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Minimização de custos
Roberto Guena de Oliveira
USP
9 de junho de 2015
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Custos econômicos e custos contábeis
• Custos contábeis são os custos medidos em termos devalores pagos por uma firma na aquisição de seusinsumos de produção.
• Custos econômicos ou custos de oportunidade são oscustos medidos em termos do ganho advindo do melhoruso alternativo dos insumos de produção.
• As diferenças entre custos contábeis e econômicosenvolvem:
• Os custos contábeis são baseados em valores nomomento da aquisição dos bens, os custos econômicossão baseados nos valores atuais.
• Custos contábeis não incluem custos implícitos, custoseconômicos, sim. Talvez o mais importante dos custosimplícitos seja o custo de oportunidade do capital.
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
A função de custo
A função de custo é uma função que associa a cada cadaquantidade de produto y , o custo total (CT ) mímimo no qual afirma deve incorrer para produzir essa quantidade.Evidentemente, esse custo depende, além da quantidadeproduzida, dos preços dos insumos de produção. Assim, nocaso em que há apenas dois insumos de produção, x1 e x2,com preços ω1 e ω2, a função de custo terá a forma
CT = c(ω1,ω2,y).
A função de custo de curto prazo
Caso um ou mais fatores de produção sejam fixos (curtoprazo), a função de custo também terá por argumento aquantidade do fator de produção que é mantido fixo. Porexemplo, caso x2 seja mantido fixo em x2, então a função decusto (de curto prazo) terá a forma
CT = c(ω1,ω2,y ,x2).
Custos fixo e variável
O csuto total (CT ) de uma empresa pode ser dividido em
Custo Variável (CV(ω1,ω2,y)) trata-se da parcela do custocorrespondente à contratação de fatoresvariáveis.
Custo Fixo (CF ) trata-se da parcela do custo correspondente àcontratação de fatores fixos. Caso todos osfatores de produção sejam variáveis, então ocusto fixo será nulo e o custo total coincidirá como custo variável.
Portanto temos,CT = CV +CF
A função de custo com apenas um fator variável
Suponha uma firma que produza empregando apenas doisinsumos de produção, x1 e x2, sendo que o segundo insumo éempregado em quantidade fixa x2 = x2. Seja y = f(x1,x2) a suafunção de produção. Então a função de custo de curto prazodessa empresa será dada por
c(ω1,ω2,y ,x2) = ω1x1(y ,x2)+ω2x2
na qual x1(y ,x2) é uma função definida por
f(x1(y ,x2),x2) = y .
ω1x1(y ,x2) é o custo variável. ω2x2 é o custo fixo.
Derivação da função de custo de curto prazo
1 Inverta a função deprodução f(x1,x2) paraencontrar a funçãox1(y ,x2).
2 CV = ω1x1(y ,x2).
3 CF = ω2x2.
4 CT = c(ω1,ω2,y ,x2)= ω2x2+ω1x1(y ,x2)
y
x1
f(x1,x2)
45◦
x1
y
f(x1,x2)
x1(y ,x2)x1(y ,x2)
CV = ω1x1(y ,x2)
Custos
y
CF = ω2x2
CT = CF +CV
Exemplo
Determine a função de custo de curto prazo de uma empresacuja função de produção é f(x1,x2) =
√x1x2, sabendo que o
fator de produção 2 é empregado em quantidade fixa x2 = x̄2.
Exercício
Determine a função de custo de curto prazo para as seguintesfunções de produção considerando o emprego fixo do fator deprodução 2 em x2 = x̄2.
1 f(x1,x2) =√x1+
√x2;
2 f(x1,x2) = x1+ x2;
3 f(x1,x2) = x1x2;
4 f(x1,x2) = ln(1+ x1)+ ln(1+ x2).
O problema de minimização de custos mais de umfator variável
No caso geral com mais de um fator variável, a função decusto é obtida através da solução do seguinte problema:
minx1,...,xn
ω1x1+ω2x2+ . . .+ωnxn
tal que f(x1, . . . ,xn) ≥ y
notas
• As quantidades dos isumos que resolvem esse problemasão chamadas demandas condicionadas ou contingentesdesses insumos, sendo notadas por xci (ω1, . . . ,ωn ,y).
• A função de custo será dada porc(ω1, . . . ,ωn ,y) =
ω1xc1 (ω1, . . . ,ωn ,y)+ . . .+ωnx
cn (ω1, . . . ,ωn ,y)
Solução gráfica: dois insumos variáveis
Curvas de isocusto
x2
x1
ω1 x1 +
ω2 x2 =
c 0
tan= −ω1ω2
ω1 x1 +
ω2 x2 =
c 1
ω1 x1 +
ω2 x2 =
c 2
Solução
x2
x1
f(x1,x2) = yb
xc1
xc2
|TTS |= ω1ω2
Minimização de custos: solução matemática
O problema
minx1,...,xn
ω1x1+ω2x2+ . . .+ωnxn
tal que f(x1, . . . ,xn) ≥ y e x1, . . .xn ≥ 0
O lagrangeano
L = ω1x1+ω2x2+ . . .+ωnxn −λ(f(x1, . . . ,xn)− y)
Condições de 1ª ordem além de f(x1, . . . ,xn) = y
ωi ≥ λ∂f(x1, . . . ,xn)
∂xie x
(
ωi −λ∂f(x1, . . . ,xn)
∂xi
)
= 0
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
Função de produção:
f(x1,x2) = xα1 xβ2
Condições de primeira ordem:
f(x1,x2) = y ⇒ xα1 xβ2 = y
|TTS |= ω1
ω2⇒ α
β
x2x1
=ω1
ω2
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
As demandas condicionais:
x1(ω1,ω2,y) = y1
α+β
[
α
β
ω2
ω1
]β
α+β
x2(ω1,ω2,y) = y1
α+β
[
β
α
ω1
ω2
] αα+β
A função de custo:
c(ω1,ω2,y) = ω1x1(ω1,ω2,y)+ω2x2(ω1,ω2,y)
= y1
α+βωα
α+β
1 ωβ
α+β
2α+ β
αα
α+β ββ
α+β
Propriedades:
• Omultiplicador de Lagrange associado ao problema deminimização de custo pode ser interpretado como o customarginal, isto é
λ=∂c(ω1, . . . ,ω2,y)
∂y
• A função de custo é não decrescente em relação aospreços dos insumos e em relação ao produto.
• A função de custo é côncava em relação aos preços dosinsumos
• (Lema de Shephard) Caso a função de custo sejadiferenciável em relação ao preço do insumo i , teremos
∂c(ω1, . . . ,ω2,y)∂ωi
= xci (ω1, . . . ,ω2,y)
Exercício
Encontre as funções de custo associadas às seguintes funçõesde produção:
1 f(x1,x2) =√x1x2;
2 f(x1,x2) = ln(x1+1)+ ln(x2+1);
3 f(x1,x2) =min{x1,x2};4 f(x1,x2) = x1+ x2.
Nota:
Quando se supõe os preços dos fatores de produção sãomantidos inalterados, é comum notar a função de custosimplesmente por
c(y).
De modo análogo, as funções de demanda condicionais pelosinsumos de produção são notadas por
xc1 (y) e xc2 (y)
ou ainda, simplesmente,
x1(y) e x2(y)
Caminho de expansão e curva de custo
x2
x1
y = y
bx2(y)
x1(y)
y = 2y
bx2(2y)
x1(2y)
b
Caminho de expansão
yCusto
ω1x1(y)+ω2x2(y)
y
b
ω1x1(2y)+ω2x2(2y)
2y
b
b Curva de custo
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Custos unitários
Custo Médio (CM )
CM =CTy
Custo Variável Médio (CVM)
CVM =CVy
Custo Fixo Médio (CFM )
CFM =CFy
Custo Marginal (CMg)
CMg =∂CT∂y
=∂CV∂y
A geometria dos custos: inclinações
y
CT
c(y)
y
CF(y)
CV(y)CMg(y)
CM(y)
CVM(y)
As curvas de custo marginal e médio
y
CT
c(y)
b
y0 y1y
CVM,CMg
y0 y1
CM(y) CMg(y)
As curvas de custo marginal e variável médio
y
CT
c(y)
b
y0 y2y
CVM,CMg
y0 y2
CVM(y)
CMg(y)
As curvas de custo unitário
y
Custosunitários
CMg(y)CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
Relações entre custos médios e custo marginal
Custo médio e custo marginal
Inclinação da curva de custo médio:
dCM(y)dy
=d CT(y)
y
dy=
yCMg −CTy2
=CMg(y)−CM(y)
y
Custo variável médio e custo marginal
Inclinação da curva de custo variável médio:
dCVM(y)dy
=d CV(y)
y
dy=
yCMg −CVy2
=CMg(y)−CVM(y)
y.
Valor do custo variável médio quando produção é nula:
limy→0
CVM = limy→0
CV(y)y
= limy→0
CV(y)−CV(0)y −0 = CMg
Geometria dos custos:áreas
y
Custosunitários
CMg(y)CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CT(y)
Geometria dos custos:áreas
y
Custosunitários
CMg(y)CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CV(y)
Geometria dos custos:áreas
y
Custosunitários
CMg(y)CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CV(y)
Geometria dos custos:áreas
y
Custosunitários
CMg(y)CM(y)
CVM(y)
CFM(y)
y
CV(y)
Propriedades da função de custo
1 A função de custo é não decrescente em relação aoproduto:
y∗ > y ′⇒ c(w1,w2,y∗) ≥ c(w1,w2,y
′)
2 A função de custo é não crescente em relação aos preçosdos insumos:
w∗1 ≥ w ′1 e w∗2 ≥ w ′2⇒ c(w∗1,w∗2,y) ≥ c(w ′1,w
′2,y)
3 A função de custo é côncava em relação aos preços dosinsumos.
4 Lema de Shephard:
∂c(w1,w2,y)∂wi
= xi (w1,w2,y), i = 1,2
Sumário
1 Conceitos básicos
2 A função de custoO caso de um único fator variávelCustos com um mais de um fator variável
3 Medidas de custo unitário
4 Curto e longo prazos
Curto e longo prazos
Curto prazo
• Um ou mais fatores são fixos e, portanto, parte do custo éfixa.
• Custo total e custo variável são diferentes, mesmoocorrendo com os custos médio e variável médio.
Longo prazo
• Não há fatores fixos: todos os custos são variáveis.
• Custo total e custo variável são iguais, mesmo ocorrendocom os custos médio e variável médio.
Economias de escala
Diz-se que uma função decusto de longo prazoapresenta economias deescala caso o custo médioseja decrescente em relaçãoà produção.
y
Custosunitários
CMg(y)
Economiasde escala
Desecono-mias deescala
CM(y)
Elasticidade produto do custo ǫc ,y
Trata-se de uma medida pontual para economias de escaladefinida por
ǫc ,y =dc(y)dy
yc(y)
=CMg(y)CM(y)
.
É possível mostrar que
ǫc ,y =1
PMg1PM1
+ PMg2PM2
Portanto, economias de escala e deseconomias de escalaocorrem quando há, respectivamente, rendimentos crescentesde escala e rendimentos decrescentes de escala.
As curvas de custo de longo e de curto prazos
y
Custos
cℓ(y)
y0
cc(y ,x2(y0))
y1
cc(y ,x2(y1))
y2
cc(y ,x2(y2))
y
CustosMéd
ios
y2y1
CM ℓ
CMgℓ
CMc CMgc
y0