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CONTROLE DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TIPO “STICK-

SLIP” EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO

Michael Angel Santos Arcieri

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação de

Engenharia Elétrica – PROEE, da

Universidade Federal de Sergipe, como

parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Mestre em

Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor

São Cristóvão - SE, Brasil

Março de 2013

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Arcieri, Michael Angel Santos A674c Controle de vibrações mecânicas tipo “stick slip” em colunas de

perfuração / Michael Angel Santos Arcieri ; orientador Oscar A. Z. Sotomayor. – São Cristóvão, 2013. 105 f. : il. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Universidade Federal de Sergipe, 2013.

O 1. Coluna de perfuração. 2. Fenômeno stick-slip. 3. Controle

proporcional-integral. 4. Controle por modo deslizante. 5. Controle por linearização entrada-saída. I. Sotomayor, Oscar A. Z., orient. II. Título.

CDU: 620.178.3

iv

Dedico este trabalho a minha

mãe, pelo exemplo de vida que é, ao meu

pai, pelo seu incentivo, aos meus irmãos, a

minha namorada Luana, e especialmente

ao meu avô Gerino.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço esse trabalho inicialmente a Deus, por ter me dado a vida.

Ao meu avô Gerino por cada ensinamento, agradeço a Deus por cada momento que estive com o senhor, que Deus o tenha! SAUDADES!

Aos meus pais, Josefa e Angelo, e meus irmãos, Jofrancis, Denis, Jean e Ryan pelo companheirismo e amizade que sempre me proporcionaram.

A minha namorada, Luana, pelo amor, amizade, companheirismo, força e compreensão que me ofereceu durante o mestrado.

Aos amigos do mestrado, Rodrigo, Iury, Manoel, Cássio, David e Carlos Eduardo que me ajudaram durante toda essa jornada.

Ao meu orientador e professor Oscar Sotomayor que me incentivou a entrar na área de controle, através de seus bons ensinamentos e conselhos.

vi

“As conquistas não são fáceis de serem

atingidas, muitos obstáculos haverá pela

frente, mas o verdadeiro conquistador

tem o espírito lutador, planejador, e

sonhador. Estará sempre seguindo em

frente e rompendo todos os obstáculos.”

André Luiz Palma

vii

Resumo da Dissertação apresentada ao PROEE/UFS como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre (Me.)

CONTROLE DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TIPO “STICK-SLIP” EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO


Março/2013

Orientador: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor

Programa: Engenharia Elétrica

Vibrações mecânicas são inevitáveis nas operações de perfuração. Vibrações torcionais stick-slip são vibrações que ocorrem em colunas de perfuração, as quais são produzidas pelas variações periódicas de torque e caracterizadas por grandes oscilações da velocidade da broca. Estas vibrações são prejudiciais, mais pela característica cíclica do fenômeno que pela amplitude da mesma, podendo originar fadiga da tubulação, falhas nos componentes da coluna de perfuração, deformações nas paredes do poço, desgaste excessivo da broca, baixa taxa de penetração e, inclusive, colapso do processo de perfuração. A frequência destas oscilações indesejadas pode ser reduzida pela aplicação de técnicas de controle automático. O objetivo deste trabalho é avaliar, mediante simulações numéricas, a aplicação de técnicas de controle convencional, como o controle proporcional-integral (PI), e não linear, como o controle por modos deslizantes (SMC) e o controle por linearização entrada-saída (IOLC) para eliminar a presença de oscilações stick-slip em colunas de perfuração. Os controladores são desenvolvidos principalmente para manter constante a velocidade do sistema de rotação, mediante a manipulação do torque do motor, para assim controlar inferencialmente a velocidade da broca, fornecendo desta maneira condições ótimas de operação, além de preservar a estabilidade do sistema. Resultados das simulações, usando modelos torcionais de uma coluna de perfuração de dois graus de liberdade (2-DOF) e de quatro graus de liberdade (4-DOF), mostram o desempenho dos sistemas de controle propostos, os quais são analisados e comparados qualitativamente.

Palavra-chaves: Coluna de perfuração, fenômeno stick-slip, controle PI, controle por modos deslizantes, controle por linearização entrada-saída.

viii

Abstract of Dissertation presented to PROEE/UFS as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master.

CONTROL OF STICK-SLIP VIBRATIONS IN OIL WELL DRILLSTRINGS


March/2013

Advisor: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor

Department: Electrical Engineering

Mechanical vibrations are inevitable in drilling operations. Torsional stick-slip vibrations are vibrations that occur in drilling columns, which are produced by periodic variations of torque and characterized by large fluctuations in the speed of the drill bit. These vibrations are dangerous, primarily by the cyclical characteristic of the phenomenon that by the amplitude of the same, which can cause fatigue of the pipe, failures in the components of the drill string, deformations in the walls of the well, excessive wear of the drill, low rate of penetration, and collapse of the drilling process. The frequency of these unwanted oscillations can be reduced by the application of automatic control techniques. The objective of this study is to evaluate through numerical simulations, the application of conventional control techniques, such as proportional-integral control (PI), and nonlinear, as the sliding mode control (SMC) and the input-output linearization control (IOLC), to eliminate the presence of stick-slip oscillation in drilling columns. The controllers are designed primarily to maintain a constant speed of rotation system, by manipulating engine torque, thereby inferentially control the speed of the drill, thus providing optimum operation conditions, beyond preserving system stability. Results of simulations using drill string torsional models of two degrees of freedom (2-DOF) and four degrees of freedom (4-DOF) show the performance of the proposed control systems, which are analyzed and qualitatively compared.

Keywords: drill string, stick-slip phenomenon, PI control, sliding mode control, control by input-output linearization.

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SUMÁRIO

Lista de Figuras .......................................................................................................................... xi

Lista de Tabelas ........................................................................................................................ xiv

Lista de Abreviaturas ................................................................................................................ xv

Capítulo 1. Introdução ................................................................................................................. 1

1.1. O Processo de Perfuração .............................................................................................. 1

1.2. O Fenômeno "Stick-Slip" .............................................................................................. 3

1.3. Objetivos do Trabalho ................................................................................................... 5

1.4. Revisão Bibliográfica .................................................................................................... 6

1.5. Estrutura do Trabalho .................................................................................................... 8

Capítulo 2. Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração ............................................... 10

2.1. Modelo Matemático de n-DOF ................................................................................... 10

2.2. Simulação de um Sistema de 2-DOF .......................................................................... 16



Capítulo 3. Controle PI das Vibrações “Stick-Slip” ................................................................ 31

3.1. Introdução ................................................................................................................... 31

3.2. Desenvolvimento dos Controladores PI e PI-P ........................................................... 32

3.3. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema de 2-DOF ................................... 36

3.4. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema 4-DOF ....................................... 41

Capítulo 4. Controle por Modos Deslizantes ........................................................................... 48

4.1. Introdução ................................................................................................................... 48

4.2. Aspectos Gerais do SMC ............................................................................................ 48

4.3. Síntese do Controlador SMC ...................................................................................... 49

4.4. Projeto do Controlador SMC para a Coluna de Perfuração ........................................ 54

4.5. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 2-DOF ............................................. 55

4.6. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 4-DOF ............................................. 58

Capítulo 5. Controle por Linearização Exata por Realimentação ........................................ 61

5.1. Introdução ................................................................................................................... 61

5.2. Conceitos Básicos Fundamentais ................................................................................ 62

5.2.1. Campo vetorial .................................................................................................... 62

5.2.2. Campo covetorial ................................................................................................ 62

5.2.3. Produto interno .................................................................................................... 62

x

5.2.4. Gradiente ............................................................................................................. 62

5.2.5. Jacobiano ............................................................................................................. 63

5.2.6. Derivada de Lie ................................................................................................... 63

5.2.7. Parêntese de Lie .................................................................................................. 63

5.2.8. Difeomorfismo .................................................................................................... 64

5.2.9. Teorema de Frobenius ......................................................................................... 65

5.3. Linearização Entrada-Estado ...................................................................................... 65

5.4. Controle por Linearização Entrada-Saída (IOLC) ...................................................... 70

5.5. Impossibilidade Teórica do Projeto de um Controlador ISLC para a Coluna de Perfuração ............................................................................................................................... 73

5.6. Projeto de um Controlador IOLC para a Coluna de Perfuração .................................. 78

5.7. Simulação do Controlador IOLC nos Sistemas 2-DOF e 4-DOF ............................... 79

5.8. Simulação do Controlador IOLC no Sistema de 4-DOF ............................................. 81

Capítulo 6. Conclusões e Recomendações de Trabalhos Futuros .......................................... 85

Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 87

xi

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Sonda de perfuração offshore ....................................................................... 2

Figura 1.2 – Vibrações que podem ocorrer em uma coluna de perfuração (Alamo, 2002)4

Figura 1.3 – Velocidades angulares da mesa rotatória e da broca em um sistema de

perfuração real (Serrarens et al., 2008) ............................................................................. 5

Figura 2.1 – Modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional com n

graus de liberdade. A nomenclatura das variáveis e parâmetros do modelo é listada na

Tabela 2.1. ....................................................................................................................... 11

Figura 2.2 – Estrutura do modelo de 2-DOF de uma coluna de perfuração ................... 17

Figura 2.3 – Velocidade angular da broca (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 2-

DOF ................................................................................................................................ 19

Figura 2.4 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1) e da broca (x3).

Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca no sistema

de 2-DOF ........................................................................................................................ 19

Figura 2.5 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 2-DOF ................................... 20

Figura 2.6 – Estrutura do modelo de 3-DOF de uma coluna de perfuração ................... 21

Figura 2.7 – Velocidade angular da broca (x6), do tubo de perfuração (x4) e da mesa

rotatória (x2) do sistema de 3-DOF ................................................................................. 23

Figura 2.8 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de

perfuração (x3) e da broca (x5). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa

rotatória e a broca no sistema de 3-DOF ........................................................................ 24

Figura 2.9 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 3-DOF ................................... 24

Figura 2.10 – Estrutura do modelo de 4-DOF de uma coluna de perfuração ................. 25

Figura 2.11 – Brocas de rolamentos cônicos .................................................................. 27

Figura 2.12 – Velocidade angular da broca (x8), do tubo de perfuração (x6), do BHA (x4)

e da mesa rotatória (x2) do sistema de 4-DOF ................................................................ 29

Figura 2.13 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de

perfuração (x3), do BHA (x5) e da broca (x7). Direita: diferença de deslocamento angular

entre a mesa rotatória e a broca no sistema de 4-DOF ................................................... 29

Figura 2.14 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 4-DOF ................................. 30

Figura 3.1 – Representação dos pólos para um sistema superamortecido ...................... 35

xii

Figura 3.2 – Implementação do controlador PI no sistema de 2-DOF no

Simulink/MatlabTM ......................................................................................................... 37

Figura 3.3 – Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis

controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 38

Figura 3.4 - Resposta a variações no setpoint do sistema de 2-DOF com o controlador

PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ................................................... 38

Figura 3.5 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I)

variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 39

Figura 3.6 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis

controladas (II) variável manipulada .............................................................................. 40

Figura 3.7 - Resposta a variações no setpoint no sistema 2-DOF com o controlador PI-P:

(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ......................................................... 40

Figura 3.8 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I)


Figura 3.9 – Implementação do controlador PI no sistema de 4-DOF no

Simulink/MatlabTM. ........................................................................................................ 42

Figura 3.10 - Resposta do sistema de 4-DOF com o Controlador PI: (I) variáveis


Figura 3.11 - Resposta a variações no setpoint do sistema 4-DOF com o controlador PI:


Figura 3.12 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI: (I)


Figura 3.13 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variável


Figura 3.14 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador

PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................... 46

Figura 3.15 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I)

variáveis controladas, (II) variáveis manipuladas ........................................................... 46

Figura 4.1 – Interpretação gráfica das Equações (4.6) e (4.8) (Slotine & Li, 1991) ...... 51

Figura 4.2 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis


Figura 4.3 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o Controlador

SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................. 57

xiii

Figura 4.4 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I)


Figura 4.5 - Resposta do sistema 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis



SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................. 59

Figura 4.7 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador SMC: (I)


Figura 5.1 - Resposta do Sistema 2-DOF com o Controlador IOLC com = 8: (I)



IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................. 80

Figura 5.3 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador IOLC:


Figura 5.4 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis



IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................. 83

Figura 5.6 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador IOLC:


xiv

Lista de Tabelas

Tabela 2.1– Variáveis e parâmetros do modelo da coluna de perfuração ...................... 12

Tabela 2.2- Valores dos parâmetros do modelo de 2-DOF ............................................ 18

Tabela 2.3– Valores dos parâmetros do modelo de 3-DOF ............................................ 22

Tabela 2.4 – Valores dos parâmetros do modelo de 4-DOF ........................................... 28

Tabela 4.1– Valores dos parâmetros de sintonia do SMC desenvolvidos para o sistema

2-DOF ............................................................................................................................. 56

xv

Lista de Abreviaturas

2-DOF Sistema com 2 Graus de Liberdade



-DOF Sistema com Graus de Liberdade

BHA Composição de Fundo da Coluna

IOLC Controle por Linearização Entrada-Saída

ISLC Controle por Linearização Entrada-Estado

MPC Controle Preditivo Linear

NMPC Controle Preditivo Não-linear

PD Proporcional-Derivativo

PI Proporcional-Integrativo

PID Proporcional-Integrativo-Derivativo

PI-P Proporcional-Integrativo-Proporcional

ROP Taxa de Penetração

SMC Controle por Modos Deslizantes

Peso sobre a Broca

VSC Controle com Estrutura Variável

VSCS Sistema de Controle com Estrutura Variável

1

Capítulo 1

Introdução

1.1. O Processo de Perfuração

O trabalho de uma sonda de perfuração consiste em perfurar a crosta terrestre objetivando a extração de recursos naturais tais como água, gás natural ou petróleo. Os primeiros poços foram perfurados com o intuito de obter água diretamente de aquíferos, reservas de águas subterrâneas, para suprir a necessidade de uma determinada região. Porém com o desenvolvimento da indústria e a urgência de obtenção de novas fontes de energia, as técnicas de perfuração até então conhecidas foram aprimoradas permitindo a exploração do petróleo subterrâneo em grande escala, tornando a indústria petrolífera um dos principais expoentes econômicos da sociedade atual.

Existem, basicamente, dois métodos de perfuração: Método percussivo: a perfuração é feita golpeando a rocha com uma broca,

causando a sua fragmentação por esmagamento. Os cascalhos gerados no interior do poço após vários golpes são retirados posteriormente através de uma ferramenta chamada caçamba. Este método foi o primeiro a ser utilizado na indústria do petróleo.

Método rotativo: a perfuração é realizada através do movimento de rotação de uma broca, comprimindo a rocha, causando o seu esmerilhamento. A retirada dos cascalhos gerados é realizada por um fluido de perfuração que, injetado nos tubos de perfuração, retorna pelo anular, espaço existente entre da coluna de perfuração e as paredes do poço. Este método é considerado o padrão da indústria do petróleo, sendo utilizado nas perfurações atuais.

A perfuração de poços de petróleo é realizada por uma sonda de perfuração, como ilustrado na Figura 1.1. A sonda da figura é uma plataforma fixa tipo jaqueta usada nas operações de perfuração offshore. A coluna de perfuração, com a broca de aço na sua extremidade, é ligada ao topdrive, um motor elétrico é responsável pela rotação da coluna e que se encontra localizado na parte superior do mastro ou torre de perfuração. O efeito combinado do peso sobre a broca e da sua rotação sobre a formação causa a fragmentação da rocha. O topdrive é preso a um gancho no mastro, o que torna possível a movimentação vertical (para cima e para baixo) da coluna pelo sistema de

2

elevação. Durante a perfuração, à medida em que a broca vai penetrando a formação rochosa e a posição do topdrive alcança o fundo do mastro, uma nova seção de tubo de perfuração é adicionada à coluna e a posição do gancho é movida para o topo da nova conexão, retomando o processo. O comprimento de cada tubulação é de aproximadamente 27 m, de modo que para uma taxa de penetração típica de 15m/h exigirá uma nova conexão a cada duas horas aproximadamente.

Além das sondas equipadas com top drive existem as sondas convencionais, nas quais o sistema de rotação é dado pela mesa rotativa. Localizada na plataforma da sonda, a mesa rotativa é um equipamento que transmite rotação à coluna de perfuração através de um tubo de parede externo poligonal, o kelly, que fica enroscado no topo da coluna de perfuração. A mesa rotativa, em algumas operações, tem o papel de suportar o peso da coluna de perfuração. Há ainda a possibilidade de perfurar com um motor de fundo, em que o torque necessário é dado pela passagem do fluido de perfuração no seu interior (Thomas, 2001).

Figura 1.1 – Sonda de perfuração offshore

Embora não claramente ilustrado na Figura 1.1, a sonda de perfuração contém um sistema de circulação de fluido ou lama de perfuração. Uma bomba é responsável por injetar o fluído de perfuração por dentro da coluna, o qual passa através da broca e retorna pela região anular, espaço compreendido entre a coluna de perfuração e a parece do poço, trazendo consigo os cascalhos gerados no processo. Depois de fluir por uma linha de retorno, a lama passa por uma peneira vibratória, para separar os sólidos mais grosseiros, e volta ao reservatório para ser novamente utilizada.

Além de transportar os cascalhos gerados para a superfície, o fluido de perfuração tem as seguintes funções: limpar e esfriar a broca, atuar como lubrificante

3

onde houver atrito, fornecer pressão hidrostática para evitar a entrada de fluidos no poço, impedir que os fragmentos de rocha se sedimentem no fundo durante as paradas das perfurações, obturar os orifícios das camadas porosas atravessadas na perfuração, proteger contra a corrosão etc.

Atualmente, com a descoberta das novas reservas petrolíferas no litoral brasileiro, na chamada camada do pré-sal, surgiram problemas relacionados com a extração devido à sua localização. Sua profundidade pode chegar a mais de 7 mil metros, tornando o processo de perfuração, para o aproveitamento das reservas de petróleo e gás nelas contidas, um grande desafio tecnológico. A hostilidade do ambiente, o comportamento das rochas dessa camada, as elevadas profundidades, a variação de pressão e de temperatura, e a distância do litoral, são exemplos de problemas que devem ser vencidos e que exigem equipamentos complexos, tais como sondas de perfuração em águas profundas, e a busca por novas soluções para os diversos problemas da perfuração, visando aumentar a eficiência e reduzir o tempo e o custo da operação.

1.2. O Fenômeno "Stick-Slip"

Sendo a coluna de perfuração um sistema mecânico, vibrações são inevitáveis nas operações de perfuração, as quais podem ser classificadas como: axiais ou longitudinais, torcionais e laterais. Essas vibrações são responsáveis por quase 80% dos problemas prematuros em colunas de perfuração, representando uma perda de aproximadamente 5% do custo total da exploração de um poço (Spanos et al., 2003). Elas englobam diversas consequências danosas para as operações, que vão desde uma diminuição da taxa de penetração até uma ruptura da coluna de perfuração, evento este indesejado, pois pode provocar diversos danos ao poço e aos equipamentos de perfuração. Além disso, essas vibrações afetam um dos principais fatores que influenciam o custo da operação, o tempo de perfuração.

Associado a cada tipo de vibração tem-se uma série de fenômenos, conforme mostrado na Figura 1.2.

whirl (remoinho): vibração lateral que ocorre quando o centro da gravidade da coluna não coincide com o seu eixo geométrico de rotação, causando choque entre a coluna e as paredes do poço (Navarro-López & Suárez, 2005).

stick-slip (adere-desliza): vibração torcional caracterizado por uma variação da velocidade da broca de zero a dez vezes a velocidade de giro da coluna. Normalmente, este fenômeno vem associado a importantes variações de torque (Tucker & Wang, 1999).

bit bouncing (rebote): vibração axial na qual a broca dá saltos de forma periódica, perdendo contato com o fundo do poço, podendo, inclusive, chegar a se despender (Divényi, 2009).

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Figura 1.2 – Vibrações que podem ocorrer em uma coluna de perfuração (Alamo, 2002)

A presença das vibrações em colunas de perfuração dá-se em instantes de operação distintos e em faixas de frequências diferentes, o que permite estudá-las individualmente. O presente trabalho concentra-se nas vibrações torcionais e no fenômeno stick-slip que elas produzem.

O fenômeno stick-slip pode aparecer quando duas superfícies em contato estão deslizando uma em relação à outra. No caso da coluna de perfuração, as oscilações stick-slip são produzidas pelas variações periódicas de torque e caracterizadas por grandes alterações da velocidade na broca. Essas alterações ocorrem pelo fato da coluna de perfuração apresentar elasticidade. O atrito não-linear do poço faz com que a velocidade da broca chegue a parar por um período de tempo, fase esta denominada stick. Quando isso ocorre, a rotação na mesa continua e a coluna funciona como uma mola armazenando energia torcional. A partir do momento que o atrito é superado pela energia acumulada na coluna, a broca tem a sua velocidade diferente de zero, podendo chegar a dez vezes a velocidade angular da mesa rotativa, fase esta conhecida como slip. Nesse caso, o sistema pode ficar alternando entre as fases stick e slip a uma frequência específica. A Figura 1.3 delineia o comportamento típico das velocidades angulares da mesa rotatória e da broca durante um processo de perfuração.

As vibrações stick-slip são prejudiciais, mais pela característica cíclica do fenômeno do que pela amplitude das mesmas. Experimentos em campo assinalam que ditas oscilações aparecem em 50% do tempo de perfuração, podendo originar fadiga da tubulação, falhas nos componentes da coluna de perfuração, desvio da trajetória do poço, alargamento do poço, deformações nas paredes do poço, desgaste excessivo da broca e baixa taxa de penetração. Estas instabilidades na velocidade de giro da broca podem, em alguns casos, romper a coluna de perfuração constituindo um grave problema, não apenas por conta da perda material da coluna, mas principalmente por conta da perda de tempo da operação, podendo também ocasionar a necessidade de se

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efetuar um desvio no poço acima do ponto de ruptura da coluna ou, até mesmo, a perda do poço (Divényi, 2009).

Figura 1.3 – Velocidades angulares da mesa rotatória e da broca em um sistema de perfuração real (Serrarens et al., 2008)

Face à complexidade das colunas de perfuração de poços de petróleo, a prática da perfuração faz uso das metodologias de controle automático a fim de suprimir os fenômenos oscilatórios indesejados. Segundo Navarro-López (2010), o controlador é interpretado como um método de seleção de parâmetros de segurança offline. Antes de começar a operação, o modelo de simulação e o controlador podem ajudar o operador a projetar o perfil de perfuração do poço com valores de referências para o torque no sistema rotatório ( ), o peso sobre a broca ( ) e as velocidades de rotação desejadas (Ω). Para uma combinação ( ,Ω), o torque pode ser calculado tal que o fenômeno oscilatório na broca possa ser evitado.

1.3. Objetivos do Trabalho

O objetivo principal do presente trabalho é auxiliar os operadores de colunas de perfuração de poços de petróleo avaliando, mediante simulações numéricas, a aplicação de técnicas de controle não-linear, tais como o controle por modos deslizantes e o controle baseado em linearização por realimentação, para obter velocidades constantes do mecanismo rotatório da mesa e da broca, com o intuito de reduzir a presença de oscilações mecânicas tipo stick-slip e manter condições de operação ótimas, apesar de incertezas e mudanças nas condições de operação, além de preservar a estabilidade e a recuperação do sistema.

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Objetivos secundários deste trabalho são:

Propiciar um melhor entendimento das vibrações mecânicas em colunas de perfuração;

Aumentar a eficiência e desempenho da perfuração com a introdução de novas soluções para problemas provocados por vibrações tipo stick-slip;

Contribuir com o desenvolvimento de novas técnicas de controle e automação de poços;

Fortalecer a área de conhecimento de engenharia de perfuração;

Estabelecer as bases para a consolidação de um grupo de pesquisa em automação na indústria de petróleo e gás no DEL/UFS.

1.4. Revisão Bibliográfica

Na literatura técnico-científica foram propostos diversos métodos e técnicas de controle para eliminar ou reduzir a presença do fenômeno stick-slip em sistemas de perfuração. O resumo de alguns desses trabalhos são apresentados a seguir.

Serrarens et al. (1998) mostraram que a supressão de oscilações auto-excitadas stick-slip e a resposta transitória da velocidade da broca podem ser amplamente melhoradas pelo uso de um controlador ∞, quando comparado a sistemas de controle tipo PD (proporcional-derivativo), comumente aplicados na perfuração de poços de petróleo. O controlador era linear e invariante no tempo. Embora a fricção na broca fosse altamente não-linear, a escolha por um controlador linear pareceu eficaz. Pelo uso de funções de ponderação dinâmica para os sinais de entrada e saída foi possível modelar funções de transferência em malha fechada de tal forma que os requisitos de desempenho no domínio do tempo e no domínio da frequência fossem alcançados. Resultados experimentais realizados em um sistema de bancada forneceram uma perspectiva promissora para aplicações em sistemas reais.

Abdulgalil & Siguerdidjane (2005) apresentou um controlador PID (proporcional-integral-derivativo) robusto para lidar com vibrações stick-slip em sistemas de perfuração. O projeto do controlador é baseado em uma função de superfície deslizante que trabalha em conjunto com um controlador por linearização entrada-estado, fornecendo um controlador para sistemas não-lineares com incertezas. A técnica de modos deslizantes era aplicada escolhendo o erro de velocidade angular da broca como superfície deslizante. A estabilização e desempenho do controlador foram avaliados e comparados com um controlador clássico por realimentação.

Canudas-de-Wit et al. (2005) analisaram o fato de que para conseguir uma boa taxa de penetração (rate of penetration - ROP) em sistemas de perfuração de poços de

7

petróleo era necessário manter um peso sobre a broca (weight on bit - ) grande. Mas, com o aumento do , aumentou a possibilidade das oscilações stick-slip ocorrerem. A partir desse estudo, os autores apresentaram o mecanismo D-OSKIL, o qual visava usar a força do como uma variável manipulada adicional para suprimir o fenômeno. Uma análise baseada em função descritiva deu uma boa intuição sobre a resposta oscilatória do sistema e o projeto do controlador. Uma propriedade importante do D-OSKIL era que permitia recuperar as condições de operação nominal enquanto as oscilações eram suprimidas. Simulações da aplicação do mecanismo proposto com um controlador tipo PI (proporcional-integrativo) mostraram que as oscilações stick-slip podiam ser eliminadas sem exigir um re-projeto do controle de velocidade da mesa rotatória. Outro fato interessante do D-OSKIL, era que a lei de controle resultante era global e assintoticamente estável. Uma análise formal de estabilidade do método foi fornecida por Corchero et al. (2006).

Navarro-López & Cortés (2007b) propuseram um controle por modos deslizantes (sliding mode control - SMC) que ultrapassava o movimento de deslizamento existente quando a velocidade angular da broca era zero, conduzindo essa velocidade a um valor desejado, evitando problemas de aderência na broca durante o processo de perfuração. A coluna de perfuração é representada por um modelo de torção descontínuo de quatro graus de liberdade. A idéia fundamental do controlador era introduzir no sistema uma superfície de deslizamento em que a dinâmica desejada era realizada, ou seja, conduzir a velocidade dos componentes da coluna de perfuração ao valor de operação pré-determinado. O objetivo de controle era alcançado apesar das variações da força do e na presença de oscilações stick-slip.

Navarro-López (2008) apresentou duas metodologias de controle com o intuito de suprimir as oscilações stick-slip em colunas de perfuração. Por um lado, tinha-se um controlador por realimentação convencional, i.e o controlador PI, e por outro lado, um controlador do tipo descontínuo, o controlador SMC. Os parâmetros dos controladores eram escolhidos para que as transições não-desejadas do sistema desaparecessem. O objetivo de ambos os controladores era eliminar o fenômeno stick-slip, conduzindo a velocidade para o valor desejado, e reduzindo a influência das variações dos principais parâmetros. As simulações mostraram resultados semelhantes para ambos os controladores, concluindo que para altas velocidades e baixo valor da força peso o sistema convergia para o equilíbrio desejado.

Hernandez-Suarez et al. (2009) propuseram o uso da lei de controle SMC combinada com um esquema de controle em cascata para a supressão das oscilações stick-slip durante o processo de perfuração de petróleo. A ideia subjacente na abordagem de controle era forçar a dinâmica de erro para uma superfície deslizante que compensasse parâmetros incertos e termos desconhecidos. A lei de controle de modo deslizante era reforçada com um observador para estimação de incertezas. Simulações

8

numéricas mostravam que as oscilações stick-slip podiam ser suprimidas e estabilizadas a uma referência desejada na presença de incertezas nos parâmetros do modelo.

Johannessen & Myrvold (2010) desenvolveram um sistema de controle preditivo não-linear (nonlinear model predictive control - NMPC) para prevenção de oscilações stick-slip em colunas de perfuração de poços de petróleo. A natureza não-linear da força de fricção atuando sobre a broca motivou o uso do NMPC. Nesse trabalho, um modelo dinâmico não-linear de 86 estados de uma coluna de perfuração (43 estados descreviam a aceleração de 43 elementos diferentes, e os restantes 43 estados descreviam as diferenças de velocidades entre os elementos conectadas uns aos outros) foi reduzido, baseado na técnica de truncamento balanceado de gramianos empíricos, e usado na implementação do NMPC, como também para representar o processo. Resultados de simulações, comparando o NMPC, um MPC linear e o sistema comercial SoftSpeed da National Oilwell Varco, que é basicamente um controlador PI, mostraram que todos os controladores eram capazes de lidar com o problema stick-slip quando ajustados adequadamente. No entanto, para o caso de mudança do ponto de operação, o NMPC apresentou melhor desempenho, fazendo com que a saída estabilizasse no novo setpoint mais rapidamente e dando uma resposta menos agressiva, sendo possível manter um ótimo ROP.

Zhang et al. (2010) apresentaram um modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional e usaram um controlador SMC para eliminar o fenômeno stick-slip. No sistema de controle proposto a velocidade angular da broca foi direcionada a um valor de referência desejado, apesar da presença do atrito causado entre o contato da broca com a formação rochosa. O desenvolvimento do controlador consistia de dois passos: primeiro, um controlador por linearização entrada-estado foi derivado e, segundo, um controlador PID baseado no SMC foi projetado.

Shi et al. (2011) apresentaram um SMC derivativo e integrativo a fim de eliminar as oscilações stick-slip de um sistema de perfuração rotacional. O controlador era baseado em modelos de torção de colunas de perfuração e o projeto do controle consistiu de três etapas: a primeira era composta pela linearização entrada-estado do sistema de perfuração; a segunda definia o projeto do SMC integral, e a última projetava o SMC integral e derivativo. Para a verificação da estabilidade e robustez do sistema foram utilizados os princípios de Lyapunov. Resultados de simulações mostraram que o SMC integral não apresentou boa robustez em comparação com o SMC integral e derivativo, tendo este último uma resposta dinâmica mais rápida, aumentando a ROP e suprimindo as oscilações stick-slip da coluna de perfuração.

1.5. Estrutura do Trabalho

A presente dissertação está dividida nos seguintes capítulos:

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Capítulo 1 – Introdução. Esse capítulo apresenta uma breve descrição sobre o processo de perfuração de poços de petróleo e das vibrações mecânicas que podem ocorrem em colunas de perfuração, dando ênfase às vibrações torcionais tipo stick-slip. Também são apresentados os objetivos do trabalho e uma revisão bibliográfica sobre técnicas de controle para minimizar as oscilações stick-slip disponíveis na literatura.

Capitulo 2 – Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração. Neste capítulo é apresentado o modelo torcional de uma coluna de perfuração de n graus de liberdade. A partir dessa modelagem, são mostradas simulações de colunas de perfuração com 2, 3 e 4 graus de liberdade, fazendo-se uso do pacote computacional Simulink/MATLAB®. Grande interesse das respostas dessas simulações é o surgimento do fenômeno stick-slip.

Capítulo 3 – Controle PI das Vibrações “Stick-Slip”. Este capítulo mostra o desenvolvimento e aplicação de um controlador tipo PI nos modelos torcionais de 2 e 4 graus de liberdade da coluna de perfuração. Diversos casos são apresentados, tais como a capacidade de eliminação do fenômeno stick-slip, mudanças no ponto de operação e perturbações no sistema.

Capítulo 4 – Controle por Modo Deslizante. Este capítulo trata da abordagem da teoria do controle por modo deslizante (SMC) e sua aplicação para estabilização e controle da coluna de perfuração. São apresentados resultados de simulações baseados nos sistemas torcionais de 2 e 4 graus de liberdade.

Capítulo 5 – Controle por Linearização Exata por Realimentação. Nesse capítulo é apresentada a teoria básica para o desenvolvimento de um controlador por linearização entrada-estado (ISLC) e um controlador por realimentação entrada-saída (IOLC). A impossibilidade teórica da implementação de um controlador ISLC para o processo em estudo é provada. Um controlador IOLC é implementado nos sistemas torcionais de 2 e 4 graus de liberdade, e os resultados são analisados e discutidos.

Capítulo 6 – Conclusão e Recomendações para Trabalhos Futuros. Neste capítulo são expostas as conclusões sobre os resultados obtidos no presente trabalho, além de algumas propostas de trabalhos futuros.

10

Capítulo 2

Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração

2.1. Modelo Matemático de n-DOF

Modelo matemático é um conjunto de equações cuja solução é uma aproximação da resposta de um processo real, e, como tal, apresenta inúmeras limitações. No entanto, alguns modelos são melhores que outros em descrever certos sistemas físicos e de engenharia. Para propósitos de análise e controle, simplificações são necessárias a fim de facilitar a manipulação das equações. Nesse contexto, os modelos de parâmetros concentrados, e.g., modelos em equações diferenciais ordinárias, conduzem a uma análise e simulação do sistema mais simples em comparação com os modelos de parâmetros distribuídos, e.g., modelos em derivadas parciais.

A ideia de usar modelos dinâmicos para representar as condições de operação da coluna de perfuração tem sido um grande desafio. Diversos modelos de parâmetros concentrados foram propostos na literatura para descrever a resposta torcional da coluna, o composição de fundo da coluna (bottom hole assembly - BHA1) e o fenômeno stick-slip. Estes modelos consideram que a broca tem o comportamento de um pêndulo torcional, que pode ser descrita como um pêndulo de torção simples impulsionado por um sistema de rotação (motor elétrico); que os tubos de perfuração se comportam como uma mola de torção, que pode ser representada por uma mola linear de constante k e amortecimento torcional c, e que o contato entre a broca e a formação pode ser descrito por um modelo de atrito não- linear.

A maioria dos modelos torcionais de parâmetros concentrados é de dois graus de liberdade (2-DOF), i.e., esses modelos descrevem a dinâmica do sistema de rotação (tipicamente considerado como mesa rotatória) e o BHA (tipicamente considerado

1 BHA: Trecho da coluna de perfuração imediatamente acima da broca. Este trecho consiste

principalmente de tubos com parede de grande espessura, resistentes a esforços de compressão

conhecidos como comandos de perfuração (drill collars). O BHA inclui ainda outros acessórios como

estabilizadores, conectores de redução e outros.

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como a broca) (Navarro-López, 2010). Embora os modelos de 2-DOF tenham revelado importantes características da coluna de perfuração e das condições de fundo de poço, eles não refletem dois importantes fatores: o comprimento da coluna aumenta conforme a operação de perfuração progride e as oscilações ao longo dos tubos de perfuração conectados e os comandos de perfuração ou drill collars (logo acima da broca). Navarro-López & Cortés (2007a) propuseram um modelo descontínuo de parâmetros concentrados de n-DOF de uma coluna de perfuração vertical convencional que leva em conta os fatores anteriormente mencionados. A descontinuidade é introduzida pela interação broca-formação, a qual é modelada por uma relação de fricção a seco combinada com uma lei de decaimento exponencial. O modelo de n-DOF de Navarro-López & Cortés (2007a) é mostrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional com n graus de liberdade. A nomenclatura das variáveis e parâmetros do modelo é listada na

Tabela 2.1.

Na Figura 2.1, quatro partes da coluna de perfuração são claramente distinguidos: o sistema de rotação (basicamente a mesa rotatória, incluindo o motor elétrico e a caixa de transmissão do eixo real), os tubos de perfuração (cuja quantidade p varia de acordo com a profundidade do poço sendo perfurado), o BHA (incluindo o drill collars) e a broca. Na modelagem apresentada por Navarro-López & Cortés (2007a) são assumidas as seguintes considerações:

i. o poço e a coluna de perfuração são ambos verticais e em linha reta; ii. não há movimento lateral da broca;

12

iii. o atrito nas conexões dos tubos de perfuração e entre os tubos e o poço são omitidas;

iv. a lama de perfuração é simplificada por um elemento de atrito do tipo viscoso na broca;

v. o movimento orbital do fluido de perfuração é laminar; vi. a dinâmica do motor não é levada em conta, o torque de impulso é

suposto constante e positivo; vii. os tubos de perfuração tem a mesma inércia.

Assim, com as considerações acima citadas e definindo � e � , , , ,∀ = 1,… , , como sendo o deslocamento angular e a velocidade angular dos elementos da coluna de perfuração, em que os sub-índices , , e indicam as diferentes partes da coluna, isto é, sistema de rotação, tubos de perfuração, BHA e broca, respectivamente, o modelo mecânico rotacional da Figura 2.1 pode ser descrito pelo seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias (Navarro-López & Cortés, 2007a; Navarro-López, 2010):

� =1 − − � + � 1 − � + �1 (2.1a)

� 1 =1 � + � 2 − 2� 1 + � + �2 − 2�1 (2.1b)

� =1 � −1 + � +1 − 2� + � −1 + � +1 − 2� (2.1c)

� =1 � −1 − � + � −1 − � − � − � − � − � (2.1d)

� =1 � − � + � − � − � − � − � − � (2.1e)

� =1 � − � + � − � − (2.1f)

Na Equação (2.1a), o torque de impulso é proveniente de um motor elétrico localizado na superfície. Dado que é assumido que torques arbitrários podem ser aplicados sem levar em consideração a dinâmica do atuador que gera o torque, então

= , com > 0, sendo uma das entradas de controle do sistema. A outra entrada de controle é o . O torque de amortecimento viscoso corresponde à lubrificação dos elementos mecânicos do sistema de rotação, descrito como = � .

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Tabela 2.1– Variáveis e parâmetros do modelo da coluna de perfuração

Símbolo Nomenclatura � Torque do motor � Torque sobre a broca � Torque na mesa rotativa � Modelo de atrito entre a broca e a rocha

� Torque necessário para superar o coeficiente de atrito estático � Inércia do sistema de rotação � Inércia dos tubos de perfuração � Inércia do BHA � Inércia da broca � ,� Deslocamento e velocidade angular do sistema de rotação

� ,� Deslocamento e velocidade angular da broca

Coeficiente de amortecimento viscoso

Coeficiente de amortecimento torcional entre a mesa e os tubos

Coeficiente de amortecimento torcional entre os tubos e o BHA

Coeficiente de amortecimento torcional entre o BHA e a broca

Coeficiente de amortecimento torcional da broca

Coeficiente de rigidez torcional entre a mesa e os tubos

Coeficiente de rigidez torcional entre os tubos e o BHA

Coeficiente de rigidez torcional entre o BHA e a broca

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Coeficiente de rigidez torcional da broca

Coeficiente de atrito na broca

Coeficiente de atrito Coulomb associado com

Coeficiente de atrito estático associado com � Raio da broca � Peso sobre a broca � Velocidade induzida a fim de ter unidades apropriadas

Constante que define a taxa de redução de velocidade (0 < < 1)

Definindo: � = [� � … � � …� � � � ]

= 1 2 … 2 +1 −1 2( +1) … 2 −3 2 −2 2 −1 2 (2.2)

como o vetor de estados do sistema, com = 1,… , , e sendo um número inteiro que representa o grau de liberdade do modelo, a Equação (2.1) pode ser escrita como um modelo em espaço de estados da forma: � = � + + � (2.3)

em que A, B e são matrizes, cujas dimensões dependem do grau de liberdade. Para

um sistema com -DOF, a matriz A, de ordem 2 × 2 , e as matrizes B e , de ordem

1 × 2 , têm a seguinte estrutura:

15

=

0 1 0 0 0 0 0 0− − ( + )

0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0−2 −20 … 0 0

0 0 0 0 0 1 0 … 0 0

0 0 −2 −2 … 0

0 0 0 0 0 0 0 1 … 0

0 … − ( + ) − ( + )0 0

0 0 0 … … … … 1 0 0

0 0 0 … − ( + ) − ( + )

0 0 0 … … … 0 0 0 1

0 0 0 … … … − − ( + )

(2.4)

= 01

0

0

(2.5)

= 0

0

0− (�)

(2.6)

O torque na broca , que associa o torque de atrito seco mais o torque de amortecimento viscoso da broca, é descrito por (Navarro-López & Cortés, 2007a): � = + (�)

(2.7)

sendo que = 2 é o torque de amortecimento viscoso associado com o contato da broca e a formação. Este torque aproxima a influência da lama de perfuração na resposta da broca. (�) representa o modelo de atrito entre a broca e a formação. O

contato broca-formação é proposto como uma variação do atrito Stribeck conjuntamente com o modelo de atrito seco (Armstrong-Hélouvry et al., 1994). O modelo de atrito seco, quando 2 = � = 0, é aproximado por uma combinação do modelo switch proposto por Leine et al. (1998) e uma variação do modelo de Karnopp (1985), que introduz uma banda de velocidade zero. Assim, tem-se que (Navarro-López & Cortés, 2007b):

� = � , e 2 < , (fase stick) � , se 2 < , > (transição da fase stick para slip) � µ + µ − µ −( ) 2 2 , se 2 (fase slip)

(2.8)

16

em que > 0 é a largura da banda no modelo de atrito broca-formação (�). é o

torque de reação, isto é, o torque que deve o torque de atrito estático superar para que a broca se mova. é definido como:

= � (2.9)

sendo � > 0 o raio da broca. O torque de reação é dado por:

� = � −�

+ �

−�

− , = 2 �

−�

+ �

−�

− , > 2

(2.10)

A resposta de decaimento exponencial do torque sobre a broca coincide com valores experimentais de torque na broca (Navarro-López & Cortés, 2007b). Note que o modelo da Equação (2.3) é um sistema não-linear descontínuo 2n-dimensional. A descontinuidade é introduzida pelo atrito broca-formação, mais especificamente pela função sgn na Equação (2.8), considerada como:

= , ≠ 0

0 −1,1 , = 0

(2.11)

Do ponto de vista matemático, a função sgn é a descontinuidade do sistema e a causa de fenômenos dinâmicos complexos como as oscilações stick-slip.

A seguir são apresentadas simulações de casos particulares do modelo de n-DOF que capturam o principal fenômeno stick-slip e as oscilações nos tubos de perfuração.

2.2. Simulação de um Sistema de 2-DOF

O modelo torcional de 2-DOF de uma coluna de perfuração vertical convencional é composto de duas inércias amortecidas acopladas mecanicamente através de um eixo elástico com coeficientes de rigidez e amortecimento e , respectivamente. A Figura 2.2 representa a estrutura do modelo do sistema.

Definindo o vetor de estados:

� = [� � � � ] = 1 2 3 4 (2.12)

usando a Equação (2.1), e considerando = e = , o modelo para um sistema de 2-DOF pode ser escrito como:

17

1 = 2 2 =

1 − 1 − + 2 + 3 + 4 + 3 = 4 4 =

1 1 + 2 − 3 − + 4 − (�) (2.13)

em que � é definido pela Equação (2.8).

Figura 2.2 – Estrutura do modelo de 2-DOF de uma coluna de perfuração

Re-arranjando a Equação (2.13), na forma da Equação (2.3), obtêm-se as seguintes matrizes do modelo em espaço de estado:

=

0 1 0 0− − ( + )

0 0 0 1− − ( + ) (2.14)

= 01

0

0

(2.15)

= 0

0

0− ( ) (2.16)

O modelo (2.13) é implementado usando a plataforma computacional Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros utilizados na simulação

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correspondem ao projeto de uma coluna de perfuração real conforme Navarro-López (2008), os quais são mostrados na Tabela 2.2.

A Figura 2.3 representa o comportamento da velocidade angular da broca ( 4 = � ) e da mesa rotatória ( 2 = � ). É possível notar que em certos momentos a velocidade da broca é nula, ou seja, a broca pára de girar em relação à formação, causando o fenômeno denominado stick. Durante essa fase, o torque aplicado sobre a coluna passa a deformar a coluna por torção. Quando o torque sobre a broca supera o atrito estático entre a broca e a formação, a broca volta a se movimentar causando o fenômeno slip, no qual a energia armazenada durante a fase stick causa picos na velocidade angular da broca. A fase slip acontece até que o atrito broca-formação passa a superar o torque sobre a broca, repetindo-se todo o ciclo.

Tabela 2.2- Valores dos parâmetros do modelo de 2-DOF

Variável Valor Variável Valor � 2122 2 139,6126 / � 471,9698 2 425 / � 0,155575 50 /

698,063 / µ 0,5

0,9 µ 0,8

� 1 �� 10−6

� 53018 � 6

Os deslocamentos angulares da mesa rotatória ( 1 = � ) e da broca ( 3 = � ) são mostrados na Figura 2.4 (lado esquerdo). Como pode ser visualizado na fase stick, enquanto o deslocamento angular da mesa rotatória praticamente continua constante, não há progressão do deslocamento da broca dado que a sua velocidade é nula nessa fase e, portanto, não há perfuração da formação. A diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca é mostrada na Figura 2.4 (lado direito). Note-se que essa diferença de deslocamento é sempre positiva, o que significa que o deslocamento da mesa rotatória está sempre à frente do deslocamento da broca. As paradas da broca na fase stick contribuem a uma redução do seu deslocamento em relação à mesa rotatória.

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Na Figura 2.5 ilustra-se a trajetória do sistema no espaço 1 − 3, 2 , 4 , denotando o ciclo do fenômeno stick-slip, em que P1 e P2 são os pontos que indicam quando o sistema entra e sai da fase stick, respectivamente, i.e., o intervalo em que a velocidade angular da broca é nula. O perfil da trajetória tem a forma de ciclos limites, mostrando a natureza oscilatória e periódica do movimento do sistema.

Figura 2.3 – Velocidade angular da broca (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 2-DOF

Figura 2.4 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1) e da broca (x3). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca no sistema

de 2-DOF

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Figura 2.5 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 2-DOF


Para o caso do sistema de perfuração com 3 graus de liberdade, é considerado que o sistema é composto de três inércias ( , e ) amortecidas e acopladas

mecanicamente através de dois eixos elásticos com coeficientes de rigidez e e de amortecimento e , respectivamente. A distribuição destes elementos no sistema é mostrada na estrutura mecânica da Figura 2.6.

Definindo o vetor de estados: � = [� � � � � � ] = 1 2 3 4 5 6 (2.17)

e usando a Equação (2.1), o modelo para um sistema de 3-DOF pode ser representado por:

21


Usando a Equação (2.1), a modelagem para o sistema 3-DOF pode ser representada por:

1 = 2 2 =

1 − 1 − + 2 + 3 + 4 + 3 = 4 4 =

1 1 + 2 − + 3 − + 4 + 5 + 6 5 = 6 6 = 1 3 + 4 − 5 − + 6 − �

(2.18)

sendo que � é descrito pela Equação (2.8). Colocando a Equação (2.18) na forma

matricial da Equação (2.3), tem-se que as matrizes do modelo em espaço de estado são:

=

0 1 0 0 0 0− − ( + )

0 0

0 0 0 1 0 0− ( + ) − ( + )

0 0 0 0 0 1

0 0 − − ( + )

(2.19)

22

= 01

0

00

0

(2.20)

= 0

000

0− ( ) (2.21)

O modelo (2.18) é implementado usando o pacote Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros de simulação correspondem ao projeto de uma coluna de perfuração real, reportados por Navarro-López (2009), os quais são apresentados na Tabela 2.3.

Tabela 2.3– Valores dos parâmetros do modelo de 3-DOF

Variável Valor Variável Valor � 2122 2 139,6126 / � 471,9698 2 425 / � 750 2 181,49641 /

� 0,155575 50 /

907,482089 / µ 0,5

698,063 / µ 0,8

0,9 �� 10−6 � 1 � 8138

� 74386

As velocidades angulares dos componentes do sistema são mostradas na Figura 2.7. Nesta figura, é notória a presença do fenômeno stick-slip na coluna pela forma

23

oscilatória da velocidade angular da broca ( 6 = � ), sendo esta zero em determinados instantes (fase stick) e apresentando picos de velocidade elevada em outros (fase slip). Também é possível verificar na Figura 2.7, que a velocidade angular dos tubos de perfuração ( 4 = � ) é diferente da velocidade angular da mesa rotatória ( 2 = � ), revelando perdas de energia entre a mesa e os tubos. Lembrando que os tubos de perfuração são responsáveis repassar a energia gerada pela mesa para a broca, energia esta armazenada na fase stick e gasta na fase slip.

Figura 2.7 – Velocidade angular da broca (x6), do tubo de perfuração (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 3-DOF

Na Figura 2.8, no lado esquerdo é mostrado o deslocamento angular dos elementos do sistema durante a perfuração. Observe que na fase stick, enquanto o deslocamento da angular da mesa ( 1 = � ) praticamente continua constante, não há deslocamento da broca ( 5 = � ), porém existe uma redução do deslocamento dos tubos de perfuração ( 3 = � ). Já, no lado direito da Figura 2.8, visualiza-se a diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca que, embora oscilatória, é sempre positiva. Esta diferença começa aumentar na fase stick e diminui durante a fase slip.

A Figura 2.9 apresenta a trajetória do sistema no espaço 1 − 5, 2, 6 , ressaltando o ciclo do fenômeno stick-slip. Os pontos P1 e P2 indicam os locais onde o sistema entra e saí da fase stick, respectivamente.

24

Figura 2.8 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de perfuração (x3) e da broca (x5). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa

rotatória e a broca no sistema de 3-DOF


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O modelo torcional de 4-DOF de uma coluna de perfuração vertical convencional considera quatro inércias ( , , e ), que representam o sistema de

rotação, tubos de perfuração, BHA e broca, amortecidas e acopladas mecanicamente através de três eixos elásticos com coeficientes de rigidez , e e de amortecimento , e , respectivamente. A estrutura mecânica da Figura 2.10 mostra a localização destes elementos no modelo.


Definindo o vetor de estados: � = [� � � � � � � � ] = 1 2 3 4 5 6 7 8 (2.22)

e usando a Equação (2.1), o modelo o sistema de 4-DOF é descrito pelo seguinte conjunto de equações no espaço de estados:

26

1 = 2 2 =

1 − 1 − + 2 + 3 + 4 + 3 = 4 4 =

1 1 + 2 − + 3 − + 4 + 5 + 6 5 = 6 6 = 1 3 + 4 − + 5 − + 6 + 7 + 8 7 = 8 8 = 1 5 + 6 − 7 − + 8 −

(2.23)

sendo que � é definido pela Equação (2.8). A Equação (2.23) pode ser expressa na

forma matricial da Equação (2.3). Assim, as matrizes do modelo em espaço de estados são:

=

0 1 0 0 0 0 0 0− − ( + )

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0− ( + ) − ( + )0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 − ( + ) − ( + )

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 − − ( + )

(2.24)

=

01

0

000

00

(2.25)

=

0

00000

0− ( )

(2.26)

O modelo (2.23) é implementado usando o pacote computacional Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros usados na simulação correspondem a

27

uma coluna de perfuração real2, composta de 130 tubos de perfuração (cada tubo tem 12,7 cm de diâmetro externo, 11,2 cm de diâmetro interno e 9 m de comprimento) e uma broca de rolamentos cônicos (de 32,11 cm de diâmetro externo, 16,5 cm de diâmetro interno e 1,5 m de comprimento). Exemplos de brocas de rolamentos cônicos são mostrados na Figura 2.11.

Figura 2.11 – Brocas de rolamentos cônicos

Os parâmetros da coluna são obtidos de Navarro-López e Cortés (2007b) e são listados na Tabela 2.4.

A Figura 2.12 delineia o comportamento da velocidade angular dos elementos da coluna, podendo ser facilmente observado o fenômeno stick-slip, pela resposta oscilatória e de velocidade zero da broca ( 8 = � ) em determinados instantes. Devido à estrutura do modelo, é possível diferenciar as velocidades da broca e do BHA ( 6 = � ). A velocidade do BHA tem um perfil similar à velocidade da broca na fase slip. As frequências de oscilação da velocidade dos tubos de perfuração ( 4 = � ) e da

mesa rotatória ( 2 = � ) apresentam defasagem em relação à velocidade dos outros componentes da coluna, sendo a amplitude da velocidade da mesa maior na fase stick, quando é necessário um torque suficiente, para superar o atrito broca-formação.

A Figura 2.13 (lado esquerdo) apresenta o deslocamento angular dos elementos da coluna. Na fase stick, é possível visualizar que enquanto a broca pára de se movimentar ( 7 = � ), há uma certa redução no deslocamento angular do BHA ( 5 = � ) e dos tubos de perfuração ( 3 = � ). Já o deslocamento angular da mesa

rotatória ( 1 = � ) aumenta, em razão do aumento da velocidade angular da mesa nessa fase. Na fase slip, o deslocamento angular da broca é superior ao deslocamento angular dos outros componentes da coluna. Na Figura 2.13 (lado direito) mostra-se a

2 Parâmetros de um sistema em escala reduzida podem ser obtidos em Navarro-López & Cortés (2007a).

28

diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca, a qual aumenta na fase stick e diminui na fase slip.

A Figura 2.14 mostra a trajetória do sistema de 4-DOF no espaço 1 −7, 2, 8 , denotado o ciclo do fenômeno stick-slip, sendo P1 e P2 são os pontos que

indicam onde o sistema entra e saí da fase stick, respectivamente.

Tabela 2.4 – Valores dos parâmetros do modelo de 4-DOF

Variável Valor Variável Valor � 930 2 139,6126 / � 471,9698 2 425 / � 2782,25 2 181,49 /

� 750 2 190 / � 0,155575 50 /

907,48 / µ 0,5

698,063 / µ 0,8

1080 / �� 10−6 � 1 0,9

� 97347 � 10

29

Figura 2.12 – Velocidade angular da broca (x8), do tubo de perfuração (x6), do BHA (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 4-DOF

Figura 2.13 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de perfuração (x3), do BHA (x5) e da broca (x7). Direita: diferença de deslocamento angular

entre a mesa rotatória e a broca no sistema de 4-DOF

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As simulações dos sistemas de 2-DOF, 3-DOF e 4-DOF mostraram que o modelo torcional apresentado neste capítulo reflete as oscilações características do fenômeno stick-slip em colunas de perfuração, semelhante à resposta real mostrada na Figura 1.3. Portanto, o modelo apresentado é adequado para o desenvolvimento do presente trabalho.

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Capítulo 3

Controle PI das Vibrações “Stick-Slip”

3.1. Introdução

O surgimento de vibrações é inevitável durante o processo de perfuração. Os sintomas causados por essas excessivas vibrações podem ser verificados na superfície através das oscilações dos valores de rotação da coluna de perfuração e do torque da mesma. As vibrações são consideradas causas de dificuldades de avanço, pois quando elas ocorrem causam baixa ou nula taxa de perfuração, além de provocar danos aos equipamentos, que por sua vez, requerem manobras para trocá-los, resultando em tempo de perfuração não-produtivo (Chipindu, 2010).

Medições no fundo do poço mostram que a aplicação de uma rotação constante na superfície não necessariamente se traduz em uma rotação constante na broca. De fato, a velocidade de rotação no fundo do poço tipicamente apresenta grandes oscilações de amplitude durante grande parte do tempo de perfuração. Essa velocidade de rotação não uniforme deve-se à excitação dos modos de vibrações torcionais (Divényi, 2009). Devido a esses excessivos problemas causados pelas oscilações stick-slip durante o processo de perfuração, foram realizados estudos de aplicações de leis de controle com o objetivo de eliminar ou diminuir a frequência dessas oscilações. Entre os diferentes tipos de controladores que foram aplicados nesses sistemas, o uso do controlador PID é um dos mais referenciados na literatura.

Baseado no trabalho de Canudas-de-Wit et al. (2008), o presente capítulo mostra o desenvolvimento e aplicação do controlador PI e PI-P (proporcional, integrativo-proporcional) no sistema torcional apresentado no capítulo anterior. O objetivo principal do controle é conduzir a velocidade do sistema de rotação à velocidade desejada e, inferencialmente ou indiretamente, conduzir a velocidade da broca à velocidade do sistema de rotação, visando, assim, suprimir as oscilações stick-slip em colunas de perfuração.

32

3.2. Desenvolvimento dos Controladores PI e PI-P

Os controladores PI e PI-P são desenvolvidos tomando como base o sistema torcional de 2-DOF. Ambos os controladores possuem como variável manipulada o torque do motor e como variável controlada a velocidade do sistema de rotação ( 2 = � ). Já o controlador PI-P adiciona uma correção proporcional ao erro entre a velocidade da broca ( 4 = � ) e a velocidade do sistema de rotação. Além dessas variáveis, há para ambos os controladores a perturbação do sistema, representada pela variação da força peso sobre a broca . Inicialmente, será apresentado o desenvolvimento do controlador PI, considerando a seguinte lei de controle:

= 1 5 + 2 5 (3.1)

em que 1 e 2 representam os parâmetros de sintonia do controlador e 5 representa a integral do erro entre a variável controlada e o setpoint, ou seja:

5 = − 2 (3.2) 5 = − 2 (3.3)

sendo que refere-se ao setpoint da velocidade angular do sistema de rotação, o qual para um caso típico de operação de perfuração tem valor entre 12 e 14 rad/s (Navarro-López, 2009). Neste trabalho o valor do setpoint escolhido foi de 12 rad/s, estando dentro da faixa de operação para perfuração de poços de petróleo.

Considerando a Equação (3.2), o novo vetor em espaço de estado para o sistema em malha fechada é:

= 1 2 3 4 5 = � � � � 5 (3.4)

Assim, substituindo a lei de controle da Equação (3.1) nas equações em espaço de estado do sistema de 2-DOF, Equação (2.13), e adicionando o novo estado 5, o sistema em malha fechada é descrito por:

1 = 2 2 =

1 − 1 − + 2 + 3 + 4 + 1 5 + 2 5 3 = 4 4 =

1 1 + 2 − 3 − + 4 − 5 = − 2

(3.5)

33

A determinação dos parâmetros de sintonia do controlador ( 1 e 2) é baseada no método de ajuste proposto por Canudas-de-Wit et al. (2008). Para isto é definida uma nova variável e uma constante representadas por:

= (� − � ) (3.6)

2 =1

(3.7)

A partir das Equações (3.1), (3.4) e (3.5), tem-se que: � + � − � + � − � + � = (3.8) � − � − � − � − � + � = − (3.9)

Substituindo as Equações (3.6) e (3.7) nas Equações (3.8) e (3.9), obtêm-se: � + 2 + + � = (3.10) � − 2 − + � = − (3.11)

A Equação (3.12) é gerada a partir da subtração das Equações (3.10) e (3.11), i.e.:

2 = − − 2 + + − � + + (3.12)

=

+ (3.13)

Salvo que o coeficiente de rigidez torcional entre a mesa e os tubos ( ) seja muito maior que 1 ( 1), então, de (3.7), pode-se assumir que = 0. Portanto: � + + � = (3.14)

0 = − + − � + + (3.15)

Isolando a variável da Equação (3.15), obtém-se:

= − � + + (3.16)

Substituindo a Equação (3.16) e a lei de controle da Equação (3.1) na Equação (3.14), resulta-se em: � + +

+ � = 1

+ 1 5 + 2 5 − 1

+ (3.17)

34

Supondo que + + , e definindo as novas variáveis � , � e � como: � = 5 =

− � (3.18) � = 5 = − � (3.19) � = −�

(3.20)

Temos que substituindo na Equação (3.17), resulta em: � + 1

+ � + 2

+ � =

+ (3.21)

É possível notar que a Equação (3.21) pode ser representada pela forma padrão de um sistema de 2ª ordem, cuja função de transferência é: =

2

2 + 2ζ + 2 (3.22)

=1� (3.23)

onde:

ζ representa o fator de amortecimento. Sua função é obter uma medida da quantidade de amortecimento do sistema, ou seja, o grau de oscilação na resposta do processo após uma perturbação.

τ equivale ao tempo característico de período natural de oscilação do sistema, isto é, determina a velocidade (ou equivalentemente, o tempo de resposta) do sistema.

representa o ganho do sistema.

é a frequência natural de amortecimento

Analisando a Equação (3.21) como uma equação de 2ª ordem, e impondo o fator de amortecimento ζ e a frequência natural , encontram-se as equações referentes aos ganhos do controlador 1 e 2.

1 = + 2 ζ − +

+ (3.24)

2 = + 2 (3.25)

Para o projeto do controlador PI foi escolhido um ζ > 1, ou seja, um sistema superamortecido referente a um sistema com dois pólos (raízes) reais puros e distintos, representados na Figura 3.1 e definidos por:

35

1 = − ζ − ζ2 − 1 (3.26)

2 = − ζ + ζ2 − 1 (3.27)

Figura 3.1 – Representação dos pólos para um sistema superamortecido

A principal característica do sistema superamortecido se concentra na capacidade do sistema absorver toda a energia vibratória inicial antes que ocorra o ciclo vibratório, ou seja, inibe a vibração.

O controlador alternativo PI-P é uma combinação do controlador PI com o controlador P, sendo o PI responsável em induzir à velocidade de rotação ( 2) a velocidade desejada ( ), e o controlador P tem o papel de induzir à velocidade da broca ( 4) a velocidade do sistema de rotação. Canudas-de-Wit et al. (2008) basearam-se em Christoforou & Yigit (2003), e propuseram uma lei de controle expressa da seguinte forma:

= 1 5 + 2 5 + 3( 2 − 4 ) (3.28)

Note que essa nova lei de controle resulta da lei descrita anteriormente, acrescida de um ganho proporcional a partir de um novo erro ( = 2 − 4). Para o ajuste deste controlador, todo o procedimento para encontrar os valores das constantes

1 e 2 é o mesmo proposto para o desenvolvimento do controlador PI. Já para o cálculo do parâmetro 3 considera-se novamente a Equação (3.12) e substitui-se a nova lei de controle da Equação (3.28), obtendo-se a seguinte expressão:

2 = − − 2 + + − �

+1 5 + 2 5 + 3( 2 − 4 )

+

(3.29)

A lei de controle pode ser representada como:

36

= + (3.30)

onde = 1 − � + 2 − � , e = 3( 2 − 4).

Reescrevendo a Equação (3.29) tem-se:

2 = − − 2 + + − � + + + (3.31)

Considerando ≠ 0 a Equação (3.31) pode ser reescrita como:

2 = − − 2 + + + + � � ∗,�∗ (3.32)

sendo que � � ∗,�∗ é definido como: � � ∗,�∗ = − � ∗ +(� ∗,�∗)

=∗ − (3.33)

Considerando uma nova variável � = − ∗, e = − 3� a Equação (3.32)

é reescrita da seguinte forma: � + + � + 12

� =1

(3.34)

Ou

� + + +3 � + 1

2� = 0 (3.35)

Do mesmo modo que no caso da Equação (3.21), a Equação (3.35) pode ser representada pela forma padrão de um sistema de 2ª ordem. Assim, impondo um fator de amortecimento e a frequência natural , o ganho 3 pode ser calculado a partir da seguinte relação:

3 = 2 − − (3.36)

3.3. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema de 2-DOF

Neste tópico serão mostrados alguns resultados de simulações da aplicação dos controladores PI e PI-P no modelo torcional da coluna de perfuração apresentado no capítulo anterior.

37

O ajuste dos controladores é baseado no método de alocação de pólos, usando a análise apresentada na seção anterior. Portanto, assumindo os valores dos fatores de amortecimento ζ = 1,55 e = 5,76, e da frequência natural = 0,062 rad/s, e usando as Equações (3.24), (3.25) e (3.36), obtêm-se os ganhos 1 = 25, 2 = 10 e

3 = 20, respectivamente. Inicialmente, é aplicado o controlador PI no sistema de 2-DOF, cuja

implementação na plataforma Simulink/MATLAB™ é mostrado na Figura 3.2.

Figura 3.2 – Implementação do controlador PI no sistema de 2-DOF no Simulink/MatlabTM

Primeiramente assume-se que o sistema está em malha aberta, i.e. a operação apresenta o fenômeno stick-slip. Após 50 segundos, ativa-se o controlador PI com um setpoint para a velocidade angular do sistema de rotação = 12 rad/s. A Figura 3.3 apresenta o comportamento da variável controlada principal e da variável controlada inferida, velocidades do sistema de rotação ( 2) e da broca ( 4), respectivamente. Nota-se que após a aplicação do controlador, o sistema obteve velocidades constantes e iguais ao setpoint tanto para a broca quanto para a mesa rotativa, inibindo as oscilações stick-slip. A figura também mostra o perfil da variação da variável manipulada, torque no motor ( ).

A Figura 3.4 ilustra o comportamento do sistema, estando ele sob controle, a variações no setpoint nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Percebe-se que o sistema acompanha o valor desejado sem sofrer oscilações, consequência da resposta característica de um sistema de 2ª ordem superamortecido, fator almejado durante o desenvolvimento do projeto.

38

Figura 3.3 – Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Figura 3.4 - Resposta a variações no setpoint do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Na Figura 3.5 é apresentado o desempenho regulador do sistema controlado sob os efeitos de perturbações. Para isto, assume-se que no instante = 500 há um aumento no peso da broca ( ) de 53018 N para 63621,6 N, provocando uma redução

39

nas velocidades de rotação do sistema. Para compensar esta perturbação, o controlador aumenta o torque do motor, fazendo que as velocidades tendam a retornar ao valor de referência. Situação similar ocorre em = 900 , onde sofre uma redução de 63621,6 N para 42414,4 N, fato que aumenta as velocidades de rotação, sendo o controlador obrigado a reduzir o valor de . Finalmente, em = 1300 há um novo aumento do de 42414,4 N para 53018 N e, por conseguinte, um aumento no valor do torque .

Figura 3.5 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Observa-se que para todos os casos que foram simulados, apesar da variável a ser controlada seja a velocidade do sistema de rotação, o controlador consegue controlar de forma indireta ou inferencial a velocidade angular da broca, absorvendo as oscilações e levando-a ao valor do setpoint.

Do mesmo modo, foram realizadas simulações utilizando o controlador PI-P. Como poderá ser deduzido das respostas a seguir, o ganho proporcional extra adicionado ao controlador PI não influencia significativamente o desempenho do sistema.

As Figuras 3.6, 3.7 e 3.8 apresentam os valores das velocidades do sistema de rotação e da broca para o sistema 2-DOF utilizando o controlador PI-P, sendo que na primeira figura o controlador só é acionado após 50 segundos de operação. A segunda figura mostra a resposta do sistema controlado a variações no setpoint, e a terceira figura apresenta a resposta do sistema controlado a alterações no peso na broca nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Em todas as figuras, as respostas do sistema com o controlador PI-P são semelhantes às obtidas com o controlador PI,

40

mostrando assim o bom desempenho do controlador PI na eliminação de oscilações stick-slip e controle de sistemas de perfuração de poços de petróleo.

Figura 3.6 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis controladas (II) variável manipulada

Figura 3.7 - Resposta a variações no setpoint no sistema 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

41

Figura 3.8 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

3.4. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema 4-DOF

Nesse item serão apresentados os resultados das simulações referentes à aplicação dos controladores PI e PI-P no sistema 4-DOF, sendo que os parâmetros de ajuste dos controladores são os mesmos usados no caso do controle do sistema de 2-DOF. Isto foi realizado com o objetivo de introduzir incertezas no desenvolvimento dos controladores.

Para o sistema de 4-DOF, considera-se a seguinte lei de controle:

= 1 9 + 2 9 (3.37)

9 = − 2 (3.38)

Assim, para o sistema em malha fechada formula-se um novo vetor em espaço estado, , da seguinte forma:

= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = � � � � � � � � 9 (3.39)

As equações em espaço estado do sistema de 4-DOF em malha fechada são obtidas da mesma forma que para o caso do sistema de 2-DOF, ou seja, adicionando o

42

novo estado 9 e a lei de controle da Equação (3.37) no sistema da Equação (2.23), obtendo:

1 = 2 2 =

1 − 1 − + 2 + 3 + 4 + 1 9 + 2 9 3 = 4 4 =

1 1 + 2 − + 3 − + 4 + 5 + 6 5 = 6 6 = 1 3 + 4 − + 5 − + 6 + 7 + 8 7 = 8 8 = 1 5 + 6 − 7 − + 8 − 9 = − 2

(3.40)

A Figura 3.9 ilustra graficamente a aplicação do controlador PI no sistema de 4-DOF no Simulink/MATLAB™.

Figura 3.9 – Implementação do controlador PI no sistema de 4-DOF no Simulink/MatlabTM.

43

A Figura 3.10 mostra a estabilização do sistema depois do controlador ficar ativo. Em comparação com a resposta do sistema de 2-DOF (Figura 3.3), no presente caso, embora as oscilações stick-slip sejam maiores em amplitude e o tempo de estabilização seja maior, a sobrepassagem é bem menor. As variáveis controladas, direta e indireta, i.e a velocidade do sistema de rotação ( 2) e a velocidade da broca ( 8), respectivamente, são praticamente as mesmas e ambas apresentam uma leve vibração depois de ativado o controle, a qual desaparece na estabilização, alcançando juntas o setpoint = 12 rad/s. O perfil da variável manipulada ( ) é mais conservativo que no caso do controle do sistema de 2-DOF.

A Figura 3.11 mostra a resposta do controle do sistema de 4-DOF a variações no setpoint, ocorrendo estas variações nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Em comparação com as respostas do sistema de 2-DOF da Figura 3.4, no presente caso as respostas das velocidades do sistema de rotação e da broca são idênticas e ambas apresentam características de um sistema de subamortecido, com leve sobrepassagem e oscilação tênue a cada mudança de setpoint. A variável manipulada acompanha o perfil de resposta das variáveis controladas. Quando uma velocidade angular maior é requerida, o controlador fornece um torque maior e vice-versa.

Figura 3.10 - Resposta do sistema de 4-DOF com o Controlador PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Na Figura 3.12 se ilustra a resposta reguladora do controle PI do sistema de 4-DOF sujeito a perturbações aplicadas no peso da broca ( ). Estas perturbações equivalem a variações de +20% do valor inicial do peso, um decréscimo de -40% e retorno ao valor inicial, ocorrendo nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Como pode ser visualizado, o controle consegue compensar as perturbações, tratando de

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manter a variável controlada principal ( 2) e controlada indireta ( 8) no setpoint. Porém, comparando com o controle do sistema de 2-DOF da Figura 3.5, neste caso os picos nas velocidades angulares são maiores, apresentando leves sobrepassagens no retorno ao ponto de operação. Conforme mostrado nas simulações anteriores, a variável manipulada apresenta uma curva de resposta característica de um sistema de 2ª ordem, diferente da Figura 3.5, cuja curva é característica de um sistema de 1ª ordem.

Figura 3.11 - Resposta a variações no setpoint do sistema 4-DOF com o controlador PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

A aplicação do controlador PI-P no sistema de 4-DOF apresentou um desempenho levemente superior que o do controlador PI. No caso da estabilização da resposta, Figura 3.13, não existe as pequenas vibrações nas variáveis controladas depois da ativação do controle, embora o valor máximo da variável manipulada seja superior. No caso de variações no setpoint, Figura 3.14, a resposta é ligeiramente menos oscilatória depois de cada mudança do ponto de operação; sendo que no caso das perturbações no peso da broca, Figura 3.15, os picos das velocidades do sistema de rotação e da broca são menores depois de cada variação no .

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Figura 3.12 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Figura 3.13 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variável controladas, (II) variável manipulada

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Figura 3.14 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Figura 3.15 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variáveis manipuladas

A partir dos resultados das simulações que foram apresentadas é possível chegar às seguintes conclusões:

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Os controladores PI e PI-P se mostraram eficiente na eliminação das oscilações stick-slip, seguimento do setpoint e rejeição de perturbações em colunas de perfuração,

Os controladores PI e PI-P foram desenvolvidos baseados num sistema de 2ª ordem, e apresentaram o mesmo desempenho quando aplicados na coluna de perfuração de 2-DOF.

Os controladores PI e PI-P desenvolvidos para o sistema de 2-DOF podem ser aplicados a sistemas de ordem superior, como no de 4-DOF, com desempenho ligeiramente superior do controlador PI-P.

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Capítulo 4

Controle por Modos Deslizantes

4.1. Introdução

Este capítulo apresenta a abordagem do controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control – SMC) de primeira ordem e sua aplicação em sistemas de perfuração de poços de petróleo.

O SMC é conhecido por ser um método de controle robusto adequado para o controle de sistemas incertos. Sua alta robustez é mantida contra vários tipos de incertezas, tais como perturbações externas e erros de medição. O SMC pode ser realizado pelo controle com estrutura variável (VSC). Como o nome sugere, o VSC são classes de sistemas na qual a lei de controle é deliberadamente mudada durante o processo de controle, conforme algumas regras definidas, as quais vão depender do estado do sistema (Edwards & Spurgeon, 1998).

A inclusão do estudo do SMC no presente trabalho deve-se ao fato das inúmeras referências reportadas na literatura voltadas ao controle do fenômeno stick-slip. A seguir serão apresentados os conceitos básicos do SMC e, posteriormente, o desenvolvimento de um SMC e sua aplicação no controle da velocidade do sistema de rotação de uma coluna de perfuração.

4.2. Aspectos Gerais do SMC

O termo VSCS fez sua primeira aparição no final da década de 50. Desde aquela época, novas direções de pesquisas foram apontadas devido ao surgimento de novas classes de problemas de controle, aos novos métodos matemáticos, aos avanços recentes em circuitos de comutação e aos princípios de novas leis de controle (Utkin, 1993).

Uma das principais características do VSCS é a capacidade de se obter trajetórias que descrevem um novo tipo de movimento, denominado modo deslizante. Essencialmente, o VSCS utiliza uma lei de controle de comutação de alta velocidade para conduzir a trajetória do estado da planta não linear a uma superfície escolhida e

49

especificada no espaço de estado, denominada de superfície de deslizamento ou de comutação (DeCarlo et al., 1998). Essa superfície especifica um comportamento desejado para a dinâmica do sistema em malha fechada.

Em geral, a dinâmica transiente do SMC consiste em dois modos: um modo de longo alcance (ou modo nonsliding), seguido por um modo deslizante. Assim, o projeto do SMC envolve, em primeiro lugar, um projeto de uma apropriada função de chaveamento ( ) para uma dinâmica desejada do modo de deslizamento (Gao & Hung, 1993) e, em segundo lugar, o projeto do controlador tal que satisfaça as condições de existência e alcançabilidade (Damazo, 2008).

O SMC oferece vantagens significativas, tais como bom comportamento transitório, capacidade de rejeição às perturbações não-modeladas e insensibilidade a não-linearidades da planta ou variações dos parâmetros. Entretanto, há algumas dificuldades no SMC, como (Oliveira, 2006):

Ocorrência indesejável do fenômeno de trepidação (chattering) induzido por não-idealidades, como pequenos atrasos ou dinâmicas não-modeladas (modo deslizante real);

Necessidade geral de se ter acesso ao vetor de estado completo para implementar a superfície de chaveamento;

Conhecimento da direção de controle.

O chattering é um fenômeno indesejável de oscilações com frequência e amplitude finita, as quais ocorrem durante aplicações práticas de controle por modo deslizante. Este fenômeno pode excitar as dinâmicas não modeladas, as quais podem levar o sistema à instabilidade.

4.3. Síntese do Controlador SMC

Considere uma classe de sistema não linear representado por:

= , + , + �( )

= ( , ) (4.1)

onde � é o vetor de estados, � é o vetor de saída, � é o vetor de entrada, ( , ), ( , ) e ( , ) são funções conhecidas, limitadas e continuamente diferenciáveis em relação a todos os argumentos, e �( ) representa uma perturbação desconhecida (Fergütz, 2001).

Uma superfície de deslizamento é definida no espaço de estados � igualando a zero a variável ( , ), descrita por (Ming, 1997):

, = + −1 ( ) (4.2)

50

Sendo que = − ( ) representa o erro de rastreamento da variável , onde ( ) é o estado desejável, e δ é uma constante estritamente positiva,

considerada como a largura de banda do sistema. A modo de exemplos, superfícies de deslizamento para = 2 e = 3 são dadas pelas Equações (4.3) e (4.4), respectivamente:

= + (4.3)

= + 2 + 2 (4.4)

Para que o problema de seguimento seja alcançado usando o controle finito , o estado inicial desejado (0) deve ser tal que: 0 = (0)

(4.5)

Dada as condições iniciais, Equação (4.5), o problema de seguimento do vetor de dimensão pode em efeito ser substituído por um problema de estabilização de 1ª

ordem em . De fato, já que a expressão de na Equação (4.2) contém ( −1), só é necessário diferenciar uma vez para que a entrada possa aparecer de forma explícita (Slotine & Li, 1991).

Um resultado similar deve ser obtido se for usado o controle integral, da forma (Slotine & Li, 1991):

= + −1 0

� (4.6)

Após simplificar a expressão como uma equação de primeira ordem, o problema de manter em zero pode ser alcançado pela escolha da lei de controle da Equação (4.1).

Para garantir a existência de um modo deslizante ideal, ou seja, garantir que a superfície de deslizamento seja alcançada em um tempo finito, é necessário considerar a condição de alcançabilidade, descrita por (Nunes, 2004): − | |

(4.7)

onde é uma constante pequena e estritamente positiva. Reescrevendo a Equação (4.7) tem-se que:

1

22 − | | (4.8)

Integrando a Equação (4.8), de 0 a , resulta em: − | (0)| − (4.9)

51

sendo o tempo de alcance da superfície de deslizamento, ou seja, = 0, a Equação (4.9) pode ser reescrita da seguinte forma:

0 − | (0)| − (4.10)

Isso implica que:

(0) (4.11)

A Figura 4.1 ilustra o comportamento de um sistema de 2ª ordem ( = 2), onde se pode notar que a condição de alcançabilidade mostrou-se satisfatória. A superfície de deslizamento é uma linha no retrato de fase de declive δ e que contem o ponto = [ ] . O movimento da trajetória do sistema pode ser dividido em duas fases. Na fase de aproximação, a trajetória começa de algum ponto inicial no plano de

fase, e é conduzida até a superfície em um tempo finito menor do que 0 . Na segunda

fase, o sistema entra em modo deslizante, ou seja, desliza ao longo da superfície na direção de , com uma constante de tempo igual a 1/ , ocorrendo uma redução na ordem da dinâmica do sistema, que passa a ser dada pela equação da superfície de deslizamento. Observa-se que, uma vez na superfície, a trajetória permanece na superfície (Slotine & Li, 1991).

Figura 4.1 – Interpretação gráfica das Equações (4.6) e (4.8) (Slotine & Li, 1991)

Em resumo, a idéia é usar uma equação que represente de forma satisfatória a superfície de deslizamento , de acordo com a Equação (4.2), e, em seguida, selecionar uma lei de controle em (4.1), tal que as trajetórias do sistema continuem apontado em direção a superfície de deslizamento, apesar da presença das perturbações e incertezas do modelo.

Supondo que = , �, , podemos escrever = , , da seguinte forma (Fergütz, 2001):

52

= � � + + = � � + + [ , + , + �( )]

= , + � + , ( )

(4.12)

onde

, = + , � = � � + � , = ( , )

(4.13)

A simplificação e o desacoplamento da equação (4.12) com relação ao controle podem ser feitos com a seguinte lei de controle (Fergütz, 2001):

= − ( , ) −1 , + [ ( , )]−1 (4.14)

sendo ( , ) uma matriz não-singular, e a lei de controle descontínua. Substituindo a Equação (4.14) na Equação (4.1), obtem-se: , , �, = + (�)

(4.15)

Para o projeto e estudo de um sistema de controle, um dos pontos mais importantes é a sua estabilidade. De forma geral deve-se garantir que o sistema seja estável. Um sistema instável além de ser difícil de controlar é potencialmente perigoso, se a energia a ele associada for elevada (Silva, 2003). Portanto, o controle é projetado de acordo com as condições de estabilidade de Lyapunov. Para isso, considera-se a seguinte função de Lyapunov (Fergütz, 2001):

=1

22 (4.16)

Para garantir a estabilidade, a função escalar ( ), tem que ser contínua com sua primeira derivada contínua, de forma que:

0 = 0 e > 0, ∀ ≠ 0;

→ ∞, quando → ∞;

< 0, ∀ ≠ 0.

Logo o ponto de equilíbrio na origem é dito globalmente e assintoticamente estável.

A derivada da Equação (4.16) fica:

53

= = (4.17)

Substituindo a Equação (4.17) na Equação (4.15), tem-se que: ( ) = ( + ) (4.18)

A negatividade da expressão ( ) é garantida considerando as seguintes leis de controle descontínuas (Fergütz, 2001):

a) Lei de alcançabilidade de taxa constante = − ( ) , > 0 (4.19)

onde é o índice de taxa constante.

Substituindo a Equação (4.19) na Equação (4.18), chega-se a: ( ) = (− ( ) + ) (4.20)

Para manter a estabilidade de para a origem de , é necessário garantir a negatividade da expressão , portanto, é possível obter um valor de que satisfaça a condição > | |, resultando na seguinte lei de controle:

= , −1(− , − ∙ ( )) (4.21)

b) Lei de alcançabilidade do número de índice = − ∙ ( ) − , > 0, > 0 (4.22)

onde é o índice expoente.

Substituindo a Equação (4.22) na Equação (4.18), resulta: ( ) = (− ∙ ( ) − + ) (4.23)

Para garantir a estabilidade sabe-se que:

( ) = (− ∙ ( ) − + ) < 0 − − − 2 < 0 (4.24)

É garantida as condições de existência e acessibilidade do modo deslizante apenas se − > 0, ou seja, > | |, resultando na seguinte lei de controle:

= , −1(− , − ∙ ( )) − ) (4.25)

c) Lei de alcançabilidade exponencial = − | | − , 0 < 1, > 0, > 0 (4.26)

54

Substituindo a Equação (4.26) na Equação (4.18), resulta: ( ) = (− | | ( ) − + ) (4.27)

A estabilidade de é mantida garantindo a negatividade da expressão . Assim:

( ) = (− | | ( ) − + ) < 0 − | | − − 2 < 0 (4.28)

Logo:

| | − > 0 (4.29)

>

| | (4.30)

Portanto, a seguinte lei de controle é obtida:

= , −1(− , − | | − ) (4.31)

Zhang et al. (2010) mostraram a lei de alcançabilidade exponencial fornece uma resposta mais suave em relação à lei de alcançabilidade de taxa constate e à lei de alcançabilidade do número de índice. Com base nisso, a seção a seguir concentra-se no desenvolvimento e aplicação do controlador SMC, com lei de alcançabilidade exponencial, nos sistemas de perfuração em estudo.

4.4. Projeto do Controlador SMC para a Coluna de Perfuração

Levando em consideração a coluna de perfuração de 2-DOF, a superfície de deslizamento do controlador SMC, obtida da Equação (4.6), é:

= + 0

� = 2 − + ( 2 − )0

� (4.32)

Note que a Equação (4.32) tem a característica de uma lei de controle PI. A simplificação e o desacoplamento da Equação (4.12), com relação ao sistema 2-DOF, podem ser realizados com a seguinte lei de controle:

= − ( , ) −1 , + [ ( , )]−1 (4.33)

onde:

55

, −1 = (4.34) , = 2 − + (− 1 − + 2 + 3 + 4)/ (4.35)

sendo a a lei de alcançabilidade exponencial, denotada pela Equação (4.27). Portanto, a lei de controle do SMC é dada pela seguinte relação:

= , −1(− , − | | − ) (4.36)

= ( 2 − 4) + 1 − 3 + 2 − ( 2 − + + ) (4.37)

Com o intuito de melhorar as propriedades de robustez do sistema controlado, é implementada a seguinte modificação na lei de controle SMC (Navarro-López & Cortés, 2007b):

= �1 ( 2 − 4) + �2 1 − 3 + �3 2 − ( 2 − + + ) (4.38)

com os fatores de ponderação 0 < � 1, = 1, 2, 3.

A aplicação do controle SMC, da Equação (4.37), pré-supõe que os estados do sistema ( 1, 2, 3, 4) estão disponíveis para realimentação.

4.5. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 2-DOF

O controlador SMC da Equação (4.38) é aplicado na coluna de perfuração de 2-DOF. Na avaliação de desempenho da estratégia de controle proposta são considerados os seguintes casos:

Estabilização do sistema após ativação do controlador no instante = 50 . Reposta do sistema controlado a variações no setpoint nos instantes

= 500, 900 e 1300 Resposta do sistema perturbações no peso da broca ( ), ocorrendo nos

instantes = 500, 900 e 1300 .

As simulações são realizadas com o auxílio do pacote Simulink/MATLAB™. Os parâmetros de sintonia do controlador são listados na Tabela 4.1, os quais foram selecionados por tentativa e erro, visando ter o melhor desempenho possível.

56

Tabela 4.1–Parâmetros de sintonia do controlador SMC

Parâmetro Valor

� 0,9

� 0,5

� 0,7

0,053

0,01

0,095

A Figura 4.2 mostra a estabilização do sistema após a ativação do controle. Como pode ser observada, a velocidade do sistema de rotação ( 2) alcança o ponto de operação desejado ( =12 rad/s), sendo acompanhada pela velocidade da broca ( 4). Em comparação com a resposta do controle PI, da Figura 3.3, a resposta do controle SMC não apresenta sobrepassagem, sendo a estabilização muito mais rápida. A variação do torque do motor ( ) fornecida pelo controlador SMC é relativamente bem comportada, sem o pico acentuado depois da ativação do controle apresentando pelo PI.

A Figura 4.3 apresenta o comportamento das variáveis controladas direta e indireta (velocidades do sistema de rotação e da broca, respectivamente) a mudanças no setpoint. Comparando estas respostas com as obtidas pelo sistema sob controle PI, da Figura 3.4, o SMC gera um controle mais suave, porém mais lento. O perfil da variável manipulada mostra que o controlador SMC “assegura” o fornecimento do torque necessário, depois de uma atuação repentina, após cada mudança de setpoint.

Na Figura 4.4 se apresenta a resposta do sistema sob controle SMC sujeito a variações no peso da broca ( ). Conforme pode ser visualizado, a velocidade da broca acompanha bem a velocidade do sistema de rotação, a qual trata de voltar ao setpoint depois da introdução da perturbação. Em comparação com o desempenho do sistema sob controle PI, da Figura 3.5, embora as variáveis controladas experimentem picos menores, o retorno ao setpoint é mais lento, com pequenas oscilações no topo dos picos. Como no caso anterior, é observado que a variável manipulada reage abruptamente após a perturbação, porém logo ela é “assegurada”, o que motiva a compensação lenta da perturbação.

57

Figura 4.2 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Figura 4.3 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o Controlador SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

58

Figura 4.4 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

4.6. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 4-DOF

O controlador SMC da Equação (4.37), desenvolvido baseado no sistema de 2-DOF, com parâmetros de sintonia da Tabela 4.1, porém com as variáveis correspondentes ao sistema de 4-DOF, é aplicado no controle da coluna de perfuração de 4-DOF. Como no caso do controle PI, o objetivo aqui é introduzir incertezas no desenvolvimento do controlador.

A Figura 4.5 apresenta a estabilização do sistema de 4-DOF depois da ativação do controle SMC. Em comparação à resposta do sistema de 2-DOF, da Figura 4.2, no presente caso as velocidades da coluna demoram em alcançar o ponto de operação desejado, sendo que a variável manipulada apresenta grandes oscilações no início da ativação do controle.

A Figura 4.6 mostra a resposta do sistema controlado a variações no setpoint. Como pode ser visualizada, a resposta do sistema é mais rápida em alcançar o novo setpoint, se comparada à resposta do controle SMC do sistema de 2-DOF, da Figura 4.3. Já, a Figura 4.7 mostra o desempenho do SMC na regulação do sistema de 4-DOF sujeito a perturbações no peso da broca. As variáveis controladas conseguem retornar ao ponto de operação. Mas, em comparação com a resposta do sistema de 2-DOF, da Figura 4.4, os picos nas velocidades do sistema de 4-DOF são maiores, com oscilações nos cumes dos picos mais acentuadas.

59

Figura 4.5 - Resposta do sistema 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Figura 4.6 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

60

Figura 4.7 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Os resultados das simulações do SMC apresentados no presente capítulo levam às seguintes conclusões:

O controlador SMC consegue eliminar as oscilações stick-slip, fazer o seguimento do setpoint e rejeitar perturbações presentes na operação de colunas de perfuração.

O controlador SMC desenvolvido para o sistema de perfuração de 2-DOF pode ser aplicado a sistemas de ordem superior. No sistema de 4-DOF, a aplicação do controle apresentou melhoras, em relação ao sistema de 2-DOF, no caso de variações no setpoint.

O controlador SMC fornece uma ação repentina, após uma mudança no setpoint ou perturbação no sistema, a qual logo é “assegurada”. Esta ação repentina provoca oscilações na variável manipulada, sendo mais notória quando aplicada no sistema de 4-DOF.

61

Capítulo 5

Controle por Linearização Exata por Realimentação

5.1. Introdução

Grande parte dos sistemas físicos pode ser descrita por equações diferenciais não lineares. O controle destes sistemas pode ser afetado pela fidelidade na reprodução dos efeitos não lineares pelas equações que descrevem a dinâmica. Quando estes efeitos não lineares tornam-se significativos na dinâmica do sistema, os métodos de controle linear mostram-se limitados para se alcançar um desempenho desejado. É neste contexto que se inserem os métodos de controle não linear, fazendo ênfase no método de linearização por realimentação (Henson & Seborg, 1997).

A idéia central do método de linearização por realimentação consiste em usar técnicas de manipulação matemática que permitam transformar algebricamente um sistema não linear em um sistema totalmente ou parcialmente linear, numa região finita, de modo que técnicas de controle linear, como as clássicas, possam ser aplicadas no projeto do controlador (Slotine & Li, 1991). Técnicas de linearização por realimentação podem ser vistas como uma forma de transformar modelos originais do sistema em modelos de forma mais simples equivalentes.

O presente capítulo trata sobre o estudo e aplicação de métodos de linearização exata por realimentação no controle de colunas de perfuração. Duas técnicas de controle por linearização por realimentação são discutidas do ponto de vista teórico: o controlador por linearização entrada-estado (ISLC) e o controlador por linearização entrada-saída (IOLC). A partir dessa análise, um desses controladores será implementado no controle do sistema torcional da coluna de perfuração, sendo seu desempenho avaliado quando submetido a diversas condições de operação.

62

5.2. Conceitos Básicos Fundamentais

Para melhor entendimento da abordagem de linearização exata por realimentação é necessário introduzir brevemente os seguintes conceitos básicos fundamentais:

5.2.1. Campo vetorial

Se é uma região em ℜ , então um campo vetorial em é uma função que

atribui a cada ( 1, 2 ,… , ) em , um vetor ( 1, 2,… , ) de dimensão . Quando = 1 o campo vetorial tem um nome de campo escalar e será : → ℜ.

5.2.2. Campo covetorial

Designa-se por campo covetorial ao transposto de um campo vetorial. Representa-se por um vetor linha.

5.2.3. Produto interno

Define-se produto interno de um campo vetorial ( ) por um campo covetorial ( ), representado por < , >, ao escalar:

< , >= = ( )

=1

(5.1)

O produto de por deve ser entendido como o produto matricial de uma matriz 1 × (covetor ) por uma matriz coluna n× 1 (vetor ).

5.2.4. Gradiente

A gradiente de uma função escalar ( ), cujos elementos se obtêm derivando ( ) em relação a cada uma das componentes de . Pode representar-se por ( ),

ou por ( ), como:

x = x =( )

= 1

,2

,… , (5.2)

63

5.2.5. Jacobiano

Jacobiano é uma forma multidimensional de derivada. Seja, por exemplo, um campo vetorial ( ). Então se define jacobiano de um campo vetorial como:

x = ( ) = 1( 1)

1

1( )

⋱ ( 1)

1

( )

×

, = 1, 2,… , (5.3)

5.2.6. Derivada de Lie

A derivada de Lie é uma das ferramentas mais importantes da geometria diferencial, e é bastante utilizada na linearização de sistemas não lineares. A derivada de Lie entre um campo escalar e um campo vetorial pode ser representada da seguinte forma:

= x = ∙ =< , > (5.4)

onde :ℜ → ℜ, representa o campo escalar e, :ℜ → ℜ , representa o campo vetorial. Assim, a derivada de Lie , é simplesmente a derivada direcional de ao

longo da direção do vetor .

Uma vez que a derivada de Lie de uma função escalar é também uma função escalar, é possível calcular as derivadas de Lie de ordem 2, 3, etc. A sua definição faz-se por recorrência. Portanto tem-se que:

0 = ( )

1 = x

2 = ( ) = x

= ( −1 ) = −1 x

(5.5)

5.2.7. Parêntese de Lie

Sejam e campos vetoriais em ℜ . O parêntese de Lie de e é um campo vetorial de dimensão , definido por:

64

, = = ∙ − ∙ = −

( ) (5.6)

O parênteses de Lie de ordem é definido da seguinte forma:

0 =1 = ,

= , −1 (5.7)

O parêntese de Lie satisfaz as seguintes propriedades:

( ) Anti-simetria: , = −[ , ]

( ) Bilinearidade: 1 1 + 2 2 , = 1 1, + 2[ 2 , ]

sendo , 1, 2 , campos vetoriais suaves e 1, 2 escalares constantes.

( ) Identidade de Jacobi: [ , ] = −

5.2.8. Difeomorfismo

A aplicação �:� → ℜ , na qual � é um conjunto aberto de ℜ , é denominada um difeomorfismo se �−1( ) existe e se �( ) e �−1( ) são diferenciáveis e contínuas em �. Se, adicionalmente, � = ℜ , então �( ) é um difeomorfismo global (Slotine & Li, 1991).

Uma das aplicações dos difeomorfismos consiste em transformar o modelo de estado de um sistema não linear num outro modelo de estado, linear ou não linear, através de uma mudança de variável de estado. Considere o sistema da Equação (5.8). Efetuando a mudança da variável de estado = �( ), e derivando ambos os lados, obtém-se:

= + ( ) ∙= ( )

(5.8)

= � = � +� (5.9)

Como � é um difeomorfismo, tem-se = �−1 . Logo:

= ∗ + ∗( ) ∙= ∗( )

(5.10)

65

5.2.9. Teorema de Frobenius

Seja { 1, 2,… , } um conjunto de campos vetoriais, definidos em ℜ , com < . Este conjunto é completamente integrável se e só se for involutivo.

Um campo de campos vetoriais se diz involutivo se e somente se existirem funções escalares :ℜ → ℜ tais que os parênteses de Lie da Equação (5.11), de

dois campos vetoriais, possam ser expressos por uma combinação linear dos campos de vetores originais, i.e.:

, = ( )

=0

(5.11)

5.3. Linearização Entrada-Estado

Considere um sistema não-linear SISO descrito pela seguinte equação de estado: = +

(5.12)

onde e são campos vetoriais em ℜ . A esse sistema dá-se o nome sistema linear na entrada, linear no controle ou linear na variável de controle (Silva, 2003). Além dessa estrutura, o sistema pode aparecer de forma genérica, como: = + [ + � ]

(5.13)

sendo uma função escalar invertível e � uma função arbitrária. A Equação (5.13) pode ser convertida a forma da Equação (5.12), fazendo:

= [ + � ] (5.14)

Isolando a variável , através da inversa de , tem-se:

= −1 − �( ) (5.15)

Definição (linearização entrada-estado). Um sistema não linear na forma da Equação (5.12) é dito ser linearizável entrada-estado se existir uma região � em ℜ , um difeomorfismo �:� → ℜ , e uma lei de controle por realimentação, da forma:

= + (5.16)

onde:

66

= − 1

−1 1

(5.17)

=1

−1 1

(5.18)

tal que as novas variáveis de estado = �( ) e a nova entrada satisfazem a relação linear invariante no tempo (Slotine & Li, 1991): = +

(5.19)

sendo:

= 0 1 0 0

0 0 1 0⋱0 0 0 1

0 0 0 0

, = 000

1 (5.20)

A nova variável de estado é designada por estado linearizado, e a lei de controle (Eq. 5.16) é chamada lei de controle linearizante. A “nova entrada” pode ser representada da seguinte forma (Henson & Seborg, 1997):

= − −11 − + 1 − 1 + 0 [ − 1] �

0

(5.21)

Resultando numa lei de controle:

=− 1 − −1

1 − + 1 − 1 + 0 [ − 1] �0

−1 1

(5.22)

onde os são os parâmetros de sintonia do controlador, sendo 0 o parâmetro associado com o termo integral. A lei de controle integral (5.22) produz a seguinte equação característica:

+1 + + + 1 + 0 = 0 (5.23)

Os parâmetros são escolhidos tal que ao pôr as raízes da equação característica, Equação (5.23), no semi-plano esquerdo aberto, a trajetória do erro decai exponencialmente a zero.

A lei de controle integral resultante gera a seguinte função de transferência em malha fechada, para mudanças no setpoint (Henson & Seborg, 1997):

( )

( )=

0

+1 + + + 1 + 0

(5.24)

67

O controlador da Equação (5.22) envolve + 1 parâmetros de sintonia. Segundo Kravaris & Wright (1989), uma função de transferência em malha fechada com um único parâmetro de sintonia , da forma (Henson & Seborg, 1990, 1991, 1992b):

( )

( )=

1

( + 1) +1 (5.25)

pode ser obtida, pela escolha dos da seguinte maneira (Henson & Seborg, 1990):

= + 1 − 1 − 2 … ( − + 2)

!− −1, 1 (5.26)

sendo 0 = −( +1). Valores pequenos de fornecem uma vigorosa ação de controle, enquanto valores grandes podem causar respostas muito lentas.

Nota-se que a forma das matrizes e faz com que o sistema da Equação (5.20) tenha a forma de um integrador múltiplo. Este fato não introduz qualquer perda de generalidade, uma vez que todo o sistema linear pode ser escrito na forma companheira, que por sua vez, por meio da mudança de variável ( = �( )) pode ser transformado num integrador múltiplo.

Lema. Um sistema não linear, da forma da Equação (5.12), com e sendo campos vetoriais suaves, é linearizável entrada-estado se, e somente se, existir uma região � tal que satisfaça as seguintes condições (Chen et al., 2004):

O campo de vetor { , ,… , −1 } seja linearmente independente em �.

O conjunto { , ,… , −2 } é involutivo na região �.

A primeira condição implica em dizer se o sistema é controlável. Para sistemas lineares, o campo de vetores { , ,… , −1 } torna-se { , ,… , −1 } e,

portanto, a independência destes valores equivale a , sendo a característica da matriz de controlabilidade [ , ,… −1 ]. Em síntese, para o sistema ser controlável a matriz de controlabilidade deve ser não-singular.

A segunda condição é a condição de involutividade, sendo essa a menos intuitiva. Ela é trivialmente satisfeita para sistemas lineares (que têm campos de vetores constantes), mas não é genericamente satisfeita em caso de sistemas não lineares (Slotine & Li, 1991).

Prova do Lema (Slotine & Li, 1991). Assumindo que exista uma transformação de estado = ( ) e uma transformação da entrada = + , tal que e satisfaçam a Equação (5.19). Expandindo a primeira linha da Equação (5.19), obtém-se:

68

1 =1 + ∙ = 2 (5.27)

Fazendo o procedimento similar com as outras componentes de , leva-se a um conjunto de equações diferenciais parciais, representadas da seguinte forma:

1

+1

= 2

2+

2 = 3

+ =

(5.28)

Uma vez que 1,… , são independentes de , enquanto não é, conclui-se a partir da Equação 5.28 que:

1 = 2 = = −1 = 0≠ 0 (5.29)

= +1, = 1, 2,… , − 1 (5.30)

As equações citadas acima podem ser comprimidas a um conjunto de equações de restrição em 1, ou seja:

1 = 0, = 0, 1, 2,… , − 2

1−1 ≠ 0

(5.31)

A primeira propriedade do teorema pode ser inferida a partir da equação 5.31, pois o campo de vetor { , ,… , −1 } deve ser linearmente independente. De

fato, pois se existisse algum número ( − 1), existiria escalares 1 ,… , −1( ) tal que:

= −1

=0

(5.32)

ou seja,

−1 = −2

= − −1

(5.33)

Isso, juntamente com a primeira parte da Equação (5.31), i.e. 1 = 0,

= 0, 1, 2,… , − 2, implicaria que:

69

1 −1 = 1 = 0

−2

= − −1

(5.34)

o que contradiz a segunda parte da Equação (5.31), i.e. 1−1 ≠ 0.

A segunda propriedade do Lema, pode ser inferida a partir da Equação (5.31). Essa propriedade resulta na existência de uma função escalar 1 para satisfazer as equações diferenciais parciais na primeira parte da Equação (5.31). Essa propriedade também pode ser determinada a partir do Teorema de Frobenius. Uma vez que a condição de involutividade é satisfeita, então a partir do Teorema de Frobenius existe uma função escalar não-zero 1( ) que satisfaz a Equação (5.31).

Com base na teoria exposta, Silva (2003) apresenta o seguinte algoritmo para o método de linearização entrada-estado:

1) Construir os campos vetoriais { , ,… , −1 };

2) Verificar se as condições de controlabilidade e involutividade são satisfeitas. Para o sistema ser controlável os campos vetoriais { , ,… , −1 }

têm que ser linearmente independentes, e para satisfazer a condição de involutividade o conjunto de vetores { , ,… , −2 } tem que ser

involutivo. Caso não sejam satisfeitas as condições o sistema não será linearizável entrada-estado. Caso contrário, passar para o seguinte passo.

3) Calcular a primeira componente do novo vetor de estado, 1, a partir de: 1 = 0, = 0, 1,… , − 2

1−1 = 0

(5.35)

4) Calcular o novo estado = 1 1 … −11 (5.36)

5) Calcular a “nova entrada”

= − −11 − + 1 − 1 + 0 [ − 1] �

0

(5.37)

6) Calcular a lei de controle = + ( ) (5.38)

Com ( ) e ( ) dados por = − 1

−1 1

(5.39)

=1

−1 1

(5.40)

70

5.4. Controle por Linearização Entrada-Saída (IOLC)

Para o desenvolvimento da técnica de controle por linearização entrada-saída, é necessário ter conhecimento sobre o grau relativo do sistema. O grau relativo ou ordem relativa é uma propriedade importante dos sistemas não-lineares. Para um sistema linear, representado por uma função de transferência, o grau relativo é a diferença entre as ordens dos polinômios do denominador e do numerador. Em síntese, para um sistema não-linear, o grau relativo ( ) representa o número de vezes que a saída pode ser diferenciada com respeito ao tempo, tal que a entrada apareça de forma explícita.

Considere o seguinte sistema companheira:

= + ( ) ∙= ( )

(5.41)

Derivando a saída e usando a definição de derivada de Lie, tem-se:

= ( ) = ( + ∙ ) (5.42)

= ( )+

( ) ∙ (5.43) = + ( ) ∙ (5.44)

O sistema da Equação (5.41) terá grau relativo no ponto 0, ao redor do qual a linearização local é feita, se:

= 0, 0 − 2−1 ( ) ≠ 0 (5.45)

O grau relativo do sistema deverá ser menor ou igual à ordem do próprio sistema, ou seja:

(5.46)

Em efeito não pode ser superior a , porque se fosse possível derivar um número de vezes superior a , o sistema não seria de ordem , mas de ordem superior a

. Portanto, se após derivar a saída do sistema vezes e, mesmo assim, não houver uma relação explícita entre a entrada e a saída o sistema não será controlável (Silva, 2003).

71

Na teoria de controle não linear, o problema de linearização local entrada-saída consiste em encontrar uma lei de controle por realimentação de estados não-linear estática, da forma:

= + (5.47)

onde ( ) e ( ) representam funções algébricas das variáveis de estado e a entrada de referência externa denominada de “nova entrada”. Substituindo a Equação (5.47) na Equação (5.41), o sistema em malha fechada é dada por:

= + + [ ( )]

= ( ) (5.48)

Resultando em um sistema exatamente linear. Isto implica que o mapeamento entre a “nova entrada” e a saída é linear para todos os valores dos estados na vizinhança do ponto de análise 0. O problema é local no sentido que a solução pode só existir na vizinhança 0 (Isidori, 1995). Se o sistema da Equação (5.41) possui um grau relativo bem definido, então as primeiras derivadas de podem ser representadas como:

= ; = 0, 1,… , − 1 (5.49)

= + −1

(5.50)

Agora, se o sistema em malha fechada satisfaz a propriedade: = ( ) (5.51)

a lei de controle IOLC pode ser formulada como segue (Henson & Seborg, 1991; Henson, 1992):

=− ( )−1 ( )

+1−1 ( ) (5.52)

Devido à estrutura especial da Equação (5.51), onde a “nova entrada” governa diretamente o sinal de saída, o projeto do controlador para vários objetivos é um tanto simples. Como exemplo, considere o problema da trajetória assintótica, que é projetar uma lei de controle tal que a saída ( ) siga assintoticamente uma trajetória desejada,

( ). Obviamente, isto pode ser obtido fazendo com que o erro, = − ( ),

satisfaça a seguinte equação diferencial (Isidori, 1995; Henson & Seborg, 1991):

+ −1 + + 2 + 1 = 0 (5.53)

onde 1,… , são tais que:

72

+ −1 + + 2 + 1 (5.54)

seja um polinômio de Hurwitz (Lin,1994; Henson & Seborg, 1997), visto que as primeiras derivadas são disponíveis, então: = − ( ) = − ( ) = − = − ( )

(5.55)

Inserindo as Equações (5.55) na Equação (5.53) e rearranjando, a “nova entrada” pode ser escolhida como (Lin, 1994):

= + [ −1 − −1 ( )]

=1

(5.56)

onde são os parâmetros de sintonia do controlador. Estes parâmetros são escolhidos de modo que as raízes da sua equação característica, Equação (5.54) tenham sua parte real estritamente negativa, ou seja, estiverem no semi-plano esquerdo aberto, fazendo que a trajetória do erro decaia exponencialmente a zero.

Na teoria, as raízes podem ser designadas arbitrariamente. Não obstante, devido a erros de modelagem e restrições na entrada manipulada, os podem ser escolhidos para prover um compromisso entre desempenho e robustez. Se os parâmetros do controlador são selecionados apropriadamente e o modelo é perfeito, a lei de controle nas Equações (5.52) e (5.56) asseguram uma estabilidade entrada-saída (Henson & Seborg, 1991).

A “nova entrada”, proposta por Henson & Seborg (1991), contém um termo integral que penaliza o erro, com o objetivo de manter a saída no setpoint, apesar dos distúrbios não medidos e imperfeições no modelo do processo. Esta “nova entrada” é feita para processos com grau relativo e tem a seguinte forma (Henson & Seborg, 1990, 1991, 1992b):

= − [ −1 ( )]

=1

+ 0 − 0

(5.57)

Assim, um controlador linearizado entrada-saída modificado pode ser obtido usando as Equações (5.52) e (5.57). A lei de controle integral resultante gera a seguinte função de transferência em malha fechada (Henson & Seborg, 1990):

( )

( )=

0

+1 + + + 1 + 0

(5.58)

73

O controlador IOLC envolve ( + 1) parâmetros de sintonia. De forma similar ao caso do controlador ISLC, uma função de transferência em malha fechada com um único parâmetro de sintonia , da forma:

( )

( )=

1

( + 1) +1 (5.59)

pode ser obtida, através da escolha dos do seguinte modo:

= + 1 − 1 − 2 … ( − − 2)

!− −1 ; 1 (5.60)

onde 0 = −( +1).

Nota-se que na linearização entrada-saída de um sistema com grau relativo = também é conduzido a um integrador múltiplo de ordem . Isto significa que se

um sistema for linearizável entrada-estado e a sua saída for a 1ª componente do vetor de estado, = 1, então o sistema é linearizável entrada-saída, com grau relativo = (Silva, 2003).

5.5. Impossibilidade Teórica do Projeto de um Controlador ISLC para a Coluna de Perfuração

Considere o sistema torcional de 2-DOF, descrito no capítulo 2, e que novamente é mostrado aqui pela seguinte equação:

1 = 2 2 =

1 − 1 − + 2 + 3 + 4 + 3 = 4 4 =

1 1 + 2 − 3 − + 4 − (�) (5.61)

Reescrevendo a Equação (5.61), na forma companheira da Equação (5.12), tem-se:

=

2

1 – 1 − + 2 + 3 + 4

4

1 1 + 2 − 3 − + 4 − � +

0

1/

0

0

(5.62)

onde = , com os campos vetoriais:

74

= 1

2

3

4 =

2

1 − 1 − + 2 + 3 + 4

4

1 1 + 2 − 3 − + 4 − (�) (5.63)

= 0

1/

0

0

(5.64)

Como pode ser visto a ordem deste sistema é = 4. O algoritmo do método de linearização entrada-estado (Silva, 2003), descrito na seção 5.3, propõe definir primeiramente o campo de vetores = { , , 2 , 3 }. O vetor é

representado na Equação (5.64), e os demais componentes, na sequência, podem ser representados como:

= − (5.65)

=

0 1 0 0− −0 0 0 1− − −

(5.66)

= 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(5.67)

= −1 0− (5.68)

2 = − (5.69)

= 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(5.70)

75

=

−2 − + 2 2

− − [ ( + )]

(5.71)

3 =

2 − 2 (5.72)

2 =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0( + )

(5.73)

=

2 + 2 −

2

2−( − + ( + ))

2 2

(5.74)

sendo:

= +

(5.75)

= +

(5.76)

= ( 4) � (µ − µ ) −( ) 4

(5.77)

= 2 ( 4)2 � (µ − µ )

2 −( ) 4 (5.78)

= −2 ( 4) � (µ − µ ) −( ) 4

(5.79)

= + − 2 + 2 − − ( − + ( + )) (5.80)

76

= − + − + + + + 4( + ) ( ) + − 2 + 2 −

(5.81)

O segundo passo do algoritmo consiste em verificar as condições de controlabilidade e involutividade. De acordo com o Lema da seção 5.3, o sistema é dito controlável quando os campos de vetoriais = { , , 2 , 3 } são

linearmente independentes, onde é definido como:

=

0 − 1 − 2 + 2 −

2

1 2 − + 2 2 2

0 0−( − + ( + ))

0 − − − [ ( + )] 2 2

(5.82)

Observa-se que a matriz é uma matriz quadrada x . Os campos vetoriais são linearmente independente se o posto ( ) da matriz for igual ao número de

linhas ou colunas dessa matriz. Uma forma de identificar o posto da matriz é obtendo sua forma escalonada3 através da eliminação de Gauss.

A matriz escalonada da matriz é:

= 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(5.83)

Como a matriz não apresenta nenhuma linha nula, então a matriz é dita de posto cheio ( = 4). Isto significa que os campos vetoriais são linearmente independentes e, portanto, o sistema é controlável.

Por outro lado, o conjunto de vetores { , ,… , −2 } é involutivo se

após aplicar o parênteses de Lie entre eles, o resultado possa ser expresso por uma combinação linear dos vetores originais. Por exemplo, considere o parêntese de Lie dos vetores 1 e 2, então:

1 , 2 =2

1 − 1 2 = 1 1( ) + 2 2( )

(5.84)

3 No Matlab™, o co a do rref for ece a atriz escalo ada de u a atriz. Já, pelo co a do rank” é

possível obter diretamente o posto de uma matriz.

77

No presente caso, sejam 1 e 2 os parênteses de Lie dos vetores , e

, 2 , respectivamente. Assim:

1 = , = − = 0

0

0

0

(5.85)

2 = , 2 =

2 − 2 = 0

0

0

(5.86)

onde:

= � 2 µ − µ (2 4 − ( 4)2)

3 2 2 ( ) 4 (5.87)

Os vetores 1 e 2 precisam ser formados por uma combinação linear de , e , 2 , respectivamente. Uma forma de descobrir isso é formar uma

matriz com os vetores envolvidos e encontrar seu posto. Considere as matrizes 1 e 2, sendo 1 composta pelos vetores , , 1, e 2 composta pelos vetores

, 2 , 2:

1 = 0

1/

0

0

−1 0−

0

0

0

0

(5.88)

2 =

−

1 −0

2 − + 2 2 0

0 0− − − [ ( + )]

(5.89)

Sabendo que os campos , , 2 são linearmente independentes e que o

posto das matrizes 1 e 2 são 2 e 3, respectivamente, pode-se dizer que 1 é uma combinação linear de , , e que 2 não é uma combinação linear de , 2 .

Em conclusão, o sistema não é involutivo e, portanto, não pode ser linearizável entrada-estado.

78

5.6. Projeto de um Controlador IOLC para a Coluna de Perfuração

Considerando o sistema 2-DOF, na forma companheira da Equação (5.41), tem-se que:

= 1

2

3

4 =

2

1 − 1 − + 2 + 3 + 4

4

1 1 + 2 − 3 − + 4 − (�) (5.90)

= 0

1/

0

0

(5.91)

= = 2 (5.92)

com = . Derivando a saída com respeito ao tempo e levando em conta o conceito de derivada de Lie, resulta em:

= ( ) = + ∙ = + ( ) ∙ (5.93)

onde:

=1

− 1 − + 2 + 3 + 4 (5.94)

= 1/ (5.95)

Portanto:

= 1 − 1 − + 2 + 3 + 4 +

1

(5.96)

Da Equação (5.96), como a entrada aparece de forma explícita logo na primeira derivada da saída , então o sistema tem grau relativo = 1.

Da Equação (5.52), a lei de controle do IOLC pode ser definida como:

=− 1

− 1 − + 2 + 3 + 4 1/

+1

1/( )

(5.97)

com a “nova entrada” ( ) sendo da forma:

79

= − 1 + 0 − 0

(5.98)

onde a velocidade angular desejada do sistema de rotação, i.e = 12 rad/s.

Os parâmetros de sintonia do controlador são determinados a partir da Equação (5.60), resultando em 0 = −2 e 1 = 2 −1. Usando a Equação (5.59), obtêm-se a seguinte função de transferência em malha fechada:

( )

( )=

1

( + 1)2

(5.99)

com o parâmetro = 8, o qual foi selecionado para prover um compromisso entre desempenho e robustez.

Finalmente, a lei de controle IOLC resultante é da forma:

=− 1

− 1 − + 2 + 3 + 4 1/

+ − 2 −12 + −2 − 2 0

1/ (5.100)

A aplicação do controle IOLC, da Equação (5.100), pré-supõe que os estados do sistema ( 1, 2, 3, 4) estão disponíveis para realimentação.

5.7. Simulação do Controlador IOLC nos Sistemas 2-DOF e 4-DOF

O controlador IOLC desenvolvido na seção anterior é aplicado na coluna de perfuração de 2-DOF. Para avaliação de desempenho da estratégia de controle proposta são considerados os casos de estabilização do sistema, seguimento do setpoint e rejeição a perturbações, conforme detalhados nos capítulos anteriores. As simulações são realizadas na plataforma Simulink/MATLAB™.

A Figura 5.1 mostra a resposta da estabilização do sistema depois da ativação do controle. Como pode ser observada, a velocidade da broca ( 4) segue a velocidade do sistema de rotação ( 2), e ambas apresentam um pico considerável antes de retornar ao setpoint e nele permanecer. O perfil da variável manipulada ( ) mostra um pico de grande magnitude e bem pronunciado, antes de alcançar o ponto de estabilização.

80

Figura 5.1 - Resposta do Sistema 2-DOF com o Controlador IOLC com = �: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

A Figura 5.2 apresenta a resposta do sistema a mudanças no setpoint. Como pode ser visualizada, a velocidade da broca segue a velocidade do sistema de rotação, e ambas acompanham muito bem as alterações do ponto de operação, de forma rápida e sem sobrepassagens. As variações no torque do motor são suaves e bem comportadas.

Figura 5.2 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

81

Figura 5.3 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Na Figura 5.3 mostra-se a resposta da coluna de perfuração a perturbações no peso na broca, cujos efeitos são rapidamente bem compensados pelo sistema de controle. Embora não seja percebido na figura, a variável principal de controle, i.e. a velocidade do sistema de rotação, permanece inalterável aos efeitos das perturbações. Já, a variável indireta de controle, i.e. a velocidade da broca, sofre alterações muito pequenas depois da ocorrência da perturbação, sendo reconduzida rapidamente ao ponto de operação. A figura também apresenta o perfil rígido da variável manipulada produzida pelo controlador.

5.8. Simulação do Controlador IOLC no Sistema de 4-DOF

Nesta seção, o controlador IOLC é aplicado no sistema de 4-DOF. Os parâmetros de sintonia deste controlador são os mesmos usados para o sistema de 2-DOF, porém com os valores das variáveis correspondentes ao sistema de 4-DOF. Como nos casos do controle PI e controle SMC, o objetivo aqui é introduzir incertezas no desenvolvimento do controlador.

A Figura 5.4 mostra a aplicação do, para estabilização do sistema de 4-DOF. Como pode ser visualizado nessa figura, a velocidade do sistema de rotação apresenta um pico de magnitude considerável depois da ativação do controle, para logo retornar ao ponto de operação desejado. Já, em comparação com o sistema de 2-DOF, a velocidade da broca torna-se altamente oscilatória, estabilizando posteriormente. A

82

variável manipulada segue o mesmo perfil oscilatório da variável secundária de controle.

A Figura 5.5 ilustra o desempenho do controle do sistema de 4-DOF sujeito a variações no setpoint. As respostas para este caso são praticamente similares ao controle do sistema de 2-DOF. No entanto a variável manipulada apresenta leves oscilações, sendo estas mais acentuadas na mudança negativa da variação do setpoint. As pequenas oscilações na variável controlada secundária, que aparecem antes da primeira variação positiva do setpoint, provêm do caso da estabilização do sistema, mostrada na Figura 5.4.

Finalmente, a Figura 5.6 mostra do controle do sistema de 4-DOF à perturbações no peso da broca. Em comparação com o controle do sistema de 2-DOF, a variável secundária de controle apresenta fortes oscilações depois da introdução das perturbações, as quais são logo corrigidas pelo sistema de controle. Por outro lado, a variável principal de controle não é afetada pelas perturbações. A variável manipulada segue o mesmo perfil oscilatório da variável secundária de controle.

Figura 5.4 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

83

Figura 5.5 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Figura 5.6 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada

Os resultados das simulações apresentados no presente capítulo conduzem as seguintes conclusões:

84

Em geral, o controlador IOLC consegue eliminar as oscilações stick-slip, fazer o seguimento do setpoint e rejeitar perturbações presentes na operação de colunas de perfuração.

O controlador IOLC desenvolvido para o sistema de perfuração de 2-DOF não apresenta o mesmo desempenho quando aplicado a sistemas de ordem superior. No sistema de 4-DOF, a aplicação do controle apresentou respostas semelhantes em relação ao sistema de 2-DOF, no caso de variações no setpoint.

No controle IOLC do sistema de 2-DOF, para o caso de rejeição de perturbações, a variável secundária de controle não acompanha bem a variável principal de controle. Esta resposta é mais notória no controle do sistema de 4-DOF, nos casos de estabilização do sistema e rejeição de perturbações.

85

Capítulo 6

Conclusões e Recomendações de Trabalhos Futuros

O objetivo do presente trabalho foi estudar as oscilações stick-slip, presentes em colunas de perfuração e projetar sistemas de controle visando estabilizar e controlar a operação do sistema.

Os modelos torcionais de 2-DOF, 3-DOF e 4-DOF de colunas de perfuração que foram apresentados conseguem reproduzir o fenômeno oscilatório de forma similar a um sistema real, sendo, portanto, adequados para o desenvolvimento do trabalho. Quanto maior o grau de liberdade do modelo, maior o desacoplamento entre as diferentes partes da coluna, permitindo uma diferenciação entre os deslocamentos e velocidades de cada uma dessas partes.

Três sistemas de controle foram projetados: PI (e uma variante PI-P), SMC e IOLC. O objetivo era controlar principalmente a velocidade do sistema de rotação, mediante a manipulação do torque do motor, para assim controlar inferencialmente a velocidade da broca, que é parte da coluna que manifesta a presença das oscilações stick-slip. Inicialmente os controladores foram desenvolvidos baseados no sistema de 2-DOF, e ajustados para controlar este sistema. Posteriormente, os controladores com os mesmos parâmetros de sintonia, porém considerando os valores das variáveis do sistema de 4-DOF, foram aplicados no sistema de 4-DOF. Isto foi realizado para introduzir erros no desenvolvimento dos controladores quando aplicados a sistemas de ordem superior. É necessário enfatizar que a aplicação dos controladores SMC e IOLC pré-pressupôs que os estados do sistema a ser controlado estavam disponíveis para realimentação.

A comparação de desempenho dos controladores, quando aplicados aos sistemas de 2-DOF e 4-DOF, foi qualitativa e não quantitativa. No caso de estabilização do sistema, depois da ativação do controle, o SMC e o PI apresentaram melhor desempenho quando aplicados aos sistemas de 2-DOF e 4-DOF, respectivamente. No caso de variações do setpoint, o IOLC mostrou melhor desempenho quando aplicado tanto no sistema de 2-DOF como no de 4-DOF. Já, no caso de rejeição de perturbações, o IOLC e o PI apresentaram melhor controle quando aplicados nos sistemas de 2-DOF e 4-DOF, respectivamente. Fazendo um balanço geral, o IOLC apresentou melhor

86

desempenho quando aplicado no sistema de 2-DOF, sendo o PI o controlador com melhor desempenho quando aplicado no sistema de 4-DOF, o que deixa claro a dependência da qualidade do modelo do controlador IOLC.

Como forma de complementar o presente trabalho, e dar continuidade ao mesmo, são sugeridos os seguintes trabalhos futuros:

Estudo e implementação de outros modelos de colunas de perfuração, tais como modelos de elementos finitos; modelos que levem em consideração a modelagem de outras partes da coluna, como drill collars; e modelos que reproduzam a interação entre diferentes tipos de vibrações, como torcionais e axiais.

Análise de estabilidade da coluna de perfuração e mapeamento das condições que conduzem ao estado oscilatório do sistema.

Desenvolvimento de observadores de estados para os controladores por realimentação de estados SMC e IOLC.

Estudo e implementação de outras técnicas de controle para vibrações em colunas de perfuração, tais como o controle preditivo e o controle robusto.

87

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