Minicurso Matlab Encit 2010

Uma Breve Introducao ao

Matlabr

Fran Sergio [email protected]

Nucleo de Modelagem, Simulacao, Controle e Otimizacao de ProcessosFaculdade de Engenharia Qumica

Universidade Federal de Uberlandia, Brasil

13th Brazilian Congress of Thermal Sciences and EngineeringFaculdade de Engenharia Mecanica

Universidade Federal de Uberlandia, Brasil

6 a 8 de Dezembro de 2010

F. S. Lobato Encit 2010 1/73

Objetivos Gerais

Apresentar uma breve introducao ao software MatLabr:

divulgar os comandos basicos;ilustrar aplicacoes em problemas classicos de engenharia ematematica usando os pacotes;entender com o software pode ser usado para o desenvolvimento desubrotinas para aplicacoes gerais;compreender as vantagens e desvantagens do software;apresentar estudos de caso.


O que e o MatLabr?

The MathWorks - http//www.mathworks.com;

Fundada em 1984 por Jack Little e Cleve Moler, a MathWorksdesenvolve software para engenheiros e cientstas (2200 pessoas em15 pases, com sede em Massachusetts, U.S.A).

O MatLabr (Matrix Laboratory) e um sistema interativo de linguagem deprogramacao para computacao numerica e visualizacao para as areastecnicas e cientficas;

Seu elemento basico de dados e uma matriz (operacoes vetoriais ematriciais);

O MatLabr permite a solucao de muitos problemas numericos em uma

fracao do tempo que seria necessario para escrever um programa em uma

linguagem como Fortran, Pascal ou C;

Matematica (simbolica) e otimizacao, estatstica e analise dedados, projeto de sistemas de controle, processamento de sinais eimagens, financas, etc.Aeroespacial, automotiva, bioqumica, farmaceutica, eletronica esemi-condutores, producao de energia, automacao industrial, etc.

Pode trabalhar em conjunto com outras linguagens de programacao.

Ultima versao: MatLabr Release 2010b (Setembro de 2010).


Vantagens e Desvantagens do MatLabr

Vantagens:

facilidade de uso;independencia de plataforma (tem suporte em diferentes sistemascomputacionais - Windows, Linux, versoes de Unix e Macintosh);funcoes pre-definidas (conta com uma grande biblioteca de funcoespre-definidas);diferente da maioria das linguagens de computador, o MatLabr

apresenta muitos comandos para desenhos e imagens, constituindouma ferramenta interessante para a visualizacao de dados;interface grafica com o usuario (permite uma interacaousuario/programa mais amigavel, facilitiando desta forma odesenvolvimento de programas mais sofisticados).

Desvantagens:

como e uma linguagem interpretada, por isso pode ser mais lentoque linguagens compiladas.outra desvantagem e o custo (uma copia completa e cerca de cincoa dez vezes mais cara que um compilador convencional C ouFortran).


O Primeiro Contato

Figura 1: Janela de apresentacao do MatLabr.


Help!

Figura 2: Janela de apresentacao do help no MatLabr.


Comandos Gerais Basicos no MatLabr

Tabela 1: Comandos basicos.Funcao Descricao

cd Muda o diretorio corrente

clc Limpa a janela de comandos

clear Apaga todas as variaveis da memoria

delete Apaga arquivos

demo Executa programas de demonstracao do MatLabr

dir Lista arquivos no diretorio corrente

help Lista os topicos de ajuda disponveis

helpwin Abre janela a navegacao em topicos de ajuda

lookfor Procura arquivos .m por palavra chave

quit Encerra a sessao do MatLabr

whos Mostra informacoes sobre as variaveis armazenadas na memoria


Constantes e Variaveis

Uma constante numerica e formada por uma sequencia de dgitos que

pode estar ou nao precedida de um sinal positivo ou negativo e pode

conter um ponto decimal. Esta sequencia pode terminar ou nao por uma

das letras e, E, d ou D.

2, 2.6e-1, 3.090D+1;

Em modo interativo, o MatLabr e um interpretador de expressoes

=.

x=3+85OBS : Se o nome da variavel e o sinal de atribuicao forem omitidos entao

o resultado sera dado na variavel default ans.

3+85OBS : Regras a respeito do nome de variaveis

deve conter ate 19 caracteres,deve comecar com letra seguida de letras, numeros ou (underline),o tamanho da letra e diferenciador (raiz, Raiz e RAIZ sao variaveisdiferentes),se voce nao deseja mostrar o resultado da operacao na tela use ; nofinal da linha de comando.


Arranjos e Matrizes

O tratamento de numeros complexos e feito da mesma forma que nos

numeros reais.

a=2+3i ou b=1-3j

a=[1 2 3] ou a=[1,2,3] (a(1)=1 ...)

b=::

a=1:1:5 ou b=10:-2:0 (e se o for negligenciado?)a(1:3)?, x=length(a)?

Usando o comando linspace

a=linspace(,,)c=linspace(1,10,10)se o for omitido 100 (default)

v=[1;2;3;4;5] ou v=[1 2 3 4 5], v=v

a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] ou a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

se a(2,2)=0?

b=a([1 3],2)?

b=a(3:-1:1,1:3)?, b=a(3:-1:1,:)?

c=[a b], a e b de mesma dimensao!

[t=size(a) ou [t,w]=size(a)


Arranjos e Matrizes

O MatLaBr tem funcoes que se aplicam individualmente a cada colunada matriz produzindo um vetor linha com elementos correspondentes aoresultado de cada coluna.

Tabela 2: Algumas funcoes praticas para o tratamento de matrizes.

Funcao Descricao

sum soma dos elementos

prod produto dos elementos

mean media aritmetica

std desvio padrao

max maior elemento

min menor elemento

sort ordenacao em ordem crescente

a=magic(4) (n3)b=sum(a), b=sum(a(:,2))


Arranjos e Matrizes

Tabela 3: Algumas funcoes praticas para o tratamento de matrizes.

Funcao Descricao

se o argumento for um vetor, cria uma matriz diagonal com os

diag elementos do vetor; se o argumento for uma matriz, produz

um vetor coluna contendo os elementos da diagonal

tril extrai a parte triangular inferior de uma matriz

triu extrai a parte triangular superior de uma matriz

a=magic(4) (n3), b=diag(a), c=diag(b)b=tril(a), b=triu(a)

a=zeros(n), a=ones(n), a=eye(n), a=rand(n) e a=randn(n) (nm)


Caracteres e Variaveis Especiais

Uma variavel pode conter uma cadeia de caracteres

a=Flamengo, b=Campeao Mundial de 1981, c=[a , b],c=a(1:3)

Tabela 4: Variaveis especiais.

Variavel Descricao

ans nome de variavel default

pi 3,14159 ...menor numero tal que quando adicionado a 1

eps cria um numero de ponto flutuante maior que 1

eps 21052=2,22041016

inf infinito (1/0)

NaN nao e um numero (Not a Number) - 0/0

i e j i=j=1

realmin menor numero de ponto flutuante (2,225110308)realmax maior numero de ponto flutuante (2,225110308)


Expressoes: aritmeticas, logicas e literais

Tabela 5: Operacoes aritmeticas.

operacao expressao operador exemplo

adicao a + b + 1 + 2

subtracao a - b - 1 - 2

multiplicacao a b 2 3divisao a b 3 2potenciacao ab 2 3

Tabela 6: Operacoes com vetores (a=[a1 ... an], b=[b1 ... bn] e c=escalar).

operacao expressao resultado

adicao escalar a + c [a1 + c a2 + c ... an + c]

adicao vetorial a + b [a1 + b1 a2 + b2 ... an + bn]

multiplicacao escalar a c [a1 c a2 c ... an c]multiplicacao vetorial a . b [a1 b1 a2 b2 ... an bn]divisao a direita a ./ b [a1/b1 a2/b2 ... an/bn]

divisao a esquerda a .\ b [a1 \ b1 a2 \ b2 ... an \ bn]potenciacao a . c [ac1 ac2 ... acn]

a . b [ab11 ab22 ... a

bnn ]



Tabela 7: Funcoes Trigonometricas.

funcao descricao funcao descricao

acos arco co-seno cos co-seno

acosh arco co-seno hiperbolico cosh co-seno hiperbolico

acot arco co-tangente cot co-tangente

acoth arco co-tangente hiperbolica coth co-tangente hiperbolica

acsc arco co-secante csc co-secante

acsch arco co-secante hiperbolica csch co-secante hiperbolica

asec arco secante sec secante

asech arco secante hiperbolica sech secante hiperbolica

asin arco seno sin seno

asinh arco seno hiperbolico sinh seno hiperbolico

atan arco tangente tan tangente

atanh arco tangente hiperbolica tanh tangente hiperbolica



Tabela 8: Funcoes Exponenciais, Complexas, etc.

funcao descricao funcao descricao

exp exponencial log logaritmo decimal

log logaritmo natural sqrt raiz quadrada

abs valor absoluto imag parte imaginaria do complexo

angle angulo de fase real parte real do complexo

conj complexo conjugado gcd maximo divisor comum

lcm mnimo multiplo comum rem resto de divisao

round arredonda sign sinal



Tabela 9: Expressoes Logicas (1 significa verdadeiro e 0 significa falso).

operador relacional descricao

> maior que

>= maior ou igual a

< menor que

Comandos de entrada e sada

pi?

O comando format e usado para modifcar o formato numerico.

Tabela 11: Comando format.comando resultado

format short 3.1415 4 dgitos decimais

format bank 3.14 2 dgitos decimais

format long 3.14159265358979 14 dgitos decimais

format short e 3.1416+00 4 dgitos decimais e expoente

format long e 3.141592653589793+00 16 dgitos e expoente

format hex 400921fb54442d18 hexadecimal

format rat 355/113 aproximacao racional

format compact suprime linhas em branco

format loose mantem linhas em branco

format atribui o padrao short e loose



O comando disp() e usado para exibir sem

mostrar o seu nome ou para exibir uma cadeia de caracteresdisp(numeros aleatorios entre 0 e 1) disp(rand(2,6))

O comando fprintf(,A) exibe na tela os valores da variavel Acom a forma especificada na cadeia de caracteres a qual deveconter caracteres alfa-numericos e/ou especificacoes de conversao.

Tabela 12: Especificacoes de conversao para o formato fprintf.

formato especificacao

%ni usado para valores inteiros, sendo n o tamanho do campo de exibicao

%n.d f notacao na forma [-]mmm.ddd, sendo n o tamanho do campo e d o

numero de dgitos decimais

%n.de notacao na forma [-]m.dddxx, sendo n o tamanho do campo e d onumero de dgitos decimais

%n.dg equivalente a %n.de ou %n.d f, dependendo de qual formato for mais

curto, alem disso os zeros insignificantes nao sao exibidos

%ns exibe caracteres em um campo de tamanho n

fprintf(a precisao deste computador e %12.5e \n,eps/2)



O comando =input() exibe e espera que

um valor seja atribudo a

n=input(Entre com o tamanho do vetor)

Estruturas de erro: error() - causa a interrupcao daexecucao de um programa e exibe

O comando save e usado para gravar as variaveis do espaco de trabalho

em um arquivo em disco. Sua sintaxe e save

, onde e o nome do arquivo a

ser gravado (.mat (default) ou .txt), e a variavel que

contem as informacoes a serem gravadas e as podem ser:

-ascii: define que o arquivo sera na forma ASCII e seu nome naocontera a extensao .mat (arquivos binarios)-double: define que os numeros serao gravados com 16 dgitos aoinves de 8-tabs: define que os dados estarao tabulados

O comando load e usado para recuperar os dados gravados em umarquivo. Sua sintaxe e load .


Arquivos .m

Alem de poder entrar com cada comando de uma vez, o MatLabr

permite, como qualquer linguagem de programacao que seja executada

uma sequencia de comandos escrita em um arquivo de extensao .m

1- clc % Limpa a tela de comandos2- close all % Fecha todas as janelas3- clear all % Limpa todas as variavies4- fprintf(Programa que calcula a soma de dois numeros informados

pelo usuario \n)5- a=input(entre com o valor do coeficiente a: )6- b=input(entre com o valor do coeficiente b: )7- fprintf(Calcular a soma dos numeros a e b: )8- a+b

OBS: O smbolo % e usado para documentar (comentar) oprograma desenvolvido


Subprograma function

Um outro tipo de arquivo de roteiro e usado para o proprio usuario criarnovas funcoes para o MatLabr. Alem de aumentar a flexibilidade, osarquivos de funcao tem o mesmo status que as outras funcoes doMatLabr.

O nome da funcao tem que ser igual ao nome do arquivo .m aonde elaesta definida, mas sem a extensao .m. Ao contrario do programa no qualas variaveis sao globais, em uma function, as variaveis sao locais, ouseja, elas nao tem acesso e nem podem criar variaveis no espaco detrabalho.

Exemplo:

1- function s=soma(a,b)2- fprintf(A soma dos dois numeros e: )3- s=a+b

OBS: clc?, close all? e clear all?


Programa principal + subprograma function

Podemos escrever um programa como combinacao dos anteriores:

programa principal.m

1- clc2- close all3- clear all4- fprintf(Programa que calcula a soma de dois numeros fornecidos

pelo usuario \n)5- a=input(Entre com o primeiro numero: )6- b=input(Entre com o segundo numero: )7- c=soma2n(a,b) % Subprograma soma2n.m8- fprintf(A soma dos numeros e:

subprograma soma2n.m

1- function y=soma2n(a,b)2- y=a+b;


Controle de Fluxo

Os comandos que controlam o fluxo especificam a ordem em que acomputacao e feita. No MatLabr estes comandos sao semelhantes aos usadosna linguagem C, mas com uma estrutura diferente (mais simples).

Laco for:

1- for x = ::2- 3- end

Programa que gera a matriz A(i,j)=i+j

1- clc; close all; clear all;2- n=input(Entre com a dimensao da matriz: );3- A=zeros(n,n); % Atribui zero a cada elemento da matriz4- for i=1:n % Laco de repeticao para a linha5- for j=1:n % Laco de repeticao para a coluna6- A(i,j)=i+j; % Lei de recorrencia7- end % fim for para i8- end % fim for para j9- A % imprimindo a matriz A


Controle de Fluxo

Ao contrario do Laco for, que executa um grupo de comandos um numero fixode vezes, o laco while executa um grupo de comandos um numero indefinidode vezes. O laco while e executado enquanto a condicao forverdadeira:

Laco while:

1- while 2- 3- end

Programa que identifica o menor numero que somado a um o modifica

1- clc; close all; clear all;2- x=1; % parametro informado pelo usuario3- while 1+x > 1 % expressao a ser verificada4- x = x/2; % comando5- end % fim do laco while6- x % imprimindo o numero x


Controle de Fluxo

Em diversas situacoes, as sequencias de comandos tem de ser executadascondicionalmente, com base em um teste relacional. Essa logica eimplementada por meio de uma das diversas formas da estrutura if-else-end.A mais simples e:

Laco if-else-end:

1- if 2- 3- else4- 5- end

Programa que gera a matriz identidade

1- clc; close all; clear all;2- n=input(Entre com a dimensao da matriz: )3- A=zeros(n,n);4- for i=1:n; for j=1:n; if i==j5- A(i,j)=1;6- else7- A(i,j)=0;8- end; end; end;9- A


Controle de Fluxo

Essa estrutura funciona como uma chave seletora, escolhendo a expressaocorreta para executar os comandos (chavear condicionalmente expressoes). Oformato geral do comando switch e:

Laco switch:

1- switch 2- case ...3- 4- case ...5- 6- otherwise7- 8- end

Programa que identifica um determinado metodo

1- clc; close all; clear all;2- method = Bilinear;3- switch lower(method)4- case linear,bilinear disp(Method is linear)5- case cubic disp(Method is cubic)6- otherwise disp(Unknown method.) end


Graficos no MatLabr

Graficos sao ferramentas poderosas quando se deseja interpretarvisualmente os resultados.O comando mais simples para desenhar um grafico no MatLabr e oplot(,,), onde e ovetor que contem o eixo das abscissas, e o eixo dasordenadas, e a cor dos pontos plotados e e o estilo delinha.

Tabela 13: Cor e estilo em graficos no MatLabr.

smbolo cor smbolo estilo de linha

y amarela pontom lilas crculoc turquesa x marca x

r vermelho + mais

g verde asteriscob azul - linha solida

w branco : linha pontilhada

k preto - linha de traco e ponto linha tracejada


Graficos no MatLabr

Tabela 14: Caractersticas gerais em graficos no MatLabr.

comando descricao

xlabel() escreve abaixo do eixo das abscissas

ylabel() escreve ao lado do eixo das ordenadas

title() escreve no alto da figura

text(xi ,yi ,) escreve na posicao (xi ,yi )

gtext() escreve na posicao indicada pelo mouse

Exemplo pratico:

1- x=linspace(0,,50); % abscissa2- y=sin(x); % ordenada3- plot(x,y,b-); % grafico de x contra y4- xlabel(x ); ylabel(y ) % labels5- title(funcao seno); % ttulo do grafico6- text(1,1,sin(x)); % texto no grafico7- gtext(sen(x)); % texto no grafico8- grid on; % malha o ambiente grafico


Graficos no MatLabr

Alternativamente pode-se usar o comando fplot para construir o grafico deuma funcao f

a- fplot(sin(x)x,[-20 20]); grid on;b- fplot(sin(x)x,[-18 18 -10 10]); grid on;

(a) restricao em x (b) restricao em x e em y

Figura 3: Comando fplot.


Graficos no MatLabr

Tabela 15: Comandos para tracar graficos.

Funcao Descricao

plot Grafico 2D em escala linear para ambos eixos

loglog Grafico 2D em escala logartmica para ambos eixos

semilogx Grafico 2D em escala logartmica para o eixo x e linear para y

semilogy Grafico 2D em escala linear para o eixo x e logartmica para y

plotyy Grafico 2D com eixos y diferentes a direita e a esquerda

comet Traca trajetoria animada 2D dos pontos (x,y)

bar Grafico de barras

hist Histograma

polar Grafico usando coordenadas polares com angulo em radianos

stairs Grafico em forma escada

stem Grafico 2D com sequencia discreta de y

plot3 Traca curvas em 3D

comet3 Traca trajetoria animada 3D dos pontos (x,y,z)

mesh Traca uma malha colorida em 3D, meshc (+ contorno)

surf Traca uma superfcie colorida em 3D, surfc (+ contorno)


Graficos no MatLabr

Tabela 16: Comandos para editar e modificar graficos.

Funcao Descricao

axis Controla a escala e a visualizacao dos eixos

colormap Especifica o mapa de cores utilizado

grid Adiciona ou remove linhas de grelha do grafico corrente

hold Mantem o grafico corrente (futuros graficos sao sobrepostos a este)

legend Adiciona e define uma legenda no grafico corrente

subplot Divide uma figura em varias sub-figuras e seleciona uma delas

text Coloca um texto no grafico corrente

title Ttulo do grafico corrente

xlabel Ttulo do eixo x corrente

ylabel Ttulo do eixo y corrente


Graficos no MatLabr

Comandos hold on/off e legend

1- clc; close all; clear all;

2- x=0:0.1:2; % gera um vetor de 0 a 2

3- y=sin(x); % calcula o vetor das amplitudes

4- plot(x,y); % plota o grafico

5- xlabel(valores de x); % adiciona legenda no eixo x

6- ylabel(amplitude); % adiciona legenda no eixo y

7- grid on; % coloca grid no grafico

8- y2=2sin(x); % gera um outro vetor de amplitudes

9- hold on; % segura o grafico anterior para plotar junto com o novo grafico

10- plot(x,y2,r+:); % plota o novo grafico

11- title(Grafico da Funcao seno); % insere ttulo no grafico

12- legend(Amplitude = 1,Amplitude = 2); % insere legenda no grafico


Graficos no MatLabr

Comandos hold on/off e legend

Figura 4: Uso de hold on/off e legend.


Graficos no MatLabr

Comando subplot: gera varios eixos em uma mesma janela.

Sintaxe: subplot(m,n,p), onde m e numero de eixos na vertical (numero

de linhas), n e o numero de eixos na horizontal (numero de colunas) e p e

o ndice do eixo corrente.

1- clc; close all; clear all;2- x=linspace(0,pi);3- y1=sin(x);4- y2=cos(x);5- subplot(1,2,1) % Identifica a posicao do grafico 16- plot(x,y1,bo);7- xlabel(x)8- ylabel(sin(x))9- subplot(1,2,2) % Identifica a posicao do grafico 2

10- plot(x,y2,ro);11- xlabel(x)12- ylabel(cos(x))


Graficos no MatLabr

Comando subplot: gera varios eixos em uma mesma janela.

Figura 5: Uso do comando subplot.


Graficos no MatLabr

Comandos bar, bar3, stairs e barh.


2- x=-2.9:0.2:2.9; y=exp(-x2);

3- subplot(2,2,1)

4- bar(x,y)

5- title(Grafico de barras de uma curva em forma de sino);

6- subplot(2,2,2)

7- bar3(x,y)

8- title(Grafico de barras 3-D de uma curva em forma de sino);

9- subplot(2,2,3)

10- stairs(x,y)

11- title(Grafico em escada de uma curva em forma de sino);

12- subplot(2,2,4)

13- barh(x,y)

14- title(Grafico de barras horizontal);


Graficos no MatLabr

Comandos bar, bar3, stairs e barh.

Figura 6: Uso dos comandos bar, bar3, stairs e barh.


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: plot3d


2- x=-4:0.1:4;

3- y=-4:0.1:4;

3- plot3(cos(x),sin(y),(x+y))

3- xlabel(eixo x)

3- ylabel(eixo y)

3- zlabel(eixo z)


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: plot3d

Figura 7: Uso do comando plot3d.


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: contour3


2- [X,Y] = meshgrid([-2:.25:2]);

3- Z = X.exp(-X.2-Y.2);4- contour3(X,Y,Z,30)

5- surface(X,Y,Z,EdgeColor,[.8 .8 .8],FaceColor,none)

6- colormap cool


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: contour3

Figura 8: Uso do comando contour3.


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: mesh.


2- x=-:0.5:;

3- y=-:0.5:;

4- [Mx,My]=meshgrid(x,y);

5- Mz=cos(Mx).sin(My);6- mesh(Mx,My,Mz);


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: mesh

Figura 9: Uso do comando mesh.


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: meshc.


2- [X,Y] = meshgrid(-3:.125:3);

2- Z = peaks(X,Y);

2- meshc(X,Y,Z);

2- axis([-3 3 -3 3 -10 5])


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: meshc

Figura 10: Uso do comando meshc.


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: surf


2- x=-:0.5:;

3- y=-:0.5:;

4- [Mx,My]=meshgrid(x,y);

5- Mz=cos(Mx).sin(My);6- mesh(Mx,My,Mz);

7- surf(Mx,My,Mz);


Graficos no MatLabr

Graficos 3D: surf

Figura 11: Uso do comando surf.


Equacoes Lineares no MatLabr

Comando solve: resolve simbolicamente ou numericamente uma ou maisequacoes algebricas lineares.

Sintaxe: solve(eq,var,par), onde eq e a equacao (sistema de equacoes),

var e o vetor de variaveis e par e o conjunto de parametros.

1- solve(ax2 + bx + c) [1/2/a(-b+(b2-4ac)(1/2)),1/2/a(-b-(b2-4ac)(1/2))]

2- solve(ax2 + bx + c,b) [-(ax2+c)/x]3- S=solve(x + y = 1,x - 11y = 5) [S.y = -1/3, S.x = 4/3]

Comando inv: resolve numericamente um sistema de equacoes algebricaslineares (Ax=b x=b/A=inv(A)b)

Sintaxe inv(A) (dada a matriz A quadrada)

1- x=inv(A)b2- A=[1 1 1;3 1 0;1 -2 -1]3- b=[1;3;0]4- x=inv(A)b=[4/5 -2/5 3/5]


Equacoes Nao-Lineares no MatLabr

Comando fsolve: resolve simbolicamente ou numericamente uma ou maisequacoes algebricas nao-lineares.

Sintaxe: [sol,fval,exitflag]=fsolve(eq,x,options), onde sol e a solucao dosistema de equacoes eq, fval e o numero de avaliacoes da funcao, exitflage o sinalizador (-4 ... 4; 0 - numero maximo de iteracoes alcancadas; 1 -converge; etc), x e o vetor de variaveis e options e o conjunto deparametros (iterations; Number of function evaluations, algorithm;etc).

Resolva o sistema: {2x1-x2-exp(x1);-x1+2x2-exp(x2)}1- x0 = [-5; -5]; % Estimativa inicial2- options=optimset(Display,iter); % Opcoes para imprimir a

sada3- [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) % Chama o solver4- function F = myfun(x) % Function que contem o sistema de

equacoes5- F = [2x(1)-x(2)-exp(-x(1)); -x(1)+2x(2)-exp(-x(2))];6- x=[0.5671 0.5671] e fval=[-0.4059106 -0.4059106]


Interpolacao Numerica no MatLabr

Comando interp1: interpolacao de pontos 1D usando diferentes metodos.

Sintaxe: yi = interp1(x,y,xi,method), onde x e y sao os pontostabulados, xi e o conjunto de abscissas onde o polinomio interpolador yisera avaliado e method e o metodo utilizado (linear, spline, etc).

Exemplo:

1- x = 0:10; % Abscissas2- y = sin(x); % Ordenadas3- xi = 0:.25:10; % Pontos onde a aproximacao sera avaliada4- yi = interp1(x,y,xi); % Interpolacao5- plot(x,y,o,xi,yi,b+) % Plotando os resultados

Comando spline: interpolacao de pontos 1D usando polinomios cubicos porelementos.

Sintaxe: yi = spline(x,y,xi), onde x e y sao os pontos tabulados e xi e oconjunto de abscissas onde o polinomio interpolador yi sera avaliado.

Exemplo:

1- idem ao anterior ... substitui-se interp1(x,y,xi) porspline(x,y,xi).


Integracao Numerica no MatLabr

Comando trapz: integracao numerica usando o Metodo dos Trapezios.

Sintaxe: I = trapz(x,f(x)), onde x e f(x) sao os pontos tabulados.

Exemplo:

0

sin(x)dx (solucao analtica - 2)

1- x = 0:/100:; % Abscissas2- y = sin(x); % Ordenadas3- I = trapz(x,y); % Integracao

Comando quad: integracao numerica usando o Metodo da Quadratura deSimpson.

Sintaxe: I = quad(fun,a,b,tol), onde fun e a funcao a ser integrada, a e bsao os limites da integracao e tol e a tolerancia usada no procedimentonumerico.

Exemplo:

20

1

x3 2x 5 dx

1- F = @(x)1./(x3 2 x 5); % Funcao a ser integrada2- Q = quad(F,0,2); % Resultado da integracao


Otimizacao no MatLabr

Comando fminsearch:

Sintaxe: [x,fval,exitflag]=fminsearch(fun,x0,options), onde x e a solucaodo problema, fval e o numero de avaliacoes da funcao objetivo fun,exitflag e o sinalizador (1 - convergiu para a solucao; 0 - o numeromaximo de avaliacoes da funcao objetivo foi alcancada e -1 - tente outracondicao iniacial x0) e options e o conjunto de parametros (iterations;Number of function evaluations, algorithm; etc).

Minimize f (x) = 100(x(2) x(1)2)2 + (1 x(1))2

1- x0 = [-1.2, 1]; % Estimativa inicial2- options=optimset(TolX,1e-8); % Opcoes para a tolerancia3- [x,fval,exitflag] = fminsearch(banana,x0,options) % Chama o

solver4- banana = @(x)100(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1))2; % Function a ser

otimizada5- Solucao x=[1 1] e fval=[8.1777106]


Equacoes Diferenciais no MatLabr

Comando ode: pacote que implementa varios metodos para a resolucao desistemas de equacoes diferenciais de valor inicial.

Sintaxe: [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options), onde T e o vetor quecontem a variavel independente, Y e a matriz que contem as variaveisdependentes, solver discrimina o metodo empregado na resolucao doproblema, tspan e o vetor que contem o domnio da variavelindependente, y0 e o vetor que contem as condicoes iniciais para cadavariavel dependente e options contem as opcoes que podem ser utilizadas.

Exemplo:

y 1 = y2y3 y1(0) = 0 (1)

y 2 = y1y3 y2(0) = 1 (2)y 3 = 0.51y1y2 y3(0) = 1 (3)

1- options = odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,[1e-4 1e-4 1e-5]);1- [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); % Solver2- plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-.,T,Y(:,3),.)3- function dy = rigid(t,y)4- dy=zeros(3,1);5- dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);



Tabela 17: Integradores de equacoes diferenciais ordinarias.

Funcao Descricao

ode45 Runge-Kutta explcito de ordem 4/5 (Dormand-Prince)

ode23 Runge-Kutta explcito de ordem 2/3 (Bogacki-Shampine)

ode113 Preditor-corretor de passo variavel (Adams-Bashforth-Moulton)

ode15s BDF de passo quase constante para EDOs rgidas

(Klopfenstein-Shampine)

ode23t Implementacao da regra trapezoidal

ode23s Implementacao de um par Rosenbrock (2,3) modificado

para EDOs rgidas

ode23tb Runge-Kutta implcito trapezoidal/BDF

(Bank-Rose-Hosea-Shampine)



Comando odeset: comando que altera as opcoes default de ode.

Sintaxe: options = odeset(name1,value1,name2,value2,...)

Tabela 18: Algumas propriedades do comando odeset.

Propriedade Descricao

RelTol Tolerancia relativa (1E-3)

AbsTol Tolerancia absoluta (1E-6)

InitialStep Tamanho do passo inicial

MaxStep Tamanho maximo do passo de integracao

Jacobian Informacao a respeito da matriz Jacobiana

MaxOrder Maxima ordem nos Metodos BDF

options=odeset(RelTol,1E-8,AbsTol,1E-6,...).


Algumas Funcoes Uteis do MatLabr

Zeros de polinomios

roots, calcular p(x) = 5/8x5 5x4 3x3 + 2x 10Sintaxe: roots([5/8 -5 -3 0 2 -10])

Determinante de uma matriz

det, A=[1 2 4 5 6;5 1 1 3 5;7 8 9 9 0;2 2 4 0 9;1 1 1 2 3]

Sintaxe: det(A)

Inversa de uma matriz

inv, A=[1 2 4 5 6;5 1 1 3 5;7 8 9 9 0;2 2 4 0 9;1 1 1 2 3]

Sintaxe: inv(A)

Autovalores e Autovetores

eig, A=[1 -1;-4 1]

Sintaxe: [V,D]=eig(A) (D - autovalores e V - auto-vetores; AV =VD)

Posto (Rank) de uma matriz

rank, A=[1 2 8; 2 4 16; 0 1 3]

Sintaxe: rank(A)



Demonstracao de recursos do MatLabr

Sintaxe: demo

Tamanho de um vetor

Sintaxe: length(A); A=[2 3 4 5 6]

Identifica ndices de elementos nao nulos

Sintaxe: find(A); A=[2 3 0;6 0 0;0 9 9]

Verifica se os elementos sao numeros reais

Sintaxe: isreal(A); A=2i

Arredonda para o inteiro mais proximo

Sintaxe: round(A); A=0.25

Interrompe a execucao dos lacos for e while

Sintaxe: break;

Interrompe a execucao do programa enquanto o usuario nao confirmar

Sintaxe: pause;

Interrompe a execucao do programa por n segundos

Sintaxe: pause(n);



Mostra mensagem e aborta a execucao do programa

Sintaxe: error()

Retorna para o ponto que a funcao foi chamada

Sintaxe: return

Mostra a data

Sintaxe: date

Executa uma funcao no MatLabr definida por uma string

Sintaxe: eval(x+1) (o valor de x deve ser definido anteriormente)

Converte um numero numa expressao alfanumerica (string)

Sintaxe: num2str(2)

Transformada rapida de Fourier

Sintaxe: fft(x)

Transformada inversa de Fourier

Sintaxe: ifft(x)

Calcula a derivada de um polinomio

Sintaxe: polyder([2 3 4]) %(2x2 + 3x + 4)


Medida de tempo e operacoes

O MatLabr prove dois modos de analisar o desempenho de um dado metodo:o tempo de execucao e o numero de operacoes aritmeticas.

Comando tic-toc: e possvel saber o tempo gasto para a execucao de

um grupo de comandos. Sua sintaxe e:

1- tic2- 3- =toc

OBS: se o computador estiver executando varias tarefas simultaneamente,esse comando pode nao ser uma medida muito confiavel.

O comando cputime fornece o tempo de CPU. Sua sintaxe e:

1- tempo1=cputime2- 3- cputime-tempo1

O comando flops fornece o numero acumulado de operacoes de pontoflutuante, bastando executar o comando flops(0) para zerar o contador.E importante observar que esse comando nao conta exatamente todas asoperacoes mas sim as que o MatLabr considera mais importantes (matrizde ordem n n3 n2, mas e contado apenas n3 operacoes).


Metodo de Newton

Deseja-se obter o zero da funcao f (x) = 0.

Figura 12: Concepcao conceitual do Metodo de Newton.


Metodo de Newton

Seja a funcao f (x) = 0:

Fundamentado no truncamento da Serie de Taylor:

xn+1 = xn f (xn)

f (xn)(4)

Este metodo e iterativo, isto e, a partir de uma estimativa inicial(xn, n = 0) fornecida pelo usuario, novos valores para a raz(xn, n = 1, 2, ...) sao obtidos atraves da relacao de recorrencia acima;

Exige a avaliacao da derivada da funcao f (x):

Analiticamente (poucos casos);Numericamente (diferencas finitas).

Para sistemas de equacoes faz-se necessario a avaliacao da matrizJacobiana - J (matriz de derivadas primeiras).

xn+1 = xn f (xn)

J (xn)(5)


Metodo de Gauss-Siedel

E um metodo iterativo para a resolucao do sistema linear Ax = b a partir deuma estimativa inicial xo . Para ilustrar, seja o sistema linear dado por: 5 1 22 6 3

2 1 7

x1x2x3

= 12

32

(6)Neste caso, o Metodo de Gauss-Siedel consiste em:

xk+11 = 1

5(1 + xk2 2xk3 ) (7)

xk+12 =1

6(2 xk+11 + 3xk3 ) (8)

xk+13 =1

7(32 2xk+11 xk+12 ) (9)

Com essa configuracao o processo iterativo e mais rapido com relacao ase todas as variaveis atualizadas fossem apenas utilizada na proximaiteracao (Metodo de Gauss-Jacobi).


Ajuste Polinomial

Este metodo consiste em passar um polinonio de grau n por m pontos, atravesda resolucao de um sistema de equacoes lineares; Seja o polinomio interpoladoryi = ao + a1xi + a2x

2i + ...+ anx

ni :

1 xo x2o x

3o xno

1 x1 x21 x

31 xn1

......

......

. . ....

1 xn x2n x

3n xnn

aoa1...

an

=

y expoy exp1

...y expn

(10)

A principal ideia desta tecnica e capturar a tendencia comportamentaldos pontos;

A reducao do grau do polinomio evita o fenomeno de Runge;

O polinomio ajustado so podera ser empregado para predizer ocomportamento do fenomeno dentro do domnio utilizado para obte-lo,isto e, nao e permitido extrapolacao.


Metodo de Euler

Objetivo: obter a solucao aproximada da equacao diferncial ordinaria deprimeira ordem:

dy (x)

dx= f (x , y) y(xo) = yo (11)

xf x xo (12)ME- e o metodo mais simples ja concebido para a resolucao de equacoesdiferenciais:

Fundamentado no truncamento da Serie de Taylor;

dy (x)

dx yi+1 yi

h= f (x , y) y(xo) = yo (13)

yi+1 = yi + hf (x , y) (14)

h xf xon

(15)

O ME e altamente dependente do numero de pontos (n) utilizados, n precisao aumento do custo computacional;OBS: cada metodo numerico tem uma qualidade inerente, isto e; naoadianta fazer com que n tenta a infinito para melhorar a qualidade dasolucao.


Metodo de Runge-Kutta


dy (x)

dx= f (x , y) y(xo) = yo (16)

xf x xo (17)

Fundamentado na seguinte funcao de recorrencia (n - ordem do metodo):

yi+1 = yi + h(xi , yi , h) = yi + h(c1k1 + c2k2 + ...+ cnkn) (18)

k1 = f (xi , yi ) (19)

k2 = f (xi + p2h, yi + a21hk1) (20)

k3 = f (xi + p3h, yi + a31hk1 + a32hk2) (21)

... (22)

kn = f (xi + pnh, yi + an1hk1 + ...+ ann1hkn1) (23)

Os parametros ci , pj e akl sao obtidos a partir da comparacao destaformula de recorrencia com o truncamento da Serie de Taylor.


Metodo de Runge-Kutta 4a Ordem


yi+1 = yi +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (24)

k1 = f (xi , yi ) (25)

k2 = f (xi +1

2h, yi +

1

2hk1) (26)

k3 = f (xi +1

2h, yi +

1

2hk2) (27)

k4 = f (xi + h, yi + hk3) (28)

A famlia de MRK e auto-inicializavel (sendo utilizados para inicializacaodos metodos implcitos);

A principal desvantagem destes metodos e o elevado numero deavaliacoes com relacao a outras abordagens.


Metodo da Maxima Descida - Steepest Descent

Deseja-se minimizar a funcao f (x). Na otimizacao classica, a formula derecorrencia utiliza no processo iterativo e:

xk+1 = xk+Sk (onde e o tamanho do passo no sentido da direcao debusca Sk).

Sk - derivada da funcao (a depender da quantidade de informacoes e daordem da derivada utilizada, define-se o metodo).

No Metodo da Maxima Descida, Sk e f (x)k .xk+1=xk+f (x)ksubstitui-se todas as variaveis de projeto (xk+1) na funcao original,isto implica que o problema original (multi-dimensional) etransformado em um problema uni-dimensional, cuja variavel e (f ()).

df

d= 0 = F (xk ,f (x)k) (29)


Metodo do Trapezio

O objetivo e determinar o valor da:

I (f ) =

ba

f (x) dx (30)

Figura 13: Concepcao conceitual do Metodo dos Trapezios.

Neste metodo, a integral e aproximada por:

I (f ) In (f ) =n

j=1

hj2

[f (xj1) + f (xj)] (31)

onde h nao necessariamente e variavel.F. S. Lobato Encit 2010 68/73

Metodo de Newton-Cotes

Nesta classe de metodos sao utilizados polinomios interpoladores paraaproximar a funcao a ser integrada. O polinomio interpolador utilizado define otipo de metodo.

2a ordem: Metodo de Simpson 1/3 (n - par)

I (f ) =h

3

(f0 + 4

n1j=1,3,5,...

fj + 2n2

j=2,4,6,...

fj + fn

)(32)

3a ordem: Metodo de Simpson 3/8 (n - mpar)

I (f ) =3h

8

(f0 + 3

n1j=1,4,7,...

(fi + fi+1) + 2n2

j=3,6,9,...

fj + fn

)(33)


Metodo das Diferencas Finitas

Nesta metodologia e utilizado a Serie de Taylor (truncada) para aobtencao de aproximacoes para derivadas.

u (X0 + X ) = u (X0) +du

dX

X0

X +d2u

dX 2

X0

(X )2

2!+

d3u

dX 3

X0

(X )3

3!+

(34)

u (X0 X ) = u (X0)du

dX

X0

X +d2u

dX 2

X0

(X )2

2! d

3u

dX 3

X0

(X )3

3!+

(35)

Somando as duas equacoes acima, obtemos a aproximacao para aderivada segunda:

d2u

dX 2=

u (X0 + X ) 2u (X0) + u (X0 X )(X )2

+ (X )2 (36)

Neste contexto, transforma-se EDP em ED ou em sistemas de equacoesalgebricas (lineares ou nao lineares) que podem ser resolvidas mediante aaplicacao de tecnicas apropriadas.


Consideracoes Finais

Sobre o mini-curso

E importante destacar que o objetivo desta breve introducao foiapresentar a linguagem de programacao MatLabr;

Neste contexto, nao foram abordadas funcoes especficas, como porexemplo, no tratamento de imagens e na apresentacao de uma das suasprincipais ferramentas, o Simulinkr, responsavel pela parte de controle;

Finalmente, cabe a todos nos buscar aprimoramento no software, demodo a extrair o maximo de suas potencialidades.


Agradecimentos

Agradeco a oportunidade oferecida por:

Enio Pedone Bandarra Filho

Su Jian UFRJ

Elie Luis Martnez Padilla

Francisco Jose de Souza

Odenir de Almeida

Oscar Saul Hernadez Mendoza

Ricardo Fortes de Miranda

Ricardo Hernandez Pereira

Solidonio Rodrigues de Carvalho


Referencias Bibliograficas

S. J. ChapmanProgramacao em Matlab Para Engenheiros.Editora Cengage Learning, 2a Edicao, 2010.

A. GilatMatlab Com Aplicacoes em Engenharia.Editora Bookman, 2a Edicao, 2006.

S. A. VicenteCurso Introdutorio de Matlab 6.5Apostila, Janeiro, 2003.

S. A. VicenteMatlab & Simulink,Apostila, Faculdade de Engenharia Industrial, 1994.


Main Talk

Minicurso Matlab Encit 2010

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