MHS

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220 FIS II CASD Vestibulares Física FIS II CAPÍTULO 9 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 1 - INTRODUÇÃO Neste capítulo, voltaremos ao estudo de corpos em movimento. Entretanto estudaremos um movimento com algumas características peculiares: o movimento periódico e oscilatório. Existem diversos movimentos com essas características, mas o único que nos interessa é o Movimento Harmônico Simples (MHS). Assim como fizemos na cinemática, será nosso interesse identificar as equações horárias da posição e da velocidade, assim como da aceleração (no MHS, a aceleração não é constante, mas variável). Veremos então que existe uma relação especial entre posição e aceleração no MHS. O estudo do MHS é introdutório ao estudo da ondulatória, que iniciaremos a seguir. 2 MOV. PERIÓDICO E OSCILATÓRIO Um movimento é dito periódico quando suas características como posição, velocidade e aceleração - repetem-se em iguais intervalos de tempo. Por exemplo, o movimento de um planeta ao redor do Sol ou o movimento das marés. Como visto anteriormente, o tempo necessário para ocorrer uma repetição do movimento periódico é denominado período (T). Assim: ciclos n t T O período pode ser medido em qualquer unidade de tempo. No SI, a unidade é o segundo (s). Vimos também que freqüência (f) é o número de vezes que o movimento se repete na unidade de tempo. Assim: t n f ciclos A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz), sendo 1 Hz = 1 s -1 . O Hertz é também chamado de rotação por segundo (rps). Outras unidade muito utilizada é rotação por minuto (rpm), e 1 rps = 60 rpm. Ainda, da definição temos: T f 1 Um movimento é dito oscilatório quando ocorre com alternância de sentido, mas na mesma trajetória para os dois sentidos. É o caso, por exemplo, do movimento do pêndulo de um relógio, que também é periódico. Perceba, entretanto, que a órbita de um planeta é periódica, mas não oscilatória, pois não ocorre inversão de sentido do movimento. 3 MOV. HARMÔNICO SIMPLES Iremos estudar então um exemplo de movimento periódico e oscilatório - o MHS. O termo “harmônico” significa que as funções horárias desse movimento são descritas a partir de funções do tipo seno e cosseno, como veremos posteriormente. Para simplificar o entendimento de como ocorre o movimento harmônico simples, vamos partir do movimento circular uniforme. Para isso, considere um corpo em MCU, em uma trajetória de raio A, com velocidade angular ω, conforme a figura a seguir. Figura 1. MCU e MHS Façamos a projeção do MCU sobre o eixo coordenado Ox, que é paralelo ao diâmetro PP’ e está contido no plano da circunferência (imagine a sombra do corpo projetada no eixo Ox devido à incidência perpendicular de luz). Perceba que quando o móvel em MCU desloca-se de P para P’ sobre a circunferência, sua projeção (sombra) desloca-se do ponto de coordenada x = A até o ponto de coordenada x = -A. Quando o móvel em MCU desloca-se de O’ para O, a projeção desloca-se de x = -A para x = A. O movimento que a projeção do MCU realiza é o movimento harmônico simples. Perceba que o movimento é periódico, pois se repete no tempo, e oscilatório, pois há alternância de sentido sobre a mesma trajetória. O período do MHS da sombra é o mesmo do MCU do móvel. É importante ressaltar, porém, que esse caso é apenas uma ilustração. Nem todo MHS é conseqüência de um movimento circular, mas para fins didáticos vamos utilizar esse o MCU deduzir o MHS.

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Movimento Harmonico

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220 FIS II CASD Vestibulares

FFííssiiccaa FIS II

CCAAPPÍÍTTUULLOO 99 –– MMOOVVIIMMEENNTTOO HHAARRMMÔÔNNIICCOO SSIIMMPPLLEESS

1 - INTRODUÇÃO Neste capítulo, voltaremos ao estudo de

corpos em movimento. Entretanto estudaremos um movimento com algumas características peculiares: o movimento periódico e oscilatório. Existem diversos movimentos com essas características, mas o único que nos interessa é o Movimento Harmônico Simples (MHS). Assim como fizemos na cinemática, será nosso interesse identificar as equações horárias da posição e da velocidade, assim como da aceleração (no MHS, a aceleração não é constante, mas variável). Veremos então que existe uma relação especial entre posição e aceleração no MHS. O estudo do MHS é introdutório ao estudo da ondulatória, que iniciaremos a seguir.

2 – MOV. PERIÓDICO E OSCILATÓRIO

Um movimento é dito periódico quando suas características – como posição, velocidade e aceleração - repetem-se em iguais intervalos de tempo. Por exemplo, o movimento de um planeta ao redor do Sol ou o movimento das marés. Como visto anteriormente, o tempo necessário para ocorrer uma repetição do movimento periódico é denominado período (T). Assim:

ciclosn

tT

O período pode ser medido em qualquer unidade de tempo. No SI, a unidade é o segundo (s). Vimos também que freqüência (f) é o número de vezes que o movimento se repete na unidade de tempo. Assim:

t

nf ciclos

A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz),

sendo 1 Hz = 1 s-1

. O Hertz é também chamado de rotação por segundo (rps). Outras unidade muito utilizada é rotação por minuto (rpm), e 1 rps = 60 rpm.

Ainda, da definição temos:

Tf

1

Um movimento é dito oscilatório quando

ocorre com alternância de sentido, mas na mesma trajetória para os dois sentidos. É o caso, por exemplo, do movimento do pêndulo de um relógio, que também é periódico. Perceba, entretanto, que a órbita de um planeta é periódica, mas não oscilatória, pois não ocorre inversão de sentido do movimento.

3 – MOV. HARMÔNICO SIMPLES

Iremos estudar então um exemplo de

movimento periódico e oscilatório - o MHS. O termo

“harmônico” significa que as funções horárias desse

movimento são descritas a partir de funções do tipo

seno e cosseno, como veremos posteriormente.

Para simplificar o entendimento de como

ocorre o movimento harmônico simples, vamos partir

do movimento circular uniforme. Para isso, considere

um corpo em MCU, em uma trajetória de raio A, com

velocidade angular ω, conforme a figura a seguir.

Figura 1. MCU e MHS

Façamos a projeção do MCU sobre o eixo

coordenado Ox, que é paralelo ao diâmetro PP’ e está

contido no plano da circunferência (imagine a sombra

do corpo projetada no eixo Ox devido à incidência

perpendicular de luz).

Perceba que quando o móvel em MCU

desloca-se de P para P’ sobre a circunferência, sua

projeção (sombra) desloca-se do ponto de coordenada

x = A até o ponto de coordenada x = -A. Quando o

móvel em MCU desloca-se de O’ para O, a projeção

desloca-se de x = -A para x = A.

O movimento que a projeção do MCU realiza é

o movimento harmônico simples. Perceba que o

movimento é periódico, pois se repete no tempo, e

oscilatório, pois há alternância de sentido sobre a

mesma trajetória. O período do MHS da sombra é o

mesmo do MCU do móvel.

É importante ressaltar, porém, que esse caso é

apenas uma ilustração. Nem todo MHS é

conseqüência de um movimento circular, mas para fins

didáticos vamos utilizar esse o MCU deduzir o MHS.

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CASD Vestibulares FIS II 221

No MHS, a posição (coordenada) é medida a

partir do ponto médio da trajetória (ponto O) e é

denominada elongação. Ou seja, no ponto O (x=0)

temos elongação nula, enquanto no ponto x = A temos

elongação máxima e no ponto x = - A temos elongação

mínima. O valor A, que corresponde ao raio da

trajetória do MCU, denomina-se amplitude.

4 – CINEMÁTICA DO MHS

Assim como fizemos anteriormente para os

outros tipos de movimento vistos, vamos deduzir

equações para identificar a posição, a velocidade e a

aceleração ao longo do tempo no MHS. Como o

movimento é periódico, essas grandezas se repetem

em intervalos de tempos iguais. Vamos continuar

utilizando a associação com o MCU (figura 1).

4.1 - Função Horária da Elongação

Na figura a seguir, destacamos a posição

ocupada pelo móvel em MCU no instante inicial do

movimento (t=0), assim como a posição de sua

projeção no eixo Ox. Tais posições podem ser

identificadas pelo angulo φ0, denominado fase inicial.

Ou seja, é o valor do ângulo de fase no instante t=0,

em relação ao referencial P (análogo à posição inicial

no movimento retilíneo e à fase inicial no movimente

circular).

Figura 2. Fase Inicial

Após determinado intervalo de tempo t, a

partícula ocupará a posição identificada pelo ângulo φ

(fase), e sua projeção identificará a elongação do MHS

nesse instante. Da equação horária do MCU temos:

.0 t

Figura 3. Elongação do MHS

A elongação do MHS é dada pela coordenada

x, e corresponde à projeção da posição do MCU sobre

o eixo Ox. No triângulo sombreado temos:

.coscos AxA

x

Como ,0 t

obtemos:

)cos( 0 tAx

Essa é a equação horária da elongação no MHS.

Obs. 1: Como dito, nem todo MHS é conseqüência de um MCU. Mas podemos sempre associar um movimento circular. Dessa forma, o MHS é sempre descrito em função das grandezas angulares que vimos no estudo dos movimentos circulares (como velocidade angular, fase etc.) Obs. 2: Lembre-se que ω=2πf=2π/T.

4.2 - Função Horária da Velocidade Escalar Instantânea

Do mesmo modo, a velocidade do MHS corresponde à projeção do vetor velocidade do MCU sobre o eixo Ox. Essa projeção em um determinado instante t está ilustrada na figura a seguir.

Figura 4. Velocidade no MHS No triângulo retângulo sombreado:

.senvv MCUMHS

Lembrando que AvMCU

e

,0 t obtemos:

).( 0 tAsenvMHS

Como o MHS tem sentido contrário ao do eixo

Ox, devemos acrescentar o sinal negativo para indicar

o sentido da velocidade. Assim, escrevemos a função

horária da velocidade escalara instantânea no MHS:

).( 0 tAsenv

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222 FIS II CASD Vestibulares

4.3 - Função Horária da Aceleração Escalar Instantânea A aceleração do MHS é a projeção no eixo Ox da aceleração do MCU, que é centrípeta. A figura a seguir representa essa projeção em um instante t.

Figura 5. Aceleração no MHS

No triângulo retângulo sombreado:

.cosMCUMHS aa

Lembrando que AaMCU

2

e ,0 t obtemos ).cos( 0

2 tAaMHS

Observamos que o MHS é acelerado no instante t considerado. Logo a velocidade e a aceleração devem ter o mesmo sinal. Logo:

)cos( 0

2 tAa

Obs.: Para utilizarmos essas equações, devemos utilizar o mesmo referencial utilizado nas deduções. Ou seja, fase nula no ponto P, de elongação máxima. O referencial não é arbitrário.

4.4 - Relação entre Aceleração e Elongação

Substituindo a equação da elongação na equação da aceleração, resulta em:

Kxaouxa 2

Essas equações representam a propriedade

fundamental do MHS: a aceleração varia linearmente com a elongação. Isto é, para cada posição ocupada pelo móvel em MHS, a aceleração é obtida multiplicando uma constante (-ω

2) pela elongação. O

sinal negativo indica que elongação e aceleração tem sinais contrários: quando um é positivo, o outro e negativo.

Assim, quando um móvel estiver realizando um

movimento que obedece a essa propriedade, o móvel

estará realizando um MHS. Essa idéia ficará mais clara quando estudarmos a dinâmica do MHS.

5 – PONTOS NOTÁVEIS DO MHS

Para melhorar a compreensão de como o

corpo se comporta em MHS, vamos analisar alguns

pontos de interesse na trajetória. Queremos obter o

valor da elongação, da velocidade e da aceleração em

cada ponto.

Figura 6. Pontos Notáveis

Considere então novamente o corpo em MCU

com sua projeção em MHS. Na ilustração estão

representadas pelos números de 1 a 5 as posições de

interesse no MCU. Vamos considerar o movimento de

período T, e fase inicial φ0=0.

Com isso, no instante inicial t=0, o móvel em

MCU encontra-se na posição 1, na qual o ângulo

φ=φ0+ωt=0. Assim, a projeção em MHS:

AxAAtAx 0coscos)cos( 0

Do mesmo modo:

00 vAsenAsenv

AaAa 22 0cos

Na posição 2, o corpo percorreu ¼ da

circunferência. Logo demorou ¼ do tempo para uma

volta completa (período - T). Então na posição 2, t=T/4

e o ângulo de fase φ=π/4. Procedendo analogamente

para cada ponto, podemos perceber, para a projeção

em MHS

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CASD Vestibulares FIS II 223

Com isso, o corpo (e a projeção) retorna à

posição inicial do movimento. A partir disso podemos

resumir em uma tabela os pontos de interesse do

MHS:

Tabela 1. Comparação entre Pontos Notáveis

Assim podemos concluir que nas

extremidades, a velocidade do móvel (no caso, a

projeção) em MHS é nula, e a aceleração tem

intensidade máxima igual a ω2A. No percurso até a

posição central então, o corpo é acelerado, ou seja

aumenta a velocidade. Mas o valor da aceleração

diminui a cada instante. Então quando o corpo atinge a

posição central, a velocidade é máxima igual a ωA e a

aceleração é nula.

Por fim, no caminho até a outra extremidade, o

corpo é submetido a uma aceleração no sentido

contrario do movimento, logo o corpo é desacelerado.

Até atingir a extremidade com velocidade nula e

aceleração máxima. A partir disso o processo se

repete.

A partir dos dados obtidos das equações e

representado na tabela, podemos construir os

diagramas horários do MHS (grandezas física em

função do tempo), nos quais o movimento possui

período T.

Figura 7. Diagramas Horários Concluímos então a análise do MHS do ponto

de vista cinemático, ou seja, estudando a variação da posição, da velocidade e da aceleração. Na parte 2 deste capítulo, estudaremos situações físicas nas quais ocorre o MHS. Segue junto com a parte 1 a série de exercícios.

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224 FIS II CASD Vestibulares

6 - DINÂMICA DO MHS

Como dito, fizemos a dedução do MHS a partir

do MCU para fins didáticos. Vamos agora entender

como aquilo que foi estudado se aplica a situações

físicas. Vamos estudar duas aplicações: o sistema

massa-mola e o pêndulo simples. Nosso interesse será

deduzir o valor do período. Vamos perceber que dois

fatores são necessários para que haja a oscilação

mecânica:

uma força restauradora, que age sempre para

levar o corpo de volta à posição de equilíbrio;

e a inércia, que é a tendência de os corpos em

movimento se manterem em movimento.

6.1 – Sistema Massa-Mola

Considere um bloco de massa m, sobre um

plano perfeitamente liso e preso a uma mola de

constante elástica k. Se a mola não apresenta

deformações, isto é, está em seu tamanho natural, as

forças que atuam sobre o bloco são o peso P e a

normal N. Assim a resultante é nula e o corpo

encontra-se na posição de equilíbrio (ponto x=0).

Figura 8.

Considere agora que um agente externo aja

sobre o bloco, de maneira a produzir uma distensão na

mola, afastando o bloco de sua posição de equilíbrio

até a coordenada x=A. Quando o bloco é solto, a mola

gera uma força no sentido de retornar o bloco à

posição de equilíbrio (figura 9). A força elástica, então,

é a força restauradora. Ao chegar à posição de

equilíbrio (mola em comprimento natural), a força

elástica se anula. Porém, devido à inércia, o bloco

continua o movimento e passa a posição de equilíbrio.

Com isso aparece novamente a força elástica, no

sentido oposto, que desacelera o bloco, até parar na

posição x=-A, e retorna-o de volta à posição de

equilíbrio. O movimento se repete, caracterizando um

movimento oscilatório.

Figura 9.

Podemos escrever, para o bloco afastado de x

do ponto de equilíbrio, que a força resultante é a

própria força elástica:

xm

kakxmaFR el

Concluímos que o bloco realiza um MHS, uma

vez que a aceleração varia linearmente com a

elongação (propriedade fundamental do MHS). A

amplitude do movimento é a distensão inicial da mola

A. A figura a seguir mostra a relação do movimento do

bloco com o MCU, como estudado anteriormente.

Figura 10. Relação entre MCU e sistema

massa-mola

Como visto, no MHS a= - ω2.x. Logo temos ω

2

= k/m. Lembrando que ω=2π/T, concluímos que o

período de oscilação do MHS do sistema massa-mola

é:

k

mT 2

Por essa expressão podemos perceber que o

período do sistema massa-mola

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CASD Vestibulares FIS II 225

depende somente da massa oscilante e da

constante elástica da mola;

não depende da amplitude de oscilação.

Obs.: É importante ressaltar que esse valor encontrado

para o período independe se o bloco está oscilando na

horizontal ou na vertical sob ação também da

gravidade, ou ainda sobre um plano inclinado. O que

altera é somente a posição de equilíbrio (deq), que não

será mais o comprimento natural da mola, e sim a

posição em que a força elástica se iguala à força peso,

como na figura a seguir. O período é o mesmo.

Figura 11. Equilíbrio do sistema massa-mola

6.1.1 - Relembrando: Associação de molas:

molas em série:

21

111

kkkeq

molas em paralelo:

21 kkkeq

Figura 12. Associação de Molas

6.2 – Pêndulo Simples Um pêndulo simples é constituído por um

corpo de massa m que oscila, sob ação da gravidade, preso à extremidade de um fio inextensível de comprimento l, como na figura a seguir. A figura ainda representa as forças atuantes no pêndulo – Peso e Tração -, assim como as decomposições na direção normal e tangencial ao movimento.

Figura 13. Pêndulo Simples Quando a massa é afastada da posição de

equilíbrio, a componente tangencial da força peso age como força restauradora, e retorna o pêndulo à sua posição de equilíbrio inicial. Este, por sua vez, devido à inércia, passa da posição de equilíbrio. A força restauradora age novamente, no sentindo contrário, e o pêndulo realiza um MHS sobre o arco de circunferência.

Na direção normal ao movimento, a

componente normal do peso (Pn = mgcosθ) anula a tração (T) do fio. Na direção tangencial, a componente tangencial do peso (Pt = mgsenθ) é a resultante:

gsenamgsenmaPR t

Se as oscilações ocorrerem com ângulos

pequenos (θmax ≤ 10º), podemos aproximar o valor do seno do ângulo θ pelo próprio ângulo (sen θ ≈ θ). Da

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226 FIS II CASD Vestibulares

figura escrevemos que θ = x / l (definição de radianos). Com isso:

l

xgaggsena .

No qual o sinal negativo apenas indica que a

aceleração tem sentido contrário ao eixo Ox. Portanto, para essa aproximação para ângulos pequenos, a aceleração varia linearmente com a elongação, o que confirma que o pêndulo realiza um MHS.

Novamente, no MHS a= - ω2.x. Logo temos ω

2

= g/l. Lembrando que ω=2π/T, concluímos que o

período de oscilação do MHS do sistema massa-mola

é:

g

lT 2

O período do MHS do pêndulo simples

não depende da massa;

é proporcional à raiz quadrara do comprimento;

é inversamente proporcional à raiz quadrada do

valor da aceleração da gravidade.

Obs.: O pêndulo realiza aproximadamente um MHS

para ângulos inferiores a 10º. Ao utilizarmos essa

aproximação, estamos aproximando o arco de

circunferência da trajetória por uma reta.

7 – ENERGIA NO MHS

Um sistema em MHS apresenta somente

forças conservativas, logo o sistema é conservativo. Ou seja, a energia mecânica (soma da energia potencial com a energia cinética) é constante: Emec = EP+Ec = cte.

Vimos que a velocidade do corpo varia

continuamente, o que significa uma variação da energia cinética. Logo, se quando a energia cinética sofrer uma redução, a energia potencial aumentará, e vice-versa. Vamos analisar mais detalhadamente para o sistema massa-mola.

7.1 - Energia Potencial Elástica no Sistema Massa-Mola Como o movimento ocorre sobre um plano horizontal, podemos admitir que nesse plano a energia potencial gravitacional é nula (EPg = 0). Logo a energia mecânica é a soma da energia cinética e a energia potencial elástica (EPel): Emec = EPel+Ec.

Quando o bloco se encontra na extremidade da trajetória (x = A ou x = - A) do MHS, vimos que a energia cinética é nula (v=0). Logo toda a energia do

sistema é potencial elástica. Sendo esta dada por EPel = kx

2/2, para as extremidades podemos escrever:

2

2kAEE Pelmec

Esta é a energia total do sistema. Conforme o

bloco se desloca em relação ao ponto de equilíbrio, a energia potencial se transforme em energia cinética (o corpo ganha velocidade). Ao atingir o ponto O, a mola não se encontra deformada, e toda a energia potencial se transformou em cinética. O bloco possui velocidade máxima, e neste ponto:

222

2

max

22 mvkAE

kAE cmec

Como percebemos, no MHS ocorre

transformação de energia potencial em cinética, e vice-versa. A soma permanece constante, pois o sistema é conservativo.

Graficamente, podemos expor as

transformações de energia como a seguir. Perceba que a energia mecânica é constante, e enquanto a cinética aumenta a potencial diminui e vice-versa.

Figura 14. Energia no MHS

Obs.: Essa análise foi feita para o sistema massa-mola. Mas qualquer MHS se comporta do mesmo modo. A energia potencial nas extremidades se transforma em energia cinética no centro. No pêndulo, a energia é potencial gravitacional.

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CASD Vestibulares FIS II 227

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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228 FIS II CASD Vestibulares

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I 1. (Ufrs 2006) Um pêndulo simples, de comprimento L,

tem um período de oscilação T, num determinado local.

Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no

mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser

aumentado em

a) 1 L. b) 2 L. c) 3 L. d) 5 L. e) 7 L.

2. (Ufu 2006) Em um laboratório de Física, um grupo de

alunos, Grupo A, obtém dados, apresentados na tabela

a seguir, para a frequência (em hertz) num

experimento de Pêndulo Simples, utilizando-se três

pêndulos diferentes.

Esses resultados foram passados para um segundo

grupo, Grupo B, que não compareceu à aula. Uma vez

que os alunos do Grupo B não viram o experimento, os

integrantes desse grupo formularam uma série de

hipóteses para interpretar os resultados. Assinale a

ÚNICA hipótese correta.

a) A massa do pêndulo 1 é menor do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que a massa do pêndulo 3.

b) A massa do pêndulo 1 é maior do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que a massa do pêndulo 3.

c) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é maior do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que o comprimento do pêndulo 3.

d) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é menor do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que o comprimento do pêndulo 3.

3. (Ufrs 2005) A figura a seguir representa uma roda,

provida de uma manivela, que gira em torno de um

eixo horizontal, com velocidade angular ω constante.

Iluminando-se a roda com feixes paralelos de luz, sua

sombra é projetada sobre uma tela suspensa

verticalmente. O movimento do ponto A' da sombra é o

resultado da projeção, sobre a tela, do movimento do

ponto A da manivela.

A respeito dessa situação, considere as seguintes

afirmações.

I. O movimento do ponto A é um movimento circular

uniforme com período igual a 2π/ω.

II. O movimento do ponto A' é um movimento

harmônico simples com período igual a 2π/ω.

III. O movimento do ponto A' é uma sequência

de movimentos retilíneos uniformes com período igual

a π/ω.

Quais estão corretas?

a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e II. e) Apenas I e III.

4. (Uece 2008) Um sistema massa-mola é preso ao teto. A partir do ponto de equilíbrio faz-se a massa oscilar com pequena amplitude. Quadruplicando-se o valor da massa, repete-se o mesmo procedimento. Neste caso, podemos afirmar corretamente que a frequência de oscilação a) é reduzida à metade. b) dobra. c) permanece a mesma. d) quadruplica.

5. (Ufpr 2006) Um técnico de laboratório comprou uma

mola com determinada constante elástica. Para

confirmar o valor da constante elástica especificada

pelo fabricante, ele fez o seguinte teste: fixou a mola

verticalmente no teto por uma de suas extremidades e,

na outra extremidade, suspendeu um bloco com massa

igual a 10 kg. Imediatamente após suspender o bloco,

ele observou que este oscilava com frequência de 2

Hz. Com base nesses dados, o valor da constante

elástica vale:

a) 16 π2 N/m. b) 1,6 π

2 N/m. c) (16 π)

2 N/m.

d) 160 π2 N/m. e) 0,16 π

2 N/m.

6. (Ufpb 2007) Um Professor de Física utiliza uma mola,

de constante elástica k e comprimento L (quando não

distendida), para demonstrar em sala de aula o

movimento harmônico simples (MHS). A mola, presa

ao teto da sala, pende verticalmente. Um corpo de

massa m é preso à extremidade livre da mola e

subitamente largado.

Desprezando todas as forças dissipativas, admitindo

que a mola tem massa desprezível e que a gravidade

terrestre é g, analise as afirmações a seguir:

(g = 10 m/s2)

I. O período do MHS obtido é T = 2π L / g .

II. O corpo não realiza MHS devido à gravidade.

III. A nova posição de equilíbrio está deslocada de ∆L =

mg/k.

IV. A energia mecânica total do corpo, no movimento

vertical, é igual à soma das suas energias cinética,

potencial elástica e potencial gravitacional.

Estão corretas apenas:

a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) III e IV

7. (Pucmg 2009) A figura a seguir mostra um corpo de

massa m = 0,05 kg, preso a uma mola de constante

elástica k = 20 N/m. O objeto é deslocado 20 cm para a

direita, a partir da posição de equilíbrio sobre uma

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CASD Vestibulares FIS II 229

superfície sem atrito, passando a oscilar entre

x = A e x = - A.

Assinale a afirmativa CORRETA.

a) Na posição x = -20 cm, a mola tem uma energia cinética de 0,4 J e a energia potencial elástica do corpo é nula.

b) Na posição x = -20 cm, toda a energia do sistema vale 0,4 J e está no objeto sob a forma de energia cinética.

c) Na posição x = 0, toda a energia do sistema está no corpo na forma de energia cinética e sua velocidade vale 4 m/s.

d) Na posição x = 20 cm, toda a energia do sistema vale 0,8 J sendo 0,6 J na mola e o restante no objeto.

8. (Unicamp 1992) Um corpo de massa m está preso em

uma mola de constante elástica k e em repouso no

ponto O. O corpo é então puxado até a posição A e

depois solto. O atrito é desprezível. Sendo m = 10 kg, k

= 40 N/m, π = 3,14, pede-se:

a) o período de oscilação do corpo;

b) o número de vezes que um observador, estacionário

no ponto B, vê o corpo passar por ele, durante um

intervalo de 15,7 segundos.

Nível II 9. (Ueg 2009) A posição em função do tempo de um

sistema massa-mola em um MHS é representada no

gráfico a seguir.

Admita que a inércia translacional do sistema seja 0,70

kg e responda ao que se pede.

a) Qual é a amplitude e o período do MHS?

b) Qual é a constante elástica da mola?

c) Qual é o módulo da aceleração da massa quando a

sua energia cinética for a metade da energia total do

sistema?

10. (Ufpr 2010) A peça de uma máquina está presa a uma mola e executa um movimento harmônico simples, oscilando em uma direção horizontal. O gráfico a seguir representa a posição x da peça em função do tempo t, com a posição de equilíbrio em x = 0.

Com base no gráfico, determine: a) O período e a frequência do sistema peça-mola. b) Os instantes em que a velocidade da peça é nula. Justifique a sua resposta. c) Os instantes em que a aceleração da peça é máxima. Justifique a sua resposta. 11. (Ufal 2010) Um relógio de pêndulo é construído tal que o seu pêndulo realize 3600 oscilações completas a cada hora. O relógio está descalibrado, de modo que o pêndulo oscila em um movimento harmônico simples de frequência angular igual a 5 /2 rad/s. Nessa

situação, ao final de 3600 oscilações completas do pêndulo terão se passado: a) 32 min b) 45 min c) 48 min d) 52 min e) 56 min

12. (Ufpb 2006) Uma partícula material executa um

movimento harmônico simples (MHS) em torno do

ponto x = 0. Sua aceleração, em função da posição, é

descrita pelo gráfico a seguir.

Nessas condições, a frequência angular do MHS é:

a) 4 rd/s b) 3 rd/s c) 2 rd/s d) 1 rd/s e) 0,5 rd/s

13. (Unifesp 2008) Um estudante faz o estudo

experimental de um movimento harmônico simples

(MHS) com um cronômetro e um pêndulo simples

como o da figura, adotando o referencial nela

representado.

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230 FIS II CASD Vestibulares

Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona

quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima

passagem do pêndulo por essa posição, o cronômetro

marca t = 30 s.

a) Determine o período (T) e a frequência (f) do

movimento desse pêndulo.

b) Esboce o gráfico x (posição) × t (tempo) desse

movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere

desprezível a influência de forças resistivas.

14. (Unicamp 1991) Enquanto o ponto P se move sobre

uma circunferência, em movimento circular uniforme

com velocidade angular ω = 2π rad/s, o ponto M

(projeção de P sobre o eixo x) executa um movimento

harmônico simples entre os pontos A e A'.

a) Qual é a frequência do MHS executado por M?

b) Determine o tempo necessário para o ponto M

deslocar-se do ponto B ao ponto C.

Nota: B e C são os pontos médios de AD e DA ,

respectivamente.

15. (Unicamp 2005) Numa antena de rádio, cargas

elétricas oscilam sob a ação de ondas

eletromagnéticas em uma dada frequência. Imagine

que essas oscilações tivessem sua origem em forças

mecânicas e não elétricas: cargas elétricas fixas em

uma massa presa a uma mola. A amplitude do

deslocamento dessa "antena-mola" seria de 1 mm e a

massa de 1 g para um rádio portátil. Considere um

sinal de rádio AM de 1000 kHz.

a) Qual seria a constante de mola dessa "antena-

mola"? A frequência de oscilação é dada por: f =1

k / m onde k é a constante da mola e m a massa

presa à mola.

b) Qual seria a força mecânica necessária para

deslocar essa mola de 1 mm?

16. (Ufms 2006) O Bungee Jump é um esporte radical

que consiste na queda de grandes altitudes de uma

pessoa amarrada numa corda elástica. Considerando

desprezível a resistência do ar, é correto afirmar que

01) a velocidade da pessoa é máxima quando a força elástica da corda é igual à força peso que atua na pessoa.

02) a velocidade da pessoa é máxima quando o deslocamento da pessoa, em relação ao ponto que saltou, é igual ao comprimento da corda sob tensão nula.

04) o tempo de movimento de queda independe da massa da pessoa.

08) a altura mínima que a pessoa atinge em relação ao solo depende da massa dessa pessoa.

16) a aceleração resultante da pessoa é nula quando

ela atinge a posição mais baixa.

17. (Ufc 2007) Uma partícula de massa m move-se

sobre o eixo x, de modo que as equações horárias

para sua velocidade e sua aceleração são,

respectivamente, v(t) = - ωAsen (ωt + φ) e a(t) = -

ω2Acos(ωt + φ), com ω, A e φ constantes.

a) Determine a força resultante em função do tempo,

F(t) , que atua na partícula.

b) Considere que a força resultante também pode ser

escrita como F(t) = - kx(t), onde k = mω2. Determine a

equação horária para a posição da partícula, x(t), ao

longo do eixo x.

c) Usando as expressões para as energias cinética,

Ec(t) = 1/2 mv2(t), e potencial, Ep(t) = 1/2 kx

2(t), mostre

que a energia mecânica da partícula é constante.

18. (Ufms 2007) A figura 1 representa um sistema

mecânico que ilustra o funcionamento de um motor a

combustão, simplificado, com apenas três peças:

virabrequim, biela e pistão. Essas três peças estão

acopladas entre si, através de eixos articulados.

Enquanto o virabrequim gira com velocidade angular

constante, no sentido horário, a biela faz o pistão subir

e descer num movimento oscilatório. A posição do

pistão no eixo vertical y, é dada pela projeção do ponto

de articulação entre a biela e o pistão sobre esse eixo.

Essa posição no eixo y, oscila entre as amplitudes +A

e -A. Chamemos de y, vy e ay, respectivamente, a

posição, a velocidade e a aceleração do ponto de

articulação entre a biela e o pistão. Se iniciarmos a

marcação do tempo t, quando a posição do ponto de

articulação entre a biela e o pistão estiver na posição y

= 0, como mostra a figura 1, assinale a alternativa que

apresenta corretamente os gráficos correspondentes

às posições y, às velocidades vy e às acelerações ay

em função do tempo.

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CASD Vestibulares FIS II 231

19. (Uece 2007) Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecânica igual a 1,0 J, uma amplitude de oscilação 0,5 m e uma velocidade máxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a frequência são, respectivamente, iguais a: a) 8,0 N/m, 1,0 kg e 4/π Hz b) 4,0 N/m, 0,5 kg e 4/π Hz c) 8,0 N/m, 0,5 kg e 2/π Hz d) 4,0 N/m, 1,0 kg e 2/π Hz 20. (Ufmg 2007) Em uma feira de ciências, Rafael

apresenta um dispositivo para traçar senoides, como o

mostrado na figura a seguir.

Esse dispositivo consiste em um pequeno funil cheio

de areia, que, pendurado na extremidade de um fio

longo, oscila num plano perpendicular à direção do

movimento da esteira rolante, mostrada na figura. A

areia escoa, lentamente, do funil sobre a esteira, que

se move no sentido indicado pela seta. Quando a

esteira se move a uma velocidade de 5,0 cm/s,

observa-se que a distância entre dois máximos

sucessivos da senoide é de 20 cm.

Considerando as informações dadas e a situação

descrita,

1. CALCULE o período de oscilação do funil.

Em seguida, Rafael aumenta de quatro vezes o

comprimento do fio que prende o funil.

2. CALCULE a distância entre os máximos sucessivos

da senóide nesta nova situação.

21. (Unicamp 2009) A piezeletricidade também é importante nos relógios modernos que usam as vibrações de um cristal de quartzo como padrão de tempo e apresentam grande estabilidade com respeito a variações de temperatura.

a) Pode-se utilizar uma analogia entre as vibrações de um cristal de massa m e aquelas de um corpo de mesma massa preso a uma mola. Por exemplo: a frequência de vibração do cristal e a sua energia potencial elástica também são dadas por f =

1k / m

e Ep =1

2

k∆x2, respectivamente,

onde k é a propriedade do cristal análoga à constante elástica da mola e ∆x é o análogo da sua deformação. Um cristal de massa m = 5,0 g oscila com uma frequência de 30 kHz. Usando essa analogia, calcule a energia potencial elástica do cristal para ∆x = 0,020 μm.

b) Em 1582, Galileu mostrou a utilidade do movimento pendular na construção de relógios. O período de um pêndulo simples depende do seu comprimento L. Este varia com a temperatura, o que produz pequenas alterações no período. No verão, um pêndulo com L = 90 cm executa um certo número de oscilações durante um tempo t = 1800 s. Calcule em quanto tempo esse pêndulo executará o mesmo número de oscilações no inverno, se com a diminuição da temperatura seu comprimento variar 0,20 cm, em módulo. Para uma pequena variação de comprimento ∆L, a variação correspondente no

tempo das oscilações ∆t é dada por (∆t/t) =1

2

(∆L/L), assim ∆t pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de ∆L.

22. (Fuvest 1995) 'Uma caneta move-se ao longo do

eixo y com um movimento harmônico simples. Ela

registra sobre uma fita de papel, que se move com

velocidade de 10 cm/s da direita para esquerda, o

gráfico representado na figura a seguir.

a) Determine a função y(x) que representa a curva

mostrada no gráfico.

b) Supondo que o instante t = 0 corresponda à

passagem da caneta pelo ponto x = 0 e y = 0,

determine a função y(t) que representa seu movimento.

c) Qual a frequência, em hertz, do movimento da

caneta?

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232 FIS II CASD Vestibulares

23. (Fuvest 2001)

Uma peça, com a forma indicada, gira em torno de um

eixo horizontal P, com velocidade angular constante e

igual a πrad/s. Uma mola mantém uma haste apoiada

sobre a peça, podendo a haste mover-se APENAS na

vertical. A forma da peça é tal que, enquanto ela gira, a

extremidade da haste sobe e desce, descrevendo, com

o passar do tempo, um movimento harmônico simples

Y(t) como indicado no gráfico. Assim, a frequência do

movimento da extremidade da haste será de

a) 3,0 Hz b) 1,5 Hz c) 1,0 Hz d) 0,75 Hz e) 0,5 Hz

24. (Fuvest 2004) Um certo relógio de pêndulo consiste

em uma pequena bola, de massa M = 0,1 kg, que

oscila presa a um fio. O intervalo de tempo que a

bolinha leva para, partindo da posição A, retornar a

essa mesma posição é seu período T0, que é igual a

2s. Neste relógio, o ponteiro dos minutos completa

uma volta (1 hora) a cada 1800 oscilações completas

do pêndulo.

Estando o relógio em uma região em que atua um

campo elétrico E, constante e homogêneo, e a bola

carregada com carga elétrica Q, seu período será

alterado, passando a T(Q). Considere a situação em

que a bolinha esteja carregada com carga Q = 3 x 10-5

C, em presença de um campo elétrico cujo módulo E =

1 x 105 V/m. Então, determine:

a) A intensidade da força efetiva F(e), em N, que age

sobre a bola carregada.

b) A razão R = T(Q)/T0 entre os períodos do pêndulo,

quando a bola está carregada e quando não tem

carga.

c) A hora que o relógio estará indicando, quando forem

de fato três horas da tarde, para a situação em que o

campo elétrico tiver passado a atuar a partir do meio-

dia.

NOTE E ADOTE:

Nas condições do problema, o período T do pêndulo

pode ser expresso por

T = 2π

e

massa comprimento do pêndulo

F

em que F(e) é a força vertical efetiva que age sobre a

massa, sem considerar a tensão do fio.

GABARITO 1: [C] 2: [D] 3: [B] 4: [A] 5: [D] 6: [E] 7: [C]

8: a) 3,14s. b) 10. 9: a) A = 0,70 m. T = 2 s. b) k = 0,7 N/m. c) |a| = 0,5m/s

2.

10: a) f = 0,25 Hz. b) t = 1 s; t = 3 s e t = 5 s. c) t = 1 s; t = 3 s e t = 5 s. 11: [C] 12: [C] 13: a) T = 1,5 s; f ≈ 0,67 Hz b) Observando-se que em t = 0, x = + A, temos o gráfico senoidal a seguir.

14: a) 1,0 Hz. b) 1/6 s 15: a) k = 3,6 × 10

10 N/m b) F = 3,6 × 10

7 (N)

16: 09 ==> 08 e 01 17: a) b)

c) Emec = 1

2kA

2, que é uma constante.

18: [E] 19: [C] 20: 1. T = 4 s 2. distância = 40 cm 21: b)1798 s

22: a) y = 2,0 sen . x .2

π

b) y = 2,0 sen (5,0 π t).

c) 2,5 Hz. 22: a) 2,0 cm/s. b) 2. 23: [B]

24: a) 4N b) 1

2 c) 6 h da tarde