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Movimento Harmonico

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220FIS IICASD Vestibulares F F s si ic ca a FIS II C CA AP P T TU UL LO O 9 9 M MO OV VI IM ME EN NT TO O H HA AR RM M N NI IC CO O S SI IM MP PL LE ES S 1 - INTRODUO Nestecaptulo,voltaremosaoestudode corposemmovimento.Entretantoestudaremosum movimentocomalgumascaractersticaspeculiares:o movimentoperidicoeoscilatrio.Existemdiversos movimentoscomessascaractersticas,masonico quenosinteressaoMovimentoHarmnicoSimples (MHS). Assim como fizemos na cinemtica, ser nosso interesse identificar as equaes horrias da posio e davelocidade,assimcomodaacelerao(noMHS,a aceleraonoconstante,masvarivel).Veremos ento que existe uma relao especial entre posio e aceleraonoMHS.OestudodoMHSintrodutrio ao estudo da ondulatria, que iniciaremos a seguir. 2 MOV. PERIDICO E OSCILATRIO Ummovimentoditoperidicoquandosuas caractersticascomoposio,velocidadee acelerao - repetem-se em iguais intervalos de tempo. Porexemplo, o movimento deum planetaao redordo Sol ou o movimento das mars. Como visto anteriormente,otempo necessrio paraocorrerumarepetiodomovimentoperidico denominado perodo (T). Assim: ciclosntTA= Operodopodesermedidoemqualquer unidade de tempo. No SI, a unidade o segundo (s). Vimostambmquefreqncia(f)onmero devezesqueomovimentoserepetenaunidadede tempo. Assim: tnfciclosA= AunidadedefreqncianoSIoHertz(Hz), sendo1Hz=1s-1.OHertztambmchamadode rotaoporsegundo(rps).Outrasunidademuito utilizada rotao por minuto (rpm), e 1 rps= 60 rpm.Ainda, da definio temos: Tf1= Ummovimentoditooscilatrioquando ocorrecomalternnciadesentido,masnamesma trajetria para os dois sentidos. o caso, por exemplo, domovimentodopndulodeumrelgio,quetambm peridico.Perceba,entretanto,quearbitadeum planetaperidica,masnooscilatria,poisno ocorre inverso de sentido do movimento. 3 MOV. HARMNICO SIMPLES Iremosestudarentoumexemplode movimentoperidicoeoscilatrio-oMHS.Otermo harmnicosignificaqueasfuneshorriasdesse movimentosodescritasapartirdefunesdotipo seno e cosseno, como veremos posteriormente. Parasimplificaroentendimentodecomo ocorreomovimentoharmnicosimples,vamospartir domovimentocircularuniforme.Paraisso,considere umcorpoemMCU,emumatrajetriaderaioA,com velocidade angular , conforme a figura a seguir. Figura 1. MCU e MHS FaamosaprojeodoMCUsobreoeixo coordenado Ox, que paralelo ao dimetro PP e est contidonoplanodacircunferncia(imagineasombra docorpoprojetadanoeixoOxdevidoincidncia perpendicular de luz). PercebaquequandoomvelemMCU desloca-sedePparaPsobreacircunferncia,sua projeo (sombra) desloca-se do ponto de coordenada x=Aatopontodecoordenadax=-A.Quandoo mvelemMCUdesloca-sedeOparaO,aprojeo desloca-se de x = -A para x = A. O movimento que a projeo do MCU realiza omovimentoharmnicosimples.Percebaqueo movimentoperidico,poisserepetenotempo,e oscilatrio,poishalternnciadesentidosobrea mesmatrajetria.OperododoMHSdasombrao mesmo do MCU do mvel. importante ressaltar, porm, que esse caso apenasumailustrao.NemtodoMHS conseqncia de um movimento circular, mas para fins didticos vamos utilizar esse o MCU deduzir o MHS. CASD VestibularesFIS II221 NoMHS,aposio(coordenada)medidaa partirdopontomdiodatrajetria(pontoO)e denominadaelongao.Ouseja,nopontoO(x=0) temos elongao nula, enquanto no ponto x = A temos elongao mxima e no ponto x = - A temos elongao mnima.OvalorA,quecorrespondeaoraioda trajetria do MCU, denomina-se amplitude. 4 CINEMTICA DO MHS Assimcomofizemosanteriormenteparaos outrostiposdemovimentovistos,vamosdeduzir equaesparaidentificaraposio,avelocidadeea aceleraoaolongodotemponoMHS.Comoo movimentoperidico,essasgrandezasserepetem emintervalosdetemposiguais.Vamoscontinuar utilizando a associao com o MCU (figura 1). 4.1 - Funo Horria da Elongao Nafiguraaseguir,destacamosaposio ocupadapelomvelemMCUnoinstanteinicialdo movimento(t=0),assimcomoaposiodesua projeonoeixoOx.Taisposiespodemser identificadaspeloangulo0, denominadofaseinicial. Ouseja,ovalordongulodefasenoinstantet=0, emrelaoaoreferencialP(anlogoposioinicial nomovimentoretilneoefaseinicialnomovimente circular). Figura 2. Fase Inicial Apsdeterminadointervalodetempot,a partculaocuparaposioidentificadapelongulo (fase), e sua projeo identificar a elongao do MHS nesseinstante.DaequaohorriadoMCUtemos: .0t e + = Figura 3. Elongao do MHS AelongaodoMHSdadapelacoordenada x, e corresponde projeo da posio do MCU sobre oeixoOx.Notringulosombreadotemos: . cos cos A xAx= = Como ,0t e + =obtemos: ) cos(0t A x e + =Essaaequaohorriadaelongaono MHS. Obs. 1: Como dito, nem todo MHS conseqncia de umMCU.Maspodemossempreassociarum movimentocircular.Dessaforma,oMHSsempre descritoemfunodasgrandezasangularesque vimosnoestudodosmovimentoscirculares(como velocidade angular, fase etc.) Obs. 2: Lembre-se que =2f=2/T. 4.2-FunoHorriadaVelocidadeEscalar Instantnea Domesmomodo,avelocidadedoMHS correspondeprojeodovetorvelocidadedoMCU sobreoeixoOx.Essaprojeoemumdeterminado instante t est ilustrada na figura a seguir. Figura 4. Velocidade no MHS Notringuloretngulosombreado: . sen v vMCU MHS = Lembrando queA vMCUe = e

,0t e + =obtemos: ). (0t Asen vMHSe e + = Como o MHS tem sentidocontrrio ao do eixo Ox, devemos acrescentaro sinal negativopara indicar osentidodavelocidade.Assim,escrevemosafuno horriadavelocidadeescalarainstantneanoMHS: ). (0t Asen v e e + =

222FIS IICASD Vestibulares 4.3-FunoHorriadaAceleraoEscalar Instantnea A acelerao do MHS a projeo no eixo Ox daaceleraodoMCU,quecentrpeta.Afiguraa seguir representa essa projeo em um instante t. Figura 5. Acelerao no MHS Notringuloretngulosombreado: . cosMCU MHSa a = LembrandoqueA aMCU2e = e ,0t e + = obtemos ). cos(02t A aMHSe e + =

ObservamosqueoMHSaceleradono instantetconsiderado.Logoavelocidadeea acelerao devem ter o mesmo sinal. Logo: ) cos(02t A a e e + = Obs.:Parautilizarmosessasequaes,devemos utilizar o mesmo referencial utilizado nas dedues. Ou seja,fasenulanopontoP,deelongaomxima.O referencial no arbitrrio. 4.4 - Relao entre Acelerao e Elongao Substituindoaequaodaelongaona equao da acelerao, resulta em: Kx a ou x a = =2e Essasequaesrepresentamapropriedade fundamentaldoMHS:aaceleraovarialinearmente comaelongao.Isto,paracadaposioocupada pelomvelemMHS,aaceleraoobtida multiplicandoumaconstante(-2)pelaelongao.O sinalnegativoindicaqueelongaoeaceleraotem sinaiscontrrios:quandoumpositivo,ooutroe negativo. Assim, quando um mvel estiver realizando um movimentoqueobedeceaessapropriedade,omvel estar realizando um MHS. Essa idia ficar mais clara quando estudarmos a dinmica do MHS. 5 PONTOS NOTVEIS DO MHS Paramelhoraracompreensodecomoo corposecomportaemMHS,vamosanalisaralguns pontosdeinteressenatrajetria.Queremosobtero valor da elongao, da velocidade e da acelerao em cada ponto. Figura 6. Pontos Notveis ConsidereentonovamenteocorpoemMCU comsuaprojeoemMHS.Nailustraoesto representadas pelos nmeros de 1 a 5 as posies de interessenoMCU.Vamosconsideraromovimentode perodo T, e fase inicial 0=0. Comisso,noinstanteinicialt=0,omvelem MCUencontra-senaposio1,naqualongulo =0+t=0. Assim, a projeo em MHS: A x A A t A x = = = + = 0 cos cos ) cos(0 e Do mesmo modo: 0 0 = = = v Asen Asen v e eA a A a2 20 cos e e = = Naposio2,ocorpopercorreuda circunferncia.Logodemoroudotempoparauma volta completa (perodo - T). Ento na posio 2, t=T/4 eongulodefase=/4.Procedendoanalogamente paracadaponto,podemosperceber,paraaprojeo em MHS CASD VestibularesFIS II223 Comisso,ocorpo(eaprojeo)retorna posioinicialdomovimento.Apartirdissopodemos resumiremumatabelaospontosdeinteressedo MHS: Tabela 1. Comparao entre Pontos Notveis Assimpodemosconcluirquenas extremidades,avelocidadedomvel(nocaso,a projeo)emMHSnula,eaaceleraotem intensidademximaiguala2A.Nopercursoata posiocentralento,ocorpoacelerado,ouseja aumentaavelocidade.Masovalordaacelerao diminui a cada instante. Ento quando o corpo atinge a posio central, a velocidade mxima igual a A e a acelerao nula. Por fim, no caminho at a outra extremidade, o corposubmetidoaumaaceleraonosentido contrariodomovimento,logoocorpodesacelerado. Atatingiraextremidadecomvelocidadenulae aceleraomxima.Apartirdissooprocessose repete. Apartirdosdadosobtidosdasequaese representadonatabela,podemosconstruiros diagramashorriosdoMHS(grandezasfsicaem funodotempo),nosquaisomovimentopossui perodo T. Figura 7. Diagramas Horrios ConclumosentoaanlisedoMHSdoponto devistacinemtico,ouseja,estudandoavariaoda posio,davelocidadeedaacelerao.Naparte2 destecaptulo,estudaremossituaesfsicasnas quais ocorre o MHS. Segue junto com a parte 1 a srie de exerccios. 224FIS IICASD Vestibulares 6 - DINMICA DO MHS Como dito, fizemos a deduo do MHS a partir doMCUparafinsdidticos.Vamosagoraentender comoaquiloquefoiestudadoseaplicaasituaes fsicas.Vamosestudarduasaplicaes:osistema massa-mola e o pndulo simples. Nosso interesse ser deduzirovalordoperodo.Vamosperceberquedois fatoressonecessriosparaquehajaaoscilao mecnica: -umaforarestauradora,queagesemprepara levar o corpo de volta posio de equilbrio; -eainrcia,queatendnciadeoscorposem movimento se manterem em movimento. 6.1 Sistema Massa-Mola Considereumblocodemassam,sobreum planoperfeitamentelisoepresoaumamolade constanteelsticak.Seamolanoapresenta deformaes,isto,estemseutamanhonatural,as forasqueatuamsobreoblocosoopesoPea normalN.Assimaresultantenulaeocorpo encontra-se na posio de equilbrio (ponto x=0). Figura 8. Considereagoraqueumagenteexternoaja sobre o bloco, de maneira a produzir uma distenso na mola,afastandooblocodesuaposiodeequilbrio at a coordenada x=A. Quando o bloco solto, a mola geraumaforanosentidoderetornarobloco posio de equilbrio (figura 9). A fora elstica, ento, aforarestauradora.Aochegarposiode equilbrio(molaemcomprimentonatural),afora elsticaseanula.Porm,devidoinrcia,obloco continua o movimento e passa a posio de equilbrio. Comissoaparecenovamenteaforaelstica,no sentidooposto,quedesaceleraobloco,atpararna posiox=-A,eretorna-odevoltaposiode equilbrio.Omovimentoserepete,caracterizandoum movimento oscilatrio. Figura 9. Podemos es