GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano

Métodos Geométricos Auxiliares I

Mudança de Diedros de Projecção

GENERALIDADES

Quando se utiliza o método da mudança do diedro de projecção é necessário designar os planos de projecção e as projecções novas dos pontos com uma nomenclatura específica.

O plano xy (o Plano Horizontal de Projecção) passa a ser designado por plano 1, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A1, como normalmente o é.

O plano xz (o Plano Frontal de Projecção) passa a ser designado por plano 2, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A2, como normalmente o é.

O plano yz (o Plano Perfil de Projecção) passa a ser designado por plano 3, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A3, como normalmente o é.

Os novos planos que vão substituir planos existentes passam a ser designados por plano 4, plano 5, etc.; com a projecção de um ponto A nesses planos a serem identificados como A4, A5, etc., respectivamente.

A relação entre um novo plano de projecção e um existente deve sempre ser de ortogonalidade entre os dois planos.

x

plano 2

plano 1

αA

BC

A2

B2

C2

C1 A1 B1

C4

A4

B4

plano 4

x’

O método da mudança do diedro de projecção desenvolve-se com as partes seguintes:

1 – Escolher o plano a ser substituído;

2 – Escolher a posição do novo plano de projecção a ser introduzido;

3 – Manter a projecção do objecto sobre o plano de projecção que se mantém, mantendo as restectivas coordenadas;

4 – Determinar a nova projecção do objecto sobre o novo plano de projecção a ser introduzido, com novas coordenadas.

TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA HORIZONTAL

Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a transformação num segmento de recta horizontal.

x

plano 2

plano 1

A

BA2

B2

A1 B1

x21

A1

A2

B1

B2

plano 4

x’

24

A 4

B 4

V.G.A4

B4

TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA FRONTAL

Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a transformação num segmento de recta frontal.

x

plano 2

plano 1

A

BA2

B2

A1 B1

x21

A1

A2

B1

B2

plano 4

x’

41

A4

B4

V.G.A4

B4

TRANSFORMAÇÃO DE UMA RECTA HORIZONTAL NUMA RECTA DE TOPO

Pretende-se transformar a de recta horizontal h numa recta de topo.

x

plano 2

plano 1

A

A2

A1

x21

plano 4

x’

4 1

h2h2

h1

h1

h

A1

A2

A 4≡

(h4)

A4≡ (h4)

É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (1; 2; 4) e B (-3; 1; 2).

Determina a V.G. do segmento de recta [AB], transformando-o num segmento de recta horizontal com 2 cm de cota. x

21

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

x’

24

A4

B4

V.G.

É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (1; 2; 4) e B (-3; 1; 2).

Determina a V.G. do segmento de recta [AB], transformando-o num segmento de recta frontal com 3 cm de afastamento.

x21

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

x’

41

A4

B4

V.G.

É dada uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (2; 3) e faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção.

Transforma a recta f numa recta vertical.

x21

A1

A2

f1

f2

x’

24

A4≡ (f

4 )

É dada uma recta horizontal h, com 3 cm de cota e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção.

Transforma a recta h numa recta de topo.

x21

h2

h1

x’

41

A1

A2

A4≡ (h

4 )

É dada uma recta oblíqua r, que passa pelo ponto R (2; 1).

A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 25º (a.d.) com o eixo x.

A projecção frontal da recta r faz um ângulo de 35º (a.d.) com o eixo x.

Desenha as projecções de um segmento de recta [RS], com 4 cm de comprimento, situado no 1.º diedro e contido na recta r.

x21

R1

R2

r1

r2

P1

P2

x’

41

R4

P4

r4

S1

S4

S2

TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO VERTICAL NUM PLANO FRONTAL

Pretende-se determinar a V.G. de um triângulo contido num plano vertical α, via a transformação do plano α num plano frontal.

x

plano 2

plano 1

α

fα

hα

A

B

C

A1

B1 C1

B2

C2

A2

x

hα

fα

A1

A2

B1

B2

C1

C2

plano 4

x’

A4

B4

C4

21

x’

41

A4

B4

C4

V.G.

TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO DE TOPO NUM PLANO HORIZONTAL

Pretende-se a transformação de um plano de topo γ num plano horizontal.

x

plano 2

plano 1

γ

fγ

hγ

x

fγ

hγ

plano 4

x’(h4γ)

21

x’

2 4

(h 4γ)

É dado um triângulo [PQR], contido num plano de topo, sendo P (2; 3; 1), Q (-2; 4; 4) e R (1; 3).

Determina a V.G. do triângulo.

x21

y ≡ z

P1

P2

Q1

Q2

fα

hα

R1

R2

x’

24

P 4

Q 4

R 4

V.G.

É dado um rectângulo [ABCD], contido num plano vertical γ. O plano γ faz um diedro de 60º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção.

A diagonal [AC] está contida no β1,3, sendo que A tem 2 cm de cota e C tem 6 cm de afastamento.

O lado [AB] do polígono é vertical e o lado [BC] é horizontal.

Desenha as projecções do rectângulo e determina a sua V.G.

x21

hγ

fγ

≡ i1

i2

A1

A2

C1

C2

≡ B1

B2

≡ D1

D2

x’

4 1

B 4

A 4

C 4

D 4V.

G.

É dado um plano vertical δ, que faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção.

São dados dois pontos A (1; 4) e B (2; 0), pertencentes ao plano δ.

Os pontos A e B são vértices de um triângulo equilátero [ABC], contido no plano δ.

Desenha as projecções do triângulo, construindo a figura em V.G., após transformar o plano δ num plano frontal com 2 cm de afastamento.

x21

hδ

fδ

A1

A2

B1

B2

x’

41

A4

B4

C4

V.G.

C1

C2

É dado um plano θ, definido por duas rectas, r e s, concorrentes no ponto P (1; 3).

As projecções da recta r são paralelas entre si, e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x.

A recta s é passante, e a sua projecção frontal está coincidente com a projecção frontal de r.

De que plano se trata?

Transforma o plano θ num plano horizontal com 2,5 cm de cota.

x21

P1

P2

r1

r2 ≡ s2

s1

Trata-se de um plano de topo (um plano projectante frontal), pois as projecções frontais das duas rectas estão coincidentes.

x’

24

R1 ≡ R2

F1

F2

P4

R4

s4

F4

r4