostas dadas pelos participantes para a questão 11 do questionário
inicial .............................................................................................................................. 88
Quadro 15: Respostas dadas pelos participantes para a questão 13 do questionário
inicial .............................................................................................................................. 89
Quadro 16: Respostas dadas à questão 14 do questionário inicial ................................. 90
Quadro 17: Respostas dadas pelos participantes para a questão 15 do questionário
inicial .............................................................................................................................. 91
Quadro 18: Opinião dos participantes sobre os critérios necessários para que uma
competição esportiva seja realizada em condições de igualdade entre os atletas .......... 92
Quadro 19: Atividades realizadas no primeiro bloco do registro documental ............... 93
Quadro 20: Distribuição dos participantes em cada grupo no dia 13 de março de 2017 95
Quadro 21: Distribuição dos participantes em cada grupo a partir de 24 de abril de 2017
........................................................................................................................................ 95
Quadro 22: Carrinhos escolhidos pelos participantes de cada grupo ............................. 96
Quadro 23: Fatores que influenciaram a escolha do carrinho de rolimã ........................ 97
Quadro 24: Respostas dadas para a questão 2 do primeiro bloco de atividades ............ 99
Quadro 25: Respostas dadas para a questão 3 do primeiro bloco de atividades .......... 100
Quadro 26: Respostas dadas para a questão 4 do primeiro bloco de atividades .......... 101
Quadro 27: Respostas dadas para a questão 5 do primeiro bloco de atividades .......... 102
Quadro 28: Respostas dadas à questão 6 do primeiro bloco de atividades .................. 102
Quadro 29: Respostas dadas para a questão 7 do primeiro bloco de atividades .......... 103
Quadro 30: Respostas dadas para a questão 8 do primeiro bloco de atividades .......... 104
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Quadro 31: Atividades desenvolvidas no segundo bloco ............................................. 105
Quadro 32: Respostas dadas pelos participantes para o exercício final do segundo bloco
...................................................................................................................................... 123
Quadro 33: Participantes presentes em cada grupo no dia da aplicação das atividades do
terceiro bloco ................................................................................................................ 124
Quadro 34: Desenvolvimento do terceiro bloco de atividades ..................................... 125
Quadro 35: Quantidade e nome das peças de madeira do carrinho de rolimã.............. 134
Quadro 36: Trecho do diálogo que ocorreu entre o professor-pesquisador e o
participante CM06 durante a elaboração do desenho do carrinho de rolimã................ 135
Quadro 37: Frequência dos participantes no dia 02 de Julho de 2017 ......................... 136
Quadro 38: Planilha digitada pelo professor-pesquisador ............................................ 137
Quadro 39: Dúvidas apontadas pelo marceneiro e suas justificativas .......................... 139
Quadro 40 : Planilha revisada com as correções realizadas pelos participantes .......... 142
Quadro 41: Distribuição dos participantes nos grupo a partir de 19 de Junho de 2017 146
Quadro 42: Frequência dos participantes de cada grupo no dia 19 de Junho de 2017 . 146
Quadro 43: Atividades do terceiro bloco desenvolvidas no dia 19 de Junho de 2017 . 147
Quadro 44: Planilha mostrando as dimensões medidas pelos integrantes do grupo A . 150
Quadro 45: Planilha mostrando as dimensões medidas pelos participantes do grupo B
...................................................................................................................................... 151
Quadro 46: Planilha mostrando as dimensões medidas pelos integrantes do grupo C. 152
Quadro 47: Planilha apresentando as dimensões medidas pelos integrantes do grupo D
...................................................................................................................................... 153
Quadro 48: Descrição da atividade aplicada no terceiro bloco em 23 de Junho de 2017
...................................................................................................................................... 158
Quadro 49: Respostas dadas pelos participantes desse estudo para a questão da atividade
sobre escalas desenvolvida durante o terceiro bloco .................................................... 161
Quadro 50: Frequência dos participantes no dia 26 de Junho de 2017 ........................ 161
Quadro 51: Descrição da atividade aplicada no terceiro bloco em 26 de junho de 2017
...................................................................................................................................... 162
Quadro 52: Medidas dos pesos dos carrinhos de rolimã de cada grupo ....................... 165
Quadro 53: Respostas das pelos grupos ao tópico 2 da folha de validação dos carrinhos
de rolimã ....................................................................................................................... 166
Quadro 54: Frequência dos participantes no dia 16 de Julho de 2017 ......................... 167
Quadro 55: Descrição das atividades desenvolvidas no quarto bloco no dia 16 de Julho
de 2017 ......................................................................................................................... 168
Quadro 56: Respostas dadas pelos participantes à questão 1 do questionário do bloco 4
...................................................................................................................................... 174
Quadro 57: Respostas dadas pelos participantes à questão 2 do questionário do bloco 4
...................................................................................................................................... 175
Quadro 58: Respostas dadas pelos participantes à questão 3 do questionário do bloco 4
...................................................................................................................................... 176
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Quadro 59: Respostas dadas pelos participantes à questão 4 do questionário do bloco 4
...................................................................................................................................... 177
Quadro 60: Respostas dadas pelos participantes à questão 5 do questionário do bloco 4
...................................................................................................................................... 178
Quadro 61: Respostas dadas pelos participantes à questão 1 do questionário final ..... 179
Quadro 62: Respostas dadas pelos participantes para o item b da questão 1 ............... 180
Quadro 63: Respostas dadas pelos participantes para a questão 2 do questionário final
...................................................................................................................................... 181
Quadro 64: Respostas dadas pelos participantes para a questão 3 do questionário final
...................................................................................................................................... 182
Quadro 65: Respostas dadas pelos participantes à questão 4 do questionário final ..... 183
Quadro 66: Respostas dadas pelos participantes à questão 5 do questionário final ..... 184
Quadro 67: Respostas dadas pelos participantes à questão 6 do questionário final ..... 185
Quadro 68: Respostas dadas pelos participantes para a questão 7 do questionário final
...................................................................................................................................... 186
Quadro 69: Respostas dadas pelos participantes para a questão 8 do questionário final
...................................................................................................................................... 187
Quadro 70: Respostas dadas pelos participantes para a questão 9 do questionário final
...................................................................................................................................... 188
Quadro 71: Respostas dadas pelos participantes à questão 10 do questionário final ... 189
Quadro 72: Respostas dadas pelos grupos para a questão 11 do questionário final ..... 190
Quadro 73: Respostas dadas pelos participantes à questão 12 do questionário final ... 191
Quadro 74: Quantificação dos dados qualitativos, frequência de termos e palavras ... 194
Quadro 75: Quantificação dos dados qualitativos, frequência de frases e expressões. 196
Quadro 76: Relação entre os blocos de atividades, as três fases e as dez etapas da
modelagem ................................................................................................................... 210
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Sumário
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 20
UMA TRAJETÓRIA RUMO À MODELAGEM MATEMÁTICA ........................ 20
CAPÍTULO I ................................................................................................................ 29
1. FUNDAMENTANDO TEORICAMENTE A PROBLEMÁTICA DO ESTUDO
.........................................................................................................................................29
1.1. Modelagem Matemática .................................................................................. 29
1.1.1. Competências de Modelagem Matemática ................................................... 36
1.2. Modelagem Matemática Sociocrítica .............................................................. 41
1.2.1. Dimensões Crítica e Reflexiva da Modelagem Matemática .................... 42
1.3. Ambientes de Aprendizagem ........................................................................... 45
1.4. Modelagem Matemática como um Ambiente de Aprendizagem .................... 47
1.5. Modelagem Matemática e os Esportes ............................................................ 49
1.5.1. Engenharia Desportiva Educacional ......................................................... 52
1.6. Modelagem Matemática e Currículo ............................................................... 55
CAPÍTULO II ............................................................................................................... 64
2. UMA FUNDAMENTAÇÃO METODOLÓGICA PARA A UTILIZAÇÃO DO
ESTUDO MISTO ......................................................................................................... 64
2.1. Design Metodológico: Método Misto de Pesquisa ......................................... 64
2.1.1. Triangulação dos Dados ........................................................................... 67
2.2. Contexto Escolar .............................................................................................. 69
2.3. Participantes da Pesquisa ................................................................................. 69
2.4. Instrumentalização ........................................................................................... 73
2.4.1. Questionários Inicial e Final ..................................................................... 74
2.4.2. Blocos de Atividades do Registro Documental ........................................ 75
2.4.3. Diário de Campo ....................................................................................... 76
2.5. Procedimentos Metodológicos ......................................................................... 77
2.6. Análise e Interpretação dos Dados ................................................................... 80
CAPÍTULO III ............................................................................................................. 82
3. ORGANIZAÇÃO, APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS INFORMAÇÕES
DOS DADOS QUALITATIVOS E QUANTITATIVOS .......................................... 82
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3.1. Apresentação e Análise das Informações Contidas nos Dados Qualitativos
(QUAL) e Quantitativos (quan) do Questionário Inicial ............................................. 82
3.2. Apresentação e Análise das Informações contidas nos Dados Qualitativos
(QUAL) e Quantitativos (quan) dos Blocos de Atividades do Registro Documental . 92
3.2.1. Bloco de Atividades 1: Apresentação do Tema e Experimentando uma
Corrida de Carrinhos ............................................................................................... 93
3.2.2. Bloco de Atividades 2: Apresentação do carrinho de rolimã, a competição
e a proposta de padronização ................................................................................. 104
3.2.3. Bloco de Atividades 3: Elaboração dos Projetos, Montagem dos Carrinhos
e Validação ............................................................................................................ 124
3.2.4. Bloco de Atividades 4: A Competição ........................................................ 166
3.2.4.1. Teste dos Carrinhos Rolimãs e Ajustes Finais .................................... 168
3.2.4.2. Provas das Modalidades Masculina e Feminina ................................. 169
3.2.4.3. Apresentação e Análise das Informações Contidas nos Dados
Qualitativos (QUAL) e Quantitativos (quan) do Questionário do Bloco 4 ........ 173
3.3. Apresentação e Análise das Informações Contidas nos Dados Qualitativos
(QUAL) e Quantitativos (quan) do Questionário Final ............................................. 178
CAPÍTULO IV ............................................................................................................ 192
4. INTERPRETANDO OS RESULTADOS UTILIZANDO AS CATEGORIAS
DE ANÁLISES ............................................................................................................ 192
4.1. Quantificação dos Dados Qualitativos ........................................................... 192
4.2. Modelagem Matemática como um Ambiente de Aprendizagem .................. 203
4.2.1. Matemática e Contexto Escolar .............................................................. 207
4.2.2. Competências de Modelagem Matemática ............................................. 209
4.2.3. Matemática e Esportes ............................................................................ 219
4.3. Modelagem Matemática nos Esportes ........................................................... 220
4.3.1. Brincadeiras ............................................................................................ 221
4.3.2. Condições de Igualdade em Competições Esportivas ............................ 222
4.3.3. Criticidade e Reflexão ............................................................................ 223
4.3.4. Ação Pedagógica para a Modelagem Matemática .................................. 226
CAPÍTULO V ............................................................................................................. 229
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS: RESPONDENDO À QUESTÃO DE
INVESTIGAÇÃO ....................................................................................................... 229
5.1. Questão de Investigação ................................................................................ 229
-
5.2. Respondendo a questão de investigação ........................................................ 230
5.3. Considerações Finais ..................................................................................... 233
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 237
LISTA DE APÊNDICES ........................................................................................... 245
LISTA DE ANEXOS .................................................................................................. 264
-
20
INTRODUÇÃO
UMA TRAJETÓRIA RUMO À MODELAGEM MATEMÁTICA
Tendo em vista o cenário atual da educação, todo esforço no sentido de
modificar as práticas pedagógicas que não se enquadram às necessidades dos alunos é
válido. Assim, um dos principais objetivos desse estudo é utilizar a modelagem
matemática como um ambiente de aprendizagem para que os alunos possam adquirir
e/ou desenvolver as competências de modelagem matemática e, consequentemente,
contribuir para a reestruturação da prática docente que possibilite a sua participação
ativa no processo de ensino e aprendizagem em matemática.
Atualmente, o maior desafio dos professores em sala de aula é vincular a teoria
com a prática no exercício da docência. Assim, esse estudo buscou mostrar algumas
possibilidades para que essa interação possa ocorrer nesse ambiente de aprendizagem.
Então, se no exercício da profissão docente, as tarefas que antes eram simples e
prazerosas se tornam árduas e cansativas, faz-se necessário reavaliar os métodos e
buscar novas técnicas para garantir a eficiência do processo de ensino e aprendizagem,
bem como a qualidade do produto final, ou seja, uma aprendizagem matemática com
significado por parte dos alunos enquanto sujeitos em formação contínua.
Como professor de matemática, o pesquisador percebeu, em sua prática docente,
que o processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina está cada vez mais difícil, por
vários aspectos, como, por exemplo, o envolvimento dos alunos nas aulas, a falta de
compromisso da maioria dos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem dessa
disciplina, as condutas éticas e morais em desacordo com a prática pedagógica, bem
como a definição das relações de poder em discussões desencadeadas nas salas de aula.
Esses aspectos ultrapassam os limites escolares, atingindo as relações dos alunos
no ambiente familiar, as políticas públicas educacionais que, na maioria das vezes, estão
em desacordo com a realidade e os cursos de formação de professores de matemática.
Nesse sentido, percebe-se que, a cada ano, está mais difícil seguir os métodos
tradicionais do processo de ensino e aprendizagem em matemática que estão
relacionados com a prática do exercício e da repetição, pois os alunos clamam por
mudanças.
Desse modo, a utilização da bagagem cultural dos alunos e de suas experiências
matemáticas no ambiente escolar “requer uma série de procedimentos que passam pela
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21
observação cuidadosa da situação ou do fenômeno a ser modelado, pela interpretação da
experiência realizada, pela captação do significado do que produz” (BIEMBENGUT,
2004, p. 17). Então, se ensinar matemática significa desenvolver o raciocínio lógico,
estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver
problemas, é importante que os professores de matemática busquem alternativas para
motivar a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, a concentração, o
convívio social e a troca de experiências entre os alunos (ROSA; OREY, 2012a).
De acordo com esse contexto, o interesse do professor-pesquisador1 foi
desenvolver uma pesquisa por meio da qual a matemática aparecesse sob um princípio
que não estivesse apenas relacionado com o acúmulo de regras e fórmulas a serem
decoradas e aplicadas em um exame ou teste padronizado, mas com um conjunto de
objetos matemáticos vinculados ao cotidiano dos alunos.
Nessa perspectiva, esses objetos podem servir como ferramentas pedagógicas
para a sua utilização efetiva em momentos oportunos, pois visam auxiliar os alunos em
seu desenvolvimento como cidadãos críticos e reflexivos e, também, com senso de
justiça social (ROSA; OREY, 2007). Nesse sentido, ressalta-se que o:
(...) objetivo do ensino da matemática deveria ser descobrir novos
fatos a cerca da própria pessoa, sociedade, cultura e capacitar o
estudante a fazer melhores julgamentos e tomar decisões; construir
relações entre conceitos matemáticos, situações concretas e
experiências pessoais (FASHEH, 1998, p. 12).
De acordo com essa asserção, existe a necessidade de que o processo de ensino e
aprendizagem em matemática seja conduzido por meio do esforço dos educadores para
diminuírem a distância entre a teoria e a prática docente em sala de aula.
Nesse direcionamento, durante a trajetória do professor-pesquisador como um
docente, foi observado que os alunos são atraídos pelos conteúdos com aplicações
práticas e, principalmente, quando trabalham com atividades curriculares que
aproximam os conceitos matemáticos adquiridos em sala de aula com as atividades
práticas que são desenvolvidas no contexto cultural em que vivem.
1Nesse estudo, denominação professor-pesquisador é utilizada para se referir ao autor dessa pesquisa.
Ressalta-se que essa denominação é empregada, pois o autor desse estudo também é o professor da
disciplina da turma pesquisada. Nesse sentido, os professores-pesquisadores estão centrados na
“consideração da prática, que passa a ser meio, fundamento e destinação dos saberes que suscita[m],
desde que esses possam ser orientados e apropriados pela ação reflexiva do[s] professor[es]”
(MIRANDA, 2006, p. 135). Assim, esses professores, que são pesquisadores, refletem criticamente sobre
as questões educacionais relativas ao desenvolvimento de sua própria prática pedagógica com o objetivo
de aprimorá-la em seu cotidiano docente.
-
22
Essa abordagem pedagógica considera os alunos como integrantes de um
determinado grupo sociocultural, que adquirem os conhecimentos matemáticos nos
ambientes social, cultural, econômico, político e ambiental ao longo de sua trajetória
(ROSA; OREY, 2012).
Por exemplo, no ano letivo de 2015, em uma das escolas onde o professor-
pesquisador trabalhou, foi realizada uma intervenção na aula com a utilização de temas
relacionados com razão, proporção, divisão proporcional, regra de três simples e
composta. Durante essa intervenção, um aluno explicou o processo de fabricação do
pãozinho de sal realizado por seu pai, que é o proprietário de uma padaria.
Assistindo essa apresentação, o professor-pesquisador também se tornou um
aluno e ficou admirado, principalmente, por tratar-se de um estudante que estava em
recuperação em matemática e que havia declarado algumas vezes não gostar dessa
disciplina. Essas experiências mostram que existe a necessidade de que os professores
de matemática utilizem esses momentos valiosos para enriquecer o processo de ensino e
aprendizagem em matemática que é desencadeado em salas de aula.
Dessa maneira, em concordância com os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) de Matemática, a:
(...) situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e
não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos,
ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a
exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos
precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las
(BRASIL, 1998, p. 40).
Para o professor-pesquisador, as atividades práticas realizadas em sala de aula
podem estar relacionadas com o desenvolvimento de atividades esportivas, que podem
ser estudadas por meio da modelagem matemática. Por exemplo, o estudo conduzido
por Barbosa (2001) mostra o desenvolvimento de um projeto de modelagem em uma
escola particular em Salvador, na Bahia, com três turmas de sétimo ano com 45 alunos
em cada sala de aula. Assim, os membros de um dos grupos trabalharam com a
ginástica olímpica e se interessaram em calcular o percurso em diagonal da ginasta no
tatame por meio da elaboração de um modelo matemático com a utilização do Teorema
de Pitágoras.
O professor-pesquisador também observou que, nas escolas em que lecionou, os
alunos praticavam esportes convencionais orientados pelos professores de educação
física. Porém, em momentos informais extraclasses, esses alunos se organizavam e
-
23
brincavam com uma variação do futebol, por exemplo, criando as suas próprias regras,
compartilhando os espaços, concentrados e cada um esperando o seu momento de entrar
na brincadeira. Então se pergunta, será que é possível intervir em uma brincadeira e
transformá-la em uma modalidade esportiva? Será possível realizar essa intervenção
utilizando conceitos matemáticos? Como a matemática atuaria nesse processo? Seria
interessante para os alunos?
Após uma reflexão sobre essas indagações, discutindo com alguns colegas de
profissão e com alguns alunos, o professor-pesquisador percebeu a viabilidade de criar
um ambiente para a aprendizagem de conteúdos matemáticos por meio da utilização da
modelagem matemática. Dessa maneira, para a criação desse ambiente, o professor-
pesquisador relembrou uma brincadeira antiga, que não se sabe ao certo a sua origem,
que é o carrinho de rolimã. E a partir dessa prática propôs a configuração de uma
modalidade esportiva, considerando as suas manobras e velocidade. Nesse
direcionamento, é importante o desenvolvimento de:
(...) atividades que despertem o interesse dos alunos por intermédio do
esporte e dos desafios por ele proporcionados, utilizando diversos
conteúdos, possibilitando que os alunos aprendam o verdadeiro
sentido da Matemática. Assim sendo, o esporte acaba desafiando o
aluno a buscar, sempre, superar seus adversários e a si próprio, o que
resulta em motivação para a prática do estudo (HARTMANN, 2014,
p. 2).
Então, essa abordagem é capaz de “ajudar o aluno a construir o conhecimento
matemático valendo-se do interesse que o assunto poderia despertar, tornando-os
autônomos, capazes de pensar e construir estratégias próprias para resolver as situações”
(BURAK, 2005, p. 36). Então, é importante o entendimento e a compreensão de
situações-problema que emergem no cotidiano dos alunos para a elaboração de
atividades curriculares em sala de aula (ROSA; OREY, 2003).
Assim, outro objetivo importante dessa pesquisa foi investigar as diversas
concepções de modelagem matemática presentes na literatura e, a partir dos conceitos
relacionados com o ambiente de aprendizagem, propor uma maneira prática de aplicar a
modelagem matemática em sala de aula, que seja conduzida pela prática esportiva
relacionada com os carrinhos de rolimã.
Provavelmente, esses carrinhos podem ter surgido no final dos anos 60 e início
dos anos 70, nas cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte, devido às
primeiras ruas pavimentadas com asfalto e, também, por causa do tipo de topografia
íngreme dessas cidades (OS CARRINHOS..., 2011).
-
24
A construção desses carrinhos é simples e bem diversificada, podendo variar de
tamanho, forma e tipo de material. O processo pode ser artesanal, pois utiliza
ferramentas simples como, por exemplo, o martelo e o serrote, sendo que a matéria
prima utilizada é quase sempre composta por material reaproveitado, como, por
exemplo, a madeira de demolição e os rolamentos (OS CARRINHOS..., 2011)
Basicamente, esses carrinhos são constituídos de um corpo de madeira com um
eixo móvel na frente, denominado de guia, sendo que podem ser utilizados três ou
quatro rolamentos. A figura 1 mostra o carrinho de rolimã mais comum em que há a
utilização de madeira e rolamentos de aço que são descartados em oficinas de reparos
automotivos.
Figura 1: Carrinho de rolimã construído com madeira e rolamentos de aço.
Fonte: Foto por Rogério Braga Soares
Em 2015, o professor-pesquisador presenciou a quarta edição de um evento
intitulado Mundialito de Rolimã do Abacate que acontece anualmente em uma rua, de
topografia íngreme, de um bairro de Belo Horizonte, em Minas Gerais, onde há um
centro cultural denominado Quilombo do Abacate2.
A participação do professor-pesquisador nesse evento foi apenas como
espectador, observador e ouvinte, pois estava buscando dados que fornecessem
informações suficientes e necessárias para verificar a possibilidade de desenvolver um
trabalho culturalmente relevante que agregasse valor real e qualidade à educação
matemática. Ao ler o regulamento do evento notou alguns fatores interessantes, como,
por exemplo, que existem três modalidades nessa competição: Velocidade, Manobra e
Estilo.
2O Quilombo do Abacate é um espaço aberto às vivências através da arte e da cultura, permitindo trocas,
experiências e aprendizados. Esse centro cultural é destinado à multiplicidade dos sentidos e ao
dinamismo do espaço, pois o Quilombo está aberto às manifestações artísticas, ideias absurdas e parceiros
de criatividade. Mais informações podem ser obtidas em: www.facebook.com/Quilombo-do-Abacate,
cujo acesso foi realizado em 10 de Setembro de 2015.
http://www.facebook.com/Quilombo-do-Abacate
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25
O professor-pesquisador percebeu que nas duas primeiras modalidades existe
uma influência de conceitos matemáticos e físicos, pois a velocidade atingida pelo
carrinho pode ser influenciada por sua estrutura e trajetória, que estão associadas com
vários conceitos de geometria, como, por exemplo, a reta, a distância entre dois pontos,
o plano e a circunferência e, também, pelo centro de massa das figuras geométricas.
Quanto às manobras realizadas na competição, percebe-se a utilização dos
ângulos e de movimentos de rotação pelos competidores, porém, sem nenhum padrão
ou rigor acadêmico, pois as ideias e procecimentos matemáticos aplicados na construção
desses carrinhos seguem apenas as experiências pessoais adquiridas pelos praticantes
para proporcionar um melhor desempenho dos competidores.
Na opinião do professor-pesquisador, esse fato pode tornar a competição
esportiva descriteriosa, pois nas competições que utilizam instrumentos e/ou
equipamentos há a aplicação de padrões regimentais determinados pelas federações que
visam a regulamentação das modalidades esportivas.
Por exemplo, a Federação Internacional de Automobilismo (FIA) inspeciona
circuitos e homologa os carros por meio da exigência do cumprimento de uma série de
normas para eliminar qualquer variável que possa influenciar os resultados da disputa de
um Grande Prêmio (GP), que não sejam a habilidade e a experiência do piloto e,
também, as estratégias adotadas pela escuderia (ENCICLOPÉDIA F1, 2016).
Considerando que os carrinhos de rolimã têm como força de propulsão apenas o
impulso inicial que é dado pelo próprio piloto e a força peso, o rigor matemático poderá
auxiliar os alunos na realização dos cálculos de grandezas que podem influenciar o
desenvolvimento da aceleração alcançada pelos carrinhos.
Esses cálculos estão relacionados com a massa, o diâmetro da circunferência dos
rolimãs, o número de rolimãs, as formas geométricas das partes fixas e móveis da
estrutura do carrinho, a largura dos eixos entre os rolimãs, o comprimento do eixo
principal e a simetria do carrinho e a sua aerodinâmica. Esses elementos podem garantir
a padronização desse equipamento e, consequentemente, uma competição mais
criteriosa para os seus competidores.
Além disso, é importante resaltar que, a partir de uma padronização desses
equipamentos, pode existir também o desenvolvimento de um critério padronizado de
escolha dos competidores, como, por exemplo, o biotipo dos pilotos de Fórmula 1, que
não apresentam variações extremas de altura e de massa corporal.
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26
O professor-pesquisador também percebeu essa lacuna nos critérios para a
competição de carrinhos de rolimã por meio dos comentários proferidos por alguns
espectadores, como, por exemplo, “assim não vale os carrinhos são muito diferentes”,
“olha o tamanho daquele rolimã, assim ele leva vantagem” e “aquele carrinho tem as
rodas maiores, por isso ganhou”.
A cada ano, esses eventos vêm se popularizando e conquistando mais adeptos
por causa de seu dinamismo e, também, pelo resgate cultural que têm proporcionado
para os membros desse grupo sociocultural e para outros indivíduos interessados nesse
tipo de competição. Consequentemente, Rosa e Orey (2012b) afirmam que as práticas
socioculturais podem ser consideradas como oportunidades para o estabelecimento de
uma conexão entre a matemática praticada localmente com aquela ensinada no ambiente
escolar.
É nesse sentido que D‟Ambrosio (2003) argumenta sobre a origem das ideias
matemáticas que é o resultado de um processo que procura explicar e entender fatos e
fenômenos observados na realidade. Essas ideias podem ser traduzidas a partir de
elaborações de modelos matemáticos cuja obtenção, aplicação e avaliação estão
vinculadas ao processo de modelagem matemática. De acordo com esse contexto, é
proposta a seguinte questão de investigação:
Quais são as possíveis contribuições que a modelagem matemática como
um ambiente de aprendizagem pode trazer para o desenvolvimento das
competências de modelagem matemática de um grupo de estudantes, ao
transformarem uma brincadeira em uma prática esportiva?
Ressalta-se que, no decorrer dos anos, várias modalidades esportivas surgiram,
outras se adaptaram à modernidade, muitas se popularizaram e, provavelmente, a
matemática deve ter contribuído para o desenvolvimento desses processos.
Assim, o estabelecimento de uma conexão entre o conhecimento matemático e a
prática esportiva tem uma relevância para o enriquecimento da educação matemática,
pois os alunos poderão atuar na elaboração de padrões e regras, partindo de
conhecimentos tácitos3 adquiridos em seu convívio cultural.
3Saber qual é a melhor alternativa, saber como resolver um problema e saber quem pode nos auxiliar na
tomada de decisão é um processo documentado, formalizado e comunicado através de algum formato
explícito, por exemplo, um contrato firmado entre duas pessoas. Neste caso, o conhecimento é
caracterizado como explícito. Outras vezes, estas inferências fazem parte do nosso entendimento interno,
que está tacitamente enraizado em nosso aprendizado e em nossa experiência, por exemplo, ativar a
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27
Contudo, é importante que essa abordagem esteja aliada aos conceitos
matemáticos que auxiliarão os alunos nessas padronizações, pois poderão permitir o
desenvolvimento de um senso crítico e de justiça, que procurem garantir uma
competição esportiva em que os competidores possam disputar em condições de
igualdade.
Nesse direcionamento, esse estudo justifica-se por propor um trabalho
pedagógico vinculado à prática esportiva que está relacionada com o potencial
educativo do esporte, bem como com os seus benefícios para a saúde e para o convívio
social e afetivo dos participantes desse estudo.
Porém, essas afirmativas estão embasadas no senso comum que difunde as ideias
de que o esporte tira a criança da rua e ajuda a fazer novas amizades. Contudo, é
preciso observar que a prática esportiva possui um potencial significativo que pode
transformar a vida dos alunos (SANCHES; RUBIO, 2011).
Portanto, se a prática esportiva estiver vinculada aos fundamentos matemáticos
por meio da modelagem matemática como um ambiente de aprendizagem, pode-se
desenvolver uma oportunidade de aprofundamento do entendimento e da compreensão
da realidade para que os alunos possam ampliar a sua reflexão crítica sobre os
problemas que afligem a sociedade.
Finalizando a parte introdutória desse estudo, o restante dessa dissertação está
organizada em 5 (cinco) capítulos.
O Capítulo 1 apresenta a revisão de literatura que auxiliou o professor-
pesquisador no aprofundamento das principais teorias que fundamentam esse estudo,
como, por exemplo, a Modelagem Matemática, a Modelagem Matemática Sociocrítica e
a Engenharia Desportiva Educacional4. Esse capítulo também apresenta uma revisão
teórica sobre os ambientes de aprendizagem e sobre os esportes.
O Capítulo 2 apresenta e explicita as etapas e os procedimentos metodológicos
que o professor-pesquisador utilizou no desenvolvimento e na condução desse estudo,
cujo design foi baseado no Método do Estudo Misto (Mixed Methods Studies). Esse
capítulo também descreve como foram utilizados os instrumentos metodológicos
memória e recorrer às experiências passadas para solucionar um dilema. Nesta situação, o conhecimento é
caracterizado como implícito, isto é, o conhecimento é tácito (ROSA; OREY, 2012, p. 265). 4De acordo com Huddle (2016), a engenharia desportiva pode ser considerada como a aplicação técnica
de conceitos matemáticos e físicos na resolução de situações-problema relacionadas com os esportes e a
prática esportiva.
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28
necessários para a coleta e a análise dos dados e a interpretação dos resultados obtidos
nesse estudo.
O Capítulo 3 apresenta a análise dos dados qualitativos e quantitativos de acordo
com os pressupostos do Método do Estudo Misto. Esse capítulo também contemplar as
respostas dadas pelos participantes para as atividades propostas no registro documental
que, também, serão analisadas de acordo com o referencial teórico estudado na revisão
de literatura.
O Capítulo 4 apresenta a interpretação dos resultados obtidos a partir da análise
das informações constantes nas categorias a priori, mistas, bem como das categorias
que emergiram durante o processo de levantamento das informações qualitativas e
quantitativas obtidas nos instrumentos de coleta de dados. Esse capítulo também
apresenta o desenvolvimento do processo de quantificação dos dados qualitativos.
O Capítulo 5 apresenta a resposta obtida para a questão de investigação, bem
como as considerações finais sobre a interpretação dos resultados obtidos durante a
condução desse estudo.
As referências bibliográficas, os apêndices e os anexos também são parte
integrante da estrutura dessa dissertação.
Como resultado desse estudo, foi elaborado um produto educacional que
compartilhará, com os professores de matemática e os interessados nesse tema, um
projeto interdisciplinar que visa o desenvolvimento da criatividade e da criticidade dos
alunos, mostrando a importância da utilização da matemática por meio da modelagem,
para que uma competição esportiva possa ocorrer em condições de igualdade entre os
atletas.
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29
CAPÍTULO I
1. FUNDAMENTANDO TEORICAMENTE A PROBLEMÁTICA DO ESTUDO
É importante disponibilizar uma educação matemática de qualidade, inclusiva e
atrativa para os alunos, pois há uma busca incessante por novas tendências que auxiliem
os educadores a mostrarem a matemática sob uma perspectiva diferenciada, que
considere os conhecimentos adquiridos pelas experiências de vida dos alunos enquanto
integrantes de um determinado grupo sociocultural.
De acordo com esse contexto, o principal objetivo desse capítulo é providenciar
uma revisão de literatura relacionada com a concepção de Modelagem Matemática
como um ambiente de aprendizagem, além de sua abordagem crítica e reflexiva, através
da construção de modelos matemáticos visando a transformação de uma brincadeira em
uma prática esportiva.
Dessa maneira, o foco da revisão de literatura desse estudo está fundamentado
nos seguintes tópicos:
a) Modelagem Matemática
Competências de Modelagem Matemática
b) Modelagem Matemática Sociocrítica
Dimensões Crítica e Reflexiva da Modelagem Matemática
c) Ambientes de Aprendizagem
d) Modelagem Matemática como um Ambiente de Aprendizagem
e) Modelagem Matemática e os Esportes
Engenharia Desportiva Educacional
f) Modelagem Matemática e Currículo
A seguir, apresenta-se a fundamentação teórica para cada um desses tópicos e
subtópicos, de acordo com o estudo da revisão de literatura relacionada com a
problemática desse estudo.
1.1. Modelagem Matemática
As novas tendências em Educação Matemática surgiram com a necessidade de
se reestruturar o processo de ensino e aprendizagem em matemática. A partir da
compreensão da Educação Matemática como um campo científico e, aprofundando
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sobre a sua evolução histórica, inicialmente, é possível identificar seis tendências
pedagógicas para o processo de ensino e aprendizagem em matemática: a formalista-
clássica, a empírico-ativista, a formalista-moderna, a tecnicista, a construtivista e a
sócio-etno-culturalista, que foram defendidas por seus idealizadores e pesquisadores
(FIORENTINI, 1995):
1. Formalista-clássica: essa tendência é centrada nos professores, sendo que a
aprendizagem dos alunos é realizada de maneira passiva e baseada na
memorização. Desse modo, os professores são os detentores do domínio dos
conteúdos que são ensinados de uma maneira pronta e acabada, para que os
alunos apenas copiem e repitam os exercícios propostos em sala de aula.
2. Empírico-ativista: essa tendência surgiu como uma negação ou oposição à
escola clássica, pois os professores abandonaram o posto de profissionais
centrais do processo de ensino ao assumirem a postura de orientadores da
aprendizagem. Nesse modelo, o conhecimento não é adquirido somente pela
descoberta, pois o ato de aprender exige ação, manipulação e experimentação
por parte dos alunos. Assim, existe uma preocupação de que o processo de
ensino e aprendizagem seja realizado por meio da relação da matemática
com outras ciências e, também, pela utilização de seus valores utilitários5.
Nesse sentido, os alunos aprendem fazendo, pois trabalham com a resolução
de problemas diários, participando da realização de atividades experimentais.
3. Formalista-moderna: a Matemática Moderna foi um movimento de
renovação no processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos
que se fortaleceu nas décadas de 1960 e 1970. Esse período caracterizou-se
pelo desenvolvimento da tendência formalista-moderna, que enfatizava um
ensino que tinha o propósito de organizar o conhecimento matemático de
acordo com a utilização da linguagem, do rigor e das justificativas. Esse tipo
de ensino priorizava a teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas, as
relações e as funções, sendo centrado nos professores e desvinculado das
5De acordo com Biotto Filho (2014), os valores utilitários da matemática estão relacionados com o
desenvolvimento da capacidade de os alunos lidarem com situações novas e reais, com a preparação para
a sua participação política ao desenvolverem noções de economia, com a capacidade de analisar e
interpretar os dados estatísticos, com a capacidade de resolver situações de conflito e de tomar decisões.
Dessa maneira, a matemática é útil como um instrumentador para a vida e para o trabalho.
-
31
aplicações práticas. Esse movimento educacional está mais preocupado com
a formação de especialistas em matemática do que cidadãos.
4. Tecnicista: a finalidade dessa tendência é integrar os indivíduos e a
sociedade para torná-los capacitados e úteis para o desenvolvimento dos
objetivos da sociedade. Os conteúdos matemáticos são apresentados com a
utilização de uma instrução programada por meio da qual os alunos realizam
uma série de tarefas, do tipo resolva os exercícios abaixo, seguindo o modelo
ou arme e efetue, que são propostas pelos professores. Nessa abordagem, os
alunos e os professores são considerados como os executores de programas
educacionais desenvolvidos por especialistas. Nesse tipo de instrução, os
recursos e as técnicas de ensino são o centro do processo de ensino e
aprendizagem.
5. Construtivista: nessa tendência, os alunos interagem de uma maneira
reflexiva com o meio ambiente através da construção de conhecimentos
matemáticos para que possam adquirir a capacidade de aprender a aprender,
bem como desenvolver o pensamento lógico-formal.
6. Sócio-etno-culturalista: essa tendência propõe a utilização de problemas
retirados da realidade dos alunos, que estão inseridos em grupos culturais
diversos e distintos, que podem gerar temas para serem trabalhados em sala
de aula. Desse modo, essa abordagem visa trazer uma visão antropológica,
social e política para a Educação Matemática para que os alunos possam
atribuir sentido e significado às ideais matemáticas, possibilitando-lhes o
desenvolvimento do raciocínio e da análise crítica e reflexiva, bem como o
estabelecimento de relações e a elaboração de hipóteses e justificativas.
Continuando com o ciclo de evolução do processo educacional de ensino e
aprendizagem em matemática, surgem outras tendências em Educação Matemática
dentre as quais se destaca um movimento direcionado pela Modelagem Matemática.
Algumas das principais tendências atuais em Educação Matemática são:
Etnomatemática, História da Matemática, Resolução de Problemas e Tecnologias da
Informação e Comunicação.
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32
1) Etnomatemática: Ubiratan D‟Ambrosio (1993) afirma que a etnomatemática
é um programa de pesquisa lakatosiano6, que vem adquirindo visibilidade
como uma proposta pedagógica com uma importante repercussão na
Educação Matemática, pois propõe um enfoque epistemológico alternativo
associado a uma historiografia ampla. Assim, a ação pedagógica desse
programa é alcançada partindo da realidade de uma forma natural que tem
um enfoque cognitivo com uma forte fundamentação cultural. A cognição
matemática é caracterizada na espécie humana, nas atividades de comparar,
classificar, quantificar, medir, explicar, generalizar, inferir, modelar e
avaliar. Então, a cognição está vinculada à cultura, que pode ser entendida
como a união de conhecimentos compartilhados e comportamentos
compatibilizados. Nesse sentido, a cognição de cada indivíduo está enraizada
na cultura de seu grupo cultural (D‟AMBROSIO, 2001). Por conseguinte, o
Programa Etnomatemática procura trazer subsídios para que se possa
entender como os indivíduos consideram a realidade na qual estão inseridos.
2) História da Matemática: essa tendência surgiu como um potencial para o
desenvolvimento das aulas de matemática com o objetivo de facilitar a
aprendizagem dessa disciplina, pois os “conceitos [matemáticos] abordados
em conexão com [a] sua história constituem veículos de informação cultural,
sociológica e antropológica de grande valor formativo. [Portanto,] a História
da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria
identidade cultural” (BRASIL, 1997, p. 42) dos alunos.
3) Resolução de Problemas: essa é uma tendência empregada no processo de
ensino e aprendizagem em matemática, sendo considerada como um método
eficaz para desenvolver o raciocínio lógico dos alunos, motivando-os no
estudo dessa disciplina. Assim, o processo de ensino e aprendizagem pode
ser desenvolvido através da resolução de situações-problema interessantes
que despertem nos alunos o desejo de explorar caminhos variados para
6A etnomatemática possui várias características relacionadas com a metodologia científica do programa
de pesquisa lakatosiano, pois os principais componentes desse programa são o núcleo firme, as heurísticas
e o cinturão protetor de hipóteses auxiliares, que facilitam a análise dos fenômenos empíricos. O principal
objetivo do programa etnomatemática é o desenvolvimento e o fortalecimento das teorias que compõem o
seu cinturão protetor, ampliando-o e tornando-o mais preciso com relação às predições empíricas que são
realizadas em relação ao seu núcleo firme, que pode ser considerado como um conjunto de teorias
irrefutáveis que possibilita a tomada de decisões metodológicas (ROSA; OREY, 2015).
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determinar a sua solução (POLYA, 2006). Dessa maneira, o ensino por meio
da resolução de problemas tem como objetivo auxiliar os alunos a lidarem
com os insucessos, a agirem com perseverança, a apreciarem os pequenos
progressos e a descobrirem a ideia essencial para que possam entender as
situações-problema enfrentadas em seu cotidiano.
4) Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC): é essencial que as escolas
estimulem nos alunos a aquisição, a organização, a geração e a difusão de
um conhecimento vivo que seja integrado aos valores e expectativas da
sociedade por meio da utilização de tecnologia na educação. Essa abordagem
garante a viabilidade desses acontecimentos, pois, a “informática e [as]
comunicações dominarão a tecnologia educativa do futuro” (D‟AMBRÓSIO,
1997, p. 80). Nesse sentido, as TIC possibilitam que os alunos estudem e
explorem novos temas educacionais de diversas maneiras para que
continuem motivados e interessados em seus estudos. O emprego das
tecnologias no processo de ensino e aprendizagem em matemática pode
promover uma mudança na prática pedagógica dos professores e no
estabelecimento da relação da matemática com o seu ensino (FIORENTINI;
LORENZATO, 2006).
Retornando à modelagem matemática, o estudo de um breve histórico de seu
desenvolvimento mostra que o:
(...) termo „modelagem matemática‟ [é utilizado] como [um] processo
para descrever, formular, modelar e resolver uma situação problema
de alguma área do conhecimento encontra-se já no início do século
XX na literatura de Engenharia e Ciências Econômicas
(BIEMBENGUT, 2009, p. 7).
De acordo com esse contexto, no Brasil, o início da Modelagem Matemática
ocorreu por meio de trabalhos que procuravam incentivar a utilização de modelos
matemáticos para o ensino da Matemática, realizado pelo Professor Aristides Barreto,
na Pontifica Universidade Católica, no Rio de Janeiro, na década de 1970.
Na década seguinte, em 1980, o movimento da modelagem matemática se
fortaleceu com os estudos conduzidos pelo professor Ubiratan D‟Ambrósio. Nessa
mesma década, o professor Rodney Bassanezi começou a aplicar a modelagem como
um instrumento pedagógico em cursos de especialização para professores
(BIEMBENGUT, 2009).
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A partir dessa década, começaram a surgir trabalhos direcionando as aplicações
da Modelagem Matemática para o ensino fundamental (BIEMBENGUT, 1990;
BURAK, 1987), para o Ensino Médio (BIEMBENGUT, 1990; BURAK, 1992) e para o
Ensino Superior (BORBA; MENEGHETTI; HERMINI, 1997; JACOBINI, 1999). Além
disso, surgiram trabalhos, com modelagem matemática, direcionados para a formação
de professores (BURAK, 1992; GAZZETA, 1989) e para a Educação de Jovens e
Adultos (MONTEIRO, 1991).
Do ponto de vista da educação matemática, constata-se que a modelagem
matemática promove diversos delineamentos. Por exemplo, na perspectiva dos
educadores matemáticos nota-se o desenvolvimento de algumas de suas dimensões,
como, por exemplo, a modelagem como uma estratégia pedagógica (ARAÚJO, 2002;
BASSANEZI, 2002) e como um ambiente de aprendizagem (BARBOSA, 2001;
JACOBINI, 1999; DINIZ, 2007).
Nesse movimento de evolução da modelagem, outras dimensões surgiram nesse
campo de estudo, como, por exemplo, a etnocomputação (TEDRE, 2002) e a
etnomodelagem (ROSA; OREY, 2010). Dessa maneira, a etnocomputação é o estudo
das interações entre a computação e a cultura, que emerge do conhecimento
desenvolvido nos grupos culturais, adaptando-se às mudanças que ocorrem nesses
grupos ao estudar os fenômenos computacionais que são desenvolvidos nesses
ambientes por meio da modelagem matemática (ROSA; OREY, 2012).
A etnomodelagem é o estudo dos fenômenos que ocorrem em uma determinada
cultura, pois é um construto social e culturalmente enraizado, que contempla os aspectos
culturais do conhecimento matemático no processo da modelagem. Nesse processo, a
tradução do conhecimento matemático local pode ser realizada por meio de métodos
científicos (abordagem ética), podendo auxiliar os professores e alunos na compreensão
dos fenômenos cotidianos (ROSA; OREY, 2014).
Em concordância com essas dimensões, a utilização da modelagem matemática
tem sido bem sucedida no oferecimento de cursos de especialização, de capacitação e de
aperfeiçoamento de professores, no ensino superior (BASSANEZI, 2002), nos ensinos
fundamental e médio (BIEMBEGUTT, 1999), no ensino de estatística (JACOBINI,
1999) e, também, na educação de jovens e adultos (MONTEIRO, 1991).
Por outro lado, a modelagem matemática pode ser considerada como um
processo de construção de modelos que transforma uma situação real em uma situação
matemática (BLUM, 1995). Essa abordagem consiste, essencialmente, na arte de
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transformar problemas da realidade visando resolvê-los para que os indivíduos possam
interpretar as suas soluções utilizando a linguagem do mundo real (BASSANEZI,
2002). Contudo, quando aplicada no ensino, a modelagem pode ser entendida como
uma descrição matemática de um fenômeno que é escolhido colaborativamente por
grupos de professores (BORBA, 1999).
De acordo com os aportes teóricos e metodológicos que utilizam as experiências
vivenciadas pelos indivíduos no processo da modelagem matemática (ROSA; OREY,
2014) essa tendência em Educação Matemática reconhece que as aplicações da
matemática estão presentes na sociedade, pois trazem contribuições importantes para o
processo de ensino e aprendizagem em matemática.
Assim, a modelagem pode ser considerada como uma ferramenta pedagógica
muito útil para a ação pedagógica desencadeada em sala de aula. Nessa abordagem, as
atividades de modelagem matemática podem ser consideradas como oportunidades que
os alunos possuem para explorar o papel que a matemática desempenha na sociedade
contemporânea (BARBOSA, 2001).
Portanto, a modelagem matemática assumiu outras concepções, como, por
exemplo, a epistemológica ou teórica, a educacional, a contextual, a cognitiva e a
sociocrítica (KAISER; SRIRAMAN, 2006 apud FREITAS, 2016, p. 47). De acordo
com o ponto vista de Freitas (2016), essas concepções são reconhecidas como
perspectivas internacionais da modelagem matemática que podem ser resumidamente
entendidas como:
a) Epistemológica ou Teórica: essa perspectiva evidencia o aperfeiçoamento
dos conceitos matemáticos através das teorias matemáticas, abordando, dessa
forma, as situações-problema previamente estruturadas para atingirem esse
objetivo.
b) Educacional: é uma junção das concepções realística e epistemológica da
modelagem matemática, que considera o desenvolvimento da teoria
matemática por meio da introdução de novos conceitos matemáticos ou pelo
desenvolvimento de conceitos adquiridos previamente pelos alunos
(modelagem conceitual) em concomitância com a estruturação e a promoção
do aprendizado por meio da proposição de situações-problema autênticas
(modelagem didática).
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c) Contextual: nessa perspectiva são utilizadas situações-problema reais em sala
de aula para a inclusão da modelagem matemática com o objetivo de motivar
os alunos na promoção da aprendizagem por meio da interpretação dos
enunciados dessas situações propostas. O principal objetivo dessa concepção
é auxiliar os alunos na elaboração dos modelos matemáticos.
d) Cognitiva: essa perspectiva estuda os processos cognitivos dos alunos
enquanto realizam as atividades de modelagem propostas em sala de aula,
pois está fundamentada na psicologia cognitiva. Essa concepção pode ser
descrita como uma meta perspectiva, pois representa um estudo holístico do
fenômeno em estudo, buscando entendê-lo de maneira ampla, abrangente,
humanista e natural.
e) Sociocrítica: essa perspectiva prioriza o pensamento crítico e reflexivo sobre
o papel e a natureza dos modelos, bem como a função da matemática na
sociedade contemporânea. Tortola, Silva e Almeida (2011) afirmam que essa
perspectiva visa a formação de alunos autônomos e aptos para exercerem a
cidadania.
Independente da perspectiva adotada é importante salientar que a modelagem
matemática tem sido caracterizada como uma atividade essencialmente investigativa e,
em geral, requer dos alunos a utilização de procedimentos específicos nas atividades
escolares das aulas de matemática (BLUM; FERRI, 2009; ALMEIDA, SILVA;
VERTUAN, 2012). Sendo assim, torna-se relevante um aprofundamento teórico das
competências necessárias para que os alunos possam participar de atividades de
Modelagem Matemática como um recurso para a sua efetiva aprendizagem em sala de
aula.
1.1.1. Competências de Modelagem Matemática
Para que se possa compreender a expressão competências de modelagem, é
importante que se defina o termo competências, de uma maneira geral, pois existem
várias definições para o mesmo. Essa variação de definição está relacionada com as
diferentes origens do termo competência em vários ramos da ciência, bem como em
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relação à distinção de certos tipos de competências (MAAβ, 2006). Por exemplo, para
Dias (2010), o termo:
Competência é um constructo teórico que se supõe como uma
construção pessoal, singular, específica de cada um. É única e
pertence exclusivamente à pessoa, exprimindo-se pela adequação de
um indivíduo a uma situação (p.10).
Contudo, para esse estudo, as definições derivadas no domínio pedagógico
parecem ser significativas. Por exemplo, a competência pode ser definida como a
capacidade que os indivíduos possuem para analisar e julgar, respectivamente, a
adequação das descrições e das tarefas para transferi-las para ação (FREY, 1999 apud
MAAβ, 2006).
Em relação à expressão competência matemática,