Mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 2. Regressão logística 3. Introdução 4. Construção 5....

mini-curso mlge

1. Programa

2. Objectivo

2. Regressão logística

3. Introdução

4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

Programa:

1. Introdução aos MLG

2. Regressão Logística*

3. MLG aplicados a variáveis resposta com distribuição contínua

4. MLG aplicados a dados de contagens

5. Análise de variância (ANOVA) com MLG

1. Programa

*Livro de referência: Hosmer, D.W., Lemeshow, S. 2000 Applied Logistic Regression. Wiley & Sons

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2. Objectivo


3. Introdução

4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

Objectivo do Modelo de Regressão Logística

Encontrar um modelo adequado e parcimonioso que permita descrever a relação entre uma variável aleatória binária (i.e., dicotómica) Y e um

conjunto de variáveis não-aleatórias preditoras X1, X2, …, Xp

Atenção:

O objectivo não é obter um modelo que discrimine eficaz e totalmente os dois resultados possíveis de Y, mas sim que indique com precisão a probabilidade de ocorrência de um “sucesso” (ou de um “insucesso”).

Um modelo matemático toma frequentemente a forma de uma equação (ou conjunto de equações) que descrevem a relação entre diversas variáveis, p.ex., E=mc2. Estes modelos são determinísticos e não permitem qualquer incerteza, p.ex., erros de medição.

Um modelo estatístico incorpora variação aleatória em pelo menos uma das quantidades, sendo esta intrínseca ao aspecto do mundo real estudado ou um produto de erros de medição

Lembrar

2. Objectivo

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5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

Objectivo do Modelo de Regressão Logística

Aplicações comuns dos modelos de regressão logística em Ecologia

Estudos de presença/ausência de organismos numa área de estudo - p.ex.

Guisan et al., 1999 (modelação espacial da distribuição de plantas);

Gumpertz et al., 1999 (modelação espaço-temporal da ocorrência de pragas)

Silva et al., 2002 (propagação espacial de uma espécie introduzida)

Ysebaert et al., 2002 (resposta de espécies estuarinas a gradientes ambientais)

Guisan & Hofer, 2003 (comparação de modelos de regressão logística no estudo da distribuição de répteis)

Estudos de selecção de recursos - p.ex.

Bekoff et al., 1999 (estudo do comportamento alimentar de uma espécie de ave)

Flury & Levri, 1999 (análise do ciclo diário do comportamento alimentar de uma espécie de caracol)

Pereira et al., 2001 (sazonalidade na selecção de recursos por uma espécie de morcego)

Outros estudos de sucesso/insucesso

Futter, 1994 (risco de contaminação com mercúrio em trutas)

Reece et al., in press (influência da temperatura sobre o sex-ratio de tartarugas)

Barker et al., 1999 (marcação/recaptura de trutas)

2. Objectivo

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2. Objectivo


3. Introdução

4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

3. Introdução

Introdução ao Modelo de Regressão Logística

A distribuição da variável resposta

Resultado Probabilidade

Y

“Sucesso” (1)

“Insucesso” (0) 1 -

1| 1

yyf y

Y tem distribuição Bernoulli com parâmetro , Y Be

A sua função de massa probabilística é

Uma característica importante desta distribuição é que E Y

0

1

=0.40 =0.20

~60%

~40%

~80%

~20%

Hipótese: um conjunto de preditores ’influencia’ a probabilidade de sucesso de Y.

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4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

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9. Bibliografia

A relação entre a variável resposta e um preditor

1

0

0.5

Aproximação suave a =1

Aproximação suave a =0

Simetria

X10 +∞-∞


Curva Logística:

3. Introdução

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3. Introdução

4. Construção

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9. Bibliografia


X1

0

A flexibilidade da curva logística

3. Introdução

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3. Introdução

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5. Avaliação

6. Interpretação

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9. Bibliografia


Generalização: o Modelo de Regressão Logística

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

exp ...

1 exp ...

p p

p p

X X X

X X X

O Modelo de Regressão Logística é um MLG

Uma vez obtida uma amostra, pretendemos estimar os coeficientes 1, 2, …, p.

Componente Aleatória Y (variável resposta)

Y tem distribuição pertencente à família

exponencial de distribuições

Amostra dimensão n

Componente Sistemática combinação linear das

variáveis preditoras

o0 1 1 ... p pX X

Função de Ligação função diferenciável e monótona g

que associa as componentes aleatória e sistemática

0 1 1 ... p pg X X

Lembrar

3. Introdução

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3. Introdução

4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

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9. Bibliografia


1) A Distribuição Bernoulli pertence à família exponencial

1| 1

yyf y f.m.p

1

a() 1

b()

c(y,) 0

log1

log 1 exp log 1

( )| , exp ( , )

( )

y bf y c y

a


Fórmula geral das distribuições pertencentes à família exponencial:

3. Introdução

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4. Construção

5. Avaliação

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9. Bibliografia

0 1 1

0 1 1

0 1 1

exp ...log ...

11 exp ...

p p

p p

p p

X XX X

X X

log1

g

Função de ligação Logit



2) A função de ligação é monótona e diferenciável

A função de ligação logit é monótona crescente e diferenciável em ]0,1[

3. Introdução

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3. Introdução

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5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia


Estimação dos parâmetros pelo Método da Máxima Verosimilhança

1 2

1

, ,..., ,n

i in i

i i

y bl y y y c y

a

, ;

0 1 0 01

,..., ; ,..., ... log 1 exp ...n

p n i p ip p ipi

l y y y x x

1 21

, ,..., ; ,n

n i i ii

y y y f y

L , ;

Lembrar

Função Verosimilhança

Função Log-verosimilhança

0

0

0

exp ...,...,

1 exp ...

ij p ip

i p i ij ij i ij p ip

x xl y x x y

x

2

0 ,..., 1i p ij ik i ij k

l x x

As derivadas parciais das parcelas da log-verosimilhança (necessárias para o algoritmo IRLS) são:

Regressão Logistica na Web http://members.aol.com/JohnP71/logistic.html

3. Introdução

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9. Bibliografia

4. Construção

Passos na Modelação:

1. O objecto de estudo tem um comportamento binário Y, codificado como 1 (“sucesso”) ou 0 (“insucesso”).

2. Pretende-se modelar a probabilidade de “sucesso” em função de algumas variáveis (candidatas a preditoras), discretas ou contínuas.

3. Recolhe-se uma amostra de n observações independentes de Y, registando-se também o valor das variáveis preditoras.

O software R

Construção de um Modelo de Regressão Logística com recurso ao software R

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9. Bibliografia

Inserção de dados no R – opção 1:

> tab1 <- data.frame(matrix(nrow=100, ncol=6, scan()))

Nome da tabela onde ficam armazenados os dados

Nº observações Nº preditores + 1 (variável resposta)

Copiar

Colar

4. Construção


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9. Bibliografia

Inserção de dados no R – opção 2:

> tab1<-read.table(“C:\\exemplo2.txt”, sep=“,”)

Nome da tabela onde ficam armazenados os dados

Nome do documento de importação

Separador (pode ser “ “ ou “/t”)

4. Construção

> names(tab1) <- c(“Y”,”X1”,”X2”,”X3”,”X4”,”X5”)


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4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

4. Análise preliminar univariada.


3. Recolha da amostra.

4. Construção4.1. Tabelas de contingência 2x2

(variáveis preditoras indicatrizes)

Y=0 Y=1

Xj=0 22 8

Xj=1 13 17

=0.27

2. …

=0.57

4.2. Análise gráfica

Y=0

Y=1

=0.27 =0.57

Xj=0 Xj=1

100%

0%

50%

> plot (tab1$X1,tab1$Y)

> lines(lowess(tab1$X1,tab1$Y))


Simetria em torno de 0.5

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4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

> summary(glm(tab1$Y~tab1$X1,family=binomial(link=logit)))

Call: glm(formula = tab1$Y ~ tab1$X1, family = binomial(link = logit))

Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.9832 -1.0172 0.5959 0.9865 1.7571

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 0.5360 0.2381 2.252 0.024349 * tab1$X1 -0.6271 0.1666 -3.763 0.000168 ***---Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

Null deviance: 137.19 on 99 degrees of freedomResidual deviance: 120.23 on 98 degrees of freedomAIC: 124.23

Number of Fisher Scoring iterations: 4


Var. resposta Preditor

Função de ligação logit

Distribuição de Y

Nº iterações do algoritmo IRLS

Na Regressão Logística = 1

MLG

4. Construção


Teste à significância do preditor X1:

> 1-pchisq(137.19-120.23, 1)

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9. Bibliografia


Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 0.5360 0.2381 2.252 0.024349 * tab1$X1 -0.6271 0.1666 -3.763 0.000168 ***

0 0

ˆvar j

0ˆvar 0.2381 1var 0.1666

0ˆ 0.5360 1 0.6271

1 / 2 1 / 2ˆ ˆ ˆ ˆvar ; varj j j jz z

Intervalo de confiança (1-)x100%

Lembrar

Teste à significância do preditor pela construção de Intervalos de Confiança

Não inclui 0 O preditor é relevante (Rej. H0)

> c(-0.6271-qnorm(1-0.25/2)*0.1666, -0.6271+qnorm(1-0.25/2)*0.1666)

= 0.25

[1] -0.8187482 -0.4354518

4. Construção

Esta metodologia equivale ao teste de Wald para um preditor


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7. Alternativas

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9. Bibliografia



3. …

5. Construção do modelo inicial.

4. Construção

Para o modelo inicial, seleccionam-se todas as variáveis preditoras que mostraram associações significativas com a variável resposta ( = 0.25)

> summary(glm(tab1$Y~tab1$X1+tab1$X2+tab1$X4,family=binomial(link=logit)))

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -11.06310 6.89615 -1.604 0.1087 tab1$X1 -3.25560 2.55748 -1.273 0.2030 tab1$X2 0.00144 1.01708 0.001 0.9989 tab1$X4 24.48947 9.61142 2.548 0.0108 *

Se o nº de coeficientes não-significativos for superior a um, remove-se do modelo aquele cuja interpretação ecológica é mais difícil ou aquele cuja medição é mais custosa. Repete-se então o procedimento de ajustamento do modelo:

> summary(glm(tab1$Y~tab1$X1+tab1$X4,family=binomial(link=logit)))


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7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

> summary(glm(tab1$Y~tab1$X1+tab1$X4,family=binomial(link=logit)))



3. …


Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -11.056 4.554 -2.428 0.0152 *tab1$X1 -3.253 1.438 -2.262 0.0237 *tab1$X4 24.488 9.521 2.572 0.0101 *

Todos os coeficientes são significativos

Fase iterativa terminada

4. Construção


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9. Bibliografia

ATENÇÃO

Não se deve deixar para um computador a remoção de preditores irrelevantes, já que a noção de relevância ultrapassa em muito o valor do p-value.

Exemplo: ocorrência de um organismo aquático num estuário, em função das anomalias da temperatura do ar (X1) e da água (X2)

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 0.4806 0.2303 2.087 0.036859 * tab1$X1 -0.5527 0.1610 -3.433 0.000597 ***

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 1.6923 0.4717 3.588 0.000333 ***tab1$X2 -0.2935 0.0822 -3.571 0.000356 ***A

nál

ise

Un

ivar

iad

a

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -11.06310 6.89615 -1.604 0.1087 tab1$X1 -3.25560 2.55748 -1.273 0.2030 tab1$X2 0.00144 1.01708 0.001 0.9989 tab1$X4 24.48947 9.61142 2.548 0.0108 *

An

. M

ult

iva

riad

a

4. Construção


Associação significativa

Associação significativa

Associações não-significativas

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4. Construção

5. Avaliação

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9. Bibliografia



4. …

6. “Afinação” do modelo inicial.

Teste à linearidade dos preditores contínuos4. Construção


Coefficients: Estimate Std. Error z value(Intercept) -11.056 4.554 -2.428 tab1$X1 -3.253 1.438 -2.262tab1$X4 24.488 9.521 2.572

0 1 1 4 4log1

X X

Análise Univariada

Ao contabilizar a influência de X4 sobre o logit, será que a influência de X1 se mantém linear? Nesse caso, devemos logaritmizar X1, utilizar

um polinómio de 2º grau, etc.?

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9. Bibliografia

Teste à linearidade dos preditores contínuos

> k<-glm(tab1$Y ~ -1+ tab1$X4 + aux, family = binomial(link = logit))> k$coefficientstab1$X4 aux1 aux2 aux3 aux4 21.45 -3.98 -9.55 -12.31 -16.28

> plot(quantile(tab1$X1,probs=c(0.125,0.375, 0.625,0.875)),coefficients(k)[2:5])

> abline(lm(coefficients(k)[2:5]~quantile (tab1$X1,probs=c(0.125,0.375,0.625,0.875))))

A linearidade é aceitável.

4. Construção


> quantile(tab1$X1) 0% 25% 50% 75% 100% -2.4395989 -0.6785589 0.5029128 1.4129038 4.0856567

> aux<-matrix(nrow=100,ncol=4,rep(0,400))> for (i in 1:100) {k=1;for (j in 1:3) k=k+1*(tab1$X1[i]>quantile(tab1$X1,j/4));aux[i,k]<-1}

> aux [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 0 0 1 0 [2,] 0 1 0 0 [3,] 1 0 0 0 [4,] 0 1 0 0 [5,] 0 0 0 1 [6,] 0 0 0 1 [7,] 1 0 0 0 [8,] 1 0 0 0 [9,] 1 0 0 0[10,] 1 0 0 0 …

Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4

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9. Bibliografia

Outras possibilidades:

coefs

C1 C2 C3 C4

Substituição de X1 por uma variável binária preditora binária:

1 se 1 0.456

0 caso contrário

XX

4. Construção

coefs

C1 C2 C3 C4

Inclusão de X6 = (X1)2 entre os preditores

(em certos casos a substituição de X1 por X6=log(X1) funciona)


Teste à linearidade dos preditores contínuos

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9. Bibliografia

4. Construção

2

2

exp 20 0.6 0.4

1 exp 20 0.6 0.4

pH pH

pH pH

Modelação hipotética da tolerância de um organismo ao pH do substrato:

sendo a probabilidade de sobrevivência


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6. Afinação do modelo inicial.


5. …

7. Finalização do modelo.

Inclusão de interacções entre variáveis preditoras:

> summary(glm(tab1$Y~tab1$X1+tab1$X4+tab1$X1 : tab1$X4 ,family=binomial(link=logit)))

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -10.941 4.640 -2.358 0.0184 *tab1$X1 -2.665 1.707 -1.561 0.1185 tab1$X4 25.033 9.938 2.519 0.0118 *tab1$X1:tab1$X4 -1.815 3.052 -0.595 0.5521 Interacção

não-significativa

O modelo não beneficia com a inclusão de interacções

4. Construção

0 1 1 4 4

0 1 1 4 4

ˆ ˆ ˆexpˆ

ˆ ˆ ˆ1 exp

X X

X X


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5. Avaliação

Avaliação da qualidade do modelo com recurso ao software R

O teste de Hosmer e Lemeshow (2000)

1. Junto a cada observação de Y colocam-se as estimativas da probabilidade de sucesso fornecidas pelo modelo (numa nova tabela).

> j<-glm(tab1$Y~tab1$X1+tab1$X4,family=binomial(link=logit))

> tab2<-matrix(nrow=100, ncol=2, c(tab1[,1], fitted.values(j)))

> tab2

[,1] [,2] [1,] 0 3.270384e-09 [2,] 1 9.066233e-01 [3,] 0 1.845913e-07 [4,] 1 1.000000e+00 [5,] 0 1.616015e-11 [6,] 0 1.203897e-07 [7,] 1 9.999994e-01 [8,] 1 1.000000e+00 [9,] 1 9.944717e-01 [10,] 1 9.999997e-01

Cada observação possui uma estimativa de que pode não se repetir em toda a amostra, já que entre os preditores há variáveis contínuas.

Nº da observação

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6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia



2. Ordenam-se os dados da tabela em função de

tab2<-tab2[order(tab2[,2]),]

3. Criam-se 10 grupos de tamanho igual ou semelhante (neste caso, n’ = 10) e analisam-se os resultados do modelo em cada grupo:

'

1

1ˆ 100%

'

n

in

grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeros 10 10 10 9 5 0 0 0 0 0

Uns 0 0 0 1 5 10 10 10 10 10

% 0% 0% 0% 10% 50% 100%

100% 100%

100% 100%

0% 0% 0% 0.1% 61% 98% 99% 100%

100% 100%

5. Avaliação

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5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

>tab3[1,1:2]<-c(sum(tab2[1:10,1])/10,sum(tab2[1:10,2])/10)> tab3[2,1:2]<-c(sum(tab2[11:20,1])/10,sum(tab2[11:20,2])/10)…> tab3[10,1:2]<-c(sum(tab2[91:100,1])/10,sum(tab2[91:100,2])/10)

> for (i in 1:10) for (j in 1:2) tab3[i,j]<-sum(tab2[(10*i-9):(10*i),j])/10

> plot(1:10,tab3[,1],cex=1.2)> points(1:10,tab3[,2],type="o",pch=20,cex=.8)

Estimativas do modelo

Observações

Erro

# grupo


OU

5. Avaliação

> tab3<-matrix(nrow=10,ncol=2)

> tab3 [,1] [,2] [1,] 0.0 1.85e-09 [2,] 0.0 1.28e-07 [3,] 0.0 9.01e-06 [4,] 0.1 0.018 [5,] 0.5 0.613 [6,] 1.0 0.980 [7,] 1.0 0.999 [8,] 1.0 1.00 [9,] 1.0 1.00[10,] 1.0 1.00

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1. Programa

2. Objectivo


3. Introdução

4. Construção

5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia



4. Constrói-se a estatística de teste

210

1 1

g g

gg g g

yC n

Sob a hipótese do modelo estar bem ajustado, C

tem distribuição qui-quadrado com 8 graus de liberdade (independentemente da dimensão da

amostra).

> cstat<-0> for (i in 1:10) cstat<-cstat+10*(tab3[i,1]-tab3[i,2])^2/(tab3[i,2]*(1-tab3[i,2]))> cstat[1] 4.678233

> 1-pchisq(cstat,8)[1] 0.791348

A hipótese de bom ajustamento não é rejeitada.

5. Avaliação

Outras medidas – Pseudo R2

Ver revisão por Shtatland et al. (2002)

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5. Avaliação

6. Interpretação

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9. Bibliografia

6. Interpretação

Interpretação do modelo

Variáveis preditoras binárias:

Razão de probabilidades (RP) versus Razão de “chances” (Odds ratio, OR)

0 5

0 5 0 5 0 55 1

5 0 0 0 0 5

0

ˆ êxp

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 exp exp exp 2ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ exp exp exp 2

ˆ1 exp

X

X

RP

0 5 5

0 5 5

ˆ êxpˆ

ˆ ˆ1 exp

X

X

5 0,1X

0 5

0 5 0 55 1 5 15

5 0 5 0 0

0 0

ˆ êxp 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 exp 1 expˆ ˆ/ 1 êxp

ˆˆ ˆ/ 1 exp 1ˆ ˆ1 exp 1 exp

X X

X X

OR

Odds: nos países anglófonos utilizam-se frequentemente os odds em vez das probabilidades: Ex: “The odds of raining are 2 to 3” em vez de “The probability of raining is 2 out of 5, or 40%”.

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5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

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9. Bibliografia

a) Apresentação de combinações particularmente relevantes dos preditores em tabelas

X1 X4

0 0 1.6x10-5

0.37 0.52 0.61

> exp(-11.056 ) / (1+exp(-11.056 ))

> exp(-11.056-3.253*0.37+24.488*0.52) / (1+exp(-11.056-3.253*0.37+24.488*0.52))

Variáveis preditoras não-binárias:


6. Interpretação

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7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

> X.1<-sort (runif(1000,min(tab1$X1),max(tab1$X1)))> pi.X1<-exp(-11.056-3.253*X.1)/(1+exp(-11.056-3.253*X.1))> plot(X.1,pi.X1,type="l")

b) Representação gráfica do impacto de um preditor sobre , fixando os restantes preditores.

Variação de em função de X1, fixando X4 = 0


Variáveis preditoras não-binárias:

6. Interpretação

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9. Bibliografia

7. Alternativas

Alternativas ao Modelo de Regressão Logística dentro dos MLG

a) Modelo Probit (muito semelhante ao modelo logístico)

10 1 1 ... p pX X

Função de ligação probit:1( )

0 1 1 ... p pX X

x

x

b) Modelo complementar log-log (possui uma curvatura assimétrica)

0 1 1log log 1 ... p pX X

0 1 11 exp exp ... p pX X

Função de ligação c-log-log: log log 1

Os procedimentos de construção, avaliação e interpretação destes modelos são os mesmos que para o modelo logístico (Nota: as expressões das funções de verosimilhança e log-

verosimilhança mudam). Entre os três tipos de modelo, a escolha do melhor pode basear-se no teste de Hosmer-Lemeshow (quanto maior o p-value, melhor).

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9. Bibliografia

8. Exemplos (PDF)

Exemplos de aplicações do Modelo de Regressão Logística (PDF)

Exemplo 1: Guisan.pdf

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7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia



Objectivo: Estudar o potencial do clima e da topografia como preditores da distribuição de 13 espécies de répteis na Suiça.

Metodologia: Construção, para cada espécie, de 2 modelos de regressão logística, um com 12 preditores associados ao clima e outro com 8 preditores associados à topografia. Em ambos foram incluídos termos quadráticos.

Nos modelos finais todos os preditores incluídos devem explicar pelo menos 1% do desvio.

A amostra original foi aleatoriamente dividida em duas subamostras, sendo a segunda utilizada para validar os modelos. A validação foi feita com recurso a métodos de classificação:

Se o modelo indica, para uma dada combinação dos preditores, uma probabilidade de sucesso que ultrapassa um dado limiar de corte (c), então considera-se que o modelo prevê um sucesso (y=1); caso contrário, considera-se que prevê um insucesso (y=0).

8. Exemplos (PDF)

Heisenberg: «o melhor modelo que descreve o comportamento de Y é um modelo probabilístico»

Einstein: «Deus não joga aos dados; o modelo deve ser determinístico»

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7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

Previsão do modeloTotal

y=1 y=0

Obs.y=1 n1 n2 n1+n2

y=0 n3 n4 n3+n4



Sensibilidade = n1 / (n1+n2)

Especificidade = n4 / (n3+n4)

Especificidade

Sensibilidade

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Limiar de corte (c)

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

1-Especificidade

Sensibilidade

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Curva ROC

Área debaixo da curva ROC (AUR)

8. Exemplos (PDF)

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8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia



Resultados:

1) Regra geral, os modelos “climáticos” forneceram melhores ajustamentos do que os modelos “topográficos”.

2) As espécies mais ubíquas foram as que forneceram piores modelos, quer “climáticos” quer “topográficos”. Talvez a disponibilidade de recursos seja neste caso um factor determinante para a distribuição espacial.

8. Exemplos (PDF)

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Exemplo 2: Pereira.pdf

8. Exemplos (PDF)

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8. Exemplos (PDF)

Objectivos: Analisar se o morcego Myotis myotis selecciona activamente os seus recursos tróficos ou se a sua dieta reflecte apenas a variação sazonal na abundância destes.

Local: Moura

Hipóteses colocadas:

Se uma presa é preferida, então é tão mais consumida quanto maior for a sua abundância absoluta. As outras presas servem como complemento à presa preferida, pelo que devem surgir em maior quantidade na dieta nos meses em que a primeira é menos abundante. Por não serem seleccionadas, devem surgir na dieta em função da sua abundância relativa.

Modelo para a presa preferida (P) Modelo para as presas não-preferidas (NP)

Cinco períodos de amostragem (em 1999): Mar/Abr, Jul/Ago, Set, Nov.

A abundância dos recursos na zona de estudo foi avaliada através de pitfalls.

Metodologia:

Identificação de presas consumidas em 212 excrementos produzidos por uma colónia com ca. 1000 indivíduos.

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9. Bibliografia



Se as hipóteses colocadas estiverem correctas, os modelos deverão ajustar-se bem às observações; o valor dos coeficientes terá um significado interpretável em termos ecológicos.

Grilos (presas preferidas)

Carabídeos (NP)

Aranhas (NP)

Coef. positivo

P-value do Desvio (GOF) modelo bem ajustado

Resultados:

Coef. positivoCoef. negativo

8. Exemplos (PDF)

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Exemplo 3: Barker.pdf

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Espécie estudada: Onchorhyncus mykiss (truta arco-íris)

Local: Rio Rangitikei (Nova Zelândia)

Objectivo: avaliar o impacto da introdução de um tamanho máximo de captura (550mm), em 1995, sobre o estado da população e sobre a pesca

Software: MARK

Metodologia: Marcação (n=575) e recaptura (n=246), com ou sem devolução, entre 1993 e 1999

Variáveis resposta:

• Probabilidade de recapturar um peixe, pelo menos uma vez, nos 6 meses seguintes à marcação (P1)

• Probabilidade de um peixe capturado por um pescador ser devolvido (P2)• Probabilidade de sobrevivência de um peixe nos 6 meses seguintes à marcação (P3)

Questão: P1, P2 e P3 dependem da época de marcação (Primavera ou Outono), do comprimento do peixe, do sexo do peixe ou da imposição do tamanho máximo de captura?

Metodologia: Construção de 3 modelos de regressão logística; selecção de preditores relevantes através de uma versão do critério de informação de Akaike – AIC (baseia-se na log-verosimilhança dos modelos estudados e no número de parâmetros que contêm).

8. Exemplos (PDF)

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7. Alternativas

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9. Bibliografia

Model AICc AICcAkaikeWeight

No.Param.

Deviance

P1(season)360.98

5 0 0.999 2 356.964

P1(time)375.42

4 14.44 0.001 13 348.769

P1(time+length)

376.139 15.15 0.001 14 347.382

P1(sex*t)393.86

3 32.88 0 26 339.277

P1(time*length)395.34

2 34.36 0 24 345.14

P1(sex)398.24

5 37.26 0 2 394.224

P1(.)398.98

8 38 0 1 396.981



Resultados:

• A probabilidade de recapturar um peixe, pelo menos uma vez, nos 6 meses seguintes à marcação (P1) depende da estação do ano em que é feita a marcação.

• A probabilidade de um peixe capturado por um pescador ser devolvido (P2) depende do comprimento do peixe e da introdução do tamanho máximo de captura

• A probabilidade de sobrevivência de um peixe nos 6 meses seguintes à marcação (P3) depende da introdução do tamanho máximo de captura

8. Exemplos (PDF)

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5. Avaliação

6. Interpretação

7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia



Resultados:

Tamanho máximo de captura

8. Exemplos (PDF)

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4. Construção

5. Avaliação

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7. Alternativas

8. Exemplos (PDF)

9. Bibliografia

Bibliografia

•Barker, R.J., et al., in prep., Rainbow trout survival and capture probabilities in the upper Rangitikei river, New Zealand.•Bekoff, M., et al., 1999. Feeding decisions by steller’s jays (Cyanocitta stelleri): the utility of a logistic regression model for analyses of where, what, and with whom to eat. Ethology 105: 393-399.•Czado, C. 1996. Multivariate Probit Analysis of Binary Time Series Data with Missing Responses. Discussion Paper 23, SFB 386 “Diskrete Strukturen”, LMU Munchen•Flury, B.D., Levri, E.P., 1999. Periodic logistic regression. Ecology 80 (7): 2254-2260.•Futter, M. N. 1994. Pelagic food-web structure influences probability of mercury contamination in lake trout (Salvelinus namaycush). The Science of the Total Environment 145:7-12.•Guisan, A., et al., 1999. GLM versus CCA spatial modeling of plant species distribution. Plant Ecology 143: 107-122.•Guisan, A., Hofer, U., 2003. Predicting reptile distributions at the mesoscale: relation to climate and topography. Journal of Biogeography 30: 1233-1243.•Gumpertz, M.L., et al., 1999. Logistic regression for southern pine beetle outbreaks wih spatial and temporal autocorrelation. Forest Science 46 (1): 95-107.•King, G., Zeng, L., 2001. Logistic regression in rare events data. Political Analysis 9 (2):137-63.•Pereira, M.J.R., et al., 2001. Prey selection by Myotis myotis (Vespertilionidae) in a Mediterranean region. Acta Chiropterologica 4 (2): 183-193•Reece, S.E. et al. (in press) Extreme sex ratios of green (Chelonia mydas) and loggerhead (Caretta caretta) sea turtle nests in the Mediterranean and indirect methods for estimating sex ratios.•Shtatland, E.S., et al., 2002. One more time about R2 measures of fit in logistic regression. NESUG 15: 1-6.•Silva, T., et al., 2002. A model for range expansion of an introduced species: the common waxbill Estrilda astrild in Portugal. Diversity & Distributions 8 (6): 319.•Ysebaert, T., et al., 2002. Macrobenthic species response surfaces along estuarine gradients: prediction by logistic regression. Marine Ecology Progress Series 225: 79-95.

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9. Bibliografia

LogReg1.PDF LogReg2.PDF LogReg3.PDF

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