MÉTODOS ESTATÍSTICOSGabarito da 2a Prova Presencial - 2o. semestre de 2008

Profa. Ana Maria Farias

1. X ∼ Unif(1, 9)

(a) P (2 ≤ X < 4) = 18 × (4− 2) = 0, 25. Veja a Figura 1.

Figura 1: Questão 1a: Pr(2 ≤ X < 4)

(b) P (X > m) = 0, 8⇐⇒ 18 × (9−m) = 0, 8⇐⇒ 9−m = 6, 4⇐⇒ m = 2, 6. Veja a Figura

2.

Figura 2: Questão 1b: Pr(X > m) = 0, 8

2. X ∼ N(8; 22)

(a)

Pr(5 < X < 13) = Pr

µ5− 82≤ Z ≤ 13− 8

2

¶= Pr(−1, 5 ≤ Z ≤ 2, 5)

= tab(2, 5) + tab(1, 5) = 0, 49379 + 0, 43319 = 0, 92698

1

(b) Veja a Figura 3.

P (X > k) = 0, 85⇐⇒ Pr

µZ >

k − 82

¶= 0, 85⇐⇒

0, 5 + tab

µ−k − 8

2

¶= 0, 85⇐⇒

tab

µ8− k

2

¶= 0, 35⇐⇒ 8− k

2= 1, 04⇐⇒ k = 5, 92

Figura 3: Questão 2b: Pr(X > k) = 0, 85

(c) Veja a Figura 4.

P (X < k) = 0, 78⇐⇒ Pr

µZ <

k − 82

¶= 0, 78⇐⇒ 0, 5 + tab

µk − 82

¶= 0, 78

⇐⇒ tab

µk − 82

¶= 0, 28⇐⇒ k − 8

2= 0, 77⇐⇒ k = 9, 54

Figura 4: Questão 2c: Pr(X < k) = 0, 78

2

3. X ∼ N¡μ; 1636

¢(a)

P = Pr(X ≤ 12, 8|H0) = Pr¡X ≤ 12, 8|X ∼ N

¡15; 49

¢¢= Pr

ÃZ ≤ 12, 8− 152

3

!= Pr(Z ≤ −3, 3) = Pr(Z ≥ 3, 3)

= 0, 5− tab(3.3) = 0, 5− 0, 49952 = 0, 00048

(b) Como o valor P é pequeno, é pouco provável se obter um valor tão extremo quantox = 12, 8 sendo H0 verdadeira. Logo, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, os dados indicamque μ < 15.

4. (a) A afirmativa do cliente é que μ > 36 e o interesse da empresa é mostrar que o tempo é,no máximo, 36 horas (μ ≤ 36). Logo

H0 : μ = 36

H1 : μ > 36

(b) A população é aproximadamente normal; assim,X − μ

S√n

∼ t(n− 1). Com n = 16, temos

15 graus de liberdade e na tabela obtemos t15;0,05 = 2, 131 e a região crítica é

X − 361,534

> 2, 131⇐⇒ X > 2, 131× 1, 534

+ 36 = 36, 815

(c) Como o valor observado da média amostral cai na região crítica, rejeita-se a hipótesenula, ou seja, os dados indicam que o tempo médio está acima de 36 horas.

(d) O intervalo de confiança é∙37, 5− 2, 131× 1, 53

4; 37, 5 + 2, 131× 1, 53

4

¸= [36, 685; 38, 315]

5. (a) A afirmativa do cliente é μ < 200. Logo

H0 : μ = 200

H1 : μ < 200

(b) A abscissa da normal é z0,05 = 1, 64 e a região crítica é z0 < −1, 64. Com os dados doproblema temos que

z0 =195− 200

1010

= −5

Como o valor observado da estatística de teste pertence à região crítica, rejeitamos ahipótese nula, isto é, os dados indicam que a qualidade dos tijolos está diminuindo.

(c) Como o tamanho da amostra é grande, o teorema central do limite nos permite usar aaproximação normal para a distribuição da média amostral, independente de a populaçãoser ou não normal.

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